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Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 7

CALCULO I: Práctica 7 con la calculadora ClassPad 330

Objetivos: En esta práctica utilizaremos la Aplicación Principal y la Aplicación Gráficos & Tablas del Menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora ClassPad 330, para estudiar aquellos aspectos importantes de la propiedad analítica que se deriva de la existencia o no del límite de una función real de variable real en un punto. Esta propiedad se traduce en un comportamiento local de la función y tiene tanto una interpretación gráfica, como una interpretación cualitativa del comportamiento de diversos fenómenos reales visto desde el ámbito de los modelos matemáticos.

Requisitos: Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Capítulo 2 y el Apéndice D del texto recomendado y haber realizado en su totalidad la Práctica 6.

Observaciones: Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.

Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera difusión de información,

estás se destacarán con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo. El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicará al estudiante que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora y ejecutar las instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se está planteando una situación problemática y el último que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada.

7.1 Límite de una función en un punto.

En el leguaje cotidiano la palabra límite se emplea en distintos contextos, por ejemplo: se habla del límite de la paciencia, del límite de velocidad en una autopista, de la descarga sin límite en Internet, del límite de peso de un boxeador en una determinada categoría, del límite de resistencia de un material antes de romperse, etc. Estas expresiones sugieren la idea de que un límite es una cota o barrera que en ocasiones pudiera alcanzarse e inclusive superarse, pero en otras pudiera no alcanzarse.

En los modelos matemáticos, la idea del límite de una función en un punto es de interés por que permite describir el comportamiento puntual o local de un fenómeno en estudio. Veamos por ejemplo la siguiente situación:

Se sabe que un gas, bajo ciertas condiciones, al ser sometido a altas presiones disminuye su volumen hasta una presión crítica p . Al superar esta presión crítica cambia su estado de gas a líquido. Esta presión crítica indica una frontera para el paso de una sustancia del estado gaseoso al líquido y viceversa, pero también indica el cambio abrupto de los volúmenes de la sustancia en cada estado, si V denota el volumen de la sustancia en litros y p la presión en torrs podemos utilizar la gráfica de de la Figura 1 para interpretar y calcular:

0

2V=1V=0pp

Vlím+→0pp

Vlím−→

y Figura 1

Esta simbología significa lo siguiente: Cuando la presión p da sobre el gas se acerca a la presión ítica 0p por valores en torrs estrictamente menores (o por defe a 0p , el volumen V del gas disminuye

amente (los gases son compresibles) e in a alcanzar volume e 1V litros. Pero cuando la ión bre el líquido se acerca a la presión ica 0p res estrictamente mayores (o

por exce ) a 0p , el volumen V del líquido ta muy le líquidos por lo general son mpre s) intentando alcanzar un vo 2V litros. 0p

ejercicto)

un por valo

ntam

crrápidpres

inco

tentcrít

aumen de

n den torrs

(loso p

p sososible

ente Cuandlumen =

Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 1

la sustan no puede ificar como gas, ni como líquido. 2V> , en cuando p se ap a 0p ,

cia roxima clas se ni Note que 1V consecuencia



el vlo p

olumen V de la sustancia no se aproxima a un único valor, produciéndose en 0pp = un salto abrupto en el va r del volumen de la sustancia debido al cambio de estados en 0p = . En esta situación decimos que Vlím

0pp→ no existe.

7.1.1 Definición informal de límite de una función en un punto. Estudiaremos aquí el concepto del límite de un n en un punto que se denota con la simbo

a funció logía (flím es una función real de variable real y donde L y a son números reales.

ida ensib . La notación )x(flím

ax

L)x = , donde fax→Supongamos que a pertenece a un intervalo abierto y que f está defin todo punto de ese intervalo,

excepto po lemente en a L=→

ue los valores )x(f se aproximan al número

o como se desee), si los valores de x se ace ente (por defecto y por exceso) al punto a

significa q

rcan lo suficiL (tantpero con ax ≠ .

1. Considere la función cuya regla de correspondencia es 6x38x)x(f

3

−−

= . Intentemos responder

a la siguiente pregunta: ¿A qué valor se aproxima f(x) cuando x se acerca a 2?

Solución a la situación problemática planteada: La función f esta definida en todos los números reales excepto en 2x = . Elaboremos una tabla de

valores p vaara la riable x en el intervalo abierto ] [3,1 que tiene co ntro a 2 y observemos los valores ue toma f(x) cuando x se acerca a 2.

2.

mo ceq

Operación con la ClassPad.

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápizsobre la mesa. Presione

táctil y colóquela para encenderla.

(2) Toque para ac.

ceder a la aplicación GráficosTablas

(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para li

4) e

&

mpiar el área de trabajo.

( Toqu [Conf. Por defecto] [Acep.] [Acep.]. (5) Toque y la solapa para activar el teclado virtual 2D.

este teclado para n(6) Utilice editar e la línea de edición y1: la expresión

6x38x

−− . Seguidamente toque

3 para registrar la función f.

(7) En la barra de herramientas toque el botón para configurar el rango de valores para x en la tabla.

bla, configur

[Acep.].

(10)

(8) En el cuadro de diálogo titulado Entrada de ta e los siguientes parámetros con los valores indicados:

Inicio: 1 ; Fin: 3 ; Paso: 0.1 (9) Toque

Toque y luego toque para visualizar los valores de la

ura 3).

tabla.(11) Deslice la barra de desplazamiento para visualizar los valores

generados por la tabla numérica (Fig

Figura 2

Figura 3



os valores que toma la número 3 con incrementos de 0.1. De este modo se

han generado 21 valo na rotulada por y1, aparecen las respectivas s valores. Para x = 2 aparece la palabra “Error”, indicando de este modo que la a en este punto. Los valores de la tabla más cercanos por defecto y por exceso a 2

.

Al deslizar la barra de desplazamiento se observan, en la primera columna, lvariable independiente x, desde el número 1 hasta el

res para x. En la segunda columimágenes f(x) de estofunción no está definidson respectivamente 1.9 y 2.1 cuyas imágenes son aproximadamente )9.1(f 80333= y 4)1.2(f = 2033. . Es

) cuando x se acerca a 2. eamos qué está ocurriendo

do.

3.

posible que no deduzcamos aun con estos valores a qué se aproxima f(xTendremos que tomar valores más próximos a 2 y observar lo que sucede. Vgráficamente con estos valores que se han genera

Operación con la ClassPad.

(12) Toque ahora la secuencia de boton es .

(13) Toque el botón para acceder a la ventana de visualización. (14) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

7.7:Mínx − ; 7.7:.máx ; escala: 1 5:Míny − ; 13:.máx ; escala: 1

(15) Toque [Acep.]. • Aparece la gráfica de f presentando, en x = 2, una ruptura dado

que no está definida en este punto (Figura 4). Visualicemos sobre la gráfica los puntos de la tabla. •

(16) Toque ahora .

