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Trigonometría Bachillerato
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TRIGONOMETRIA
1. Introducción. Medidas de ángulos
Ángulos orientados.
Consideraremos los ejes cartesianos, y representaremos sobre ellos los ángulos de tal forma
que el vértice coincida con el origen de coordenadas, y uno de sus lados
sobre el semieje de abscisas positivo, que se denomina origen de ángulos.
Diremos que un ángulo tiene medida positiva si la medición se realiza en
sentido antihorario y negativo en sentido horario.
Llamaremos circunferencia trigonométrica a cualquier circunferencia
cuyo centro esté en el origen de coordenadas y la llamaremos goniométrica si tiene además
radio 1.
Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal (DEG) es el ángulo cuyo arco abarca 1/360 parte
de una circunferencia trigonométrica.
Se denota por º y tiene dos submúltiplos el minuto ´ y el segundo ´´. 1º=60´ y 1´=60´´.
Radián. Un radián (RAD) es el ángulo cuyo arco abarca una
longitud igual a un radio de la circunferencia trigonométrica.
Se denota por rad.
Una circunferencia tiene 360º o 2 rad.
.rad2r
r2
radio
nciacircunfere.long.radºn
El cambio de unidades se realiza mediante reglas de tres.
La importancia de la medida en radianes.
Normalmente se representan los ángulos en circunferencias goniométricas entonces, como el
radio es 1, la medida de los ángulos en radianes coincide con la longitud del arco, de este
modo “medir ángulos da el mismo resultado que medir longitudes”.
En general
Ejemplos:
- Expresar en radianes: 45º, 120º, 315º, 857º.
- Expresar en grados sexagesimales /4 rad., 3/5 rad., 13/5 rad.
+
- 0
long. arco = .radio (=ángulo en radianes)
0º=0 rad
90º=π/2 rad
180º= rad
270º=3/2 rad
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2. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Por el teorema de Thales (semejanza de triángulos):
tetancons''b
''a
'b
'a
b
a =sen
A esta constante se le llama seno y
como solo depende del ángulo la
llamamos seno de y la denotamos
por sen.
Los triángulos ABC, AB’C’,
AB´´C´´, ... son semejantes
(triángulos rectángulos con un ángulo
agudo igual).
También se sabe que:
cosdeenocostetancons''b
''c
'b
'c
b
c
tgdegentetantetancons''b
''a
'b
'a
c
a
Las razones inversas son: cosecante de = cosec=1/sen
secante de = sec=1/cos
cotangente de = cotg=1/tg
A todas estas razones se les llama razones trigonométrica. Por tanto en un triángulo rectángulo
quedan definidas de la siguiente forma:
Ejemplo:
Hallar las RT en el siguiente triángulo
sen=3/5 cos=4/5 tg=3/4
cosec=5/3 sec=5/4 ctg=4/3
A
B B
’
B´´
C
C
’
a
a’
a´´
b
c´
b´
c c´´
b´´
H
.E.C
hipotenusa
enfrentedecatetosen
H
C.C
hipotenusa
contigüocatetocos
.C.C
.E.Ctg
.E.C
Heccos
.C.C
Hsec
.E.C
.C.Cgcot
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3. Relaciones entre las razones trigonométricas.
Relaciones que se deducen de la definición:
cos
sen
H
.C.CH
.E.C
.C.C
.E.Ctg
sen
1eccos
cos
1sec
sen
cosctg
Relaciones pitagóricas.
Si aplicamos el teorema de Pitágoras CE2+CC
2=H
2 se obtiene: sensen
2+cos
2=
1H
H
H
CCCE
H
CC
H
CE2
2
2
22
2
2
2
2
2 2cos 1 Resen lación Pitagórica
Dividiendo por sen20 se tiene:
22
2
2
2
sen
1
sen
cos
sen
sen 22 eccosctg1
Dividiendo por cos20 se tiene:
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen 22 sectg1
Estas igualdades nos permiten resolver triángulos rectángulos, simplificar expresiones y
demostrar identidades trigonométricas.
Ejemplos:
- Demostrar si es verdadera o falsa
cos
eccostg
ctgsen
- Simplificar:
ctg
)tg1(cos 22
- Resolver el siguiente triángulo rectángulo en A sabiendo que B=32º18´30´´y a=16 cm.
- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada.
Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo de 45º con el suelo y se apoya
sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Hallar la anchura de la calle ¿a qué altura
se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas?.
- Calcular las RT de los ángulos de 30º, 45º y 60º.
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4. Generalización de las razones trigonométricas para cualquier ángulo
Llamamos sistema de referencia angular a ={0,X,Y,C} ejes cartesianos y una
circunferencia trigonométrica.
