Post on 12-Apr-2017
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
VectorsGrau en Enginyeria Telematica
Juan Gabriel Gomila
Grau en Enginyeria Telematica
Universitat de les Illes Balears
juangabriel.gomila@uib.es
17 de septiembre de 2015
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Index1 Vectors
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
3 Propietats de les operacions amb vectors4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. Producte MixtProducte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors
Els vectors tenen un paper fonamental no nomes al mon de lesMatematiques, si no tambe en la Fısica, Enginyeria i altres campscientıfics.Ja coneixem d’anys precedents les nocions de vectors en el pla o enl’espai. Els vectors en general tenen dues vessants ıntimamentlligades: l’algebraica i la geometrica.Veurem en primer lloc els vectors des del punt de vista geometric.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors
Sigui K un cos
Punt en la recta KDonats un origen i una unitat de longitud, cada punt de la recta vedefinit per un i nomes un escalar del cos K i viceversa.
Punt en el pla K2
Donats un origen, dos eixos (rectes) i una unitat de longitud, unpunt del pla es una parella (x , y) on x i y son dos elements del cosK.
Punt en l’espai K3
Donats un origen, tres eixos (rectes) i una unitat de longitud, unpunt del pla es una parella (x , y , z) on x , y i z son dos elementsdel cos K.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors
Punts a Kn
Un punt a l’espai Rn es defineix com una n-epla de nombres
X = (x1, x2, · · · , xn)
on n es la dimensio de l’espai Kn.
Coordenades del punt
Les coordenades de X son els valors x1, x2, · · · , xn del punt X .
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors fixs
Les seguents definicions ens permeten veure els vectors des d’unaperspectiva geometrica.
Vector fix
Un vector fix es una parella de punts A i B, que indicarem com~AB. El punt A s’anomena origen i el punto B extrem.
Normalment els vectors en el pla o en l’espai de tres dimensions essolen representar mitjancant segments acabats en una punta defletxa en un dels seus extrems.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que seobtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadassituado en el origen del vector.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Components d’un vector fix ~AB
Vector fix
Les components d’un vector fix ~AB son els vectors que s’obtenenen projectarlo sobre els eixos d’un sistema de coordenades situatsobre l’origen del vector.
Figura: Criteri de colors. Rojo:+ Verde:-. Les components poden serpositives o negatives
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors fixs
Components d’un vector fix ~AB
Si A = (ax , ay ) i B = (bx , by ) aleshores les components del vector~AB s’obtenen restant les coordenades del punt extrem B al punt
origen A:~AB = (bx − ax , by − ay )
El valor absoluts de les components del vector coincideix amb lalongitud dels catets del triangle rectangle format i tal que el vectorsigui la seva hipotenusa.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors fixs
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors fixs
Caracteritzacio d’un vector fix (I)
En el context geometric, les 3 caracterıstiques d’un vector fix son:
Origen: el punt d’aplicacio on comenca el vector
Modul: la longitud del segment
Direccio: la de la recta a la qual pertany
Sentit: el que determina la punta de la flecha del vector.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors fixs
Caracteritzacio d’un vector fix (II)
Tambe queda completament determinat amb:
Les seves componets
El punt origen
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors fixs
Caracteritzacio d’un vector fix (III)
O fins i tot si coneixem:
Les coordenades del punt origen
Les coordenades del punt extrem
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors equivalents
Vectors equivalents
Dos vectors ~AB i ~CD son equivalents si tenen les mateixescomponents, es a dir:
(bx − ax , by − ay ) = (dx − cx , dy − cy )
Figura: ~AB i ~CD son equivalents tot i tenir diferents origens i extrems.
Geometricament, les longituds dels segments de la rectadeterminats per la parella de punts i els sentits d’ambdos vectorsson iguals.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors equivalents
Exercici
Trobau un vector equivalent a ~AB on A = (1, 2) i B = (5, 4)
Sol: Punts qualssevol C i D tals que:
(dx − cx , dy − cy ) = (4, 2)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors equivalents
Exercici
Trobau un vector equivalent a ~AB on A = (3, 4) i B = (7, 6) amborigen al punt A′ = (−1, 0).