• Sobre la gráfica de f aparecen el cursor de posición y los punto))x(f,x( de la tabla numérica.

veces la

(17) Toque [Vínculo]. s

(18) Toque la primera celda de la columna y1. Oprima variastecla direccional elíptica para deslizar el cursor sobre lo

Figura 4

s

• Al deslizar el cu p ecen en rior de la ventanade gráficos las coorde das de lo recidos.

al posicionar el curso rece el mensajando que la función no está definida en

n es creciex = 2, dic

ntre 8033.3)9.1(f = y 2033.4)1.2(f

puntos y visualizar sus coordenadas. rsor a ar la parte infe

e

nte en ho

na s puntos ennegr en x = 2 apa• Observe que

“Undefined” anuncidicho punto.

• Por otra parte, se puede observar que la funcióel intervalo [ ]3,1 . De manera que si f tiene límite en valor debe estar e = .

Generemos ahora e

una tabla tomando v lores para x más

(19) Toque

ac rcanos a 2.

y luego para acceder a la Tabla de entrada. (20) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

Inicio: 1.9 ; Fin: 2.1 ; Paso: 0.01 (21) Toque [Acep.].

(22) Toque para maximizar la ventana de tablas.

Figura 5



ágenes salvo para x = 2. Los valores más

• En la tabla aparecen nuevamente 21 valores para x con sus respectivas imcercanos a 2, por defecto y por exceso, en este caso son 1.99 y 2.01 cuyas respectivas imágenes son 98.3)99.1(f = y

02.4)01.2(f = . De man si f tiene x = 2, pera que límite en se f

rcarnos todavía más a 2 generando otra tabla:

or creciente, éste debe estar entre estos dos valores.

• Podemos ace

(23) Toque y luego para acceder a la Tabla de entrada. (24) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

In icio: 1.99 ; Fin: 2.01 ; Paso: 0.001(25) Toque [Acep.].

(26) Toque para maximizar la ventana de tablas.

De esta última tabla podemos concluir lo siguiente: Figura 6

Intervalo x )x(f Conclusión

2x <

1.995 1.996 1.997

3.990 3.992 3.994

1.998 1.999

3.996 3.998

2 4 2.00 22x > 2

1 .00

2.005

2 .003

2.004

-----

4.008 4.010

mostrados en la tabla, se ue x se acerca a 2, tanto por

ierda) como por exceso (por la derecha), su alor 4. Es decir, se pueden obtener a 4 como se desee, simplemente ntemente cercanos al valor 2. que “el límite de f(x), cuando x

igual a 4”. Este hecho se simboliza 4.002 tiende (se acerca) a 2 es 4.004 4.006

por:

Sobre la base de los resultadospuede deducir que a medida qdefecto (por la izquimagen f(x) se aproxima al vimágenes f(x) tan cercanastomando valores de x suficie En este caso decimos

468= .

x3xlím

3

2x −−

→

Tabla 1

Observaciones: • Un a

de náli de tipo lateral sobre el resultado que hemos ob siguiente: si consideramos,

la ta , únicamente los valores que toma la variable x os a 2 por d 2xsis

blatenido es el

para acercarn efecto ( < ), vemo medida a

tuac simboli

s que a que se cercan a 2, los valores de sus imágenes f(x) se aproximan a 4. Esta

si ión se za por: 46x38xm

3

2=

−−

− y se conoce como “el límite lateral izquierdo de

u valor es 4”. De manera semejante, al considerar los valores que rnos a 2 por exceso ( 2x > ), vemos que a medida que se acerca

lí→

f(x), cuando x tie de stoma la riab ara rca n a 2, ta los valor su

xn a 2 y

va le x p acembién es de s imágenes f(x) se aproximan a 4. Esta situación la indicamos

con 4 . Este6x38x3

x=

−− l e conoc “el límite lateral derecho de do x

tiend su va r• Al estable r un límite lateral o el límite de la fun ión en un punto dado, debe tenerse presente que

lo que se esta estableciendo es la existen n número que se obtiene como el valor al cual se aproximan las imágenes f(x) cuando x se encuentra lo suficientemente cerca de a ax

lím2→ +

ímite s e como f(x), cuan

e a 2 yce

lo es 4”. c

cia de u pero con ≠ .

Esto permite en muchos casos el cálculo algebraico del límite. Como se sabe, la expresión 6x3 −

no está definida en x = 2, la evaluación del cociente para x = 2 genera una forma indeterminada

83 −x


del tipo 00 . Sin embargo, rea cálculo algebraico sobre la base de que 2x ≠ se obtiene: lizando un

34x2x

)2x(3)2x)(4x2x(

6x38x 223 ++

=−

−++=

−− ; 2x ≠

Dado que 2x ≠ podemos cancelar el factor común )2x( − , obteniéndose la equivalencia algebraica

entre las expresiones 6x38x3

−− y

34x2x2 ++ , que sólo es válida para 2x ≠ . O dicho de otro modo,

las funciones 6x38x)x(f

−−

= y 3

34x2x)x(g ++

= son iguales para 2x2

≠ . Es fácil ver que cuando

los valores que asume x se acercan a 2, las imágenes g(x) se aproximan a 4.

procedimiento algebraico para el cálculo de límites: Con la combinación de este cálculo algebraico y la notación introdu odemos generar un cida, p

43

4x2xlím)2x(3

)2x)(4x2x(lím6x38xlím

2

2x

2

2x

3

2x=

++=

−−++

=−−

→→→

Observe que el valor del límite hallado coincide con g(2) = 4. La función g está definida para 2x = . El hecho de realizar la simplificación po )2xr el factor ( − en el cálculo del límite, es lo que se conoce

aso de levantar la forma indeterminada como el p0

laterales. Sólo debe t pre nte el cálculo, que 1Llím =−

se establece para

ax < y de la misma manera qu 2

0 que presenta la funció x =

• anera análoga este proceso se bién para el cálculo alg ímites enerse sente, dura )

L)

n f en

ebraico

2 .

de los lDe m utiliza tam

axx(f

→e

axx(flím =

+→ se establece para a . x >

El cálculo algebraico de límites se sustenta en los siguientes teoremas operativos: • • c

Si una función f tiene límite en un punto a, entonces este límite es único. Límite de una constante (función constante )x(f = ): cclím

ax=

→.

• Límite de la función identidad ( )x(f x= ): límax

ax =→

.

• x→

Límite de la suma o diferencia de dos funciones: )x(glím)x(flím))x(g)x(f(límaxaxa →→

±=± .

