Un viatge per l’infinitUn viatge per l’infinit Un viatge per l’infinitUn viatge per l’infinit

Dia de la ciència a les escolesDia de la ciència a les escolesIES La GarrotxaIES La Garrotxa

OlotOlot14 de novembre de 200714 de novembre de 2007

Joan BagariaJoan Bagaria

Quin és el nombre més gran?Quin és el nombre més gran?

Alguns nombres molt grans:Alguns nombres molt grans:

1010 = Nombre de bits en un CD1010 = Nombre de bits en un CD

2210 = Nombre d'àtoms en una

mina de llapis.

2210 = Nombre d'estrelles a l'univers.2210 = Nombre d'estrelles a l'univers.

8510 Nombre de partícules a l'univers.8510 Nombre de partícules a l'univers.

10010 1 Googol10010 1 Googol

10010 1000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000

10010 1000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000

Els nombres no s’acaben mai....Els nombres no s’acaben mai....

Donat un nombre Donat un nombre nn, sempre n’hi , sempre n’hi podem afegir un més i obtenir podem afegir un més i obtenir n+1n+1..

Hi ha, potencialment, Hi ha, potencialment, infinitsinfinits nombres naturals!nombres naturals!

Els nombres transfinits de CantorEls nombres transfinits de Cantor

Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918

Res no impedeix pensar en la totalitatinfinita dels nombres naturals.

O sí ?

I continuar comptant ......

?Les

paradoxes de l’infinit

Galileo Galilei, 1564-Galileo Galilei, 1564-16421642

Galileo Galilei, 1564-Galileo Galilei, 1564-16421642

La paradoxa de Galileo

0,1,2,3,4,5,....., ,.....n0,1,2,3,4,5,....., ,.....n

0,2,4,6,8,10,...., 2 ,.....n0,2,4,6,8,10,...., 2 ,.....n

La paradoxa de Tristram Shandy

1,...,365,...,730,...,365 ,.....n1,...,365,...,730,...,365 ,.....n

1,2,...., ,............n1,2,...., ,............n

L’Hotel infinit de HilbertL’Hotel infinit de Hilbert

David Hilbert 1862-David Hilbert 1862-19431943

David Hilbert 1862-David Hilbert 1862-19431943

L'aclariment definitiu de L'aclariment definitiu de la naturalesa dela naturalesa de l'infinit l'infinit

ha esdevingut necessari, ha esdevingut necessari, no només per als no només per als

interessos especials de interessos especials de les ciències particulars, les ciències particulars,

sinó sobretot per a sinó sobretot per a l'honor del mateix l'honor del mateix enteniment humà.enteniment humà.

1 2 3 4 5 6 7 8

Si l’infinit porta a tantes Si l’infinit porta a tantes paradoxes.....paradoxes.....

No fariem millor d’oblidar-nos-en?No fariem millor d’oblidar-nos-en?

Pregunta de sentit comú:Pregunta de sentit comú:

Succesions de Goodstein (1944)Succesions de Goodstein (1944)

Reuben L. Goodstein, Reuben L. Goodstein, 1912-19851912-1985

Reuben L. Goodstein, Reuben L. Goodstein, 1912-19851912-1985

22 2 125 2 2 1 33 3 13 3 1 1 7625597485068

1340780792994259709957402499820584612747936582059239

337772356144372176403007354697680187429816690342769

0031858186486050853753882811946569946433649006085119

44 4 14 4 1

El següent terme de la sèrie és un El següent terme de la sèrie és un nombre que té nombre que té 2216 dígits2216 dígits! !

El següent terme de la sèrie és:El següent terme de la sèrie és:

Que és igual a:Que és igual a:

El teorema de Goodstein (1944)El teorema de Goodstein (1944)

Tota successió de Goodstein convergeix a....

El teorema de Kirby i Paris (1982)

El teorema de Goodstein només es pot demostrar si existeix un conjunt infinit!

0en un nombre finit de passos.

La teoria dels nombres transfinits La teoria dels nombres transfinits de Cantorde Cantor

Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918

2 2 2

2 2 2

0,1,2,3,4,5,6,7,........,

, +1, +2, +3,........,

2, 2+1, 2+2,......,

3, 3+1, 3+2,.......,

..................,

, +1,........, + ,........,

+ 2,........, 2,........., 2+ ,...

3

....,

,........, ,......., ,........., etc.

2 2 2

2 2 2

0,1,2,3,4,5,6,7,........,

, +1, +2, +3,........,

2, 2+1, 2+2,......,

3, 3+1, 3+2,.......,

..................,

, +1,........, + ,........,

+ 2,........, 2,........., 2+ ,...

3

....,

,........, ,......., ,........., etc.

0,1,2,3,4,5,6,7,..........

1 0,1,2,3,4,5,6,............,

Georg Cantor, 1874Georg Cantor, 1874

EEl conjunt de l conjunt de

punts de punts de ll'interval [0,1] 'interval [0,1]

no es potno es pot numerar.numerar.

L’argument diagonal

0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1....... 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1....... 2 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1....... 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0....... 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1....... 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0....... 6 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0....... 7 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0....... . ...................................................................

1 0 1 1 0 1 0 0 ..........

No és a la llista!

0 1 2 n 1

.

, , ,......, ,....., , ,.....,

,....., ,....., ,.....

0 1 2 n 1

.

