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Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

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ALGEBRA LINEAL

ACTIVIDAD 3. MÉTODO DE GAUSS

PROFESORA: DALIA ANAID SILVA VILLASEÑOR

ALUMNO: JUAN ENRIQUE GARCÍA RAMÍREZ

MATRÍCULA: AL12500584

3 DE OCTUBRE DE 2012


Problema

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron

4.5 litros de la sustancia final.


2


2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron

12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)

se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Realiza lo siguiente:

1. Retoma los resultados de la Actividad 2: Representación matricial, mismos que publicaron en la base de datos y resuelve el problema por el método de Gauss.

2. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia

3. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.

DESARROLLO DEL TRABAJO.

La matriz siguiente es la propuesta generada para obtener las cifras que se están buscando a partir de la solución del problema mediante las ecuaciones simultáneas.

Sistema de ecuaciones.


3


20796

12364

5.422

zyx

zyx

zyx

Matriz.

697

463

221

A

20

12

5.4

B

20697

12463

5.4221

BA

Método de Gauss

20697

12463

5.4221

BA

275

150

53

X

A continuación se genera la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:

20697

12463

5.4221

A

Se busca la forma reducida de la matriz:

0475.01 xx

0410/112 xx


4


045/43 xx

Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:

4

3

2

1

x

x

x

x

x

= 1

5/4

10/11

75.0

4

x

La matriz aumentada queda de la manera siguiente:

2, 6 y 7 se llaman pivotes, se pueden despejar las incógnitas usándolos como base; pero me es más sencillo si despejo usando las x de cada renglón.

En este caso voy a dividir el primer renglón o fila (de aquí en adelante) por entre 2, F2 – F1

Se multiplica por ½ toda la fila 1

Se multiplica por -4 y se suma a la fila 2

En la fila 3 se debe operar así: -6 * fila 1 + fila 3


5


Ahora el 2 de la fila 2 se multiplica por ½

Ahora la fila 1 se multiplica y suma y resta así: -1*f2+f1

La fila 3 operará así: -3*f2+f3

La fila 3 se multiplicará por 2/5

La fila 2 se multiplica por -1/2

Con esto se determina los valores de las incógnitas por medio de Gauss – Jordan

Los valores para las incógnitas son:


6


x=0.75

y= 11/10

z= 4/5

o x= 0.75, y= 1.1 y z= 0.8

Para encontrar los determinantes x, y y z, se realiza lo siguiente

Se obtiene la determinante del sistema:

= ((6*6*1)+(9*3*2)+(7*4*2)) – ((9*4*1)+(6*3*2)+(7*6*2))= (36+54+56)-(36+36+84)=

(146)-(156)= -10

La determinante del sistema es -10

Ahora se calculará la determinante x:

x= (120+121.5+168) – (108+120+189)= (409.5)-(417) = -7.5

La Determinante x del sistema es -7.5

Ahora se calculará la determinante y:


7


y= ((6*12*1)+(20*3*2)+(7*4*4.5)) – ((20*4*1)+(6*3*4.5)+(7*12*2))=

y= (318)-(329)

y= -11

La determinante y es igual a -11-

Ahora se calcula la determinante z.

z= ((6*6*4.5)+(9*12*2)+(20*4*2)) – ((4*9*4.5)+(6*12*2)+(20*6*2))=

z= (162+216+160) – (162 + 144 + 240)=

z= (538) – (546)

z= -8

La determinante z tiene un valor de -8.

Ahora se deben solucionar los valores para las determinaciones de cada una de las ecuaciones dadas.

Δ = -10

Δx = -7.5

Δy = -11

Δz = -8

Para la determinante x:

Para la determinante y:


8


Para la determinante z:

Ahora se comprueban las determinantes en las ecuaciones originales:

Se sustituyen las incógnitas x, y, z por aquellos valores respectivos en las determinantes x, y z.

Por lo que la primera ecuación está correcta.

Ahora se realiza la comprobación en la segunda ecuación.

Con lo cual se comprueba que la segunda ecuación también está correcta.

Ahora se comprobará para la tercera ecuación.

Con lo que se comprueba que la tercera ecuación también está correcta.

Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera


9


Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 1.1 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 0.8 litros

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.

Por el sistema de Cramer.

Se representa el sistema de ecuaciones en formato de matriz

Se calculan los determinantes colocando todo en pequeñas partes


10


Ahora se debe aplicar

Para


11


Para

BIBLIOGRAFÍA

El aula virtual del álgebra lineal

http://algebra-lineal.blogspot.mx/2006/07/aplicaciones-de-lgebra-lineal-para.html

Álgebra Lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_lineal

Álgebra Lineal: Conceptos básicos http://cnx.org/content/m12862/latest/

Chang, R. Química. (1995) México: McGraw-Hill, 4ª edición, páginas 5 – 9.

Ayres, F, Jr, y Mendelsson, E. Cálculo. (2010) México: Mc Graw-Hill, 5ª Edición. Cápitulo 50: Vectores en el espacio.

Actividad 3 "Superproteina"Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

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http://cnx.org/content/m12862/latest/

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal

http://algebra-lineal.blogspot.mx/2006/07/aplicaciones-de-lgebra-lineal-para.html


EQUIPO: Nereyda Hernández ReyesMiguel Ángel Hernández Carrera

Carlos Eduardo Lozoya LópezMATERIA: Algebra Lineal.

ACTIVIDAD 1ANALISIS DEL PROBLEMA

Hecho que fue el análisis del problema planteado, nuestro equipo hace las siguientes observaciones: a) Se trata de un planteamiento que pide la solución de un problema que surge de la experimentación

con una súper proteína.b) En el proceso de experimentación los investigadores omiten llevar control estricto de sus

procedimientos.c) De igual manera no se lleva control de residuos.d) Los datos con los que se cuentan son confusos, sin embargo abordaremos la solución del sistema de

ecuaciones.Empezaremos por mencionar que una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o mas variables de la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, se trata de una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia, una forma común de ecuaciones lineales es la forma:

Y = m. x + b

Donde “m” representa la pendiente y el valor de “b” determina la ordenada al origen, es decir el punto donde la recta corta el eje “y”.

Las funciones lineales de varias variables admiten pues, interpretaciones geométricas, así una función lineal de dos variables representa un plano y una función.

Ahora bien, los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto para los casos de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, ahora bien, tratándose del planteamiento de nuestro problema, el condicionamiento de tres ecuaciones con tres incógnitas no se cumple, por lo que el tratamiento en este caso es singular, es decir, no podemos aplicar el sistema matricial para resolverlo, pues aunque si son tres ecuaciones, tenemos cuatro incógnitas, dado que se desconoce el volumen del accidente científico que se recolecto como éxito del experimento.

Entonces para la solución del caso, tomaremos para resolverlo el método de eliminación pues según los datos recabados, es el que nos va a llevar a resolver el sistema de ecuaciones de forma muy sencilla.

Asignaremos las literales “a, b, y c” a las sustancias usadas en el experimento.


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Según el planteamiento se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera, lo que traducimos en la siguiente expresión algebraica:

m lts. = 6a + 9b + 7c

En la primera prueba se Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera, obteniendo 4.5 litros de la sustancia final, lo que igual expresamos como:

4.5 lts = 2a + 2b + 1c

En la segunda prueba se utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, obteniendo 12 litros, que es igual a:

12 = 4a + 6b + 3c

Con lo que nuestro sistema de ecuaciones quedaría:

1.- m = 6a + 9b + 7c2.- 4.5 = 2a + 2b + 1c3.- 12 = 4a + 6b + 3c

Como podemos observar, las ecuaciones dos y tres sí cumplen con ser de tres incógnitas por lo que podemos resolverla por medio del sistema de doble sustitución o por el de eliminación o el de igualación, por lo que procederemos a efectuar los cálculos necesarios en los siguientes términos:


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http://4.bp.blogspot.com/_IPVkqBEREOY/TQlzCML1FJI/AAAAAAAAAB0/NOOgfzEORmk/s1600/1.JPG


Ahora multiplicaremos toda la ecuación correspondiente a la primera prueba por -3, quedando en los siguientes términos:

Sumaremos esta nueva ecuación a la ecuación de la segunda prueba realizada para eliminar incógnitas y acercarnos a la solución, quedando como sigue:

Con lo que obtenemos el valor de a = .75 lts, ahora bien, sustituyendo este valor en la ecuación de la primera prueba tenemos:

