€¦ · Author: Administrator Created Date: 4/23/2014 9:41:29 PM
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ANTES DE COMENZAR… RECUERDA Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios. a) x d) −4f 8 g) 7xyz 5 b) 5y e) 2xy 2 h) −4ydf 8 c) 7z 5 f) 5yzd 3 a) Coeficiente: 1 Parte literal: x Grado: 1 b) Coeficiente: 5 Parte literal: y Grado: 1 c) Coeficiente: 7 Parte literal: z 5 Grado: 5 d) Coeficiente: −4 Parte literal: f 8 Grado: 8 e) Coeficiente: 2 Parte literal: xy 2 Grado: 3 f) Coeficiente: 5 Parte literal: yzd 3 Grado: 5 g) Coeficiente: 7 Parte literal: xyz 5 Grado: 7 h) Coeficiente: −4 Parte literal: ydf 8 Grado: 10 Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto. a) xyz , xy e y b) ab, a 2 b y7b c) 87xy 2 y 7x 2 y a) No b) No c) No Haz estas operaciones. a) 3xy + 8xy + 9xy c) 10xy 2 ⋅ 6x 2 y b) 11a 2 b − 15a 2 b + 7a 2 b d) 15x 8 :3x 3 a) 20xy c) 60x 3 y 3 b) 3a 2 b d) 5x 5 Aplica la propiedad distributiva en las siguientes expresiones. a) 7(x + 2) c) (− 2x )(3x 2 −4x + 7) b) 3x(x −5) d) 9(x −4) a) 7x + 14 c) −6x 3 + 8x 2 − 14x b) 3x 2 − 15x d) 9x − 36 Saca factor común en las expresiones. a) (2n + 2)3n + (2n + 2)6 b) 4(7n −7) −(7n −7)(4n −8) a) (2n + 2)(3n + 6) b) (7n − 7)(4 − (4n − 8)) = 7(n − 1)(12 − 4n) Desarrolla las siguientes igualdades notables. a) (x + 3y ) 2 b) (3x 3 −a 2 ) 2 c) (x + x 3 )(x −x 3 ) a) x 2 + 6xy + 9y 2 b) 9x 6 − 6x 3 a 2 + a 4 c) x 2 − x 6 006 005 004 003 002 001 3 SOLUCIONARIO 83
Transcript of €¦ · Author: Administrator Created Date: 4/23/2014 9:41:29 PM
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios.
a) x d) −4f 8 g) 7xyz 5
b) 5y e) 2xy 2 h) −4ydf 8
c) 7z 5 f ) 5yzd 3
a) Coeficiente: 1 Parte literal: x Grado: 1
b) Coeficiente: 5 Parte literal: y Grado: 1
c) Coeficiente: 7 Parte literal: z 5 Grado: 5
d) Coeficiente: −4 Parte literal: f 8 Grado: 8
e) Coeficiente: 2 Parte literal: xy 2 Grado: 3
f ) Coeficiente: 5 Parte literal: yzd 3 Grado: 5
g) Coeficiente: 7 Parte literal: xyz 5 Grado: 7
h) Coeficiente: −4 Parte literal: ydf 8 Grado: 10
Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto.
a) xyz , xy e y b) ab, a 2b y 7b c) 87xy2 y 7x 2y
a) No b) No c) No
Haz estas operaciones.
a) 3xy + 8xy + 9xy c) 10xy 2 ⋅ 6x 2y
b) 11a 2b − 15a 2b + 7a 2b d) 15x 8 : 3x 3
a) 20xy c) 60x 3y 3
b) 3a 2b d) 5x 5
Aplica la propiedad distributiva en las siguientes expresiones.
a) 7(x + 2) c) (−2x )(3x 2 −4x + 7)
b) 3x(x −5) d) 9(x −4)
a) 7x + 14 c) −6x3 + 8x 2 − 14x
b) 3x2 − 15x d) 9x − 36
Saca factor común en las expresiones.
a) (2n + 2)3n + (2n + 2)6 b) 4(7n −7) − (7n −7)(4n −8)
a) (2n + 2)(3n + 6)
b) (7n − 7)(4 − (4n − 8)) = 7(n − 1)(12 − 4n)
Desarrolla las siguientes igualdades notables.
