INVESTIGACION DE OPERACIONES TEORIA DE LA DUALIDAD

Desarrollada en 1956 por Gale & TuckeyTodo modelo matematico de programacion lineal tiene asociado otro problema, llamado el problema Dual, que refleja o expresa lo mismo pero en lenguaje complementario. Para distinguirlos, al problema original, lo llamaremos el problema primal.Si el problema primal es Max Z = ∑ cj •Xj sujeto a: ∑ aij •Xj ≤ bi con Xj ≥ 0 con j=1…n

su problema dual sera Min W = ∑ bi •Yi sujeto a: ∑ aij •Yi ≥ cj con Yi ≥ 0 con i=1…m

Observe que: si un problema se trata de: minimizar, el otro problema se trata de maximizar si un problema tiene restricciones de la forma “ ≤”, el otro, tendra restricciones “ ≥” se intercambian los coeficientes de la f.o. cj con los coefs de los recursos disponibles bi cambia el conjunto de variables de decision de actividad, X por Y y los coeficientes aij permanecen iguales.

Ejemplo con la Wyndor Glass, Problema Primalmaximizar Z = 3•X1+5•X2 sujeto a: X1 ≤ 4;

2•X2 ≤ 12;3•X1 +2•X2 ≤ 18; con X1, X2 ≥ 0

Entonces su respectivo problema dual quedara:min W = 4•Y1+12•Y2+18•Y3 sujeto a: Y1+3•Y3 ≥ 3;

2•Y2+2•Y3 ≥ 5; con Y1, Y2, Y3 ≥ 0

Ejemplos: Hallar el problema dual asociado al problema:

1) min z = –20 x1 +5 x2 – 3 x3 sujeto a:–2 x1 + 7 x2 –3 x3 ≤ 5 => 2 x1 – 7 x2 +3 x3 ≥ – 5x1 +x2 ≥ 7–x1 – 2 x2 +x3 ≤ 4 => x1 + 2 x2 –x3 ≥ –42 x1 + 3 x2 = 7 => 2 x1 + 3 x2 ≥ 7y que 2 x1 + 3 x2 ≤ 7 => –2 x1 – 3 x2 ≥ –7entonces el dual queda:max w = –5 y1 + 7 y2 – 4 y3 + 7 y4 – 7 y5, sujeto a:2 y1 + y2 + y3 +2 y4 –2 y5 ≤ – 20–7 y1 + y2 +2 y3 + 3 y4 – 3 y5 ≤ 53 y1 – y3 ≤ –3; con yi ≥ 0, i=1…5

2) max z= 3 x1 +5 x2 +4 x3, sujeto a:3 x1 + 2 x2 + x3 ≥ 4 => –3 x1 – 2 x2 – x3 ≤ –42 x1 + 4 x2 +2 x3 ≤ 1; con xi ≥ 0, para i = 1…3

el dual queda:min w = –4 y1 + y2, sujeto a: –3 y1 + 2 y2 ≥ 3–2 y1 + 4 y2 ≥ 5–y1 + 2 y2 ≥ 4, con y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

Relaciones Primal/Dual: 1.Como el Dual es un problema de programacion lineal, tambien tiene soluciones en los vertices, segun vimos en el Metodo Grafico2.Debido a que las restricciones funcionales tienen la forma “≥”, se debe restar un superavit para lograr equilibrio o balance (expresado mediante ecuaciones, en la forma aumentada), (mientras que en el problema Primal, sumabamos una variable holgura para alcanzar ese mismo balance)

En las restricciones funcionales del problema dual, Y• A ≥ c , llamemos ß a los lados izquierdos Y•AAsi que Y•A – ß = 0. Si ademas, se suma c a ambos lados de la igualdad tenemos que:Y• A – (ß – c) = c debido a que (ß–c) se resta del lado izquierdo para obtener la igualdad, el vector (ß–c) asume el papel de Variable de Superavit!Lo anterior da a entender que por cada restriccion funcional en el primal, habra una variable de superavit en el dual y por la simetria existente entre primal y dual, se deduce que por cada variable de holgura en el primal habra una restriccion en el dual.