Límite del producto de una constante por una fu ión: )x(flímc)x(cflímaxax →→

• nc = .

• Límite del producto de dos funciones: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛=⋅

→→→)x(glím)x(flím))x(g)x(f(lím

axaxax

Límite del cociente de dos funcion

⎠

• es: )x(glím

)x(flím)x(flím ax→= si )x(glím)x(g

0≠ . ax

ax→

ax→ →

En relación con los límites laterales tenemos el siguiente teorema: L)x(flí)x(flímL)x(flím

xaxaxma

==⇔=+→−→→

De modo que si el límite de una función en un punto existe con valor L, entonces también los límites laterales de ambos tienen valor L. De manera

en un punto, ambos co lor L, e con valor L.

portantes p no

la función en ese punto existen y existen recíproca, si los límites laterales de una función n va

entonces el límite de la función en ese punto exist• Del teorema anterior se deducen los siguientes hechos im ara establecer la

existencia de un límite:




punto existen, pero toman valores distintos, unto no existe.

Si al menos uno de los límites laterales de una función en un punto no existe, entonces el límite de la función en ese punto no existe.

La ClassPad permite calcular límites en la Aplicación Principal. Conozcamos esto resolviendo la

4.

Si los límites laterales de una función en un entonces el límite de la función en ese p

siguiente situación problemática:

En el caso de que exista, establezca el valor de cada uno de los siguientes límites. Si alguno ellos no existe, explique las razones analíticas por la cual no existe. Trace además la gráfica a función y elabore una tabla similar a la Tabla 1 para corroborar sus conclusiones:

de de l

a) 6x3

lím2x −→

; b) 8x3 −1x

lím1x −−→

; c) 1x2 −1x

lím1x −+→

; d) 1x2 −1x

lím1x −→

1x −

5.

2

O

peración con la ClassPad.

Cálculo del 6x3

lím2x −→

: 8x3 −

7) Toque el icono permanente (2 para acceder a la Aplicación Principal.

(29(28) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

) Oprima la tecla y toque la solapa .

(30) Toque el b tón o . Al presentarse las plantillas de cálculo

toque el botón . • Observe que esta plantilla presenta la simbología universal que

se ha introducido para representar un límite.

) recuadro inferior toque (31 Con el cursor ubicado el primer .

) Desplace oprimiendo la tecla direccional elíptica

Figura 7

(32 el cursor ndo re toque hasta el segu cuadro y .

(33) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque .

edite 6x3

(34) Con el cursor en el numerador edite la expresión 8x3 − .

(35) Ubique el cursor en el denominador y y toque . −

• Encontrará que 48xlím3

=− .

6x32x −→

Cálculo del 1x1x −−→

1− .

(36) Toque el botón

xlím2

. Al presentarse las plantillas de cálculo

toque el botón .

(37) Con el cursor ubicado el primer recuadro

Figura 8

inferior toque .



a

(38) Desplace oprimiendo la tecla direccional elíptic el cursor hasta el segundo recuadro y toque .

(39) Ubique el cursor en el recuadro superior y toque . 2(40) Con el cursor en el numerador edite la ex 1xpresión − .

(41) Ubique el denomi el cursor en nador y toque . Luego edite − 1x y toque .

• Encontrará que 21−= .

1xxlím

2

1x −−

−→

Cálculo del 1x1x

1−− : xlím

2

+→ Figura 9

(42) Calcule de manera análoga 1x1xlím

2

−−

+.

1x→

• Encontrará que 21x1xlím =

−−

+.

2

1x→

(43) Calcule 1x1xlím

2

1x −−

→ en la Aplicación Principal.

ta el anu ned” indicando que el límite no existe. (44) Oprima

• La pantalla presen ncio “Undefi para desactivar el teclado virtual y visualizar toda la ventana de la Aplicación

Principal (Figura 9).

6. ¿Por qué razón el 1x1xlím

2

1x −−

→ no existe?

Tracemos la gráfica de la función 1x1x)x(f

2

−−

= y elaboremos una tabla similar a la Tabla 1:

(45) Toque . (46) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. (47) Oprima [Keyboard] y active el teclado 2D.

(48) Edite en la línea y1: la expresión 1x1x2

−− y toque .

(49) Toque para activar la ventana de visualización. 0) En el cuadro de diálogo to ia] [Inicial] [Acep.].

1) Toque

(5 que [Memor

(5 para traza e la función y maximizar la ventana de gráfico

r la gráfica ds.

Figura 10


Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada

(52) Toque [Análisis] [Trazo]. ca de

direccional elíptica y observe las coordenadas de los puntos sobre la gráfica de f.

8

(53) Deslice el cursor sobre la gráfi f utilizando la tecla

De esta activi

dad podemos concluir gráficamente lo siguiente:

• La función f no está definida en x 1= . • Los límites laterales de f en el punto x = 1 existen. Cuando

1nos acercamos a 1x = por valores por defecto ( x < ), los uierdo de

f en 1x = a 2 . Cu s a a xvalores f(x) se aproximan a 2− . El límite lateral izq

toma el v lor − ando no cercamos 1= ximan por valores por exceso ( 1x > ), los valores f(x) se apro

a 2. El límite lateral derecho de f en 1x = toma el valor 2. • a pr 1=La gráfic esenta en x un salto.

Figura 11

Elaboremos una tabla con valores, para la variable x, que se inicien en 0.99 y finalicen en 1.01

con incrementos de 0.001:

(54) Toque . En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:

Inicio: 0.99 ; Fin: 1.01 ; Paso: 0.001 (55) Toque [Acep.].

(56) Toque . (57) Deslice la barra de desplazamiento para observar los valores de la

tabla (Figura 12).

De esta última tabla podemos concluir lo siguiente:

Figura 12

sión Intervalo x )x(f Conclu

0.99

1x < 0

5 6

- 1.995 -1 .996 .99

0.997 0.998

- 1.997 - 1.998 - 1.999 0.999

1

- 2

2

1.001 1.002

1x > 1.003 1.004 1.005

?

2.001 2.002 2.003 2.004 2.015

se de los resultados mostrados en la tabla, se onclusión obtenida gráficamente, esto es,

Sobre la bacorrobora la c

21x1xlím

2

1x−=

−−

−→ y 2

1x1xlím

2

1x=

−−

+→ .

En consecuencia 1x1

1x −→ no existe.