Como podemos observar los coeficientes de “b” y “c” sumados con el valor de “2a" suman 4.5, con lo que podemos deducir que “b” y “c” son igual a “1”, y para comprobarlo sustituiremos los valores de “a”, “b” y “c” en la ecuación del segundo experimento para comprobar nuestra aseveración, en los siguientes términos:

Ahora para conocer el volumen “m” del accidente científico haremos la sustitución correspondiente:


15

http://3.bp.blogspot.com/_IPVkqBEREOY/TQlz2-oSN_I/AAAAAAAAAB8/moRuCDi_QUI/s1600/1.JPG

http://3.bp.blogspot.com/_IPVkqBEREOY/TQmBlOSQUQI/AAAAAAAAACc/rTq1SAzeVrM/s1600/1.JPG


Con lo que el planteamiento dado ha quedado resuelto en los términos expuestos.

ALGEBRA LINEAL Y VECTORESPara resolverlo, realiza lo siguiente:

1. Construye tres vectores, el primero con las cantidades que se utilizaron de la sustancia 1; el segundo, con

las cantidades que se utilizaron con las cantidades de la sustancia 2; el tercero, con las cantidades que se

utilizaron con las cantidades de la sustancia 3 en cada prueba.

- Representa geométricamente los vectores dados e indica sus componentes.

Vector A (6, 2,4), Vector B (9, 2,6), Vector C (7, 1,3)

2. Construye tres vectores el primero, con las cantidades de las 3 sustancias que se utilizaron en la prueba 1;

el segundo, con las cantidades de las 3 sustancias que se utilizaron en la prueba 2 y el tercero, con las

cantidades de las 3 sustancias que se utilizaron en la prueba 3.

- Representa geométricamente los vectores dados e indica sus componentes.

Vector A-C (6, 9, 7), Vector 1ª Prueba (2, 2, 1), Vector 2ª Prueba (4, 6, 3)

- Suma los tres vectores que obtuviste para obtener el total de vasos utilizados de cada sustancia para las

tres pruebas.

3. Se nombrarán s1, s2 y s3 a las tres diferentes sustancias. Calcula el producto punto de cada uno de los

vectores de la pregunta 2, con el vector formado por s1, s2 y s3.

Vector A-C (6, 9, 7)

Vector 1ª Prueba (2, 2, 1)

Vector 2ª Prueba (4, 6, 3)

En seguida calcularemos el ángulo de cada uno de los experimentos o pruebas con respecto al vector que resulto de la suma de las sustancias 1, 2 y 3. Utilizando la siguiente fórmula:

Cos θ = u. v / |u|. |v|

Entonces, para el primer experimento (accidente científico), tenemos que:

Cos θ = (A – C) (S123) / |A - C|. |S123|

Cos θ = 302 / Ѵ (6)2+ (9)2+ (7)2 . Ѵ (12)2+ (17)2+ (11)2

Cos θ = 302 / Ѵ166. Ѵ544

θ = Cos-1(302/Ѵ91964)

θ = 5.22 grados (Angulo de la primera prueba que corresponde al accidente científico con respecto a S123).

Para el segundo experimento, tenemos:


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Cos θ = (P2) (S123) / |P2|. |S123|

Cos θ = 69 / Ѵ (2)2+ (2)2+ (1)2 . Ѵ (12)2+ (17)2+ (11)2

Cos θ = 69 / Ѵ9. Ѵ544

θ = Cos-1(69/Ѵ4986)

θ = 12.26 grados (Angulo del Segundo experimento o primer prueba con respecto a S123).

Y finalmente, para el tercer experimento:

Cos θ = (P3) (S123) / |P3|. |S123|

Cos θ = 183 / Ѵ (4)2+ (6)2+ (3)2 . Ѵ (12)2+ (17)2+ (11)2

Cos θ = 183 / Ѵ61. Ѵ544

θ = Cos-1(183/Ѵ33794)

θ = 5.45 grados (Angulo del tercer experimento o segunda prueba con respecto a S123).

CONCLUSION.Por lo tanto podemos concluir, que la segunda prueba contiene las medidas más cercanas en las cantidades de las sustancias buscadas del accidente científico.


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