Post on 07-Jul-2016
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Trigonometría
Dpto. Pedagógico TRILCE
Derechos de Edición Asociación Educativa TRILCE
Tercera Edición, 2007.
Todos los Derechos Reservados. Esta publicación nopuede ser reproducida, ni en todo ni en parte, niregistrada en, o transmitida por, un sistema derecuperación de información, en ninguna forma y porningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico,magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquierotro, sin el permiso previo de la editorial.
Trigonometría
INTRODUCCIÓN
La Trigonometría es una parte de las Matemáticas que trata de relacionar los ángulos y los lados de un triángulo; fueiniciada por Hiparco, aproximadamente el año 150 a. C. Tiempo después, Tolomeo siguió con estos estudios, basándose en susestudios y de otros personajes de la Astronomía, para crear su sintaxis Matemática llamada Almagesto. Hoy en día, los ingenierosy los físicos ocupan muchas de estas herramientas trigonométricas en su diario actuar, sin quizás conocer quién las crea y cuál es suhistoria, la cual vamos a presentar a continuación.
Este texto de Trigonometría describe, en general, los temas que constituyen un curso de Trigonometría plana de nivel pre-universitario. Supone el conocimiento, por parte del estudiante, de los principios básicos de Geometría Elemental, Álgebra yAritmética.
Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que nos avocamos a la enseñanza de lasMatemáticas en las aulas de la academia o colegio de TRILCE. La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de lasmatemáticas, requiere no solamente de conocimientos teóricos, sino fundamentalmente de la capacidad de resolver situacionesmatemáticas, denominadas, ejercicios o problemas.
La práctica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizar y cimentar los conceptosteóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo del libro, ustedes deberán tener en cuenta las sugerencias planteadas yanalizarlas.
En cuanto a su estructura, el libro se desdobla en capítulos y en todos ellos, primero se aborda la parte teórica, la cual seda en forma de tabla o cuadro sinóptico, y un resumen de formulas y resultados estrechamente relacionados. Una larga experienciaha convencido a los autores de que para los estudiantes es una gran ayuda el uso de tales resúmenes ya que resulta, a inicios, untanto difícil el manejo sistemático de todas las fórmulas .
Cada capítulo contiene 60 problemas, los cuales están dosificados de menor a mayor grado de dificultad, los primeros 20son ejercicios de aplicación directa, dados con la intención de afianzar el uso de los conceptos teóricos, los siguientes 20 problemasson preguntas de exámenes de admisión planteadas en las diversas universidades del medio (UNI, UNMSM, UNAC y PUCP) y los60 problemas restantes son de mayor grado de dificultad que requieren en algunos casos de algunos conceptos de Álgebra oGeometría. De esta manera el libro se hace didáctico y motivará al alumno los deseos de aprender, yendo de lo más simple a lo máscomplejo.
Comenzamos por tratar el uso de las unidades angulares, y sus equivalencias, para poder aplicarlas al cálculo de unalongitud de arco de circunferencia, como también el área de un sector circular y algunos casos más, como es la determinación de lacantidad de vueltas que gira una rueda o dos poleas o más que están trabajando en un sistema.
Después, nos introducimos a la columna vertebral de la Trigonometría que es el estudio de las razones trigonométricas;primero para un ángulo agudo y luego para un ángulo que posea cualquier medida, determinaremos dentro de ellos los valores decada una de ellas por medio del estudio analítico y su representación mediante segmentos de recta dirigidos en la circunferenciatrigonométrica
Esta parte es fundamental ya que los temas siguientes tratarán sobre las diversas identidades que las relacionan, las cualespor cierto son muy numerosas, y que sólo con la constancia en la práctica se podrán dominar, porque un mal entendimiento de losprimeros temas conducirá, inevitablemente, a dificultades continuas en las partes más avanzadas.
Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas que son imprescindibles, a las cuales llamaremos, identidadesbásicas, y otras que son menos importantes; pero se dan con el fin que nos permita resolver situaciones matemáticas de un modomucho mas breve.
Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de las identidades en el estudio de las funciones trigonométricas ya seaen las funciones directas e inversas: al hacer el cálculo de sus dominios y rangos, al resolver una ecuación e inecuación trigonométricao al resolver problemas de figuras geométricas, tan solo con el uso de las razones trigonométricas que relacionan sus elementos.
Finalmente, culminaremos con los temas de: vectores, la línea recta, cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola),en sus posiciones horizontal y vertical. Para el estudio de éstas, en su posición oblicua, abordaremos el tema de la transformaciónde coordenadas. Y terminamos con la aplicación de los números complejos a la Trigonometría.
Tenga presente que el objetivo en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta ylógicamente una determinada definición, propiedad o teorema a cada problema que se esté resolviendo. Solo así, el estudianteencontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil .
TRILCE
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CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - I 1DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.En el triángulo adjunto, tenemos:
A B
C
ab
c
a y c : catetos b : hipotenusa
B : recto
A y C : s agudos
222 bca
A + C = 90º
A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;para A tenemos:a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)Luego se definen :
ba
HCOSenA
bc
HCACosA
ca
CACOTanA
ab
COHCscA
cb
CAHSecA
ac
COCACotA
Por ejemplo:
135
12
512Cot ;
1312Cos
125 Tan;
135Sen
* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cualesconociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados dedicho triángulo. Dos de los más usados son :
45º
45º
1
12
30º
60º
12
3Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
37º
53º
35
4
Trigonometría
10
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
22º30'
67º30'
14 + 2 2
2 +115º
75º
6 - 24
6 + 218º30'
71º30'
110
3
26º30'
63º30'
15
28º
82º
1
716º
74º
725
24
5 2
No olvide además:
30º 37º 45º 53º 60º
Sen 21
53
22
54
23
Cos 23 5
4 22 5
3 21
Tan 33 4
3 1 34 3
Cot 3 34 1 4
3 33
Sec 3
32 45
2 35
2
Csc 2 35
2 45
3
32
* PROPIEDADES:
I . Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados deltriángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:
A
QM
NP B
C
Iguales
ACBCSen
ANMNSen
AQPQSen
II . R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, queexisten tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estasparejas son las siguientes:
1CotTan1SecCos1CscSen
Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 20º
III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudosde un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Estacaracterística la vamos a indicar de la siguiente manera:
TRILCE
11
Si: son agudos; tales que: + = 90ºentonces:
Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc
Por ejemplo: Sen10º = Cos80º Tan20º = Cot70ºSec40º = Cos 50º Cos24º = Sen 66ºTan = Cot (90º ) Sen( + 10º) = Cos (8 )
0º
Si: son agudos; tales que:
entonces:
= 90º
Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc
Por ejemplo: hallar "x", si: Sen (2x + 10º) = Cos3x 2x + 10º + 3x = 90º 5x = 80º x = 16º Otro ejemplo; hallar "x" si: Tan (2x + y) = Cot (x - y)
o
2x + y + x y = 90º3x = 90º x = 30º
Trigonometría
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EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si " " es la medida de un ángulo agudo y se cumple
que: 32Tg ; calcular: Cot12Sen13T
a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple
que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB42ASen65E 2
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30
03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y lacosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.Calcular la longitud del mayor cateto.
a) 20 u b) 30 u c) 40 ud) 50 u e) 60 u
04. Del gráfico mostrado, calcular: "Cot.Cot"
A
B
CE
F
a2a
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3/2
05. Del gráfico mostrado, calcular: "TgwTg" , si: ABCDes un cuadrado.
A
B C
D
E
2a
3a
w
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5
06. Del gráfico, calcular: "Cot" , si: 4,2Cot
A
B C
DE
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
07. Del gráfico, calcular: "Tg" , si: 125Tgw
w
a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2 e) 2,5
08. Calcular: 3Cos3
6Sen6
4Tg4E
a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5d) 8,5 e) 9,5
09. Calcular: º45Secº30Tg2
º45Cotº.60Secº.30CotE22
2
a) 2 b) 2,25 c) 2,5d) 2,75 e) 3
10. Del gráfico, calcular: Cot
A
O B
E
F37º
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "Tg"
A
B
C
M 8
N2
a) 53
b) 5
32c)
73
d) 7
32e)
733
TRILCE
13
12. Del gráfico mostrado, calcular: Tan11
A
B C
DE
F45º
37º
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13. Del gráfico mostrado, calcular: "Cotw" .
a
4a
45ºw
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
14. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg" , si: ABCD es uncuadrado.
A
B C
DE F
37º
a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7d) 3/5 e) 3/8
15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)
a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular: Tgy.Tgx).3
yx(Cot).2
yx(TgE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dichotriángulo mide " ".
Halle el valor de: 1Sen17W 2
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
32
SecBSecA
Calcular :
CtgB3CosA13E
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de susángulos agudos es 0,96.Si su hipotenusa mide 50 m.Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 md) 52 m e) 412 m
24. Calcule el área de la región triangular ABC .Donde: AC = 36m; si, además
26CscC 17CscA
a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2
d) 18 m2 e) 360 m2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 md) 56,33 m e) 55 m
Trigonometría
14
26. De la figura, hallar 2)2Tan(
m
n
2 mn
a) 1 b) 4 c) 2d) 3 e) 0
27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo,sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y elproducto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22.
a) 3 m b) 4 m c) 5 md) 6 m e) 7 m
28. Del gráfico, calcule : Tan .Si: BN = 2AN
A N B
C
45º
M
a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6d) 0,8 e) 0,75
29. Si en el gráfico : AB = BC.Calcule: Tan
A
B
C 53º
M
a) 92
b) 94
c) 32
d) 31
e) 52
30. Del gráfico, obtener Tan
M37º
A
BO
a) 34
b) 43
c) 45
d) 32
e) 54
31. Si:
1nCos2
n2Tan
n3Cscf )x(
Calcular: )2(f
a) 02 b) 12 c) 22
d) 32 e) 0
32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntosmedios de AB, BC y AC, respectivamente.Además: NQ = 2QPCalcular:
TanTan5Tan7K
PA C
B
M N
Q
a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 14
33. Si: 2
x y 1)Tanx( 23Sen
El valor de "q" es: xCtg1
xTan1q2
2
a) 2 b) 32
c) 3
d) 21
e) 31
34. Del gráfico, calcular: CotSi: ABCD: cuadrado.
A
B C
D37º
a) 6 b) 12 c) 9d) 18 e) 14
TRILCE
15
35. Si:Sen 3x . Cscy = 1Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º)Determinar "y - x"
a) 12º b) 18º c) 20ºd) 24º e) 32º
36. Si: Tgx . Tgy = 1Determinar:
3yx2Sec
3yxTan
2yx SenE
a) 36
b) 66
c) 1
d) 35
e) 62
37. Calcular:E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 16
38. Calcule el valor de la expresión:
º80Csc...º30Cscº20Cscº10Cscº80Sec...º30Secº20Secº10SecW
a) 1 b) 2 c) 2d) 3 e) 23
39. Hallar los ángulos agudos y tales que:
)º90(Ctg)º353(Tan
º152
a) 11º y 10º b) 15º y 13ºc) 20º y 17º30' d) 35º y 25ºe) 17º y 16º
40. Siendo:Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º -x + y)Calcule:
K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e) 33
41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormentecon radios R y r.Calcular el cuadrado de la cotangente del ánguloformado por la recta tangente a ambas circunferenciasy la recta que une los centros.
a) 2)rR(Rr4 b) 2)rR(
Rr4
c) 2)rR(Rr2 d) 2)rR(
Rr2
e) 2)rR(Rr
42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.Hallar su área en términos de "m" si:
6Sen2
3tSecta 2
3Cos2
6tCsctb 2
22 m4
Tanmt2t
a) 1m2 b)
22
21m
c)
22
21m
d)
2)1m( 22
e) 1m2
43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple lasiguiente condición:
0)3º30(Ctg)º30(Tan
20m
x
a) m210 b) 10 m c) m35
d) 5 m e) m310
44. Una semicircunferencia de radio )31( cm. se divideen treinta arcos iguales.Calcular la proyección del arco comprendido entre laquinta y décima división sobre el diámetro horizontalen centímetros.
a) 41
b) 21
c) 1
d) 45
e) 2
45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajoun ángulo de 32' y si la distancia del observador a lasuperficie de Sol es 150 millones de kilómetros.Determinar el radio del Sol en millones de kilómetrossabiendo que:
Sen16' = 0,00465
Trigonometría
16
a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395d) 2,629 e) 1,402
46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de susvértices de ángulos iguales se intersecanperpendicularmente.Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es:
a) 31
b) 21
c) 23
d) 101
e) 321
47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ángulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de 1 hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.
a) 85
b) 167
c) 803
d) 409
e) 2513
48. En el trapecio ABCD : BC // AD.Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida delángulo DADC ; el valor de:
K = CscD + CtgD ; es:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
49. En un triángulo rectángulo ABC )º90B( señale elequivalente de:
1
2ACotTanA1
2ATanTanAK
a) ASen2 b) ACos2 c) ATan2
d) ACot2 e) ASec2
50. Si: 3 es un ángulo agudo, tal que:
523Cot
Calcule: 2Cos6Csc5K
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.
Calcule: TanyTanx
Si: 2
EG3
CEAC
A
B
C
D
E
F
M N
x yG
a) 6635
b) 7765
c) 7255
d) 1113
e) 75
52. Del gráfico, hallar: Tannm
A
B C
D
E F p
a) mnpn
b) pnmn
c) nmpm
d) pmnm
e) npnp
53. Si:Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)
2)y4º100(Sen
)º10y4(Cos)yx(Cos
Calcular:
)º10yx(Cosy3Sec)º10x(SecK
22
a) 4 b) 8 c) 16d) 24 e) 32
54. Del gráfico, calcular:
Tan5Cot32K
Si: CD se dibuja con centro en "E"
60º
CB
A D
P
Q
E
a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 10
TRILCE
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55. En el cuadrado ABCD; calcular:
Tan9Tan3K
B C
A D
E
8º
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
56. Sabiendo que:Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1)Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89ºCalcule:
222 Csc)º5y(Tan)º5x2(SecW )º5xy(
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
57. En el cuadrado ABCD, calcular:
Cos5Cos22WSi: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
M
A
B C
D
F
N
E
a) 11 b) 13 c) 64
d) 19 e) 17
58. Sabiendo que:
y2
2x3Cos)º20yx2(Sen
1y34xTany3
2xTan
Calcule:
y3Csc)yx(CscW 22
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 5
59. Del gráfico calcular:)1Csc)(1Csc)(1Csc)(1Csc(W
O1 O2 O3
a) 4 b) 9 c) 16d) 81 e) 100
60. Del gráfico calcule:
CosCos)1Sec)(1Sec(WSiendo "A" centro del arco BD.
D T
O
A C
B
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) 23
Trigonometría
18
Claves Claves 01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
e
d
e
c
b
e
c
d
b
b
d
c
b
c
c
a
b
c
e
c
c
e
a
a
d
d
c
e
b
e
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
c
d
e
b
d
a
a
a
e
d
a
d
b
c
a
d
d
d
e
c
b
a
c
e
d
d
e
c
c
c
TRILCE
19
CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - II 2* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criter io :
conocido) .(T.Rconocido Lado
odesconocid Lado
Casos:
1 .
A B
C
L
BCTanL
BC
AC L
AC
I)
II)
2 .
A B
C
L ABCot
LAB
AC L
AC
I)
II)
3 .
A B
C
L BCSenL
BC
L
AB
I)
II)
Trigonometría
20
* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de lasmedidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
a
b
c
A
B
C
h
2hbSABC
2aSenCbSABC
Sabemos:
pero: h = aSenC
luego:
SenC2
abSABC
SenB2acSABC SenA
2bcSABC
Análogamente
TRILCE
21
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:
K
a) Cos.SenK 2 b) Cos.Sen)2/K( 2
c) Cos.Sen)3/K( 2 d) Cos.Sen)4/K( 2
e) Cos.Sen)5/K( 2
02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe quelos ángulos congruentes miden " " mientras que ellado desigual mide "L". Hallar uno de los ladoscongruentes.
a) Sec2L
b) Csc2L
c) Tg2L
d) Ctg2L
e) Cos2L
03. Obtener "x", en:
m
a) mSen b) mCos c) mSecd) mCsc e) mTg
04. Obtener "x"
A
B
O
R
Hx
a) )Sen1(R b) )1Sec(R
c) )Cos1(R d) )1Csc(R
e) )Tg1(R
05. En la figura, halla "x".
A
B
C
m n
x
a) nCosmSen b) nCosmCos
c) nSenmCos d) nSecmSec
e) nSecmSen
06. Halla "x" en:
A C
BD
x
m
a) TgmSec b) CscmCos
c) CtgmCos d) CosmSen
e) mTg
07. Halla "x":
m
x
a) Cot.mSen b) Tan.mSen
c) Sen.mSen d) Cot.mCos
e) Tan.mCos
08. Hallar "x":
B
A
D
HCm
x
a) 2mSen b) 2mCos
c) CosmSen d) TgmSen
e) CscmSec
Trigonometría
22
09. Hallar "x", de la figura:
x
m
a) Cos.mSen b) Cos.Sen
c) mSen d) mCos
e) mTg
10. Del gráfico, hallar: AC .
B
C A
m n
x y
a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSenyc) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosye) mSeny+nCosx
11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.
A B
CD
x
m
a) )Sen1(m b) )Cos1(m
c) )Tg1(m d) )Ctg1(m
e) )CtgTg(m
12. Obtener "AB":
A
C
B
R
O
a) )CtgCsc(R b) )Ctg1(R
c) )Csc1(R d) )Sen1(R e) 2R+1
13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.
A B
O
R
x
a) RSen b) RCos
c) )Sen1(R d) )Cos1(R
e) )Cos21(R
14. Hallar "x".
m
x
a) SenmSen b) CosmSen
c) CosmCos d) SenmCos
e) CtgmTg
15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a lacircunferencia:
P2
R
a) RCsc b) )1Csc(R
c) )1Tg(R d) )1Ctg(R
e) )1Csc(R
16. Determine "x" en:
A
C
BD
m
x
a) Cos.mSen b) Sec.mSen
c) Ctg.mSen d) Ctg.mCos
e) Tg.mCos
TRILCE
23
17. Hallar "x".
A
B
C
D
a
b
x
a) aCosSen b) CosbSenc) aCosbSen d) bCosaSen
e) bTgaSec
18. Determine el perímetro del triángulo ABC.
A
B
C
m
a) )CosSen1(m
b) )TgSec1(m
c) )CtgCsc1(m
d) )CscSec1(m
e) )CtgTg1(m
19. Hallar: "x" en:
mx
a) CosmCtg b) Cos.mTg
c) SenmTg d) mTg
e) mSen
20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".
x
a)
SenCosSec2
b)
SenCosSen
c)
SenCosSec
d)
CosSenCsc
e)
SenCosSec
21. Del gráfico, determine "x".
m
x
a) Senm b) Cosm c) Secmd) Cscm e) Tanm
22. Determinar CD .
A
B
C D
m
a) SenmTan b) CosmCtg
c) CosmTan d) CscmTan
e) SenmCtg
23. Del gráfico, hallar "x".
m
45°
x
a) 1Tanm b) 1Ctg
m
c) Ctg1m
d) Tan1m
e) )Tan1(m
24. Determine "x" en :
m x
a) SenSenm b) CosSenmc) SecSenm d) SecCosme) SenCosm
Trigonometría
24
25. Determine "x" en:
m
x
a) 2Secm b) 2Cosm
c) 2Senm d) 2Cscm
e) CscSecm
26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
A
B
C
D
x
L
a) 2SenL b) 2CosL
c) )CosSen(L d) CosSenL 2
e) 2CosSenL
27. Del gráfico, hallar "x":
m
x
a) )1Sec(m 2 b) )1Csc(m 2
c) )1Tan(m 2 d) )1Ctg(m 2
e) )CtgTan(m 22
28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.
n
A B
CD
x
a) nSen b) nCos c) CscnTan
d) nCsc e) nCtg
29. Del gráfico, hallar: ED.
A B
C
D
E m
a) mCtg b) mSec c) 2mSec
d) 2mCtg e) 2mTan
30. En el gráfico, hallar MP, en términos de " " y " "; " "
y " ".
M
N
R P
b
a
a) Sec)Cosba( b) Csc)Cosba(
c) Ctg)Tanba( d) Tan)bSeca(
e) Csc)bSena(
31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y elcateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx esigual a:
a) 2TanC b) TanB + TanCc) 2TanB d) TanC + CtgCe) 2(TanC + TanB)
32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al áreadel triángulo ABC.El valor de será:
A B
C
D
a)
21 ArcTan b)
21 ArcCtg
c)
21 ArcTan d)
21 ArcCtg
e) 2ArcTan
TRILCE
25
33. En la región limitada por una circunferencia de radio Ry dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otracircunferencia (de radio menor que R). Si las tangentesse intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A quédistancia de la intersección de éstas, debe encontrarseel centro de la circunferencia inscrita?
a)
Sena1Sena1
SenaR b)
Sena1Sena1
SenaR
c) Sena1R
Sena d) Sena1Sena
R
e) Sena1Sena
R
34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y,
O A
B
COA = x
AC = y
a) ySenxCosOB
yCosxSenBC
b) ySenxCosOB
xCosySenBC
c) ySenxCosOB
yCosxSenBC
d) ySenxCosOB
xSenyCosBC
e) ySenxCosOB
yCosxSenBC
35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O, ARD ; AB//RS , AB=a.Hallar el radio de la circunferencia.
O
A
B C
D
S
R
a) Cos2a b) Cos2a
c) Sen2a
d) aSen
e) Cos21a
36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego Senes:
A B
CD
E
F
a) 6
53 b)
653
c) 6
53 d)
653
e) 6
53
37. En la figura mostrada, son conocidos: , y h.Entonces los valores de x e y son dados por:
y
h
x
a)
TanTan
Tanh y; TanTan
hx22
b)
TanTan
Tanh y; TanTan
hx
c)
22
22
22
2
TanTan
Tanh y; TanTan
hx
d) 2
22
2
2
)TanTan(
Tanh y; )TanTan(
hx
e) TanTanh y; TanhTanx 2
38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:
AB = 3 y 1627AC
x
y
A
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29d) 4,19 e) 3,19
Trigonometría
26
39. De la figura hallar:
nzCtgxTanyTaTany3Tanz6F
yz
k
k
x
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30d) 3,00 e) 3,20
40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que
42CosBCosC .
Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta mide m26 .
a) m2 b) m3 c) 3 m
d) m5 e) m7
41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2m64 y
tal que PC = BP'.Hallar: AMSi: AP = 6 m
MP
P'
A B
C D
O6m
a) m512 b) m35
12c) m3
516
d) m55
12e) m312
42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triánguloABC, AD = BD y 3CosSen3 Hallar la tangente del ángulo DCG.
G
A
B
CD
a) 3 b) 32
c) 31
d) 23
e) 21
43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx CtgySi: AB = AD = 1 ; DC = 2
DA
B
C
x
y
a) 21
b) 31
c) 2
d) 41
e) 1
44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra elglobo respecto del lago?
H
Lago
Imagen
Globo
a) 2HCos b) 2HSenc) 2HSec d) 2HCsc
e) 2HCtg
45. En la figura: DC = 2AB = 2.Calcular el área del triángulo EFG.
G
A
B
E
F C
D
a) Tan181
b) Ctg452
c) Tan452
d) )CtgTan(181
e) )CtgTan(91
46. En un sector circular, cuyo ángulo central es , estáinscrito un cuadrado de lado L.El radio de la circunferencia correspondiente es:
a)21
2 52
Ctg2
Ctg2L
TRILCE
27
b)21
2 52
Ctg22
Ctg2L
c)21
2 52
Ctg42
Ctg2L
d)
2
2Ctg
2L
e)21
22
Ctg2L
47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el ladoAC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectrizde longitud w relativa al vértice B.Hallar el área del triángulo ABC.
a)
3CACos
3wb
b)
2CACos
2wb
c)
2CACos
3wb
d)
3CACos
2wb
e)
4CACos
2wb
48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC
y BCD miden 65
y 43
, respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangentea los tres segmentos de la poligonal si cumple que :
m83Ctg
125Ctg y BC = n
a) mn2
b) mn
c) m2n
d) mnmn
e) nm
49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KHes el radio de la circunferencia circunscrita a un triánguloequilátero de lado 6.Hallar el radio R.
R
K N H T
S
2
L
a)
4Ctg32 b)
4Tan32
c)
3Tan32 d)
4Tan34
e)
3Ctg32
50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD conuno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyolado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DMdivide al cuadrado en un triángulo y en un trapeciocuyas áreas están en la relación de 1 : 4.Calcule la tangente del ángulo MDC.
M
A B
CD
a) 41
b) 52
c) 31
d) 43
e) 53
51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazandos circunferencias, la primera de radio r que estangente a todos los lados del polígono, y la segundade radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razón Rr
es :
a) n
Sen b) n2
Sen c) n2Sen
d) n
Sen21 e)
nCos
52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 22 ,
está inscrito en una circunferencia.
Calcular la distancia del punto Q al punto medio delarco MN.
a) 5,0 b) 1 c) 5,1
d) 2 e) 22
Trigonometría
28
53. En la siguiente figura:
A
B
Cc
r
O
La relación 2
2
cr4
es equivalente a:
a)
2Cos1 2 b) Cos1 2
c) Sen1 2 d)
2Cos1 2
e) )Sen-)(1Cos-1( 2
54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es puntomedio del lado AB.Determine Csc
A B
C D
Q
a) 2 b) 45
c) 3
d) 4 e) 52
55. En la figura, hallar "x":
k
x
a) SenkSec5 b) TankSec6
c) 7SeckCtg d) 6CoskTan
e) CoskSec5
56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP,PDC y CBO son iguales.Luego Csc es:
A B
C D
O
P
a) 536 b) 35
6
c) 536 d) 53
6
e) 536
57. En la figura hallar el valor de "h" en función de , y
. Si : c , A , B
h
A B
C
D
a)
CtgCtg b)
TanTan
c) SenSen
Send)
CtgCtg
e)
SenCos
58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y elcateto BA forman un ángulo agudo . Entonces, Tges:
a) 2 TanA b) 2 CtgAc) 2TanC d) TanA + TgCe) 2(TanC + CtgA)
59. En la semicircunferencia mostrada, halle:
2Sen2SenK
1
3
A B
C
Q
O
P
a) 2 b) 3 c) 4
d) 41
e) 31
TRILCE
29
60. Del gráfico, hallar Tan
Si: nPB
mAP
M
A
O B
P N
a) )nm2(nm
b) )nm2(mn
c) )mn2(mn d) mn2
nm2
e) nm2mn2
Trigonometría
30
Claves Claves
b
a
c
c
b
d
a
a
a
d
c
c
d
b
b
c
c
c
c
a
b
e
b
c
d
c
d
c
d
e
a
a
c
b
d
b
e
b
b
d
c
d
c
a
c
b
b
b
b
b
e
b
e
b
b
d
a
a
c
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
31
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira)y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos deelevación y ángulos de depresión.(ver gráficos).