Localmente la función presenta en 1x

xlím2 −

= un comportamiento de ruptura de su gráfica. Los valores de f

io abrupto cuando la variable pasa de valores menores que 1 a valores mayores que 1. Este comportamiento de la gráfica de f en 1x = se conoce como “discontinuidad de salto”.

presentan un camb

Tabla 2


bservaciones: Como se teriorme a

ax , p durante este procedimiento, que los valores de la variable x se toman fecto p culo del límite lateral izquierdo y por exceso para el cál o del límite lateral derecho.

realizar el calculo d los límites laterales de la fun

O dijo an nte, al re lizar el cálculo algebraico de límites laterales de una función f en el

culpunto por de

ara

= debe tenerse resente, ara el cál

P e ción 1−x1x)x(f

2 −= en 1x = , se procede del

siguiente modo:

• 2)1x(lím)1x(

)1x)(1x(lím)1

1x1x

1xPara

−=+−=−−−+

=−

−→−→

↓<

. 1

límlím1x1

=−→→ x −

x)(1x( +1x −−

1x2 −

x

• 2)11x

lím1x

lím1x1x1x

=+=−

=−

−=

− −→+→+→.

x(lím)1x(

)1x)(1x()11xPara

−+↓>

lím1x +→

x)(1x( +1x2 −

7. Para cada una de las siguientes funciones: i) Calcule con lápiz y papel los límites laterales (cuando existan) en el punto indicado.

iii) Establezca si el límite de la función en el punto indicad n el caso de existir indique su valor.

ii) Utilice la Aplicación Principal para calcular los límites y corroborar sus resultados. o existe y e

=≠

xx 1x a)

⎪⎩

⎪⎨⎧ −=

si1sixx)x(f

3

11 en = ; b)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨−−

=

six

x11

xsie)x(f

2

x⎧

>

<

0x

0x

0= .

Definición formal de límite de una función en un punto.

en x

7.1.2

Para tratar este tema, comencemos por definir un conjunto especial de números reales. Sea a un ero njunto solución de la inecunúm real y r un número real positivo ( 0r > ), el co x −


ación ra < es el io r y lo intervalo abierto ] [ra,ra +− . A este intervalo lo llamaremos entorno del punto a de rad

denotaremos por )a(Ir , de manera que { }rax:x)a(Ir <−= .

Observe que el centro de este intervalo es el punto a. Su representación gráfica es la siguiente:

Por su definición, a este conjunto se le conoce como el conjunto de todas las aproximaciones de a

Figura 13

con cota de error menor que r, dado que si )a(Ix r∈ , entonces ra <− . La distancia de la ación x al punto a es menor que r.

Interesa también el conjunto ]

xaproxim

[ { }ara,ra + −− denotado por )a(I*r llamado entorno reducido del punto a de radio r. En este ca os el mismo conjunto a or al cual se le ha extraído el punto a. so tenem nteri



De manera que { } { }* <−<=−= rax0:xa)a(I)a(I rr . Su representación gráfica es la siguiente:

Figura 14

to (en L)x = ) radica en el hecho de que debe poderse hacer la difere

La idea para establecer una definición formal del concepto de límite de una función en un pun

símbolos (flímax→

ncia L)x − tan pequeña

escogiendo x lo suficientemente cerca de ax

(f

como se desee a (con ≠ ), es decir, eligiendo x de manera tal que la diferencia ax − sea suficientemente peq 0a ≠−ueña (con x )

a definición formal de límite de una función e resenta tradicionalmente como sigue: .

L

n un punto se p

Sea a un punto en un intervalo abierto y f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a, y sea L un número real. Enton L)x(fces lím

ax=

→

o 0>

significa que para cada número

0>ε siempre es posible encontrar otro númer δ tal que si δ<a , entonces −< x0ε<− L)x(f .

En el lenguaje de los entornos esta definición se enuncia de la siguiente manera:

L)x = ⇔ Dado cualquier entorno de L co(flímax→

n radio 0>ε ( ε−] [ε+=ε ,L)L(I L ), siempre es

struir un entrono reducido de a coposible con n radio 0>δ ( I

f(x)

] [a,a)a( −δ+δ−=δ

de cualquier punto

{ }a ) de manera que

) )L(Iε . Es decir, x en el entorno reducido de a debe estar en el entorno de L.

La siguiente figura ilustra este hecho:

*

si a(Ix *δ∈ , entonces )x(f ∈ la imagen

Figura 15

Observe que para un entrono de L dado ( ] [+ε−=ε ,L)L(I

{ }a− ) de manera qu

son los valores mínimo

εL ), es posible la construcción de un entorno

reducido )a(I*δ )L(Iε , o bien

M

de a ( ] [a,a)a(I* δ+δ−=δ

[ ] )L(IM,m ε⊂ , donde m y

e si x∈

y máximo de

, entonces )x(f ∈

)a(I*δ . ))a(I(f *δ = f en



requiere de un buen ma valor

absoluto

Demostrar que nejo algebraico para estimar la cantidad en L)x(flímax

=→

L)x(f − y de este modo encontrar una relación funcional que permita encontrar el radio 0>δ del entorno reducido d n del radio e a, en funció 0>ε dado del entorno de L.

n ocasiones es posible encontrar una cons tal que E tante C > 0 axCL)x(f −≤− para , don

jemplo, si qu

)a(Ix *δ∈

de δ es cualquier número positivo.

Por e eremos demostrar que 71x2lím3x

=+ L)x(f − , al estimar la cantidad encontramos: →

36x271x2L)x(f =−=−+=− x2 −

que se cumple para todo Rx∈ . Luego en particular, para )3(Ix *δ∈ ( δ<−< 3x0 ) donde δ es

cualquier número positivo tendremos entonces: δ<=−+=− 23x271x2L)x(f .

i ε es cualquier número positivo dado, podemos logr e

−=− x26

S ar qu ε<−L)x(f eligi tre todos los endo, en, aquel que se obtiene del siguiente modo: 0>δ

ε=δ<−=−=−+=− 23x26x271x2L)x(f , es decir, 2/ε=δ .

Con esta construcción hemos encontrado la relación funcional dada por 2/ε=δ para cualquier 0>ε dado. En consecuencia si 2/3x0 ε=δ<−< obtendremos:

ε=<= 232

Lo que d x2lím +

ue existen 01 >

ε⋅=δ /22−−=−+=− x6x271x2L)x(f

emuestra que 71= .

tra situación es la siguiente: supongamos q3x→

δ y 0C > tales que O

L)x(f ≤− axC − (1) para 1a δ< (2).

Sea 0>ε dado, en

x0 −<

tonces podemos elegir )C/,(mín 1 εδδ = a fin de que se cumplan simultáneamente (1) y (2), en este caso la re colación que permite en ntrar δ en funció ε , denotada por )C/,(mín 1δ εn de =δ

ue se está tomando δ como el s núme 1indica q menor de los do ros δ y C/ε . Veamos cómo, con

os tomar para

esta re se demuestra e L)x(flím

ax=

→

Tomemos 0>ε el radi L. debem

lación, qu

arbitrari

.

o del entorno de o como El valor que δ como el l entorno redu mínradio de cido de a es )C/,( 1 εδ=δ s casos:

1 /,(mín εδ= ue en este caso C/1

. Entonces tenemos do

Caso 1: δ 1)C δ= . Observe q δ ≤ ε (3).

