¿Tu calculadora sabe sumar?

Mario González Cardel

Introducción.

A lo largo de la historia, el hombre hadesarrollado diversos equipos decomputo.

Abaco RomanoAbaco Japonés

Abaco Ruso

Introducción.

Computadora digital

Algoritmos de multiplicar.

Introducción.Regla de Cálculo

1850 - 1980

Regla de cálculo de 25 cm (Pickett N902-T)

Regla de cálculo circular

Introducción.

Se impartían cursos de manejo de regla de cálculo

Introducción.

Se recurria a la literatura sobre manejo de regla de cálculo

Introducción.

Calculadora mecánica

Introducción.

Sumaba y restaba

Introducción.

Introducción.

Remington

Olivetti

Burroughs

Introducción.

Facit

Introducción.

Olivetti

Burroughs

Introducción.

• Con el desarrollo de económicas yportátiles calculadoras se haincrementado el número de personas queconfiadamente se apoyan en el uso de

Introducción.

confiadamente se apoyan en el uso deestas máquinas para realizar sus cálculos.

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Burroughs B6700

Introducción.

Introducción.

• Muchos usuarios de computadorasconfían ciegamente en los resultados quela máquina les entrega, y este problemaes compartido por el creciente número de

Introducción.

es compartido por el creciente número deusuarios. Un resultado producido por unacomputadora es aceptado como correcto,esto es más o menos aceptado como unaprueba matemática.

Introducción.

HP9830A

Introducción.

Apple II

Commodore SX-64

• Continuamente el mercado se veinundado por nuevas generaciones decomputadoras Personales. Estasmáquinas frecuentemente superan a las

Introducción.

máquinas frecuentemente superan a lasanteriormente fabricadas, en capacidad yeficiencia.

Introducción.IBM Personal System/2 Model 25

IMB Model 80

IBM 5150 (1981)

IBM Personal System/2 Model 55 SX (1987)

Introducción.

MacBook

• Los usuarios quedan completamenteatónitos cuando se enfrentan al hecho deque un cálculo numérico simple, con unascuantas operaciones, puede producir

Introducción.

cuantas operaciones, puede producirresultados incorrectos. Ellos quedan másatónitos al comprender que en cálculoscon punto flotante nada puede serconfiable, dadas las técnicascomputacionales usadas actualmente.

• Ax3 + Bx2 + Cx + D = D + x(C + x(B + xA))

Introducción.

35 15 3510 10 10+ −

• Ax + Bx + Cx + D = D + x(C + x(B + xA))

GWBASIC

GWBASIC

GWBASIC

GWBASIC

GWBASIC

Borlan C

Borlan C

Excel

Excel

MathCad

MathCad

MathCad

MathCad

Matlab

Matlab

Mathematica

Mathematica

Mathematica

−2237x8

11340+21473 x10

56700−24683 x12

56700+6485153 x14

17860500−8608231 x16

35721000+85931369 x18

642978000−8586380969 x20

135025380000+

16985903 x22

642978000−65399931389 x24

6751269000000+43833311 x26

13891500000−2062210963 x28

2250423000000+37403225893 x30

157529610000000−

25893327853 x32 17663674519 x34 13359775033 x36 15495397 x38

Mathematica

25893327853 x32

472588830000000+

17663674519 x34

1575296100000000−

13359775033 x36

6616243620000000+

15495397 x38

49009212000000−

106553 x40

2520473760000+

115697 x42

24700642848000−

30353 x44

74101928544000+

127x46

4940128569600−

127x48

145239779946240

Caracteristicas de operación.

• Notación Flotante.• Sistema Binario.• Tamaño finito de palabra.

Notación flotante

700 = 0.7 x 103

Mantisa

Exponente

Mantisa

Sistema binario

0.710 = 0.101100112

= 0.6992187510= 0.6992187510

0.000000012 = 2-8 = 0.00390625

Sistema binario

0.710 = 0.10110011001100102

= 0.6999969510= 0.6999969510

0.00000000000000012 = 2-16

=0.0000152588

El error de redondeo

0.00390625 x 1035 = 3.9 x 1032

0.0000152588 x 1035 = 1.52 x 10300.0000152588 x 10 = 1.52 x 10

El error de redondeo truncado

10.333333333...

33.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937... π

=

= ββ3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937...

e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 ...

π = ββ

El error de truncamiento

0

2 1

!

( 1)

ix

i

i i

xe

i

x

∞

=

+∞

=

−

∑

∑β β 2 1

0

( 1)( )

(2 1)!

i i

i

xsen x

i

+∞

=

−=+∑

β β

Error absoluto

( )12

1

1

×−=

×=

−−

−−

e

e

t

tr

ββ

ββ

( )( ) ( )

( )!1

)(

111

1

+−=

×−=++

−−

n

axfe

enn

t

trt

ε

ββ

Error relativo

( ) −

−

×−=

×=

trt

tr

r

r

12

ββ

ββ

( )( ) ( )

( )( )

∑=

++

−+

−

=

×−=

n

i

ii

nn

t

rt

i

axaf

n

axf

r

r

0

)(

11

!)(

!1)(

1

ε

ββ

Errores inherentesFabricación

Errores inherentesMedición

Errores inherentesMedición

Errores inherentesMedición

Errores inherentes

Errores inherentesMedición

Excel

• Cuando se van a sumar y/o restarnúmeros, trabajar con los números máspequeños primero.

Recomendaciones.

• De ser posible, evitar la substracción dede dos números aproximadamenteiguales.

• Una expresión del tipo a(b - c) puedereescribirse ab – ac y (a-b)/c puedereescribirse a/c – b/c. Si hay númerosaproximadamente iguales en el paréntesis,ejecutar la resta antes de la multiplicación.

Recomendaciones.

ejecutar la resta antes de la multiplicación.

• Cuando no se aplique ninguna de las reglasanteriores, minimizar el número de operacionesaritméticas.

Polinomios.

3/ 2 3 5/ 2 5 7 / 2 7 9/ 2 91 7 127 4369

2 24 960 80640 11612160

yE y y y y

π π π π π= + + + +

2 2 2 21 1 1 127 43691 1 7

2 12 40 12 7 1008

yE y y y y

π π π π π = + + + +

Conclusión.

Para evitarnos problemas y/o errores, debemoshacerle la vida fácil a la computadora.

Referencias.

S. M. Rump, Wie zurerlássig sind die Ergebrisse unsererRechenanlagen? Jahrbuch Überblicke Mathematik 163 –168 (1983)

Antologíade Matemáticas, Serie: LecturasUniversitarias,Antologíade Matemáticas, Serie: LecturasUniversitarias,vol. 7, Universidad Nacional Autónoma de México,Segunda edición 1983, pp 134-137

Panteleeva, O., González Cardel M. F., “MétodosNuméricos” Instituto de Investigaciones en TecnologíaEducativa de la Universidad Tecnológica de México,México, 2002.

Referencias.

McCracken, D. y D. Dorn, W. S.,Métodos Numéricos yprogramación fortran, Limusa México, 1986.

Burden L. R. y Faires J. D.,Análisis Numérico, ThomsonLearning. México,2002.Learning. México,2002.