a) (x + 3y )2 b) (3x 3 −a 2)2 c) (x + x 3)(x −x 3)
a) x 2 + 6xy + 9y 2
b) 9x 6 − 6x 3a 2 + a 4
c) x 2 − x 6
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ACTIVIDADES
Dado P (x) = 4 −3x 2 + x −x 2 −1 −3x, reduce este polinomio y halla su valornumérico para:
a) x = 0 c) x = −1
b) x = 1 d) x = 3
P (x ) = −4x 2 − 2x + 3
a) P (0) = 3
b) P (1) = −4 − 2 + 3 = −3
c) P (−1) = −4 + 2 + 3 = 1
d) P (3) = −36 − 6 + 3 = −39
Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para x = 2.
a) P (x) = 4 −3x 2 + x −x 2 + 1
b) P(x) = x 4 −4 −3x 2 + x −x 2 + 1 −3x 4 −3x
a) P (x ) = −4x 2 + x + 5 → P (2) = −16 + 2 + 5 = −9
b) P (x ) = −2x 4 − 4x 2 − 2x − 3 → P (2) = −32 − 16 − 4 − 3 = −55
Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1.
a) P (x) = x + 1 c) P (x) = x 3 + 1
b) P (x) = x 2 + 1 d) P (x) = x 4 + 1
a) P (1) = 2 c) P (1) = 2
b) P (1) = 2 d) P (1) = 2
Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x n + 1 para x = −1. ¿Qué observas?
P(x) = x n + 1 → P (−1) = (−1)n + 1
Si n es par, entonces: P (−1) = 1 + 1 = 2
Si n es impar, entonces: P (−1) = −1 + 1 = 0
Suma y resta cada par de polinomios.
a) P (x ) = 3x 3 −x −4 Q (x ) = x 3 −x 2 + 3
b) P (x ) = x 7 −8x 4 + 3 Q (x ) = x 5 + 3x 3 −6
c) P (x ) = 10x 4 + x 2 + 1 Q (x ) = x 5 + 7x 2 −x
a) S (x ) = (3x 3 − x − 4) + (x 3 − x 2 + 3) = 4x 3 − x 2 − x − 1
R (x ) = (3x 3 − x − 4) − (x 3 − x 2 + 3) = 2x 3 + x 2 − x − 7
b) S (x ) = (x 7 − 8x 4 + 3) + (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 + x 5 − 8x 4 + 3x 3 − 3
R (x ) = (x 7 − 8x 4 + 3) − (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 − x 5 − 8x 4 − 3x 3 + 9
c) S (x ) = (10x 4 + x 2 + 1) + (x 5 + 7x 2 − x) = x 5 + 10x 4 + 8x 2 − x + 1
R (x ) = (10x 4 + x 2 + 1) − (x 5 + 7x 2 − x) = −x 5 + 10x 4 − 6x 2 + x + 1
005
004
003
002
001
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Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios.
a) R (x ) = x 4 −x + 1 S (x ) = x 2 + 1
b) R (x ) = x + 1 S (x ) = x 2 + x −1
c) R (x ) = 5x 7 −x 8 + 1 S (x ) = x 2 + x 6 −1
a) P (x ) = (x 4 − x + 1) + (x 2 + 1) = x 4 + x 2 − x + 2
Q (x ) = (x 4 − x + 1) − (x 2 + 1) = x 4 − x 2 − x
b) P (x ) = (x + 1) + (x 2 + x − 1) = x 2 + 2x
Q (x ) = (x + 1) − (x 2 + x − 1) = −x 2 + 2
c) P (x ) = (5x 7 − x 8 + 1) + (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 + x 6 + x 2
Q (x ) = (5x 7 − x 8 + 1) − (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 − x 6 − x 2 + 2
Calcula el resultado de multiplicar los siguientes polinomios.
