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CAPITULO 6Variables Aleatorias
MULTIVARIADAS
Estadística Computacional
Distribuciones MultivariantesDistribuciones Multivariantes
Sea X = (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio PX : Bk R caracterizada por FX , fX (discreta, continua, mixta).
Consideremos k=2 :
: función de Distribución conjunta X=(X1,X2)
: función de densidad (cuantía)
FXi(xi): función de Distribución marginal de Xi, i=1,2
fXi(xi): función de densidad marginal i=1,2
),( 21Xf xx
),( 21XF xx
022
21221 2
2
)()(
),()/( xfsi
xf
xxfxXXf X
X
X
)()(),( 212121 21xfxfxxfXX XXX
),( 21 XEXEXE
)()( XEXXEXE TX
Distribuciones MultivariantesDistribuciones Multivariantes
))((),cov( 221121 XEXXEXEXX
)(
),cov(),(
21
2121
XVXV
XXXX
02121 ),cov( XXXX
212121 0 XEXEXXEXX ),(
Distribuciones MultivariantesDistribuciones Multivariantes
Sea X = ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con Xi variable aleatoria que representa el número de fallas del turno i. La siguiente tabla nos proporciona la función de cuantía conjunta:
0 1 2
0 0,1 0,2 0,2
1 0,04 0,08 0,08
2 0,06 0,12 0,12
2
1
X
X
Ejemplos de Vectores Aleatorios DiscretosEjemplos de Vectores Aleatorios Discretos
1. Determinar las cuantías marginales
2. Determine las cuantías condicionales
)/( 212 XXf)/( 121 XXf
21 XX ff
Ejemplos de Vectores Aleatorios DiscretosEjemplos de Vectores Aleatorios Discretos
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
1. Cuantías marginales1. Cuantías marginales
240
140
020
1
1
1
11
x
x
x
xf X
;,
;,
;,
)(
230
120
050
2
2
2
22
x
x
x
xf X
;,
;,
;,
)(
2. Cuantías condicionales
240040
140040
020040
11
1
1
2
211
2
21
x
x
x
xfxxf
fX
XX
;,/,
;,/,
;,/,
)(),(
/
240120
140080
04020
22
2
2
1
212
1
12
x
x
x
xfxxf
fX
XX
;,/,
;,/,
;,/,
)(),(
/
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
Obtenga además:Obtenga además:
1. 1.
2.2.
3.3.
1XE
),( 21 XX
212 XXV /
NotaNotaNotaNota
Ejemplo de vectores aleatorios continuosEjemplo de vectores aleatorios continuos
Sea X = (X1, X2) vector aleatorio continuo, con densidad:
Calcular:
),()(3
2),( 211,0x2121
1 xxIexxxxfR
x
X
),( 21 XX
0
1
0
21212
11 35
32
1 dxdxexxxXE x)(
0
1
0
2122
13
12
1 314
32
1 dxdxexxxXE x)(
0
1
0
212
2212 95
32
1 dxdxexxxXE x)(
0
1
0
213
22
212
2 187
32
1 dxdxexxxXE x)(
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
0
1
0
212
2122
121 98
32
1 dxdxexxxxXXE x)(
16213
2 XV 9
171 XV
0951,0),cov(
),(21
2121
XVXV
XXXX
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
Sea X vector aleatorio continuo con densidad conjunta , y sea con g: D R2 R2 función vectorial. Si se cumple:
D conjunto abierto:g es una transformación invertible con derivadas parciales continuas
Existe
En tal caso
Xf )(xgy
1)(DP X
021
21 J
xxgg
J /),(),(
),(),(),( )( 21
1
2121 yyIJxxfyyf DgXy
Transformaciones de Vectores Transformaciones de Vectores AleatoriosAleatoriosTransformaciones de Vectores Transformaciones de Vectores AleatoriosAleatorios
Sea X = ( X1 , X2 )vector aleatorio y sea función de densidad marginal de X2.
Además, sea M = { x2 : } y sea g : D R R.
Consideremos : M R / (X2) = E[g(X1)/X2]. se llama función de regresión de g(X1) en X2.
)( 22xf X
022)(xf X
Función de RegresiónFunción de Regresión
Propiedades:
1.
2.
3.