3.Dado que los cj de un problema se intercambian con los bi del problema dual, esto se interpreta como que hay una relacion entre las variables X del Problema Primal y las variables Y del prob Dual, que se llaman relaciones de holgura complementaria . Segun esto, los coeficientes de la f.o. del prob Primal, en cualquier iteracion, (incluso en la ultima u optima), corresponden con los valores de las variables del problema Dual, de esta manera:

Los coeficientes de las vars de holgura en el problema Primal, corresponde a valores que toman las variables de Decision del problema Dual, y

Los coeficientes de las vars de Decision en el problema Primal, corresponde a valores que toman las variables de Superavit del problema Dual.

II) SOLUCIONES BASICAS COMPLEMENTARIAS

1.Los coeficientes ≤ 0 en la f.o. del problema primal, muestran que la solucion no es optima, (ya que aun se puede mejorar el valor de Z), 2. Los coefs de la f.o. se convierten en parametros bi en el dual, donde un valor ≤ 0 para una variable de superavit (leido de la FAG) indica que viola la restriccion de no negatividad de la variable respectiva, cierto?3.A su vez, esto implica que la solucion del dual no es factible !, (ya que el punto cae por fuera de la region factible)En la ultima iteracion de la tabla no hay valores negativos en la f.o., asi que la solucion es optima.

Tabla A: SOLUCIONES BASICAS COMPLEMENTARIASPr Primal Pr Dual

Solucion basica Factible? Z=W Factible? Solucion basica(0,0,4,12,18) S 0 N (0,0,0,-3,-5)(4,0,0,12,6) S 12 N (3,0,0,0,-5)(6,0,-2,12,0) N 18 N (0,0,1,0,-3)(4,3,0,6,0) S 27 N (-9/2,0,5/2,0,0)(0,6,4,0,6) S 30 N (0,5/2,0,-3,0)(2,6,2,0,0) S 36 S (0,3/2,1,0,0)(4,6,0,0,-6) N 42 S (3,5/2,0,0,0)(0,9,4,-6,0) N 45 S (0,0,5/2,9/2,0)

En el caso de la solucion optima Z* = W*

SOLUCIONES COMPLEMENTARIAS

Toda solucion en el problema Primal tiene una solucion complementaria en el problema Dual.En cualquier solucion del problema primal (sea factible o no), tacitamente se esta encontrando la solucion respectiva al problema dual.

En la siguiente tabla, observe como aparecen los coefs de la f.o. del primal, ya que la solucion completa del Dual, los valores de las variables Y, coinciden con los coeficientes “c” de la funcion objetivo del primal, (aunque aparezcan en diferente orden !).

COEF's de la F.O. en la ultima iteracion del primal Coefs

Primal c1 c2 … cn cn+1 cn+2 … cn+m Z

Vr vars Dual (ß1–c1) (ß2–c2) … (ßn–cn) Y1 Y2 … Ym WExplicacion Los coef's de las var's de decision en

el Primal corresponden al valor de las var's de superavit en el Dual

Los coef's de las var's de holgura en el primal corresponden con el valor de las var's de decision en el Dual

Tabla 0Coeficientes de la f.o. en el Prob Primal Solucion del Prob Dual (Valor de las variables Y)

Iteracn c1 c2 c3 c4 c5 Z y1 y2 y3 (ß1 – c1) (ß2 – c2) W0 -3 -5 0 0 0 0 0 0 0 -3 -5 01 -3 0 0 5/2 0 30 0 5/2 0 -3 0 302 0 0 0 3/2 0 36 0 3/2 0 0 0 36

Interpretacion: 1)La idea clave es que la solucion del Dual, (que se lee en los coefs de la f.o. en la ultima iteracion del primal) tambien debe ser una solucion basica;

2)Recuerde que las variables basicas del probl primal aparecen en la f.o. con coeficiente 0, (despues de llevarlo a la FAG), lo cual significa que el valor de las variables duales asociadas Yi debe ser = 0 , esto significa que en el dual corresponden a variables no basicas! y viceversa, debido a la propiedad de simetria existente entre el problema Primal y el Dual,

3)Similarmente, las variables no basicas (que valen 0 por definicion), aparecen en la f.o. con coef ≠ 0, (cierto?) corresponden al valor de las variables basicas Yi del dual!.

