@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U.D. 11 * 3º ESO E.AC.

GRÁFICAS Y FUNCIONES

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

U.D. 11.9 * 3º ESO E.AC.

SIMETRÍAS EN LAS FUNCIONES

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

SIMETRÍAS• Sea la función y = f(x).• • Si se cumple que f(x) = f(-x) Hay SIMETRÍA PAR

• Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y.• O sea que el eje de las y es eje de simetría de la función.

• Si se cumple que f(x) = - f(-x) Hay SIMETRÍA IMPAR

• Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas, el (0 , 0).

• O sea que lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante.

• ¡Atención! • No existe simetría respecto al eje de abscisas, eje de las x.• Si una gráfica la presentara, no sería de una función.

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

• Ejemplo 1: Sea la función f(x) = x2

• Como x2 = (-x) 2 , entonces f(x) = f(-x) Hay simetría PAR

• Ejemplo 2: Sea la función f(x) = x3

• Como x3 = - (-x) 3 , entonces f(x) = - f(-x) Hay simetría IMPAR

Ejemplos

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

• Ejemplo 3: Sea y = x2 - 2

• Tabla de valores

• x y

• -3 9 – 2 = 7• -2 4 – 2 = 2• -1 1 – 2 = - 1• 0 0 – 2 = - 2• 1 1 – 2 = - 1• 2 4 – 2 = 2• 3 9 – 2 = 7

• Vemos que presenta una simetría par:

• f(x) = f(-x)• x2 - 2 = (-x)2 - 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

y7

- 1

2

- 2

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

• Ejemplo 5: • Sea f(x) = - x3 + 4x

• Tabla de valores

• x y

• -3 27 – 12 = 15 • -2 8 – 8 = 0 • -1 1 – 4 = – 3 • 0 – 0 + 0 = 0• 1 – 1 + 4 = 3• 2 – 8 + 8 = 0 • 3 – 27 + 12 = – 15

• Vemos que presenta una simetría impar:• f(x) = – f(– x)• – x3 + 4.x = – [– (– x)3 + 4.(– x)]• – x3 + 4.x = – [– (– x3) – 4.x)]• – x3 + 4.x = – [x3 – 4.x)]

- 3 -2 - 1 0 1 2 3 x

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

- 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

• Ejemplo 6: Sea f(x) = 4 / x

• Tabla de valores

• x y = f(x)

• - 4 - 4/4 = - 1• - 3 - 4/3 = - 1,33• - 2 - 4/2 = - 2 • -1 - 4/1 = - 4• 0 4 / 0 = NO EXISTE• 1 4 / 1 = 4• 2 4 / 2 = 2• 3 4 / 3 = 1,33 • 4 4 / 4 = 1

• Vemos que presenta una simetría impar:

• f(x) = – f(– x)• 4 / x = – [4 / (– x)] = 4 / x

y

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

• Ejemplo 8• Sea f(x) = x /(x2 + 1)

• Dom f(x) = R• Tabla de valores• x y=f(x)

• -3 -0,30• -2 -0,40• -1 -0,50• 0 0• 1 0,50• 2 0,40• 3 0,30• • Vemos que es función impar:• f(x) = - f(-x)• x /(x2 + 1) = - [(-x) /((-x)2 + 1)]• x /(x2 + 1) = - [- x /(x2 + 1)]• x /(x2 + 1) = - [- x /(x2 + 1)]

-2 -1 0 1 2 x

y

-1

-0

,5

0

,5

1

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

RESUMEN DE SIMETRÍAS• Las funciones lineales NUNCA tienen simetría par.• Las funciones lineales SIEMPRE tienen simetría impar.

• Las funciones afines NUNCA tienen simetría par.• Las funciones afines NUNCA tienen simetría impar.

• Las funciones cuadráticas SÓLO tienen simetría par si el vértice es un punto del eje de ordenadas OY.

• Las funciones cuadráticas NUNCA tienen simetría impar.

• Las funciones cúbicas NUNCA tienen simetría par.• Las funciones cúbicas SÓLO tienen simetría impar si presentan la

siguiente expresión: F(x) = a.x3 + b.x

• Las funciones inversas NUNCA tienen simetría par.• Las funciones inversas SÓLO tienen simetría impar si F(x) = a / x

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

• PERIODICIDAD• • Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma y valores

se repiten a intervalos iguales.

• La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, P.• • Si se cumple que f(x) = f(x + n.P), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … )• Entonces la función es periódica y de periodo P.

• Ejemplos de funciones periódicas• Con periodo t = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una

vivienda, aunque sea de forma aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años.

FUNCIONES PERIÓDICAS

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

5mn 10 mn 5 mn 5 mn

• Ejemplo 1 La noria.

5mn 10 mn 5 mn 5 mn

P = 25 mn

• En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros.• Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando.• Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta• Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse.• Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. • El periodo es t = 25 mn

P = 25 mn

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

• EJEMPLO_2 La electricidad

• La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas.

• Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º . En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos.

• En América, el periodo es de 1 / 60 = 0,016 segundos, razón por la que no conviene adquirir electrodomésticos americanos que no estén modificados.

P = 0,02 s P = 0,02 s