Tercera sesión

Repaso de Estructura de la Materia (2)

Sesiones de prácticaJueves

13, 20 y 27 de marzo; 3, 10 y 24 de abril; 8 y 22 de mayoDe 18:00 a 19:30 h

En el Salón Inteligente.

Repaso de matemáticas

• Sistemas de coordenadas– Coordenadas cartesianas– Coordenadas esféricas polares– Coordenadas cilíndricas– Coordenadas elipsoidales confocales

• Determinantes– Evaluación de determinantes: método de

cofactores– Propiedades de los determinantes

Repaso de matemáticas (2)

• Notación de sumatoria y producto• Vectores

– Vectores unitarios– Operaciones con vectores– Derivación de vectores– Ecuaciones vectoriales

• Números complejos– Complejo conjugado– Fórmula de Euler

Repaso de matemáticas (3)

• Operadores– Álgebra de operadores– El conmutador– Operador nabla– Operador Laplaciano– Operadores complejos– Operadores lineales

• Ecuaciones de valores propios

Repaso de matemáticas (4)

• Propiedades de simetría de funciones y sus integrales– Funciones pares e impares– Integrales de funciones simétricas

• Probabilidad– Funciones discretas y funciones continuas– Funciones de probabilidad. Densidad

Repaso de física

• Mecánica clásica

• Principio de correspondencia

• Sistemas conservativos– Constantes de movimiento

• Movimiento armónico simple (a la Newton)

Repaso de física (2)

• Formas lagrangiana y hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento– Coordenadas, velocidades y momentos

generalizados– Lagrange: 3N ecuaciones diferenciales de

segundo orden.– Hamilton: 6N ecuaciones de primer orden– La Función de Hamilton es la Energía total del

sistema

Repaso de física (3)

• Coordenadas internas y movimiento del centro de masa– Masa reducida

• Supuestos básicos de la Mecánica Clásica:

Supuestos básicos de la mecánica clásica

1. No existe límite en la exactitud con las que se pueden medir simultáneamente varias variables de un sistema clásico, excepto la limitación impuesta por la precisión del instrumento de medición.

2. No existe restricción en el número de variables dinámicas que pueden ser medidas simultáneamente con exactitud.

3. Dado que las expresiones para la velocidad son funciones contínuas de la variable tiempo, la velocidad y, en consecuencia, la energía cinética, pueden variar continuamente. Es decir, no existen restricciones para los valores que puede tomar una variable dinámica.

Repaso de Estructura de la Materia

• Espectro electromagnético– Ecuación de las ondas: c=

• Espectros atómicos

• Espectro del átomo de Hidrógeno

Átomo de Hidrógeno

Ecuación de Balmer

1

22

581.677,109

;1

211

cmR

Znn

R

Johann Jakob Balmer (1825-1898)

Ecuación de Balmer

• La ecuación de Balmer predice de manera cualitativa la forma de los espectros de otros átomos además del Hidrógeno, especialmente los espectros de los metales alcalinos.

• Para estos últimos se reemplaza la constante de Rydberg por otras constantes.

• (Por eso a veces se pone RH).

Tarea 13

• Calcule la posición de las líneas para el átomo de Hidrógeno en unidades R para n2= 3, 4, 5, 10, 100, . Grafique estos resultados a lo largo de una escala horizontal para 1/λ. Note que las líneas convergen a un valor límite. Este valor límite se conoce como límite de la serie.

Espectros atómicos (3)

• Características notables:– Los átomos no absorben o emiten de manera

continua, sino solo a frecuencias muy precisas.

– El espectro de cada tipo de átomo es altamente característico. De hecho, la mejor prueba de la presencia de un elemento en una muestra es su espectro.

cualquier teoría atómica debería explicar los dos hechos anteriores.

Radiación de un Cuerpo Negro

• Cuando se enciende una estufa eléctrica, la resistencia emite una radiación.

• Si el calor es débil, la radiación puede ser detectada si ponemos la mano a una cierta distancia (con el tacto, no con la vista).

Radiación de un Cuerpo Negro (2)

• Si aumentamos el grado de calentamiento, la resistencia empezará a brillar:– Primero con un color rojo.– Luego blanco.– Y azul (si el la temperatura es muy alta).

• El cambio de color es una evidencia de que la distribución de frecuencias depende de la temperatura.