a) R (x ) = x 3 + x + 1 S (x ) = 2x
b) R (x ) = x 3 −1 S (x ) = x
c) R (x ) = x 4 + x S (x ) = x + 3
d) R (x ) = x 5 + 6x + 2 S (x ) = x 3 + x 2
a) P (x ) = (x 3 + x + 1)2x = 2x 4 + 2x 2 + 2x
b) P (x ) = (x 3 − 1)x = x 4 − x
c) P (x ) = (x 4 + x)(x + 3) = x 4(x + 3) + x(x + 3) == x 5 + 3x 4 + x 2 + 3x
d) P (x ) = (x 5 + 6x + 2)(x 3 + x 2) = x 5(x 3 + x 2) + 6x(x 3 + x 2) ++ 2(x 3 + x 2) = x 8 + x 7 + 6x 4 + 6x 3 + 2x 3 + 2x 2 == x 8 + x 7 + 6x 4 + 8x 3 + 2x 2
007
−x 8 + 5x 7 + 1× x 6 + x 2 − 1
x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1− x 10 + 5x 9 − x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 −x 10 + 5x 9 x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 − x 10 + 5x 9 + x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
x 2 + x − 1× x + 1
x 2 + x − 1x 3 + 1x 2 − x + 1
x 3 + 2x 2 + 2 − 1
x 4 − x + 1× x 2 + 1
x 4 − x 3 + x 2 − x + 1x 6 − x 3 − x 3 + x 2 − x + 1
x 6 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
006
3SOLUCIONARIO
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Indica el grado del polinomio resultante de esta operación.
(x 4 −2x + 1)(2x 2 −x + 1)
Es la suma de los grados: 4 + 2 = 6.
Realiza las siguientes divisiones de polinomios, y señala las que son exactas.
a) (x −1) : x
b) (x 2 −1) : (x + 1)
c) (x 2 −5x + 6) : (x −2)
d) (x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 1)
Halla las divisiones y luego comprueba que P (x ) = Q (x ) ⋅ C (x ) + R (x ).
a) (x 3 −1) : x
b) (x 3 −1) : (x + 1)
c) (x 3 −1) : (x 2 −2)
d) (x 3 −1) : x 3
x 3 − 1 = x ⋅ x 2 − 1
−x 3 − 1 x
−x 3 x 2
−x 3 − 1
a)
010
−x 3 + 2x 2 − x + 1 x 2 + 1
−x 3 + 2x 2 − x x + 2 → No es exacta
−x 2 − 2x 2 − x + 1−x 2 − 2x 2 − x − 2
−x 3 + 2x 2 − x − 1
d)
−x 2 − 5x + 6 x − 2
−x 2 + 2x x − 3 → Es exacta
−x 2 − 3x + 6−x 2 + 3x − 6
−x 2 − x 0
c)
−x 2 − x − 1 x + 1
−x 2 − x x − 1 → Es exacta
−x 2 − x − 1−x 2 + x + 1
−x 2 − x + 0
b)
−x − 1 x
−x 1 → No es exacta
−x − 1
a)
009
008
Polinomios y fracciones algebraicas
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x 3 − 1 = (x + 1) (x 2 − x + 1) − 2 = x 3 + 1 − 2
x 3 − 1 = (x 2 − 2)x + 2x − 1 = x 3 − 2x + 2x − 1
x 3 − 1 = x 3 ⋅ 1 − 1
Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) (x 4 + x 3 −5x 2 + 2x −5) : (x + 3)
b) (x 3 −10x 2 + 23x −10) : (x −3)
c) (x 5 −x 4 −x 3 + 2) : (x −1)
d) (−x 6 −x 5 −6x 3 + 10) : (x + 1)
e) (−x 7 + 2x 6 + x 4 −4x 2 + 7x −5) : (−x + 2)
f ) (2x 5 + 6x 4 −x 2 + 9) : (−x −3)
Cociente: x 3 − 2x 2 + x − 1. Resto: −2
Cociente: x 2 − 7x + 2. Resto: −4
Cociente: x 4 − x 2 − x − 1. Resto: 1
1 1 −1 −1 −0 −0 −21 1 −1 −0 −1 −1 −1
1 1 −0 −1 −1 −1 −1
c)
3 1 −10 − 23 −103 1 − 3 −21 −16
3 1 −7 21 −4
b)
−3 1 −1 −5 −2 −5−3 1 −3 −6 −3 −3
−3 1 −2 −1 −1 −2
a)
011
−x 3 − 1 x 3
−x 3 1
−x 3 − 1
d)
−x 3 + 2x − 1 x 2 − 2
−x 3 + 2x x
−x 3 + 2x − 1
c)
−x 3 − x 2 − 1 x + 1
−x 3 − x 2 x 2 − x + 1
−x 2 − x 2 + x − 1−x 2 + x 2 + x
−x 2 − x 2 + x − 1−x 2 − x 2 − x − 1
−x 2 − x 2 − x − 2
b)
3SOLUCIONARIO
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88
Cociente: −x 5 − 6x 2 + 6x − 6. Resto: 16
Cociente: x 6 − x 3 − 2x 2 − 7. Resto: −9
Cociente: −2x 4 + x − 3. Resto: 0
Calcula el valor de m para que las divisiones sean exactas.