Ejemplo #3: Tomando la f.o. de la iteracion final de la tabla 0 mostrada arriba: –Z + 0 •x1 + 0 •x2 +0 •x3 + 3/2 •x4 + x5 = –36

En el problema primal las vars de decision son x1, x2 plt en el problema dual las variables asociadas seran de superavit: (ß1 – c1) = 0, (ß2 – c2) = 0, Como en el primal x3, x4, x5 fueron variables de holgura, entonces, en el problema dual las variables asociadas seran de decision: y1, y2, y3. Sus valores se extraen directamente de la f.o. quedando: y1 = 0; y2 = 3/2; y3 = 1, (se puede verificar que corresponde con la solucion del dual).

Ejemplo #4: sea el primal, max z=2 x1 – x2 + x3, sujeto a 3 restricciones, (por lo cual se tienen 3 variables de holgura, x4, x5, x6)Si en la ultima iteracion la f.o. queda: z + 1.5 •x3 +1.5 •x5 +0.5•x6 = 25de los coeficientes de las variables de holgura en la f.o. del probl original se lee la solucion del dual: (y1, y2 , y3) = (0, 1.5, 0.5)ya que los coefs cj del primal se convierten en los parametros bi en el dual, que llevados a la FAG, corresponden a los valores de las variables Yj

III) PROPIEDAD DE LAS SOLUCIONES BASICAS COMPLEMENTARIAS

Cada solucion basica del primal tiene una solucion basica complementaria para el Dual, en el caso de la solucion optima c·X* = b·Y* En terminos generales: c·X ≤ b·Y

Mientras se maximiza c • X (aumenta el valor de z), simultaneamente se minimiza b• Y (disminuye el valor de w), por lo cual se dice que c·X ≤ b·Y; hasta que se llega al optimo, caso en el cual z *= w*.

Hallar la solucion del dual a partir de la solucion del primal Variable primal Variable dual (asociada)

Variables de decision x1 (ß1 – c1) Variables de superavitx2 (ß2 – c2)

Variables de holgura x3 y1 Variables de decisionx4 y2

x5 y3

En resumen, cada variable del primal tiene asociada una variable en el dual, … a cada variable de decision en el primal le corresponde una variable de superavit en el dual y a cada variable de holgura en el primal le corresponde una variable de decision en el dual.

Ejemplo #5: Hallar la solucion del siguiente problema a traves del problema dualmin w = 4•Y1+12•Y2+18•Y3 sujeto a: Y1+3•Y3 ≥ 3;

2•Y2+2•Y3 ≥ 5; con Y1, Y2, Y3 ≥ 0

su respectivo problema dual quedara:max z= 3x1+ 5x2 sujeto a :x1 ≤ 4; 2•x2 ≤ 12; 3•x1 +2•x2 ≤ 18, con x1 ≥ 0 x2 ≥ 0Escrito en la forma aumentada queda:x1 +x3 = 4; 2•x2 +x4 = 12; 3•x1+2•x2 +x5 = 18, con x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0Aplico el Metodo Simplex para resolverlo y luego de varias iteraciones obtengo: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (2,6,2,0,0)A partir es esta solucion voy a hallar la solucion del dual

Problema Dual Tipo de las vars Problema Primalx1 ≠ 0 De decision Tipo superavit y4 =0x2 ≠ 0 De decision Tipo superavit y5 =0x3 ≠ 0 De holgura Tipo decision y1 = 0x4 =0 De holgura Tipo decision y2 ≠ 0 x5 =0 De holgura Tipo decision y3 ≠ 0

Entonces, a traves de la tabla anterior identifico las variables de decision y superavit en el dual y hago la correspondencia con las variables del Primal; esto me permite colocar los subindices a las variables del Primal (y1,y2,y3,y4,y5).Luego identifico las VB≠ 0 y VNB =0 del Dual y hago la correspondencia con las variables del primal, esto me ayudara a despejar las VB del primal, ya que las VNB = 0, cierto?Para esto hago uso de las restricciones funcionales del primal, sabiendo que (Y 1, Y4, Y5 ) = 0

tenemos:(1) Y1 +3•Y3 – Y4 = 3; => Y3 = 3/3 = 1(2) 2•Y2+2•Y3 – Y5 = 5; => 2•Y2 = 5 – 2•Y3 + Y5 = 5 – 2 + 0 = 3 plt Y2 = 3/2la solucion completa sera:

