Demostración del Teorema 2.7.4EC7

El Cálculo

DERIVADA DE LA FUNCION COTANGENTE

Demostración:

Dx(Cotx) = -Csc²x

1. Paso

Consideramos las funciones trigonométricas:

Senx = a/cCosx = b/cCotx = b/cCosx/Senx = (b/c)/(a/c) = b/cCosx/Senx = Cotx

a

b

c

x

2. Paso

Reemplazamos Cotx por Cosx/Senx:

Dx(Cotx) = -Csc²x

Dx(Cosx/Senx) = Dx(Cotx)

3. Paso

Desarrollamos la nueva derivada obtenida:

Dx(Cosx/Senx) = Senx•Dx(Cosx) – Cosx•Dx(Senx) Sen²x

Dx(Cosx/Senx) = -Sen²x - Cos²x Sen²x

Dx(Cosx/Senx) = -(Sen²x + Cos²x) Sen²x

4. Paso

Puesto a que Sen²x + Cos²x equivale a la unidad.

Dx(Cosx/Senx) = -1/Sen²x

5. Paso

Consideramos que 1/Senx equivale a la Cscx, por tanto 1/Sen²x será igual a Csc²x, así:

Dx(Cosx/Senx) = -(1/Sen²x)Dx(Cosx/Senx) = -Csc²xComo Dx(Cosx/Senx) = Dx(Cotx)Dx(Cotx) = -Csc²x L.q.q.d.

(Lo que queríamos demostrar)

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