VectoresPresentación PowerPoint de

Ana Lynch, Profesora de Física

Unidad Educativa Monte Tabor Nazaret

Objetivos: Después de completar este capítulo, deberá:

• Describir la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales y dar ejemplos de cada una de ellas.

• Sumar y restar vectores utilizando la regla del paralelogramo.

• Encontrar las componentes de un vector sobre un sistema de ejes coordenados dado.

• Reconstruir la magnitud y dirección de un vector a partir de sus componentes.

• Resolver problemas con vectores.

La física es la ciencia de la medición

Longitud Peso Tiempo

Escalares

Vectoriales

1 m 1 m

Características de un vector

Las características de un vector son:

MAGNITUD O MÓDULO

DIRECCIÓN

Magnitud o módulo

La MAGNITUD es la norma matemática de un vector. Coincide con la medidadel vector en su representación gráfica.

DirecciónLa DIRECCIÓN viene expresada por el ángulo que forma la recta con algunalínea de referencia.

45º

- 30º = 330º - 100º = 260º

120º3 m

8 N

9 m s-13 m s-2

Leer p. 19-27

VECTOR OPUESTO

El VECTOR OPUESTO es aquel que su dirección forma 180º con el vectororiginal.

45ºv

v-

180ºv

PREGUNTA

¿Está de acuerdo con loque dice Pitufo Filósofo?

¿Cuáles son lascondiciones que sedeben cumplir para queun vector sea opuesto aotro?

Dibuje el vector opuestodel vector V.

Multiplicación de un escalar por un vector

• Si el escalar es diferente de cero, se debe de multiplicar el módulo del vector por el valor absoluto del escalar.

• La dirección del vector se conserva si el escalar es positivo, caso contrario la dirección gira 180º.

Suma de vectores por el método gráfico-visual (del polígono)

Los vectores se colocan uno a continuación de otro de modo que la flecha deuno coincida con el origen del siguiente. La resultante, es el vector queempieza en el origen del primero y termina en la flecha del último.

Sumar b + a + c + d

PREGUNTA

A B

C DA+ B+C+D

A B-C

-DA+B-(C+D)

Respuesta: R

Se colocan los dos vectores de modo que sus puntos inicialescoincidan

Se forma un paralelogramo con cada par de vectores

La resultante es el vector que va del punto inicial de losvectores hasta el vértice opuesto.

Suma de vectores por el método del paralelogramo

x

D = V*t0.6*5 = 3 m0.8*5 = 4 m

D2 = 32 + 42 = =9 + 16 =25D = 5 m

3 m

4 m

Resta de dos vectores

Tarea 5: Métodos gráficos de suma de vectores.

Diferencia vectorialPara vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección).

Considere primero A + B gráficamente:

B

A

BR = A + B

R

AB

Diferencia vectorialPara vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección).

Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo.

B

A

B -B

A-BR’

A

Comparación de suma y resta de B

B

A

B

Suma y resta

R = A + B

R

AB -BR’

AR’ = A - B

La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B|

y -y

-y

z

-VA

VB

-VB

Vc

ΔVB-C

ΔVA-B

Simulador

• http://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_en.html

Formas de expresar un vector

Coordenadas Polares

Coordenadas cartesianas Coordenadas

geográficas

Identificación de dirección

Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.)

40 m, 50o N del E

EW

S

N

40 m, 60o N del W

40 m, 60o W del S

40 m, 60o S del E

Longitud = 40 m

50o60o

60o 60o

Identificación de dirección

Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte.

EW

S

N45o

EWN

50o

S

Clic para ver las respuestas...

500 S del E 450 W del N

Vectores y coordenadas polaresLas coordenadas polares (R, θ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E.

0o

180o

270o

90o

θ

0o

180o

270o

90o

R

R es la magnitud y θ la dirección.

40 m

50o

Vectores y coordenadas polares

(R, θ) = 40 m, 60o

(R, θ) = 40 m, 120o

(R, θ) = 40 m, 210o

(R, θ) = 40 m, 300o

60o60o

60o 60o 0o180o

270o

90o

120o

Se dan coordenadas polares (R, θ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:

210o

3000

Ejercicio en clase

Ejercicio en clase

Tarea 5: Copia los ejercicios escritos en la pizarra, son similares a los de clase.

Coordenadas rectangulares

Derecha, arriba = (+, +)Izquierda, abajo = (-, -)

(x, y) = (?, ?)

x

y

(+3, +2)(-2, +3)

(+4, -3)(-1, -3)

La referencia se hace a los ejes x y y, y los números + y –indican posición en el espacio.+

+

--

Cómo encontrar componentes de vectores

Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, θ).

x

yR

θ

x = R cos θy = R sen θ

Cómo encontrar componentes:Conversiones de polar a rectangular

Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está el

desplazamiento al este y cuánto al norte?

x

yR

θ

x = ?

y = ?400 m

30οE

N

El componente y (N) es OP:El componente x (E) es ADY: x = R cos θ

y = R sen θ

E

N

Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el

desplazamiento del este y cuánto del norte?

x = R cos θ

x = (400 m) cos 30o

= +346 m, E

x = ?

y = ?400 m

30ο E

N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300

ADY = HIP x cos 300

El componente x es:Rx = +346 m

Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el

desplazamiento del este y cuánto del norte?

y = R sen θ

y = (400 m) sen 30o

= + 200 m, N

x = ?

y = ?400 m

30ο E

N

OP = HIP x sen 300

El componente y es:Ry = +200 m

Nota: y es el lado opuestoal ángulo de 300

Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el

desplazamiento del este y cuánto del norte?

Rx = +346 m

Ry = +200 m

400 m

30ο E

NLos componentes x y y son cada

uno + en el primer cuadrante

Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

Signos para coordenadas rectangulares

Primer cuadrante:

R es positivo (+) 0o > θ < 90o

x = +; y = +

x = R cos θ

y = R sen θ

+

+0o

90o

Rθ

Signos para coordenadas rectangulares

Segundo cuadrante:

R es positivo (+) 90o > θ < 180o

x = - ; y = +

x = R cos θ

y = R sen θ

+R

θ180o

90o

Tercer cuadrante:R es positivo (+)180o > θ < 270o

x = - y = -

x = R cos θ

y = R sen θ

-R

θ180o

270o

Signos para coordenadas rectangulares

Cuarto cuadrante:R es positivo (+)270o > θ < 360o

x = + y = -

x = R cos θ

y = R sen θ

360o+

R

θ

270o

Signos para coordenadas rectangulares

Resultante de vectores perpendiculares

Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.

R siempre es positivo; θ es desde el eje +x

2 2R x y= +

tan yx

θ =x

yR

θ

Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo

tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro?

30 lb

40 lb

Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda:

Ej: 1 cm = 10 lb

4 cm = 40 lb3 cm = 30 lb

40 lb

30 lb

Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo!

Cómo encontrar la resultante (cont.)

40 lb

30 lb

40 lb

30 lb

Encontrar (R, θ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)

R

φθ

Ry

Rx

R = x2 + y2 R = (40)2 + (30)2 = 50 lb

tan φ = -3040

φ = -36.9o θ = 323.1o

Cuatro cuadrantes (cont.)

40 lb

30 lbR

φθ

Ry

Rx40 lb

30 lb R

φ

θ

Ry

Rx

40 lb

30 lbR

θ Ry

Rx

φ

40 lb

30 lbR θ

Ry

Rx

φ = 36.9o; θ = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

R = 50 lb

R = 50 lb

Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección

de la autopista entre las ciudades.

B2 2(46 km) (35 km)R = +

R = 57.8 km

46 kmtan35 km

φ −=−

φ = 52.70 S de W.

46 km

35 km

R = ?

φ=?

A

θ = 232.70

θ = 1800 + 52.70

Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un

ángulo de 280 con el suelo.

280

F = 240 NF Fy

Fx

Fy

Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N

Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N

Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una

podadora. El ángulo con el suelo es de 320.

320

F = 300 N

F Fy

Fx

Fy

Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N

Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N

32o

32o