, , ,......, ,....., , ,.....,

,....., ,....., ,.....

Els àlephs

La teoria matemàtica que estudia La teoria matemàtica que estudia els nombres infinits és la els nombres infinits és la

Teoria de ConjuntsTeoria de Conjunts

La paradoxa de Russell

(1902)

Sigui A el conjunt de tots aquells

conjunts que no són elements de

si mateixos. Bertrand

Russell, 1872-1970

Bertrand Russell, 1872-

1970Aleshores,...

si A pertany a A, A no pertany a A,

i si A no pertany a A, A pertany a A.

?

La paradoxa del barberLa paradoxa del barber

El barber del El barber del poble afaita tots poble afaita tots els homes del els homes del poble que no poble que no s’afaiten a si s’afaiten a si mateixos.mateixos.

Qui afaita el Qui afaita el barber?barber?

La paradoxa de Richard (1905)La paradoxa de Richard (1905)

Considerem el conjunt C dels nombres que es

poden definir en catalàamb menys de 16

paraules.

C és finit!

El menor nombre natural que El menor nombre natural que

no és definible en català amb no és definible en català amb

menys de setze paraules.menys de setze paraules.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11

12 13 14 15

La teoria de conjunts de La teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb Zermelo-Fraenkel amb

l’axioma d’elecció (l’axioma d’elecció (ZFCZFC))

Axiomes:Axiomes:

Extensionalitat:Extensionalitat: Si dos conjunts tenen els mateixos elements són iguals.

Potència:Potència: Donat un conjunt x hi ha un conjunt (x) que té com elements tots els subconjunts de x.

Unió:Unió: Donat un conjunt x, hi ha un conjunt x que té com elements tots els elements dels elements de x.

Infinitud:Infinitud: Hi ha un conjunt infinit.

Axiomes de substitució:Axiomes de substitució: El recorregut d’una funció definible que té com a domini un conjunt, és un conjunt.

Regularitat:Regularitat: Donat un conjunt no buit x, hi ha un element de x que no té cap element en el conjunt x.

Axioma d'elecció:Axioma d'elecció: Tot conjunt es pot ordenar bé.

Tota la matemàtica es pot reduir Tota la matemàtica es pot reduir a la teoria de conjunts !a la teoria de conjunts !

Donat un enunciat matemàtic, tenim tres possibilitats:

•Que sigui demostrabledemostrable en ZFC.

•Que sigui refutablerefutable en ZFC.

•Que sigui indecidibleindecidible en ZFC.

La Hipòtesi del Continu G. Cantor, 1878

Tot conjunt infinit de nombres reals és o bé numerable, o bé bijectable amb .Tot conjunt infinit de nombres reals és o bé numerable, o bé bijectable amb .

Hi ha exactament 1 nombres reals.Hi ha exactament 1 nombres reals.

És a dir......

Kurt Gödel, 1906-1978Kurt Gödel, 1906-1978

No es pot demostrar en

ZFC que la hipòtesi del

continusigui falsa.

Paul J. Cohen, 1963-2007Paul J. Cohen, 1963-2007

Tampoc no es Tampoc no es pot demostrarpot demostraren ZFC que la en ZFC que la

hipòtesi del hipòtesi del continu sigui continu sigui verdadera.verdadera.

La Hipòtesi del Continu és indecidibleindecidible

en ZFC!

Calen més axiomes!

Per ampliar el tema:Per ampliar el tema:

J. Bagaria: Una petita excursió al paradís de Cantor. Publicat a : Matemàtiques del segle XXI: dels fonaments a la tecnologia. Cicle Ferran Sunyer i Balaguer. Editat per M. Castellet. Fundació CaixaSabadell (2003)

J. Bagaria: Una petita excursió al paradís de Cantor. Publicat a : Matemàtiques del segle XXI: dels fonaments a la tecnologia. Cicle Ferran Sunyer i Balaguer. Editat per M. Castellet. Fundació CaixaSabadell (2003)

Sobre el teorema de Goodstein, aneu a:http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

Sobre el teorema de Goodstein, aneu a:http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem

J. Bagaria: Paul J. Cohen y la técnica del forcing. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Volumen 2, Número 3. Páginas 543-553(1999)  

J. Bagaria: Paul J. Cohen y la técnica del forcing. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Volumen 2, Número 3. Páginas 543-553(1999)  

Els dos articles anteriors els podeu trobar a la mevà pàgina web:http://www.icrea.es/ca/investigadors/index.html

Els dos articles anteriors els podeu trobar a la mevà pàgina web:http://www.icrea.es/ca/investigadors/index.html

SCIENTISTS & THINKERSTIME MAGAZINE, MARCH 29, 1999 Leo Baekeland, plastics pioneerTim Berners-Lee, Internet designerRachel Carson, environmentalistAlbert Einstein, physicistPhilo Farnsworth, inventor of electronic televisionEnrico Fermi, atomic physicistAlexander Fleming, bacteriologistSigmund Freud, psychoanalystRobert Goddard, rocket scientistKurt Godel, mathematicianEdwin Hubble, astronomerJohn Maynard Keynes, economistThe Leakey Family, anthropologistsJean Piaget, child psychologistJonas Salk, virologistWilliam Shockley, solid-state physicistAlan Turing, computer scientistJames Watson & Francis Crick, molecular biologistsLudwig Wittgenstein, philosopherThe Wright Brothers, visionary aviators