UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES

1.1 La recta numérica.

1.2 Los números reales.

1.3 Propiedades de los números reales.

1.4 Intervalos y su representación

mediante desigualdades.

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con

una incógnita y de desigualdades

cuadráticas con una incógnita.

1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolución de

desigualdades que incluyan valor

absoluto.

1.1. LA RECTA NUMERICA

A. DEFINICIÓN:

Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los

números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados

que están separados uniformemente.

B. REPRESENTACIÓN:

Esta dividida en dos mitades simétricas.

Números negativos cero Números

positivos

C. APLICACIÓN:Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica.

De esta manera, podemos determinar si un numer es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

Para señalar el número de plantas de un edificio en el

ascensor.

Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo

de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números

enteros negativos.

Para medir altitudes.

Se considera 0 el nivel del mar

los niveles por encima del mar se pueden expresar

por números enteros positivos

Para medir temperaturas.

1.2. LOS NÚMEROS REALES

A. DEFINICIÓN: Es la unión de los números racionales e irracionales.

B. CLASIFICACIÓN:

Números naturales (N): Es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... Que se pueden usar para contar elementos o cosas.

N= {0, 1, 2, 3,..}

Números enteros (Z): Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación de suma.

Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}

Cuando un numero se puede escribir en forma fracción. Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.

Números racionales (Q)(fraccionarios, o quebrados):

Q= {... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, 4.1515......}

2

No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

Números irracionales (I):

C. REPRESENTACIÓN:

De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada

punto de ella un número real.

D. APLICACIÓN:Los números reales pueden representar

cualquier medida tal como:

El precio de un producto

La altitud (positiva o negativa) de un lugar geográfico

La densidad de un átomo o la

distancia de la más lejana de las

galaxias.

Por ejemplo:

En economía

En informática

En matemática

s

En física En ingeniería

1.3. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

(PROPIEDAD DE ORDEN)

1.3.1. TRICOTOMÍAA. DEFINICIÓN:

Es una división en tres partes. Es una propiedad de vital importancia para la matemática.

Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes

afirmaciones:

A. DEFINICIÓN: 1.3.2. TRANSITIVIDAD

Relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando siempre un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero.

Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es

mayor que c.

A. DEFINICIÓN: 1.3.3. DENSIDAD

Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya que todo número tiene vecinos racionales e irracionales cercanos a él.

Ejemplo: √2=1,1.4,1.41,1.412…….

A. DEFINICION:

1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.

1.4. INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE

DESIGUALDADES.

A. DEFINICIÓNDESIGUALDADES: Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que sea verdadera.

Nombre Símbolo Definición Representación grafica

Intervalo Abierto

(a,b)

Intervalo cerrados

[a,b]

Intervalos Semiabierto

s

(a,b]

[a,b)

IntervalosInfinitos

(a,∞)

[a,∞)

INTERVALOS ABIERTOSREPRESENTACIÓN

NOTACIÓN DEL CONJUNTO

NOTACIÓN DEL INTERVALO

(𝒂 ,𝒃)

𝒂<𝒙<𝒃

INTERVALOS CERRADOSREPRESENTACIÓN

NOTACIÓN DEL CONJUNTO

NOTACIÓN DEL INTERVALO

[𝒂 ,𝒃]

𝒂≤ 𝒙≤𝒃

Intervalos semiabiertos por la

izquierdaSon los abiertos por la

izquierda y cerrados por la derecha:

Intervalos semiabiertos por la

derechaSon los cerrados por la izquierda y abiertos por la

derecha:

(𝒂 ,𝒃)

¿ES CORRECTO ESCRIBIR?

INTERVALOS INFINITOS

REPRESENTACIÓN

por la izquierda abierto

por la derecha abierto

por la derecha cerrado

por la izquierda cerrado

REPASO

< menor que

> mayor que

≤ menor que o igual que

≥ mayor que o igual que

EJEMPLOS

5x

652 431 7

(5,∞)

EJEMPLOS

7x652 431 7

(-∞,7)

EJEMPLOS

-1-2-5 -3-4-6 0

2p

(-∞,-2]

EJEMPLOS

8x763 542 8

[8,∞)

1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER

GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS

CON UNA INCOGNITA.

A. DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO.

Es todo enunciado abierto que tiene el signo > ó <, con una sola variable y con exponente 1.

ax + b > cax + b < c

w + 5 < 8w + 5 + (-5) < 8 + (-5)

w + 0 < 3

w < 3

w + 5 < 8

w + 0 < 3

w < 3

-5 -5

0 1 2 3-20 -15 -10 -5-25 4 5

3

B. DEFINICIÓN DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA

INCOGNITA.Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que,

directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las

formas siguientes:

ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0ax2+bx+c ≥0ax2+bx+c ≤ 0

x²+ x-2 < 0

0 1 2 3-4 -3 -2 -1-5 4 5

(x-1)(x+2)< 0

(x-1)= 0

x<1

(x+2)=0

x< -2

Formula general

???

1.6. VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al

signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de:

Matemáticos y físicos

Magnitud

Distancia

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número

real está definido por:  

Nota: Estos casos solamente los podrás utilizar si el valor de “b” es un numero natural positivo.

1.7. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE

INCLUYAN VALOR ABSOLUTO