a) (x 4 + m) : (x −1)
b) (2x 5 + x 3 + m) : (x + 2)
c) (6x 3 + x 2 + 4x + m) : (x + 1)
d) (2x 7 −4x 6 −2x 3 + x + m) : (x −4)
Una vez que obtengas el valor de m, escribe el dividendo como producto de dos factores.
m + 1 = 0 → m = −1
Descomposición: (x − 1)(x 3 + x 2 + x + 1)
m − 72 = 0 → m = 72
Descomposición: (x + 2)(2x 4 − 4x 3 + 9x 2 − 18x + 36)
m − 9 = 0 → m = 9
Descomposición: (x + 1)(6x 2 − 5x + 9)
m + 16.260 = 0 → m = −16.260, Descomposición: (x − 4)(2x 6 + 4x 5 + 16x 4 + 64x 3 + 254x 2 + 1.016x + 4.065)
3 2 −4 00 00 −2 000.0 000.1 m4 −8 16 64 256 1.016 4.064 16.260
3 2 −4 16 64 254 1.016 4.065 m + 16.260
d)
−3 6 −1 4 m−1 −6 5 −9
−3 6 −5 9 m − 9
c)
−3 2 −0 1 −00 00 m−2 −4 8 −18 36 −72
−3 2 −4 9 −18 36 m − 72
b)
3 1 0 0 0 m1 3 1 1 1 1
3 1 1 1 1 m + 1
a)
012
−3 −2 −6 0 1 −0 −9−3 −1 −6 0 0 −3 −9
−3 −2 −0 0 1 −3 −0
f )
1 1 −2 0 −1 −0 −4 −7 −052 1 −2 0 −0 −2 −4 −0 −14
1 1 −0 0 −1 −2 −0 −7 0−9
e)
−3 −1 −1 0 −6 0 −0 10−1 −1 −1 0 −0 6 −6 06
−3 −1 −0 0 −6 6 −6 16
d)
Polinomios y fracciones algebraicas
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Calcula, mediante el teorema del resto, el valor numérico del polinomio P(x) para los valores de x indicados en cada apartado.
P(x) = x3 − 7x2 + x − 7a) x = 1 c) x = −1 e) x = 3b) x = 5 d) x = 7 f ) x = −5
a)
b)
c)
d)
e)
f )
Dado P(x) = x4 −3x + 2, halla, utilizando la definición de valor numérico y medianteel teorema del resto, su valor para:
a) x = 2 b) x = −1
a) P (x ) = x 4 − 3x + 2 → P (2) = 12
b) P (x ) = x 4 − 3x + 2 → P (−1) = 6
Determina cuánto vale a, sabiendo que el valor numérico de P(x) = x3 −2x2 −3x + a,para x = 2, es nulo: P(2) = 0.
1 2 32 2 0 6
1 0 3 6 6 0 6
− −−
− − − = =
a
a a a→ →
015
1 0 0 3 21 1 1 1 4
1 1 1 4 6 2 12
−− − −
− − =→ P( )
1 0 0 3 22 2 4 8 10
1 2 4 5 12 2 12
−
=→ P( )
014
→ P (−5) = −312
1 −7 1 −7−5 −5 60 −305
1 −12 61 −312
→ P (3) = −40
1 −7 − 1 −73 −3 −12 −33
1 −4 −11 −40
→ P (7) = 0
1 −7 1 −77 −7 0 −7
1 −0 1 0
→ P (−1) = −16
1 −7 1 −7−1 −1 8 −9
1 −8 9 −16
→ P (5) = −52
1 −7 −1 −75 −5 −10 −45
1 −2 −9 −52
→ P (1) = −12
1 −7 −1 −71 −1 −6 −5
1 −6 −5 −12
013
3SOLUCIONARIO
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90
Calcula estos números combinatorios.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Desarrolla las siguientes potencias, utilizando el binomio de Newton.
