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7/23/2019 Variación de caudal en válvula de bola
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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Tarea 1: Válvula de bolaDiseño Computarizado
Alumno: Felipe Ligeti
Profesor: Claudio García
Fecha: 20-11-2015
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ContenidoIntroducción ........................................................................................................................................ 3
Objetivos ......................................................................................................................................... 3
Desarrollo del trabajo ......................................................................................................................... 4
Componentes de una válvula .......................................................................................................... 4
Fórmula para obtener el área en función del tiempo ..................................................................... 8
Método de programación utilizado ................................................................................................ 9
Resultados ..................................................................................................................................... 10
Variación de área con respecto al tiempo ................................................................................ 10
Grafico de caudal con respecto al tiempo ................................................................................ 11
Modelo logarítmico del caudal.................................................................................................. 11
Grafico variación caudal con respecto al tiempo mediante el método de logaritmo .............. 12Grafico de caudal con respecto al tiempo de los 4 comportamientos ..................................... 13
Conclusión y comentarios personales ............................................................................................... 14
Bibliografía ........................................................................................................................................ 15
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IntroducciónEl control automático ha evolucionado rápidamente incluso hasta ciencias de altas
matemáticas. Sin embargo en este trabajo no se pretende desarrollar los aspectos
avanzados de los sistemas de control, sino más bien solo en analizar el funcionamiento
de una válvula de control de bola, que en definición no es más que un aparato mecánico
con el cual se puede iniciar o detener la circulación de fluidos mediante una pieza movibleque abre, cierra u obstruye en forma parcial un orificio. Esta característica hace de las
válvulas uno de los instrumentos de control más esenciales en la industria debido a su
uso.
Objetivos
Los objetivos de este informe se centran en la interpretación de la variación de área y
caudal que presenta una válvula de bola mientras es abierta a una velocidad constante.
Se debe identificar elementos, procesos y supuesto utilizados, haciendo conocimiento de
lo aprendido en la carrera de Ingeniería Civil Mecánica o recurriendo a bibliografías de
diversos autores. Además se requiere obtener rectas que ajusten estas curvas y lograr
obtener un modelo logarítmico que pueda predecir el flujo de caudal de aire a distintos
tiempos. Para ello, se utiliza lenguaje de programación Fortran, con el fin de desarrollar
toda la problemática con una solución computacional.
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Desarrollo del trabajo
Las válvulas de bola ofrecen muy buena capacidad de cierre y son prácticas porque para
abrir y cerrar la válvula es tan sencillo como girar la manivela 90°. Se pueden hacer de
paso completo, lo que significa que la apertura de la válvula es del mismo tamaño que elinterior de las tuberías y esto resulta en una muy pequeña caída de presión.
Cabe señalar, sin embargo, que esta válvula es para uso exclusivo en la posición
totalmente abierta ó cerrada. Esta no es adecuada para su uso en una posición de
apertura parcial para ningún propósito, tal como el control de caudal.
La válvula de bola hace uso de un anillo suave conformado en el asiento de la válvula. Si
la válvula se utiliza en posición parcialmente abierta, la presión se aplica a sólo una parte
del asiento de la válvula, lo cual puede causar que el asiento de la válvula se deforme. Si
el asiento de la válvula se deforma, sus propiedades de sellado se vulneran y esta fugará
como consecuencia de ello.
Componentes de una válvula
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Cuando se realiza la apertura de la válvula mediante la manipulación de la manivela o
maneta, la variación de flujo de área y caudal no se comporta de forma lineal, por lo
mismo, su interpretación tiene un grado de dificultad mayor. Para comprender el
comportamiento del área de flujo mientras la válvula se abre, se puede recurrir a la
siguiente imagen.
El área achurada de color negro indica la zona de área en donde la válvula se encuentra
cerrada, es decir, para la posición 7 de la imagen, la válvula se encuentra completamente
cerrada impidiendo el paso de aire. Por otro lado, el área de color naranjo indica por
donde el flujo está pasando, por ejemplo, para la posición 1, la válvula está
completamente abierta. Si se observa con atención se logra visualizar que el área
anaranjada se obtiene al momento de realizar la intersección de 2 circunferencias de igual
diámetro, es decir, cada vez que se abre la válvula, una de las 2 circunferencias es
trasladada hacia la derecha una distancia directamente proporcional al tiempo de
apertura, siguiendo la expresión = ∙ , en donde, muestra la distancia desplazada,
la velocidad de apertura de la válvula y t el tiempo de apertura. En efecto, para un tiempo
de = 1 0 segundos, la válvula se habrá movido = 1 0 ∙ 0 . 5 = 5 , correspondiendo al
caso 5 de la imagen, en donde la válvula se encuentra a la mitad de apertura.