(y1,y2,y3,y4,y5) = (0,3/2,1,0,0)

TEOREMA DE LA DUALIDAD

Las unicas relaciones posibles en los problemas primal y dual son:1. Si un problema tiene soluciones factibles y una f.o. acotada (y por ende tendra una solucion

optima), entonces ocurrira lo mismo con el otro problema.2. Si uno de los problemas tiene soluciones factibles y una f.o. No cotada (esto es, no hay solucion

optima), entonces el otro problema no tiene soluciones factibles.3. Si un problema no tiene soluciones factibles, entonces el otro problema no tiene soluciones

factibles o bien la f.o. no es acotada.

PROPIEDADES DE LA RELACION ENTRE LOS PROBLEMAS PRIMAL/DUALLos matematicos han observado que entre los problemas primal y dual se cumplen varias caracteristicas que le son propias (o propiedades) y les han puesto nombre para identificarlas y recordarlas:

1.Propiedad de dualidad debil: Si X es una solucion factible para el probl primal y Y es una solucion factible para el pr dual, en el probl primal vamos a maximizar c·X, mientras que en el probl dual vamos a minimizar Y·b. Al avanzar en las diferentes iteraciones, c·X crece, mientras Y·b disminuye, o sea, c·X debe ser ≤ Y·b hasta que se encuentran (iguales en la solucion final), por lo cual se deduce que c·X debe ser ≤ Y·b, lo cual se cumple al evaluar las respectivas f.o. en cualquier iteracion. Se dice “debil” debido al signo “≤”. Recuerde que una solucion cualquiera es factible si el valor de las X cae en el area factible (o sea, cumple con c/u de las restricciones tanto funcionales como de no negatividad). Ejemplo, en la tabla A, las soluciones X= (0,6,4,0,6) y Y = (3,5/2,0,0,0) son ambas factibles, Z = 30, mientras que W = 42.

2.Propiedad de dualidad fuerte: Si X* es una solucion optima para el pr primal y Y* es una solucion optima para el pr dual, entonces: c·X* = Y·b, se cumple al evaluar las respectivas f.o. (en la iteracion final). Ver en la tabla el caso Z =36=W. Se dice fuerte ya que el signo es “=”, es muy diciente y preciso.

3.Propiedad de soluciones complementarias: En cualquier iteracion, el M Simplex encuentra (ambas), una solucion FEV X para el probl primal y una solucion Y para el dual, entonces si X no es optima para el problema primal, Y no sera factible para el probl dual, ya que la f.o. contiene coeficientes negativos. Analizar los datos de la tabla A. 4.Propiedad de soluciones complementarias optimas: En la ultima iteracion del M Simplex, este identifica la solucion optima X* (Para el problema primal) que corresponde en el problema dual con una solucion optima complementaria Y*, donde c•X* = Y•b. Analizar el renglon donde Z = 36 tabla A

5.Propiedad de simetria: Sin importar a cual problema se llame primal o dual, las relaciones primal/dual son simetricas, esto es, si obtengo el dual del dual, debo volver al primal. (Aunque hay una pista para saber cual es primal, se trata de la direccion de desigualdad de la propiedad de dualidad debil, requiere que el problema de maximizacion se llame el problema primal y el de minimizacion se llame el problema dual).

IV)ADAPTACION DESDE VARIAS FORMAS DEL PROBLEMA PRIMALMETODO CER (Comun, Extraño y Raro) o SOB (Simple, Odd and Bizarre en ingles)

No todos los problemas primales vienen en la forma estandar, como es el caso de la Terapia de Radiacion. Entonces, la escritura del problema dual se hace basado en la siguiente guia:

1. Formule el problema primal en la forma de maximizacion o minimizacion que represente el mundo real, el problema dual debera quedar en la forma contraria.

