Unidad N° 3: Geometría

Transformaciones Isométricas

Objetivos de la Unidad□Identificar y caracterizar el plano cartesiano.□Ubicar puntos y planos en el plano cartesiano.□Representar y caracterizar vectores en el

plano cartesiano.□Caracterizar simetrías y rotaciones en el plano

cartesiano.□Realizar traslaciones utilizando vectores en el

plano.□Construir manualmente simetrías, traslaciones

y rotaciones para verificar las regularidades producidas en el plano cartesiano

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Plano cartesiano□El plano cartesiano está formado por

los ejes cartesianos X e Y,

perpendicularmente entre sí y el

origen (0,0) que corresponde al

punto de intersección entre ellos. El

eje X es el eje de las abscisas, el

eje Y de las ordenadas.3

Los ejes cartesianos dividen el plano en

cuatro regiones llamados cuadrantes,

numerados I, II, III y IV. Se ubican

partiendo de arriba a la derecha y

siguiendo el sentido contrario a las agujas

del reloj

4

5

Notación de un punto en el plano cartesiano

□La notación de un punto en plano cartesiano se escribe P(X, Y).

Donde □P (o cualquier otra letra) es el nombre del

punto.□X es el desplazamiento del punto en el

eje X, medidos a partir del origen.□Y es el desplazamiento del punto sobre el

Eje Y, medidos a partir del origen.

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Todo punto que se ubica en el eje X es

de la forma (X, 0) y todo punto que se

ubica en el eje Y, es de la forma (0,Y).

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Actividad:

I. Dibuja en tu cuaderno el plano cartesiano considerando para ambos ejes desde -8 hasta 8, y ubica los siguientes puntos.

1.A(5,8)2.B(-3,6)3.D(4,4)4.E(-1,-8)5.G(6,-7)6.H(-8,0)7.J(-3,-4)8.K(-0,5; -2,5) 8

II. Indica en que cuadrante se ubica un punto, según las siguientes condiciones

1.Su abscisa es negativa y su ordenada es

positiva______________________

2.Su abscisa es positiva y su ordenada

negativa.______________________

3.Ambas coordenadas son negativa _______

4.Ambas coordenadas son positivas________

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Vectores en el Plano Cartesiano

□Un vector es un segmento con magnitud,

dirección y sentido definidos.

□Este se denota por o .

□Magnitud: distancia entre el punto inicial

y final del vector.A B

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Dirección: se puede interpretar como la inclinación de la fecha con respecto a la horizontal.

Valdivia

Osorno

11

Sentido: hacia donde se realiza el desplazamiento, indicado por el extremo que corresponde a la cabeza de la flecha.

Sentido hacia la izquierda

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Representación de Vectores en el plano Cartesiano

□Para representar un vector en el plano

Cartesiano se utiliza un par ordenado (X,

Y), llamados componentes del vector.

□La componente X representa el

desplazamiento horizontal positivo

hacia la derecha y negativo hacia la

izquierda.13

X-X

Hacia la derecha positivo

Hacia la izquierda negativo

14

• La componente Y representa el

desplazamiento vertical, positivo

hacia arriba y negativo hacia abajo.

Hacia Arriba Positivo

Hacia Abajo negativo

Y

-Y15

Ejemplo:

Graficar el vector v=(4,3)

x

y

16

A

BD

C

Determina las componentes de los vectores: AB, BC, AC,AD

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Transformación Isométrica

□Una transformación Isométricas es aquel

movimiento que solo modifica la

orientación y/o posición de una figura,

pero mantiene su forma y sus medidas.

Algunas Transformaciones Isométricas que

estudiaremos en este capitulo son:

Traslación Rotación Simetría

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Traslaciones en el Plano Cartesiano

□Se puede considerar una traslación

como el movimiento que se hace al

deslizar una figura, en línea recta,

manteniendo su forma y tamaño.

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Ejemplo:

El triángulo ABC de la figura se traslado según el vector de traslación , obteniéndose como imagen el triángulo A´B´C´.