Por otra parte, si 1ax0 < (2) sabemos qu esigualdad δ<− e se verifica la d axCL)x(f −− (1).

Por lo tanto de , y podemos obtener la ción:

≤

(1) (2) (3) siguiente estimaε=C/ ε⋅≤δ=δ<−≤− CCCaxCL)x(f 1

lo demuestra que L)x(flímx

=→

.

Caso 2: ,(mín 1 εδ=δ

Si

a

C/)C/ ε= .

C/a ε=δ<x0 −< , dado 1C/ δ≤ε (4), concluimos que se verifica nuevamente la desigualdad (1). n e que se obtiene es: E ste caso la estimación

ε=− C/)x(f

Se demuestra que L)x(flímax

ε⋅<−≤ CaxCL

ra es so, =→

. , pa te último ca


e

gamo

Una situación aun más g neral es la siguiente:

Supon ue s q ax)x(gL)x(f −⋅≤− donde g es una función acotada en un entorno redu del

punto a. Esto último significa que existen 0>

cido

1 δ y 0C > tales que C) ≤x(g para


1δ< . Ent

ax0 −<onces se pone de manifiesto la estimación:

ax −≤−⋅≤−

tratada anter la relacir 0>δ en función d 0>ε dado, sig )C/,1

Cax)x(gL)x(f

Lo cual nos lleva justamente a la situación iormente y en ese caso ón que permite encontra e ue siendo (mín εδ=δ .

Ilustremos el eneral resolv ión problemática:

caso más g iendo la siguiente situac

8. Considere la función cuya regla de correspondencia es 1x5x)x(f 2 +−= y el punto 4x+ = . i) Encuentre la relación funcional que permite hallar δ en función de ε y demuestre que

ii) Muestre gráficamente, para un valor positivo de

51x5xlím 24x

=++−→

.

ε dado, qu n f(x) de todo punto x e la imagedel entorno reducido )4(I*δ se encuentra en el entorno )5(Iε como en la Figura 15.

Solución a la situaci resentada: ón problemática p

9. Operación con la ClassPad.

(58) Toque el icono permanente para ac la AplicaciónPrincipal.

(59l

toda variable] [Acep.]. (61) Toque [Acción] [Comando ►] [Define].

ceder a

) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. • Por razones prácticas definiremos en la Aplicación Principal a

función f. (60) Toque [Edit] [Eliminar

(62) Oprima la tecla y toque la solapa . (63) Toque la secuencia de botones:

. ra hemos defin• De esta mane ido la función f.

• Realizaremos ahora operaciones sobre 5)x(f − , aquí 5L = . Figura 16

(64 e secuencia botones para editar ) Toque la siguient de 5)x(f − :

.

(65 que [Acción] [Tran ción ►]) To sforma [factor] . • Observe que 4x1x5)x(f −⋅−=− . Aquí la función −=g esta definida por 1x)x(g .

• Definamos ahora la función g: (66)(67)

Toque [Acción] [Comando ►] [Define]. Toque la secuencia de botones:

.



en un entorno dpunto 4. 11 =δ , enton

• Acotaremos la función g en valor absoluto para x el Tomemos ces si ] [ ] [5,34,4x 11 =δ+δ−∈ ,

la constante C e toma la función g en valor absoluto en el intervalo [ ]5,3 . Es fácil ver q

0> será el máximo quue 1x1x −=− y

creciente en el intervalo indicado, en conse toma su valor cuenciamáximo en 5x = . Esto es, [ ] Cx(gmáx 5,3 =4)5(g) == . De

manera que 4x44x1x5)x(f −≤−⋅−=− .

• Ve s el cálculo de C la ClassPad: amo en

9) Toque la siguiente secuencia de botones: (68) Toque [Acción] [Cálculo ►] [fMax]. (6

. • Observe la sintaxis del comando fMax.

Figura 17

• Se obtiene como resultado que el valor máximo de )x(g en el intervalo ce [ ]5,3 es 4 y se rrado alcanza en 5x = como aseguramos.

• Dado que 11 =δ y 4C = la relación buscada es:

)4/,1(mín)C/,(mín 1 ε=εδ=δ para ε 0> dado.

51= . En efec 0>Con esto hemos demostrado que el x5xlím 24x

++−→

to, si ε es dado, tenemos que

considerar dos casos. • Caso 1: 4/1)4/,1(mín ε≤=ε=δ .

En este caso ε=4 .

s:

ε⋅≤δ≤−≤−⋅−=− /444x44x1x5)x(f

• Caso 2: 4/)4/,1(mín ε=ε=δ .

En este último caso tenemo ε=ε⋅=δ≤ 4/44x(f .

51x52 =++ .

−≤−⋅−=− 4x44x1x5)

Lo que demuestra formalmente que el xlím −4→x

Veamos ahora gráficamente que para un valor positiv εo de dado, la imagen f(x) de todo punto encuentra en el entor )5(Iε :

2/1

x del entorno reducido )4(I*δ se no

• Tomemos por ejemplo 2=ε , entonces )4/,1(mín =ε=δ .

• Asignemos estos valores a las variables ε y δ . (70) Toque la siguiente secuencia de botones:

. • De e era hemo o el valor sta man s asignad 2 a la variable ε .

e secuencia de(71) Toque [Acción] [Lista – Calcular ►] [min]. (72) Toque la siguient botones:

• Se ha asignado el valor para δ en función de ε

( 2/1)4/,1(mín =ε=δ ).

Figura 18


Figura 19

• Asignaremos a las variables m y M los valores respectivos mínimo y máximo de f en el intervalo cerrado [ ]+δ− δ4, . 4

(73) Toque [Acción] [Cálculo ►] [fMin]. (74) Toque la siguiente secuencia de botones:

. • e el valor mínimo buscado es 4/13mObserve qu = .

(75) Toque la siguiente secuencia de botones:


. • f en [ ]− δ + δEsto asigna a la variable m el valor mínimo de 4,4

Asignamos el valor máximo de f en el in e M

.

• tervalo a la variabl . (76) Toque [Acción] [Cálculo ►] [fMax]. (77) Toque la siguiente secuencia de botones:

. • El valor máximo buscado es 4/25M = .

(78) Toque la secuencia de botones:

. • Hasta aquí su calculadora debe pre mostrada en la

Figura 19. sentar la pantalla

a de la función f: • Realicem o de la gráfios ahora el trazad c

(79) Toque . [Borrar to .