Radiación de un Cuerpo Negro (3)

Radiación de un Cuerpo Negro (4)

Radiación de un Cuerpo Negro (5)

• Con mecánica estadística clásica se puede calcular el número de ondas luminosas entre las frecuencias y d en una caja de volumen V:

)1...(8

3

2

cdV

dg

Radiación de un Cuerpo Negro (6)

• Para calcular la distribución de frecuencias con la temperatura Rayleigh y Jeans supusieron que cada onda electromagnética tenía su valor clásico de energía kT, donde k es la constante de Boltzmann.

k = 1,3806488(13)×10−23 J K−1

• Que surge del llamado Principio de Equipartición de la Energía

Principio de Equipartición de la Energía

• Mecánica estadística clásica. Una forma de expresarlo es:

• “Existe una contribución a la energía de ½ kT por cada término cuadrático que aparece en la expresión de la energía de los componente microscópicos que constituyen el sistema”

Principio de Equipartición de la Energía (2)

• Dado que la energía clásica de una onda luminosa es proporcional a la amplitud de la onda eléctrica más la amplitud de la onda magnética:

E (AE2 + AH

2)

• existen 2 términos cuadráticos y la contribución a la energía del sistema será kT.

Radiación de un Cuerpo Negro (7)

• Con lo anterior, y la ecuación (1) por unidad de volumen conducen a la ecuación de Rayleigh y Jeans:

dckT

dT 3

28,

Radiación de un Cuerpo Negro (8)

Max Planck (1858-1947)

• Premio Nóbel en 1918.• En 1900, desechando el

Principio de Equipartición de la Energía propuso que la energía de los osciladores solamente podía ser emitida en cantidades discretas y no en cualquier cantidad.

El cuantoE E = h

• h – constante de Planck• h = 6.62 x 10-27 ergseg• En esa época, esta suposición ad hoc no

tenía precedente y se justificaba exclusivamente porque daba la respuesta correcta.

• Nació la idea de que puede haber estados de energía discretos.

Radiación de un Cuerpo Negro (9)

• Con la hipótesis anterior, la ecuación para la radiación de un cuerpo negro (“Ley de Radiación de Planck”) quedaría:

dech

dT kTh 1/3

3

18

,'

Radiación de un Cuerpo Negro (10)

Efecto Fotoeléctrico

Efecto Fotoeléctrico (2)

1. No hay emisión de electrones hasta que la frecuencia de la luz es superior a un cierto valor. Esta frecuencia mínima se conoce como frecuencia umbral. Y es característica de cada metal.

2. Con frecuencias de luz mayores a la umbral, los electrones son emitidos con una cierta energía cinética, independiente de la intensidad de la luz incidente, pero proporcional a su frecuencia.

Efecto Fotoeléctrico (3)

Efecto Fotoeléctrico (4)

Efecto Fotoeléctrico (5)

• La frecuencia umbral es una propiedad de cada metal.

Usos del efecto fotoeléctrico

• Elevadores.

• Cámaras de TV.

• Cámaras fotográficas

• Relojes y calculadoras solares.

• Cámara de TV antigua. Los tres objetos enfrente de la muchacha son celdas fotoeléctricas de Selenio.

Albert Einstein (1879-1955)

• Premio Nóbel en 1921.

• En 1905 propuso una explicación al efecto fotoeléctrico basado en la idea de Planck.

Efecto Fotoeléctrico (6)

•Conservación de la energía:

h = W + T

h – energía de la luz incidente

W – función trabajo del metal

T – energía cinética de los electrones emitidos

W = h0

Efecto Fotoeléctrico (7)

h = h0 + T

0 – frecuencia umbral

• O:

T = h - h0

Efecto Fotoeléctrico (8)

Tarea 14

• La función trabajo para el Ni metálico es 8.05 x 10-19 J ¿Cuál es el valor de la longitud de onda umbral para este elemento?

Tarea 15

• La longitud de onda umbral para el Rb es de 574 nm– Calcule la función trabajo del Rb.– Si el Rb se irradia con luz de 420 nm ¿Cuál

es la energía cinética de los electrones emitidos?

Tarea 16

• Un metal tiene una longitud de onda umbral de 7500 Ǻ ¿Cuál será la velocidad de los electrones emitidos si se ilumina con luz de 5000 Ǻ?

Tarea 17

• Se observa que la radiación que tiene longitudes de onda mayores a 6500 Ǻ no libera electrones de una superficie de Cs no importando que tan intensa sea la radiación ¿Cómo se explica esta observación?

