42510011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 2

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

DISTRIBUCIÓN GAMMA•Distribuciones Positivamente Sesgadas

•Sesgadura decrece con α•Otras distribuciones son variaciones de ésta

22 /

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

EjercicioEn cierta ciudad, el consumo diario de energía eléctrica (en millones de kilowatt-hora) puede tratarse como una variable aleatoria con un distribución gamma con α=3 y β=2. Si la planta de energía de esa ciudad tiene una capacidad diaria de 12 millones de kilowatt-hora ¿Cuál es la probabilidad de que este suministro de energía sean inadecuado en un día dado?

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

1632)(

2!2)!13(3

)!1(

2

3

)(

22

3

22

1

xx

x

exexxf

nn

exxf

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

01438.016769.15161

842161

21

2

21

2

2116

122

161

16

1

0

22

1

0

22

2

222

1

0

1

0

2222

xxe

xe

aax

xae

ex

dxexdxex

x

xax

ax

xx

probabilidad

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

• Caso especial• Procesos de Poisson con α y β=1/α

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio

Suponga que llegan 3 camiones por hora en promedio para ser descargados en una bodega ¿Cuáles son las probabilidades de que el tiempo entre el arribo de sucesivos camiones sea

• Menor que 5 minutos• Al menos 45 minutos

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

%73.202739.0

331

31

31

)(

60

5

0

3360

5

0

3

xx

x

edxe

exf

Solución

b)

a)

2211.07788.01

7788.0331

31

60

45

33

60

45

xx

edxe

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

DISTRIBUCIÓN BETA

)1()(

..0

0010)()(

)1()()(

22

11

loe

xxx

xf

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio• En cierto distrito, la proporción de tramos de carretera que requieren de reparaciones en un año dado es una variable aleatoria con α=3 y β=2. Determine

– Que porcentaje en promedio de tramos de carretera requieren de reparaciones en un año dado– La probabilidad de que cuando más las mitad de los tramos de carretera requieran de reparaciones en un año dado.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

%25.313125.0

4312)1(12)(

)1(122

)1(24)2()3(

)1()5()(

%606.053

2

1

0

2

1

0

432

222

xx

dxxxxf

xxxxxx

xf

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

• Relación con la distribución exp.

0

000)(

11 xparaex

xfx

2

/22

/1

11

21

11

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejercicio• Supongamos que el ciclo de vida de cierto tipo

de batería de respaldo de emergencia (en horas) es una v.a X con la distribución weibull con α=0.1 y β=0.5.– Determine el ciclo de vida media de estas baterías– La probabilidad de que una batería de este tipo

dure mas de 300 horas.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Solución

1769.0

2)(

2

21

5.01.0)(

20031.0

11

300300

1.01.0

2

1

2

1

2

1

1.05.0

300

2

/1

2

1

5.0

xu

x

eduexf

dxxdu

dxxdu

xu

exxf

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

DISTRIBUCIÓN ERLANG

22

k

k

• Variación distribución Gamma• K indica los éxitos• Usada en teoría de colas

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

• En una industria de alto riesgo ocurren en promedio 4 accidentes mensuales sea X una variable aleatoria definida como el numero de accidentes que ocurren mensualmente ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca el quinto accidente después de 2 meses?

Ejercicio