Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemático

en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y

situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de

problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de

decisiones. Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas

de manejo de la computadora. Solución de problemas. Habilidad para

trabajar en forma autónoma. Búsqueda del logro.

Competencia por unidad: Manejar las matrices, sus propiedades yoperaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, enlos sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de lasmatemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y unasolución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades paraprobar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.

Competencias genéricas: Comunicarse en el lenguaje matemáticoen forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos ysituaciones. Pensamiento lógico, algorítmico. Resolución de problemas.Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones.Capacidad de organizar y planificar. Habilidades básicas de manejo dela computadora. Solución de problemas. Habilidad para trabajar enforma autónoma. Búsqueda del logro.

2.1 Definición de matriz, notación y orden

1. MATRICES

DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro denúmeros distribuidos en filas y columnas.

NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra poruna letra mayúscula y sus elementos, una vezdistribuidos en las filas y columnas respectivas, seencierran con corchetes o con paréntesis, así:

; o así:

En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.

a2a1a

aaa

aaa

= A

mnmm

n2221

n1211

2

1

a2a1a

aaa

aaa

= A

mnmm

2n2221

1n1211

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.

Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".

ELEMENTO GENÉRICO

El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

OTRA NOTACIÓN DE UNA MATRIZ

Para el caso de una matriz A con m filas y ncolumnas, se debe entender que i varía desde 1 hastam y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variablesen el conjunto de los números naturales).

Así, la matriz

Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, quetiene como elemento genérico a aij, es:

Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

puede anotarse de esta forma:

A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

aaa

aaa

aaa

aaa

= A

434241

333231

232221

131211

Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces latranspuesta de A se denota por At o A’, es la matriz de n xm que se obtiene escribiendo las filas de A, por orden,como columnas. Ejemplos.

Las transpuestas de las matrices

Son

3 4

8 2

3 0

A

1 4 5B

4 2 6

3 1 0

1 2 1

C

3 8 3'

4 2 0

tA A

1

' 4

5

B

4 3 1

' 2 1 2

6 0 1

C

2.2 Operaciones con matrices

2.2 Operaciones con matrices.3.3.1 Suma y resta de matrices.

Suma y diferencia. La suma (diferencia) A B de dosmatrices del mismo tamaño se obtiene sumando(restando) los elementos correspondientes de lasmatrices.

Ejemplos.

Dadas las matrices

Hallar la suma de A y B.

A + B =

2 1 0 3

2 3 2 3

5 2 8 0

A

1 4 3 2

2 1 2 3

0 1 0 1

B

1835

6040

5353

1008)1(205

33221322

23304112

3.3 Operaciones con matrices.3.3.1 Suma y resta de matrices.

Dadas las matrices.Hallar la diferencia de A yB

A – B =

La suma (diferencia) de A y C, B y C no sonconformables para la suma (diferencia) porque no sondel mismo tamaño.

2 1 0 3

2 3 2 3

5 2 8 0

A

1 4 3 2

2 1 2 3

0 1 0 1

B

1815

0424

1331

)1(008)1(205

33)2(21322

23)3(04112

3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar. El producto de una

matriz A por un escalar k denotado como kA seobtiene multiplicando todos los elementos de A por k.

Ejemplos.

Dada la matriz

Hallar 3 A

1 2

3 1

2 0

A

1 2 3( 1) 3(2) 3 6

3 3 3 1 3(3) 3(1) 9 3

2 0 3( 2) 3(0) 6 0

A

3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar.

Dada la matriz

Hallar 2 A

1 2

3 1

2 0

A

1 2 2( 1) 2(2) 2 4

2 2 3 1 2(3) 2(1) 6 2

2 0 2( 2) 2(0) 4 0

A

3.3.2 Multiplicación de matrices. Multiplicación por un escalar.

Dada la matriz

Hallar (-1) A= -A

1 2

3 1

2 0

A

1 2 ( 1)( 1) ( 1)(2) 1 2

( 1) 3 1 ( 1)(3) ( 1)(1) 3 1

2 0 ( 1)( 2) ( 1)(0) 2 0

A

Producto de matrices. El producto de AB de una matriz A de m x r y B una matriz r x n

resulta una matriz C de m x n, en donde cada elemento Cij se obtiene multiplicando los elementos correspondientes de la fila ide la matriz A con los elementos de la columna j de la matriz B y se suman todos los resultados. Ejemplos.

Efectuar AB

2 1 3

4 1 2A

2 1 2

4 0 6

2 3 1

B

MATRICES IGUALES

DEFINICION: dos matrices son iguales si y sólo si

i) son del mismo orden

ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.