Átomo de Rutherford

• El átomo de Rutherford es inestable El átomo de Rutherford es inestable porque toda partícula cargada acelerada porque toda partícula cargada acelerada irradia energía.irradia energía.

La Vieja Teoría Cuántica

Modelo Atómico de Bohr

Niels Bohr

• (1885-1962)(1885-1962)

• Premio Nóbel en Premio Nóbel en 1922.1922.

• En 1913:En 1913:

Postulados del Modelo de Bohr

•Postulado 1 (o de Rutherford):

“El átomo consta de una parte central llamada núcleo en la que se encuentra localizada la carga positiva, así como, la casi totalidad de la masa. En torno a este núcleo central y a una gran distancia de él giran los electrones en órbitas circulares.”

¿A una gran distancia?

• Tamaño de los átomos:

~10-10 m

~10-8 cm

~ Ǻ

• Tamaño de los núcleos::

~10-14 m

~10-12 cm

Comentario (hidrogenoides)

Comentario (2)

2

2

er

Ze F

r

mv F

2

c

Comentario (3)

r

mv

r

Ze 2

2

2

1 ... mv

Ze r

2

2

Postulado 2

•(De la cuantización del momento angular del electrón):

“El momento angular del electrón está cuantizado, de tal manera que de las infinitas órbitas dadas por la ecuación solo son posibles aquellas en las que su momento angular es un múltiplo entero de h/2π (ħ)”

Comentario

• Momento lineal:

p = mv

• Momento angular:

L = r p

L = | r || p | sen Θ

Comentario (2)

• En un círculoΘ = 90ºsen 90º = 1L = mvr

mvr = nħ

n entero positivo

Comentario (3)

mr

n v

Veamos cuales órbitas nos quedan:

•De :

•En :

22

22

2

rmn

m

Ze r

Comentario (4)

• Por la regla de la tortilla:

22

222

mn

rmZe r

Despejando r:

mZe

n r

2

22

Comentario (5)

con n entero positivo• ħ, e y m son constantes, llamaremos a

la nueva constante a0 o radio de Bohr

• Se puede calcular el valor de a0 y da 0.529 Ǻ o 5.291772083(19)×10-11 m

1 Å = 10-10 m = 10-8 cm

mZen

r 2

22n

Comentario (6)

• Por lo tanto:

Zan

r0

2

n

Y en Ǻngstroms

)529.0(Zn

r2

n

Radios de las órbitas en el H

• Para el Hidrógeno: Z = 1

Si n=1, r1 = a0 = 0.529 Ǻ

Si n=2, r2 = 4a0=2.116 Ǻ

Si n=3, r3 = 9a0= 4.761 Ǻ

Otros hidrogenoides

He+

Z = 2

r1 =0.529/2=0.2645Ǻ

r2 =1.058 Ǻ

U91+

Z = 92

r1 =0.529/92=0.00575Ǻ

Postulado 3

•(De la cuantización de la energía):

“ Cuando el electrón se encuentra en órbita permitida no irradia energía. Se vale pasar de una órbita permitida a otra en cuyo caso, el gasto de energía será

ΔE = Ef – Ei = h ”

Comentario

r

Ze

2

mv E

)atracción(r

Ze- V

2

mv T

V T E

22

2

2

Comentario (2)

• De la ecuación r

Ze mv

22

Entonces:

r

Ze

2r

Ze E

22

• Teorema Virial V = -2T

Comentario (3)

• Y:

2r

Ze- E

2

• Y, como consecuencia del segundo postulado, “r” está cuantizado, por lo tanto, E debe estar cuantizada.

Comentario (4)

2

2

2

4

22

22

2

22

n

Z

2

me- E

n

mZe

2

Ze - E

mZe

n r

eVnZ

E

molKJme

molKcalme

eVme

n )6.13(

/13122

/3132

6.132

2

2

2

4

2

4

2

4

• n entero positivo (es un número cuántico)

Hidrógeno

E1 = - 13.6 eV

E2 = - 3.4 eV

E3 = - 1.51 eV

Niveles de Energía

• Estado base, o basal, o fundamental: el de menor energía.

• Estados excitados: el resto.

Niveles de Energía y Radio

Otros Hidrogenoides

• He+

• Z = 2

E1 = - 22/12 (13.6 eV) = -54.4 eV

E2 = - 22/22 (13.6 eV) = -13.6 eV

Teorema de Koopmans

• Tjalling C. Koopmans: Premio Nobel de Economía 1975.