2. Si el problema se trata de Maximizar, ingrese por la primera columna de la tabla B.Observe el tipo de cada restriccion funcional en el primal (≤, =, ≥) y califique la situacion como Comun, Exraña o Rarisima (C, E, R); esto determinara para el probl Dual, el tipo de la restriccion de no-negatividad de cada variable (indicado en la misma fila, en la tercera columna de la tabla).

3. Ademas, el tipo de restriccion de no-negatividad de cada variable del primal se califica como C, E o R, y esto determina el tipo de cada restriccion funcional en el dual, (indicado en la misma fila en la tercera columna de la tabla).

4. Si el problema se trata de Minimizar, ingrese por la tercera columna de la tabla B. De acuerdo con el calificativo de C, E o R de cada item, el item asociado del probl Dual se va traduciendo en terminos de lo prescrito en la primera columna de la tabla.

TABLA B. GUIA DE ADAPTACION DESDE VARIAS FORMAS DEL PROBLEMA PRIMALSi el problema primal es “Maximizar” Si el problema primal es “Minimizar”RESTRICCION i CALIFICATIVO VARIABLE YiSigno ≤ Comun Signo ≥ 0Signo = Extraño No restringidaSigno ≥ Rarisimo Yi' ≤ 0 VARIABLE Xj RESTRICCION jXj ≥ 0 Comun Signo ≥ No restringida Extraño Signo =Xj ≤ 0 Rarisimo Signo ≤

Ejemplo: #6 Terapia de RadiacionProblema primal Problema DualMin Z = 0.4 •X1 + 0.5 •X2 s.a:(R) 0.3•X1+ 0.1 •X2 ≤ 2.7(E) 0.5•X1 + 0.5 •X2 = 6(C) 0.6•X1 + 0.4•X2 ≥ 6

(C) X1 ≥ 0(C) X2 ≥ 0

Max W = 2.7 •y1'+ 6 • y2 + 6 • y3 s.a:y1'≤ 0 (R)y2 no restringida en signo (E)y3 ≥ 0 (C)

0.3•y1'+ 0.5•y2 +0.6 • y3 ≤ 0.4 (C)0.1•y1'+ 0.5•y2 + 0.4• y3 ≤ 0.5 (C)

Sobre variables de decision con restricciones diferentes a no negatividad :i)La variable no positivia, y1' ≤ 0, se debe reemplazar por su contraparte y1= – y1', donde y1 ≥ 0. ii)La variable no restringida, y 2 se sustituye por la resta (y'2 – y”2), con las variables y'2 ≥ 0 y”2 ≥0 Reescribo:Max W = –2.7 •y1+ 6 • y'2 – 6•y”2 + 6 • y3 s.a:

–0.3•y1+ 0.5•y'2 – 0.5•y”2 +0.6 • y3 ≤ 0.4 –0.1•y1+ 0.5•y'2 – 0.5•y”2 + 0.4• y3 ≤ 0.5

con y1 ≥ 0 y'2 ≥ 0 y”2 ≥ 0 y3 ≥ 0 Luego de esta ultima sustitucion, se lleva el sistema a la forma aumentada y queda listo para aplicacion directa del M Simplex, cuya solucion es, (y1', y2, y3) = (–0.5,1.1,0), con w=5.25; se procede a encontrar la solucion correspondiente del primal, tal como se ilustro con el ejemplo #5.

Problema Dual Tipo de las vars Problema Primaly1 ≠ 0 De decision Tipo superavit x3 =0y2 ≠ 0 De decision Tipo superavit x4 =0y3 = 0 De decision Tipo superavit x5 ≠ 0y4 =0 De holgura Tipo decision x1 ≠ 0 y5 =0 De holgura Tipo decision x2 ≠ 0 A partir de dos de las restricciones originales0.3•X1+ 0.1 •X2 + X3 =2.7; con X3=0 0.5•X1 + 0.5 •X2 = 6tenemos dos ecuaciones con 2 incognitas, resolvemos X 1 = 7.5; X2 = 4.5, que corresponden al optimo.