En símbolos: A = B aij = bij, i,j

Ejemplo:

3.2 Tipos especiales de matrices.

Comúnmente las matrices tienen características definidas, por esta razón se les asigna un nombre específico.

3.2.1 Vector renglón y columna.

Vector fila. También llamada Vector renglón, es una matriz que consta de una sola fila y su tamaño es de 1 x n.

Ejemplos.

1 0 2 0P 1 2 4 2Q

3.2 Tipos especiales de matrices.

Vector columna. Es una matriz que consta de una sola columna y su tamaño es de m x 1.

Ejemplos. 3

5X

2

1

3

Y

3.2.2 Matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada de orden n, será aquella que tiene el mismo número de filas y de columnas. Ejemplos.

es una matriz cuadrada de orden 3.

es una matriz cuadrada de orden 2.

1 2 1

3 4 3

2 1 0

A

1 2

4 0B

3.2.3 Matriz identidad.

Una matriz identidad denotada como de orden n, es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son igual a 1 y todos los demás son igual a cero. Ejemplos.

1I 1 0

0 1I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

3.2.4 Transpuesta de una matriz.

Transpuesta. Sea A una matriz de m x n, entonces latranspuesta de A se denota por At o A’, es la matriz den x m que se obtiene escribiendo las filas de A, pororden, como columnas. Ejemplos.

Las transpuestas de las matrices

Son

3 4

8 2

3 0

A

1 4 5B

4 2 6

3 1 0

1 2 1

C

3 8 3'

4 2 0

tA A

1

' 4

5

B

4 3 1

' 2 1 2

6 0 1

C

3.3.3 Representación matricial de ecuaciones.

El sistema de ecuaciones anterior es equivalente a la siguiente matriz.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 1 2

...

...

. . . .

. . . .

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

2

1

11

22221

11211

3.4 Introducción a los determinantes. Solución de undeterminante de 2x2, 3x3 por método de columnas aumentadasy cofactores.

Definición. El determinante de una matriz A deorden n se define como la suma de todos los productoselementales con signo y se denota como det(A) o A .

En forma general el determinante se puede representar así:

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . .

n

n

n n nn nxn

a a a

a a a

A

a a a

CÁLCULO DE DETERMINANTES n x n. Para obtener el determinante de un matriz de orden 2

y 3, se utilizan generalmente procedimientosnemotécnicos, en los cuales se suman todos losproductos elementales con signo que señalan lasflechas que se indican a continuación.

A = = a11 a22 - a21 a12

A =

O también

A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 – a31a22a13 – a21a12a33 – a11a23a32

2221

1211

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

-

+

Solución de un determinante de 2x2.Calcula la determinante de A:

65

23A

281018)2(5)6(3 A

Ejemplo.

Hallar el determinante de la siguiente matriz.

=

=-6 – 15/2 – 6 – 60 – 9/2 + 1 = -83

215

263

24/32/1

15

63

4/32/1

215

263

24/32/1

4

332

2

12126513252

4

326

2

1

Solución de un determinante de 3x3 por método de columnas aumentadas

Definición. Dada una matriz A, el menor del elemento aij denotadocomo Mij es el determinante que la submatriz que resulta de imprimir lafila i y la columna j de A.

Así, el numero (-1)i+j Mij denotado como Cij es el cofactor del elementoaij. En otras palabras los signos quedan como sigue (en dominó).

Ahora, el determinante de una matriz de orden n sepuede calcular sumando los productos de los elementosde una fila (columna) por sus cofactores.

Un desarrollo particular considerando los elementos dela primera fila se puede expresar de la siguiente forma:

det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n

aij Cij = (-1)i+j aijMij

ji)1(

Ejemplo de cálculo de undeterminante de 3X3 por cofactores.

Otra forma de resolverse

En excel el determinante de A se calcula:

Ahora, el determinante de una matriz de orden n sepuede calcular sumando los productos de los elementos deuna fila (columna) por sus cofactores.

Un desarrollo particular considerando los elementos de laprimera fila se puede expresar de la siguiente forma:

det (A) = a11C11 + a12C12 + a1nC1n

Ejemplo.

Calcular el determinante de la matriz A.