Sol:B ′ = (3, 2)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors lliures
Tots els vectors fixs equivalents entre sı tenen les mateixescomponents. En aquest sentit es pot establir una relaciod’equivalencia que identifica tots els vectors fixs equivalents i elsrepresenta per un unic representant de la classe d’equivalenciacorresponent, el vector lliure. Aquest representant defineix unconjunt infinit de vectors i els representa a tots ells.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors lliures
Vectors lliures
El conjunt de tots els vectors fixs equivalents entre si s’anomenavector lliure. Un vector lliure no te un origen fix, si no que es potubicar a qualssevol punt de l’espai. Cada vector fix es unrepresentant del vector lliure.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors lliures
Vectors fix en l’origen
Es de tos els representants del vector fix, aquell que te el seu puntorigen a l’origen de coordenades.
En aquest cas, les coordenades del punt extrem coincideixennumericament amb les components del vector, ja que el puntorigen es 0 = (0, 0).
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors lliures
Per tant, tot vector lliure te un representant situat a l’origen decoordenades on el punt extrem te les mateixes coordenades que lescomponents del vector. En aquest sentit podem dir:
Resultat
Existeix una correspondencia un a un entre els vectors lliures ipunts segons la qual cada punt P = (a, b) s’identifica amb unvector ~OP = (a, b).
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors lliures
Caracteritzacio d’un vector lliure (I)
Per caracteritzar un vector lliure necessitam modul, direccio isentit.
Caracteritzacio d’un vector lliure (II)
Tambe el podem caracteritzar coneixent-ne les components.
El modul, al igual que en els vectors fixs ve donat per la longituddel segment i la direccio i sentit venen definits per l’angle queforma el vector amb la direccio positiva de l’eix OX .
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
DefinicionsVectors fixsVectors lliures
Vectors lliures
Exercici
Troba modul, direccio i sentit del vector de components (7,-5).
Sol: modul=√
74 i tanα = −57
Exercici
Donat el vector de modul 8 i que forma un angle de 135o amb l’eixOX , calcula les seves components
Sol:(8 cos 135, 8 sin 135)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Suma de vectors lliures
Definicio
Sigui ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn), aleshores
~u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn)
Geometricament es el vector format per la diagonal delparalelogram que te als dos vectors sumands com a costats i origenel mateix que ambdos.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Suma de vectors lliures
Si s’han de sumar mes de dos vectors, resulta mes util la segonaconstruccio grafica. Basta col·locar cada origen dels vectorssumands sobre l’extrem del vector sumand precedent.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Resta de vectors lliures
Definicio
Sigui ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn), aleshores
~u − ~v = (u1 − v1, u2 − v2, · · · , un − vn)
Geometricament se realitza la suma entre el vector minuend il’oposat del substraend.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Resta de vectors lliures
Una petita observacio: en realitzar la resta ~u − ~v cercam un vector~w tal que si se li suma al substraend ha de donar el minuend:
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Obtencio de les components d’un vector ~AB
Si tenim un vector ~AB obtingut a partir dels punts A i B idibuixam els vectors ~OA i ~OB
aleshores podem veure com ~AB, ~OA i ~OB formen un trianglevectorial i podem escriure les relacions
~OA + ~AB − ~OB = ~0⇒ ~AB = ~OB − ~OA
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Obtencio de les components d’un vector ~AB
Exercici
Obteniu ~SR a partir de ~OR = (−1, 4) i ~OS = (−3,−2)
Exercici
Obteniu ~PR − ~PS a partir de ~OR = (−1, 4), ~OS = (−3,−2) i~OP = (3, 0).
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Obtencio de les components d’un vector ~AB
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Producte per escalar
Definicio
Sigui ~u = (u1, u2, · · · , un) ∈ Kn i sigui λ ∈ K aleshores
λ~u = (λu1, λu2, · · · , λun) ∈ Kn
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Producte per escalar
En l’exemple anterior ~v = (4,−2) i 2~v = (8,−4). A mes, lalongitud de ~v = 2
√5u.l i la de 2~v = 4
√5, d’on observam que en
duplicar el vector, tambe duplicam el seu modul o longitud. Encanvi la direccio i sentit de ~2v coincideix amb la de ~v . Vegem queno sempre sera aixı.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Producte per escalar
El resultat de multiplicar un escalar λ 6= 0 per un vector ~v es unaltre vector ~u de la mateixa direccio que ~v , de sentit igual ocontrari segons si el signe de l’escalar es + o −, i de modul igual aλ vegades el de ~v
Figura: A la figura de la dreta, si el vector ~v = (1,−2) el multiplicam perl’escalar −2 obtindrem un altre vector ~u paralel a ~v i de components~u = (−2, 4).
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Producte per escalar
Vectors paral·lels
Dos vectors ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn) sonparal·lels (o proporcionals) si existeix un valor λ 6= 0 tal que~u = λ~v .