V)METODO SIMPLEX DUALEs la imagen espejo del metodo simplex. El metodo simplex trata con soluciones basicas del problema primal (que son factibles primales), pero no son factibles duales.En cambio el M Simplex Dual maneja soluciones basicas del problema dual que son factibles duales, (pero no son factibles primales), por la propiedad de dualidad debil.Solo en la solucion optima, las soluciones factibles primales son tambien factibles duales, debido a la propiedad de dualidad fuerte.El Metodo Simplex Dual trata un problema como si aplicara el Metodo Simplex a su problema Dual de manera simultanea.Si sus soluciones basicas iniciales se hacen complementarias, los dos metodos se mueven en una secuencia completa y se obtienen soluciones basicas complementarias en cada iteracion.

Para un problema de maximizacion, en la ec (0), los coefs no negativos indican que la solucion basica

es factible. En general las soluciones basicas seran no factibles, porque algunas variables son negativas, excepto la ultima, que es la optima.El metodo hace que el valor de la ec (0) disminuya de manera monotona y conserve siempre sus coefs no negativos, hasta que todas las variables sean no negativas. En este momento la solucion es factible (ya que satisface todas las restricciones) y plt es optima.

Pasos:1.Convertir las restricciones ≥ a la forma ≤ (si las hay), multiplicando * (–1) la desigualdadluego se introducen vars de holgura, para obtener ecuaciones en vez de desigualdades. Lleve el sistema a la FAG, tal que en la ec (0) las VB tengan coefs = 0 y las VnB tengan coefs ≠ 0. Si estos ultimos coefs (de las VnB) fueran ≥ 0, la solucion es factible y plt es optima.2.Prueba de factibilidad: Verificar que todas las VB son ≥ 0; si es asi la solucion es factible y plt es optima, termino el algoritmo; de lo contrario haga una iteracion.3. Iteracion3.1 VB que sale, seleccione la VB ≤ 0, o sea la mas alejada de cero por la izquierda.3.2 VB que entra, es aquella que en la ec (0) llega primero a 0 cuando se adiciona a la ec (0) un multiplo de la ec que contiene a variable que sale, en otras palabras, operativamente escoja el cociente menor (en valor absoluto) obtenido de dividir el coef de la ec(0) entre el coef de la ec que contiene a la var que sale.3.3 Lleve el sistema de ecuaciones a la FAG. Y vaya a la prueba de factibilidad (paso 2).

Ejemplo de Metodo Simplex Dualmax w = –4 y1 –12 y2 – 18 y3 sujeto a:y1 + 3 y3 ≥ 3 ; => * (–1) queda: –y1 – 3 y3 ≤ –3; => –y1 – 3 y3 + y4 = –32 y2 + 2 y3 ≥ 5; => * (–1) queda: –2 y2 – 2 y3 ≤ –5, => –2 y2 – 2 y3 + y5 = –5con yi ≥ 0 para i=1..5iteracion 0

ec VB w y1 y2 y3 y4 y5 TI0 w 1 4 12 18 0 0 01 y4 0 –1 0 –3 1 0 –32 y5 0 0 –2 –2 0 1 –5

La solucion no es factible porque y4= –3 ; y5= –5; plt no es optimavar que sale: y5, tiene el valor mas alejado de cero por la izquierdavar que entra: entre las VnB con coef < 0 en la ec de la var que sale en este caso la (2), haga el cociente 12/2 < 18/2, escoja el cociente minimo en valor absoluto, plt la var que entra es y2

iteracion1ec VB w y1 y2 y3 y4 y5 TI0 w 1 4 0 6 0 6 –301 y4 0 –1 0 –3 1 0 –32 y2 0 0 1 1 0 –0.5 2.5

y4 = –3, no es factible plt no es optimavar que sale: y4, tiene le valor negativo mas grandevar que entra: y3; comparando los cocientes 6/–3 < 4/–1, se escoje el menor en valor absoluto, para y3

iteracion2ec VB w y1 y2 y3 y4 y5 TI0 w 1 2 0 0 2 6 –361 y3 0 0.33 0 1 –0.333 0 12 y2 0 –0.333 1 0 0.33 –0.5 1.5

La solucion es factible y plt es optima (y1,y2,y3,y4,y5) = (0,3/2,1,0,0)

VI)APLICACIONES

1.Puede resolverse el problema dual directamente aplicando el M Simplex a fin de identificar una solucion optima para el problema primal, lo cual puede ser deseable cuando el nro de calculos sea menor con el dual que con el primal, por ejemplo cuando original/. se tiene mas restricciones funcionales que variables.