En un sistema de referencia angular las razones trigonométricas las podemos representar así:
Siendo el ángulo, P el punto asociado a la circunferencia
con coordenadas (x,y) así:
sen = C.E./H = y/r = ordenada/radio
cos = C.C./H = x/r = abscisa/radio
Teniendo en cuenta esta nueva expresión podemos calcular
las RT de un ángulo cualesquiera.
Es más las RT no dependen del radio de la
circunferencia elegida para definirlas:
Por semejanza de triángulos sen=y/r=y’/r’
cos=x/r=x’/r’
Como la definición de las RT no dependen del
radio, puedo elegir circunferencias goniométricas
r=1 obteniendo:
sen=y=ordenada; cos=x=abscisa
Ejemplo:
- En una circunferencia trigonométrica de radio 10, tres puntos de la circunferencia tienen
como coordenadas A(-6,8), B(-8,-6), C(6,-8). Hallar las RT de los ángulos que tienen como
extremos de los arcos los puntos A, B y C.
- Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, un ángulo que cumpla las siguientes
condiciones: 3
90º 180º5
sen y , hallar el valor de las restantes razones
trigonométricas.
r
x
y
0
y
x
P(x,y)
x
y
0
P(x,y)
P(x’,y’)
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x
y
P
Q R
T
S
M
5. Signo y valor de las razones trigonométricas.
Como las RT van asociadas a las coordenadas
de una circunferencia goniométrica los signos
son los de la tabla y los valores máximos y
mínimos son:
-1sen1 -1cos1 tgR
cosecR-(-1,1) secR-(-1,1) ctgR
Ejemplo: Calcular los signos de las RT de 130º,
220º, 179º, 299º, 91º, 355º,180º, 1’, 272º.
6. Líneas trigonométricas
Los ángulos POQ y MTO son iguales (alternos internos) y por tanto los triángulos OPQ,
OSR y MTO son semejantes ( son triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual )
Son homólogos por tanto los siguientes lados :
OTOSOP OMOROQ MTSRPQ
Considerando el radio=1
PQOP
PQsen OQ
OP
OQcos
RSOR
RS
OQ
PQtg
OTOM
OT
PQ
OPeccos OS
OR
OS
OQ
OPsec
MTOM
MT
PQ
OQctg
Para recordar:
Todas las razones tienen una sencilla
interpretación como segmentos orientados
salvo la secante y la cosecante, para los
cuales debe considerarse su valor absoluto y
luego asociarle el signo.
Ejercicio:
- Calcular las RT de III cuadrante
sabiendo que cos=-0’6.
sen cos tg
I cuadr. + + +
II cuadr. + - -
III cuad. - - +
IV cuad. - + -
x
y
Eje de cotangentes
Eje de cosenos
Eje
de
tang
ente
s
Eje
de
sen
os
O
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A B
C
h b a
C=150 m.
75º 55º
A B
C
b
c
a
H
hc
ha
7. Teorema del seno.
Sea el triángulo ABC y hc la altura correspondiente al vértice C.
senB.asenA.b
senB.aha
hsenB
senA.bhb
hsenA
cc
cc
senB
b
senA
a
Trazando la altura desde el vértice C, hc, obtenemos que senA
a
senB
b uniendo ambas
expresiones a b c
= = =2rsenA senB senC
Teorema del Seno
El teorema de los senos nos relaciona los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Ejemplo:
Una antena reproductora de señales de radio es observada desde dos puntos del suelo
separados entre sí 150 m. Los ángulos que las visuales forman con la horizontal son 75º y 55º.
Calcular las distancias de cada punto de la observación a la parte superior de la antena.
C=180º-A-B=50º aplicando el teorema del seno
º50sen
c
º55sen
b
º75sen
a
m40'160º50sen
º55sen150b
m14'189º50sen
º75sen150a
En el triángulo AHC h=bsenA=160’40sen75º=154’93 m
Ejemplo: Duplicidad de la solución
En un instante determinado un avión se encuentra a 8 km de la torre de
control de un aeropuerto y a 7,5 km de un dirigible. Si ambos son
observados bajo un ángulo de 30º, ¿a qué distancia se encuentra en ese
momento el dirigible del aeropuerto?
Solución:
Los datos son ˆ 30º, 7,5 8A a km y c km
Debemos calcular b.
Aplicando el teorema del seno: 8 7,5 ˆ 0,5333
ˆ 30ºsenC
sensenC
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Existen dos ángulos 1C y 2C cuyo seno es 0,5333 1ˆ 32,23ºC y 2
ˆ 147,77ºC
Si 1ˆ 32,33ºC 1
ˆ 180º 30º 32,23º 117,77ºB
Por tanto Teorema del seno: 11
7,5 7,5.sen117,77º13,27 .
30º 117,77º 30º
bb km
sen sen sen
Si 2ˆ 147,77ºC 2
ˆ 180º 30º 147,77º 2,23ºB
Por tanto Teorema del seno: 22
7,5 7,5.sen 2,23º0,758 .
30º 2,23º 30º
bb km
sen sen sen
En este caso existen dos soluciones.
La resolución gráfica muestra esta duplicidad de soluciones.
El arco de centro B y radio a=7,5 km corta al lado b en dos puntos
1 2C y C , que son vértices de los dos triángulos solución.
Observación: si modificamos la longitud de a, puede ocurrir que
el arco de centro B corte al lado b en un único punto o que no lo
corte. En el primer caso, existe una única solución y en el segundo, no existe ninguna
solución.
10. Teorema del coseno.
El teorema del coseno es una generalización
del teorema de Pitágoras para cualquier tipo
de triángulos.
AcosbcAHcHB
AcosbAH
Aplicando Pitágoras a los triángulos rectángulos AHC y BHC obtenemos
AbccbaAbAbcchHBha
AbhAHhbcos2
coscos2
cos 222
22222
22
2222
22
despejando a
2
2 2 2 2 cosa b c bc A Teorema del Coseno
y por simetría en el desarrollo tenemos otras dos fórmulas semejantes:
b2=a
2+c
2-2accos
c2=a
2+b
2-2abcosC
El teorema del coseno nos relaciona los tres lados de un triángulo con un ángulo opuesto.
C
A B
b
c
a
H
h
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55º
A B
C
c
Ejemplos:
1.- Se desea construir un túnel que una dos puntos determinados de
una montaña como se indica en el dibujo. Para determinar la longitud
a excavar se han tomado las siguientes medidas: el ángulo formado
por las visuales desde el punto C hasta los puntos A y B es de 55º. Las
distancias desde el citado punto hasta los extremos del túnel son 2500
y 3600 metros. Calcular la longitud del túnel.
2.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos el lado c=5 m y los ángulos A=60º y B=40º
Sol: ˆ 80ºC , a=4,396 m, b=3,263 m
3.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados b=7 m ; c=10 m y el ángulo
comprendido entre ellos A=40º. Sol: a=41,753 m. ˆˆ 44º13' 96º27'B C
4.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos los tres lados a=35; b=20 y c=40 metros.
Sol: ˆ ˆˆ61º1'42,48'' 29º58'41,58'' 88º58'36,5''A B C
5.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos: b=11 m; c=17 m y C=140º Sol.: a=
6.- Resolver el triángulo ABC del que conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos: A=40º; a=30m; b=40 m Sol: 1 1 2 2ˆ ˆ59º 46,1; 121º 15,185B C B C
Observación: Cuando en los datos de un triángulo aparecen más lados que ángulos, conviene
utilizar el teorema del coseno.
7.- Dos amigos Casimiro (Señor C) y Dionisio (Señor D), están en la bahía de Santander
mirando el mar, separados por 2,5 km. Observan dos veleros y quieren saber a qué distancia se
encuentran entre sí. Para ello disponiendo de unos teodolitos miden los ángulos que forman
sus visuales con cada uno de los barcos, obteniendo los resultados que aparecen en el gráfico.
¿Podrías calcularlo?
70º
20º 30º 65º
2500 m
Barco A
Barco B
Señor D Señor C
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Solución:
Sobre el triángulo DAC hallamos el ángulo 180º 70º 30º 80ºDAC
Aplicamos el Teorema del seno para calcular la distancia AC
2500 2500 30º1269,283
80º 30º 80º
AC senAC m
sen sen sen
Sobre el triángulo BCD hallamos el ángulo 180º 20º 65º 95ºDCB
Aplicamos el Teorema del seno para calcular la distancia BC
2500 2500 65º2274,424
95º 65º 95º
BC senAC m
sen sen sen
Sobre el triángulo ABC hallamos el ángulo 70º 20º 50ºACB
Aplicamos el teorema del coseno:
22 22274,424 1269,283 2·2274,424·1269,283·cos50ºAB
3072772,555 1752,936AB m
Los barcos A y B están separados por aproximadamente 1753 m
8.- Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B,
conocidos m400CD , se miden con un teodolito los ángulos
º42yCDA,º30xDCB,º80D,º70C Sol 271,4 m
9.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm sus tangentes comunes
forman un ángulo de 30º. Calcular las distancias entre sus centros. Sol 11,6 cm
10.-Hallar b, x y el área de la figura:
Sol: b=13, x =32º12’15’’, área=96,12 cm2.
A B
C
b
75º 60º 8 cm
10 cm
x
D
15 cm
B
C D
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8. Reducción de ángulos al primer cuadrante.
Dos ángulos y son complementarios si +=90º y suplementarios si +=180º.
Relación entre las RT de ángulos complementarios
sen = sen(90º-) = cos cosec(90º-) = sec
cos(90º-) = sen sec(90º-) = cosec
tg(90º-) = ctg ctg(90º-) = tg
Relación entre las RT de ángulos suplementarios
sen(180º-) = sen cosec(180º-) = cosec
cos(180º-) = - cos sec(180º-) = - sec
tg(180º-) = - tg ctg(180º-) = - ctg
Ejemplos:
- Calcular las RT del ángulo de 60º en función de las de su complementario.
- Calcular las RT del ángulo de 135º en función de un ángulo del I cuadrante.
Relación entre las RT de ángulos que difieren 90º o /2 rad.
sen(90º+) = cos cos(90º+)= - sen
Ejemplo: Sabiendo que el sen10º=0’1736 calcular las demás RT de un ángulo de 100º.
Relación entre las RT de ángulos que difieren 180º o rad.
sen(+) = sen(180º+) = - sen cos(+) = cos(180+) = - cos
Ejemplo: Sabiendo que cos/6=2
3 calcular las RT de un ángulo de 7/6 rad.
Relación entre las RT de ángulos que suman 270º o 3/2 rad.
sen(270º-) = sen (3/2-) = - cos cos(270º-) = cos(3/2-) = - sen
Ejemplo: calcular las RT de un ángulo de 215º en función de las de un ángulo del I cuadr.
Relación entre las RT de ángulos que difieren 270º o 3/2 rad.
sen(270º+) = sen(3/2+) = - cos cos(270º+) = cos(3/2+) = sen
Relación entre las RT de ángulos opuestos (suman 360º o 2 rad.)
sen(360º-)=sen(2-)=sen(-)=-sen cos(360º-)=cos(2-)=cos(-)=cos
x
y
x
y
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sen(+)=sen·cos+cos·sen
9.- Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia .
Sean y dos ángulos cuyas RT son conocidas, se
trata de calcular las RT de los ángulos + y -
Tomamos 1OB
sen(+)= ACEAECBDOB
BD (1)
senOAEAOA
EAsen y OA
OB
OAcos cossenEA
cosABACAB
AC
OA
OEcos y AB
OB
ABsen sencosAC
llevando estas expresiones a (1)
sen(-) = sen[+(-)] = sencos(-)+cossen(-) = sencos-cossen
cos(+) = sen[90º-(+)] = sen[(90º-)-] = sen(90º-)cos-cos(90º-)sen =
= coscos-sensen
cos(-)=cos[+(-)]=coscos(-)-sensen(-)=coscos+sensen
coscos
sensencoscos
coscos
sencoscossen
sensencoscos
sencoscossen
)cos(
)(sentg
cos cos
11
cos cos
sen sen
tg tg
sen sen tg tg
( )1
tg tgtg
tg tg
k
k
k
2/
2/
2/
tgtg1
tgtg
)(tgtg1
)(tgtg)(tg ( )
1
tg tgtg
tg tg
k
k
k
2/
2/
2/
sen(-)=sen·cos-cos·sen
cos(-)=cos·cos+sen·sen
cos(+)=cos·cos-sen·sen
+ A
B C
D O
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sen2=2sen·cos cos2=cos2-sen
2 tg2=
2tg1
tg2
cos1
cos1
2tg
2
cos1
2cos
2
cos1
2sen
10. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.
Si en las expresiones de las razones trigonométricas del ángulo (+) hacemos =,
obtenemos la RT del ángulo doble 2
sen(2)=sen(+)=sencos+cossen=2sencos
cos(2)=cos(+)=coscos-sensen=cos2-sen
2
tg(2)=
2tg1
tg2
tgtg1
tgtg
Ejemplo: si sen=0’5 calcular el sen3
Partiendo del coseno del ángulo doble:
cos2a=cos2a-sen
2a=1-sen
2a-sen
2a=1-2sen
2a 2sen
2a=1-cos2a sena=
2
a2cos1
cos2a=cos2a-sen
2a=cos
2a-(1-cos
2a)=2cos
2a-1 2cos
2a=1+cos2a cosa=
2
a2cos1
Dividiendo ambas expresiones: a2cos1
a2cos1tga
Estas expresiones se presentan de otra forma que se obtienen haciendo el cambio 2a=
Para calcular las RT de /2 hay que saber en qué cuadrante está situado el ángulo para tomar
el signo + o -.
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11. Transformaciones de sumas en productos y viceversa.
Transformación de la suma de senos en productos.
sen(+)=sen·cos+sen·cos (2)
sen(-)=sen·cosB-sen·cos (3)
sen(+)+sen(-)=2sen·cos si hacemos
22
22
A BA B
A
B A BA B
obtenemos 2
BAcos
2
BAsen2senBsenA
Transformación de productos en sumas sen·cos=1/2[sen(+)+sen(-)]
Transformación de la diferencia de senos en productos.
Haciendo (2)-(3) obtenemos sen(+)-sen(-)=2·cos·sen y con los mismos cambios de
variable queda 2
BAsen
2
BAcos2senBsenA
Transformación de productos en sumas cos·sen=1/2[sen(+)-sen(-)]
Transformación de la suma de cosenos en productos.
cos(+)=cos·cos-sen·sen (4)
cos(-)=cos·cos+sen·sen (5)
Haciendo (4)+(5) cos(+)+cos(-)=2·cos·cos y con el cambio de variable obtenemos
2
BAcos
2
BAcos2BcosAcos
Transformación de productos en sumas cos·cos=1/2[cos(+)+cos(-)]
Transformación de la diferencia de cosenos en productos.
Haciendo (4)-(5) cos(+)-cos(-)=-2·sen·sen 2
BAsen
2
BAsen2BcosAcos
Transformación de productos en sumas sen·sen=-1/2[cos(+)-cos(-)]
Ejemplos:
- Calcular sen(60º+)-sen(60º-)=sen
- Simplificar las expresiones
3cos5cos
3sen5sentg
5cos7cos
5sen7sen-ctg
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12. Ecuaciones y sistemas trigonométricas.
Una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita está ligada a alguna razón trigonométrica.
No hay un método general con el que poder resolverlas, pero son de utilidad las siguientes
indicaciones:
a) Deben expresarse (mediante transformaciones convenientes) todas las RT que aparezca
en la ecuación, en función de un mismo ángulo y de una sola razón.
b) Es conveniente transformar las sumas y diferencias en productos
c) Hay que evitar, en lo posible, suprimir soluciones, o añadir soluciones de forma
inadecuada (Por ej. elevando al cuadrado)
Hay que tener en cuenta que tienen infinitas soluciones
Ejemplos:
- sen(2x+30º)=2
3
Zkkx
kx
Zkk
kx
º180º45
º180º15
º360º120
º360º60º302
- sen5x+sen3x=0 02
x3x5cos
2
x3x5sen2
2sen4x.cosx=0
0xcos
0x4sen luego
Zkkkx
kxkx
º180º90º180º90
º45º1804
- sen2x+cosx=0 2senxcosx+cosx=0 cosx(2senx+1)=0
01senx2
0xcos salen
x=90º+180ºk; x=210º+360ºk; x=330º+360ºk kZ
- cos2x+senx=4sen2x cos
2x-sen
2x+senx=4sen
2x 1-sen
2x-sen
2x+senx=4sen
2x
0=6sen2x-senx-1 senx=t 6t
2-t-1=0 ….
- senx+cosx=1
Para sistemas tampoco hay un método general.
Ejemplos:
-
2yxcos
1yxsen2
2
-
2
2)yxcos(
2
3)yx(sen
1)yx(sen2
6senysenx
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Resumen de fórmulas
sen(+)=sencos+cossen
sen(-)=sencos-cossen
cos(+)=coscos-sensen
cos(-)=coscos+sensen
tgtg1
tgtg)(tg
tgtg1
tgtg)(tg
sen2=2sencos
cos2=cos2-sen
2
tg2=
2
1
2
tg
tg
cos1
cos1
2tg
2
cos1
2cos
2
cos1
2sen
222
BAcos
BAsensenBsenA
sencos=1/2[sen(+)+sen(-)]
222
BAsen
BAcossenBsenA
cossen=1/2[sen(+)-sen(-)]
222
BAcos
BAcosBcosAcos
coscos=1/2[cos(+)+cos(-)]
222
BAsen
BAsenBcosAcos
sensen=-1/2[cos(+)-cos(-)]
Teorema del seno: senC
c
senB
b
senA
a
Teorema del coseno: a2=b
2+c
2-2bccosA
b2=a
2+c
2-2accosB
c2=a
2+b
2-2abcosC