Por lo tanto se debe encontrar una forma de obtener dicha área naranja para cada
variación de tiempo.
Para esto es necesaria la utilización de integrales y definir la curva de función de la
sección de un cuarto de circunferencia. Recordar que la ecuación de una circunferencia
no es una función, pues para cada valor de , su imagen corresponde a dos valores en el
eje , por este motivo, se analiza solo un cuarto de ella.
La ecuación de la circunferencia es de la forma
( − ) + ( − ) =
En donde a y b son las distancias desde el centro de la circunferencia hasta los ejes
respectivamente, para = 0 = 0, la circunferencia se posiciona en el origen del plano
cartesiano, es la distancia que recorre en el eje de las abscisas, es la distancia en el
eje de las ordenandas y es el radio de la circunferencia.
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La función que represente la curva solo en el primer cuadrante, o sea en
Es la siguiente.
Despejando la incógnita ( − ) + ( − ) = e indicando que la circunferencia se
encuentra en el origen como se aprecia en la imagen, se obtiene
+ =
= √ −
Para encontrar el área achurada de color verde se utilizan integrales, para ello se toma un
rectángulo diferencial de área, paralelo al eje Y como se muestra a continuación.
Se desprende que el diferencial de área es
=
Como se calcula la cuarta parte de la circunferencia, el área será
1
4 = ∫√
−
= 4 ∫ √ −
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Para los límites de integración, se recurre a la trigonometría.
Por lo tanto
sin() = → =()
=()
De esta forma los límites de integración son
= → sin() = = 1 → =
2
Reemplazando los nuevos límites de integración y dejando la integral de área solo en
función de
= 4 ∫ √ − () ()
= 4 ∫ √ (1−()) ()
= 4 ∫ √ (1−()) ()
1 − () =(),
= 4 ∫ ()
() = 12 (1+cos(2))
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Fórmula para obtener el área en función del tiempo
= 4 ∫ 12 (1+cos(2))
= 4(1
2 + sin(2)4 )
Finalmente se obtiene la expresión para calcular el área a medida que la variable
cambia. Sin embargo, lo que se está calculando no es lo que se necesita en esteproblema, pues solo se considera la siguiente porción anaranjada.
El área que se busca entonces es la suma de la sección roja con la naranja, o que es lo
mismo que calcular el área de un cuarto de circunferencia justo donde los 2 círculos se
intersecan a una distancia . En la figura se aprecia que si la válvula se abre durante 5
segundos, la distancia recorrida es de 2.5 mm y la intersección ocurre en 1.25 mm. Es
por esto que se necesita encontrar de forma general cada intersección de lascircunferencias a medida que el tiempo varía.
Se tiene que
1. + = , circunferencia fija en el origen
2. (−) + = , circunferencia que se traslada solo en el eje X una distancia a.
Se expande la ecuación 2
( − )
+
=
− 2 + + =
Restando 2. y 1., se obtiene
−2++= 0
= 2⁄
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Es decir, cada vez que se mueva una distancia determinada, el límite de integración
debe ser la mitad.
ahora seguirá la expresión = ∙ 2⁄ .
Método de programación utilizado
Una recta de ajuste es una línea recta que es la mejor aproximación del conjunto de datos
dado, en este caso de caudal y tiempo. Para encontrarla de una forma precisa, la mejor
manera es utilizando el método de mínimos cuadrados, técnica de análisis
numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto
de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, se intenta encontrar
la función continua que mejor se aproxime a los datos.
Se debe seguir los siguientes pasos para encontrar la ecuación de la recta.
Calcular la media de los valores de x y la media de los valores de y.
Realizar la suma de los cuadrados de los valores de x.
Realizar la suma de cada valor de x multiplicado por su valor correspondiente y.
Calcular la pendiente de la recta usando la fórmula:
= ∑ − (∑ ∑ )
∑ − (∑ )
Donde n es el número total de datos.
Calcular la intersección de la recta con el eje y, mediante:
= −
Donde , son los promedios de las coordenadas
Finalmente la ecuación de la recta de ajuste es:
= ∙ −
Esta recta indicara el comportamiento que tienen el caudal con respecto al tiempo, con
y=caudal y x=tiempo.
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Teniendo claro los métodos para solucionar el problema, se procede a programar en
Fortran, archivo que se encuentra adjunto a este informe.
Los resultados obtenidos mediante la programación se compilan en una serie de graficas
que ayudan a comprender el fenómeno de la variación de área y caudal de una válvula de
bola.
Resultados
El área de flujo mientras la válvula se abre varia de la siguiente forma
Variación de área con respecto al tiempo
Se observa que el comportamiento no es lineal como se predijo anteriormente. Para un
tiempo de inicio 0, el área de apertura es cero y llega a un máximo en = 78.53 .
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A continuación se presenta el grafico de caudal con respecto al tiempo (color rojo) y su
respectiva recta de ajuste (color verde)
Grafico de caudal con respecto al tiempo
Se puede observar que el mejor ajuste de recta cumple de manera exitosa el
comportamiento de la variación de caudal, por lo tanto, el ajuste por mínimos cuadrados
logra su objetivo.
Modelo logarítmico del caudal
El caudal varía dependiendo del tipo de válvula que se esté utilizando, esta característica
se llama caudal inherente de la válvula. Se pueden mencionar las de apertura rápida, las
lineales y las isoporcentuales.
En este caso, la válvula de bola se rige por un comportamiento isoporcentual, en el cual,
la ecuación correspondiente es:
= ∙
Donde
= , = = .
= ∙
Se integra para obtener
∫ = ∫ = = ∙ ∗
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Donde “a” y” b “son constantes y “e” es la base de logaritmos neperianos.
Se aplica logaritmo natural a la expresión * y se obtiene
ln() =ln( ) + ∙
Expresión que se rige por un comportamiento de recta si se realiza el siguiente cambio devariable
ln() = → = y = a1 + ∙ , ln() =1=
De esta manera se puede preceder el caudal que varía en un tiempo con un método
logarítmico.
Se realiza la programación de este método y luego se obtiene el mejor ajuste de recta por
mínimos cuadrados.
Grafico variación caudal con respecto al tiempo mediante el método de logaritmo
La recta de en color verde se ajusta razonablemente entre el periodo de tiempo 0 y 14, sin
embargo la variación de caudal en los últimos 5 segundos de apertura es mucho mayor
de lo esperado.
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A continuación se grafican los 4 comportamientos de caudal obtenidos por Fortran
Grafico de caudal con respecto al tiempo de los 4 comportamientos
El símbolo azul indica el caudal obtenido sin ajuste ni método de logaritmo, para esa
curva se le adjudica el ajuste en color rosa. Por otro lado, la curva en color rojo muestra
el caudal que se predice por medio del método de logaritmo, y su ajuste correspondiente
es la recta en color verde.
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Conclusión y comentarios personales
En un principio es difícil comprender algunos fenómenos que puedan estar inmersos en el
área de la ingeniería mecánica. Comprender como una válvula de bola permite el paso
de un fluido no es trivial, por lo mismo, este trabajo cumple con su objetivo de entender demanera exitosa el comportamiento de la variación de flujo en el tiempo. Por otro lado, la
programación realizada en Fortran es satisfactoria pues se observa en los gráficos que a
pesar de que en algunos casos las curvas se distancias unas de otras, en general
cumplen el mismo patrón.
Como comentario personal puedo señalar que a pesar de que en un comienzo tuve
problemas al realizar los comandos, el esfuerzo y constancia me ayudo mucho a entender
la importancia que puede tener la programación en sí, es más, en las últimas décadas ha
sido crucial para comprender la evolución que ha tenido la sistematización de tareas y el
manejo de la información que hoy en día es tremendamente grande. Es de suma
importancia tener un orden en las actividades a realizar, es fundamental manejar demanera eficiente estas herramientas para resolver diversos problemas que puedan surgir
en el camino de la ingeniería mecánica, pues lo que antes se realizaba en innumerables
trabajos de forma manual y con un alto costo, ahora son ejecutados por un computador
con un ahorro significativo de tiempo, por lo tanto, este trabajo consolida la importancia
que posee la programación para nuestro camino como futuros profesionales.
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Bibliografía
Metodos minimos cuadrados [En línea] 2015. [Citado el: 17 de Noviembre de 2015.]
Disponible en: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/line-of-best-fit.html
Escala logartimica [En línea] 2015. [Citado el: 17 de Noviembre de 2015.] Disponible
en: http://hidrologia.usal.es/Complementos/papeles_log/fundamento_log.pdf
Antonio Creus, Instrumentación Industrial [En línea]. Octava Edición. [Citado el: 17 de
Noviembre de 2015]. Disponible en: http://www.slideshare.net/rockdnl/instrumentacion-
industrial-creus-8th-edition