2.Siendo X una solucion factible del problema primal, pero la solucion optima tarda muchas iteraciones en alcanzarse. Por inspeccion del dual, la solucion factible Y sea tal que c•X = Y•b. En este caso X debe ser optima, segun la propiedad de dualidad fuerte.

3.Mas aun, si Z < W, entonces Yb proporciona una cota superior sobre el valor optimo de Z, de manera que si la resta (Z–W) < epsilon, podemos decir que X es optimo sin necesidad de hacer mas iteraciones, donde epsilon es un valor pequeño aceptado de antemano como criterio de tolerancia.

4.Precios Sombra: Usualmente los problemas de programacion lineal se interpretan como la asignacion de recursos (escasos) a las actividades que los requieren, pero … hay incertidumbre sobre los parametros utilizados, ya que cuando se hace planeacion, a menudo, se trabaja con casos hipoteticos de los cuales no se tiene antecedentes, ni registros ni historia y se utilizan estimaciones para tales parametros, cuyos verdaderos valores se conoceran cuando se evalue el estudio en el futuro. De esta manera, la cantidad de recursos disponibles sera fruto de una decision administrativa dificil, bajo incertidumbre, la cual requiere de un analisis posoptimo, es decir, es deseable tener informacion de la contribucion economica de los recursos dedicados a la medida de desempeño, Z. Afortunadamente, el M Simplex proporciona esta informacion en la forma de Precios Sombra para los recursos.

PRECIOS SOMBRALos precios sombra del recurso i (denotados por yi*) miden el valor marginal de este, es decir, la tasa a la que Z puede aumentar, si se incrementa (un poco) la cantidad que se proporciona de ese recurso bi. El M Simplex identifica este precio sombra como yi* = coeficiente de la i-esima variable de holgura del renglon 0 en la ultima iteracion.Este coeficiente dice que un incremento individual de 1 en cualquier tope bi, aumentaria el valor de Z en yi*; En el ejemplo de la Wyndor Glass, los coefs de la ec(0) en la ultima iteracion z=0·X1+0·X2+0·X3+3/2·X4 +0·X5

c3=y1* = 0 es el precio sombra del recurso 1; c4=y2* = 3/2 es el precio sombra del recurso 2; c5=y3* = 0 es el precio sombra del recurso 3. Entonces, cuando b2 aumenta en 1 unidad (de 12 a 13 horas a la semana), la solucion optima (2,6) de Z = 36, cambiaria a Z=(36 + 3/2) = 37.5millones;

En este caso la solucion optima cambia a (5/3, 13/2)El incremento de bi debe ser suficientemente pequeño para que el conjunto actual de variables siga siendo optimo, ya que esta tasa (el valor marginal) cambia si el conjunto de variables basicas cambia.

Ahora, observe porque y1* = 0. Es que la restriccion funcional sobre el recurso 1 (x 1 ≤ 4), no atan a la solucion optima (2,6), ya que existe un superavit de este recurso. Por lo tanto, si se suministrara un valor de b1 mas grande que 4, no aumenta el valor de Z. Por el contrario, las restricciones sobre los recursos 2 y 3, (2 •x2 ≤ 12); (3•x1 + 2•x2 ≤ 18) son restricciones de atadura (en las cuales se cumple la igualdad en la restriccion funcional). Debido a que la disponibilidad limitada de estos recursos (b 2 = 12, b3 = 18), atan a Z para que pueda crecer, se refleja en que los precios sombra de estos recursos son positivos, se trata de recursos o bienes escasos, mientras que los recursos disponibles con precios sombra = 0 son bienes libres, o de superavit.

Analisis de Sensibilidad

El proposito principal del analisis de sensibilidad es identificar los parametros del sistema que son sensibles, esto es, aquellos que no pueden cambiar sin modificar la solucion optima. Es necesario controlar muy de cerca los parametros sensibles, en la medida que la planeacion se materializa en la practica.