Seran del mateix sentit si λ > 0 i de sentits oposats si λ < 0.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Producte per escalar
Exercici
Donats els punts A = (1, 2, 3),B = (0,−1, 2) i C = (−2,−7, 0), siD es el punt de coordenades (−1, x , 0) troba, si es possible, elvalor de x perque els vectors ~AB i ~CD siguin paral·lels. Raona elprocediment emprat.
Sol: el problema no te solucio.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Producte per escalar
Exercici
Donats els vectors ~u = (2, 3, 0) i ~v = (−3, 0, 1) troba el valor de kperque els vectors ~a i ~b siguin paral·les, on ~a = 2~u − ~v i~b = −3~u + k~v .
Sol: k = 32 .
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Combinacio lineal
Combinacio lineal de vectors
Donats V = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} un conjunt de vectors de Kn iα1, α2, · · · , αk ∈ K es defineix la combinacio lineal dels vectors deV com el vector ~w :
~w = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αk ~vk =k∑
i=1
αi ~vi
La combinacio lineal de vectors no es una opracio nova, si no quereuneix en un mateix lloc la suma de vectors i el producte perescalars. Per poder fer combinacions lineals de vectors, es necessarique tots ells tinguin el mateix nombre de components i el resultatsera un altre vector d’aquestes mateixes caracterıstiques.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors
Combinacio lineal
Exercici
Es el vector (2, 3) combinacio lineal de (3, 1) i (−6,−2)? Justificala teva resposta graficament.
Sol: no.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Propietats de les operacions amb vectors
En definir les operacions de suma i producte per un escalar conveprendre consciencia de les diferencies i similituds entre ambdues.
Llei de composicio interna
La suma de vectors s’anomena llei de composicio interna ja queopera entre elements d’un conjunt donat, Kn i el resultat es unaltre element d’aquest conjunt:
f :Kn ×Kn−→ Kn
(~u, ~v) 7→ ~u + ~v
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Propietats de les operacions amb vectors
Llei de composicio externa
El producte d’un escalar per un vector te com a operands conjuntsdiferents: escalars per una banda i vectors per una altra. El resultatcau del costat dels vectors, i l’operacio s’anomena llei decomposicio externa:
f :K×Kn−→ Kn
(λ, ~v) 7→ λ~v
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Propietats de la suma de vectors
Siguin ~u, ~v , ~w ∈ Kn i α, β ∈ K aleshores es compleix
Propietats
Llei associativa: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
Llei conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u
Element neutre de la suma: ~u +~0 = ~0 + ~u = ~u
Vector oposat: ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = ~0
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Propietats del producte de vectors per un escalar
Propietats
Llei distributiva del producte d’un escalar per la suma devectors: α(~u + ~v) = α~u + α~v
Llei distributiva del producte d’un vector per la sumad’escalars: (α + β)~u = α~u + β~u
Llei associativa del producte entre escalars i vectors:(αβ)~u = α(β~u) = β(α~u)
Element unitat: 1~u = ~u
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Producte Escalar
El producte escalar es la tercera operacio basica entre vectors deRn.
Producte escalar
Siguin ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn) dos vectors deRn. Es defineix el producte escalar ~u · ~v com el nombre real
~u · ~v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
D’ell es deriven conceptes metrics com l’ortogonalitat, la norma,l’angle i s’obren camins a multiples aplicacions geometriques ifısiques de l’algebra lineal.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Producte Escalar
Exemple
Siguin ~u = (2, 3, 0) i ~v = (−1,−3, 1) dos vectors de R3. Calcula elseu producte escalar
Sol:~u · ~v = −11
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Propietats del producte escalar
Propietats
Conmutativa: ~u · ~v = ~v · ~uDistributiva respecte de la suma: ~v · (~u + ~w) = ~v · ~u + ~v · ~wAssociativa i conmutativa entre escalars i vectors:
(λ~u) · ~v = λ(~u · ~v)
~u · (λ~v) = λ(~u · ~v)
Si ~u = ~0⇒ ~u · ~u = 0.
Si ~u 6= ~0⇒ ~u · ~u > 0.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Propietats del producte escalar
Exercici
Donats els vectors ~u = (2,−1, 5), ~v = (−3, 4, 1) i ~w = (−1, 0, 5)
1 Comprovau que el producte escalar te la propietatconmutativa.
2 Comprovau que el producte escalar te la propietat distributivarespecte de la suma.
3 Comprovau que el producte escalar te la propietat associativaentre escalars i vectors.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Propietats del producte escalar
Exercici
Demostrau que si ~u 6= ~0 aleshores ~u · ~u > 0
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Norma d’un vector
Norma
Donat ~u = (u1, u2 · · · , un) ∈ Rn la seva norma o longitud vedonata per
||~u|| =√~u · ~u =
√u2
1 + u22 + · · ·+ u2
n
En molts de casos resulta util la norma al quadrat d’un vector:
||~u||2 = (√~u · ~u)2 ⇒ ||~u||2 = ~u · ~u
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Norma d’un vector
Exercici
Donat ~u = (2, 3,−1) ∈ R3, calcula la seva longitud.