A=4321

1234

1531

2/1212/1

aij Cij = (-1)i+j aijMij

det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14

det (A) = (-1)1+1 (1/2) + (-1)1+2 (-1) + (-1)1+3 (2)

+(-1)1+4(1/2)

Realizando operaciones tenemos:det (A) = ½ (-24-10+9-4+60+9) - (-1)(8+5-12+2-80-3) + 2(-12-3+8-3+48+2) –

(- ½)(-9-6-40+15+36+4)

det (A) = ½(40) + 1(-80) + 2(40) + ½(0) = 20 – 80 +80 + 0 = 20

432

123

153

421

134

131

431

124

151

321

234

531

4321

1234

1531

2/1212/1

A

aij Cij = (-1)i+j aijMij

det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14

det (A) = (-1)2+1 (-1) + (-1)2+2 (-3) + (-1)2+3 (-3)

+(-1)2+4(-2)

Realizando operaciones tenemos:det (A) = -(-1)(8+5-12+2-3-80) + (-3)(4+2-6+1-3/2-32)

– (-3)(10-2-3/2+5/2+3/2-8) + (-2)(5/2-8-1+10+1-2)

det (A) = (-80) -3(-32.5) +3(2.5) - 2(2.5) = -80 + 97.5 +7.5 -5 = 20

431

124

151

431

1512

12

2

1

431

1242

12

2

1

124

1512

12

2

1

4321

1234

1531

2/1212/1

A

En excel: 4321

1234

1531

2/1212/1

A

16.3.5.Propiedades de los determinantes

A continuación se enuncian las principales propiedades de los determinantes.

1. El determinante de la matriz y su transpuesta son iguales A = At .

Ejemplo.

Si A = entonces A = At

Si A = = -8 + 3 = -5; ; At = = -8 + 3 = -5

41

32

41

32

43

12

2. Si todos los elementos de una fila (columna de una matriz son ceros, entonces A = 0.

Ejemplo.

Si A = entonces A = 0

3. Si dos filas (columnas) de una matriz A son idénticas, entonces A = 0

Ejemplo.

A= entonces A = 0

03

02

321

132

132

4. Si B se obtiene de A intercambiando dos filas (columnas) de A, entonces B = - A

Ejemplo.

Sean A = y se obtiene B=

entonces B = - A

B = = -1 – 4 + 8 – 4 + 4 + 2 = 5

122

121

212

122

112

221

122

112

221

A = = -4 – 2 + 4 – 8 + 1 + 4 = -5

5. Si una fila (columna) de una matriz A se multiplica por un escalar k, entonces B = kA

Ejemplo.

Si A = y K = 2

B = = = -6 + 4 = -2

k A = 2 = 2 ( -3 + 2) = 2(-1) = -2

122

121

212

11

23

1)2)(1(

2)2)(3(

12

26

6. Si B se obtiene de A sumando el múltiplo de una fila a otra, entonces B = A .

Ejemplo.

Sea A = y se obtiene B = multiplicando la

1ª fila por (-2) y sumando con la 2ª fila, entonces

B = A .

B = = 3 – 4 + 2 + 12 = 13

221

123

212

221

301

212

221

301

212

A = = 8 – 1 + 12 + 4 – 6 – 4 = 13

17. 3.6 Solución de la inversa de una matriz de 2x2, 3x3.

18. 3.6.1 Método de eliminación-Gaussiana.

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A.

221

123

212

Paso 1. Se escribe la matriz aumentada A .

Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducid por renglones.

Paso 3. Se decide si A es invertible.

Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad , entonces A-1 es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical.

Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.

A A-1

Ejemplo.

Hallar la inversa de la matriz A.

A=

Nota: F1 es fila 1, F2 es fila 2, F3 es fila 3, de la matriz A

123

2/13/12/1

313

21

2

1

13

1

100123

0102/13/12/1

003/113/11

100123

0102/13/12/1

001313

=A FF

F

I

Convertir en 1

Convertir en 0

101210

061010

003/113/11

101210

016/106/10

003/113/11

100123

016/106/10

003/113/1126

313

F

FF

13

2/332 2/130100

061010

003/113/11

160200

061010

003/113/11 FF

FFF

2/130100

061010

2/153/2001

2/130100

061010

2/133/103/1112

3

1

FF

Convertir en 0 Convertir en 1

A-1 =

20.3.6.2 Método de cofactores.

Definición. Dada una matriz A de orden n y Cij el cofactor del elemento aij, la matriz

2/130

061

2/153/2

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

...

......

......

...

...

21

22221

11211

Otra forma de obtener la inversa de una matriz de 2X2

11

3

11

111

4

11

5

31

45

)4(1)5(3

1

51

43

1

1

A

A

ASe intercambian

Cambian de signo

Cambian de signo

Ejemplo.

Hallar la inversa de la matriz A.

