Post on 28-Jan-2016
UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO
ANALISIS MATEMATICO I
LIC. CARLA ROJAS DEL CARPIO
PARA EL PRIMER PERIODO
EXAMENES = 67 %PRACTICAS Y PARTICIPACION = 33%
TOTAL = 100%
APROBADO = 65%
Se te evaluara sobre 100 puntos
INSTRUMENTO N° PUNTAJE
Participación y/o tareas
30 15
Practica Semanal
7 13
Practica Dirigida 2 5
Practica Calificada
2 20
EXAMEN 1 47
TOTAL 100 pAPROBADO ≥ 65 p
53 p
47 p
PODRAS ACUMULAR PUNTAJE EXTRA :
Valido solo para aquellos estudiantes que completaron los 53 puntos de practicas y participación
INSTRUMENTO
N° PUNTAJE EXTRA
Practica Calificada
2 10
Participación 10 10
TOTAL 20
TEMAS A DESARROLLAR EN EL PRIMER PERIODO 2012-II
SEMANA 1: NUMEROS REALES : INECUACIONES POLINOMIALES Y CON VALOR
ABSOLUTO SEMANA 2: APLICACIÓN DE LAS INECUACIONES A LA ECONOMIA Y LA
ADMINISTRACION} SEMANA 3: PRACTICA DIRIGIDA Y CALIFICADA SEMANA 4: FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y SUS APLICACIONES SEMANA 5: LIMITE DE UNA FUNCION SEMANA6: CONTINUIDAD DE UNA FUNCION SEMANA 7 : PRACTICAS DIRIGIDAS Y CALIFICADAS SEMANA 8 : EXAMEN PARCIAL
En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (∙), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de cuerpo).
Cuerpo R de los números reales
R =Q Q*.
Q Z N
Ley de Clausura
Para la suma: Para la Multiplicación:
IRbaIRba , IRbaIRba ,
Ley Conmutativa IRbaabba ,IRbaIRabba ,
Ley Asociativa IRcbacbacba ,, IRcbacbacba ,,
Elemento Opuesto
Opuesto Aditivo Opuesto Multiplicativo (Inverso)
IRaIRa , tal que
0 aa
IRaIRa 1*, tal que
11 aa
Elemento Neutro Neutro aditivo Neutro Multiplicativo
IRIRa 0, tal que aa 0 IRIRa 1, tal que aa 1
Ley Distributiva IRcbacabacba ,,
(ii)
(iii)
Sea entoncesIRba ,
(i)
aa
bababa
baba
Sea entonces0,0,, baIRba
(ii)
(iii)
(i) aaa 111
(iv)
111 baba
111 baba
111 baba
Sea entoncesIRba ,
000 baba
Sea entoncesIRcba ,,
0 aconcbcaba
cbcaba (i)
(ii)
a b c a b c
(iii) baba
cbacba
baba 0
0,0 dbconcbdad
c
b
a
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
00 a
(iv)
IRa INn b nSean y . La potencia de base y exponente define como sigue:
Potencias
n
n factores
a a a a a
0,10 aa mnmn aaa
mnm
n
aa
a
0,1
aa
an
n nnn baba
mnmn aa
n
nn
b
a
b
a
mn
mnmn
b
a
b
a
ba, Zmn ,Sean y entoncesPropiedades
Raíces b INn esiman bSean y La Raíz de
es un número real, que se define como
n
mn m bb
Sean Propiedades ba, INmn , y entonces
nnn baba
0 bb
a
b
an
n
n
mn nmmn baba n mmn bb mnn m bb n nn baba
nnn baba
Cuadrados de Binomios
222 2 bababa
222 2 bababa
Cubos de Binomios
32233 33 babbaaba
32233 33 babbaaba
11
21
1 13 3 11
14641
__________________________________4 ba
__________________________________5 ba
Suma por su Diferencia
Binomios por Trinomios
22 bababa
3322 babababa
3322 babababa
442222 bababa
Caso I
b
b
b
b
bb
11
Caso II
b
b
b
b
bb
n mn
n mn
n mn
n mn m
11
ba
ba
ba
ba
baba
11
ba
ba
ba
ba
baba
11
1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis 4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica por
-3 4+12-6 = Se suman todos los positivos y
los negativos 16-6 = 10
Your turn!3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelven parentesis 4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis
con su literal -4[21+8]= Se resuelve color lila -4[29]= -116 Se multiplica
5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd
5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar 5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores (mcm)
5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12 2/2=1, x*1=x 10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador (12),
numeradores se suman.
Your turn!7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
1/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6] =
1/3[1/2(3-4/12)+1/6] =
1/3[1/2(-1/12)+1/6] = 1/3[-1/24+1/6] = 1/3[-1/24+(1/6)(4/4)] = 1/3[-1/24+4/24] = 1/3[3/24] = 3/72 = 1/24
13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a ²-b² (√ 2) ² – (√ 3) ² = 2-3 = -1
15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) = 3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) = 3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) = 3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) = 3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) = 3 √ 2 (√ 2 (-1)) = 3 √ 2 (- √ 2 ) = -3 √ 2 √ 2 = -3 √(2*2) = -3 √ 4 = -3(2) = -6
1) 4-3(8-12)-6 =2) 2(3-2(4-8)) =3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =5) 5/6 – (1/4+2/3) =
6) ¾-(7/12 – 2/9) =
7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =11. 1 - 2/2+3/4 =12. 2 + 3/1+5/2 =13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =14. (√ 2 + √ 3)2 =15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =
a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=
c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=
e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=
g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=
a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9
YOUR TURN !
b) (a+b)2 = a2+2ab+b2 (2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2
=4x2-12x+9
(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (3t2-t+1)2 = (3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)(1)+2(-
t)(1) = 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t = 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1
Ecuación de 1º Grado 0bax
Ecuación de 2º Grado
a
bx
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo
Y su solución o raíz es
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo 02 cbxax
Y su solución o raíz es
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
Desigualdades bababa
Intervalos
Sean
Intervalo Abierto bxaIRxba /;
IRba , entonces
Intervalo Cerrado
Intervalo Semi Abierto
bxaIRxba /;
bxaIRxba /;
bxaIRxba /;
Intervalo al infinito
xaIRxa /;
xaIRxa /;
axIRxa /;
axIRxa /;
Representación Grafica
Menú
Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.
2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y
los términos con constante se pasan al otro.
2x-4x > -2+7-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando
con x y pasa a dividir con 5.
x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la
desigualdad se cambia.
x < -5/2
-5/2
(- , -5/2)
Son las que tiene grado mayor o igual que 2.
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces o soluciones de la ecuación de segundo grado PUNTOS CRITICOS . Para ello se recomienda factorizar o aplicar la formula general
Se iguala a cero y sed factoriza para aplicar el teorema a.b=0 2º Representamos estos valores o PUNTOS CRITICOS (TOMANDO EN
CUENTA LA MULTIPLICIDAD )en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo O SE APLICA LA LEY DE SIGNOS
La ley de signos:De izquierda a derecha : + - + - +… en cada intervarlo originado por los puntos criticos.
La multiplicidad : - Multiplicidad par : No se toma como punto critico pero se le evalúa para
ver si pertenece a la solución. -Multiplicidad impar: Si se toman como puntos criticos
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la INECUACION :
SI ES SE TOMAN LOS SIGNOS + con intervalo cerradoSI ES ≤ SE TOMAN LOS SIGNOS – con intervalo cerrado
2 2 15x x
Como la inecuación es 0, escojo los intervalos con signo +
2)
.
210 3x x
Como la inecuación es < 0, escojo los intervalos con signo -
YOUR TURN
x2-x < 6 1. Se pasa todo a un lado. x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (x-3)(x+2) Se iguala a cero . (x-3) (x+2) = 02. Se hallan LOS PUNTOS CRITICOS (x-3) = 0 (x+2) =
0 x = +3 x = -2 Se ubican los puntos crtiticos en la recta REAL Se aplica ley de signos
+ - + -2 3
3. La solucion esta compuesta por los signos correspondientes al de la desigualdad en este caso el intervalo abierto negativo por ser una desigualdad menor
C.S = (-2,3)
3)
.
2( 1) 0x x
Se toma en cuenta la multiplicidad :Multiplicidad par : No se toma como punto critico pero se le evalúa para ver si pertenece a la solución.Multiplicidad impar: Si se toman como puntos criticos
ECUACIONES E INECUACIONES CON ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOVALOR ABSOLUTO-DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO-DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
0 si ,
0 si ,
xx
xxx
22(-2) , 22 xx
•|15| = 15
•|-4| = -(-4) = 4
•|0| = 0
Obs:
PROPIEDADES DEL VALOR PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTOABSOLUTO
yxyxyyx
yxyxyx
yxyx
yy
x
yx
yxxy
xxx
x
0 .7
.6
.5
0 , .4
.3
.2
0 .1222
ECUACIONES CON VALOR ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOABSOLUTO
xx
xx
x
x
243 .4
331 .3
14
2 .2
31
2 .1
Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
732 x
032 si , 32
032 si , 3232
xx
xxx
2
3
23
si , 32
si , 3232
xx
xxx
2732
5732
23
23
xxx
xxx
También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición.Por ejemplo:
Sabemos por definicion que :
Lo que equivale a decir:
Entonces:
C.S. = {-2;5}
INECUACIONES CON VALOR INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOABSOLUTO
babbba
babbba
0
0
bababa
bababa
22
22
baba
baba
1) | x + 5 | ≤ 10
NO CUMPLE NINGUNA PROPIEDAD!!..HELP!!!
YOUR TURN!2) | 5x - 3 | < 3x - 1
2) | -3x + 6 | > 18