(82 e

(80) Toque [Edit] do] [Acep.](81) Oprima [Keyboard].

) Edite en la línea y1: la expresión f(x) y toqu

Figura 20

. Utilice para ello el teclado abc.

(83) Toque para trazar la gráfica de la función y maximizar la ventana de gráficos.

(84) Toque para activar la ventana de visua(85) En el cuadro de diálogo configure los sigui

lización. entes parámetros:

la: 1

(86) [Acep.] para o tene la pan l de l 20.

1:Mínx − ; 7:.máx ; escala: 1 1:Míny − ; 9:.máx ; esca

Toque b r ta la a Figura • Tracemos ahora la banda horizontal que corresponde a los puntos

)y,x( con y en el entorno del límite ] [+ε− 5,5 ε .

(87) Toque y active el teclado virtual.

(88) Edite en la línea y2: el número 5 y toque . (89) En la ba ús toqurra de men e [Tipo] [Tipo y >]. Edite en la línea

expresión ε−5 . Toque la línea y3: la

al lado de la expresión ed

el estilo [Cruces] y toque [Acep.] itada.

Seleccione .

Figura 21


(90) Toque [Tipo] [Tipo y <]. Edite en la línea y4: la expresión ε+5 . Toque la línea al lado de la

[Cruc expresión editada. Seleccione el estilo es] y toque [Acep.] .

(91) Toque para visualizar toda la pantalla. • Tenemos tra a b n n l rrespon e a lo p ntos con y en el entorno del

límite ).

ntos con x en el entorno reducido

zad la a da horizo ta que co d s u )y,x(] [ε+ε− 5,5 (Figura 21

• Tracemos ahora la banda vertical que corresponde a los pu )y,x(del punto 4x = .

(92) Toque y active l t la o e ec d virtual. (93) En la barra de menús toque [Tipo] [Tipo x =].

(94) Edite en la línea x5: el número 4 y toque . (95) Toque [Tipo] [Tipo x >]. Edite en la línea x6: la expresión δ−4 .

Seleccione el estilo [Cruces] y toque [Acep.] . (96) Toque [Tip ] [Tipo x < . i en l lí a expresióo ] Ed te a ne x7: la n δ+4 ..

Seleccione el estilo [Cruc ] toqu es y e ][Acep. .

(97) Toque para visualizar toda la pantalla. • Se observa ahora la intersección de las dos bandas trazad as

formando un r ulo d n cuentra gráfica de f para todos los valores de x en el entorno reducido del punto 4x

ectáng o de se en la= .

Visualicemo• s ahora la banda horizontal que representa el heque las imágenes f(x) de los puntos x en el entorno re


cho de ducido

4x = caen en el entorno d 5Ldel

punto el límite = .

(98) Toque y active el teclado virtual mth.

y >]. En la línea y7: toque (99) Toque [Tipo] [Tipo y seleccione el estilo [Cuadrados]. Toque [Acep.] .

(100) Toque [Tipo] [Tipo y <]. En la línea y8: toque y oselecci ne el estilo [Cuadrados]. Toque [Acep.] .

(101) Toque para visualizar toda la pantalla. ue se encuentre

e en el entorno del límite L = 5.

• Como puede observarse, para cualquier punto x qen el entorno reducido del punto x = 4 su imagen f(x) ca

Figura 22

Figura 23

10. Desarrolle la siguiente actividad: Ingrese nuevamente en la Aplicaci Principal yi) ón realice únicamente los siguientes cambios: asigne a la variable ε el valor 1 y toque . Con esto el histórico de cálculo actualiza todas

valores de m y M deben actualizarse. Asigne los nuevos

línea y1

las instrucciones. Observe que losvalores a estas variables.

ii) Ingrese a la Aplicación Gráficos & Tablas. Con el cursor en la : toque siete la gráfica e que se

5.1veces para actualizar todas las ediciones de expresiones. Trace obtiene la misma conclusión anterior. Repita el experimento para

y observ=ε .


11. Realce una actividad análoga a la del inciso 8 para visualizar grá51x2lím −=+ .

ficamente que

3x −→

12. Con iz y papel calcule algebraicamente la Aplicació Principal para corrob

láp cada uno de los siguientes límites, luego utilice n orar sus resultados.

a) 1x

1x31x +−

−−+

→

3x2xxlím

23 b)

341

−

−

2xx3lím

5x −

+

→ c) 21x )1x(

1x2xlím−

+−

→

n punto y en un intervalo.

33 2

7.2 Continuidad de una función en u

La idea intuitiva de la continuidad de una función radican dominio d tener qu levantar el lá

en el hecho de que podemos dibujar su gráfica e la función no presenta

cisar esta idea de continuidad n en un punto.

• Una función f es cont ax

en u ado sin e piz, es decir, la gráfica dinterrupciones, ni cambios abruptos en ningún punto de su dominio. Para prees necesario definir lo que significa continuidad de una funció

=


inua en si y )a(f sólo si )x(flímax

=→

una función f en el punto antes que debe satisfacer

en un intervalo abierto que

on el valor que toma la funció en ax = .

s que f no es continua en el

Como estrategia de trabajo, cuando queramos establecer la continuidad deax = bajo esta definición, debemos examinar tres condiciones import

simultáneamente f en ax = y que están implícitas en la definición anterior: (1) Es posible calcular f(a), es decir, a pertenece al dominio de f. (2) L)x(flím

ax=

→ (existe). De modo que f debe estar al menos definida

contiene al punto a. (3) )a(fL = , el valor del límite debe coincidir c n fSi al menos una de estas tres condiciones no se verifica, entonces decimo

punto ax = o que f es discontinua en ax = . Para compsiguientes gráficas de una función f en el punto 2x

render esto, examinemos cada una de las = .

Figura 24

Figura 25

f no es continua en 2x = f no es continua en 2x =



Figura 26

2x = , el círculo sin relleno cond está verificando para f y en

consecuencia es di = .

o n

Figura 27

f es continua en 2x = f no es continua en 2x =

f no está definida La unción f cuya gráfica se presenta en la Figura 24sobre su gráfica, indica que no es posible calcular f(2). La ición (1)

en no se

f 2xEn la Figura 25 se presenta la gráfica de una función f que está definida en 2x = . El círculo relleno

resalta este hecho y n s i dica que f(2) = 1. Además 3)x(flím2x

scontinua en

=→

, el límite existe con valor L = 3. De

manera que f satisface (1) y (2). Sin embargo, la condición (3) no se está )2(fverificando ( 13L =≠= ). La f es d

gráfica de una función f que verifica las tres condici 2x = . En este función iscontinua en 2x = .