a) (2x −5)3 b) (x3 + 2x)5
a) (2x − 5)3 = 8x3 − 60x2 + 150x − 125
b) (x3 + 2x)5 = x15 + 10x13 + 40x11 + 80x9 + 80x7 + 32x5
Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio P(x) = x4 + 3x3 −2x2 + 6x −8.
a) x = 1 b) x = 2 c) x = −1 d) x = −4
a) P(1) = 14 + 3 ⋅ 13 − 2 ⋅ 12 + 6 ⋅ 1 − 8 = 0
Por tanto, x = 1 es una raíz del polinomio.
b) P(2) = 24 + 3 ⋅ 23 − 2 ⋅ 22 + 6 ⋅ 2 − 8 = 36
c) P(−1) = (−1)4 + 3 ⋅ (−1)3 − 2 ⋅ (−1)2 + 6 ⋅ (−1) − 8 = −18
d) P(−4) = (−4)4 + 3 ⋅ (−4)3 − 2 ⋅ (−4)2 + 6 ⋅ (−4) − 8 = 0
Por tanto, x = −4 es una raíz del polinomio.
Calcula las raíces enteras de estos polinomios.
a) P(x) = x3 −1
b) Q(x) = x3 −9x2 −x + 105
La raíz entera del polinomio es 1. Las raíces enteras son {−3, 5, 7}.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
a) 2x3 − 8x2 + 2x + 12 = 2(x + 1)(x − 2)(x − 3)
b) 3x3 − 8x2 − 20x + 16 = (x + 2)(x − 4)(3x − 2)
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x = x(x + 3)(x + 4)(2x + 1)
020
1 0 01 1 1
1 1 1
110
− 1 97 7
1 25 5
1 3
11415150
105105
0
−
−
−−−
−
a) b)
019
018
017
87
8
7 18
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
!
! · !
75
7
5 221
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
!
! · !
123
12
3 9
12 11 10
3 2 1220
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
!
! · !
· ·
· ·72
7
2 5
7 6
2 121
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
!
! · !
·
·
87
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
123
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
75
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
72
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
016
Polinomios y fracciones algebraicas
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91
Encuentra las raíces enteras de los polinomios.
a) 12x + 2x3 + 4 + 9x2
b) x4 −8x2 −9
c) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
Esta raíz no es entera.
c) Sacamos factor común: 2x2(x3 + 5x2 + 14x + 16)
Simplifica estas fracciones algebraicas.
Reduce a común denominador.
b) , y4
4 1
12 1
4 1
12
2
2
2
2x
x x
x
x x
x x x
( )
( )
( )
( ) (
−− −
−− − + 11
4 1 2
)
( )x x −
a) y( )( )
( )
( )
( )
x y
x y y
x y x
x y y
− −−
+−
1 1
1
2
1
b) yx
x x
x
( ),
−− − −
1
3 1
42
a) yx
xy
x
y
− +−
1 2
1
023
b)( )( )( )( )
( )( )
( )(x x y y
x y x y
x+ − + −− +
=+3 3 4 4
2 3 4
32
yy
x y y
−+
4
2 4
)
( )
a)( )
( )
x
x x
x
x
++
=+1
1
12
b)( )( )
( )( )
x y
xy x y
2 2
2
9 16
2 6 4
− −− +
a)x x
x x
2 2 1
1
+ ++( )
022
1 5 142 2 6
1 3 8
1616
0− − − −
Las raíces enteras son {−2, 0}.
1 0 83 3 9
1 3 13 3 0
1 0 1
03330
990
−− −
−−−
−b)
Las raíces enteras son {−3, 3}.
2 1 01
2x x+ = = −→
2 92 4
2 52 4
2 1
1210
220
440
− −
− −
−
−
−a)
La única raíz entera es −2.