20

21

En síntesis

En el plano cartesiano, la imagen

de un punto P(x,y) que se

traslada según un vector

corresponde a P’( x +

a, y + b)22

Actividad□Dibuja el triangulo ABC de vértices A(-4,-

3), B(-4,2) y C(-1,2) en el plano cartesiano y trasládalo según los siguientes vectores.

1)

2)

3)

23

Simetrías en el plano cartesiano

□La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano, sin cambiar su forma ni su tamaño.

□Algunos ejemplo de simetría en la vida cotidiana.

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Eje de Simetría

□El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

25

Simetría axial

□Simetría Axial:En la simetría axial cada punto de una figura se refleja respecto de una línea recta llamada eje de reflexión o simetría.

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Simetría con respecto al eje Y

□En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al eje Y corresponde a P´(-X, Y).

A(5, 1) A’ (-

5, 1)

B(4, 5) B’ (-

4, 5)

C( 1, 5) C’ (-

1, 5)

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Simetría con respecto al eje X

□En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al eje X corresponde a P´(X, -Y).

A( 5, 1) A’’

(5, -1)

B( 4, 5) B’’

(4,-5)

C( 1, 5) C’’ (1,

-5)

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Actividad□Determina la simetría de cada punto

respecto al eje indicado.

P(3,2) respecto al eje X.

Q(0,2) respecto al eje X.

R(-3,0) respecto al eje X.

S(-5,-2) respecto al eje Y.

T(-3,0) respecto al eje Y.

U(0, -7) respecto al eje Y.29

Simetría central

□La simetría central es una transformación isométrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijo, llamado Centro de simetría. En las figuras siguientes se observan simetrías central.

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En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al origen es P’(-X, -Y).

Al triángulo ABC se le ha realizado una simetría central

Ejemplo:

A( 2, 2) A’ (-2,

-2)

B( 4, 2) B’ (-

4,-2)

C( 2, 5) C’ (-2,

-5)

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Actividad□Dadas las coordenadas de una figura,

encuentra las coordenadas de su simétrica con respecto al origen, en cada uno de los siguientes ejercicios.

a)A(1,2) ; B(2,4); C(3,5)

b) A(-1,3) ; B(0,-3) ; C(-2,-4)

c) A(0,1) ; B(-3,4) ; C(4,2); D(4,2)

d)A(-1,1) ; B(-2,3); C(-5,2); D(-1,2) 32Profesora Practicante: Carmen Gloria Martinez

Rotaciones

□ La rotación es un movimiento en el que cada punto de una figura gira en torno a otro punto fijo, llamado centro de rotación, en cierto ángulo dado, como se muestra en las siguientes figuras. Además la figura no cambia ni la forma ni el tamaño en dicho movimiento.

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Ejemplo:

□ Observa la siguiente rotación hecha en el plano cartesiano, con centro de rotación en el origen.

□ El triangulo A’ B’ C’ resulta de rotar el triángulo ABC en un ángulo de 90°.

34

En síntesis□ Al rotar una figura con centro de rotación en el

origen del plano cartesiano, en los ángulos 90°, 270° y 180°, encontramos ciertas regularidades que nos sirven para generalizar estas rotaciones.

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Rotación en 90° Rotación en 270° Rotación en 180°

En el plano

cartesiano, la

imagen de un punto

P(X,Y) que rota en

90° con centro en

el origen

corresponde a

P’(-Y, X).

En el plano

cartesiano, la

imagen de un punto

P(X,Y) que rota en

270° con centro

en el origen

corresponde a

P’(Y, -X).

En el plano

cartesiano, la

imagen de un punto

P(X,Y) que rota en

180° con centro

en el origen

corresponde a

P’(-X, -Y).

Actividad

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1. Dado el triángulo de la figura, realiza las transformaciones siguientes indicando, en cada caso, las coordenadas de los vértices de la imagen.

a) Rota el triángulo ABC en 180°.

b) Rota el triangulo ABC en 270°.

37

Fin