Post on 16-Feb-2015
Mauricio Centeno Silva TAREA 1
Obtener los momentos y reacciones de la viga hiperestática doblementeempotrada con una carga puntual en el centro.
Para poder analizar el elemento estructural es necesario descomponer la vigahiperestática a las vigas simples necesarias.
1
!!!!!!!!! Para calcular �A
Por equilibrio externoXMA = 0
�P�l2
�+ (l)RB = 0
RB =12P
XFy = 0
RA � P +RB = 0RA =
12P
Variación de esfuerzos 0 � x < l2
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
N (x) = 0 12P � V = 0 � 1
2Px+M = 0
V (x) = 12P M (x) = 1
2Px
V (0) = 12P M (0) = 0
V�l2
�= 1
2P M�l2
�= Pl
4
2
l2 � x < l
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
N (x) = 0 12P � P � V = 0 � P
2 x+ P�x� l
2
�+M = 0
V (x) = � 12P M (x) = 1
2Pl�12Px
V�l2
�= � 1
2P M�l2
�= 1
4Pl
V (l) = � 12P M (l) = 0
Diagramas de cortante y momento.
3
Por carga unitaria.
Por equilibrio externoXMA = 0
�1 + (l)R0B = 0R0B =
1l
XFy = 0
�R0A +R0B = 0R0A = R
0B =
1l
Variación de esfuerzos
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
n (x) = 0 �R0A � v = 0 � 1 +R0Ax+m = 0
v (x) = �R0A = � 1l m (x) = 1�R0Ax = 1� 1
l x
v (0) = � 1l m (0) = 1
v (l) = � 1l m (l) = 0
Diagramas de cortante y momento.
4
Para el giro en A.
�A =R l0N(x)n(x)
EA dx+R l0k V (x)v(x)GA dx+
R l0M(x)n(x)
EI dx
Despreciando el cortante.
�A =R l0M(x)n(x)
EI dx
�A =1EI
R l2
0
��12Px
� �1� x
l
��dx+ 1
EI
R ll2
�( 12Pl �
12Px)
�1� x
l
��dx
= 124P
l2
EI +148P
l2
EI
=) �A =116P
l2
EI
)=)Como es simetrica la viga para el giro en B: �B = �A = 116P
l2
EI
!!!!!!!!! Para calcular �0A
Por equilibrio externo
XMA = 0
�M1 + (l)R00B = 0
R00B =1lM1
XFy = 0
�R00A +R00B = 0R00A = R
00B =
1lM1
5
Variación de esfuerzos
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
N (x) = 0 � 1lM1 + V = 0 �M1 +R
00Ax+M = 0
V (x) = � 1lM1 M (x) = �M1
l x+M1
V (0) = � 1lM1 M (0) =M1
V (l) = � 1lM1 M (l) = 0
Diagramas de cortante y momento.
6
Por carga unitaria.
Por equilibrio externoXMA = 0
�1 + (l)R000B = 0R000B =
1l
XFy = 0
�R000A +R000B = 0R000A = R
000B =
1l
Variación de esfuerzos
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
n (x) = 0 �R000A � v = 0 � 1 +R000Ax+m = 0
v (x) = �R000A = � 1l m (x) = 1�R000Ax = 1� 1
l x
v (0) = � 1l m (0) = 1
v (l) = � 1l m (l) = 0
7
Diagramas de cortante y momento.
Para el giro en A.
�0A =R l0N(x)n(x)
EA dx+R l0k V (x)v(x)GA dx+
R l0M(x)n(x)
EI dx
Despreciando el cortante.
�0A =R l0M(x)n(x)
EI dx
�0A =1EI
R l0
���M1
l x+M1
� �1� x
l
��dx = 1
3lEIM1
=) �0A =13lEIM1
)=)Como es simetrica la viga para el giro en B: �0B = �0A = 13lEIM1
!!!!!!!!! Para calcular �00A
8
Por equilibrio externoXMB = 0
M2 � (l)RivA = 0RivA =
1lM2
XFy = 0
RivA �RivB = 0RivA = R
ivB =
1lM2
Variación de esfuerzos
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
N (x) = 0 1lM2 � V = 0 � 1
lM2x+M = 0
V (x) = 1lM2 M (x) = 1
lM2x
V (0) = 1lM2 M (0) = 0
V (l) = 1lM2 M (l) =M2
Diagramas de cortante y momento.
9
Por carga unitaria.
Por equilibrio externoXMA = 0
�1 + (l)RvB = 0RvB =
1l
XFy = 0
�RvA +RvB = 0�RvA = RvB = 1
l
Variación de esfuerzos
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
n (x) = 0 �RvA � v = 0 � 1 +RvAx+m = 0
v (x) = �RvA = � 1l m (x) = 1�RvAx = 1� 1
l x
v (0) = � 1l m (0) = 1
v (l) = � 1l m (l) = 0
10
Diagramas de cortante y momento.
Para el giro en A.
�00A =R l0N(x)n(x)
EA dx+R l0k V (x)v(x)GA dx+
R l0M(x)n(x)
EI dx
Despreciando el cortante.
�00A =R l0M(x)n(x)
EI dx
�00A =1EI
R l0
��1lM2x
� �1� x
l
��dx = 1
6lEIM2
=) �00A =16lEIM2
)=)Como es simetrica la viga para el giro en B: �00B = �00A = 16lEIM2
Conociendo todos los giros entonces:
�A = �0A + �
00A � �A + �0A + �00A = 0
=)�B = �
0B + �
00B � �B + �00B + �00B = 0
� 116P
l2
EI +13lEIM1 +
16lEIM2 = 0
� 116P
l2
EI +16lEIM1 +
13lEIM2 = 0
=)M1 =18Pl
=)M2 =18Pl
11
Para calcular R1 y R2
XMA = 0
Pl8 � P
�l2
�� 1
8Pl + lR2 = 0R2 =
12P
XFy = 0
R1 � P + 12P = 0
R1 =12P
Por lo tanto ya conociendo las reacciones de la viga real, obtenemos la varia-ciones de ésta.
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
N (x) = 0 12P � V = 0 � 1
2Px+18Pl +M = 0
V (x) = 12P M (x) = 1
2Px�18Pl
V (0) = 12P M (0) = � 1
8Pl
V�l2
�= 1
2P M�l2
�= 1
8Pl
12
PFx = 0
PFy = 0
PMz = 0
N (x) = 0 12P � P � V = 0
18Pl �
P2 x+ P
�x� l
2
�+M = 0
V (x) = � 12P M (x) = 3
8Pl �12Px
V (0) = � 12P M
�l2
�= 1
8Pl
V�l2
�= � 1
2P M (l) = � 18Pl
Diagramas de cortante y momento de la viga real.
13