Sol:||~u|| =
√14
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Norma d’un vector
Propietats
||~u|| > 0,∀~u 6= ~0
||λ~u|| = |λ|.||~u||||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v || (Desigualtat triangular)
||~u + ~v || = ||~u||+ ||~v || ⇔ ~u ⊥ ~v (teorema de Pitagoras)
||~u · ~v || ≤ ||~u|| · ||~v || (Desigualtat de Cauchy-Schwarz)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Norma d’un vector
Exercicis
Donat ~u = (2, 3,−1) comprovau que
||2~u|| = 2||~u||
|| − 2~u|| = | − 2|||~u|| = 2||~u||
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Norma d’un vector
Vector unitari
Un vector unitari ~e es aquell que te norma 1:
||~e|| = 1
Per exemple el vector (1, 0, 0) es un vector unitari.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Norma d’un vector
Exercici
Donat el vector ~u = (2, 3,−1) comprova que si el dividim per laseva norma, obtenim un altre vector que es unitari
Exercici
Demotra que qualsevol vector ~u dividit per la seva norma es unitari.
Exercici
Donat el vector ~u = (2, 3,−1) troba un altre vector de la mateixadireccio, sentit pero de norma igual a 3.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Distancia entre dos punts
Distancia entre dos punts
Donats dos punts A i B es defineix la distancia entre ambdos com
d(A,B) = || ~AB|| =√
~AB · ~AB
Aquest valor coincideix amb la intuicio geometrica quan A i B sondos punts del pla. Equival a la longitud del vector fix ~AB.
Exercici
Donats dos punts A = (1, 2) i B = (4, 3) troba la distancia entreambdos.
Sol:√
10.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Distancia entre dos punts
Teorema
Donats dos vectors ~u i ~v i α l’angle que formen ambdos, aleshoreses verifica que
~u · ~v = ||~u|| · ||~v || · cosα
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Distancia entre dos punts
Per fer la demostracio emprarem un resultat previ.
Teorema del cosinus
En un triangle ABC qualsevol i siguin α, β, γ els angles i a, b, c elsangles dels costats respectivament oposats a aquests angles, llavors
b2 = a2 + c2 − 2ac cosα
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Distancia entre dos punts
Demostracio
En primer lloc dibuixam el vector ~u − ~v amb el que queda dibuixatun triangle. Aplicam la definicio de norma sota la forma||~w ||2 = ~w · ~w al vector ~u − ~v resulta
||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(~u · ~v)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Distancia entre dos punts
Demostracio
D’altra banda si aplicam el teorema del cosinus al triangle formatper ~u, ~v i ~u − ~v
||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(||~u|| · ||~v | cosα)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Distancia entre dos punts
Demostracio
Si comparam ambdues expresions obtenim el resultat:
||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(~u · ~v)
||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(||~u|| · ||~v | cosα)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Angle entre dos vectors
Com acabam de veure, si ~u i ~v formen un angle α aleshores podemdefinir el seu producte escalar com: ~u · ~v = ||~u|| · ||~v || cosα.
Angle entre dos vectors
Es defineix l’angle que formen dos vectors com el valor real α:
cosα~u · ~v
||~u|| · ||~v ||
Exercici
Troba l’angle que formen els vectors (2, 3,−1) i (−2, 0, 3)
Sol: cosα = −√
18226
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Angle entre dos vectors
Vectors ortogonals
Dos vectors son ortogonals si el seu producte escalar es zero
~u ⊥ ~v ⇔ ~u · ~v = 0⇔ α =π
2
Vectors ortonormals
Dos vectors son ortonormals si son ortogonals i de norma 1.
Per exemple, (0, 1) i (1, 0) son dos vectors ortonormals.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Angle entre dos vectors
Exercici
Troba a perque (a, 0,−1, 3) sigui perpendicular a(1, 7, a− 1, 2a + 3).
Sol: a = −2
Exercici
Per quins valors de x son ortogonals (x ,−x − 8, x , x) i(x , 1,−2, 1)?
