Post on 04-Jun-2018
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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CAPÍTULO 6 EL CAMPO MAGNÉTICO EN LA MATERIA
Materia ⇒ constituida por cargas en movimiento @T=0K ⇒ Vibraciones atómicas considerables;
movimiento de electrones a grandes velocidades alrededor de los núcleos; conjunto de partículas cargadas en movimiento dinámico.
B ⇒ Interactúa con la materia
B ⇒ Campo promedio macroscópico
m ⇒ momento dipolar magnético modelo de la materia
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El dipolo magnético: Expansión multipolar del potencial vectorial:
dipolo + cuadrupolo + octopolo + ...
el término monoplar es cero Término dipolar —dominante:
( )o oo 2 2
o o
I I(r ) r cos d ˆ d
4 r 4 rµ µ
= θ = •π π∫ ∫1 oA l r r lÑ Ñ
( )[ ] ( ) ( )d ˆ ˆ d ˆ d• = • + •o o or r r r r r r r r
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( )[ ] ( ) ( )d ˆ 0 ˆ d ˆ d• = = • + •∫ ∫ ∫o o or r r r r r r r rÑ Ñ Ñ
( ) ( )oˆ d ˆ d• = − •∫ ∫or r r r r rÑ Ñ
Del doble producto cruz:
( ) ( ) ( )ˆ d ˆ d ˆ d× × = • − •∫ ∫ ∫o o or r r r r r r r rÑ Ñ Ñ
( ) ( )ˆ d 2 ˆ d× × = − •∫ ∫o or r r r r rÑ Ñ
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r
r+dr dr=dl
I
( ) ( )1ˆ d ˆ d
2• = − × ×∫ ∫o or r l r r lÑ Ñ
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( )oo 2
o
I 1(r ) ˆ d
24 rµ
= − × × π ∫1 oA r r lÑ
( ) ( )o oo 2 2
o o(r ) ˆ ˆ
4 r 4 rµ µ
= − × = ×π π
1 o oA r m m r
momento dipolar magnético:
( )1I d
2= ×∫m r lÑ
Integral ⇒ doble del área del lazo de corriente
Unidades: corriente por área ⇒ Am2
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Para un lazo de corriente en un plano:
m = IA
A ⇒ área del lazo
dipolo ideal ⇒ I→∞ y A→0 con m=cte. Campo magnético dipolar:
o2
ˆ(r, ) (r)
4 rµ × θ = ∇ × = ∇ × π
1m r
B A
o2
msen ˆ4 rµ θ = ∇ × π
φ
( )ˆˆm m cos ˆ sen= = θ − θm k r θ
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ˆ ˆˆ r rsenˆˆ m cos msen 0 msen
1 0 0
θ× = θ − θ = θ
rm r
θ φφ
( )o3
m ˆ(r, ) 2cos ˆ sen4 rµ
θ = θ + θπ
B r θ
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Dipolo en campo magnético externo: Tiende a alinearse con el campo
z
y
βm
IFM-I
FM-III
h
h
I
I
x
y
I
I
I
II
II
III
IV
B
B
Corte seccional Visto desde arriba
FM-I
FM-III
FM-IV
FM-II
Fuerza magnética sobre el lazo:
I(d )= ×∫MF l B
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Sub-trayectoria I: ˆd dx=l i
ˆ ˆ ˆˆd dx 0 0 dxB
0 0 B× = = −
i j kl B j
( )S / 2 S / 2
M I
S / 2S / 2
S Sˆ ˆ ˆI dxB IB x IB2 2
− −
−
= − = − = − − −
∫F j j j
M IˆIBS− =F j
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Sub-trayectoria II: ˆ ˆd cos dy sen dz= β + βl j k
ˆ ˆ ˆˆd 0 cos dy sen dz Bcos dy
0 0 B× = β β = β
i j kl B i
( )S / 2 S / 2
M II
S / 2S / 2
ˆ ˆI Bcos dy IBcos y
− −
−
= β = β
∫F i i
M IIS S ˆ ˆIBcos IBScos2 2−
= β − − = − β
F i i
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Sub-trayectoria III: Por simetría con I:
( )S/2
M III
S / 2
ˆ ˆI dxB IBS−
−
= − = −∫F j j
Sub-trayectoria IV: Por simetría con II:
( )S / 2
M IV
S/2
ˆ ˆI Bcos dy IBScos−
−
= β = β∫F i i
Fuerza neta:
Mˆ ˆ ˆ ˆIBS IBScos IBS IBScos 0= − β − + β =F j i j i
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Fuerzas en I y III; distintos centros de acción: ⇒ Torque
M= ×N h F
h = distancia perpendicular de la línea de acción al origen
Para el lado I:
( )I M Iˆ ˆˆIBS h IBSh−= × = × − =N F h j k i
Para el lado III:
( )III M III ˆ ˆˆIBS h IBSh−= × = − × =N F h j k i
Torque total:
I IIIˆ ˆ ˆIBSh IBSh 2IBSh= + = + =N N N i i i
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Sh sen
2= β
2S ˆ ˆ2IBS sen IBS sen
2 = β = β
N i i
2m IS=
ˆmBsen= β = ×N i m B
m tiende a alinearse con B
Para campo externo no uniforme:
( )M = ∇ •F m B
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Ejemplo 50.- Fuerza entre imanes en barra
z
y
z
m1
m2
( )M1 2 2 1− = ∇ •F m B
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2 2 ˆm= −m k o 11 3
