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Universidad Autonoma del Estado de HidalgoInstituto de Ciencias Basicas e IngenierıaArea Academica de Matematicas y Fısica
Línea de investigación: Resolución de problemas en educaciónmatemática.Programa educativo: Maestría en Ciencias en Matemáticas y suDidácticaNombre de la asignatura: Matemáticas I.Tema: Modelos Matemáticos Discretos.Ciclo: Julio-Diciembre de 2010.Profesor: Roberto Ávila-Pozos
Tema: Modelos matemáticos discretos.Abstract: In this course we present some discrete mathematicalmodels. It is an introductory course in mathematical modeling.Keywords: , Mathematical Models, Logistic equation, Growthmodel.Palabras clave: Modelos matemáticos, Ecuación logística, modelode crecimiento.
ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Modelos Matemáticos Discretos
Roberto Ávila-Pozos
Área Académica de Matemáticas y FísicaUniversidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Roberto Ávila-Pozos IV Coloquio de Matemática Educativa para Profesores
ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Contenido
Los conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logísticaPoblaciones estructuradas por edad
Roberto Ávila-Pozos IV Coloquio de Matemática Educativa para Profesores
ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Contenido
Los conejos de FibonacciModelo lineal de crecimiento
La ecuación logísticaPoblaciones estructuradas por edad
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Contenido
Los conejos de FibonacciModelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Roberto Ávila-Pozos IV Coloquio de Matemática Educativa para Profesores
ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Contenido
Los conejos de FibonacciModelo lineal de crecimientoLa ecuación logísticaPoblaciones estructuradas por edad
Roberto Ávila-Pozos IV Coloquio de Matemática Educativa para Profesores
ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Introducción
El propósito del taller es discutir y analizar modelos matemáticosdiscretos. A partir de ecuaciones en diferencias, se presentaránmodelos de crecimiento de poblaciones; se revisarán los supuestos yse analizarán sus alcances y limitaciones. Además, se realizará unanálisis cualitativo del fenómeno que se pretende modelar.
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
El problema de los conejos y los números de Fibonacci
Un hombre puso un par de conejos en un terreno completamentecercado. ¿Cuántos pares de conejos tendrá después de un año,
suponiendo que cada mes, cada pareja de conejos genera una nuevapareja de conejos, y que cada nueva pareja comienza a reproducirse
al segundo mes?
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Los conejos
Al inicio...
Un mes después...
Dos meses después...
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Los conejos
Tres meses después...
Cuatro meses después...
Cinco meses después...¿Y después de un año?
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Números de Fibonacci
Son números que se construyen con la fórmula de recurrencia
yn+2 = yn+1 + yn
La sucesión más famosa de estos números, atribuida a Leonardo dePisa es
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
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Poblaciones estructuradas por edad
Números de Fibonacci
Para calcular cualquier número de la sucesión, no es necesariocalcular todos los anteriores. La fórmula
yn =1√5
(1 +√5
2
)n+1
− 1√5
(1−√5
2
)n+1
permite calcular el número de conejos para cualquier tiempo(discreto).N.B.
φ =1 +√5
2se conoce como la razón dorada.
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Poblaciones estructuradas por edad
Números de Fibonacci
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Poblaciones estructuradas por edad
Números de Fibonacci
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Poblaciones estructuradas por edad
Números de Fibonacci
Algunas propiedades de los números de Fibonacciyn+1yn≈ φ
yn+2yn≈ φ2
y1 + y2 + · · ·+ yn = yn+2 − 1y1 + y3 + · · ·+ y2n+1 = y2n
y2 + y4 + · · ·+ y2n = y2n+1 − 1y21 + y2
2 + · · ·+ y2n = ynyn+1
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Poblaciones estructuradas por edad
Aplicaciones
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Poblaciones estructuradas por edad
Aplicaciones
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Poblaciones estructuradas por edad
Aplicaciones
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Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Aplicaciones
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Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Un problema de crecimiento
En un medio de cultivo, se coloca una bacteria para su estudiodetallado. Después de 10 minutos, al observar el cultivo bajo elmicroscopio, se puede ver que hay dos bacterias. A los 20 minutosde comenzar con el experimento, se observa el doble de bacteriasque había a los 10 minutos. A los 30 minutos el número debacterias ha vuelto a duplicarse. ¿Cuántas bacterias habrá despuésde 2 horas?