Sol: x = −2 i x = 4.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Desigualtat de Cauchy-Schwarz
Resultat
A partir de l’expressio
cosα~u · ~v
||~u|| · ||~v ||
i tenint en compte que el cosinus de qualssevol angle es sempremenor o igual que 1 podem obtenir:
|~u · ~v | ≤ ||~u|| · ||~v ||
Es a dir, que el producte escalar de dos vectors es menor o igualque el producte de les seves normes.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Projeccio ortogonal
Projeccio ortogonal
La projeccio ortogonal d’un vector ~v sobre un altre vector ~u es unvector paral·lel a ~u tal que sumat a un altre perpendicular a ~u dona~v
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Projeccio ortogonal
Es tracta d’obtenir P~v (~u) = ~v1 coneguent els vectors ~u o ~v
Calcul de la Projeccio ortogonal
Descomponem el vector ~v = ~v1 + ~v2 on ~v1||~u i ~v2 ⊥ ~u.
~v1 = λ~u
~v = λ~u + ~v2 ⇒ ~v2 = ~v − λ~u~v2 · ~u = 0⇒ (~v − λ~u) · ~u = 0
λ = ~v ·~u~u·~u = ~v ·~u
||~u||
Per tant
P~v (~u) = ~v1 = λ~u =~v · ~u||~u||
~u
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz
Projeccio ortogonal
Calcul de la Projeccio ortogonal
Projectau el vector ~v = (1, 2) sobre ~u = (3, 1).
Sol: P~v (~u) = 12 (3, 1).
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte vectorial
Producte vectorial
Sguin ~u = (u1, u2, u3) i ~v = (v1, v2, v3) dos vectors de R3. Elproducte vectorial de ~u i ~v es defineix com el vector:
~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte vectorial
Resultats
Si multiplicam escalarment:
~u · (~u ∧ ~v) = 0
~v · (~u ∧ ~v) = 0
D’on veim que es perpendicular a ~u i ~v .
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte vectorial
Resultats
El sentit del producte vectorial es el que indicaria la regla de la madreta en dur el primer vector sobre el segon pel camı mes curt i demodul l’area del paral·lelogram determinat per ~u i ~v
||~u ∧ ~v || = ||~u|| · h = ||~u|| · ||~v || · senα
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte vectorial
Producte vectorial com a determinant
~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)
~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2)~i + (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k
~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ku1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte vectorial
Propietats
Propietat anticonmutativa: ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~uPropietat distributiva:
~u ∧ (~v + ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w
(~v + ~w) ∧ ~u = ~v ∧ ~u + ~w ∧ ~u
Associativa de vectors i escalars:
α · (~u ∧ ~v) = (α · ~u) ∧ ~v = ~u ∧ (α · ~v)
~u ∧~0 = ~0 ∧ ~u = ~0
~u ∧ ~u = ~0
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures
2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors
3 Propietats de les operacionsamb vectors
4 Estructura euclidiana de Rn
Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz
5 Producte Vectorial. ProducteMixt
Producte VectorialProducte Mixt
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte mixt de tres vectors
Producte mixt
Sguin ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) i ~w = (w1,w2,w3) tresvectors de R3 distints del zero. El producte mixt de ~u, ~v i ~w esdefineix com el vector:
{~u, ~v , ~w} = ~u(~v ∧ ~w)
{~u, ~v , ~w} =
∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣Si aquest determinant es zero, vol dir que alguna de les files escombinacio lineal de les restants, i que per tant un vector es potobtenir com a CL dels altres: son coplanaris.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte mixt de tres vectors
Propietats
{~u, ~v , ~w} =u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1
{~u, ~v , ~w} = {~v , ~w , ~u} = {~w , ~u, ~v} = −{~v , ~u, ~w} =−{~u, ~w , ~v} = −{~w , ~v , ~u}
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte mixt de tres vectors
Propietats
Si els tres vectors son coplanaris, aleshores {~u, ~v , ~w} = 0
Si {~u, ~v , ~w} = 0 aleshores o algun vector es ~0 o els tresvectors son coplanaris
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors
VectorsOperacions amb vectors
Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn
Producte Vectorial. Producte Mixt
Producte VectorialProducte Mixt
Producte mixt de tres vectors
Propietats
Geometricament {~u, ~v , ~w} representa el volum delparal·lelepıped determinat pels tres vectors
Pista {~u, ~v , ~w} = ||~u|| · ||~v ∧ ~w || cosα, on ||~v ∧ ~w || = area de labase i ||~u|| cosα es la projeccio escalar del vector ~u sobre ladireccio perpendicular a la base, es a dir, l’altura.
Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors