Post on 30-Nov-2018
Walter Orlando Gonzales Caicedo
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MATRICES
1. Definición: Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:
Donde:
El elemento está situado en la fila i y en la columna j.
El número de filas y columnas mxn recibe el nombre de dimensión de la matriz. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n. El número total de elementos de la matriz es mxn. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.
Ejemplo:
Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.
2. Clases:
Según la forma de la matriz, esta puede ser:
Matriz fila: tiene una sola fila. La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n. Es decir:
Ejemplo:
Matriz columna: tiene una sola columna. La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1.
Ejemplo:
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Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. En una matriz
cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.
Ejemplo: La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3
Sus elementos diagonales son:
Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn
Ejemplo:
Matriz transpuesta: dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se designa por AT, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas. Es decir:
si entonces la transpuesta de A es la matriz . Esto es,
la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A, se
denota por . Por lo tanto:
Ejemplo: Sea:
Entonces:
El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta.
Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces:
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Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que
(los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). Es
decir: .Por tanto es simétrica:
Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con respecto a su diagonal principal
Ejemplo: Sean:
Entonces A es simétrica y B no es simétrica.
Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que: (los elementos de la diagonal principal son todos nulos).
Ejemplo: 022
201
210
A
Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:
Matriz nula: todos sus elementos son cero y se denota por 0. Es decir:
Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice diagonal si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir:
jia
a
a
a
A ij
nn
si0
0...00
.................
00...0
00...0
,
22
11
Ejemplo:
100
020
005
A
Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
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Ejemplo:
500
050
005
A
Matriz Identidad o unidad: Matriz cuadrada tal que aij = 1 i = j, aij = 0 i j,
es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.
I=
10...00
.................
00...10
00...01
Ejemplo:
100010001
A
Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
ji si0
...00
............
0
...
222
11211
ij
mn
n
n
a
a
aa
aaa
A
Ejemplo:
100
610
425
A
Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:
ji si0
...
............
0
0...0
21
2221
11
ij
mnmm
a
aaa
aa
a
A
Ejemplo:
149
023
002
A
3. Igualdad entre matrices: Dos matrices y (del mismo
tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, es decir: para i= 1,2,…,m
Ejemplo:
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Hallar x,y,z,w si:
423
32
52
9542
wz
yx
wz
yx
Solución: Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos: 2x-4=x+2 5y+9=3-y z+2=3z w-5=2w-4 Luego: Despejando x,y,z,w en las ecuaciones anteriores, tenemos: x = 6, y = -1, z = 1, w = -1
ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN
I. RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS
1. Escriba explícitamente la matriz: A = (aij)4x5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4. j = 1,2,3,4,5.
2. Escriba explícitamente la matriz: A = (aij)4x4 , si aij = (-1)i + j , (i , j = 1,2,3,4).
3. Si A = ( aij )33, en donde aij = (-1) i + j, entonces escribir explícitamente la matriz A.
4. Dadas las matrices A = (aij)4x4 y B = (bij)4x5 ; es decir:
Describa explícitamente a la matriz C = (cij)4x4, si cij = ai jbj j + 2 bi j
Donde: i, j = 1,2,3,4.
5. Si: , entonces indicar: a22, a32, a34, a42, a44,
6. Si las matrices son iguales determine . e yx
a) 52
32
5
2
y
x b)
815
524
81
51 x
y
xy
7. Halle valores de a,b y c, tales que:
8. Halle si es posible, todos los valores de cada incognita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla:
a)
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b)
9. Calcular la transpuesta de las siguientes matrices:
a) b)
c) d)
13. Dadas las matrices:
A =
032
301
210
201
015
321
111
131
321
CB
a) Hallar la matriz traspuesta de A, B y C. b) ¿Tiene la matriz C un nombre especial?
14. Sea: la matriz nula hallar x,y,z:
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.
Sólo se pueden restar
sumar matrices del mismo orden. Para ello se
tanres
suman los
elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir: consideremos A = (aij) y B = (bij)
Entonces: A + B = (aij + bij)
Ejemplo:
Sean: 032
641
410
132BA
Entonces
422
511
043120
)6(14312,
442
773
043120
614312BABA
2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.
Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y
cada uno de los elementos de la matriz. Es decir, sea: Є R y A = (aij) entonces:
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.A = ( . aij)
Ejemplo: sea 410
132A
Entonces: 1230
3963 A
3. PRODUCTO DE MATRICES.
3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.
3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES. Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:
A mxn . B nxp = C mxp
¿Cómo se multiplican?
El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así
obtenidos. Brevemente: kjik
n
kij bac
1
Ejemplo: Multiplicar las matrices
22
23
53
46
43
01
12
x
x
BA
Solución:
23830
46
139
2354)4(33463
50)4(13061
5)1()4(23)1(62
xx
BA
OBSERVACIÓN:
El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Es decir:
A B B A.
Dos matrices A y B son inversas si los productos A.B y B.A son iguales a la matriz unidad.
Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A, se la designa por A-1
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4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un:
4.1 DETERMINANTE DE 2º ORDEN: se desarrollan de la siguiente forma:
21122211
2221
1211aaaa
aa
aaA
Ejemplo: calcular el determinante de la matriz57
12A
Solución:
177107)1(5257
12A
4.2 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus; es decir:
332112113223312213312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
Ejemplo:
1217284627841646)3(473)3(12)3(3)3(276414
473
316
234
4.3 CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO.
Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al
determinante que resulta de suprimir en la matriz la fila "i" y la columna "j" en las que está el elemento en cuestión.
Se designa Mij o por ij.
Ejemplo:
En la matriz: A=73
342331
233147
3111
473
316
234
MMM etc.
Y se llama adjunto del elemento aij al menor con signo + si la suma de subíndices
fila y columna es par, o con signo - si dicha suma es impar. Se designa Aij. Es decir:
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Aij = (-1)i+jMij
Ejemplo: Así, en la matriz anterior, tenemos:
A A A11
1 3
7 4 31
3 2
1 3 23
4 3
3 7
5. RANGO DE UNA MATRIZ.
Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si existen unos números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:
Ejemplo: En la matriz:
La fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera columna y de la segunda. Es decir:
F2=2 F1
C3= C1+ C2
Por tanto el rango de matriz A es 2
Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas depende linealmente de las restantes.
Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si ninguna de ellas depende linealmente de las restantes.
En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de A.
Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos:
Calcular el rango de la matriz:
El rango es 3, pues se tiene: que las tres filas y las tres columnas son linealmente independientes.
Calcular el rango de la matriz:
El rango es 2, pues se tiene: F3 = 2F1 + F2, es mas F1 y F2 son linealmente independientes entre sí.
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Método de Gauss: consiste en obtener una matriz escalonada aplicando transformaciones que no alteran el rango de una matriz.
Ejemplo:
2
0 0 0 0
1- 1 2 0
1- 1 1- 1
rang)2(
2- 2 4 0
1- 1 2 0
1- 1 1- 1
rang
1- 1 5 1-
2- 2 1 1
1- 1 1- 1
rang 23
13
12ff
ff
ff
Pues es una matriz escalonada con dos filas no nulas, es decir que la matriz tiene rango 2.
6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Dada una matriz cuadrada A
de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que
verifica: donde es la matriz identidad.
OBSERVACIÓN:
Si |A| 0 A posee matriz inversa (además se dice que A es inversible o regular).
Si |A| = 0 A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).
6.1 Métodos de cálculo de la matriz inversa
Método de adjuntos:
A
AA
t
ad )(1
Método de Gauss: Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Calcular la inversa de 210
121
011
A
Solución: Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene
indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:
1210004
210
121
011
A
Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:
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11221
11
1)01(10
01101
12
011)01(
10
11202
20
01
2)02(21
01101
10
212)02(
20
11314
21
12
33
32312322
21131211
A
AAAA
AAAA
Luego: formamos la matriz adjunta:
111
122
123
adA
Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:
A
AA
t
ad )(1
111
122
123
111
122
123
1
11A
Ahora lo hacemos por el método de Gauss:
111100
122010
123001
111100
122010
001011
111100
011110
001011
100210
011110
001011
100210
010121
001011
Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:
100
010
001
210
121
011
111
122
123
7. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.1 Sistema de ecuaciones con dos variables Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:
22221
11211
byaxa
byaxa
la representación matricial de este sistema es BAX donde:
ficientesriz de coe es la mataa
aa,A
2221
1211
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.constantes las de matriz la es ,B
variableslas de matriz la es ,X
2
1
b
b
y
x
Si 0det(A) , entonces, el valor de la variable xse obtiene así:
2221
1211
222
121
aa
aa
ab
ab
xs
x
Obsérvese que x (determinante con respecto a x ) se obtiene reemplazando la
primera columna de la matriz A por la matriz B, y det(A)s es el determinante del
sistema.
Para calcular el valor de la variable y se obtiene primero el determinante con respecto
a y ( y ) remplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la matriz
B. Luego se divide este determinante entre el determinante del sistema:
2221
1211
221
111
aa
aa
ba
ba
ys
y
Ejemplo: Resolver el sistema
Solución:
La representación matricial del sistema es:
13
9
34
56
y
x
Entonces:
138
38
2018
6527
34
56
313
59
x
1334
956
yx
yx
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338
114
2018
3678
34
56
134
96
y
Luego, .3 , 1 yx
7.2 Sistema de ecuaciones con tres variables
Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
423
24654
18642
zyx
zyx
zyx
Este sistema se escribe en forma matricial como sigue:
de donde: 46
24
213
654
642
214
6524
6418
s
xx , 26
12
213
654
642
243
6244
6182
s
yy
36
18
213
654
642
413
2454
1842
s
zz
Luego .3 , 2 , 4 zyx Observe que zyx , , se obtienen reemplazando
sucesivamente la 1ª, 2ª y 3ª columna de la matriz de coeficientes por la matriz de las
constantes:
4
24
18
4
24
18
213
654
642
z
y
x
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ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN
I . RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS: 1. Dadas las matrices:
415
003102
A
241
10121151
B
Calcular: A + 3B; 2A – B; A.B; B.A; A.A; B.B
2. Dadas las matrices:
012
15
413
121
A
5
341
35
21
113
1
B
Calcular: A + B, A - B, A.B, B.A, A.A, B.B, A.A.A = A³.
3. Se consideran las matrices:
122
212301
A
40
32
11
A
0
3
1
2
16
1
5
2
3
13
1
3
2
2
1
C
Calcular: 3A, 3A + 2B, AC, CA, AB, BA, A-1, B-1, C-1
4. Calcular los siguientes determinantes de orden dos:
5. Calcular los siguientes determinantes de orden tres:
6. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.
a) 02
10 b)
43
21 c)
84
21
d)
114
301
211
e)
104
213
012
f)
1098
765
432
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7. Resuelve la ecuación Ax – B + C = 0, siendo:
0301
1210Cy
011-2-
1-021 B ,
01
14A
8. Resuelve la ecuación matricial: Ax – 2B + 3C = D, siendo:
11
32A ,
41
02B ,
02
30C y
63
45D
9. Obtén las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales:
a)
101
234Y3X
012
221Y2X
b)
10
26YX
03
12YX
c)
42
01Y2X
20
13YX2
d)
10
81YX
23
83YX3
e)
63
01YX
24
51Y3X2
10. Calcula el adjunto del elemento a23 en:
mpn
nmp
pnm
A
22
2
11. Hallar las inversas de:
012
134
501
112
301
103
210
132
201
CBA
12. Calcula los productos posibles entre las matrices:
543
012C y
1
2
1
B ,
110
111
321
A
13. Para las matrices
3
1
2
D y
3001
2415
1032
C , 321
430B ,
304
211A ,
realiza las siguientes operaciones: a) AB b) A.D c) B.C
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d) C.D e) ATC f) DTAT g) BTA h) DTD i) DDT
14. La siguiente tabla da el costo en soles de una lata de vegetales en tres diferentes
supermercados.
Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices. Rpta: Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes: Supermercado 1: 50.80 Supermercado 2: 49.60 Supermercado 3: 50.30
15. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
a) Representar la información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas
para cada uno de los modelos.
16. En los problemas siguientes resuelva el sistema usando determinantes
a) 4747
1 3 2
yx
yx b)
524
03
yx
yx
Alverjas fríjol maíz
3.3 2.5 4.2
3.4 2.3 4.0
3.6 2.8 3.5
Supermercado 1
Supermercado 2
Supermercado 3
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c)
11528
5323
6 2
zyx
zyx
zyx
d)
02 3
2 4
8
zyx
zy
zyx
e)
13
02
722
zyx
zyx
zyx
f)
15
2
42
zy
zx
zyx
f) 523
3 2
yx
yx g)
1 4
032
53 2
zyx
zyx
zyx
GEOMETRIA ANALÍTICA
ECUACIÓN DE LA RECTA
1. LA FUNCIÓN LINEAL
La funciones lineales de ecuaciones de la forma y = mx, donde m es constante de proporcionalidad, contienen dos variables; sean x e y, las cuales son directamente proporcionales. Los puntos (representados por pares ordenados), obtenidos de una tabla de doble
entrada para la función y = mx, con m 0, pertenecen a una recta que contiene el punto (0,0).
Variaciones de la pendiente Grafiquemos las siguientes funciones y = 0,5x, y = 1,5x, y = 2,5x, y = 3x.
Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente: 1.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 1er y 3er cuadrante. 1.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo agudo con el eje x, tendiendo a 90°. 1.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo agudo con el eje X, tendiendo a cero hasta confundirse con éste.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
X
Y
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1.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente. Grafiquemos ahora y = -x, y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x.
Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente: 2.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 2do y 4to cuadrante. 2.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo obtuso con el eje x, tendiendo a 180°. 2.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X, tendiendo a 90° hasta confundirse con el eje Y. 2.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.
Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx, denominada función lineal. 2. Propiedades de la función lineal En la función y = mx, m constante, el conjunto de todos los valores posibles para x se denomina “dominio de la función”, en este caso corresponde al conjunto de números reales (R).
Si m=0; y=0 para cada x R, entonces es una función constante y se confunde con el eje X. Si m= 0, entonces y = mx. Si m > 0, entonces y = mx es una función creciente. Además, la recta L que representa a la función y = mx con m>0, forma un ángulo agudo con el eje de las x. Si m<0, entonces y = mx es una función decreciente. El valor de m nos indica la orientación de la recta. 3. Concepto de Recta Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta. La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x. Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
-15
-10
-5
0
5
10
15
-3 -2 -1 0 1 2 3
X
Y
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Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero. Cada punto (x,y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada.
(x,y) = (Abscisa , Ordenada) Ejemplo: El punto (-3,5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5. La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:
Forma General: ax + by + c = 0
Forma Principal: y = mx + n
4. Pendiente de una Recta En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). OBSERVACION: Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea:
12
12
xx
yym
Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0. En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:
B
Am
B
Cn
Demostración: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal. Ax + By + C = 0 Ax + By = -C By = -Ax - C
B
CAxy
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B
C
B
Axy
Donde se demuestran los valores de m y n antes dado. Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0? Solución:
m = -4/-6 = 2/3
n = -3/-6 = ½
5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea:
12
12
xx
yymPQ y
1
1
xx
yymPR
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
que también se puede expresar como:
12
1211 )(
xx
yyxxyy
Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) Solución:
13
24
1
2
x
y
2
2
1
2
x
y
1
1
2
x
y
y - 2 = x - 1 x - y + 1 = 0 6. Ecuación de la recta dado punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por:
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Pero:
12
12
xx
yym
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Luego: reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:
1
1
xx
yym
Despejando, obtenemos que: y - y1 = m(x - x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3). Solución: y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20 Luego: la ecuación pedida es: 4x + y - 16 = 0 7. Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares Rectas Paralelas: Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea: L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces: L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2 Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas. Rectas coincidentes: Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea: L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces: L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2 Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o sea: L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces: L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1 Ejemplo: L1: y = -2x + 3 L2: y = 0,5x – 4
Entonces: L1 L2 ya que -2 · 0,5 = -1 Ejemplo:
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Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura
Solución: Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además: Luego: La ecuación de la recta l es: y = x + 1. Para la recta m, b = 1 y
Por lo tanto: y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx - 2. Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir, 0 = 2m - 2 , de donde m = 1. Por tanto: y = x - 2 es la ecuación de la recta n. Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.
CIRCUNFERENCIA
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
r
C(a,b)
P(x,y)
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Donde:
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es: y el radio cumple la relación:
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA CIRCUNFERENCIA Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación
queda reducida a: Ejemplo: Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2. Solución: Tenemos:
Ejemplo: Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio. Solución:
Tenemos:
Entonces:
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACION
I. Resolver los siguientes ejercicios. 1. Calcular el punto medio y distancia de los siguientes pares ordenados: a) P1 (3,0) y P2 (5,0) b) P1 (1,8) y P2 (2,0) c) P1 (5,2) y P2 (5,4) 2. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) 3. Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine las coordenadas del punto medio y la distancia. 4. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,1) 5. Dada la recta x+y-1=0, escribe las distintas formas que conozcas. ¿El punto (1,2) pertenece a la recta? ¿y el punto (3,-2)? 6. Sean dos rectas r y s dadas por sus ecuaciones generales: r: A x + B y + C = 0 y s: A' x + B' y + C' = 0
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Si A=B=C=2, ¿qué valores tienen que tomar A', B' y C' para que las rectas sean paralelas?
Si A=B=C=2, ¿qué valores tienen que tomar A', B' y C' para que las rectas sean coincidentes?
Si A=B=C=2, ¿qué valores tienen que tomar A', B' y C' para que las rectas sean perpendiculares?
Si A=B=C=1 y A'=1, B'=2 y C'=0 ¿cuál es el punto de corte? 7. ¿Qué condición tienen que verificar los coeficientes para que las rectas sean paralelas? ¿Y para que sean coincidentes?¿Y perpendiculares? Halla la posición relativa de las rectas, 2 x+ 3 y -5 = 0 y m x - y + 3 = 0 según los valores de m. 8. Demostrar que los puntos (-3,-2),(5,-9) y (4,6) son los vértices de un triángulo isósceles y calcular el perímetro de dicho triángulo. 9. Demostrar que los puntos (3,6),(5,4),(-4,-1) y (-2,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias. 10. Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) 11.Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8) 12. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles. 13. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a) A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1. b) A(6, -1), y, B(10, Y1) es 2/3, encontrar Y1. 14. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a) O(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo. b) b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo. 15. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de 6x - 2y + 8 = 0 con 4x - 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0 16. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. 17. En cada uno de los siguientes casos, encuentre la ecuación de la familia de rectas que cumple la condición dada: a) Pendiente -3. b) Intercepto con el eje X en 2. c) Intercepto con y en 6. d) Pasan por el punto (-3, 2). e) Paralelas a la recta: 4x -3y + 20 = 0. f) Perpendiculares a la recta 4x - 5y + 7 = 0 18. Encuentre la ecuación de la recta que: a) pasa por la intersección de las rectas: 2x - 3y + 7 = 0 y x + y - 7 = 0 y contiene
al origen. b) Pasa por la intersección de x - y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2 con el eje y. c) Pasa por la intersección de 5x - 2y = 0; x - 2y + 8 = 0 y corta el primer
cuadrante determinando un triángulo de área 36. d) Pasa por el punto de intersección de y - 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5 unidades del
origen. 19. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.
20. La ecuación: : , representa una circunferencia.
Determine su centro C(h, k) y su radio r. 21. Calcular la distancia de cada una rectas de rectas a los puntos indicados: e) 2x + 3y - 4 =0 ; (-4,5) f) x - 2y + 1= 0 ; (1,10) g) 3x - 2y -9 = 0 ; (-4,2)
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F
P
x
A
Ly
F
P
x
A
L
V
BD G
EC
H
h+p
pp
h
h-p
k
k
y
L'
h
h) 4x + 6y - 8 = 0; (-1,2) i) 2x - 4y - 6 = 0 ; (-5,-1) j) 2x-y+5=0 ; (-2,3) 22. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
23. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas. 24. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas. 25. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
26. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
, y que pasa por el punto (-3,4). 27. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7). 28. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
LA PARABOLA
Parábola: Es el conjunto de todos los puntos contenidos en el plano cartesiano, tales que su distancia a un punto fijo “F”, llamado foco, es igual a su distancia a una recta fija “L”, llamada directriz, es decir: En la figura:
PAPF Elementos de la Parábola Foco: En la figura es el punto F. Directriz: Recta L. Vértice: Es punto de la parábola más cercano a la directriz. En la figura es V(h, k), donde h y k son las coordenadas del vértice. Distancia del vértice al foco: “p” Eje de simetría. Es la recta que contiene al foco y al vértice, en la figura es L’. Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la parábola. Ejem. En la figura: GH Cuerda Focal: Es una cuerda que pasa por el foco. En la figura, DE. Lado recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje de simetría, en la figura: BC. La
longitud de la cuerda focal es el cuádruplo de la distancia del vértice al foco.
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P(x,y)
x
L
pk
y
L' p
h
FV(h,k)
x
y
(0,0)
p4BC
Radio focal: es la distancia de un punto de la parábola al foco. En la figura PF. Si el vértice de la parábola es V(h, k) su eje focal paralelo al eje “x” y la parábola se abre hacia la derecha, tenemos: Ecuación de la directriz: x = h p Ecuación del eje de simetría: y = k Coordenadas de B: B (h + p, k + 2p) Coordenadas de C: C (h + p, k 2p) Coordenadas del foco: F (h + p, k) Ecuación de la parábola: Eje de simetría paralelo al eje X
Forma ordinaria de la ecuación de la parábola: )hx(p4)ky( 2
Forma general de la ecuación de la parábola: 0 F Ey Dx y2
Ejecutando la ecuación en su forma ordinaria:
y2 2ky + k2 4px + 4ph = 0
y2 2ky 4px + k2 + 4ph = 0
y comparándola con la forma general, se tiene que:
k2 D p4 E ph 4 K F 2
Caso Especial: Cuando el vértice está en el origen de coordenadas, es la forma canónica de la Ecuación.
Ecuación canónica:
px4y2
ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACION
1. Hallar la ecuación de la parábola con foco(0; 4) y directriz D: y + 4 = 0.
a) x2 = 16y b) x2 = 4y c) x2 = 16y d) x2 = 16 e) x2 = 4y
2. Hallar la ecuación de la parábola con V(0; 0) y foco F = ( 2; 0).
a) y2 = 8x b) x2 = 8y c) y2 = 8x d) y2 = x/8 e) x2 = 8y 3. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su eje focal paralelo al eje Y y que pasa
por (0,0), (3,0) y 1,2
7
a) 4x2 + 24x – 7y – 27 = 0 b) 4x2 24x – 7y + 27 = 0 c) 4x2 24x + 7y – 27 = 0
d) 4x2 + 24x – 7y + 27 = 0 e) 4x2 + 24x + 7y + 27 = 0.
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x
B
80
CA
30 m
y
4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas y directriz de la recta: y – 5 = 0
a) x2 = 5y b) x2= 10y c) x2 = 20y d) x2 = 30y
e) x2= 40y
5. Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica, cuando el nivel del agua alcanza una altura de 10u su ancho mide 20u; cuando el nivel del agua desciende hasta la mitad, su nuevo ancho del nivel del agua es:
a) 5 2 b) 6 2 c) 7 2 d) 9 2
e) 10 2 .
6. El cable ABC tiene la forma de una parábola. Si el punto más bajo del cable esta a 20m del suelo, calcule la ecuación de la parábola:
a) y = 160
1x2 b) y =
80
1 x2 c) y = 160 x2 d) y = 80 x2 e) y =
40 x2
7. Las rectas tangentes en los puntos P=(x1; y1); Q(x2; y2) de la parábola G: y2 = 4 px, se intersectan en un punto T. Halle las coordenadas de T
a) 4
2y1y,
p2
2y1y b)
2
2y1y,
p
2y1y2 c)
2
2y1y,
p4
2y1y
d)
3
2y1y,
p3
2y1y e)
2
2y1y,
p4
2y1y
8. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: a. F(3, 0), V(2, 0)
b. F(0, 0), V(-1, 0)
c. F(2, 3), directriz: x = 6
d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)
9. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice.
a. y2 + 4x + 4y +20 = 0 b. y2 + 8x + 4y + 12 = 0 c. y2 + 4x + 4y = 0 d. 4y2 + 24x + 12y + 39 = 0