La Figura 26 presenta lanemos una función con

ones en caso te tinua en 2x = .

La Figura 27 muestra la gráfica de una función f que está definida en 2x = , aquí 1)2(f = , pero )x(flím

2x→ no existe dado que 3)x(flím

2x=

−→ y 4)x(flím

2x=

+→. Los límites laterales existen pero con

valores diferentes. La condición (2) no se está cu nmplie do y por los tanto 2= . Existe también el concepto de continuidad lateral en un punto. Este concepto se enuncia de la siguiente

manera: • Una función f es continua a la izquier ax

f es discontinua en x

da de = si y s )a(f= .

• Una función f es continua a la derech a

ólo si )x(flímax −→

a de x = si y )a(f .

Para establecer que una función es n cualquie laterales, es necesario examinar los tres casos anteriores. La condición (2) debe sustituirse por el límite lateral correspondiente.

La continuidad lateral es importante en el estudio de la continuidad de una función f en un punto ax

sólo si )x(flím =ax +→

ra de los casos continua e

= que es extremo del dominio o es el extremo de un intervalo cerrado o semiabierto.

La Figura 28 presenta la gráfica de una función f que es continua a la izquierda de 2x = . Aquí tenemos que 3)2(f = y 3)x(flím = de modo que L3)2(f

2x −→= = .

de la funci Figura 29 satisface 4)2(f = 4)x(flímDe manera análoga la grafica ón f de la y 2x

=+→

teniéndose entonces ondición L4)2(f la última c == . La función f es continua a la derecha de 2x = .

Sin emba presentada en la Figura ad ni a la quierda, ni a la derecha de 2x .

rgo, observe que la=

función f 27 no presenta continuidiz


Figura 28

Figura 29

f es c 2 ontinua a la derecha x de


f es con 2xtinua a la izquier da de = =

De la discusión anterior se deduce el siguiente resultado matemático: • Una función f es continua en ax = si y sólo si f es continua a la izquierda y a la derecha de

ax = . Definida la continuidad de una función en un punto podemos definir la continuidad de un función en un

intervalo: • Una función f es continua en un intervalo si la misma es continua en c ese

intervalo. En un punto extremo del intervalo, se entenderá que continua quier continuidad a la derecha

ada punto dee significar

o continuidad a la izquierda.

r lo n punto

Entenderemos por esta definición que: • Una función no es continua en un intervalo dado cuando existe po menos u en

ese intervalo donde la función es discontinua.

Figura 30

[ [−

que

Figura 31

f es continua en [ ]2,2− f es continua 2,2

en

La función f cuya gráfica se presenta en la Figura 30 es continua en cada punto del intervalo cerrado [ ]2,2− . Decimos entonces f es continua en el intervalo [ ]2,2− . En particular, f es continua a la


Prof. Robinson Arcos

izqui 2x −= y a la derech 2x

Departamento Matemática Aplicada19

erda de a de = . a manera, la funció cuya gráfica está representada en la Figura 31, también es continua

o del intervalo semiDe la mism

en cada puntn f

abierto [ [ y en consecuencia es continua en el intervalo [ [− −2,2 2,2 . Aquí inua a la izqu , pero como el 2xf es cont ierda de x 2−= punto no pertenece al intervalo [ [= 2,2− , no se con para efecto la continuidsidera s del estudio de ad de f en [ [− 2,2 .

ones cuyas gráfi tán representadas en las Figuras 32 y 33 nos son continuas en los intervalo dos, ya que cad e ellos contiene 0x

Las funcis da

cas esa uno d al punto = donde las funciones presentan una

discontin d.

uida

Figura 32

Figura 33

f no es continua en [ ]2,2− f no es continua en [ [2,2−

f en un punto axLas discontinuidades de una función = pueden cl discontinuidades evit

2x

asificarse enables y no evitables (o esenciales). Cuando la condición (2) se pune de manifiesto pero (1) o (3)

fallan, la discontinuidad en el punto se denomina evitable. Las funciones f cuyas gráficas se encuentran en las Figuras 24 y 25 presentan discontinuidades evitables en = por el hecho de que pueden redefinirse

e m ue (1) y (3) se cumpl grando de est e sean continuas en el punto 2x = . (2) no se cumple cir, el lí f no existe en el punto dado, se dice en este

ca iscontinuidad f unto es no ev plo, para las s cuyas gráficas se pres las Figuras 28 y tienen una discontin no evitable en 2x

d anera q Cuando

so que la dentan en

an, lo, es de

en el p29

e modo qumite de la funció

itableuidad

n . Por ejem funcione

= . último comentario, e is de la continuidad una función f en un intervalo se basa en el uso de

los si tes teoremas: • Si las funciones f y as en el punto ax

Comoguien

l anális

g son continu = , entonces gf + , gf − , gf ⋅ y g/f son también continuas en . En el cociente se entiende que 0)a(gax = ≠ .

• Si f es continua en x y g es continu a )a(g= a en x = , entonce axs f go es continua en = .

• )x(ga

Lx Si límx→

L= y f es continua en = , entonces límaxax ⎠⎝ →→

ontinua en u ve su inversa es también continua en f(I).

ción es con un interv cualquier interv lo contenido en

• alor absoluto, polinómicas, ciales y logarítmicas son co cualquier intervalo contenido en sus respectivos dominios.

)L(f . )x(g ⎟⎞lím⎜

⎛f))x =(g(f =

• s c

•

Si f e

Si una fun

Las f

n interv

tinua en

tes, ntinúas en

alo I e in rtible en ese mismo intervalo, entonces

alo I, entonces también lo será en a I.

unciones constan v trigonométricas, exponen

Por esta razón 02senxlímsenx(

)x)(x(límsenx

xsenlímxx

22

x=π=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛π+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π+π−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

π−π−

π→π→π→

) ⎠π


13. Encuentre los valores que deben tomar los parámetros a y b para que la función definida por:

⎪⎨ π≤π−+

−= sibxasen

2/xsixsen2)x(f

⎪⎩ <π x2/sixcos

sea continu

⎧≤π−<x2/ 2/

a en el conjunto de los números reales.

Solución a la situación problemática presentada: En primer término tengamos presente que las funciones constantes y las funciones sen y cos son

continuas en el conjunto de los números reales. Por la discusión anterior, la función senx2)x(g −= es continua en R por ser el producto de dos funciones continuas en R, en particular tambi a en el intervalo ] [2/,π∞− . Por un razonamiento semejante se puede concluir que las fun basenx

én es continuciones )x(h +=

[ ]2/,2/ ππ− y que la función xcos)x(res continua en es continua en ] [∞+= π , . De manes. Sin embargo, los tres tro

pende de los valores qumos hacerla

2/ ue la rada por tres gráficas continua os no

onen una sola gr scontinuidades en e le ros a y b. la funci tonces continua en

2/x π−= y x =

ra qz

continua

gráfica de fnecesariameasignemos cada uno de

está integnte comp

a los parámet los puntos

trozos de áfica sin di

ón será en2/π .