Línea Horizontal
Línea Visual
h
: Ángulo de Elevación
H
Línea Horizontal
Línea Visual
: Ángulo de Depresión
Consideración: En el gráfico adjunto, " " es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Noteque deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja.Luego " " es el ángulo formado por las dos visuales.
ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto;respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :
Dirección
Direcci
ón
Dirección
AB
C
P
Referencia
Oeste (O) Este (E)
Norte (N)
Sur (S)
42º
40º 30º
Note que dichas direcciones en este caso para A;B y C; forman con los ejes principales ciertosángulos; con quienes se van a denotar dichasdirecciones.Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P""B" se halla al O40ºN de "P""C" se halla al S42ºO de "P"
CapítuloÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULOS HORIZONTALES3
Trigonometría
32
Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se vana denotar dichas direcciones.Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" ."B" se halla al O40ºN de "P" ."C" se halla al S42ºO de "P" .
30º 66º
24º
10º
QN
P
EO
S
S
R
R"" de NE66ºal Está
R"" deE N24ºal EstáP
R"" de al Está
R"" de NO30ºal EstáQ
R"" de al Está
R"" deE S10ºal EstáS
Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejesprincipales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y ustedconcluye los restantes por analogía.
E E
EE
O O
OO
S S
S S
N N
N N
NE41N
NNEN
41NE
NE
E41NE
ENE
NE41E
En cualquiera de los casos : '15º11 ó rad16
TRILCE
33
SITUACIONES COMBINADASCuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir,ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Si luego nos desplazamos
hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería " ". Ahora, note larepresentación gráfica:
60ºN60ºE
Trigonometría
34
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificiocon ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m,determinar la altura de edificio.
a) 3 m b) 12 c) 15d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de unposte con un ángulo de elevación de 45º. Si la alturadel poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla lapersona?
a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 32
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisasu parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.¿Cuál es la altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 37º. Si la altura delposte es de 30 m. ¿A qué distancia del poste seencuentra el punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la partealta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulosde elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la partealta y baja un poste con ángulos de elevación ydepresión 60º y 30º respectivamente. Determine laaltura del poste.
a) 15 m b) 24 c) 30d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre conun ángulo de elevación " " (Tg =1/4). ¿A quédistancia de la torre se halla el punto de observación, sila altura de la torre es 7 m?
a) 14 b) 28 c) 56d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamosuna distancia igual a la altura del poste, el ángulo deelevación es " ". Calcular: "Tg ".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve suparte más alta con un ángulo de elevación de 53º.Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo deelevación para su parte más alta es " ". Calcular:"Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol con unángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m yobserva el mismo punto con un ángulo de elevaciónde 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo altode un poste con ángulos de elevación 53º y
52Tg . Si el poste se encuentra entre los dos
puntos. Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de elevación " " nosacercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si laaltura de poste es "2 L". Determinar: Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa unautomóvil con ángulo con ángulo de depresión " "
31Tg . Luego se observa una señal más cerca del
edificio con ángulo de depresión 45º. Determine ladistancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un postecon un ángulo de elevación de 45º, y desde otro puntoubicado en la mitad de la distancia que hay entre elprimer punto y el poste, el ángulo de elevación es " ".Calcular: "Tg ".
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisasu parte más alta con un ángulo de elevación " "(Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la
altura de la torre, el ángulo de elevación es " ".
TRILCE
35
Calcular: "Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero, segundo ytercer piso de un edificio se observa lo alto de otro
edificio con ángulos de elevación , , , respectiva-
mente. Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. ¿Cuántos pisostiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un puntoen tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuántomide cada piso del edificio, si el punto observado sehalla a 24 m del mismo?
a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 mde altura, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación de 53º. Señale la distancia de un punto a labase del edificio.
a) 20 b) 21 c) 35d) 32 e) 49
19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 mde altura se observa que el ángulo de depresión de unbote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta elbarco.
a) 48 b) 48 3 c) 12
d) 24 e) 6 3
20. Desde el pie de un poste se observa la parte más altade una torre con un ángulo de elevación de 45º, elmismo punto es observado desde la parte más alta delposte con un ángulo de elevación de 37º. Calcular lalongitud del poste si la distancia entre el poste y la torrees de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40
21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con
un ángulo de elevación " " )61Tan( ; y si nos
acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 md) 8 m e) 12 m
22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidadde 4 m/min; y en un primer momento, observa su partemás alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torremide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo deelevación tiene como tangente 8?
a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 mind) 1h 18 min e) 58 min
23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulode elevación , y su padre observa sus pies con un
ángulo de depresión )º90( .
Obtener la relación entre sus alturas.
a) 2Tan1 b) 2Tan1c) 2Cot1 d) 2Cot1
e) 1Tan2
24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ángulos de elevación " " y" ", respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m
25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo " "respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torrecon un ángulo de elevación " 2 "; verificándose que latorre mide 3 m y la visual 7 m.¿Cuál es el valor de " Tan "?
a) 73
b 76
c) 143
d) 74
e) 72
26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de unatorre de 24 m de altura, se ve su parte más alta conángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente.¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?
a) 32 m b) 36 m c) 56 md) 48 m e) 40 m
27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,se divisa su parte más alta con ángulos de elevación" " y " º90 ", respectivamente. Si la distancia entrelos puntos de observación es el doble de la altura delposte, calcular: CotTanP
a) 3 b) 32 c) 6d) 62 e) 23
Trigonometría
36
28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observadora 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre esaproximadamente.
a) 72 m b) m373 c) 71 m
d) 73 m e) m372
29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de laparte más alta de un campanario es 45º. Desde la partesuperior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo deelevación es de 30º.¿Cuál es la altura del campanario?
a) 239
b) 21
27
c) 13
35
d) 13
39
e) 13
39
30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, lamisma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay unhombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m dealtura, el hombre la observa con un ángulo respectoa la horizontal.¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometapara que sea observada por el hombre con un ángulo
2 ?
Considere : 31Tg
a) 23637
b) 171285
c) 131080
d) 191561
e) 13637
31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En undeterminado instante, el faro es observado por el
tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de
12
. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,,
encontrando esta vez un ángulo de 6
.
Encuentre la altura del faro (desprecie la altura deltripulante que hizo la observación)
a) 10 m b) 15 m c) 12 md) 14 m e) 18 m
32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvilcon un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvilse desplaza con velocidad constante. Luego que avanza28 m acercándose al edificio es observado con unángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición
tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular lavelocidad del automovil.a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/sd) 12 m/s e) 4 m/s
33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierracon un ángulo de depresión de 30º. Dos minutosdespués, estando sobre la señal, el piloto observa auna distancia de 1000 metros un aerostato con unángulo de elevación de 60º.¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante?
a) km32 b) km35,2 c) km33
d) km35,3 e) km34
34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y enel mismo sentido. En la primera observación desde elbarco se ve al avión adelante con un ángulo deelevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar.En la segunda observación se le ve con un ángulo de37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco.Calcular la cotangente del ángulo con la que el aviónen la segunda posición observa la boya.
a) 1217
b) 1115
c) 1711
d) 43
e) 75
35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo.Desde uno de ellos se observa el extremo superior deun poste con un ángulo de elevación y desde otropunto se observa el punto medio del poste con un
ángulo de elevación . Si la suma de las distancias delposte a cada uno de los puntos es d, calcular la alturadel poste.
a) dTan2dTan b) CtgCtg2d2
c) dCtgdCtg2 d) TanTan2d2
e) )Tan2Tan(d
36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"en direcciones que forman un ángulo " " uno a5 km/h y el otro a 12 km/h.Calcular el Cos sabiendo que al cabo de una hora ladistancia desde el punto "P" al punto medio delsegmento que separa ambos autos es de 7 km.
a) 85
b) 167
c) 803
d) 409
e) 2513
TRILCE
37
37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca yobserva los ojos de su padre; de estatura "H", con unángulo de elevación " " y sus pies con un ángulo dedepresión " ". Si el padre divisa los pies de su hijocon un ángulo de depresión " ".
Hallar: hH
a)
TanTanTanTan
b)
TanTanTanTan
c)
TanTanTanTan
d)
TanTanTanTan
e)
TanTanTanTan
38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de9, se ve un momento de menor altura, con un ángulode elevación "x", su parte más alta y un ángulo dedepresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, latangente del ángulo de depresión con la que se ve labase del monumento, es sextuplo de la tangente delángulo con que se ve la parte más alta.Calcular: E = 4Coty · Tanx
a) 2 b) 4 c) 5d) 8 e) 6
39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,a un mismo lado, con ángulos de depresión , 45º y
º90 )º45( . Si el punto intermedio dista delmás alejado, el doble del más cercano, calcular:
2CotTan6N
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
40. Un poste, una persona y una torre están ubicados delmodo que se mencionan y sus alturas están en laproporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa loalto de la persona con un ángulo de depresión " ";mientras que la persona divisa lo alto de la torre con unángulo de elevación , desde lo alto de la torre se vela base del poste con un ángulo de depresión " ". Sise verifica que:
nCotmCotCotCalcular: K = m + 2n
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos enla superficie horizontal A, B y C, perfectamentealineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de
elevación , y respectivamente. Si BP es bisectriz
del ángulo CPA que mide 60º, calcular:
TanTanTanJ
a) 2 b) 32 c) 3
d) 3 e) 33
42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros dealtura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros dealtura con ángulos de depresión y )º90( , si estosestán al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente.Calcular: " Tan ", si además desde la parte más alta delárbol más pequeño, se observa la parte más alta delárbol de 4 metros con un ángulo de elevación de
)º90(
a) 4 21
b) 21
c) 4 2
d) 2 e) 22
43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barcopermanece inmóvil; pero el helicóptero avanza ciertadistancia hacia el Este. Desde el barco se observa alhelicóptero en la segunda posición con un ángulo deelevación " ". Si el ángulo de elevación en la primeraposición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular" ", si además el helicóptero se encuentra a una alturade km2 .
a) 21ArcTan b) 3
1ArcTan
c) 43ArcTan d) 30º
e) 45º
44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un
poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC),desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de
elevación , y respectivamente.
Si : yCQB xBQA Señale el equivalente de:
22 CotCot
CosyCotCosxCotJ
a) Tan b) Tan2 c) Cot2
d) Cot21
e) Tan21
45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a
m218 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio
en la dirección E37ºS.Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,si Lucio se encuentra al Este de Luciano.
Trigonometría
38
a) 41 m b) 40 m c) 24 md) 18 m e) 42 m
46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente.Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a unadistancia de 173 km.¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?
a) 100 km b) 200 km c) 150 kmd) 273 km e) 300 km
47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ánguloformado por las direcciones N20ºE y S80ºO?
a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºOd) N40ºO e) N50ºO
48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO
y S41SO con la bisectriz de SE y S
41SE
a) 50º b) 78º45' c) 77ºd) 67º30' e) 90º
49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyaspartes alta y baja son vistas desde un punto de lasuperficie horizontal con ángulos de elevación " " y" " respectivamente )Tan4Tan3( . La altura delacantilado es de 212,31 m.¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 me) 35,385 m
50. Una persona camina 25 (aprox.) al norte de su casa,luego 13 m en la dirección ES , si ahora se encuentraen la dirección NE de su casa.Hallar: Csc
a) 513
b) 17
213c) 13
17
d) 13
210e) 17
13
51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte deuna torre, se observa la parte más alta de ésta con
ángulos de elevación y , respectivamente; y desdeel punto medio de AB, el ángulo de elevación es " ".
Calcular: CotTan
a) 23
b) 1 c) 3
d) 2 e) 32
52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevaciónque tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerdamide "a" metros. El ángulo de elevación del globo quesostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerdamide 2a metros.¿Cuál es la distancia que hay entre los globos?
a) )21( a metros b) )22( a metros
c) 5a2 a metros d) 5a a metros
e) a)52( metros
53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo deelevación " " y sus pies con un ángulo de depresión" "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé"
con un ángulo de depresión " ". Sabiendo que lasestaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H"respectivamente, señale el equivalente de:
Hh
hHJ
a)
2Cot
CotCotb)
CotCotCot2
c)
Cot
CotCotd)
CotCot
Cot
e)
TanTanTan
54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos
una distancia " 1d " y el ángulo de elevación es de 40º;
y si nos desplazamos una distancia " 2d " hastaubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevaciónes de 20º.
Calcular: 2
1d
d
(Sug. Cos10º = 0,9848)
a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321d) 0,957 e) 0,352
55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo" " notando que sus visuales son iguales. Se acercauna distancia igual a las dos terceras partes de ladistancia que inicialmente lo separaba del poste y divisaa éste. ahora bajo un ángulo " ".Calcular "n" en la igualdad.
2Sen
2nSen
SenSen
2
2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
TRILCE
39
56. Una persona camina, por un camino inclinado queforma un ángulo "x" con la horizontal y observa la partesuperior de una torre con un ángulo de inclinación"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces laaltura de la torre, observa nuevamente su parte superiorcon un ángulo de elevación de "3x".Calcular: E = Cscx - 15
a) 10 b) 20 c) 12d) 15 e) 25
57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados enlados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un puntode la torre con un ángulo de elevación " "; notándoseque la distancia de dicho punto observado a lo alto dela torre es igual a la visual trazada para dichaobservación; mientras que, desde "B", se divisa un puntoubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulode elevación " " . Notándose que la visual trazada esigual a la distancia del nuevo punto observado a lo altode la torre, hallar la altura de la torre.
a)
TanTan)1Tan)(1Tan(
b)
SenSen
)1Sen)(1Sen(
c)
SenSen)Sen1)(Sen1(
d)
CosCos)1Cos)(1Cos(
e)
TanTan)1Tan)(1Tan(
58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, Cy D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)
con ángulos de elevación , , y respectiva-mente.Si: º10DQCCQBBQA y
173648,0º10Sen .
Calcular:
TanTan
TanTan
TanTanTanTanJ
a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124d) 2,5783 e) 2,8794
59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de unatorre, se divisa su parte más alta con un ángulo deelevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos alS30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamossu parte más alta con un ángulo de elevación " ".Calcular: Tan
a) 31
b) 32
c) 43
d) 23
e) 41
60.Un reflector situado al ras del suelo i lumina unmonumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos elreflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajoun ángulo de 45º.¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es sudistancia (x) al segundo lugar de iluminación?
a)33
32x ; 33
32y
b)33
32x ; 33
32y
c)33
32x ; 33
32y
d)33
32x ; 33
32y
e) 33x ; 33y
Trigonometría
40
Claves Claves
d
a
c
d
e
b
b
c
a
b
b
b
c
a
d
b
c
e
b
d
b
e
b
b
a
e
c
b
d
c
e
b
b
a
b
c
b
e
d
c
c
c
d
e
e
b
d
b
d
b
c
d
c
a
c
d
b
e
b
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
41
Capítulo
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR4SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano encuatro semiplanos denominados cuadrantes.
* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.
Cuadrante II Cuadrante I
Cuadrante III Cuadrante IV
y
xO (0;0)
y1
x1
y2
x2
Q( ;y )x2 2
P( ;y )x1 1
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Sean )y;x(P 111 y )y;x(P 222 dos puntos del
plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre
los puntos 1P y 2P está dada por:
212
212 )yy()xx(d
dP ( ;y )x1 11
P ( ;y )x2 22y2
y1
x1
x2 x
y
* Radio Vector
Es la distancia del origen de coordenadas a un punto
cualquiera del plano cartesiano.
Si: )y;x(P 00 es un punto del plano cartesiano el radio
vector se calcula así:
20
20 yxr
y0
x
y
x0
r
P( ;y )x0 0
Trigonometría
42
División de un segmento en una razón dada:
Sea )y;x(P 000 un punto cualquiera sobre un segmento de
extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 tal que:
)razón(ba
PP
PP
20
01
Las coordenadas de 0P son:
ba
byay y
ba
bxaxx 12
012
0
Punto Medio de un Segmento
Las coordenadas del punto medio M del segmento de
extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222 se calcula así:
y
2
xxx
0
210
2
yy 21
Coordenadas del baricentro de un triángulo:
En el triángulo cuyos vértices son )y;x(A 11; )y;x(B 22
y
)y;x(C 33, las coordenadas del baricentro están dadas por:
3
yyy ;
3
xxxG 321321
G: baricentro
x
y
a
b
P ( ;y )x0 00
P ( ;y )x1 11
P ( ;y )x2 22
x
y
M( ;y )x0 0
P ( ;y )1 1 1
x
P ( ;y )2 2 2x
x
y
G
A( ;y )x1 1
B( ;y )x2 2
C( ;y )x3 3
Área de una región triangular:
Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido
antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se
indica.
x
y
A( ;y )x1 1
B( ;y )x2 2
C( ;y )x3 3
S
A
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
B
yx
yx
yx
13
32
21
11
33
22
11
31
23
12
Luego :
2BAS
TRILCE
43
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determine el radio vector de (2,-3).
a) 5 b) 11 c) 13
d) 17 e) 19
02. Determinar el radio vector de )7,2(
a) 3 b) 10 c) 3d) 4 e) 5
03. Determinar el radio vector del punto medio delsegmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).
a) 5 b) 2 5 c) 5 2
d) 10 e) 15
04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado alunir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
05. Del gráfico, calcular: "d".
d
(3,5)
(5,2)(-11,1)
a) 37 b) 41 c) 53
d) 61 e) 82
06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y(-1,-5), determine su perímetro.
a) 60 b) 40 c) 20
d) 12 3 e) 15 2
07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasapor (2,-5), determinar su diámetro.
a) 13 b) 15 c) 26d) 30 e) 35
08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: abE
a) 2 b) 3 c) 2d) 3 e) 5
09. Determine el producto de las coordenadas del puntodel segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).
a) 6 b) -6 c) 12d) -12 e) 15
10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se formaun triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana
AM , (M en BC ).
a) 47 b) 51 c) 53
d) 57 e) 61
11. Determine las coordenadas del baricentro de untriángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)y C(7,1).
a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)d) (5,3) e) (-3,5)
12. En el gráfico, hallar "x+y":
A(-2;3)
B(10;6)
K
2K
P
a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)d) (-1,2) e) (-2,4)
13. Según el gráfico, halle "p":
2S 3S
A(1;9)
B(-2;5) C(8;10)
a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)d) (3,7) e) (4,6)
14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).Determine su área.
a) 36 2 b) 18 2 c) 24 2
d) 16 2 e) 9 2
15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) yC(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al
lado AB .
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
Trigonometría
44
16. Determine en el eje "x" un punto que tenga unadistancia de 5 unidades del punto (2,4).
a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)d) (6,0) e) a y c
17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),C(-2,3). Halle el punto D.
a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)d) (-2,2) e) (-5,1)
18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices deun triángulo:
a) Isósceles. b) Equilátero.c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles.e) Oblicuángulo.
19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distanciahasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.
a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)d) (2,8) e) (0,-28)
20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) yB(-6,5). Hallar el valor de "a".
a) 6 b) -6 c) 0d) 1 e) -1
21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8)y (1,2); determinar su centro de gravedad.
a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)d) (-1,5) e) (1,3)
22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar
su área si pasa por el origen de coordenadas (usar:
)722( .
a) 2 2 b) 3 2 c) 44 2
d) 66 2 e) 81 2
23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos mediosde AC y BC respectivamente, determine el radio vectordel punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).
a) 7 b) 10 c) 2 3
d) 3 2 e) 15
24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:
xyE .
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distanciaal origen es igual a 13u; sabiendo además que suordenadas tiene 7u más que su abcisa.(Dar la suma de coordenadas).
a) 17 b) 16 c) -17d) a y b e) a y c
26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendoA(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) seprolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar lascoordenadas de C.
a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)d) (14,-11) e) (-14,11)
28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y elbaricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la sumade coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice"A"?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadradoA(3 ; 7) y B(1 ; 4), calcule su área.
a) 2127 b) 2137 c) 2147
d) 281 e) 2100
30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el ejede abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)
a)
0 ;
37
b
0 ;
38
c)
0 ;
34
d)
0 ;
211
e)
0 ;
411
31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)y C(1 ; 3).Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.
a) 5 b) 7 c) 32
d) 13 e) 15
32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo sonA(1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D"opuesto a B.
a) 5 b) 6 c) 9d) 10 e) 12
TRILCE
45
33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hastaqué punto "C" será necesario prolongarlo para que
5BC
6AC ?
(Señale la suma de coordenadas de "C")
a) 35 b) 38 c) 42d) 23 e) 27
34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentroes G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del puntomedio de BC.
a) 3 b) 5 c) 7d) 5 e) 7
35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas delpunto M.Si: ABCD es un paralelogramo.
y
x
M
N
BC(4 ; 9)
D(6 ; 1)A( 8 ; 5)
a)
8 ;
211
b) ( 6 ; 5)
c)
5 ;
29
d) ( 6 ; 4)
e) ( 5 ; 7)
36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9),B(6 ; 8) y C(2 ; 4), calcule la superficie del triángulo.
a) 235 b) 228 c) 214
d) 224 e) 240
37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ánguloCAB.
a) 10
3b)
1010
c) 55
d) 52
e) 22
38. Del gráfico, halle : 12 SS .
(10 ; 1)
(5 ; 8)
(6 ; 2)
( 3 ; 1) S2
S1
a) 210 b) 25,10 c) 26
d) 25,11 e) 212
39. Los puntos P(-4;0); )33 ; 5(Q , R(x;0) son los vérticesde un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de losvalores que indican el perímetro y el área del triánguloes:
a) 24318 b) 31818
c) 32418 d) 31212
e) 6612
40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos(-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menortiene por coordenadas (3;-2).La distancia o longitud de la base menor es:
a) 8 b) 6 c) 9d) 12 e) 10
41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntoscoordenados :A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)
PROPOSICIÓN 1:Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2entonces este cuadrilátero es semejante al original.
PROPOSICIÓN 2:Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplicanpor un mismo número, entonces este cuadrilátero essemejante al original.
PROPOSICIÓN 3:Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y lasordenadas por 3 entonces el área de este nuevocuadrilátero es 5 veces mayor que el original.
a) FVV b) FFV c) VFFd) FFF e) VVF
Trigonometría
46
42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); ) b; b(B 21,
C(3;4), )d ; d(D 21.
Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los
puntos B, P, D, Q donde ) b; d(P 21 y )d ; b(Q 21 .
a) 58 b) 29 c) 25d) 21 e) 19,5
43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son
8) ; 36( .
Hallar la distancia del baricentro de la región triangularMON al punto R.
y
x
M
30ºO N
R
a) 212 b) 21 c) 214
d) 21 e) 422
44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de untriángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro deltriángulo.
a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)
45. Sean los puntos del plano cartesiano:A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma delas longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lomenor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.
a) 961 b) 828 c) 780d) 1020 e) 605
46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y
C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CPal segmento AB, entonces las coordenadas de P son :
a)
762- 2;
7691
b)
85592 2;
855991
c)
85592- 2;
855991
d)
1362 2;
13691
e)
1362 2;
13691
47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectánguloABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el áreade la región rectangular es 2u80 , determinar la sumade las abscisas de los vértices C y D.
a) 25 b) 5126
c) 26
d) 5127
e) 5128
48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestosde un cuadrado, entonces el área del cuadrado es:
a) No se puede determinar.b) 50 c) 4d) 16 e) 8
49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )C ; C(C 21 son los vértices
de un triángulo equilátero.Si C está en el segundo cuadrante, entonces
)CC(3 21 vale:
a) - 9 b) - 8 c) - 6
d) - 5 e) 32
50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto
medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:
a) 2 b) 22 c) 4
d) 24 e) 6
51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas deC es:
x
y
A(1;2) B(4;2)
C(x;y)
O
a) 4 b) 10 c) 8d) 6 e) 9
TRILCE
47
52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntosA(0 ; 0) y B(3 ; 0).
Determinar la ordenada del vértice opuesto
y;
21 C
de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al
doble de la medida del ángulo CBA.
a) 15 b) 215
c) 415
d) 615
e) 815
53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices deun rectángulo. Si: P(x;y) cumple que 6DP ,
7CP y 5BP , entonces el valor de AP es:
a) 5 b) 32 c) 3
d) 4 e) 23
54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE.
Calcule:1
32h
hhW
x
y
A(1;1)
C(8;2)
B(5;5)
h3
h1
h2ED
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 32
55. Del gráfico, calcule "x" si " " es máximo..
x
y
(1;1)
(3;3)
P(x;0)
a) 2 b) 22 c) 3
d) 32 e) 6
56. A partir del gráfico, calcule:
2
22
Sen
SenSenW
B(3;9)
C(5;7)
A(1;3)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 32
e) 23
57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto
"P". Si : 5
DC3
BD
S7S
A(2;0)
C(7;5)
B(3;9)
D
P
a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 7
58. De todos los puntos del plano cuya suma de distanciaa los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale lasuma de coordenadas de aquel punto de ordenadamáxima.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC,si las coordenadas de los vértices del triángulo formadoal unir los puntos medios de sus lados son:
)0 ; 1(AM , )3 ; 2(BM y )7 ; 6(CM
C
A
B
x
y
BM
AM
CM
a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)
Trigonometría
48
60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 21 SS
x
y
S1S2
A(-5;-5)
B(2;-1)
C(x;y)
D(-3;2)
a) 2441 b) 2
241 c) 2
221
d) 2421 e) 241
TRILCE
49
Claves Claves
c
c
c
d
e
b
c
c
d
c
c
b
b
b
d
e
a
d
a
b
c
d
b
c
e
d
a
d
b
b
d
d
b
c
a
c
e
c
c
a
a
d
a
a
a
c
e
d
e
b
b
b
b
c
e
a
b
d
a
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
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50.
51.
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53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
51
CapítuloRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL5Definiciones Previas:
I . ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALLlamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origendel sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se diceque éste pertenece a tal cuadrante.
Lado Final
Lado InicialVértice
(+)
x
y
Del gráfico :
* : es un ángulo en posición normal
* 0 ; IIC
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)x
y
* : es un ángulo en posición normal
* 0 ; IIIC
Definición de las Razones Trigonométricas:Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto )y;x(P 00 perteneciente a sulado final.
x
yP( )x ;yo o
r
xo
yo
'
Se define:
o
o
o
o
x
yTan
r
xCos
r
ySen
o
o
o
o
yrCsc
xrSec
y
xCot
* 2o
2o yxr * ' : se denomina ángulo de referencia
Trigonometría
52
Signo de las R.T. en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto.
Cosecantey
Seno(+)
Cotangentey
Tangente(+)
positivasson
Todas(+)
Secantey
Coseno(+)
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
radianes (grados) Sen Cos Tan Cot Sec Csc 2 0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.
2 90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1
180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.
23 270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Vértice
Lado inicial
Ladofinal
i) ii)
P( ; )x xo o
x
y
Se tiene que :* y : son coterminales
* y : son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:Si y son coterminales se cumple que:
I. II.
- = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
TRILCE
53
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Del siguiente gráfico, calcular: Cot12Sen10E
x
y
(1;-3)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
02. Por el punto )5;2(P pasa el lado final de un ángulo
en posición normal cuya medida es " ". Calcular:Cos .
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4d) -4/3 e) -3/2
03. Si: 32Sen y IIIC. Calcular:
)SecTan(5E
a) -1 b) -2 c) -3d) 2 e) 3
04. Indicar el signo de cada expresión:I. Sen200ºTan240ºII. Cos120ºTan100ºIII. Sen150ºCos340º
a) +, +, + b) , , c) , +, +d) +, , e) +, , +
05. ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: 0Tan y
0Cos .
a) IC b) II c) IIICd) IV e) IC y IIC
06. De la figura, calcular: "Tan"
x
y
17
(1-x;2x)
a) 1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
07. Calcular:
270abCsc2180Cos)ba(º360Sec)ba(E
22
a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2
08. Si: IVCx y 06
Sen4|Cscx|
Calcular: E = Senx + 3 Cosx
a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 2/3 e) 3/2
09. Si: 3,0Cos
y IIC
Calcular: SecTanE 2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.
Calcular: )2
(f
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2
11.Una raíz de la ecuación: 03x2x2 es un valor de
"Tan ", si: IIIC . Calcular: )CosSen(10E
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.
Calcular: )2
(f
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2
13. Si: y son medidas de ángulos coterminales y se
cumple que: Tan <0 y |Cos |=-Cos . ¿A qué
cuadrante pertenece " "?
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) IC y IIC
Trigonometría
54
14. Calcular: TanSen25E , a partir de la figuramostrada:
x
y
(24;7)
(-4;-8)
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
15. Por el punto )7;2(P pasa por el final de un ánguloen posición normal cuya medida es " ". Calcular:
Csc7 .
a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2
16. Calcular: 1CosxSenxE
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
17. Si: IV , determine el signo de:
CosSen)Cos1(TanE
a) + b) - c) + ó -d) - y + e) Todas son correctas
18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
)2
(Sen3
)(Sen)6
(Cos3E
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2
19. De la figura, calcule: "Tan "
x
y
37º
a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7d) -6/7 e) -7/4
20. Del gráfico, calcule: "Tan" .
x
y
(2;-3)
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/3 e) 3/2
21. De acuerdo al gráfico calcular:
CosCos5Ky
x
(-24;7)
(-4;-3)
a) 2 b) 3 c) 4d) 2 e) 4
22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo
canónino " ".Calcular:
CotCscR
a) 0,4 b) 0,4 c) 0,6d) 0,6 e) 0,3
23. Simplificar:
2bCos
23aSen
Cos)ba(2
Sen)ba(L
2
5232
a) 2a b) 2a c) 4ad) 4a e) 4b
24. Señale los signos de:
º260Tanº300Tanº140Cosº140SenM y
º348Senº248Cosº116Tanº217Cosº160TanR
a) () No se puede precisar.b) (+) ; (+)c) (+) ; ()d) () ; ()e) () ; (+)
TRILCE
55
25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen:
I. Si: 0Cos 0Sen , entonces IV .
II. Si: 0Sec 0Tan , entonces IIIC .
III. Si: 0Cot 0Csc , entonces IIC .
a) VVF b) VVV c) VFVd) FFV e) FVV
26. Sabiendo que:
0Sen 0SecTan
¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico ?
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar.
27. Señale el cuadrante al que pertenece " " si:
TanCos
a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) No se puede precisar
28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:
I. Si: 180º ; º90 , entonces IIC .
II. Si: IIC , entonces 180º ; º90 .
III. Si: IIIC , es positivo y menor que una vuelta,
entonces 270º; º180 .
a) VVF b) VFV c) VFFd) FVV e) VVV
29. Sabiendo que: 32Tan
IICCalcular: CosSenQ
a) 131
b) 1313 c) 13
5
d) 13
135e) 13
3
30. Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa por lospuntos P(m+n; n) y Q(n;mn),
Calcular: 22 TanCotK
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
31. Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor queuna vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:
53Tan
32Cos
2SenQ
a) (+) b) () c) (+) o ()d) (+) y () e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular :
1Tan3E y
x
53º
a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2
33. Tomando 236,25 y sabiendo que:
Ctgx = - 0,5 y que IVCx .¿Cuál es el valor de Cscx?
a) 2,236 b) 2,236 c) 0,4472d) 1,118 e) 1,118
34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienenel mismo signo son:
a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3ºd) 2º y 4º e) 1º y 4º
35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayores al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendidaentre 2820º y 3100º.¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º b) 2760º c) 2820ºd) 2420º e) 3000º
36. Siendo:
1301
701
281
41Sen
54
CosCos
Calcular:
Cos3Sen2K
a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 3
37. El valor numérico de la expresión:Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º
es:
a) 4 b) 12 c) 6d) 16 e) 8
Trigonometría
56
38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en elorden F. G. H.
º338Ctgº215Csc
º210Senº138Tanº285SecF 3
32
2
323
º336Tanº195Csc
º116Cosº115Ctgº260SenG
3
3
º298Secº135Tg
º128Cscº340Ctgº195SenH
a) , + , b) , , + c) , , d) + , , e) + , + , +
39. Si:
2Cos)2(Sen1)3(Cos)(f 2
Calcular:
13
f3
f
a) 2 b) 232 c) 5
d) 323 e) 2332
40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes(I, II, III, IV).
S = Ctgx + Senx - Cscx
I I I II I I Va) + + + +b) + + +c) + + d) + +e) + +
41. Determinar el signo de:
QQCtgQSecSen 453
a) ; si Q pertenece al IC.b) + ; si Q pertenece al IIC.c) + ; si Q pertenece al IIIC.d) + ; si Q pertenece al IVC.e) ; si Q pertenece al IIC.
42. Dado: 22
22
qp
qpCosx
; p > q > 0
Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.
a) 22 pq
pq2
b) 22 pq
pq2
c) 22 pq
pq2
d) 22 pq
pq2
e) 22
22
pq
pq
43. Sabiendo que: 41CosQ
270º < Q < 360ºCalcular el valor de la expresión:
CtgQ1CscQSecQ
a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50d) 4,00 e) 4,50
44. Si es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
8Ctg1 2
Calcular: 3)Sec8(
a) 6383 b) 6383
c) 63
83
d) 633
83 e)
636386
45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrantey es tal que: 2x0 . Entonces, hallar el signo delas siguientes expresiones trigonométricas.
I.
4xsecCo
2xSen
4xTan
II.
5xCos
4x3Sec
3xCot
III.
4x3Sec
3x2Tan
3xSen
a) (+) (+) (+) b) () () ()c) (+) (+) () d) () () ()e) () () (+)
46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, enel orden dado:
325Cos
352Sen
; 322Cot
532Sen
;
1073Cot
3205Sen
a) (+) (+) () b) () (+) ()c) () (+) (+) d) () () (+)e) (+) () (+)
TRILCE
57
47. Si es un ángulo en el primero cuadrante y25,0Sen .
¿Cuál es el valor de 2CtgCsc ?
a) 15 b) 1921
c) 1519
d) 2119
e) 19
48. Si 5,1Tg , siendo un ángulo en el III cuadrante,el valor de la expresión:
)CscSec(131M es :
a) 61 b) 6
1 c) 61
d) 65 e) 6
1
49. Calcular el Coseno del ángulo del segundo
cuadrante, tal que 53Sen .
a) 54
b) 53
c) 32
d) 54 e) 3
1
50. Si 31Tan y está en el segundo cuadrante.
Hallar :
Ctg2
)Sen5Cos(3K
a) 10 b) 1010 c)
1010
d) 5102 e)
5102
51. En la figura adjunta, hallar:
TanCos15Sen5V
24
- 7 0
x
y
a) 35141
b) 729
c) 3599
d) 739
e) 41
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de lassiguientes expresiones:I. Sen(361º) Cos(455º)
II.
43Cos
43Sen
III. )º315(Sec45 Tan
a) + ; ; + b) + ; + ; c) ; ; +d) + ; ; e) + ; + ; +
53. Sea un ángulo del tercer cuadrante.Indicar la alternativa correcta al simplificar:
CosSen11E 2
a) 2Sen2 b) 2Sen
c) 2Cos1 d) 2Sen
e) 2Cos
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo quex es un ángulo del segundo cuadrante?
a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6c) Cosx = 0,7 d) Cosx = 0,9e) Cosx = 0,8
55. Si " " y " " son ángulos cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta, tales que: CosCotCalcule:
Cos2
Sen2
SenCosK
a) 22 b) 12 c) 12
d) 22 e) 1
56. Si y son ángulos positivos, que no son agudos;
0Cos ; 0Tan ; )º360( Sean:
a = )(Sen
b = 2Sen
c = 2SenEntonces, son positivas.
a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.d) a. e) b y c.
Trigonometría
58
57. Si: 32
baTanx
Calcular el valor de:
ICx ; aCosx
bbSenx
aE
a)
3
3131
3131
a
b
b
a
b) ab
ba
c) 21
2
2
2
2
ab
ba
d)
23
3232
3232
a
b
b
a
e) 31
3
3
3
3
ab
ba
58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en elsegundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercercuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; peroinferior a 2
a) 24
b) 23
c) 2125
d) 283
e) Faltan datos
59. Si: IIC y
Cos3 4 2 )Sen(Sen
Calcular: SenTg
a) 1431211 b) 143
1213
c) 1431213 d) 143
129
e) 1431211
60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplode 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a lasuma del ángulo menor más el triple del mayor de losángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.
a) 1280º b) 2160º c) 3200ºd) 3210º e) 3230º
TRILCE
59
Claves Claves
b
b
a
c
d
d
e
a
e
a
d
b
b
e
d
a
a
e
b
b
c
c
e
d
a
b
d
b
b
c
b
c
e
a
b
d
c
a
c
c
c
b
d
e
c
b
e
a
d
b
d
e
d
e
a
e
d
d
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
61
Capítulo
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE6OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es:* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo
previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.
* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn ; 2
n.T.R
* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º
CASOS
I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original " " se descompone como lasuma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :
).(T.RCo22090
R
).(T.R360180
R)(RT
Donde el signo )( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " "
Por ejemplo; calculemos:
*23º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(
* 21º60Cos)º60º180(Cosº120Cos
)(
* 3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan)(
* 2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc)(
* ) (Senº170Sen
* ) (Cosº200Cos
* ) (Tanº260Tan
* ) (Senº320Sen
II . Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º q
Residuo
Trigonometría
62
Por ejemplo, calculemos:
*23º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º2520º 7
60º
3285º 360º3240º 9
45º
* Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
1200º 360º1080º 3
120º
( )
* Sen 3180º =
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:
*
133 4132 33
1
127 6126 21
1
12
1Sen2
Sen133 21
31Cos
3127Cos
*
Es decir, si fuese: 2ba ; ba.T.R
Se divide: a 2bq
r este residuo reemplaza al numerador "a"
*
1315 851 164
353
13453
1345Sen *4
3Tan4
1315Tan
III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
Por ejemplo, calculemos:
*22º45Sen)º45(Sen * 2
1º60Cos)º60(Cos
* 3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan)(
* Cos (- 200º) =
IV. Ángulos relacionados:1.
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx : Si
2.
TRILCE
63
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx : Si
Por ejemplo, calculemos:
76Cos
75Cos
74Cos
73Cos
72Cos
7CosC
En esta expresión note que:
76Cos
7Cos
76
7
75Cos
72Cos
75
72
74Cos
73Cos
74
73
Luego:
76Cos
75Cos
74Cos
74Cos
75Cos
76Cos C
Reduciendo, quedaría C = 0
Trigonometría
64
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Señale el valor de: Sen120º
a) 1/2 b) -1/2 c) 23
d) 23 e)
22
02. Hallar: Cos330º
a) 1/2 b) -1/2 c) 23
d) 23 e)
22
03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º
a) 46
b) 46 c)
66
d) 66 e)
42
04. Hallar el valor de: Sen1680º
a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e)23
05. Determinar el valor de: Cos1200º
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) -1/2 e) 23
06. Hallar: )º45(Tg)º60(CosE
a) 1/2 b) -1/2 c) 0d) 1 e) 2
07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º)
a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6d) 0 e) 1
08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x)
a) Cosx b) -Cosx c) Senxd) -Senx e) -Secx
09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x)
a) -Senx b) Senx c) Cosxd) -Cosx e) Cscx
10. Determina el equivalente de: 2
].32]Sen
a) 1 b) -1 c) 0d) 1/2 e) -1/2
11. Hallar el valor de: Cos1741
a) 1 b) -1 c) 0d) 1/2 e) -1/2
12. Hallar: 3.17Tg
a) 1 b) -1 c) 3
d) 3 e) 33
13. Del gráfico, calcule: Tg
A
C
BM
45º
a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 3/4
14. Del gráfico, hallar: Tg
A
C
B37ºD
a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7d) -3/7 e) -4/7
15. Hallar el equivalente de:
)º90x(Cos)º180x(SenM
a) 1 b) -1 c) Tgxd) Ctgx e) -Tgx
TRILCE
65
16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;x es agudoCalcular: M = Sec(-x) + Csc(-x)
a) 25
b) 25 c)
613
d) 613 e)
55
17. Reducir:
)xº180(Cot)xº360(Sec)xº180(Cos)xº270(Csc)xº180(Tan)xº90(SenA
a) 1 b) 1 c) xTan2
d) xCot2 e) xTan2
18. Simplificar:
)(Tan2
3Sec)2(Cot)(SenC
a) 2Tan b) 2Tan c) 2Ctg
d) 2Ctg e) 1
19. Simplificar:
x
23Cos)x(Tan
x2
3Tan)x(SenC
a) Cotx b) xCot2 c) xCot2
d) - Cotx e) xCot3
20. Si : 2A0
Evaluar:
A
23 Tan)A(CosA
2 SenF
)A(Csc)A2(CtgA2
Sec
a) 2 SenA b) 2SenA c) 2CscAd) 2CscA e) 2SecA
21. Calcular:
º240Tan31º315Tan41º120Sec2M
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 2
22. Calcular:
º300Cosº210Cosº150Tanº240Senº135SenC
a) 36
b) 36 c)
362
d) 3
62 e) 32
23. Calcular:
1º4920Cos2)1º3383Sen2)(1º3000Sec2(U
a) 21
b) 21 c) 4
1
d) 41 e)
43
24. Marque Ud. la afirmación correcta:
a) Sen ( 750º) = 0,5
b) 35,0)º1110(Cos
c)3
3)º1830(Tan
d) 3)º3270(Ctg e) + Sen2534º = Cos14º
25. Hallar el valor numérico de:
º225Ctgº330Tanº780Tan
º780Senº330Tanº225SenF222
222
a) 1231
b) 2033
c) 441
d) 2033 e) 12
31
26. Simplificar las expresiones:
)(Sen)º360(Sen
)º180(Cos)(Cosa
Sen)º90(Cos
)(Cos)º90(Senb
a) a = 0 y b = 2b) a = 1 y b = 2c) a = 2 y b = 2d) a = 0 y b = 0e) a = 1 y b = 2
27. Si: x + y = 180º y + z = 270ºCalcule el valor de:
CtgzTany
SenySenxJ
Trigonometría
66
a) 1 b) 0 c) - 3d) 2 e) - 5
28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; yxHallar: Ctgx
a) 12 b) 21 c) 2
12
d) 2
21 e) 12
29. Simplificar la expresión:
)º360(Tan)º450(Sen)º540(Cos)º2160(Tan)º90(Cos)º180(SenE
Sabiendo que : 2Sec2 Entonces E es igual a :
a) 2 b) 1 c) 1d) 2 e) 0
30. El valor de la expresión:
2Csc)(Sec)2(Ctg
6Tan)(Cos
23Sen
E
Cuando : 6 es:
a) 1 b) 1 c) 0d) 2 e) 2
31. Calcular el valor de:Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º
a) 21
b) 0 c) 23
d) 1 e) 43
32. Calcular: términos20
3029Cos...
303Cos
302Cos
30CosT
a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2
33. El valor de la siguiente expresión:
127Cos
12Sen
12Cos
127Sen
Es igual a:
a) 0 b) 1 c) - 1d) 2 e) - 2
34. Simplificar:
)9(Ctg)7(Csc)5(Cos2
9Sec2
7Sen2
5TanK
a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2
35. En un triángulo ABC se cumple:Sen (B + C) = CosC
Dicho triángulo es :
a) Escaleno b) Rectánguloc) Isósceles d) Acutánguloe) Equilátero
36. En un triángulo ABC, se cumple que:Cos (A + B) = CosC
Entonces el valor de A + B es :
a) 4
b) 3
c) 32
d) 6
e) 2
37. Calcular:BSenACos 22
Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.
a) 1 b) 21 c) 0
d) 21
e) 1
38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar:
)B3A4(Tan)BA2(Cos)B3A2(Tan)B2A(SenE
Se obtiene:
a) 3 b) 2 c) 2
d) 1 e) 1
39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientesproposiciones se cumplen:I. SenA = Sen(B+C)II. CosA = Cos(B+C)III. SenB = -Sen(A+2B+C)
a) VVV b) VFV c) VFFd) FVF e) FFF
40. Si : 2
cba y Sen(a + b) = - Senc
¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero?
a) 04
c42Cos
TRILCE
67
b) 04
c4Cos
c) 02
c4Cos
d) 04
c4Cos
e) 0)c4(Cos
41. Calcule el valor de:
4175Sec
437TanR
a) 21 b) 22 c) 2
d) 2 e) 21
42. El valor que asume la expresión:
6Csc)(Sec
23Ctg
)(Tan)2(Cos2
Sen
Cuando : 3 es:
a) 13
133 b)
13331
c) 3
133 d)
3133
e) 3
331
43. Sabiendo que:
12
77Cos2
55Senm
Calcular:
CtgTanEen términos de m.
a) 2m b) 2m c) 2md) m e) m
44. Si : º1035º360)k1( , ZkEl valor de : )º5,22(Sen será:
a) 232 b)
232
c) 2
22 d) 2
22
e) 2
22
45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que:
04
b2a36Ctg8
b3a2Tan
a) 21
b) 31
c) 41
d) 51
e) 61
46. Si : SenA 2CosA = 0Entonces el valor de:
)Aº180(Cos)Aº180(Csc)Aº360(Sen)Aº270(Ctg)Aº180(Sec)Aº90(TanE
es:
a) 5 b) 5 c) 45
d) 45 e) 4
47. Hallar sabiendo que está en el tercer cuadrante, espositivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltasy:
11SenCos
a) 2275
b) 2273
c) 2271
d) 2269
e) 2267
48. Si es la medida de un ángulo agudo tal que:
Senº1996CosCalcular el valor de:
15Sen15CscE
a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3
49. Sabiendo que:
Zk ; 2
kTanM
Zn ; (-1)n CscN n
Calcular: MN
NME22
a) SenTan b) SenTanc) CosCtg d) CosCtg
e) 1
Trigonometría
68
50. Del gráfico.
xab
y
Determinar:
CosbCosa6
baCos6
SenbSena3
baSen3K
a) 21 b) 3
1 c) 41
d) 21
e) 31
51. Sabiendo que:
56
2n
n Cotx2)x)1(!n(Tan
Donde: ICxCalcule: W = Secx . Tanx
a) 32 b) 6 c) 23
d) 62 e) 66
52. Si : ABCD: cuadrado
Calcule: TanTanW
26º30'
P
B C
A D
N
M
a) 2 b) 1 c) - 2
d) 1 e) 23
53. Del gráfico calcule:
55Cot3W Si: OA = OB
A
BO
23
4
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
54. Del gráfico, hallar " Cot " en función de " ".Si: AB = BC
B
C
A x
y
a) 1Tan b) 1Tan c) 1Tan d) 1Cot e) 1Cot
55. Del gráfico, calcule: Cos
r
R
a) R2r
b) R2r c) r2
R
d) r2R e) r4
R
56. En un triángulo ABC, se sabe que:
SenC)CB(Cos2)BA(Sen Calcular:
C4SenB4SenA4Sen1A2CosC2CosB2Cos1W
a) 1 b) 2 c) 4
d) 1 e) 21
TRILCE
69
57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo " " que cumple:
Cos72Sen
Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.
a) 1497
b) 14101
c) 14103
d) 1495
e) 1499
58. De acuerdo al gráfico, calcule:
6Tan
43Cos
32Sen
K
y
x
a) 12
6b)
123
c) 12
6
d) 12
3 e) 66
59. Reduzca:
279Cos5)82(Sen4
257Cot3)57(Tan2
G
a) Sec95
b) Sec91
c) Sec5
d) Csc e) Csc92
60. Señale el signo de cada una de las expresiones:
1112Tan1
736Cos
720Sen
R
821Cot
727Csc
825SenH
59Sec
944CscG
a) (+) ; () ; () b) (+) ; () ; (+)c) (+) ; (+) ; (+) d) () ; () ; (+)e) () ; (+) ; (+)
Trigonometría
70
Claves Claves
c
c
c
e
d
b
e
b
a
a
b
d
d
d
b
d
e
d
b
d
d
b
a
c
c
c
d
e
b
d
b
a
a
c
b
e
e
e
b
b
e
a
e
d
c
a
a
b
a
a
b
d
b
e
b
b
d
c
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
71
Capítulo
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA7CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
DEFINICIÓN
Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad delsistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos:
A (1; 0) : origen de arcos
B (0; 1) : origen de complementos de arcos
A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos
B' (0; -1) : anónimo
El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signoasociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:
: es un arco positivo (sentido antihorario)
: es un arco negativo
(sentido horario)
Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichosarcos se denominarán arcos en posición nomal.
Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple quenuméricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo centralcorrespondiente, en radianes.
En el sector circular AOM; por longitud de un arco:
AOM = rad , esto es:
AOM (en rad) = AM (numéricamente)
Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor,
pero expresado en radianes.
y
B
xAA'
B'
R=1
C.T.
1
x + y =12 2
O
y
x
MB
A' A
B'
N
1
O
y
x
C.T.
A'O 1
A
M
N
1
rad
rad
B
B'
Trigonometría
72
Así mismo, podemos establecer: R.T. ( rad) = R.T. ( ) ; R
Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo
cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado.
Es decir; por ejemplo:
Sen 2 = Sen 2 rad
Tan 3 = Tan 3 rad
Cos (-1) = Cos (-1 rad)
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométricade un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estasR.T., así como su comportamiento.Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos.
a) Para arcos representados por números enteros:
x
y
O
C.T.
1,57=2
3,14=
2 =6,28O
4,71=32
1
y
x
12
3
4 5
6
b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( Zn )
2n
2)1n2(
2)3n4(:'B
2)1n4(:B
n)1n2(:'A
n2:A
I. Línea Seno.-
Representación: Variación :
2
0
2
2
3
2
23
Sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
Esto es:
1Sen1 ; R
1:mínimo
1:máximoSen
y
x
A; 0; 2 ; 4 ; ...
B':
A'..., 3
32
22
; ; ; ....
B: 2
2
2
; ; ; ....
y
x
M
N
A' A
B
B'
-1
1
C.T.
(+)
(-)(-)
Sen
(+)Sen
TRILCE
73
II. Línea Coseno-
Representación: Variación :
2
0
2
2
3
2
23
Cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1
Esto es:
1Cos1 ; R
1:mínimo
1:máximoCos
Observación:
Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus
propias componentes:
Por ejemplo, para "M" se nota que:
abscisa = Cos
ordenada = Sen
Luego:
M = (Cos ; Sen )
De manera similar, las componentes de N son (Cos ; Sen )
III. Línea Tangente.-
Representación: Variación :
2
0
2
2
3
2
23
Tan 0 0 0 0
Esto es:
< Tan <
No hay máximo, ni mínimo
(-)Cos
(+)Cos
x
y
M
N
B'
B
AA'
C.T.
1
-1
(-) (+)
y
x
MN
A' A
B'
B
Cos
Cos
SenSenSen
Cos
C.T.
T
P
A'
C.T.B' N
B
y
x
(+)
(-)
A
Tan
Tan M
O
Consideración:La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. tangente no se define para
todo arco de la forma: Zn ; 2
)1n2(
Trigonometría
74
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Poner el signo en:I. Cos80º ( ) Cos 100ºII. Cos200º ( ) Cos 300ºIII. Cosx ( ) Cos(x+20º)x ; agudo
a) < ; < ; > b) > ; > ; <c) > ; < ; > d) > ; < ; =e) < ; > ; <
02. Poner el signo > ; < o = en:I. Sen20º ( ) Sen80ºII. Cos10º ( ) Cos40ºIII. Sen200º ( ) Sen300º
a) > ; > ; < b) < ; < ; <c) > ; > ; > d) < ; > ; >e) > ; < ; <
03. Indicar con "V" lo verdadero y con "F" lo falso:I. Tg50º > Tg200ºII. Tg100º > Tg300ºIII. Tg135º = Tg315º
a) VVV b) VFV c) FFVd) FVF e) FFF
04. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ AO
B
B’
y
x
a) Sen b) -Cos c) Sen /2
d) -Cos e) -Cos /2
05. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ AO
B
B’
y
x
a) 2Sen b) 2
Cos c) 2Cos
d) 2Sen
e) 2Cos.Sen
06. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ AO
B
B’
y
x
L
a) Tg b) 2Tg
c) -Tg
d) 2Tg
e) -Tg2
07. Determine la variación de: 1Sen4E
a) ]3;3[ b) ]4;4[ c) ]5;3[
d) ]3;5[ e) ]5;2[
08. Determine la variación de: 3Cos2A 2
a) [3,5] b) [1,5] c) [-3,5]d) [-1,3] e) [-3,3]
09. Sabiendo que IIC .¿Cuál es la variación de :
?1Sen3L
a) 2; 0 b) 2; 1 c) 3 ; 0
d) 1 ; 1 e) 2; 4
10. Sabiendo que IIIC ; sabiendo la variación de:
1Cos2L
a) 3 ; 1 b) 3 ; 1 c) 1 ; 1
d) 3 ; 0 e) 2; 2
11. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de:
Sen|Cos|3Sen2) , , (f 2
Siendo , y independientes entre sí.
a) 0 b) 4 c) 8d) 8 e) 12
TRILCE
75
12. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.y
x
C.T.
150º
a) 2
41
43
b)
2 34
1
c) 2
21
6
d)
2 21
2
e) 2
21
3
13. Sabiendo que: 4
; 4
x ; señale la variación de:
1xTan3L 2
a) 1 ; 0 b) 1 ; 0 c) 4 ; 1
d) 4 ; 1 e) 4 ; 2
14. Sabiendo que: 2x¿Cuál es la variación de :
?12xCos3L
a) 2; 4 b) 2; 4 c) 1 ; 4
d) 1 ; 4 e) 1 ; 4
15. Siendo 245 ;
8x
Señale la variación de:
14
x2Sen2
4L
a) 2; 1 b) 4 ; 1 c) 4 ; 2
d) 6 ; 3 e) 8 ; 4
16. Sabiendo que
87 ;
2417x
Señale la variación de:
312
x2Cos4L
a) 3 ; 1 b) 3 ; 1 c) 5 ; 1
d) 3 ; 3 e) 6 ; 3
17. Señale Verdadero (V) o falso (F), según correspondaen:
I. Si:2
xx0 21 21 TanxTanx
II. Si: 21 xx
2 21 TanxTanx
III. Si: 2xx2
321 21 TanxTanx
a) VVV b) VVF c) FFVd) VFV e) VFF
18. Hallar todos los valores que debe tomar "K" para que laigualdad no se verifique:
53K2Sec
a) 4K 1K b) 4K1 c) 4K1 d) 4K1K e) 4K1K
19. En la C.T. calcular un valor de:
CosSenKy
x
L : y-2x+1=01x +y =12 2
a) 53
b) 54
c) 57
d) 51
e) 1
20. Sabiendo que: 1235x
1211
Señale la variación de;
182
xCos4C
a) [ 3 ; 2] b) [ 3 ; 3] c) [ 2 ; 3]d) [ 5 ; 6] e) [ 3 ; 5]
21. Si:2 ;
2 ; 2
Calcular la suma del máximo y mínimo valor de :
Sen4Cos3Sen2E
Trigonometría
76
a) 1 b) 2 c) 0d) 1 e) 2
22. De las cuatro proposiciones, indicar dos que sonimposibles:
I. 2xSen3 2
II. mn2Cosx)nm( 22 , Rnm
III. 2222 nmCscx)nm( ; 0nm
IV. 3Secx
a) I y II b) I y III c) II y IVd) II , III e) III , IV
23. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los siguientesenunciados:I. La función Seno y Coseno son negativos en el ter-
cer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.II. No existe función trigonométrica alguna de un án-
gulo del segundo cuadrante que sea positivo y au-mente a medida que el ángulo crece.
III. Sólo existe una función que puede tomar el valorde 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.
a) FFF b) VFF c) VFVd) VVV e) VVF
24. Cuando el ángulo "x" aumenta de 90º a 180º.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El Seno aumenta.b) El Coseno aumenta.c) El Cosecante aumenta.d) La Secante disminuye.e) La Cotangente aumenta.
25. En un círculo trigonométrico se tiene:
21 xx
2De las siguientes proposiciones:
I. 21 SenxSenx
II.12 CosxCosx
III. 12 CosxCosx
Es o son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) Sólo I y IIe) Las 3 son correctas
26. En la circunferencia trigonométrica, se pide indicar el
valor de DBOC , en función del ángulo " "
O
A
B
C
D
a) TanSec b) TanSec
c)
SenCos1
d)
SenCos1
e) CscSec
27. En el círculo trigonométrico, calcular el área de la regiónsombreada.
O
a) )1CosSen(21
b) )1CosSen(21
c) )CosSen1(21
d) )Cos21(21
e) )Sen21(21
28. Calcular BQ en el círculo trigonométrico adjunto enfunción de " "
O
B
Q
a) Sen1 b) Sen1
c) )Sen1(2 d) )Sen1(2
e) )Cos1(2
TRILCE
77
29. Evaluar:
)k(Tan)k(Cos)k(Sen k: número entero no negativo.
a) 1 b) 2 c) 1
d) k)1( e) 1
30. Si es un arco del segundo cuadrante, positivo menorque una vuelta.Hallar la extensión de:
)(Cos
Si : 46
a) 21)(Cos
21
b) 21)(Cos1
c)21)(Cos
22
d)23)(Cos1
e)22)(Cos
23
31. De las siguientes proposiciones:
I. Si : 0xx2 21 entonces:
21 xSenxSen
II. Si : 0xx2 21 entonces:
12 SenxSenx
III. CtgxCosxTanxSenx
Es positivo en el primer y tercer cuadrante y negativoen el segundo y cuarto cuadrante.Son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y IIId) Sólo III e) I , II y III
32. El mínimo valor de la función:
xTgf 2)x( ;
65 ;
3x es :
a) 0 b) 31
c) 3
d) No existe mínimo f e) 1
33. Si:
3 ;
6 para que valores de "x" se cumple
que:
2x3Sen)1x( 2
a)
149 ;
914
b)
139 ;
913
c)
169 ;
916
d)
119 ;
911
e)
109 ;
910
34. En la figura mostrada, halle el área de la regióntriangular OQP.
y
xOQ
P
(0;1)
(1;0)
a) 4CosSen b) 8
CosSen
c) 16CosSen d) 2
CosSen
e) CosSen
35. En la figura siguiente, calcular el área de la regiónsombreada.
y
x
x +y =12 231
3xy
a) 2)(Cos b) 2)(Cos
21
c) 2)(Cos
31 d)
2)(Cos21
e) 2)(Cos
21
36. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área dela región sombreada.
y
xO A
B
C
D
Trigonometría
78
a) 2
Sen2 b) 2
Tan2
c) 2SenTan
d) 2
SenTan2
e) 2SenTan 2
37. Según la figura, sólo una de las siguientes afirmaciones
es Verdadera para: 2
x0
y
xO A
B
C
Dx
C.T.
a) Tanx2xx2Sen
b) Tanxx2SenxCosx c) CosxxSenx d) SenxxCosx e) TanxxSenxCosx
38. Señale la variación de:
1Sen4
Tan4M 3
a) [5 ; 4] b) [4 ; 5] c) [3 ; 3]d) [6 ; 4] e) [3 ; 5]
39. Señale la variación de:
2SenxxSen1SenxxSenM
2
2
a)
23 ;
73
b)
43 ;
73
c)
74 ;
72
d)
1 ; 73
e)
43 ;
71
40. Señale Verdadero (V) o Falso (F), según correspondaen:
I. 2121 xx/2
; 0x ; x y
)Tanx(Sen)Tanx(Sen 21
II.2121 xx/
2 ; 0x ; x y
)Senx(Tan)Senx(Tan 21
III.2121 xx/
2 ; 0x ; x y
)Tanx(Cos)Tanx(Cos 21
a) VFV b) VVF c) FFVd) FFF e) FVF
41. En la C.T. mostrada: 2
1S
S
y
xS2S1
AA'
B
B'
a)2)1TanSec(Tan
21
b)2)1TanSec(Cos
21
c)2)1TanSec(Tan
21
d)2)1TanSec(Tan
21
e)2)1TanSec(Cos
21
42. En la C.T. mostrada: 1715
S
S
2
1
Calcular: "S"y
x
S1
AA'
B
B'
S O Q
N
S2
T
S
a) 2
715 b)
21712 c)
21714
d) 2
1716 e)
21720
TRILCE
79
43. Señale Verdadero (V) o Falso (F) en:I. Cos(Sen1) < Cos(Sen2)II. Sen(Cos2) > Sen(Cos3)III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)|
a) VVF b) VFV c) FFVd) FVF e) FVV
44. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen:I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2)II. Sec(Cos1) > Sec(Cos2)
III Si : TanSec2
a) FFF b) FFV c) VFVd) FVF e) VVF
45. Del gráfico mostrado, hallar las coordenadas de P.
y
x
x +y =12 2
P
a)
Tan1Tan ;
Tan1Tan
b)
Tan1Tan ;
Tan11
c)
Tan1Tan ;
Tan11
d)
Tan1Tan ;
Tan11
e)
Tan1Tan ;
Tan11
46. Sabiendo que:
TanCot2CotSeñale la variación de:
1|Sen|3L
a) [0 ; 2] b) [1 ; 2] c) 2; 1
d) 2; 1 e) 3 ; 1
47. Sabiendo que: 22
3
Señale Verdadero (V) o Falso (F), según correspondaen:
I. TanTan
II. SenTanSenTan
III. )Cos2(Tan)Cos2(Tan
a) FVF b) VVF c) FFVd) FFF e) FVV
48. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar el
área de la región sombreada, si AB//MNy
xAA'
B'
B
C.T
N
M
a) CovVers b) CosVers21
c) CovVers21
d) SenCov21
e) CosVers41
49. En la C.T. mostrada, calcular:
Ctg)S2(MS: área de la región sombreada.
Sx
yx +y =12 2
AO
B
a) 41
b) 21
c) 2
d) 1 e) 32
Trigonometría
80
50. Siendo x un arco perteneciente al intervalo 0) ; (
Además: 23Senx1
Hallar la variación de:
162
x Tan3K
a) 2; 1 b) 2; 2 c) 2; 21
d) 1 ; 21
e) 23 ;
22
51. Dado:
611 ;
6
Calcular la variación de: CosCosT 2
a)
4
323 ; 0 b)
4
323 ; 41
d)
4
33 ; 21
d)
21 ;
433
e)
21 ; 0
52. Si: 2
Además: 415Cos
47
Hallar la extensión de: 2Tan
a) ; 79
b) ; 151
c) ; 51
d) ; 7 e) ; 7
53. Calcular el valor de Tan , para el cual:
TanCscy2x3 , toma su valor máximo,, siendo x e y
las coordenadas del punto P.Además : 2AP = 3TP
y
x
x +y =12 2
A
P
T
a) 6 b) 36 c)
46
d) 26 e)
362
54. Sabiendo que:
245 ;
24x
Señale la variación de :
1x24
3 Csc2L
a) 4 ; 2 b) 4 ; 1 c) 4 ; 1
d) 3 ; 1 e) 3 ; 1
55. En la C.T. mostrada, las áreas de las regiones sombreadasson iguales.
Calcular: 3TanTanL
y
x
A
B'
M
N
QS
PA'
a) 2 b) 4 c) 3d) 6 e) 8
56. En la C.T. mostrada, hallar: TanSi : MP es una vertical de longitud igual al diámetro dela C.T. y además OQ = 0,5
y
xA
B'
A'
C.T.
O
Q
B
M
P
a) 1032
b) 1023
c) 1043
d) 1053
e) 1052
TRILCE
81
57. Si en la C.T. mostrada, el área de la región sombreada
es igual a 22 .
Calcular: 22 CosSecL
y
x
B'
M
A' AOS
B
a) 16 b) 8 c) 6d) 18 e) 24
58. Del gráfico, hallar MN :
y
xO
C.T.
M N
a)
CosCosSenSen
b)
CosSenSenSen
c)
CosCosCosCos
d)
SenSenCosCos
e)
SenSen
)CosCos(Sen
59. De la figura, "G" es el baricentro del triángulo OPQ.Calcular la ecuación de la recta que pasa por G y por elorigen del sistema de coordenadas, en términos de
y .
y
x
x +y =12 2
O
Q
P
a) x2
Tany
b) x2
Tany
c) x)( Tany
d) x2
Coty
e) x)(Ctgy
60. Si "S" representa el área de la región sombreada,reduzca:
232 Sen)CosS(SenEy
xO
C.T.
y=x2
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 21
Trigonometría
82
Claves Claves
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
c
d
b
a
b
b
d
a
b
c
e
a
d
d
c
c
d
c
c
b
a
b
b
c
e
c
b
c
d
b
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
a
b
d
e
c
e
e
e
b
d
a
b
d
d
e
d
e
a
d
a
b
b
d
e
a
c
d
e
b
b
TRILCE
83
CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE UNA VARIABLE8* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para
todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.
* CLASIFICACIÓN:
I . I. T. RECÍPROCAS:
Z n ; 2
n R x ; Tanx
1Cotx1TanxCotx
Z n ; 2
1)(2nR x ; Cosx
1Secx1CosxSecx
}Z n ; {n R x ; Senx
1Cscx1SenxCscx
II . I. T. POR DIVISIÓN:
Zn ;
2)1n2(Rx ;
CosxSenxTanx }Zn ; n{Rx ;
SenxCosxCotx
III. I. T. PITÁGORAS:
1xCscxCot
1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSecZn ;
21)(2nRx ; 1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSenRx ; 1xCosxSen
22
2222
22
2222
22
2222
Trigonometría
84
IV. I. T. AUXILIARES:
Zn ; nRx ; m1CotxCscxmCotxCscx
:Si
Zn ; 2
)1n2(Rx ; n1TanxSecxnTanxSecx
:SicbosxC
canxSe
:Entoncesbac cbCosxnxaSe
:SiRx ; Senx)(1 Cosx)2(1)CosxSenx1(
Rx ; xxCosSen31xCosxSen
Rx ; xxCosSen21xCosxSen
Zn ; 2
nR x ; xxCscSecxCscxSec
Zn ; 2
nR x ; SecxCscxCotxTanx
22
2
2266
2244
2222
1.
2.
3.
4.
5.6.
7.
8.
TRILCE
85
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx)
a) 1 b) Senx c) Cosxd) Secx e) Cscx
02. Simplificar: CtgxTgx
SecxCosx
CscxSenxE
a) 1 b) xSec2 c) xCsc2
d) Secx e) Cscx
03. Simplificar: Cosx.Senx
1)CosxSenx(E2
a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 0
04. Determinar "k" en: k2
Senx1Cosx
Senx1Cosx
a) xCos2 b) SenxCosx c) Senx
d) Cosx e) x2Sen
05. Reducir: Senx)]Tgx1(Ctgx)1Ctgx(Tgx[E
a) 1 b) Ctgx c) Cosxd) Tgx e) Secx
06. Simplificar: Cosx11
Cosx11E
a) 2 b) 2Secx c) 2Cscx
d) xSec2 2 e) xCsc2 2
07. Simplificar: TgxTgxSecx
1E
a) Secx b) Cosx c) Cscxd) Ctgx e) 2Tgx
08. Simplificar: )ICx(Senx
SenxSenxCosx21E
a) Senx b) Cosx c) 1d) Tgx e) Ctgx
09. Reducir: Senx
CtgxCscx.SecxE
a) 1 b) Senx c) Cosxd) Secx e) Cscx
10. Simplificar: 1CosxSen1xCosxSenE
66
44
a) 5/3 b) -1 c) 2/3d) 3/4 e) 1/3
11. Reducir: )xCosxSen(2)xCosxSen(3E 6644
a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2
12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n
a) 1nm 22 b) 5nm 22
c) 3nm 22 d) 7nm 22 e) N.A.
13. Si: Senx+Cosx = mCalcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
a) 2m1 2
b) 2m1 2
c) 2
)m1( 2
d) 2
)m1( 2e) 1+m
14. Si: Tgx+Ctgx = 3Calcular: E = Secx+Cscx
a) 3 b) 9 c) 11
d) 15 e) 17
15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx
a) 1 b) Senx c) Cosxd) Secx e) Cscx
16. Determinar "x" para que la igualdad:
x1
Cot1
Tan1
Cos1
222
Sea una identidad
a) 2Sen b) 2Cos c) 2Tand) Secx e) Cscx
17. Reducir: TgxSenx1
CosxE
a) Senx b) Cscx c) Secxd) Tgx e) Ctgx
Trigonometría
86
18. Si la igualdad es una identidadCalcular: M+N
xCtg4MCtgxCscxCtgxCscx
CtgxCscxCtgxCscx N
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
19. Hallar A en la siguiente identidad:
1CscxA
Senx1Senx1
a) xSen2 b) xCos2 c) xTg2
d) xCtg2 e) xSec2
20. Eliminar "x" a partir de:Tgx + Ctgx = aTgx - Ctgx = b
a) 3ba 22 b) 3ba 22
c) 4ba 22 d) 4ba 22
e) 8ba 22
21. Si:67CosxSenx
Calcular :C = Senx Cosx
a) 71
b) 61
c) 141
d) 121
e) 91
22. Si: 23CotxTanx Calcular:
xCscxSecC 22
a) 9 b) 12 c) 16d) 18 e) 36
23. Simplificar: SenxCosxCotxCosxSenxTanxC
a) 1 b) Tanx c) Cotx
d) xTan2 e) xCot2
24. Reducir:CosxSenx
xCosxSenC44
a) 1 b) Senx c) Cosxd) Senx + Cosx e) Senx - Cosx
25. Simplificar:
xSen)xCot1(xCos)xTan1(C 4242
a) 1 b) xxCosSen 22
c) xSen2 d) xCos2
e) 2
26. Simplificar:C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)
a) 1 b) xTan2 c) xCot2
d) SenxCosx e) Secx Cscx
27. Si: 97xCosxSen 44
Calcular: xCosxSenC 66
a) 31
b) 32
c) 91
d) 92
e) 94
28. Eliminar "x" de:Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n
a) 2)1m(n 2 b) 2)1n(m 2
c) 1)1m(n 2 d) 4)1m(n 22
e) 2)1m(n 22
29. Demostrar las siguientes igualdades:1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx
1.2 SenxCosx2xTanxCosxCotxSen 22
1.3 )1xCsc()xSen1)(1xSec( 222
1)xCos1( 2
1.4 11Cotx
CosxSenx1Tanx
CosxSenx 22
1.5 CotxxCosCosxxSenSenx
3
3
30. Reducir: 3SenxCscxCosxSecxW
a) 2Cotx
b) Secx c) Cscx
d) Tanx e) Senx
31. Si: 21aCosaSen 22
Entonces : Tana + Cota es:
a) 310
b) 3
34c) 102
13
TRILCE
87
d) 4
33e)
13102
32. Si:
)Cosx1)(Senx1(A)CosxSenx1( 2 Calcular: "A"
a) 1 b) 2 c) 1d) 2 e) 4
33. Hallar el valor numérico de la expresión:T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1)(Cos35º + Cos55º - 1)
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 e) 2
34. Si: 25CscaSena
Calcular : E = Cota + Cosa
a) 33 b) 32 c) 233
d) 3
32e)
33
35. Si: Cos4
Sen
Entonces el valor de:
CotTan21Tan , es :
a) 1 b) 1 c) 3
d) 3 e) 33
36. Calcular:
BSenACos 22 Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios
a) 1 b) 21 c) 0
d) 21
e) 1
37. Si: xCscxSec)xCotxTan( f 4422 Calcular: f (2) + f (3)
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
38. Si: 7xCscxSec 22 Calcular:
)xCotxCsc)(xTanxSec(C 2222
a) 13 b) 14 c) 22d) 16 e) 15
39. Si: 21
CosSenCos21 2
Entonces el valor de:
CosSenE , es:
a) 41
b) 81
c) 83
d) 43
e) 21
40. Reducir:
)CotxTanx)(1xCosxSen(C 66
a) SenxCosx b) 3SenxCosxc) - 3SenxCosx d) - 3e) 3
41. Si: Tanx + Cotx = 2 yCotxTanx
xnCotxnTan
xnCotxnTannn xCotxTanE
Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de 2E es :
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
42. Si: Senx Cosy = 0,5
Hallar : CosyyCosxCosP 22
a) 45
b) 43
c) 21
d) 23
e) 41
43. Calcular: Tan
Si: ba ; ba
abbSenaCos 44
a) ba
b) ab
c) ba
d) ba e) ab
44. Dado:Secy2Tanx21
Secx2Tany21 Calcular: E = Secx + Secy
a) 22
b) 12 c) 2
23
d) 32
e) 12
Trigonometría
88
45. El valor de "E" en la identidad:
SenECosSen 23
2 ;
2 , es :
a) 2Sen b) 2Cos c) CosSen
d) Cos e) Sen
46. Hallar el valor de "B" sabiendo que:
CosSenCosSenTanA
Cos-SenBSenA
a) 1 b) 2 c) 3d) 2 e) 5
47. Si: mnTana
Entonces:n (2Cosa + Seca) - 2mSena
Es igual a:
a) mCosa b) mSeca c) mnd) nSeca e) nCosa
48. Si : 2xSecxCosa 222 Encontrar el valor de:
C = Senx Tanx + 2Cosx
a) 2a2 b) 2a2 c) a
d) a e) a
49. Si: nTanxxSec2
Hallar: 3
33
)CosxSenx(xCosxSenC
a) 2n1n
b) 1n2n
c) 2n1n
d) 1n2n
e) 1n2n
50. Simplificar la expresión:
Senx1Cosx1
Senx1Cosx1K
; 2
3x
a) 2 b) Secx2
c) Secx2 d) Cosx2
e) Cosx2
51. Si: P, Q y R son constantes que satisfacen la relación:
1Cscx1
Senx11xQTanP R
Calcular: P . Q . R
a) 6 b) 2 c) 4d) 8 e) 12
52. Si:
24 y
97CosSen 44
Calcular: CosSenC
a) 3 b) 5 c) 33
d) 32
e) 33
53. Calcular el mínimo valor de:
xCscxSecE 44
a) 6 b) 4 c) 8d) 10 e) 12
54. Hallar: y = Senx CosxSi:Tanx - Senx = 1
a) 21 b) 21 c) 21
d) 12 e) 2
55. Sabiendo que es un ángulo agudo el cual satisfacela ecuación:
5CscCtg Determine el valor de la expresión :
Sen26Tg24
a) 10 b) 20 c) 15
d) 125
e) 135
56. Siendo: 2CotxTanx Calcular:
xxCotCosxTanxSenC 2424
a) 35
b) 37
c) 2
d) 3 e) 34
57. Siendo: Senx + Cosx = nHallar:
1CotxCscx1CotxCscx
1TanxSecx1TanxSecxC
a) 1n2 b) 1n
2 c)
1n2
2
d) 1n
22
e) 1n1
TRILCE
89
58. Siendo: Tanx + Cotx = 3
Calcular:CosxSenx
xCosxSenS77
a) 2713
b) 2719
c) 2729
d) 2725
e) 2731
59. Siendo:
2CotxTanx Calcular:
CscxSecxxCscxSecC
55
a) )65(3 b) )65(6
c) )63(6 d) )63(3
e) )63(5
60. Sabiendo que:
IVCx ; nCosxSenx Reducir:
Cosx1Cosx1
Senx1Senx1C
a) 1n1 b) 1n
1 c) 1n
2
d) 1n2 e)
1n2
2
Trigonometría
90
Claves Claves
b
b
c
d
e
e
a
e
d
c
ba
c
d
e
a
c
d
d
c
d
d
b
d
a
a
b
a
-
d
b
b
b
b
c
e
d
e
c
c
b
b
e
c
e
b
d
e
c
b
c
e
c
d
b
b
b
c
b
d
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
TRILCE
91
CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE
LA SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES9I . Para la Suma:
TanyTanx1TanyTanx)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
II . Para la Diferencia:
TanyTanx1TanyTanx)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
PROPIEDADES:
I .
ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos
ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen22
22
II .
CosyCosx)yx(SenTanyTanx
III.
: donde ; )x(SenbaK
R b, a bCosx aSenx K : Si
22
b
a
a + b2 2
IV.
22mín
22máx
baL
baL
R x , b, a ;bCosx aSenxL
: Si
Donde : a b : constantes
x : variables
Trigonometría
92
V.
)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx
ó
)yx(Tan)yx(TanTanyTanxTanyTanx
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ÁNGULOS
* Propiedades:
I .
1Ctgz Ctgx · Ctgy Ctgz · ii) Ctgx Ctgy · Tanx · Tany · TanzTanzTanyi) Tanx
Z n ; n ó z yx : Si
II .
ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1
i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz
Z n ; 2
1)(2n ó 2
z yx :
Si
TRILCE
93
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x)
a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx
d) Senx e) Senx3
02. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x)
a) Cosx b) Senx c) Cosx2
d) Cosx3 e) 22
03. Halle un valor agudo de "x" que verifique:
21Senx.x4SenCosx.x4Cos
a) 6º b) 12º c) 18ºd) 21º e) 24º
04. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla:Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = 0,5
a) 5º b) 10º c) 15ºd) 20º e) 30º
05. Si: Tgx = 2 Tgy = 3Calcular: Tg(x+y)
a) 1 b) -1 c) 2d) -1/2 e) -2
06. Si: 52Tan;
31Tan
Calcular: )(Tan
a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17d) -1/17 e) -1/19
07. Hallar el valor de: Sen7º
a) 10
433 b)
10433
c) 10
334
d) 5
433 e)
2433
08. Calcular: Tg8º
a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7d) 1/9 e) 1/11
09. Si: 2524Senzy
53Senx
Calcular: E =Sen(x+z); x z son agudos.
a) 225127
b) 117125
c) 222117
d) 125117
e) 2539
10. Simplificar:
)xº30(Sen)xº30(Sen)xº30(Cos)xº30(CosM
a) 1 b) 2 c) 3
d) 33
e) 33
11. Sabiendo que:Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y)
Cos(2x+y) = 54
Calcular: Ctg3x
a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5d) 5/4 e) 3/5
12. Obtener: Sen23º
a) 10
3 b)
10433
c) 10
433
d) 10
334 e)
10334
13. Del gráfico mostrado, calcular: "x".
x
1
4
37º
a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13d) 13/51 e) 3
14. Si: Cosx3
Senx2
Calcular: Tg(45º-x)
a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3d) 5 e) 3/7
Trigonometría
94
15. Hallar: )xº45(Sen2M
a) Cosx-Senx b) Senx-Cosxc) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx)
e) 22
16. Simplificar:L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x
a) Cosx b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos5x
17. Reducir:
º40Cosº10Sen2º50SenC
a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10ºd) Cot45º e) Sen30º
18. Si:
)º45x(Cos2)º37x(Sen5 Hallar : Cotx
a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37ºd) Csc37º e) 1
19. Simplificar:
SenSen)(CosCosSen)(SenC
a) Tan b) Tan c) Cot
d) Cot e) 1
20. Simplificar:
º10Senº30Senº40Cosº30Cosº10Senº40SenJ
a) 3 b) 1 c) 33
e) 2 e) 3
32
21. Siendo:x + y = 30º ; x y = 37º
Calcular:J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3d) 1,4 e) 1,5
22. Del gráfico, calcular: Tan
37ºBA
C
M
a) 163
b) 176
c) 197
d) 1712
e) 1914
23. Del gráfico, calcular: Tan
37º
A
B C
D
P
a) 4 b) 8 c) 16d) 9 e) 32
24. Siendo: º60Calcular:
22 )SenSen()CosCos(C
a) 32 b) )32(2 c) )32(3
d) 32 e) 3
25. Siendo:
x + y = 60º ; 43Tany
Calcular :
)yx(Tan)TanxTany1(M
a) 28
3b)
2835
c) 28
33
d) 14
33e)
1435
TRILCE
95
26. Señale el valor máximo que toma la expresión:C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x Cos2x) + Senx
a) 1 b) 12 c) 1
d) 14 e) 1
32
27. Sabiendo que:Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny + 3Cosy = 0
Donde: IIC y; IIICx Calcular:
L = Sen(x + y) + Cos(x y)
a) 2133
b) 2136
c) 2136
d) 2133 e) 2
135
28. Si: 53)cba(Tan y Tanb = 3
Calcular:Tan (a b + c)
a) 76 b) 7
21c) 11
27
d) 1729 e) 27
11
29. Si: A + B + C = 180ºEl valor de:E = TanA+ TanB+TanC TanA TanB TanC
a) 1 b) 1 c) 2d) 0 e) 2
30. Si x e y son ángulos complementarios (x > 0º),encontrar el valor de "m" de modo que se verifique laidentidad.
2
xTan1
2yTg1
m
a) 1 b) 2 c) 2xTan
d) 2yTan e) 2
yTan2xTan
31. Hallar TanA en un ABC, cuyos ángulos cumplen:SenA = nSenB SenCCosA = nCosB CosC
a) n b) 2n c) n 1
d) 1n2 e) n + 1
32. Simplificar:
)(CtgTan1
)(Ctg1Tan
P
a) TanTan b) TanTan
c) Ctg d) Tan
e) Ctg
33. Calcular el valor de:Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º
a) 22 b) 21
c) 2
21d)
22
e) 1
34. Simplificar la siguiente expresión:
a2Ctga5Ctg1
a2Tana5Tan1
a) a3Sena7Cos
b) a7Sena3Cos
c) Ctg7a
d) Ctg3a e) a7Sena3Sen
35. A partir de la figura, hallar "x".
x
7
2 3
30º
a) 3 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
36. Calcular: Sen75º + Cos75º
a) 26
b) 3
32c)
226
d) 36
e) 2
26
37. Si: baba)yx(Tan
; Tan(y z) = 1
Entonces: Tan(x z) es igual a:
a) ba
b) ab
c) baba
Trigonometría
96
d) baba
e) aba
38. Los ángulos , y satisfacen la relación:
TanTanTanTanTanTan
Hallar la suma de: (K : Número entero)
a) 0 b) k2 c) k2
d) k4 e) k
39. En la siguiente figura, la medida del lado x es:
x
2
6
4
a) 64 b) 234 c) 134d) 173 e) 63
40. Hallar el valor de:
2xy Cos )SenyCosx(
Sabiendo que:
Rad125 y, Rad
127x
a) 2
)62( b) 4
)33(
c) 0 d) 4
33
e) 2
23
41. El valor de la expresión:(Tan80º Tan10º) Ctg70º es :
a) 1 b) 1 c) 2d) 2 e) 0
42. Nos situamos a una distancia de 500 metros de unedificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos.Hallar el valor de la Tangente del ángulo mostrado..
10mo. piso
9no. piso
500
a) 31435
b) 5003143
c) 2741
d) 314325
e) 314336
43. Si:
; 5xSeny ;
54)t2y(Sen
t2y2
Expresar x en términos de Sen 2t y Cos2t solamente:
a) x = 4Cos2t + 3Sen2tb) x = 3Cos2t 4Sen2tc) x = Cos2t Sen2td) x = 2Sen2t 3Cos2te) x = 2Cos2t + 3Sen2t
44. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles enel que la longitud de la base menor es igual a la de sualtura y la longitud de su base mayor es igual a la de sudiagonal.Hallar: Tan
A
B C
D
a) 2 b) 34
c) 71
d) 43
e) 31
45. Hallar el valor aproximado de:
º86Cosº4CosD 22
a) 10
27b)
1029
c) 10
25
d) 10
2e)
1023
TRILCE
97
46. En un triángulo ABC, se cumple:
)BA(Sen2SenC
6233TanB Hallar el valor del ángulo BAC.
a) 3
b) 125
c) 6
d) 103
e) 32
47. Si:
21x
14Tan
Hallar:
x
285Ctg
a) 3 b) 2 c) 1
d) 21
e) 31
48. Determinar el mayor valor de A y el menor valor de Btal que:
BCosx2SenxA
a) 3 y 3 b) 5 y 5
c) 3 y 3 d) 52 y 52
e) 22 y 22
49. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, calcular elvalor de M.
2CTan1
2BTan1
2ATan1M
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
50. En la figura adjunta, la longitud del segmento AB es:
2
4
3
A B
C
a) 32 b) 33 c) 34
d) 35 e) 36
51. En la identidad trigonométrica:
)x(kCosCosx3Senx2
Determinar: Tan
a) 132
b) 32
c) 133
d) 23
e) 313
52. En la siguiente figura:
MDMC y8
AB4
CB3
MC
Calcular: TgxM
A B
CD
x
a) 413
b) 722
c) 38
d) 524
e) 917
53. Si: 3CosCos ySen2Sen
Hallar el valor de: )(Cos
a) 75 b) 7
3 c) 73
d) 75
e) 76
54. En la figura mostrada, calcular: Tan
2
3
1
a) 21
b) 2 c) 23
d) 25
e) 61
55. Si : º60 , el valor de la expresión:22 )SenSen()CosCos(A es
a) 2 b) 43
c) 1
d) 0 e) 21
Trigonometría
98
56. Si:Tan(x + 3y) = 5 y Tan(2y + x) = 4
Entonces el valor de Ctgy es :
a) 20 b) 21 c) 18d) 14 e) 15
57. Si:Tan(2a + b) = 8 y Tan(a + 2b) = 2
Entonces: Tan(a b) es:
a) 1712
b) 174
c) 6
d) 176
e) 10
58. Del gráfico calcular el valor mínimo de: Cot
Si: DC3
ED2
AE
A B
C
D
E
a) 610
b) 5103
c) 3102
d) 9102
e) 10
103
59. Del gráfico, calcular: Tanx
DA B
C
F
1
445º
x
2
a) 24117
b) 24121
c) 24123
d) 19517
e) 19521
60. Siendo:
2mCosCos
mSenSen ¿Cuál es la variación de "m" para que se cumplan las 2relaciones anteriores?
a)
2
15 ; 2
15
b)
2
15 ; 2
15
c)
2
15 ; 2
15
d)
2
15 ; 2
15
e)
2
25 ; 2
5
TRILCE
99
Claves Claves
b
c
b
b
b
d
a
c
d
c
a
e
c
b
a
a
e
c
a
c
c
b
e
e
b
a
d
c
d
b
e
d
e
d
b
a
a
e
a
b
c
d
a
c
a
a
a
b
e
e
b
b
d
a
c
b
d
d
b
d
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
101
CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE LA VARIABLE DOBLE10xTan1
Tanx2x2TanxSenxCosCos2x2SenxCosxSen2x
2xde Tangente 2xde Coseno 2xde Seno
222
También :
xSen21x2Cos 2
1xCos2x2Cos 2
* Fórmulas de Degradación :
x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2
x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2
42
42
* Propiedades :
I .
x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec 222 x2Csc2TanxCotx
II .
x2Sen1)CosxSenx(
x2Sen1)CosxSenx(2
2
III.
CosxSenxx2Sen1
CosxSenxx2Sen1
IV.
1x2SecTanx
x2Tan1x2SecxTanx2Tan
Trigonometría
102
* Triángulo del Ángulo Doble :
2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan22Sen
Tan2 2Tan1
2Tan1
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD
Cosx1Cosx1
2xTan
2Cosx1
2xCos
2Cosx1
2xSen
2x de Tangente
2x de Coseno
2x de Seno
Donde el signo )( dependerá del cuadrante en el que se ubique 2x
CotxCscx2xCotCotxCscx
2xTan
2x de Cotangente
2x de Tangente
TRILCE
103
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si " " es un ángulo agudo y 32Sen .
Calcular: " 2Sen ".
a) 5.94
b) 592
c) 591
d) 549
e) 45
02. Simplificar:
4Cos.2Cos.Cos.Sen8E
a) Sen2 b) Sen8 c) Sen16d) Sen4 e) Sen32
03. Si: 52Sen , calcular: 2Cos
a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5d) -3/5 e) -4/5
04. Si: 3
1Cos , calcular: 2Cos
a) -1/3 b) 1/3 c) 2/3
d) -2/3 e) 33
05. Si: 21Tg , calcular: 2Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3d) 5/3 e) 7/3
06. Si: 23Tg , hallar: Sen2
a) 11/13 b) 12/13 c) 14/15d) 13/15 e) 11/15
07. Si: 5
1Tg , determinar: 2Cos
a) 1/3 b) -1/3 c) 2/3d) -2/3 e) 3/4
08. Si: º180º90257Sen
Calcular: 2Sen
a) 625336
b) 625236
c) 625236
d) 625336 e) 625
436
09. Si: º270º180135Cos
Calcule: 2Sen
a) 169120 b) 169
120c) 169
60
d) 16960
e) 169140
10. Si: Tgx+Ctgx = n¿A qué es igual Sen2x?
a) 2/n b) n/2 c) 2nd) 1/2n e) 1/n
11. Si: º180xº9032Cosx
Calcule el valor de: Sen 2x
a) 66
b) 66 c)
126
d) 12
6 e) 3
62
12. Si: º270º180257Sen
Calcule el valor de: 2Sen
a) 10
2b)
1023
c) 10
25
d) 10
27e)
1025
13. Si: º180º9043Cos
Calcule el valor de: 2Cos
a) 22
b) 32
c) 42
d) 32 e)
42
Trigonometría
104
14. Si: 3
12
Cos , calcule: Cos
a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4d) -1/3 e) -2/3
15. Si: º180xº9031Cosx
Calcular el valor de: Tg 2x
a) 3 2 b) 2 c) -3 2
d) - 2 e) 5 2
16. Si: º270º1802120Tg
Calcule: 2Tg
a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4d) -3/4 e) 1
17. A qué es igual: 4xCtg
4xCscE
a) 2xTg b) 2
xCtg c) 8xTg
d) 8xCtg e) 8
xCtg
18. ¿A qué es igual: Ctg8º?
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
19. Reducir: E = Sec40º-Tg40º
a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25ºd) -Ctg25º e) 1
20. Si: 43Cos
2
Calcule:
2Cos
2Sen.7E
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
21. Reducir :H = (Tanx + Cotx) Sen2x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 23
22. Si : 32x2Sen
Calcule :
xCosxSenE 44
a) 97
b) 97 c) 9
2
d) 92 e) 7
2
23. Si :
163
CscSec1CosSen
22
66
,
el valor de 2Sen es :
a) 23
b) 2
13 c) 1
d) 1 e) 1
24. Simplificar la función f definida por :
x2
; xCscxSecf 22)x(
a) 2Sec2x b) 2Sec2xc) 2Csc2x d) Secx + Cscxe) 2Csc2x
25. Indique la expresión simplificada de :
ZK ; 2
K ; 4Cos12Cos1M
a) 2Cos4 b) 2Cos21
c) 2Sen21 d) 2Csc
41
e) 2Sen4
26. Si : 135Cos ;
23
Halle : 2
Cos
a) 132
b) 133 c) 13
2
d) 133
e) 265
TRILCE
105
27. Señale el valor de 8
Cos
a) 2
22 b) 2
22
c) 2
12 d) 2
12
e) 2
24
28. Reducir :
22
º24Cos11H
a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3ºd) Cos3º e) Sen12º
29. Si :
270º180º y54Cos ,
hallar : 2
Tan
a) 3 b) 54
c) 3
d) 45 e) 1
30. Si : n2xTan , donde x ,
entonces cuál de las siguientes alternativas es la correcta.
a)22
2
n12nCosx ;
n1n1Senx
b)22
2
x12xCosx ;
x1x1Senx
c)2
2
2 n1n1Cosx ;
n1n2Senx
d)2
2
2 x1x1Cosx ;
x1x2Senx
e) 22
2
n1
n2Cosx ; n1
n1Senx
31. Sabiendo que :
x2bCosaxCos7xSen3 22 Halle el valor de :
M = 3a 2b
a) 9 b) 15 c) 13d) 11 e) 7
32. Reducir :M = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x
a) Tanx b) Cotx c) 2xTan
d) 2xCot e)
4xotC
33. Reducir :
12xCscxTan
12xCscxCot
R
a) 2xTan2 b)
2xTan2 c)
2xCot2
d) 2xTan e)
2xCot2
34. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B con
A ángulo menor, la relación de catetos es 75
.
Se tiene la relación :E = 7Cos2A + 5Sen2A
Determinar el valor de E.
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
35. Encontrar aproximadamente el valor de :
2425Tan
a) 3231 b) 26
51
c) 31
321
d) 32
322
e) 6232
36. Sea : cbaSimplificar la siguiente expresión :Sen(3a + 2b + 2c) Sen(a + 2b + 2c) + Cos(b + c)Cos(b + 2a + c)
a) 1 b) 0 c) 1d) Cos2a e) Cos2b
37. Si A, B y C son los ángulos internos de un triángulo y
Sen(A + B) Cos(A + B) = 21
¿Cuánto vale 1 + TanC?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 1 e) 21
Trigonometría
106
38.
SenA
2ASen
2ACos SecAU
2
2ASen
4ASen
4ACos SenAN
2
KASen
K2ASen
2KACos CosAI
2
1K Simplificar la expresión :
CosA1INU
a) SenA CosA
b)KACos
KASen
c)KASen1
d) CosA SenA
e)KACos
KASen
39. Hallar la suma de los valores máximos y mínimos de lasiguiente expresión :
BCosx2xACosE 2
A, B son constantes reales.
a) B b) A c) 2B
d) 2A
e) 0
40. Si :53x2Sen ;
4 ; 0 x ,
calcular : xSenxCos 44
a) 1 b) 54
c) 53
d) 1 e) 53
41. Halle el valor de la expresión :
º40Cosº40Senº20Cos3º20SenW
a) 2 b) 4 c) 1
d) 21
e) 41
42. Halle "m" en la identidad :
m)mx(Senx
4Senx
4xSen2Sen
a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 3
43. El valor de :
22 )SenbSena()CosbCosa(
En función de
2baSen es:
a)
2baSen2 b)
2baSen4 2
c)
2baSen d)
2baSen2
e)
2baSen2 2
44. Si : Tanx + Cotx 2 = Sen2y A
22
22
)CosySeny()CosySeny(
)CosySeny()CosySeny(A
,
hallar : xCotxTanS 44
a) 4 b) y2Sen4 c) Sen2yd) 1 e) 2
45. Sabiendo que :
yx ; 43SenxSeny ,
hallar : Cos2(x y)
a) 41
b) 41 c) 2
1
d) 87 e) 8
7
46. Si : 2
Cos2
KSen
Siendo : 0Sen
CscSen
Sen12P2
Será :
a) )KK( 22 b) 1KK
c) 1KK d) 1KK
e) 1KK
TRILCE
107
47. Expresar en función de Tanx, la expresión:
x2Tanx2Secx2Cot
)x2Secx2Tan(2E 22
a) 2
Tanx1Tanx1
b)
Tanx1Tanx1
c) 1 2Tanx d) Tanx + 1e) 1 Tanx
48. Si : 0n ; nmTan ,
entonces el valor de 2mSen2nCos es :
a) m + n b) 2m + n c) 2m nd) m e) n
49. Si :
xCsc3xSec3xxSecTanY 2222
xxCscCot 22 ,entonces :
a) xCsc16y 4 b) x2Csc16y 4
c) 4x16Cscy d) 4Cscx16y
e) x2Cscy 4
50. Sea la ecuación :
0p2xnCos
2xmSen
¿Bajo cuál de las siguientes relaciones entre m, n y p, el
valor de 4xTan es único?
a) 222 pnm b) 222 npm
c) 222 mpn d) p2nm 22
e) pnm 22
51. Si x es un ángulo en el primer cuadrante y
21
baTanx
; encontrar el valor de la siguiente
expresión :
ba1
SenxCscxx2SenE
a) baa2 b) ba
b c) b2a
b2
d) ba2a2 e) ba
ab
52. El valor de X al simplificar la expresión :
2Sen12Sen1
Tan1Tan1X
2
a) 2Sen1 b) 2Sen1c) 1 d) 1e) 2Sen
53. Si : 1a1a)º45A(Tan
,
hallar : Sen2A
a) 2a1a2
b)
1aa2
2 c) 2a1
a
d) 2a1a2
e)
1aa
2
54. Si : Tan(x + 45º) = n ; 0n ,calcular : E = Sec2x Tan2x
a) 1n b) 2n c) 2n
d) 1n2 e) 2n
55. La expresión :
Sen1Cos
es equivalente a:
a)
4Tan b)
4Tan
c)
4Tan2 d)
42Tan
e)
42Tan
56. Hallar el valor de :
45TanB2TanA2Tan
Sabiendo que :TanA TanB = 1
ASen42A2Sen 2
a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) 2
57. Reducir la expresión :
)º150(Sen)º150(SenSen21S 222
a) )2º30(Cos b) )2º30(Sen
c) 2Sen d) 2Cos
e) )2º60(Sen
Trigonometría
108
58. Calcular :
8
Cos21
163Sen
16SenE 44
83Cos
21
a) 22
b) 22 c) 4
3
d) 21 e) 2
3
59. La siguiente suma :
...... 2xTan
21
2xTan
21F 22
nn 2
xTan21....
Es igual a :
a) Cotx2
xCot2
1nn
b) Cotx2
xCot21
n
c) Cotx
d) Cotx2
xCot21
n
e) Cotx )x2(Cot2 nn
60. Si :
º2Tanº1TanCos
º4Tanº1TanCos
º6Tanº1TanCos
Halle : 2
Tan2
Tan2
TanR
a) º1Senº7Sen
b) º1Cosº7Cos
c) º1Tanº7Tan
d) º2Senº9Sen
e) º3Cosº7Cos
TRILCE
109
Claves Claves
a
a
a
d
a
b
b
a
a
a
a
a
d
b
b
c
b
b
d
a
d
d
a
c
d
c
e
d
c
b
e
c
a
b
c
c
a
b
d
d
a
b
d
c
c
b
e
c
b
e
c
a
a
c
b
a
b
e
b
e
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
111
CapítuloIDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE LA VARIABLE TRIPLE11
xTan31
xTanTanx3x3Tan2
3
Cosx3xCos4x3Cos 3 xSen4Senx3x3Sen 3
Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x
FÓRMULAS ESPECIALES:
1x2Cos21x2Cos2Tanxx3Tan)1x2Cos2(Cosxx3Cos)1x2Cos2(Senxx3Sen
DEGRADACIONES:
x3CosCosx3xCos4 3 x3SenSenx3xSen4 3
PROPIEDADES :
x3Tan)xº60(Tan)xº60(TanTanx
x3Cos41)xº60(Cos)xº60(CosCosx
x3Sen41)xº60(Sen)xº60(SenSenx
Tanx + Tan(60º+x) + Tan(120º+x) = 3Tan3x
Trigonometría
112
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Señala el equivalente de la expresión:
xCosxCosxSenx3Sen
33
3
a) Tgx b) Secx c) Cscxd) Ctgx e) N.A.
02. Simplificar:E = (Tg2A+TgA)(Cos3A+CosA)Csc3A
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
03. La expresión que da Cos3x en términos de Cosx es:
a) 3Cosx+4Cos3x b) 4Cosx3Cos3xc) 3Cosx-4cos3x d) 4Cos3x-3Cosxe) 3Cos3x-4Cosx
04. El valor de la expresión:
Cosaa3Cos
Senaa3Sen es:
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
05. Si: 111Tgx . Calcular: Tg3x.
a) 3,07 b) 0,27 c) 3,27d) 32 e) 0,21
06. Sen2a = Cos3a, 0<a< 2
Calcular el valor de: Sena
a) 5
51b)
415
c) 3
15
d) 4
15 e) N.A.
07. Si: SenA = 2/3, entonces Sen3A es:
a) 1 b) 19/23 c) 27/22d) 21/29 e) 22/27
08. Calcular el valor de:
)º40Sen21)(º10Sen43(F 22
a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 1/3
09. Simplificar:
Sen3SenSen
Cos3CosCos 33
a) Cos b) Sen c) 1d) 3 e) 0
10. Del gráfico mostrado, hallar: "x".
A
E
D
C
B
x
4
3
a) 4 b) 7 c) 17
d) 8 e) 72
11. Simplificar:
º40Cosº20Cosº40Cosº20Cos 33
a) 3 b) 4 c) 4/3d) 3/4 e) 3/2
12. Reducir:2Cos6x . Sen3x + Sen3x
a) Sen6x b) 3Sen6x c) Sen9xd) Cos9x e) 3Cos6x
13. La siguiente igualdad es una identidad:
KCosK2
Cos3Cos
Sen3Sen
Hallar: "K".
a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3
14. Calcular: º36Cosº18Sen 33
a) 25
b) 85
c) 45
d) 65
e) 45
15. Calcular: Cot18º(4Cos18º-3Sec18º)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TRILCE
113
16. Calcular:Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º
a) 2 b) 4 c) 6d) 0 e) 8
17. Calcular:Cos85º(1+2Sen80º)
a) 23
b) 21
c) 4
26
d) 4
26 e)
415
18. Simplificar:
Tan3 (2Cos2 -1)-(2Cos2 +1)Tanan
a) Tan b) Cot c) 0
d) Tan3 e) Cot3
19. Calcular:3Cos210º.Sec250º.Sec270º
a) 64 b) 9/64 c) 1/64d) 192 e) 64/9
20. Calcular:
92Cos8
92Sec 2
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6
21. Siendo : 22Cot ; " " agudo..
Calcular : 3Sen
a) 97
b) 97 c) 27
23
d) 2723 e) 27
17
22. Si :31x2Cos ,
hallar : Cos6x
a) 2722
b) 2723
c) 2722
d) 2717
e) 2723
23. Hallar : Sen 111º
a) 1258
b) 125108
c) 125117
d) 125107
e) 1259
24. Sabiendo que :
IIC ; 22Cot ,
calcular :
Sec3SenC
a) 36
217b)
36217 c)
36223
d) 36
223 e) 36
27
25. Siendo : 32Sen
Calcular :
Cos3CosC
a) 31
b) 92
c) 97
d) 31 e) 9
2
26. Sabiendo que : 23
1Cos ,
calcular : Csc3SenP
a) 92
b) 94
c) 97
d) 92 e) 9
4
27. Señale el valor de "Senx", si :Sen2x = Cos3x
a) 4
15 b)
415
c) 1d) a y c son respuestas.e) a, b y c son respuestas.
28. Reducir :
Cosxx3Cos
Senxx3SenA
a) Cosx b) Sen2x c) Sen4xd) 4Cos2x e) 2
Trigonometría
114
29. Siendo : 31Sen ,
calcular :
Cos3CosL
a) 311
b) 27
c) 311
d) 2 e) 95
30. Reducir :C = (Cos3x + 2Cosx) Tanx
a) Sen3x Cosx b) Tan3xc) Sen3x d) Cos3x Senxe) Cot3x
31. Si : Sen3x = 0,25 Senx,
calcule : 1xTan5K 2
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
32. Si : Tan3x = 5Tanx,calcule : |Tan2x|
a) 7 b) 14 c) 52
d) 37
e) 5
33. Al calcular el valor de :
º10Cos3
º10Sen1F ,
obtenemos :
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4
34. El valor de :E = Cos80º Cos20º Cos40º es:
a) 2 b) 43
c) 4
d) 21
e) 81
35. Simplificar :
º20Sen31º20SenE
a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40ºd) Tan20º e) Sec20º
36. Simplificar :
x3CosSenx2x3SenC
a) Tanx b) Tanx c) Cotx
d) Cotx e) xTan2
37. Siendo :
31
xCosx3Cos
xSenx3Sen3
3
,
calcular : L = Tan3x Cotx
a) 136
b) 133 c) 13
12
d) 133
e) 136
38. Calcular el máximo valor de :
xCot . x3TanM 3 ; 2
; 0x
a) 21217 b) 21217
c) 21712 d) 21712
e) 25
39. Si : 4
15º18Sen ,
hallar el valor de M,si :
MSec15º Sec9º = Sen15º Sen9º
a) 8581 b) 15
8
c) 4541 d)
815
e) 154
40. Al simplificar la expresión :E = Sen6º Sen54º Sen66º
Obtenemos :
a) Sen12º b) 2Sen6ºc) Sen18º d) 2Sen12º
e) 4
º18Sen
41. Calcular el valor aproximado de la expresión :S = Csc27º Sec27º
a) 53 b) 53
TRILCE
115
c) )53(2 d) 55
e) 2
53
42. El valor de :
3º20Cos41x
Es igual a :
a) Cot10º b) Tan10º c) Cot20ºd) Tan20º e) 2Tan10º
43. Calcular el valor de ,.
2
22
)CosSen(
CosSen3CosSenCos3Sen
a) 1 b) 1 c) 2
d) 2 e) 21
44. En el triángulo de la figura, hallar el ángulo , paraque a sea doble de b.
x y z
a ab b
a) 23ArcCos b)
32ArcCos
c) 41ArcCos d)
21ArcCos
e) 43ArcCos
45. Calcule:
º13Cosº17Senº13Cosº17SenM
33
a) 21
b) 43
c) 83
d) 23
e) 41
46. Si :Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,
calcular : K + p
a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8
47. Si : Cos39º = nCos13º,
halle : º13Tan2 en términos de "n"
a) n1n3
b) n1n2
c) n1n3
d) n1n2
e) n3n1
48. Si :1n1n
Tanxx3Tan
,
halle : x3Sen
Senx en términos de "n"
a) n + 1 b) 1)1n( c) n2
d) n 1 e) 1)1n(
49. Sabiendo que : nSenz
z3SenSeny
y3SenSenx
x3Sen ,
hallar : Coszz3Cos
Cosyy3Cos
Cosxx3CosL
a) n + 3 b) n 3 c) n + 6d) n 6 e) 2n 6
50. Del gráfico, hallar la medida del ángulo " "
a
4a
43º17º
13º
a) 39º b) 17º c) 36ºd) 51º e) 48º
51. El valor de :
º70Secº50Secº10Sec2 222 es :
a) 3
128 b) 649 c)
641
d) 192 e) 964
52 El valor de :G = Cot24º Cot57º Cot24º Cot33º
a) 2 b) 3 c) 2d) 1 e) 1
Trigonometría
116
53. Hallar el valor de la expresión :
º80Tanº40Tanº20TanM 222
a) 12 b) 9 c) 21d) 24 e) 33
54. En el gráfico :
8495
S
S
2
1 ,
calcular " "
S1S2
32
A
B
CD
a) 76ArcCos b)
98ArcCos
c) 109ArcCos d)
1110ArcCos
e) 65ArcCos
55. Del gráfico, calcular : 3Sen
A
C
D
E
F
4
2
3
2
2
a) 43
b) 83
c) 31
d) 32
e) 61
56. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de una torre;con un ángulo de elevación " ". Si nos acercamosuna distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de
elevación es " 2º90 ".Calcular el valor de :
Tan2SecL
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
57. Calcular :L = Tan130º Tan10º + Tan70º Tan130º Tan10º Tan70º
a) 3 b) 3 c) 2d) 2 e) 6
58. Del gráfico, hallar : yx
A
B
C5º 45º 80º 20ºD Ex y
a) º5Csc2 b) º10Csc2
c) º5Csc22 d) º10Csc
22
e) º5Csc42
59. Del gráfico, hallar : x
2
A B
C
D
m
nx
a) mnm
2m
b) mnm
2n
c) mnm
2n
d) nnm
2n
e) nnm
2m
60. Del gráfico, hallar la longitud de CD
24º 36º
16
A
B
C
D
E6º
a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36d) 3,23 e) 2,32
TRILCE
117
Claves Claves
a
b
d
d
b
b
e
c
d
d
d
c
c
c
b
b
d
c
a
e
c
e
c
d
c
c
a
e
e
c
c
d
e
e
b
b
d
a
a
e
c
c
c
e
b
d
e
b
d
a
a
c
e
a
a
a
a
e
c
a
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
119
Capítulo
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS12IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS
CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.
2BA enS
2BA Sen2CosACosB
2BA Cos
2BA Cos2CosBCosA
2BA Cos
2BA Sen2SenBSenA
2BA Cos
2BA Sen2SenBSenA
Demostración :Conocemos :
(4) .................. SenxSenyCosxCosy)yx(Cos(3) .................. SenxSenyCosxCosy)yx(Cos(2) .................. CosxSenySenxCosy)yx(Sen(1) .................. CosxSenySenxCosy)yx(Sen
Si sumamos (1) + (2) obtenemos :Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)
Hacemos un cambio de variable :
Sea:
ByxAyx obtenemos :
2BA y
2BAx
Luego en (*) :
2BACos
2BASen2SenBSenA
Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.CASO IIPara el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia.Siendo : x y
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)
2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y)
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)
2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y)
Trigonometría
120
SERIES TRIGONOMÉTRICAS :
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética.
n
1K
n
1K 2UPCos
2rSen
2nrSen
)r)1K((Cos
2UPSen
2rSen
2nrSen
)r)1K((Sen
Donde :
n : # de términos r : razón de la P.A. P : primer ángulo U : último ángulo
Propiedad Z n
21
1n2n2Cos....
1n26Cos
1n24Cos
1n22Cos
21
1n2)1n2(Cos....
1n25Cos
1n23Cos
1n2Cos
Productorias Z n
2
1n21n2
nSen....1n2
3Sen1n2
2Sen1n2
Senn
1n21n2
nTan....1n2
3Tan1n2
2Tan1n2
Tan
2
11n2
nCos....1n2
3Cos1n2
2Cos1n2
Cosn
TRILCE
121
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:
x2CosSenxx5SenE
a) 2Sen3xCos2x b) 2Sen3x+1c) 2Sen3x d) 2e) 2Cos3x
02. Reducir:
xCosx3Senx2Senx4SenE
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
03. Reducir:
º10Cosº20Senº40SenE
a) 1 b) 1/2 c) 1/4d) 2Sen10º e) Cos10º
04. Reducir:
Cosx.x2CosCosxx3CosE
a) 1 b) 2 c) Sen3xd) Sen2x e) Cosx
05. Reducir:
xCosx6Senx5Senx7SenE
a) 1 b) 2 c) 3d) Senx e) Cosx
06. Reducir:
xCosx4Cos2x3Senx5SenE
a) 1 b) 2 c) Senxd) Tanx e) Cotx
07. Reducir:
º10Senº7Sen2º3Senº17SenE
a) 1 b) 2 c) Tan10ºd) Cot10º e) Tan3º
08. Reducir:
º80Senº50Cosº20SenE
a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3
09. Reducir: º80Cosº20Cosº20Senº80SenE
a) 1 b) 2 c) Tan50º
d) 3 e) 33
10. Reducir:E = (Sen70º+Cos70º).Sec25º
a) 1 b) 2 c) 22
d) 1/2 e) 2
11. Simplificar:
Cosxx3CosSenxx3SenE
a) Tanx b) Cotx c) Tan2xd) Cot2x e) 2
12. Simplificar:
x7Cosx3Cosx3Senx7SenE
a) Tan2x b) Cot2x c) Tan4xd) Cot4x e) 1
13. Simplificar:
x2Senx3CosCosxE
a) Senx b) -Senx c) 2Senxd) -2Senx e) Cos2x
14. Simplificar:
x5Cosx3CosCosxx5Senx3SenSenxE
a) Tanx b) Tan2x c) Tan3xd) Tan4x e) Tan5x
15. Transformar a producto:E = Sen2x + Sen4x + Sen6x + Sen8x
a) Sen5xCos2xCosx b) 4Sen5xCos2xCosxc) 4Cos5xCos2xCosx d) Cos5xCos2xCosxe) 4Sen2xCos3xCosx
16. Reduzca: º10Cosº70Cosº10Senº70SenG
a) Tan40º b) Cot40º c) 3
d) 33
e) Tan20º
Trigonometría
122
17. Reduzca :
x7CosCosxSenxx7SenH
a) Tan3x b) Cot3x c) Tan4xd) Cot4x e) Cot4x
18. Simplifique :
º50Cosº30Cosº10Cosº60Senº40Senº20SenG
a) º40Sen3 b) º40Sen23
c) º40Sen32 d) 2Sen40º
e) º40Sen43
19. Transforme a producto :R = Sen3x + Sen5x + Sen9x + Sen11x
a) 4 Cosx . Cos3x . Sen7xb) 2 Cosx . Cos3x . Sen7xc) 4 Cos2x . Cos3x . Sen7xd) 2 Cos2x . Cosx . Sen7xe) 2 Cos2x . Cos3x . Sen7x
20. En un triángulo ABC; reducir :
)BA(SenB2SenA2SenL
a) 2CosC b) 2CosC c) 2SenCd) 2SenC e) CosC
21. La expresión : CosyCosxSenySenx
Es igual a :
a)
2yxTan b)
2yxSen
c)
2yxCos d)
2yxCot
e) )yx(Cos)yx(Sen
22. La expresión :
x4Senx2Senx3SenSenx
es igual a :
a) x6Senx4Sen
b) 1
c) x3Senx2Cos
d) x3Senx2Sen
e) Sen2x
23. La expresión :Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x
es igual a :
a) Sen4x + Sen12xb) Sen16xc) 4Senx Sen2x Cos4xd) Sen4xe) 4Cosx Cos2x Sen4x
24. Transformar en producto la siguiente expresión :
xSen42x8Cosx4Cos 2
a) Cos2x Cos3x b) x3xSen2Cos4 2
c) x2xSen2Cos2 2 d) x3xCos2Cos4 2
e) x2xCos4Cos4 2
25. Transformar en producto la expresión :E = SenA + Sen2A + Sen3A
a) CosA2ACos
2A3Sen4
b)2A3SenACos
c)2ASenASen
2A3Cos2
d)2ASenASen
2A3Cos4
e) ACosA2Cos2A3Cos3
26. La expresión :
TanxSenxCosxSenxCosxSenx
x2Senx4Sen2
es igual a :
a) Tanx b) Cos2x Cos3xc) 2Senx Cos3x d) Sen2x Sen3xe) 2Sen3x Cosx
27. Reducir:E = 2Sen3xCos2x - Senx
a) Senx b) Sen3x c) Sen4xd) Sen5x e) Sen6x
TRILCE
123
28. Simplificar:E = 2Sen5xCos3x-Sen8x
a) Senx b) Sen2x c) Sen3xd) Sen4x e) Sen5x
29. Reducir:E = 2SenxCos3x+Sen2x
a) 1 b) -1 c) Sen2xd) Sen4x e) Cos2x
30. Reducir:E = 2Sen5xCosx-Sen6x
a) Sen2x b) Sen4x c) 0d) 1 e) Senx
31. Reducir: E = 2Cos40ºCos20º-Sen70º
a) 1 b) 1/2 c) 23
d) 3 e) 0
32. Reducir: E = 2sen4xCos2x-Sen6x
a) Senx b) Sen2x c) Sen3xd) Sen5x e) Sen4x
33. Reducir: A = 2Cos5xCosx-Cos6x
a) Cos2x b) Cos3x c) Cos4xd) Cos5x e) Cos8x
34. Reducir: E = 2Sen5xSen3x+Cos8x
a) Sen2x b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos6x
35. Reducir:E = 2Cos50ºCos10º-Cos40º
a) 1/2 b) 23
c) 1
d) 3 e) 2 3
36. Reducir:E = 2Sen3xSenx+Cos4x
a) Cosx b) Cos2x c) Cos3xd) Cos4x e) Cos6x
37. Calcular: x6Senx4cosx2Sen2x4SenxCosx3Sen2E
a) 1 b) -1 c) 0d) Sen6x e) Sen4x
38. Calcular:
º80Cos2º70Senº80Cos41E
a) -1 b) 1/2 c) 1d) -1/2 e) 0
39. Simplificar:
2Sen2Cos5Cos3Cos4CosE
a) Sen2 b) Sen c) Cos
d) Cos2 e) Sen4
40. Reducir:
x3SenCosx.x4Sen2Senxx3Cos.x2Sen2E
a) 1 b) -1 c) Sen5x
d) Senxx5Sen
e) Cosx
41. Reduzca :
x9Cosx4xCos5Cos2x4SenxCosx3Sen2H
a) 2Senx b) 2Cosx c) Senx
d) Cosx e) Cosx21
42. Si :P(x) = Sen3x Cos2x + Sen3x Cos4x Senx Cos6x
Calcule :
30
P
a) 1 b) 21
c) 2
d) 3 e) 23
43. Halle el valor de la expresión :
º25Cosº10Cosº35Cos2º20Senº20Cosº40Sen2R
a) 42
b) 43
c) 26
d) 36
e) 62
Trigonometría
124
44. Si se define la función :
x
9Cosx
92Cosf )x( ,
halle : )x(fmáx
a) 1 b) 21
c) 23
d) 43
e) 41
45. Del gráfico, calcule "x"(Cos40º = 0,766)
50º10º
A B
C
D
4
x
a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216d) 3,108 e) 2,748
46. Si el ángulo A mide rad13 ,
hallar el valor de :
A4CosA2CosA10CosACosF
a) 1 b) 21 c) 3
2
d) 21
e) 23
47. Dada la expresión x2Cos2xSen2
,
indicar si es igual a :
a)
2x3Sen
2x5Sen
b)
4x3Sen
4x5Sen
c)
2x3Sen
2x5Sen
d)
4x3Sen
4x5Sen
e)
4x3Cos
4x5Cos
48. Cuál de las siguientes expresiones equivale a : 2Cos6xSenx
a) Cos7x + Sen5xb) Cos7x + Senxc) Sen7x + Sen5xd) Sen7x + Cosxe) Sen7x Sen5x
49. La suma de los senos de tres arcos en progresión
aritmética de razón 32
es :
a) 1 b) 0 c) 1
d) 32
e) No se puede determinar.
50. Si :
aSenSen
bCosCos
)0ba( 22
Calcular : )(Cos
a) 22 ba
ab2
b) 22 ba
ab2
c) 22
22
ba
b3a
d) 22
22
ab
ab
e) ab2
ab 22
51. Si :Senx + Seny = aCosx Cosy = bcalcular :
)yx(aCos)yx(Sena)yx(Cos)yx(aSen1M
a) 1ab b) ab c) ba
d) ab e) b
a
52. Si : Sen2x + Sen2z = 0 y 4
xz ,
los valores de xCoszCos 22 serán :
a)2
22 ,
212
b)221 ,
221
c)221 , 21
TRILCE
125
d)221 , 21
e)221 ,
222
53. Transforme a producto :
)(2Cos 2Cos 2Cos 2CosW
a) )(Cos)(Cos)(Cos2
b) )(Cos)(Cos)(Cos4
c) )(Cos)(Cos)(Sen2
d) )(Cos)(Sen)(Cos4
e) )(Cos)(Cos)(Cos4
54. Si : Cos2x Cos4x Cos8x = 0,5,
calcule : x9Tanx7TanA
a) 0,6 b) 0,8 c) 1,6d) 1,8 e) 2,4
55. Calcular el valor de la siguiente expresión:
º70Sen2º80Sec21
a) Tan10º b) Cot10º c) 1
d) 1 e) º10Cot21
56. La función trigonométrica :
x2CosCosxx2TanTanx)x(f
es equivalente a :
a))x2CosxCos)(x2CosCosx(
x2SenxSen
b))x2CosxCos(
x23Sen
c)
2xxCos2CosxCos
x 23Sen
d)x
23Sen
2xxCosxCos2Cos
e)x2CosCosxx2xCos2Sen
57. Si : Seny = 2Sen(2x + y),entonces : Tan (x + y) es igual a :
a) 2Tanx b) 4Tanx c) 5Tanxd) 3Tanx e) Tanx
58. Si : 2Sen5x = 3Sen3x,hallar :
xCotx4Cot25M 22
a) 2 b) 1 c) 2d) 1 e) 0
59. Simplificar :
º20Sen31º20SenE
a) 2Tan20º b) Tan40ºc) 2Tan40º d) Tan20ºe) Sec20º
60. Calcular el valor aproximado de la expresión :S = Csc27º Sec27º
a) 53 b) 53 2
c) 2
53 d) 53
e) 55
Trigonometría
126
Claves Claves
c
b
a
b
b
d
d
a
d
b
a
b
c
c
b
a
d
c
a
b
a
d
e
d
a
e
d
b
d
b
b
b
c
b
a
b
b
c
b
a
a
b
c
d
a
b
c
e
b
d
d
e
b
a
d
c
d
e
b
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
127
CapítuloFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES
DE VARIABLE REAL13INTRODUCCIÓNDentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad pararepresentar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar.En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en larepresentación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
F.T. = {(x ;y) / y = R.T. (x) ; x D(F.T.)}
Por ejemplo :
}D(Tan) x ;Tanx y/ )y;x{(Tangente).(T.F
Si queremos algunos pares ordenados :
... , 3 ;
32 , 3 ;
3 , 1 ;
4 , 0) ; (0)Tangente.(T.F
CONSIDERACIÓN I :Para el análisis de cada una de las funciones trigonométricas, tendremos que recordar las representaciones, en la circunferenciatrigonométrica, de las Razones Trigonométricas, así como algunas propiedades adicionales.
Sen
Sen Sen
Sen
AA’x
B
B’
y
Cos
CosCos
Cos
AA’x
B
B’
y
AA’x
B
B’
y
Tan
Tan
Cuadro de Variaciones I
0000Tan
10011001Cos
01100110Sen
22
32
322
0
Trigonometría
128
Además, no olvide que en la C.T. mostrada, los arcos con extremo en :
Zn ; 2
3)(4n forma : la de es B'
Zn ; 1)(2n : forma la de es A'
Zn ; 2
1)(4n : forma la de es B
Zn ; n2 : forma la de esA
A’ A
B
B’
x
y
Pero si debido a alguna condición; puede estar ubicado en :
A o A' ; es de la forma : n ; Zn
B o B' ; es de la forma : 2
)1n2( ; Zn
A,A' ; B o B' ; es de la forma : 2
n ; Zn
Por ejemplo : si nos pidiesen hallar " " que cumple :
0Sen " " tiene su extremo en A o A' n ; Zn
1Sen " " tiene su extremo en B 2)1n4( ; Zn
0Cos " " tiene su extremo en B o B' 2)1n2( ; Zn
1Cos " " tiene su extremo en A' )1n2( ; Zn
02Sen " 2 " tiene su extremo en A o A' n2 ; 2n ; Zn
ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
I. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
F.T.(Sen) = {(x ;y) / y = Senx ; x D(Sen)}
Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :
2x
1x
2Senx
1Senx
25
23
2
1
02
2 3 x
y
1
Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar :
TRILCE
129
* D(Sen) = R
* 1Senx1]1 ; 1[R(Sen)
mín
máx* Es una función continua en R.* Es una función creciente y decreciente.* Es una función periódica : 2T (periodo principal)* Es una función impar : Sen(x) = Senx* No es inyectiva.
II . FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO
F.T.(Cos) = {(x ;y) / y = Cosx ; x D(Cos)}
Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :
2x
1x
2Cosx
1Cosx
25
23
2
1
02
2
3x
y
1
Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar :* D (Cos) = R
* 1Cosx1]1 ; 1[R(Cos)
mín
máx* Es una función continua en R.* Es una función creciente y decreciente.* Es una función par : Cos(x) = Cosx* Es una función periódica : 2T (periodo principal)* No es inyectiva.
III. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE
F.T.(Tan) = {(x ; y) / y = Tanx ; x D(Tan)}
De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se
define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir, los arcos de la forma Zn , 2
)1n2( no
pertenecen al dominio de la función.
25
23
2 0
2 2 x
y
Tan
Tan
3
Asíntotas
Trigonometría
130
A la curva se le va a denominar tangentoide; y de allí podremos afirmar :
*
Zn ;
2)1n2(R)Tan(D
* Tanx R)Tan(R
* No se define en 2
)1n2( ; Zn
* Es una función creciente en cada cuadrante.* Es una función impar : Tan(x) = Tanx
* Es una función periódica : T (período principal)* No es inyectiva.
CONSIDERACIÓN II :
AA’x
B
B’
y
AA’ x
B
B’
y
Sec
Sec
Cot Cot
Csc
Csc
AA’x
B
B’
y
Nótese de los gráficos, aparte de las representaciones de las R.T.; que la cotangente, secante y cosecante no se definenrespectivamente, para arcos cuyo extremo coincide con :A y A' n ; Zn
B y B' 2
)1n2( ; Zn
A y A' n ; ZnCuadro de variaciones II :
0
Csc
111Sec
0Cot
22
32
322
0
1
1
0 0
1
1 1
IV. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE
}D(Cot)x ;Cotx y/ y); x{()Cot.(T.F
TRILCE
131
De acuerdo a lo visto en la representación y en el cuadro de variaciones, tendremos :
23
2 0
2 x
y
Cot
Cot
2
Asíntotas
Curva que recibe el nombre de cotangentoide; de donde podemos afirmar :
* }Zn ; n{R)Cot(D
* CotxR)Cot(R
* No se define en n ; Zn* Es una función decreciente en cada cuadrante.* Es una función impar : Cot(x) = Cotx
* Es una función periódica : T (periodo principal)* No es inyectiva.
V. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE
}D(Sec)x ;Secx y/ y); x{()Sec.(T.F
Según la representación y variación, tendremos :
230
2 x
y
2
Asíntota
2
1
1
25 3
Curva denominada secantoide, de donde afirmamos :
*
Zn ;
2)1n2(R)Sec(D
* 1Secx o 1Secx ; 11 ; )Sec(R
* No se define en Zn ; 2
)1n2(
* Es una función creciente y decreciente* Es una función par : Sec(x) = Secx* Es una función periódica : 2T (período principal)* No es inyectiva.
Trigonometría
132
VI. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE
D(Csc) x ;Cscx y/ y);(x )Csc(T.F
23
02 x
y
2
Asíntota
2
1
1
25
Curva a la que se denomina cosecantoide, de la cual afirmaremos :* }Zn ; n{R)Csc(D * 1Cscx o 1Cscx ; 11 ; )Csc(R * No se define en Zn ; n * Es una función creciente y decreciente* Es una función par : Csc(x) = Cscx* Es una función periódica : 2T (periodo principal)* No es inyectiva.
TRILCE
133
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Halle la suma del máximo y mínimo valor de la función:f(x) = 3+Senx
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
02. Indique el mínimo valor que asume la función:g(x) = 4-Cos2x
a) 1 b) 3 c) 5d) 6 e) 7
03. Determine el dominio de la función: 2Senx
4)x(f
a) }Zn/2
n{R b) R
c) R - {0} d) }Zn/n{R
e) }Zn/3
)1n2{(R
04. Determine el dominio de la función: )x1(Cos4)x(H
a) R b) R - {0} c) R - {1}
d) }Zn/n{R e) R - {2}
05. Graficar la función:
y = F(x) = 2Senx; ]2;0[x
a) b)y
x
-1
1
/223 /2
y
x
-1
1
2
c) d)y
x
-2
2
2
y
x
-2
2
2
e)
y
x2
1
0
06. Graficar: y=f(x) = |Senx|; ]2;0[x
a) b)
y
x
-1
1
2
y
x
1
20
c) d)
y
x2
y
x
-1
1
2
0
e) N.A.
07. Dadas las funciones f y g definidas por: f(x)=2Cosx yg(x) = 1+Cosx.Hallar un intervalo donde f(x) < g(x)
a) <0; 2
> b) <0;> c) <;2>
d) < 2
; 23
> e) <0;2>
08. Determine el rango de la función: H(x)=3+3Cos2x
a) [2,5] b) [2,4] c) [3,6]d) R e) [0,3]
09. Determine el rango de la función: F(x)=4-2Sen2x
a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]d) [-1,1] e) R
10. Determine el rango de: g(x)=8Sen2x-1
a) [-2,5] b) [-1,7] c) [2,4]d) [-3,3] e) R
11. Determine el periodo de: y=f(x)=4Cos3x+7
a) 2 b) 32
c) 3
d) 23
e)
Trigonometría
134
12. ¿Cuál es el dominio de la función: f definida por:
1)x(Sen2)x(f ?
a) R b) R-{1} c) [-1;1]d) R-{0} e) [0;+ >
13. ¿Cuál es el dominio de la función g definida por:
2)x
1(Cos3)x(g ?
a) R b) R+{0} c) [-1;1]d) R-{1} e) <0;+>
14. Determine el rango de la función f definida por:
1CosxxCos2)x(f 2 .
a) ]89;2[ b) ]
167;2[ c) ]
87;4[
d) ]47;4[ e) ]
87;
23[
15. Si f es una función definida por:
25Senx2xSen)x(f 2
Determine el valor de: mínmáx f4f2E
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
16. Graficar: y = |Sen4x|Indicar su periodo.
a) 8 b) 4
c) 2
d) e) 2
17. Determine la extensión de la función:
TanxSenxCosxTanx)x(H
a) [-2;2] b) [-1;1] c) [1;2]d) [-1;5] e) R
18. Si: 1xSen
1|Senx|)x(F
2
. Determine el rango de F..
a) <- ;-1] b) <-1;1> c) [0;1>d) <1;+ > e) R-{0}
19. Si: |Cosx|2)x(g . Determine el rango de g.
a) ]2;0[ b) ]2;2[ c) ]3;2[
d) [-1;1] e) ]3;1[
20. Hallar el rango de la función f definida por:
]2;0[x;3Senx2Senx)x(f
a) ]2/1,0[ b) ]4/3,2/1[ c) R
d) ]2,0[ e) ]1,1[
21. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen :I. La función : y = f(x) = Senx, posee un máximo en
; 0
II. La función y = f(x) = Senx, es inyectiva en
2 ;
2
III. La función : y = f(x) = Senx, es impar.
a) VVV b) VVF c) FVVd) VFV e) VFF
22. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen :I. La función : y = f(x) = Cosx, es inyectiva en
2 ;
II. La función : y = f(x) = Cosx, es creciente en ; 0
III. La función : y = f(x) = Cosx, es par.
a) VVV b) VFV c) VVFd) VFF e) FVV
23. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según correspondaen :I. La función : y = f(x) = Tanx, tiene dominio :
Zn ;
2)1n2(R
II. La función : y = f(x) = Tanx, es creciente en
23 ;
2
III. La función : y = f(x) = Tanx, es impar.
a) VVV b) VVF c) FVVd) VFV e) VFF
24. Se define la función :y = f(x) = Tan2x + 1
¿Cuál será su dominio?
a)
Zn ;
2nR
b) Zn ; )1n2(R
c)
Zn ;
4)1n2(R
d) Zn ; nR
TRILCE
135
e) Zn ; n2R
25. Señale el dominio de la función :
Z)(n ; 1Cosx1Senx)x(gy
a) R b)
2)1n2(R
c) nR d) )1n2(R
e)
2nR
26. Señale el rango de la función :
xCos3xSen2)x(hy 22
a) [0 ; 2] b) 13 ; 3
c) 13 ; 0 d) [2 ; 3]
e) 13 ; 2
27. Determine el rango de "F".F(x) = 3 + SenxCosx
a) [2 ; 4] b) [3 ; 4]
c)
27 ;
25
d)
25 ;
23
e) [5 ; 7]
28. Dada la función :
SenxxCosh(x) 2 Determine su rango
a)
27 ;
23 b) 2; 1
c)
27 ; 2 d)
27 ;
45
e)
45 ; 1
29. Se define la función :y=f(x) = 2Csc3x 1
¿Cuál es su dominio?
a) Zn ; n3R
b)
Zn ;
3nR
c)
Zn ;
6nR
d)
Zn ;
3)1n2(R
e)
Zn ;
6)1n2(R
30. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la función :f(x) = Sen(x 90º) en el intervalo [0 ; 72º]?
a) Sen ( 20º) b) 1
c) 21 d) 0,55
e) Sen 18º
31. Si consideramos M el valor máximo que asume lafunción :
f(x) = (3 Senx) (3 + Senx)y N el valor mínimo que asume la función:
31Cosx
31Cosx)x(g
Luego : M . N resulta :
a) 8 b) 8 c) 1d) 1 e) 0
32. Para qué valores de x, 2x0 se cumple Senx >Cosx
a) 4
x0 b) 43x0
c) 45x0 d)
47x0
e) 45x
4
33. Si f es la función definida por :
SenxCosx11SenxCosx2)x(f
0 ; 2
x entonces el rango de f es :
a) 34 ; b) 1 ;
35
c) ; 34 d)
34 ; 1
e) 1 ;
34
34. ¿Cuál o cuáles de las funciones dadas son inyectivas?I. f(x) = Senx x0II. g(x) = Cosx x0III. h(x) = Cotx x0
a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) II y IIIe) I y II
Trigonometría
136
35. Si f(x) = aSen(kx) ; g(x) = aCos(kx) son funcionescuyas gráficas se muestran en la siguiente figura.Calcular las coordenadas del punto P.
f(x)
g(x)P
2
2
23
a)
2 ;
3b)
2 ;
125
c)
22 ;
3 d)
22 ;
125
e)
2 ;
35
36. Determinar el dominio máximo de la función :
41xSenxSen2)x(f 42
a)
Zn ;
4n
b)
Zn ;
2n
c)
Zn ;
4n
d)
Zn ;
4)1n2(
e)
Zn ;
2)1n2(
37. Dadas las proposiciones :
I. La función Senx es creciente en ; 0
II. La función Cosx es decreciente en ; 0
III. La función Tanx es creciente en 2 ; 0
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) I y IIe) II y III
38. El valor máximo que toma la función :
xCos4xSen3)x(f 22 , Rx , es :
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
39. El mayor valor que toma la función :f(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 es :
a) 102 b) 6
c) 103 d) 101e) 5
40. Hallar el mínimo valor de :
SenxxCos910M 2
a) 1817
b) 3635
c) 2827
d) 4645
e) 2423
41. Hallar el rango de f(x) = | Cotx| Senx
a) 1 ; 1 b) 1 ; 1
c) 1 ; 1 d) 1 ; 1
e) 1 ; 1R
42. Si m y M son los valores mínimo y máximorespectivamente, de la función :
xCosxSen)x(f 66 Entonces m + M es :
a) 21
b) 1 c) 23
d) 2 e) 45
43. Si P = (x ; 1a) es un punto que pertenece a la gráficade la función Seno,hallar :
A = Senx (1 Senx) (Cscx)
a) 1 a b) 2a
c) a1
d) a e) a 1
44. El mínimo valor de la función :
65 ;
3x ; xTan)x(f 2
a) 0 b) 31
c) 3
d) No existe el mínimo valor de fe) 1
TRILCE
137
45. Dadas las funciones :
y = f(x) = Sen2x |Senx| + Cos2x |Cosx|
y = g(x) = Senx
Se afirma :
I. En 2
; 0 , sus gráficas se intersectan en 1 punto..
II. En2
3 ; , sus gráficas se intersecan en 1 punto..
III. En 2 ; 2
3 , sus gráficas se intersectan en 2 pun-
tos.IV. El periodo principal de "f" es .¿Cuántas son verdaderas?
a) 1 b) 2 c) 3d) Todas e) Ninguna
46. Dada la función :
Zn ; CosxSenx)x(h Señale el dominio.
a) 1)(2n ; n2
b)
1)(2n ;
2)1n4(
c)
2 2n;
2)3n4(
d)
21)(4n ; n2
e)
23)(4n ;
21)(4n
47. Señalar cuál es la proposición falsa:
RRSecx )e
1] ; 1[RCosx )d
RnRCotx )c
R2
)1n2(R Tanxb)
1] ;
1[RSenx )a
RANGODOMINIOFUNCIÓN
( Zn )
48. En el intervalo ] 2; 0[ el siguiente gráfico corresponde
a :
3
2
2
3
32
2 x
y
a) Senx + 2Cosxb) 4Cosx + 3Senxc) 2(Senx + Cosx)d) 3Senx + 2Cosxe) 3(Senx + Cosx)
49. La diferencia entre el valor máximo y el valor mínimode la función :
f(x) = |Senx| + |Cosx|Es aproximadamente igual a :
a) 0,41 b) 0,42 c) 0,44d) 0,46 e) 0,91
50. Hallar el máximo valor de :
CosxSenxCosxSenxE
Para :
4 ;
4x
a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) 2
51. Si : f(x) = 1 Sen|x|Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para las siguientesproposiciones:
I. f(x) es creciente en 23 ;
2
II. f(x) es decreciente en 2 ;
23
III. f(x) tiene como rango [0 ; 2]
a) VFF b) VFV c) VVFd) VVV e) FVV
52. Si R es el rango de la función f y
Senx2x7Senx2Cosx4Cosx6Cos)x(f
Entonces, podemos afirmar :
a) 1 ; 0R b) 0 ; 1R
c)
21 ; 0R d) R1 ; 1
e) R1 ; 0
Trigonometría
138
53. Hallar el valor de :
mínmáx ffE
Si : f(x) = 2Cosx (Cosx - Senx) - 1
85 ;
2x
a) 22 b) 1 c) 2
d) 22 e) 1
54. Hallar los valores x en el intervalo ; 0 para loscuales existe f, si :
xCos2Senx1
1)x(f2
a)
32 ;
3 b)
65 ;
6
c) 32 ;
3 d)
65 ;
6
e) 6
5 ; 3
55. Señale : RgRf , si :
Cosx3SenxSen)x(f
Cosx3SenxCos)x(g
a) [Sen2 ; 1] b) [1 ; Sen2]c) [Cos2 ; 1] d) [1 ; Cos2]e) [Cos2 ; Sen2]
56. Determine el rango de la función f definida por:f(x)=|Senx|+|Cosx|.
a) ]2;0[ b) ]2;21[ c) ]2;1[
d) ]1;0[ e) ]1;21[
57. Dada la función f definida por: f(x)=Sen2x+|Senx+Cosx|
Hallar: fmáx + fmín
a) 2 b) 2 2 c) 2
23
d) 3 e) )21(2
58. Determinar el periodo de:
4xSen
3xSen
2xSen)x(f
a) 12 b) 18 c) 24d) 48 e) 52
59. Si f es una función definida por:
CotxTanxCosxSenx)x(f ; halle el dominio de
dicha función, Zk .
a) R b) ]1;1[ c) }Zk/{R2
k
d) }Zk/k2{R e) ]1;0[
60. Dada la función :g(x) = Senx (Cosx + |Cosx|)
Señale su gráfico.
a)x
y
b)x
y
c) x
y
d)x
y
e) x
y
TRILCE
139
Claves Claves
b
c
d
b
c
b
d
c
b
b
b
e
e
a
d
b
a
a
c
b
a
b
a
c
d
d
c
e
b
e
d
e
e
d
b
d
e
b
a
b
a
e
d
b
c
d
e
d
a
c
d
b
e
d
c
c
b
c
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
141
CapítuloFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS14OBJETIVOEl objetivo del presente capítulo es analizar las funciones inversas de las funciones trigonométricas básicas; así comofamiliarizarnos con las notaciones ArcSenx, ArcCosx, ArcTanx, etc; de modo que las interpretemos y operacionalicemoscorrectamente según las propiedades que se darán convenientemente.
INTRODUCCIÓNSegún el análisis de funciones; la condición suficiente para que una función posea inversa, es que debe ser inyectiva :
y
x
y
x
y
x
f
f no es inyectiva g no es inyectiva h si es inyectiva
g h
Las funciones trigonométricas; debido a su carácter periódico no son inyectivas :
y
x
y
x2
20
1
1
32
y=Senx
2
20 3
2
y=Tanx
Según este comentario, las funciones trigonométricas no poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la funcióntrigonométrica, restringiendo su dominio (sin alterar su rango), a un intervalo donde sea inyectiva y en consecuencia sepueda obtener su inversa.OBTENCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO
De la función : y = Senx
Tomamos el dominio :
2 ;
2
El rango no cambia : 1 ; 1Luego para hallar la inversa; hacemos en :
Senyx
Senxy
Esto es : "y es un ángulo arco o número cuyo Seno vale x".Lo cual se denotará : y = ArcSenxFinalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos :
Trigonometría
142
2 ;
2 : *Rang
1 ; 1 : *Dom
ArcSenx)x(*fy
1 ; 1 :Rang
2 ;
2 : Dom
Senx)x(fy*ff
Cumpliéndose : ArcSen( x) = ArcSenx
II . F.T. COSENO INVERSO O ARCO COSENO
De la función : y = Cosx
Tomamos el dominio : ; 0
Sin cambiar el rango : 1 ; 1
Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose :
: *Rang
1 ; 1 : *Dom
ArcCosx)x(*fy
1 ; 1 Rang :
: Dom
Cosx)x(fy*ff
; 0
; 0
Cumpliéndose : ArcCos( x) = ArcCosx
III. F.T. TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE
De la función : y = Tanx,
tomamos el dominio : 2 ;
2
sin cambiar el rango : ;
Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose :
: *Rang
: *Dom
ArcTanx)x(*fy
Rang :
: Dom
Tanx)x(fy*ff
; 2
; 2
;
2
; 2
Cumpliéndose : ArcTan( x) = ArcTanx
IV. F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE
: *Rang
: *Dom
ArcCotx)x(*fy
Rang :
: Dom
Cotx)x(fy*ff
;
;
; 0
; 0
TRILCE
143
Cumpliéndose : ArcCot( x) = ArcCotx
V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE
: *Rang
: *Dom
ArcSecx)x(*fy
Rang :
: Dom
Secx)x(fy*ff
2 ; 0
2 ; 0 ; 11 ;
; 11 ;
Cumpliéndose : ArcSec( x) = ArcSecx
VI. F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE
: *Rang
: *Dom
ArcCscx)x(*fy
Rang :
: Dom
Cscx)x(fy*ff
}0{2
; 2
}0{2
; 2
; 1 1 ;
; 1 1 ;
PROPIEDADES
1 . F.T.)Dom(Arc n ; n(n) F.T.Arc .T.F
Esto es :
; 11 ; n , n))n(ArcCsc(Csc
; 11 ; n , n))n(ArcSec(Sec
R n , n))n(ArcCot(CotR n , n))n(ArcTan(Tan
1 ; 1 n , n))n(ArcCos(Cos1 ; 1 n , n))n(ArcSen(Sen
Por ejemplo :
31
31ArcSenSen
Tan(ArcTan4) = 4
2 . F.T.)Rang(Arc ; )( F.T. .T.F Arc
Esto es :
}0{2
; 2
, )ArcCsc(Csc
2 ; 0 , )Sec(ArcSec
; 0 , )Cot(ArcCot2
; 2
, )Tan(ArcTan
; 0 , )Cos(ArcCos2
; 2
, )Sen(ArcSen
Trigonometría
144
Por ejemplo :
55SenArcSen
; pues :
252
ArcCos(Cos1) = 1 ; pues : 10
2)2Tan(ArcTan ; pues
2 ;
22
En este caso, se le busca un equivalente a "Tan2" en el intervalo correspondiente al rango del ArcTan, asi :MA' = NA = 2; entonces : AN = 2 Note que : Tan2 = Tan(2) luego :ArcTan(Tan2) = ArcTan[Tan(2 )]ArcTan(Tan2) = 2
ya que : 2
22
3 .
; 11 ; ; 2
ArcCscxArcSecx
R ; 2
ArcCotxArcTanx
1 ; 1 ; 2
ArcCosxArcSenx x
x
x
4 .
1n ; 0x , 1xy : Si1n ; 0x , 1xy : Si0n ; 1xy : Si
nxy1yxArcTanArcTanyArcTanx
5 .
1n ; 0x , 1xy : Si1n ; 0x , 1xy : Si0n ; 1xy : Si
nxy1yxArcTanArcTanyArcTanx
TRILCE
145
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Calcule : 22ArcCos
23ArcSenE
a) 125
b) 127
c) 9
d) 8
e)
02. Calcule:
25ArcSecSenE
a) 21
b) 32
c) 55
d) 5
52e)
105
03. Halle el valor de:
32ArcTan 2Cos
a) 52
b) 53
c) 135
d) 1312
e) 815
04. Halle "x", si : 4ArcSenx = ArcCosx
a) 21
b) 41
c) 23
d) 4
15 e)
415
05. Resolver : 2xArcSec
1x2xArcTan
a) 1 b) 2 c) 0d) 1 e) 2
06. Si :32ArcSenxArcCosy ,
calcule: M = ArcSeny + ArcCosx
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
07. La suma de :
23ArcSen ,
22ArcSen , ArcTan0 y
32ArcSec es :
a) 0 b) 43
c) 23
d) 32
22
23 e) 3
4
08. Reducir: )4ArcCot(Csc)3ArcTan(SecM 22
a) 7 b) 13 c) 15d) 27 e) 12
09. El resultado de :
23ArcSen
21
23ArcCos es :
a) 120º b) 150º c) 60ºd) 30º e) 240º
10. Calcular : Sec(Arc Tanb)
a) 1b b) 2bc) No se puede determinar
d) 2b e) 2b1
11. Determinar el valor de la expresión :
31ArcTan
51ArcSenCosP
a) 105
154 b)
106155
c) 106
155 d)
105166
e) 105
166
12. La expresión trigonométrica ArcCosu=z significaCosz = u.
Suponiendo : ] ; 0[z .
Hallar :
21ArcCosSen2
a) 21
b) 43
c) 3
d) 3
32e)
33
Trigonometría
146
13. Dada la ecuación: ArcTan(x+1)ArcTan(x1)=ArcTan1Indicar la suma de las soluciones
a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) 2
14. Si: 3ArcTan2
3ArcTan3ArcTan ,
entonces :
a) 239 2
b)31
c) 239 2
d)31 ó
32
e)31 ó
32
15. Si : Tan(ArcTan2x) + Cot(ArcCotx) = 6,
calcule :
1xxArcCosTanK
a) 2 b) 22
c) 42
d) 3
32e)
23
16. Dada la función :
31x2ArcSen
32)x(g ,
halle : gDom
a) 3 ; 2 b)
2; 21
c)
21 ; 1 d) 2; 1
e) 1 ; 2
17. Dada la función :
75x6ArcCos
65)x(h ,
halle : hDom
a)
34 ; 1 b)
2;
31
c)
31 ; 2 d)
2; 65
e)
65 ;
31
18. Dada la función :
2xArcSen2)x(g ,
halle : gRango
a) 3 ; b) ;
c) 0 ; 2 d)
23 ;
2e) 2 ; 0
19. Dada la función : 43x4ArcCos
41)x(h ,
halle : hRango
a)
4 ; 0 b)
;
43
c)
87 ;
85
d)
; 2
e)
23 ;
45
20. Graficar : )1x(ArcSen4y
a)
y
xb)
y
x
c)
y
xd)
y
x
e)
y
x
21. Grafique la función :
4ArcCosx2y
a)
y
xb)
y
x
c)
y
xd)
y
x
TRILCE
147
22. Calcule :
65SenArcSen
6SenArcSen
67SenArcSen
a) 0 b) 6 c) 6
d) 3
e) 2
23. Calcule: )4Cos(ArcCos)2Cos(ArcCos
a) 12 b) 12
c) )1(2 d) )1(2
e) )2(2
24. Calcular el valor de: 2
1ArcTan1212ArcTanx
a) 22º30' b) 45º c) 67º30'd) 30º e) 60º
25. Hallar x, sabiendo que: ArcSenx38ArcCos
a) 30º b) 98
c) 21
d) 31
e) 15º
26. El valor o valores que verifican :
23)ArcCosx(Sen)ArcSenx(Cos
Son :
a) 47 y
45
b) Sólo 47
c) 47 y
47 d)
47
e) 45 y
45
27. Hallar : x
ArcCscx53ArcCos2ArcCot2
a) 0 b) 54
c) 524
d) 257
e) 2425
28. Señale el rango de la función :y = f(x) = ArcSenx+ArcCosx+ArcTanx
a)
23 ;
2 b)
43 ;
4
c) 23 ;
2
d) 43 ;
4
e) ; 0
29. Calcule :
8513ArcSen
53ArcSen
1715ArcSen
a) 4
b) 2
c) 43
d) 65
e)
30. Al resolver la ecuación :
0)2ArcTan(Senx1ArcSenTan 2
,
tenemos :
a) 35x b) x no existe.
c) 55x d) x = 1
e) 6533x
31. Si : 211ArcSen
12ArcSen
,
el valor de " " es :
a) 1 ; 0 b) 32
c) 10 d) 1 ; 2e) 1
32. Evaluar la expresión :
4
1127ArcTan2111ArcTan3Sen
a) 0 b) 1 c) 3
d) 11 e) 27
33. Calcular el valor de la siguiente expresión:
125ArcTan)4(ArcCot2Sen
Trigonometría
148
a) 1009
b) 20019
c) 22121
d) 0 e) 101
34. Si 1x0 , entonces, podemos afirmar que
)1x2(ArcCos 2 es igual a :
a) Arc Cosx b) Arc Senxc) 2Arc Senx d) 2 Arc Cosxe) Arc Cos2x
35. Resolver la ecuación: 3ArcSenxx2ArcSen
a) 73
21x b) 7
321x
c) 1 d) 73
31x
e) 73
31x
36. Si : SecArcTanSecArcCotx y Cosx > 0, elvalor de Senx es :
a) 2
Tan2 b)
2Cot2
c) 2
Tan2 d) 2Tan
e)
2Cot2
37. Calcular el valor de "m", para que se cumpla la siguienteigualdad: Sen(ArcTanm) = Tan(ArcSenm)
a) 1 b) 0 c) 1d) 2 e) 2
38. Resolver: 23
21xArcCosArcCosx
21xArcCos
a) 0 b) 1 ; 0 ; 1
c) 1 ; 0 d)
41 ; 0
e)
41 ; 0 ;
41
39. Si : cba ,halle :
abcArcTan
acbArcTan
bcaArcTan
a) 0 b) 4
c) 6
d) 32
e)
40. Reduzca:
2x1
x2ArcSenArcTanx2
Para : 1 ; x
a) b) 2ArcTanxc) 4ArcTanx d) e) 0
41. Señale el número de raíces de la ecuación:
2
2xArcCos2x62x2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ninguna
42. Acerca de la función:
3 2x1ArcSen)x(f
Podemos afirmar que :
I. 2 2; 0:Domf
II.
2 ; 0:Ranf
III. "f" es decreciente 1 ; 0 x
Luego, es correcto :
a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) I y IIe) II y III
43. Si :
21 ;
23x , determine el rango de la
función:
ArcCosx63)x(g
a) 2; 1 b)
1 ; 21
c)
3 ; 73
d)
23 ;
21
e)
23 ;
53
44. Calcular el valor de :
41ArcSen
21
2Cos
a)
4
35b)
4
35
TRILCE
149
c) 4
35 d)
425
e)
4
25
45. Señale el dominio de la función :
4|x| x3ArcCos
41)x(h
a) 2; 2 b) 1 ; 1
c) 2; 1 d) 1 ; 2
e) 3 ; 0
46. Obtenga el valor de la expresión :
1xArcCsc1x2ArcCot
2xArcTanArcCosx)2x(ArcSenA2
a) 0 b) 32 c) 3
5
d) 31 e) 5
3
47. Reduzca :
12
5152ArcSen32ArcSenJ
a) 61ArcSen b)
52ArcSen
c) 41ArcSen d)
72ArcSen
e) 31ArcSen
48. Halle el valor de la expresión :
32ArcSen
4Cos
31ArcCos
4SenN 33
a) 18
67b)
1865
c) 9
37
d) 9
25e)
427
49. Si: ArcSenx + ArcSeny + ArcSenz = ,
calcule: xy
z1zx
y1yz
x1H222
a) 1 b) 2 c) 2d) 4 e) 4
50. Calcule :
3
122ArcTan31
312ArcTan
21 33
a) 10
b) 18
c) 36
d) 40
e) 72
51. Resolver :
65
xx1ArcTan
x1xArcTan
a) 353
b) 443
c) 4 6
d) 454
e) 3 2
52. Al resolver la ecuación : 01x3x3 ,
se obtiene como raíces : 1x ,
2x , 3x
Calcule el valor de :
3
1kkx
21ArcSen
a) 9 b) 10
c) 18
d) 913
e) 926
53. Del gráfico mostrado, halle :a + 3b c
y
x22
y=a+b.ArcCos(cx)
y=ArcSenx
a) 12
b) 6
c) 4
d) 3
e) 127
54. Se define la función :
3ArcTanx4xArcTan)x(f 2
Halle el dominio de dicha función :
Trigonometría
150
a) Tan1; b) ; 1Tan
c) R d) Tan1; 1Tan
e) Tan1; 0
55. Qué valor de "x" maximiza :
)ArcCosx()ArcSenx()x(fy 5
a) 2
13 b)
213
c) 4
26 d)
426
e) 36
56. Del gráfico, calcular :
TanTanKy
x
y=ArcCosx
y=2ArcSenx
a) 21
b) 41
c) 2
d) 4 e) 43
57. Dada la función "f" definida por :
ArcCotxArcSenx)x(f ,halle :
2fmínfmáx
a) 4 b) 2
c) 0
d) 4
e) 2
58. Calcule :
1º10Csc
3 ArcTanM
a) 10
b) 9
c) 5
d) 18
e) 20
59. Graficar :
2x1
x2 ArcSen)x(fy
a)
y
x11
2
2
b)
y
x
c)
y
x1
1
2
2
60. Si :
)2SecArcCsc(Sen)2CosArcTan2(Tan
pmCscn Calcule : W = m + n p
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
TRILCE
151
Claves Claves
b
c
c
d
b
b
b
d
a
e
e
c
c
b
b
d
b
c
b
c
b
c
d
b
d
c
e
b
b
a
a
a
c
d
a
a
b
a
e
d
a
c
b
c
c
d
c
a
b
c
b
c
b
a
d
a
b
b
a
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
153
CapítuloECUACIONES E INECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS15ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operadortrigonométrico como el seno, coseno, etc.
Es de la forma : F.T. (ax + b) = N ............... (*)
Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en el "rango" de la función trigonométricainversa.
De (*) : Vp = Arc F.T. (N)
Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con 0a .Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valores principales :
*32
3ArcSenVp23x3Sen
*32
21ArcCosVp
21
4x2Cos
*4
)1(ArcTanVp185
x3Tan
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓNTRIGONOMÉTRICA
ECUACIÓN SOLUCIÓN
Zk ; Vp1)(K x NSenx : Si K
Obs : Vp = ArcSen(N)
ECUACIÓN SOLUCIÓN
ZK ; Vp2K x NCosx : Si
Obs : Vp = ArcCos(N)
Trigonometría
154
ECUACIÓN SOLUCIÓN
ZK ; VpK x NTanx : Si
Obs : Vp = ArcTan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Inecuación Trigonométrica : Es una desigualdad condicional que involucra funciones trigonométricas por lo menosuna.
Ejemplos :
* Sen2x > Cosx* Tan2x + Cot2x > Cscx
* 41xSenxCosxCosxSen 33
* 31x2Sen
Inecuación Trigonométrica Elemental : Una inecuación trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma :
incógnita : xa ,)Kx.(T.F
Ejemplos :
* 21Senx
*23x2Cos
* 1x3Tan
Resolución de una Inecuación Trigonométrica Elemental :
Se estila seguir dos métodos :
Resolver : 21Senx
TRILCE
155
Método I :
En la circunferencia trigonométrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que 21
, así :
Zn ; n26
5 ; n26
x
Zn ; n26
5xn26
65x
621Senx
El conjunto solución general será : 21
y
56
6
x +y =12 2
Método II :Graficamos en un mismo sistema coordenado las funciones :
21g(x) Senx)x(f
Los puntos de intersección en un periodo del Senx : osea en 2; 0 , se obtienen con :
21Senx)x(g)x(f
65x
6x
21
y
56
6
1
1
2x
21)x(g
f(x)=Senx
Trigonometría
156
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Sume las dos primeras soluciones positivas de:
21x2Sen
a) 180º b) 360º c) 90ºd) 270º e) 135º
02. Sume las dos primeras soluciones positivas de :
21x3Cos
a) 120º b) 240º c) 300ºd) 260º e) 270º
03. Sume las dos primeras soluciones positivas de :
3)º30x2(Tan
a) 170º b) 180º c) 200ºd) 210º e) 150º
04. Si : 1x y 2x son los dos primeros valores positivos de
"x" que verifican :
1CosxxSen2 2 ,
calcule : )xx(Sen 12 ,
si : 21 xx
a) 23
b) 21
c) 1
d) 21 e)
23
05. Resolver :(Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5xIndique la suma de los tres primeros valores positivosde "x"
a) 2 b) 3 c)
d) 37
e) 4
06. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuación :
)x3Cosx5Cos(3x3Senx5Sen
a) 135º b) 180º c) 165ºd) 160º e) 210º
07. Señale la suma de las dos menores soluciones positivasde la ecuación :
1xCosxSenxSen 442
a) 90º b) 180º c) 270ºd) 225º e) 135º
08. Resolver :
1xCot
1
xTan
2
xSen
1
xCos
12222
Luego, señale la suma de las dos primeras solucionespositivas.
a) 90º b) 135º c) 180ºd) 225º e) 270º
09. Al resolver la ecuación :
Cos2x2Senx4Sen
x2Cosx4Cos
Luego, señale la menor solución positiva.
a) 4
b) 6
c) 3
d) 8
e) 12
10. Resolver :
54SenxCosy ........... (1)
51SenyCosx ........... (2)
Para : 90º ; 0 y, x
a) x = 63º30' ; y = 26º30'b) x = 53º ; y = 37ºc) x = 71º30' ; y = 18º30'd) x = 67º30º ; y = 22º30'e) x = 60º ; y = 30º
11. Resolver :
21)ArcCosx2(Cos
a)
21
b)
23
c)
23 ;
21 d)
23 ; 1
e)
22
12. Resolver :
9Cosx2Sen ; Zn
TRILCE
157
a)
185)1(n b)
367)1(
2n n
c)
187)1(n n d)
9)1(n2 n
e)
185)1(
2n n
13. Resolver :
2Cos5x . Cosx - Cos6x = 1 ; Zn
a) n2 b) n4
c) n d)
2n
e)
4n
14. Resolver : Secx = 6Senx ; Zn
a)
61ArcSen
2)1(nn
b)
61ArcSen
2)1(
2n n
c)
31ArcSen
2)1(nn
d)
31ArcSen
2)1(
2n n
e)
32ArcSen
2)1(
2n n
15. Resolver en el intervalo de 2; 0 la inecuación :
21Senx
a)
65 ;
6 b)
65 ;
6
c)
65 ;
6 d)
32 ;
3
e)
32 ;
3
16. Resolver en el intervalo de 2; 0 la inecuación :
21Cosx
21
a)3
5 ; 3
432 ;
3
b)
611 ;
67
65 ;
6
c)
3
5 ; 3
432 ;
3
d)611 ;
67
65 ;
6
e)
3
5 ; 6
732 ;
6
17. Resolver en el intervalo de ; 0 la inecuación :
0TanxxTan2
a) 2 ;
4
b) 4 ; 0
c)
2 ;
4 d) ; 2
e)
243 ;
4
18. Resolver :
07CosxSenx2
1Cosx2
Para : ; 0x
a) 43 ;
2
b) ;
4
c) ;
43 d)
4
; 0
e) 43 ;
4
19. Resolver :
41
2xCos
2xSen
2xCos
2xSen 33
en el intervalo de 2; 0
a) 65 ;
6
b) 32 ;
3
c)
65 ;
6 d)
32 ;
3
e)
; 6
56
; 0
Trigonometría
158
20. Resolver en 2; 0
Sen2x > Cosx
a) 2 ;
6
b) 23 ;
65
c) 2 ; 6
7 d) ba
e) ca
21. Dada la ecuación :Cosx + Cos2x + Cos3x = 0,
hallar la suma de todas las soluciones de dichaecuación, si estas soluciones están comprendidas entre0 y 2 (radianes).