• Energía de ionización

(EI)n = - En

Comentario a la segunda parte del 3er postulado

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (2)

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (3)

2f

2i

3

422

2f

2i

2

422

2i

2f

2

422

2

22

2i

2f

2

42

if

n

1

n

1

h

me2Z

hn

1

n

1

h

me2Z E

:O

hn

1

n

1

h

me2Z- E

4

h;

2

h

hn

1

n

1

2

meZ- E

h E - E E

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (4)

HR

ch

2

n

1

n

1

hc

2

1;

c

3

42

2f

2i

3

422

me

meZ

• RH – Constante de Rydberg

• RH = 109,677.581 cm-1

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (5)

2f

2i

2H

2f

2i

2H

n1

n1

cZR

n1

n1

ZR

Frecuencia de la radiación electromagnética en los espectros

Si n=2: Ecuación de Balmer

Espectros

Absorción y Emisión

Átomo de H

Tarea 18

a) Calcule la longitud de onda, la frecuencia y el número de onda de las primeras cinco líneas de la serie de Lyman para el átomo de Hidrógeno.

b) Dibuje el espectro en papel milimetradoc) ¿Cuál es el número de onda del límite de

la serie?d) ¿Cuál es el significado físico del límite

de la serie?

Tarea 19

a) Encuentre la longitud de onda de la línea espectral que corresponde a la transición de n = 6 a n = 3 para el ión F8+

b) ¿Cuáles son los potenciales de ionización de los estados n = 6 y n = 3

c) ¿Cuál es la diferencia de energía entre estos dos estados?

Indique el color de la luz emitida cuando el electrón del átomo de Hidrógeno desciende de la quinta a la segunda órbita.

Tarea 20

Limitaciones de la vieja teoría cuántica

• Si el modelo de Bohr se quiere aplicar a átomos que no son hidrogenoides, las frecuencias de los espectros dan mayores a las experimentales (se necesitaría una constante de Rydberg para cada átomo).

Hipótesis de De Broglie

• Príncipe Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987).

• Premio Nóbel en 1929.

• En 1924:

Hipótesis de De Broglie (2)

Planck E = h Ondas

Einstein E = mc2 Partículas

• Para la luz:

h = mc2

h = mcc = pfc

• pf – momento de un fotón

Hipótesis de De Broglie (3)

λ = c/ = h/p

λ = h/p

Hipótesis de De Broglie (4)

• Para cualquier partícula:

p = mv• Longitud de onda

de De Broglie• Longitud de onda

asociada a una partícula

Hipótesis de De Broglie (5)

• La teoría de los cuanta de Einstein es más general es decir, no solo la luz tiene propiedades particulares y ondulatorias, sino que cualquier partícula tiene asociada una onda.

• Cualquier objeto en movimiento, no importa su masa, tiene asociada una longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie.

Las partículas se difractan

• George Paget Thomson, Clinton Davisson y Lester Germer.

• Premio Nóbel en 1937.

• En 1927: difracción de electrones.

Las partículas se difractan (2)

• Condición de difracción:

λ ~ d

PartículaPartícula Masa Masa [g][g] Velocidad Velocidad [cm seg[cm seg-1-1]]

λλ [Ǻ ][Ǻ ]

ee-- (1 volt) (1 volt) 9.19.11010-28-28 5.95.9101077 1212

ee-- (100 volt) (100 volt) 9.19.11010-28-28 5.95.9101088 1.21.2

ee-- (104 volt) (104 volt) 9.19.11010-28-28 5.95.9101099 0.120.12

pp++ (100 volt) (100 volt) 1.671.671010-24-24 1.381.38101077 0.0290.029

α α (100 volt)(100 volt) 6.66.61010-24-24 6.96.9101066 0.0150.015

α α (de Ra)(de Ra) 6.66.61010-24-24 1.511.51101099 6.66.61010-5-5

Bala (.22)Bala (.22) 1.91.9 3.23.2101044 1.11.11010-23-23

Pelota de Pelota de BeisBeis

140140 2.52.5101033 1.91.91010-24-24

Hipótesis de De Broglie (6)

• La confirmación de la hipótesis de De Broglie acabó con la polémica de si los electrones y los fotones eran partículas u ondas.

• Cualquier objeto tiene propiedades de onda (como la λ) y propiedades de partícula (como la masa).