R, esto deen R si logra

Utilicemos la ClassPad para observar la gráfica de f para va

14.

lores particulares de a y b:

Operación co sPad.

102) Active la Aplicación Principal. (10

n la Clas

(3) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.]. • Realicemos tareas de limpieza en el Administrador de variables:

(104) Toque [Adm. de variable]. En el cuadro de d o toque [Main] dos veces. Toque luego [Todo] [Seleccionar todo]. Toque

iálog

ahora [Edit] [Borrar] [Acep.]. Toque [Cerr.] dos veces para regresar al área de trabajo.

(105) Oprima la tecla .: • Asignemos a las variables a y b los valores 2 y 3 respectivamente.

(106) Toque la secuencia de botones:

(Figura 34). • Activemos ahora la Aplicación Gráficos & Tablas.

(107) Toque .

Figura 34

(108) t] [Borrar todo] [Acep.]. Toque [Edi

(109) Active el teclado virtual y toque . (110) Edite en la línea y1: la expresión )xsin(2− .

(111) Seguidamente toque la secuencia de botones y teclas: . (112) Edite en la línea y2: la expresión b)xsin(a + tocando la siguiente secuencia de botones:


. a de bot teclas: (113) Seguidamente toque la secuenci ones y


. (114 Finalmente edite en la línea y3: la expresión )xcos( y )

seguidamente toque la secuencia de botones:

.

(115 ) Toque y luego toque [Memoria] [Trigonométrico] [Acep.]

(116)

.

Toque para visualizar la gráfica de f y maximizar la pantalla.

(117) Oprima la tecla para realizar un alejamiento. • Observe que para el caso 2a = y 3b = la gráfica de f está

integrada por tres trozos, cada uno de ellos continuos pero los tres no integran una gráfica continua en R. La gráfica de f presenta di ades en 2/x π−= y 2/xscontinuid π= .

Figura 35

Calculemos ahora los valores de a y b que hacen de f una función continua en R. Para lograr que f sea continua en R, debemos hacerla continua en cada uno de los puntos 2/x π−= y

2/x π= . • Continuidad en 2/x π−= : Tenemos po bar una parte que b)2/(asen)2/(f +−=+π−=π− . Por otra parte:

2)2/(sen2)x(sen2lím)x(flím2/x2/x

− −π=−=−π−→

)2/(asenb)x(asenlím)x(flím

−π−→= .

bab +−2/x2/x

=+π−=+=+π−→

n 2/x

+π−→.

De estos cálculos se deduce que la continuidad e π−= se obtiene si: 2ba)2/(f)x(flím)x(flím

2/x2/x+−=π−==

+π−→−π−→

De manera que los parámetros a y b deben satisfacer la condición

= .

2ba =+− para asegurar la continuidad de f en 2/x π−= . Por ejemplo, si 2a = entonces 4b = .

Utilicemos la ClassPad pa

ra o r este caso

(120) Cambie en el históric de cálculo el val r actu b po

bserva :

(118) Active la Aplicación Principal. (119) Active el teclado virtual.

o o al asignado a r 4 y toque .

(121) Toque .

(122) Oprima tres veces la tecla para actualizar las funciones qu

(123

e se han registrado en el editor de gráficos.

) Toque para visualizar la gráfica de f y maximizar la pantalla.

• Observe que en este caso para 2a = y 4b = se obtiene una gráfica de f que es continua en x 2/π−= pero s

2/π= . no e continua en

x


Figura 36



Calcule os alores de a y 2/= πm los v b que hacen a f continua en x .

b• Continuidad en 2/x π= : Para este caso tenemos ab)2/(asen)2/(f +=+π=π . Para los límites laterales se tiene:

ba +b)2/(asenb)2/x2/x

x() asenlímx(flím =+π=+= . −π→−π→

0)2/cos()xcos(lím)x(flím2/x2/x

=π==+π→+π→

.

d0ba)2/(f)

La continuida de f en 2/x π= se obtiene si: x(flím)x(flím

2/x2/x==

+π→−π→π = + = .

Los parámetros a y b deben satisfacer la condición 0ba =+ para ase2/x π= .

En consecuencia la continuidad de f en R

gurar la continuidad de f en

s tendrá si se cumplen simultánea las do diciones 2ba =+− y 0ba =+ . Por simple insp se deduce que los parám b deben

e obección

mente etros a y

sconsatisfacer 1a −= y 1b = .

Utilicemos nuevamente la ClassPad para observar la gráfica final de f:

(124) Active la Aplicación Principal.

(126) Cambie en el histórico de cálculo el valor asignado al parámetropor 1− y

(125) Active el teclado virtual. a

toque .

(127) Cambie el valor de asignado a b por 1 y toque .

(128) Toque .

(129) Oprima tres veces la tecla para actualizar las funciones que se han registrado en el editor de gráficos.

(130) Toque para visualizar la gráfica de fpantalla.

y maximizar la

Figura 37 (131) Oprima la tecla para realizar un acercamiento.

de una función continua en R. • Tenemos ahora la gráfica

15. En cada una de las siguientes funciones encuentre los valores que deben asumir los parámetros a y b para que la función sea continua en R.

a)

⎪⎪

⎪

⎩

−≤ 1xsi1

<≤

<

x1x

0

⎪⎨

≤+

<+=

x1si1x1xsibax)x(f

2 ; b) ⎪⎪

⎨ −= siax)x(f

⎧ −x3

⎪⎪⎩

⎧

≤1sibx

0xsie

2

x

16. A continuación se presenta la gráfica de una función f. De acuerconteste a las preguntas que a continuación se le formulan:

do a la observación gráfica


Figura 38

la función?

itable?, ¿cuál?

+

tinua en 5x −= ?, ¿por qué?

e) ¿Es f continua a la izquierda de 2x

a) ¿Cuál es el dominio de b) ¿Existe un punto donde la discontinuidad de f es ev

c) ¿Cuál es el valor de )x(flím2x −−→

y de )x(flím ? 2x −→

d) ¿Es f con

= ?, ¿por qué?

f) ¿Es f continua a la derecha de 2x

= ?, ¿por qué?

g) ¿Existe )x(flím

2x −→?, ¿por qué?

h) ¿Existe )x(flím3x −→

?, ¿por qué?

Departamento Matemática Aplicada 23Prof. Robinson Arcos

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