m ˆ(r z, 0)2 zµ
= θ = =π
B k
( ) o 1 o 1 2M1 2 2 3 3
m m mˆ ˆ ˆ ˆmz z2 z 2 z
−µ µ∂ ∂ = − • = − ∂ ∂ π π
F k k k k
o 1 2
M1 2 4m m ˆ3
2 z−
µ=
πF k
o 1 24
m m ˆ ˆ3 g2 z
µ=
πk kM
o 1 243 m m
z2 g
µ=
πM
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Momentos dipolares atómicos: Momentos dipolares en la materia:
♦ electrónico ♦ de spin del electrón ♦ de spin del núcleo
Combinación ⇒ propiedades magnéticas del material Momento dipolar electrónico u orbital: “Giro” del electrón f≈1015 s-1 ⇒ corriente
I = − e
T
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Iv
-e
r
B m
Período de revolución: 2
Tπ
=ω
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e evI
2 2 rω
= − = −π π
Momento dipolar orbital:
( )2ev 1I(área) r ˆ evr ˆ
2 r 2 = = − π = − π
m n n
Ecuación de órbita; B=0:
2 2
2o
1 e v4 rr
=πε em
Ecuación de órbita; B≠0:
2 2
2o
1 e ueuB
4 rr+ =
πε em
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( )2 2euB u v (u v)(u v)r r
= − = − +e em m
u v 2u+ ≈ u v v− = ∆
euB ( v)(2u)r
= ∆em
eBr
v2
∆ =em
2 2 2 21 1 e r 1 e re vr ˆ Bˆ
2 4 4
∆ = − ∆ = − = −
m n n B
e em m
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Signo negativo ⇒ cambio en momento dipolar en dirección opuesta al campo
Cuántica-mecánicamente:
Be
ˆ ˆ2
= − = −µm n nh
c cm mem
l(l 1)= +cm
Magnetrón de Bohr:
µB =
eh2me
= 9.27X10−24Am 2
Modelo clásico:
m = 9.271X10−22 Am2
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Momento dipolar del spin del electrón: ♦Efecto totalmente cuántico (no existe un buen
modelo clásico ni semi-clásico) ♦Spin del electrón ⇒ momento dipolar magnético Componente z del momento dipolar:
µz = −(2.00232)
eh2me
Jz
h ≈ −2µBJzh = −2µB ±
12
= ∓µB
Jz ⇒ proyección en el eje z del momento angular
el momento dipolar del spin se alinea a favor del campo magnético
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Momento dipolar del spin del núcleo: ♦Núcleo ⇒ tiene asociado un spin intrínseco ♦Spin del núcleo ⇒ momento dipolar magnético ♦Valor aproximado:
µN ≈
eh2mp
=µB
1,836
Las propiedades magnéticas de la materia se pueden modelar en base
a la combinación del momento magnético electrónico y el momento
magnético del spin del electrón
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Materiales Diamagnéticos: l Diamagnetismo ⇒ cambio en momento dipolar
electrónico en presencia de un campo externo
l Los momentos dipolares se oponen al campo aplicado (dia=en contra de)
l B es menor dentro del material con respecto al espacio libre (B≈0.99999Bo)
l Todos los materiales presentan diamagnétismo
l Regla general (con muchas excepciones): los materiales con número par de electrones son diamagnéticos
l Si B=0, los dipolos se orientan azarosamente y estadísticamente m=0 (el material no presenta magnetización)
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l Ejemplos de materiales diamagnétcos:
Material # electrones χm hidrógeno 1 -0.22 X 10-8 helio 2 -0.19 X 10-5 grafito 6 -0.60 X 10-5 silicio 14 -0.39 X 10-5 azufre 16 -1.55 X 10-5 cloruro de sodio 28 -3.03 X 10-5 cobre 29 -0.94 X 10-5 germanio 32 -7.68 X 10-5 oro 47 -3.00 X 10-5 bismuto metálico 83 -16.5 X 10-5 gases nobles par
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Materiales Paramagnéticos: l Paramagnetismo ⇒ cambio en momento dipolar
del spin del electrón en presencia de un campo externo
l Los momentos dipolares se alinean con el campo aplicado (para=a favor de)
l B es mayor dentro del material con respecto al espacio libre (B≈1.00001Bo)
l Regla general (con muchas excepciones): los materiales con número impar de electrones son paramagnéticos
l Si B=0, los dipolos se orientan azarosamente y estadísticamente m=0 (el material no presenta magnetización)
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l Ejemplos de materiales paramagnéticos:
Material # electrones χm berilio 4 79.0 X 10-8 oxígeno 8 190. X 10-8 sodio 10 0.85 X 10-5 aluminio 13 1.65 X 10-5 potasio 19 2.08 X 10-5 itrio 39 0.22 X 10-5 cloruro de níquel 45 4.00 X 10-5 tungsteno 74 7.80 X 10-5 platino 78 29.0 X 10-5 cloruro de erbio 85
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Materiales Ferromagnéticos: l Cada átomo tiene un momento dipolar fuerte,
debido a momentos de spin sin compensar
l Los momentos de átomos vecinos se alinean en la misma dirección, formando “dominios”
l Dominios ⇒ regiones con el momento dipolar en una dirección
l Ferromagnético virgen: momento dipolar de cada dominio orientado azarosamente; m=0 si B=0
l Si B≠0, los dominios tienden a alinearse con el campo; m≠0
l B es mucho mayor dentro del material con respecto al espacio libre (B≈4,500Bo)
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l Un material ferromagnético queda magnetizado al remover el campo; m≠0
l El ferromagnetismo desaparece si T>TC (Temperatura de Curie)
l Ejemplos de materiales ferromagnéticos:
Material TC
cobalto 1,131°C fierro 770°C níquel 358°C gadolinio 16°C alnico (aluminio, níquel, cobalto y cobre)
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Materiales Antiferromagnéticos: l Los momentos dipolares magnéticos de átomos
vecinos se alinean antiparalelamente; m=0
l B es casi igual dentro del material con respecto al espacio libre (B≈Bo)
l Se presenta principalmente a bajas temperaturas
l No se les ha encontrado gran aplicación práctica en la ingeniería
l Ejemplos: óxido de níquel (NiO); sulfuro ferroso (FeS); cloruro de cobalto (CoCl2)
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Materiales Ferrimagnéticos: l Alineamiento antiparalelo de los momentos
dipolares magnéticos netos de átomos vecinos, pero m≠0
l Si B≠0, hay un gran alineamiento de los dipolos con el campo
l B es mucho mayor dentro del material con respecto al espacio libre, pero no tanto como en los ferromagnéticos (B≈800Bo)
l Los materiales ferrimagnéticos son malos conductores; corrientes parásitas reducidas ⇒ aplicación fundamental en campos variables con el tiempo; transformadores, antenas, inductores
l Ejemplos: Ferritas (óxidos de Fe): Fe3O4; NiFe2O4; Ni1/2Zn1/2Fe2O4
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Materiales Superparamagnéticos l Superparamagnetismo ⇒ no es un estado magnético
natural
l Matriz de partículas ferromagnéticas (puntos) sobre una superficie no ferromagnética
l Si B≠0, dominios en cada punto se alinean con el campo, pero no hay una alineación de los dominios de puntos vecinos
l Gran proliferación de materiales superpara-magnéticos en nuestra vida cotidiana
l Ejemplos: todos los medios magnéticos de almacenamiento de información; cintas para audio, video y datos; discos flexibles y rígidos; tiras magnéticas en tarjetas bancarias y boletos
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Almacenamiento de información; analógica y digital:
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Magnetización: Magnetización ⇒ momento dipolar magnético por unidad
de volumen:
M =
lim∆τ → 0
m∆τ
Unidades ⇒
Am 2
m3=
Am
Potencial debido a material magnetizado:
( )o2
ˆ( )4
µξ = ×
πξ1A m ξ
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o2
ˆ( ) d
4µ ×
ξ = τπ ξ∫1
MA
ξ
ˆ1 ∇ = ξ ξ 2ξ
∇ ⇒ actuando sobre coordenadas de integración
A1(ξ) =
µo4π
M × ∇1ξ
dτ∫
M × ∇
1ξ
=
1ξ
∇ × M( )− ∇ ×
Mξ
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o 1( ) d
4µ ξ = ×∇ τ π ξ ∫1A M
( )o 1d
4 µ = ∇ × −∇× τ π ξ ξ ∫ M
M
d d ∇× τ = − × ξ ξ ∫ ∫M Ma
o o d( ) d
4 4µ µ∇× ×
ξ = τ +π ξ π ξ∫ ∫1
M M aA
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Densidad volumétrica de corriente de magnetización:
m = ∇ ×J M Densidad superficial de corriente de magnetización:
m ˆ= ×K M n Potencial debido a material magnetizado:
o om m( ) d da4 4µ µ
ξ = τ +π ξ π ξ∫ ∫1
J KA
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Las densidades de corriente de magnetización son REALES:
r̂
k̂M=M
φ̂K=Km
Constituyen corrientes parásitas
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Ley de Ampere:
J’ = J + Jm
( ) mo o
1'
∇× = ∇ × = = + µ µ
BB J J J
o
∇ × = + ∇ × µ
BJ M ⇒
o
∇ × − = µ
BM J
Vector H:
o≡ −
µB
H M
Unidades ⇒ Am
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Ley de Ampere:
∇ × =H J encd I• =∫ H lÑ
Medios lineales, isotrópicos y homogéneos:
m= χM H
χm ⇒ susceptilidad magnética del medio (adimensional)
χm <0 para medios diamagnéticos
χmo =0 en el espacio libre
χm >0 para los demás medios
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mo o
= − = − χµ µB B
H M H
( )o m1= µ + χ = µB H H
Permeabilidad magnética del medio:
µ = µo 1+ χm( )
Unidades ⇒
N
A2
Permeabilidad relativa:
( )m mo
k 1µ
= = + χµ
(adimensional)
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km <1 para medios diamagnéticos
kmo =1 en el espacio libre
km >1 para los demás medios
Ley de Ampere en medios LIH: 1) H debe ser paralelo o perpendicular al lazo
amperiano en todo punto. Esta condición implica que debemos conocer la dirección de H a priori.
2) H debe ser constante en el lazo amperiano usado.
Esta condición se cumple para líneas y planos infinitos con distribución de corriente uniforme.
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Ejemplo 51.- Solenoide ideal.
z
y
x
dl
I
H
µ
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De la Ley de Ampere:
encd I• =∫ H lÑ
( )encI NI nl I= =
Si el núcleo del solenoide es LIH, cumple con las condiciones de la ley de Ampere:
d Hdl Hl NI• = = =∫ ∫H lÑ
ˆnI=H k
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( )o m1= µ = µ + χB H H
ˆnI= µB k Solenoide sin núcleo (espacio libre):
o ˆnI= µB k
Generalizando: Para medios LIH, la solución es exactamente igual a la del espacio libre siempre y
cuando: oµ ⇒ µ
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Condiciones de frontera:
β
α
dl
2
1H1
H2
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De la ley de Ampere:
2 1d d d• = • + • =∫ ∫ ∫H l H l H lÑ
( )2t 1t 2t 1tH dl H dl H H dl− = −∫ ∫ ∫
encI Kdl= ∫
( )2t 1tH H dl Kdl− =∫ ∫
2t 1tH H K− =
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Las componentes tangenciales del vector H son discontinuas si existe una densidad superficial de
corriente K entre los medios Si los medios son LIH:
2t 1t
2 1
B BK− =
µ µ
Si K=0:
22t 1t
1B B
µ=
µ
Las componentes tangenciales de B son siempre
discontinuas al cambiar de medio
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0∇ • =B
2n 1nB B=
Las componentes normales de B son siempre continuas al cambiar de medio
En resumen, condiciones de frontera:
( )ˆ 0• − =2 1n B B
( )ˆ × − =2 1n H H K
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Histéresis: Ferromagnéticos ⇒ no lineales
B(B) f
H∂ µ = ∂
Ciclo de Histéresis: Representa pérdidas de energía: El campo B le cede energía al material para cambiar la orientación de los dipolos, pero esta energía no “regresa” al campo; se disipa en el medio (en forma de calor).
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M o B
H o Ia
cb
g
fe
d
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RESUMEN GLOBAL: ELECTROMAGNETOSTÁTICA
Ecuaciones de Maxwell (caso estático): Forma diferencial: ∇ • = ρD (Ley de Gauss) 0∇ × =E (Ley de Faraday) 0∇ • =B ∇ × =H J (Ley de Ampere)
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Forma integral:
d d• = ρ τ∫ ∫D aÑ (Ley de Gauss)
d 0• =∫ E lÑ (Ley de Faraday)
d 0• =∫ B aÑ
d d• = •∫ ∫H l J aÑ (Ley de Ampere)
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Ecuaciones de los materiales:
o= ε +D E P
o= −
µB
H M
En medios LIH:
= εD E
=µB
H
Ley de Lorentz:
( )[ ]q= + ×EMF E v B
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Condiciones de frontera:
( )ˆ • − = σ2 1n D D
( )ˆ 0× − =2 1n E E
( )ˆ 0• − =2 1n B B
( )ˆ × − =2 1n H H K Relatividad:
marco de referencia⇐ ⇒E B
mismo fenómeno observado desde distintos puntos de vista