Entonces:
2121 XXYY ACAC
212121 XEXXEEXEXXEE //
12122 XXEVXXVEXV //
RDCBADCXYBAXY ,,,2211
Función de RegresiónFunción de Regresión
Sean X1 , X2 v.a.c. y
sean también
Encontrar:
1.
2.
3.
4. ¿ Es y1 y2 ?
212211 XXYXXY ,/
),( 21 yyfY
)( 22yfY
21 YYf /
),(),(, 21102121 24 xxIxxxxf X
Ejemplo de TransformacionesEjemplo de Transformaciones
X1 , X2 ]0,1[ X12=Y1Y2 X2
2=Y2/Y1
Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2<1 ; Y2/Y1<1
Sean Y1= g1(x1 , x2) Y2= g2(x1 , x2)X1= h1(x1 , x2) X2= h2(x1 , x2)
12212
2111
21
21
1
21
21
21yyhyh
yhyh
yyhh
xxgg
),(),(
),(),(
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
1.
2.
3.
),(),(),(, 2110
1
2121 2 yyIJxxfyyfgXy
),()( 211
22 yyIyy
Sg
2
2
2
2
2
1
1
12
1
1212 2y
y
y
yYY y
dyydyyyfyf
//
),()(
104 21
22 yyy ln
)(),(
/2
21
2
21 yfyyf
fY
YY
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
4.
no son independientes
1 1
1
0
1
0
21
22
1
21 22
y y
Y dyyy
dyyy
yf )(
)()( ,, 1131
1101
1yI
yyIy
212121 YYyfyfyyf ,)()(),(
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
Sean X , Y v.a. y , C R
XE
XEXEX
YEXEYXE
YEXEXYE
Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza
Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza
Sean X , Y v.a. y , C R 0V
XVXV 2
XVCXV
YXsiYVXVYXV
),cov( YXYVXVYXV 2
Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza
Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza
Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes:
En general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera:
n
ii
n
ii XEXE
11
n
ii
n
ii XVXV
11
n
ii
n
ii XEXE
11
jijiji
n
iii
n
iii XXXEXV ),cov( 2
1
2
1
Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza
Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza
Distribución (Binomial):
n , p=p1 , q=1-p=p2
),(!!
!),( 2121
2121
21 xxIppxx
nxxf xx
X nxxx ii 0:
Ejemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones Continuas
Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas
Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas
Distribución (Polinomial): n , p1, p2,..., pk
),..,(...!
!),...,,( k
xk
xx
k
ii
kX xxIpppx
nxxxf k
121
1
2121
nxxx ii 0:
),...,,( knpnpnpXE 21
)(
)(
kkk
k
X
pnppnp
pnppnppnp
1
1
1
12111
Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas
Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas
Distribución Normal (Bivariada): X N(,)
o bien
Además
)()(),(
xx
X
T
exxf1
2
1
21212
1
2
22
1
112
2
222
1
112
212
1
221 12
1
xxxx
e)(
)( 21XE XVX
2221
212
1
Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas
Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas
Las probabilidades de que cierta lámpara de un modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso interrumpido son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lámparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.
Ejemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones Multinomial
Solución:n=8 ; p1=0,3 ; p2=0,5 ; p3=0,2
x1=2 ; x2=5 ; x3=1
321
3213
1
332211xxx
ii
pppx
nxXxXxXP
!
!);;(
09450205030152
8 152 ,),(),(),(!!!
!
Ejemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones Multinomial
),( 21 XX
),()( 21111
Nxf X
),()( 22222
Nxf X
))();(()/( 22122
2
1121 1
xNXXf
21 XXE / 21 XXV /
Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada
Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada
Análogamente se tiene que:
))();(()/( 22211
1
2212 1
xNXXf
12 XXE / 12 XXV /
Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada
Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada
Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N ( , ), siendo :
Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X.
- ¿Cuál es el valor más probable de Y?
6
4
2
801 .
Aplicación Normal BivariadaAplicación Normal BivariadaAplicación Normal BivariadaAplicación Normal Bivariada
La respuesta consiste en encontrar:
gramos
6xyE /
676 11
22 ,)(/
xxyE
72216 222 ,)(/ xyV
SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn
Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión se distribuye como N ( 100 ; 20 ) y la capacidad como N ( 140 ; 10 ), calcular la probabilidad de avería, suponiendo independencia.
Problema de TareaProblema de TareaProblema de TareaProblema de Tarea