Adicionalmente, se puede identificar la sensibilidad el sistema a otros parametros como cj y aij. Es comun que se preste mas atencion al analisis de sensibilidad sobre los parametros bi y cj que sobre los aij. En general, el efecto que produce cambiar una variable aij es despreciable en problemas con muchas variables y restricciones, lo cual es comun en problemas reales, mientras que un cambio en un parametro bi o cj puede ser mas notable. En muchos casos, los valores de los coefs aij estan determinados por la tecnologia que se usa, a veces se les da el nombre de coeficientes tecnologicos.

Ejercicio d1: Solucionar los ejercicios aplicando las propiedades de dualidad.Debe ser claro como llevar el modelo a la forma apropiada de Gauss y que operaciones elementales algebraicas empleo. Debe dejar en claro cual es el valor de las variables de decision al fin de la segunda iteracion.Las variables de decision cumplen con condiciones de no-negatividad, excepto X1 que es ≥ 2 en los problemas pares y X1 sin restriccion en los problemas impares.

0. MAX Z = 2X1+3X2, sujeto a: X1+ 2X2 ≤ 4 2X1+X2 =3

9. MIN Z = X1 + 4X2 + 2X3, sujeto a: 4X1+ X2+ X3 ≤ 5 –X1+X2+2X3 = 10

8. MAX Z = 4X1+2X2+3X+5X4, sujeto a: 2X1+ 3X2+ 4X3 + 2X4 = 300 8X1+ X2+ X3 + 5X4 = 300

7. MIN Z = 3X1+2X2 +7X3, sujeto a: – X1 +X2 = 10 2X1 –X2 + X3 ≥ 10

6. MIN Z = 2X1 +3X2 +X3, sujeto a: X1+ 4X2+ 2X3 ≥ 8 3X1+ 2X2 ≥ 6

5. MIN Z = 3X1+2X2 + 4X3, sujeto a: 2X1 + X2 +3X3 = 60 3X1 +3X2 + 5X3 ≥ 120

4. MAX Z = 90X1+70X2, sujeto a: 2X1+ X2 ≤ 2 X1 – 2X2 ≥ 2

3. MIN Z = 2X1+ X2 + 3X3, sujeto a: 5X1+ 2X2 + 7X3 = 420 3X1+ 2X2+ 5X3 ≥ 280

2. MIN Z = 5000X1+7000X2, sujeto a: 2X1 + X2 ≥ 1 X1 +2X2 ≥ 1

1. MAX Z= 2X1+ 5X2 + 3X3, sujeto a: X1 –2X2 + X3 ≥ 20 2X1+ 4X2+ X3 = 50

Alterno MAX Z = 10X1 –4X2 +7X3, sujeto a: 3X1 –X2 +2X3 ≤ 125 X1 –X2 + 3X3 ≤ 25

5X1 +X2 + 2X3 ≤ 40X1 +X2 + X3 ≤ 902X1 –X2 + X3 ≤ 20

Ejercicios d2: Trabajo Individual, entregar en la proxima clase.

1.Plantear el problema Dual a traves del Metodo CER.Min Z = 10X1 –4X2 +7X3, sujeto a: 3X1 –X2 +2X3 ≥ 125

X1 –X2 + 3X3 ≥ 255X1 +X2 + 2X3 ≥ 40X1 +X2 + X3 = 902X1 –X2 + X3 ≥ 20

con X1 sin restriccion de signo, X2 y X3 no negativos

2.Dado el problema MAX Z = 4X1 +3X2 +6X3 s.a. 3X1 +X2 + 3X3 ≤30,2X1 +2X2 + 3X3 ≤ 40,

con restricciones de no-negatividad en las variablesy la solucion (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 10, 6+2/3, 0 ,0)Hallar la solucion del problema dual

3.Problema primal, Min Z = X1 + 4X2 + 2X3, sujeto a: 4X1+ X2+ X3 ≤ 5

–X1+X2+2X3 = 10, con todas las variables ≥ 0.

Plantear el Dual, resolverlo y desde la f.o. en su ultima iteracion, obtener la solucion del primal.