a) b) 2 c) 4
d) 3 e) 6
22. Al resolver el sistema :
32TanySenx6
34Tany3Senx2,
se obtiene que la solución en el primer cuadrante es :
a) x = 45º , y = 45ºb) x = 60º , y = 30ºc) x = 30º , y = 60ºd) x = 60º , y = 45ºe) x = 60º , y = 60º
23. Al resolver la ecuación :
TanxCscxxCosx2Sen 2 ,calcular la diferencia entre dos de dichas soluciones :
a) 32
b) 6
c) 12
d) 152
e) 43
24. Resolver la siguiente ecuación :
01Senxx2Cos2x2SenxCos2
a) 8 ,
12 ,
2
b) 4 ,
6 ,
2
c) 12 ,
6 ,
2
d) 65 ,
6 ,
2
e) 125 ,
12 ,
2
25. Hallar "x" en :Sen40º Senx = Cos40º Cosx - 2Cos20º Cosx
a) 130º b) 150º c) 60ºd) 135º e) 120º
26. Al resolver la ecuación 1Tan3 2 donde
20 , la suma de todas sus soluciones es :
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
27. La suma de las soluciones, en el intervalo [0º ; 360º]de la ecuación :
CosxSenxx2Sen2 es :
a) 450º b) 495º c) 600ºd) 945º e) 1170º
28. La afirmación que cumple con la siguiente inecuación:
3Cosx2Senx3
a)
51Sen Arcx
b) 652Cosx
c)32 Senx
d)
2
51Sen Arcx
e)4
9 x
29. Si 1x y 2x son dos soluciones de la ecuación : 5Cosx
4Senx = 4,entonces el valor de :
2121 SenxSenxSenxSenx es :
a) 0 b) 1 c) 1
d) 21 e) 221
30. Dada la función f cuya regla de correspondencia es :f(x) = Cosx Sen2x
En la que x varía : 2x El número de intersecciones de la función y = f(x) conel eje de abscisas es :
a) 3 b) 4 c)5d) 6 e) 7
31. Resolver la desigualdad :Sen2x > Senx , x0
a)
3 ; 0 b)
3 ; 0
c) 3
; 0 d)
3 ; 0
TRILCE
159
e) ; 0
32. Calcular la suma de las soluciones de la ecuación
trigonométrica, si
2 ;
2x
2x
4Cos
2x
4Sen2Cosx3
a) 2
b) 2 c) 3
d) 3
e)
33. Resolver la ecuación :
xCos8Cotxx2Tan 2NOTA : K es un número entero.
a)3
)1(4
K k
b)6
)1(4
K k
c)12
)1(4
K k
d)24
)1(4
K k
e)48
)1(4
K k
34. Hallar el menor ángulo en el intervalo
311 ;
37
que satisface la ecuación :
0Secx3xTan2 2
a) 310
b) 32
c) 34
d) 0 e) 38
35. Determinar la suma de todas las soluciones de laecuación :
1Senx1
2xSen
1
Que se encuentran en el intervalo ] ; 0[
a) 2
b) 4
c) 3
d) 0 e)
36. Resolver la ecuación :Sen2x + 5Senx + 5Cosx + 1 = 0
a) Zk ; k4
b) Zk ; k24
c) Zk ; k243
d) Zk ; k4
e) Zk ; k43
37. Resolver la ecuación :Sen4x + 3Sen2x = Tanx
a) Zk ; 3k
b) Zk ; k2
c) Zk ; 3
k
d) Zk ; 6k
e) Zk ; 4k
38. Resolver e indicar el número de soluciones en 2; 0
de la ecuación :Cosx = (2 Tanx) (1 + Senx)
a) 2 b) 3c) 4 d) 1e) No existen soluciones.
39. Si k es un número entero, las soluciones de la ecuación:
xSenxSec4
xSen2 2
son :
a) 4
k b) 4
k
c) 3
)1(k k d) 6
)1(k k
e) 6
k2
40. El ángulo en grados, que satisface la ecuación :
6Cos12
Cos23
Pertenece al intervalo :
a) 240º; º180
Trigonometría
160
b) 135º ; º120
c) 300º ; º300
d) 120º ; º90
e) 270º; º240
41. El número de elementos del conjunto :
01SecxCos2xSecx / ] 2; 0[xF es :
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
42. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica :
CotxSenx2xCot
a) )1k2(21 b) )1k2(
31
c) )1k2(41 d) )1k4(
21
e) )3k4(21
43. Indique una solución general para la ecuación :4Cosx Cos2x Cos3x = 1
a)4
k ; Zk
b)2
k ; Zk
c)3
k ; Zk
d)6
k ; Zk
e)8
k ; Zk
44. Sea : 2
x0 ; 4
y0
Entonces el intervalo en el que x satisface la igualdad :Tany = 2Senx es :
a) 6
x0 b) 6
x0
c) 6
x0 d) 6
x0
e) 4
x0
45. En el intervalo 2; 0 , para qué valores de , secumple la siguiente desigualdad:
TanSec
a)
4
7 ; 2
32
; 0
b) 2 ;
23
2 ; 0
c) 2 ; 2
3
d) 23 ;
2
e)
2 ; 2
3 ; 2
46. Para qué valores de ; 0x , se cumple:
03x2Cos
2xCos2
a) ; 0 b) 3
; 0
c) 2
; 0 d) 32 ; 0
e) ; 32
47. Calcule la mayor solución negativa de la ecuación :
6xTan
9xTan
18xTanTanx
a) 9 b) 9
2 c) 94
d) 95 e) 36
17
48. Resuelva :
6 |x2Cotx2Tan|)x2Cotx2Tan( 2
Zk
a)
84k b)
82k
c)
4k d)
16k
e)
88k
TRILCE
161
49. Resolver :
2x3Sen
2x9Sen
2x3Cos
2x9Cos 4444
Zk
a)
2)1k4( b)
6k
c)
2)1k2( d)
12k
e)
12)1k4(
50. Halle el menor valor positivo que resuelve la ecuacióntrigonométrica :
x2Cos43x6Cos 2
a) 15
b) 12
c) 5
d) 4
e) 6
51. Resuelva la ecuación :
|Cosx|928xCos
31 2
e indique la suma de soluciones en el intervalo de
2; 0
a) 5 b) 4 c) 6
d) 29
e) 27
52. Si : 14Senx1
es una raíz de :
nx4x4x8)x(f 23 ,
calcule "n"
a) 1 b) 2 c) 7
d) 1 e) 7
53. Resolver la ecuación :
x3xTan2Tanx2Tan3x3Tan2 2Zn
a)
3n b)
6n
c)
6n2 d) n
e) n2
54. Resolver :Tan5x Tanx = Tan2x Tan3x
Zk
a)
246k
b)
183k
c)
243k2
d)
93k2
e)
122k
55. Si : 21 x x son las dos menores soluciones positivas
de la ecuación :
)xTan35(x5TanxTan53 222
Tal que : 21 xx ,
halle : 1
2x
x
a) 3 b) 6 c) 4d) 8 e) 5
56. Resolver :
2723xCosxSen 32
Zk
a)
31ArcCosk2
b)
32ArcCosk2
c)
32ArcSen)1(k k
d)
31ArcSen)1(k k
e)
31ArcTank2
57. Resolver :
x4CosxSen8 4 ; Zn
a)
43ArcCosn
b)
43ArcCos
21n
c)
43ArcCos
2n
Trigonometría
162
d)
43ArcCos
21
2n
e)
43ArcCos
21
4n
58. Si el determinante de la matriz :
111x6Senx4Senx2Senx5Senx3SenSenx
C
Es : 0,5Sen2x
Hallar "x" ( Zn )
a)
2n
b)
6)1(n n
c)
6)1(n n d) a y b
e) a y c
59. Resolver :13(1 + Senx + Cosx) + Sen2x = 0
Zn
a)
4)1(n n
b)
4)1(n n
c)
2)1(n n
d)
44)1(n n
e)
44)1(n n
60. Resuelva :
04xSen
2xSen2
e indique como respuesta la suma de soluciones en
8 ; 0
a) 12 b) 16 c) 20d) 15 e) 28
TRILCE
163
Claves Claves
c
a
b
d
e
c
b
c
b
a
b
b
d
d
b
c
c
e
c
d
e
e
a
d
e
c
b
d
b
c
c
c
d
e
d
d
a
a
b
c
b
a
c
d
b
c
c
a
b
b
b
a
d
b
c
b
b
c
d
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
TRILCE
165
CapítuloRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS16¿Qué es resolver un triángulo?
Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo significa determinar las medidas de sus elementos básicos; es decir, sus treslados (a, b y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de ciertos datos que definan el triángulo.
¿Cómo resolver un triángulo?
Una vez que reconocemos los datos del triángulo y verificamos que se encuentra definido; para resolverlo, se utilizaránalgunas propiedades geométricas, relaciones trigonométricas ya conocidas y otras propias del capítulo como las siguientes:
I . TEOREMA DE LOS SENOS :
"En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos"
SenCc
SenBb
SenAa
A
B
Cb
ac De donde : aSenB = bSenA bSenC = cSenB cSenA = aSenC
Corolario :"En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; siendo laconstante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo".
SenCc
SenBb
SenAa
R : Circunradio
De donde : a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC
A
B
C
Rca
b
2R
II . TEOREMA DE LOS COSENOS :
Trigonometría
166
"En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudesde los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos multiplicados por el Coseno del ángulo formado porellos".
A
B
C
a
b
ca = b + c 2bc CosA2 2 2
b = a + c 2ac CosB2 2 2
c = a + b 2ab CosC2 2 2
De donde podemos deducir fácilmente :
ab2
cbaCosCac2
bcaCosBbc2
acbCosA222222222
III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES :"En todo triángulo, la longitud de un lado es igual a la suma de los productos de cada una de las otras dos longitudes conel Coseno del ángulo que forman con el primer lado":
a = bCosC + cCosB
b = aCosC + cCosA
c = aCosB + bCosAA
B
Cb
ac
IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES :"En todo triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de sus lados, es a su diferencia; como la Tangente de lasemisuma de los ángulos opuestos a dichos lados, es a la Tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos".
A
B
Cb
ac
2ACTan
2ACTan
acac
2CBTan
2CBTan
cbcb
2BATan
2BATan
baba
ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES
TRILCE
167
abCosC2bam4
acCosB2cam4
bcCosA2cbm4
222c
222b
222a
m : Mediana relativa a “a”a
A
B CMa
ma
V : Bisectriz interior del “A”A
A
B C 2CCos
baab2VC
2BCos
caac2VB
2ACos
cbbc2V
A
D
VA
V’ : Bisectriz exterior del “A”A
A
B C
V’A
2CSen
|ba|ab2'V C
2BSen
|ca|ac2'V B
2ASen
|cb|bc2'V
A
RADIOS NOTABLES
2BCos
2ACos
2CRSen4rc
2CCos
2ACos
2BRSen4rb
2CCos
2BCos
2ARSen4ra
r : Exradio relativo al lado “a”ar : inradio
2CSen
2BSen
2ARsen4r
A
B Cr
ra
A
B
C
Trigonometría
168
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. En un triángulo ABC: º30A ; º135B y a = 2.Calcular : "c"
a) 26
b) 2
26
c) 2
26
d) 4
26
e) 13
02. En un triángulo ABC : a = 3 ; b = 2º60C .
Calcular : "c"
a) 23
b) 62
c) 6
d) 13
e) 7
03. En un triángulo ABC, se tiene que :
4SenC
3SenB
2SenA
Halle el valor de :
22
22
ab
cbJ
a) 1225
b) 725
c) 713
d) 5
e) 512
04. En un triángulo ABC:
7c
5b
3a
¿Cuál es la medida de C ?
a) 60ºb) 30º
c) 120ºd) 150ºe) 127º
05. En un triángulo ABC; simplificar :
222
222
cba
bcaJ
a) TanAb) CotAc) TanB . TanCd) TanC CotB
e) ATan2
06. En un triángulo ABC, se sabe que :
ac21bca 222
Calcular : 2BCos
a) 125,0
b) 625,0
c) 0,25d) 0,125e) 0,625
07. En un triángulo ABC, se cumple :aCotA = bCotB = cCotC
¿Qué tipo de triángulo es?
a) Isósceles.b) Equilátero.c) Acutángulo.d) Obtusángulo.e) Rectángulo.
08. En el prisma rectangular mostrado, calcular: Sec
23
4
a) 3
25
TRILCE
169
b) 15
226
c) 29
226
d) 13
215
e) 11
213
09. En un triángulo ABC, reducir :
SenCbCosAaCosBQ
a) R
b) 2R
c) 2R
d) 4R
e) 4R
10. En un triángulo ABC, reducir :
222 cba
caCosBbcCosAabCosCQ
a) 1
b) 2
c) 21
d) 4
e) 41
11. En un triángulo ABC, se cumple :(a c) CosB = b (CosC CosA)
¿Qué tipo de triángulo es?
a) Acutángulo.b) Rectángulo.c) Equilátero.d) Obtusángulo.e) Isósceles.
12. En un triángulo ABC, simplificar :(p : Semiperímetro)
SenB
cSenBbSenCSenA
bSenAaSenBQ
SenCaSenCcSenA
a) pb) 2pc) 3pd) 4pe) 8p
13. En un triángulo ABC, reduzca :G = (aCosC + cCosA) CosC + (aCosB + bCosA) CosB
a) ab) bc) cd) 0e) a + b + c
14. En un triángulo ABC, reduzca la expresión
cbac
SenCSenBSenBSenAG
a) 21
b) 1c) ad) b + c
e) 1ca
15. En un triángulo ABC, se tiene que :2a = 7b º60Cm
Halle el valor de :
2BATan
a) 3
35
b) 9
35
c) 5
39
d) 237
e) 7
32
Trigonometría
170
16. En un triángulo ABC, se cumple :
222 cbbc23a
Halle : 2ATan
a) 7
b) 77
c) 25
d) 55
e) 75
17. Si en un triángulo ABC; 3aCosCbbCosCa
Calcular :
2BATan
2CTan
G
a) 1b) 2c) 4
d) 21
e) 41
18. En un triángulo ABC :
ab21cba 222
Calcular : 2CTan
a) 2,0
b) 3,0
c) 4,0
d) 5,0
e) 6,0
19. En el triángulo equilátero ABC; BP = 5AP AN = 2NC.
Calcular : Sec
MP
A
B
C
N
a) 9 b) 912 c) 91
d) 912 e) 712
20. Dado el triángulo ABC, hallar el ángulo "B".
A
B
C
30°30°
2
3
a) 33ArcSen
b) 3ArcTanc) ArcTan3
d) 33ArcSec
e) 33ArcTan
21. En la figura, G es el centro del cuadrado ABCD. Hallarla suma de los cuadrados de las distancias de los vérticesdel cuadrado de la recta XY, si el lado del cuadrado esL.
A B
CD
20°x
yG
a) 2L
b) 2L2
c) 2L3
d) 2L4
e) 2L5
TRILCE
171
22. El producto Sen2B . Sen2C del triángulo ABC es iguala :
A
B
C
10 15
20
a) 256105
b) 1815
c) 12586
d) 256105
e) 12586
23. Sea el triángulo ABC y sean a, b y c las longitudes delos lados opuestos a los vértices A, B y C,respectivamente.Si se cumple la relación :
CosCc
CosBb
CosAa
Entonces el triángulo ABC es :
a) Acutángulo.b) Obtusángulo.c) Isósceles.d) Equilátero.e) Rectángulo.
24. Las diagonales de un paralelogramo miden "a" y "b",forman un ángulo agudo C. El área del paralelogramoes :
a) abSenCb) abCosC
c) abCscC21
d) abSenC21
e) abCosC21
25. Hallar el área del triángulo OB'C', si AB=4=BC,
4ABOM1 , AC=6.
1M y 2M puntos medios en AC
y BC respectivamente 'OC//AC y 'C'B//BCAO=OC'.
A B
C
O
M1 M2B’
C’
a) 7329
b) 7629
c) 7729
d) 72
29
e) 72429
26. Si en un triángulo, donde a, b, c son los lados opuestosa los ángulos A, B, C se cumple que :
2CB y 2acb
Entonces : 2
AB es igual a :
a) 8
b) 4
c) 2
d) 0
e) 3
27. En un triángulo ABC, el ángulo C mide 60º y los lados
232a y 232b .Entonces, la medida del ángulo A es :
a)
22 ArcTan
32
b)
22 ArcTan
3
Trigonometría
172
c)
22 ArcTan2
3
d)
22 ArcTan
32
e)
22 ArcTan
4
28. En un triángulo ABC, se cumple :
)BA(Sen2SenC
6233TanB Hallar el valor del ángulo BAC.
a) 3
b) 6
c) 32
d) 125
e) 103
29. En un triángulo ABC, se cumple que :
º90CmBm ; 2acb Hallar la medida del ángulo B.
a) 110ºb) 105ºc) 127ºd) 120ºe) 125º
30. Sea el triángulo ABC de lados AB = AC y 2BC . Sila bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D yBD = 1.Entonces, los ángulos A y B son:
a) 60º ; 60ºb) 90º ; 45ºc) 100º ; 40ºd) 120º ; 30ºe) 150º ; 15º
31. En un triángulo ABC, C = 60º y a = 3b.Determinar el valor de E = Tan(A B)
a) 34
b) 32
c) 23
d) 3e) 1
32. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide "c"unidades y la longitud de la bisectriz de uno de los
ángulos agudos es 33c
unidades.
Hallar el área de la región delimitada por el triángulorectángulo dado.
a) 4
3c2
b) 8
3c2
c) 6
3c2
d) 6c3 2
e) 2c3 2
33. En un triángulo ABC con lados a, b y c, respectiva-
mente; se tiene : 12ATan y 4
32BTan .
Determinar : baba
a) 50b) 16c) 49d) 9e) 25
34. Una diagonal de un paralelepípedo rectángulo formacon las tres aristas concurrentes a un mismo vértice los
ángulos , y . El valor de :
222 SenSenSen es :
a) 23
b) 2
c) 25
d) 3e) 4
TRILCE
173
35. En la figura, se muestra un triángulo en el que se cumple:
2CSen4CosBCosA 2
Luego el valor de a + b es :
A
B
C
a
b
c
a) 3c b) 2c3
c) 2c
d) c35
e) c25
36. En la figura mostrada, el triángulo ABC está inscrito en
una circunferencia de radio R. Si se cumple que :222 R2ac y la medida del ángulo B es 30º, los
valores de los ángulos A y C son respectivamente:
A
B
C
ac
R
a) 45º y 105ºb) 35º y 115ºc) 60º y 90ºd) 30º y 120ºe) 25º y 125º
37. Dos circunferencias de radios 2u y 3u, tienen suscentros separados una distancia igual a 4u. El Cosenodel ángulo agudo que forman las tangentes a ambascircunferencias en un punto de corte, es igual a :
a) 21
b) 23
c) 21
d) 31
e) 41
38. En un triángulo ABC, se cumple :
255223223 abcR2)ba()ca(b)cb(a
Donde :R : Circunradio del triángulo ABC
Calcule :P = SenA Sen2A + SenB Sen2B
a) 1 b) 2 c) 43
d) 21
e) 23
39. Del gráfico, ABC es un triángulo isósceles recto en "B" yDBE es un triángulo equilátero.Si : AC = 6
Calcular : 222 CPBPAP
PA D E C
B
a) 18 b) 19 c) 9d) 81 e) 27
40. En un triángulo ABC :
2CA Cot
2BTan4
caca
Calcular :
TanCTanATanCTanBTanA
a) 43
b) 34
c) 67
d) 76
e) 52
41. En el triángulo equilátero mostrado, calcular :
Sec)3º15(CosJ
A
B
C
2
45º
Trigonometría
174
a) 2
16
b) 13
c) 2
13
d) 2
13
e) 3
12
42. Si en un triángulo ABC :
53
cCosAbbCosAc
Calcular :
2ATan
2CBTan
L
a) 52
b) 73
c) 74
d) 53
e) 41
43. En un triángulo ABC :Cos2A + Cos2B + Cos2C = n
Las distancias del ortocentro a los lados del triánguloson x ; y ; z.
Hallar : xyzJ , si el circunradio mide 2
a) 2n 1b) 2(n 1)c) 2(1 n)d) n 1
e) )1n(24
44. Los lados de un cuadrilátero son a = 7; b = 8; c = 9;d = 11.Si su superficie es S = 33, calcular la tangente delángulo agudo formado por las diagonales.
a) 2 b) 2,3 c) 2,4d) 1,8 e) 1,6
45. Dado un cuadrilátero ABCD, determine el valor de laexpresión.
22
22
)da()cb(
2AadCos
2CbcCos
E
a) 41
b) 121
c) 31
d) 0 e) 61
46. Siendo A, B y C los ángulos internos de un triángulo,para el cual se cumple :
2SenB SenA = Sen(A+B+C)+SenCCalcule el valor de :
12CCot
2ACot
12CCot
2ACot
A
a) 1 b) 21 c) 2
1
d) 1 e) 2
47. En un triángulo acutángulo ABC, la circunferencia
descrita tomando como diámetro la altura relativa al
lado a, intercepta a los lados b y c, en los puntos P y Q
respectivamente.
Exprese el segmento PQ en función de los ángulos del
triángulo y del radio R de la circunferencia circunscrita
al triángulo.
a) 2RSenA SenB SenC
b) R SenA SenB SenC
c) R CosA CosB CosC
d) 3R CosA CosB CosC
e) R TanA TanB TanC
48. En un triángulo ABC, reducir :
SenBSenA)BA(Senc
SenASenC)AC(Senb
SenCSenB)CB(SenaP
222
a) SenA SenB SenC
b) CosA CosB CosC
c) Sen (A + B + C)
d) Cos (A + B + C)
e) 2Cos (A + B + C)
TRILCE
175
49. En el triángulo ABC, se tiene : AB = 2, 6AC
Calcular : 'b
'b
V
V
Donde : (V'b y Vb son bisectrices exterior e interiorrespectivamente, relativo al lado b)
45ºA
B
CD
a) 32 b) 31
c) 32 d) 13
e) 2
50. Dado un triángulo ABC, si : º30Cm y 25
ba
Calcular : AB21
a) 30º
b)
3ArcTan
c)
23
73ArcTan
d)
32
73ArcTan
e)
32
73ArcTan
51. En el cuadrilátero ABCD de la siguiente figura, calcular:
Cos2SenSi : 2AD = AB = 3AC
A
B C
D
a) 71
b) 43
c) 23
d) 32
e) 31
52. Los ángulos de un cuadrilátero ABCD están enprogresión geométrica de razón 3.Calcular :P = CosA CosB + CosB CosC +
CosC CosD + CosD CosA
a) 1 b) 21
c) 41
d) 45
e) 25
53. En un triángulo ABC, se cumple que :
b2caCosA ; c2
baCosB
Calcular :TanA + TanB + TanC
a) 7 b) 32 c) 13
d) 11 e) 52
54. En la figura R, 1R , 2R y
3R son los radios de las
circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, ABP,BCQ y ACS respectivamente.Hallar "R".
1R1 ; 2R2 ; 4R3
P
Q
S
B
A
C
a) 2 b) 1 c) 3d) 2 e) 4
55. Los lados de un triángulo oblicuángulo ABC, miden :b = (SenA + CosA)uc = (SenA CosA)u
Además : u26a
Hallar la medida del mayor valor de A.
a) 60º b) 72º c) 54ºd) 65º e) 45º
Trigonometría
176
56. En un triángulo ABC, reducir :
C2BSen2ASen2Sen)aCosCb)(cCosBa)(bCosAc(M
a) R b) 3R8 c) 3R4
d) 3R e) 2R6
57. En un triángulo ABC, se cumple que :
)BA(Cos3B2SenA2Sen
2BATan3
2BATan
Hallar la medida del ángulo "B"
a) 30º
b) 53ArcTan
c) 23ArcTan
d) a o be) a o c
58. En un triángulo ABC, se cumple que :CotA + CotC = 2CotB
Luego se cumple que :
a) a + c = 2b
b) acb2 2
c) 222 b2ca
d) cab2
e) 222 cab4
59.Siendo ABC un triángulo de lados a, b y c, entoncesrespecto a"K" podemos afirmar que :
bCosCacCosBa
cba
cbaK222
222
a) K = 1 b) K = 2 c) K = 4
d) 2K e) 4K
60. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, de lados AB = a,BC = b, CD = c y AD = d.
Calcular : SenBSenAR
a) bdadcdab
b) bdaccdab
c) bcadcdab
d) cdabbdac
e) abcddcba
TRILCE
177
Claves Claves a
e
d
c
d
b
b
e
b
c
e
d
a
b
b
a
b
e
b
e
a
a
d
d
e
a
b
a
b
d
a
b
c
b
c
d
e
d
e
b
d
e
e
c
a
c
a
c
a
c
d
b
a
d
b
d
d
c
d
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Í N D I C E
TRIGONOMETRÍA
Primer Bimestre Pág.
Capítulo 01Razones Trigonométricas de un ángulo agudo I ............................................................. 9
Capítulo 02Razones Trigonométricas de un ángulo agudo II ............................................................. 19
Capítulo 03Ángulos Verticales - Ángulos Horizontales ........................................................................ 31
Capítulo 04Sistema Coordenado Rectangular ..................................................................................... 41
Capítulo 05Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal ......................................... 51
Capítulo 06Reducción al primer cuadrante ........................................................................................... 61
Capítulo 07Circunferencia Trigonométrica ......................................................................................... 71
Segundo Bimestre
Capítulo 08Identidades Trigonométricas de una variable .................................................................. 83
Capítulo 09Identidades Trigonométricas de la suma y diferencia de variables ................................. 91
Tercer Bimestre
Capítulo 10Identidades Trigonométricas de la variable doble ............................................................. 101
Capítulo 11Identidades Trigonométricas de la variable triple ............................................................. 111
Capítulo 12Transformaciones Trigonométricas .................................................................................... 119
Capítulo 13Funciones trigonométricas reales de variable real ............................................................ 127
Cuarto Bimestre
Capítulo 14Funciones trigonométricas inversas ..................................................................................... 141
Capítulo 15Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas ...................................................................... 153
Capítulo 16Resolución de Triángulos Oblicuángulos ............................................................................ 165