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Un problema de crecimiento
Al inicio10 minutos después del inicio...20 minutos después del inicio...30 minutos después del inicio...
¿Y después de dos horas?
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El crecimiento de las bacterias
Digamos que n0 es el número inicial de bacterias. Después de 10minutos tenemos n1 = 2× n0. A los 20 minutos n3 = 2× n1.En general,
nt+1 = 2× nt
Y esto significa que para poder conocer el valor al tiempo t + 1debemos conocer el valor al tiempo t.Podemos ver que
n2 = 2n1 = 2× (2n0) = 4n0 = 22n0
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Poblaciones estructuradas por edad
El crecimiento de las bacterias
De manera similar
n3 = 2n2 = 2× (2n1) = 2× 2× 2× n0 = 8× n0 = 23n0
En general
nt+1 = 2× nt = 2t+1n0
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ContenidoLos conejos de Fibonacci
Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
El crecimiento de bacterias
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Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Modelo de crecimiento
En general
xn+1 = xn + (b − d)xn = xn(1 + b − d) = xn(1 + r)
donder = b − d
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Poblaciones estructuradas por edad
Modelo de crecimiento con migración
Si consideramos la migración, el modelo queda como
xn+1 = rxn + β
donde β > 0 significa inmigración y β < 0 indica emigración
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Poblaciones estructuradas por edad
El crecimiento con migración
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La ecuación logística
xn+1 = xn + rxn
(1 +
xn
K
)
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Análisis cualitativo
Por ejemplo, grafique f (xn) = xn + rxn
(1 +
xn
K
)en el plano x − y .
También grafique xn+1 = xn.Tome un valor inicial x0 y se trace una segmento de recta,perpendicular al eje x , hasta alcanzar a la curva f (xn). Ese punto es(x0, f (x0)).A continuación se traza un segmento de recta perpendicular al ejey , hasta alcanzar a la recta xn+1 = xn. Ese será el punto(f (x0), f (x0)).Se repite este procedimiento hasta encontrar el comportamiento dela ecuación en diferencias.
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Poblaciones estructuradas por edad
Diagrama de telaraña
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Poblaciones estructuradas por edad
Diagrama de telaraña
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Poblaciones estructuradas por edad
Diagrama de telaraña
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
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Poblaciones estructuradas por edad
Análisis cualitativo
En ocasiones, estos sistemas pueden tener un comportamientocaótico. Para esos casos, el diagrama de bifurcación resulta de granutilidad, pues se puede evaluar la dependencia del parámetro quecausa el comportamiento. Un ejemplo de dicho comportamiento sepresenta en la siguiente figura:
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Poblaciones estructuradas por edad
Diagrama de bifurcación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
2
4
6
8
10
12
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Modelo lineal de crecimientoLa ecuación logística
Poblaciones estructuradas por edad
Matrices de Leslie
Cuando el interés está centrado en determinar el número deelementos de la población con cierta característica, por ejemplo,rango de edad, un modelo de gran utilidad es aquel que preserve lainformación de cierta estructura. Si nos interesa saber cuántosconejos juveniles y cuántos adultos hay en determinado momento,el modelo de Fibonacci no resuelve el problema. Por eso, esnecesario introducir la información de la edad, en cualquiermomento, mediante un modelo de población estructurada por edad.
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Poblaciones estructuradas por edad
Matrices de Leslie
z1,n+1
z2,n+1
=
0 1
1 1
z1,n
z2,n
(1)
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Población estructurada por edad
Leslie Projection MatrixAge-Structured Growth
0.0 0.333 0.0
0.0 0.0 0.5
0.0 1.875 1.312
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Poblaciones estructuradas por edad
Población estructurada por edad
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