Regla general para operaciones con signos de agrupación Las operaciones se realizan de izquierda a derecha Primero se realizan las operaciones contenidas en los signos de agrupación ( ) [ ] { } Las operaciones se realizan en este orden

o Raíces y potenciaso Divisiones y multiplicacioneso Sumas y restas

Operaciones con números enteros  Suma de números enteros

Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9

(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto).

(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)

(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)

Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.

(+8) . (+3) = + 24 (-3) . (-2) = + 6 (+4) . ( -1) = - 4 (-2) . (+4) = - 8

Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

(-15) : (-15) = +1 8 : 4 = +2 - 4 : (-2) = +2 10 : 2 = +5 10 : (-2) = - 5 (-8) : 4 = - 2 24 : (-4) = - 6 - 6 : 3 = - 2  

Operaciones con fracciones                                      2.2

Suma y resta de fracciones1. Cuando tienen el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Después si podemos se simplifica.

2. Cuando tienen distinto denominador

Hay que reducir a común denominador.

1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.

2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.

3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

4º Si podemos simplificamos.

* Para comparar fracciones de distinto denominador , primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.

Ejemplos

Multiplicación de fracciones1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.

2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.

3º Después se simplifica.

Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador uno.

Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.

Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el nuevo denominador. Una fracción x su inversa da la unidad.

División de fracciones 1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador.

2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador.

3º Después si podemos se simplifica.

Ejemplos de multiplicación y división de fracciones

Operaciones con paréntesis ( ) y corchetes [ ]            1.2

Prioridad de las operaciones. ¿Qué hacemos primero?1. Cuando no hay ni paréntesis ni corchetes, hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.

2. Cuando hay paréntesis, hacemos primero los cálculos del paréntesis si los hay y después para quitar el paréntesis aplicamos la regla de los signos , signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro. Luego como en el punto 1.

3. Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos . Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los productos y divisiones y por último las sumas.

Ejemplos explicados paso a paso

Ejercicios resueltos

x    

Progresiones aritméticas                                         4.1

Concepto de sucesión

Progresiones aritméticas. Término general

Interpolación de términosLa interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios aritméticos.

Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética.

Datos: a1 = 2    a5 = 14     n = 5                  progresión      2, a , b, c, 14

Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética.

a 5 = a1 +(n -1)d   »  14 = 2 + (5 -1)d    »  14 = 2 + 4d    »   d = 3

Sabiendo que d = 3 completamos la progresión  »    2, 5, 8, 11, 14

Suma de n término consecutivos

Progresiones geométricas                                        4.2

Término general

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente

Ejercicios y problemas resueltos de progresiones    4.3

Fórmulas

Operaciones con monomios y polinomios                5.1

Operaciones con monomios

Operaciones con polinomios

Ejercicios resueltos de polinomios                            5.2

Los siguientes ejercicios son para practicar lo visto en el punto anterior operaciones con polinomios. Intenta hacerlos para ver si te has enterado bien de todo.

Expresiones notables                                                 5.3

Importancia de estas expresiones Si observamos las fórmulas del cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia de izquierda a derecha , para desarrollarlas lo que se hace es multiplicar por sí mismo el factor (a+b) o el (a-b). Es una multiplicación de polinomios, pero como estos productos nos dan siempre el mismo resultado en lugar de multiplicar podemos aplicar la definición para cada caso y el resultado es el mismo.

También nos pueden dar las expresiones desarrolladas y nosotros debemos saber qué expresión es. Esto sería leer las fórmulas de derecha a izquierda y se llama factorizar.

La expresión suma por diferencia leída de izquierda a derecha es pasar de la forma factorizada al binomio sin factorizar.

Necesitamos conocer bien ésto ya que en cursos posteriores aparecerá mucho.

Resuelve estos ejercicios:

Ecuaciones de primer grado                                       6.1

ConceptoPara que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y

suprimimos los denominadores. 2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.3. Al final tendremos a ambos lados del =, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y

otros no. 4. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los

números al otro lado. 5. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.6. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene

que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer gradoUn número real: Es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11 ; x - 5 x = 11 - 3 ; - 4 x = 8 ; x = 8 / - 4 ; x = - 2

 Todo número real: No importa el valor de x, nos da 0 x = 0

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x ; - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 ; 0 = 0

 Incompatible: Se anulan las x y nos da 0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x ; 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 ; 0 x = - 10

Ejercicios resueltos

Resuelve:

Problemas de ecuaciones de primer grado                6.2

Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones Leer y comprender el enunciado

Designar la incógnita

Plantear la ecuación

Resolver la ecuación

Discusión e interpretación de los resultados

Problema de edades

Problema de mezclasUn comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 € el litro?

1. Planteamiento

Clase A Clase B Mezcla

Precio por litro en € 6 7,2 7

Número de litros x 60 - x 60

2. Ecuación 6x + 7,2 (60 - x) = 7.60; x = 10

3. Solución Clase A 10 litros Clase B 60 -10 = 50 litros

Problemas con soluciones

Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas 8.1Métodos de resolución algebraica