A= ; det (A) = 8/3 – 8 + 8 – 16/3 – 4 + 8 = 4 – 8/3 = 4/3

+ - +

C11 = 8/3 C12 = -6 C13 = 2/3

- + -

C21 = 4 C22 = -8 C23 = 0

+ - +

C31 = -10/3 C32 = 8 C33 = -2/3

224

13/11

424

AdjADetA

A11

Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa

A-1 = ¾

A-1 =

3/283/10

084

3/263/8

3/203/2

886

3/1043/8

3/203/2

886

3/1043/8

2/102/1

662/9

2/532

Sea A una matriz cuadrada, A es invertible si el Det

A es diferente de cero. Obtener la matriz M, que es

la de cofactores de A, donde A es de orden n x n y

el ij-ésimo cofactor de A denotado como Aij, esta

determinado por Aij=(-1)i+j|Mij| es decir el cofactor Aij

se obtiene del determinante

ij-ésimo menor Mij y multiplicando por (1)i+j donde

se multiplica por 1 si i+j es par, o -1 si i+j es impar.

Considere esta matriz A, donde m=n, es

decir una matriz cuadrada.

Det A= a11A11+ a12A12+a13A13 + …+a1nA1n =

Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.

Es necesario definir la matriz Adjunta de A (Adj A) como Mt, donde esta última se le conoce como matriz de cofactores. En otras palabras

en tanto que

nnnn

n

n

t

AAA

AAA

AAA

MAdjA

...

............

...

...

21

22212

12111

AdjADetA

A11

Ejemplo 1: Obténgase la mediante la Adjunta, la inversa de la matriz F.

Se Obtiene primero la matriz de cofactores M.

:= F

2 1 2

1 0 -1

1 5 2

, por lo tanto

141

928

535

M y Mt (Traspuesta de M) , la cual es

5 8 -1

-3 2 4

5 -9 -1

Igual a Adj F. y el Det F= 2(5)+2(8)+1(-1)=17

AdjADetA

A11

17/117/917/5

17/417/217/3

17/117/817/5

195

423

185

17

11A

:= F

2 1 2

1 0 -1

1 5 2

21. 3.6.3 Solución de ecuaciones de 2x2 y 3x3. Utilizando el método de la inversa y Cramer.

Un método para encontrar las soluciones (si existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, consiste en simplificar las ecuaciones al multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuación por un numero diferente de cero, sumar un múltiplo de una ecuación a otra e intercambiar dos ecuaciones de un sistema, de manera que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se llaman operaciones elementales con renglones.

Las operaciones elementales con renglones son:

Multiplicar (o dividir) un renglón por un numero diferente de cero.

Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Intercambiar dos renglones.

Al proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.

Notación

1. Ri cRi :

Quiere decir “reemplaza el i-esimo renglón por ese renglón multiplicado por c”

2. Rj Rj + cRi :

Significa “sustituye el j-esimo renglón por la suma del renglón j mas el renglón i multiplicado por c”.

3. Ri Rj :

Quiere decir “intercambiar los renglones i y j”.

4. A B :

Indica que las matrices aumentadas A y B son equivalente; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

ELIMINACIÓN GAUSSIANA. Método.

Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas.

Ejemplo.

Resuelva el sistema

2x1 + x2 - 2x3 = 1

3x1 + 2x2 - 4 x3 = 1

5x1 + 4 x2 - x3 = 8

R1 R3

R2 R2 – 3R1

R3 R3 – 2R1

R2 -1/6 R2

11251

02193

21042

21042

02193

11251

41460

31560

11251

R1 R1 – 5R2

R3 R3 + 6R2

R3 - R3

41460

2/116/1510

11251

1100

2/116/1510

2/32/101

1100

2/116/1510

2/32/101

R1 R1 – 5R2

R3 R3 + 6R2

La solución es x1 = -2, x2 = 3, x3 = 1

1100

3010

2001

3x1 - 4x2 - x3 = 1

2x1 - 3x2 + x3 = 1

x1 - 2 x2 + 3x3 = 2

R2R2 – 4R1

R3R3 -6R1

R2-1/5 R2 R1R1-R2

R3R3+5R2

0316

0514

0111

0950

0950

0111

5950

35/910

2111

0000

05/910

05/401

Se tienen dos ecuaciones con las incógnitas x1, x2 x3 y existe un numero infinito de soluciones, se supone que x3 tiene un valor especifico, entonces x2 = 9/5 x3 y x1 = -4/5 x3 estas soluciones se escriben en la forma (-4/5 x3, 9/5 x3, x3).

REGLA DE CRAMER.

El sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Se puede representar de la siguiente manera:

=

nnnnnn

n

n

b

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

.

...

......

......

...

...

3

2

1

2211

22222121

21212111

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

......

......

......

...

...

21

22221

11211

nx

x

x

.

.

.

2

1

nb

b

b

.

.

.

2

1

Si se designan estas matrices por A, X y B, respectivamente, entonces, se puede escribir en la forma

AX = B

En donde A se denomina matriz de coeficientes, X se llama matriz de incógnitas y B matriz de términos independientes o vector solución.

Regla de Cramer. Si A X = B es un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas tal que det (A) 0, entonces el sistema tiene solución única. Esta solución es

en donde Aj se obtiene sustituyendo en la columna j de la matriz A por la columna B.

Otro método para resolver el sistema A X = B tal que A sea una matriz invertible de n x n, entonces tiene exactamente una solución, que es:

X = A-1B

Para obtener la expresión anterior se procede de la siguiente forma:

Se multiplica A X = B por A-1

A-1A X = A-1B ; X = A-1B, entonces X = A-1B

x1 =

det (A1)

, x2 =

det (A2)

, . . . ,

xn =

det (An)

det (A) det (A) det (A)

Ejemplo.Resolver mediante la regla de Cramer.

=2(-2)(5)+(1)(-3)(8)+1(3)(2)-(8)(-2)(1)-(2)(-3)(2)-(5)(3)(1)

= -20 – 24 + 6 + 16 + 12 – 15

Det(A)= -25

2x1 + x2 + x3 = 6

3x1 - 2x2 - 3x3 = 5

8x1 + 2x2 + 5x3 = 11

28

23

12

528

323

112

A

Ejemplo.

Resolver mediante la regla de Cramer.

det (A1) =

=6(-2)(5)+1(-3)(11)+1(5)(2)-11(-2)(1)-2(-3)(6)-5(5)(1)

= -60 – 33 + 10 + 22 + 36– 25

det (A1) = -50

2x1 + x2 + x3 = 6

3x1 - 2x2 - 3x3 = 5

8x1 + 2x2 + 5x3 = 11

211

25

16

5211

325

116

Ejemplo.

Resolver mediante la regla de Cramer.

det (A2) =

=2(5)(5)+6(-3)(8)+1(3)(11)-8(5)(1)-11(-3)(2)-5(3)(6)

= 50 – 144 + 33 – 40 – 90 + 66

det (A2)= -125

2x1 + x2 + x3 = 6

3x1 - 2x2 - 3x3 = 5

8x1 + 2x2 + 5x3 = 1

118

53

62

5118

353

162

Ejemplo.Resolver mediante la regla de Cramer.

det (A3) =

=2(-2)(11)+1(5)(8)+6(3)(2)-8(-2)(6)-2(5)(2)-11(3)(1)

= -44 + 40 + 36 + 96– 20 – 33

det (A3)= 75

2x1 + x2 + x3 = 6

3x1 - 2x2 - 3x3 = 5

8x1 + 2x2 + 5x3 = 1

28

23

12

1128

523

612

225

50

)det(

)det( 11

A

Ax

525

125

)det(

)det( 22

A

Ax

325

75

)det(

)det( 33

A

Ax

)det(

)det(

A

Ax n

n

22. 3.6.4 Aplicaciones de matrices.

1. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos de 2º de Bachillerato, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:

CALIFICACIONES

Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev

Antonio 8 7 5

Jaime 4 6 5

Roberto 6 5 4

Santiago 7 6 8

Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 25 %, 2ª Ev: 35 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide:

a) La nota final de cada uno de los alumnos.

b) La media aritmética de las calificaciones de cada evaluación.

Solución:

2. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.

a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia.

b) Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.

Solución:

3. La maestra de matemáticas está poniendo ejemplos a sus alumnos acerca de las matrices, tomando a Juan y David, y Jorge, Alex y Mónica como su ejemplo principal. Juan posee 3 lapiceros rojos, 2 azules y perdió 5 negros, David tiene 1 rojo, 4 azules y perdió 2 negros, mientras que Jorge sólo tiene 2 rojos y 4 azules, Alex posee 5 rojos y 1 azul, y Mónica cuenta con 3 rojos. La maestra toma estos datos de ejemplo, y dadas las matrices obtenidas por ambos grupos, les pidió:

a) Calcula, si es posible, los productos A.B y B.A.

b) Calcula, si es posible, (A.B) -1.

Solución:

4. Calcula An siendo A:

Solución:

5. Resuelve la ecuación matricial: A.X - 4.B = X, siendo:

Solución: