MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 1

Matemática Computacional

Introducción a la Teoría de Grafos

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Logro

El alumno, al término de la unidad, será capaz de manejar los distintos tipos de aplicaciones concernientes a la teoría de grafos, así como saber utilizar los algoritmos que resuelven problemas de camino más corto y redes de transporte.

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Contenido

• Conceptos básicos asociados a los grafos.• Representación matricial de un grafo.• Caminos, conexión y componentes conexas.

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INTRODUCCIÓN

¿Es posible recorrer los siete puentes de la ciudad de Königsberg pasando por todos ellos una única vez, partiendo y llegando al mismo sitio?

L. Euler, en 1 736, resolvió este problema proponiendo el concepto de grafo.

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grafo

C

B

DA

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APLICACIONES

MA475 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

Tiempo de vuelos aéreos

Madrid

Coruña

Valencia

Barcelona

Sevilla

Santander2 2

1

4

12

23

2

Planificación de tareas (Pert/CPM)

inicio A(3)

B(2)

D(2)

C(4) E(3) finalI(1)

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APLICACIONES

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Arquitectura de redes de telefonía móvil

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CONCEPTO DE GRAFO

Un grafo G = (V, E) está compuesto de:

V : conjunto de vértices o nodos

E : conjunto de aristas o arcos que conectan los vértices en V.

Una arista e = (v, w) está formada por dos vértices v y w, en los cuales v es el nodo origen y w es el nodo destino.

Ejemplo:

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a b

d e

cV = { a, b, c, d, e}E = { (a, b), (a, c), (a, d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e) }

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GRAFO DIRIGIDO Y NO DIRIGIDO

Un grafo dirigido o digrafo es un tipo de grafo en el cual las aristas tienen una dirección definida, mientras que el grafo no dirigido es aquel en el que las aristas conectan a los nodos en ambas direcciones.

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MULTIGRAFOUn multigrafo es un grafo que tiene aristas múltiples; es decir, aristas que relacionan los mismos nodos. De esta forma, dos nodos pueden estar conectados por más de una arista (en la figura se muestran 3 aristas que conectan Bogotá con Cúcuta).

Grafo que representa vuelos sin escala entre ciudades de Colombia

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MATRIZ DE ADYACENCIA

La matriz de adyacencia de un grafo G = (V, E) ,

donde V = {v1, v2,…, vn}, es una matriz A={aij} tal

que aij = 1 si (vi, vj) E, y aij = 0 en caso contrario.

Matriz de adyacencia de un grafo dirigidoOBS. Si el grafo es no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica

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EJEMPLO

Determine la matriz de adyacencia de los siguientes grafos:

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MATRIZ DE INCIDENCIA

Se llama matriz de incidencia de un grafo de n nodos y m aristas, a la matriz B de orden n x m en la que la entrada bij = 1 si la arista  j-ésima es incidente

(termina en el nodo) en el nodo i-ésimo y bij = 0, en caso contrario.

Ejemplo: Veamos la matriz de incidencia del grafo con vértices {1,2,3,4,5} y aristas {A,B,C,D,E,F,G,H}

Matriz de incidencia de un grafo

A

B C

DE

FG

H

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CAMINOS Y CICLOS

Un camino es una secuencia finita de vértices, en la cual cada par de vértices consecutivos son adyacentes entre sí.

Un ciclo es un camino donde el vértice inicial y final coinciden.

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MATRIZ DE CAMINOS

Se llama matriz de caminos asociada a un grafo a aquella matriz

A={aij} tal que aij = 1 si existe un camino que une vi con vj, y aij

= 0 en caso contrario.

Esta matriz se representa por:

Ejemplo: En el grafo mostrado vemos que los vértices 1 y 5 no son adyacentes pero existe un camino para llegar desde 1 hasta 5

Matriz de caminos de un grafo

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ALGORITMO PARA CALCULAR LA MATRIZ DE CAMINOSPaso 1: Se calcula la matriz de adyacencia asociada al grafo

Paso 2: Se marcan todos los 1 existentes en la diagonal de la matriz de adyacencia.

Paso 3: Se selecciona, en orden, una fila I de la matriz que aún no ha sido trabajada.

• Se toma el primer 1 «no marcado» de la fila I, y dicho 1 corresponderá a la columna J.

• Se ubica la fila que tiene al vértice J como origen.• Se copian todos los 1’s de la fila J hacia la fila I.• Se marca el 1 correspondiente a la fila I, columna J

Paso 4:

Ir al paso 4 hasta que todos los 1’s de la fila seleccionada se encuentren marcados ó hasta que toda la fila contenga 1’s.

Paso 5:

Ir al paso 3 hasta que se hayan trabajado todas las filas existentes.

Paso 6:

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EJEMPLO

Determine la matriz de caminos asociada al grafo:

SOLUCIÓN:

Paso 1: Se calcula la matriz de adyacencia asociada al grafo

ℳ𝑅=¿

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Paso 2: Se marcan todos los 1 existentes en la diagonal de la matriz de adyacencia.

En este caso, no hay ningún 1 para marcar.

Paso 3: Se selecciona, en orden, una fila I de la matriz que aún no ha sido trabajada.

Primero seleccionamos la fila 1

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Paso 4: • Se toma el primer 1 «no marcado» de la fila I, y dicho 1 corresponderá a la columna J (en este caso la columna 2).

• Se ubica la fila que tiene al vértice J como origen (en este caso la fila 2).

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• Se copian todos los 1’s de la fila J hacia la fila I. (Es decir, de la fila 2 hacia la fila 1).

• Se marca el 1 correspondiente a la fila I, columna J.

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Ir al paso 4 hasta que todos los 1’s de la fila seleccionada se encuentren marcados ó hasta que toda la fila contenga 1’s.

Paso 5:

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Ir al paso 3 hasta que se hayan trabajado todas las filas existentes.

Paso 6:

Continuando el proceso, llegamos a la matriz de caminos:

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EJERCICIOS

Determine la matriz de caminos asociada a cada uno de los siguientes grafos:

12

4

3

51

2

4

3

5