021
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 91
92
Resuelve las operaciones y simplifica el resultado.
Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
c)2 2 1 1
12 2 1 1
1
6
( )( )
( )( )
x x
x x
+ ++ +
=
b)x y x
y x
x
x
( )
( ) ( )
−−
=−
1
3 1 3 12
a)4 1 4 12
2 2
x y
x y
x y
y
( ) ( )−=
−
c) ( ) ( )2 41
6 34 4+ +
+
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ +x
x
xx⋅ :
b)xy
x
y
x( )− −1
3
12:
a)4 12x
y
y
xy⋅
−
025
f )6
2
6 4
2
1
2
5 1
2
3
2
3
2 2 2
x
x
x x
x
x
x
x
x−
−+
+=
+
e)( )( ) (x x
x
x x
x
x x
x
x x+ −−
+− +
−=
−−
=−1 1
1
3 1
1
2 3
1
2 32 2 ))
x −1
d)−
−−
=+ −3 2 42 2x
x
x
x
x x
x
( )
c)y
y
y
y
y
y+
−=
−2 2 1( )
b)−
+ =−3 3
2 2
3
2 2
3
2 2
y
x y
x
x y
x y
x y
a)x
x y
x
x y
x x
x y
3 37 7 7 7+
−=
+ −
f ) 33 2 1
2
2
2x
x
x
x
x− − + −
c) 12+ −y
y
e) ( )xx x
x+ + − +
−1
3 1
1
2
b) − +32 2x y
x
y
d) − − −3
2 2( )x
xa)
x
y
x
xy
2 7 1+ −( )
024
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 92
93
Sean los polinomios P(x) = x3 −5x2 + 2x −3, Q(x) = −x3 + 5x +1 y R(x) = −2x2 −x + 2.
Determina los siguientes valores numéricos.
a) P(2)
b) Q(−1) e) R(−1) + Q(2)
Encuentra el valor de a y b de modo que, para P(x) = 8x3 + ax2 + bx + 1, se cumple
que P(−1) = −29 y .
Realiza las siguientes operaciones.
a) (3x + 5)(x −2)
b) (4x −1)(4x + 1)
c) (2x −3)2
d) (−3a + 6)2
e) (2p2 −3q)2
f ) (−3x2 −1)2
g) (5a3b −2ab2)(5a3b + 2ab2)
g) ( )( )5 2 5 2 25 43 2 3 2 6 2 2 4a b ab a b ab a b a b− + = −
f ) ( )− − = + +3 1 9 6 12 2 2x x x
e) ( )2 3 4 12 92 2 4 2p q p pq q− = − +
d) ( )− + = − +3 6 9 36 362 2a a x
c) ( )2 3 4 12 92 2x x x− = − +
b) ( )( )4 1 4 1 16 12x x x− + = −
a) ( )( )3 5 2 3 102x x x x+ − = − −
028
P a b a b( ) ( ) ( ) ( )− = − − + − + − + = − − = −1 29 8 1 1 1 1 29 223 2→ →
PP a1
24 8
1
2
1
2
3⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞→
⎠⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + = + =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
21
21 4 2 12b a b→
⎪⎪⎪
= −
=
a
b
32
334
3
P1
24
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
027
f ) Q −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
2
3
55
27
e) R Q( ) ( )− + = + =1 2 1 3 4
d) P 2 4 2 13( ) = −
c) R x x x R( ) = − − +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =2 2
1
212 →
b) Q x x x Q( ) ( )= − + + − = −3 5 1 1 3→
a) P x x x x P( ) ( )= − + − = −3 25 2 3 2 11→
f ) Q −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
2
3c) R
1
2
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
d) P 2( )
026
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 93
94
Efectúa y compara los resultados de estas operaciones.
a) 5(x2 −x + 1) −2(x2 + 3)
b) 5(x2 −x) + 1 −2x2 + 3
c) 5(x2 −x) + 1 − (2x2 + 3)
d) 5x2 − (x + 1)(−2x2 + 3)
e) (5x2 −x + 1)(−2x2 + 3)
Los resultados son diferentes según el orden de las operaciones determinado por los paréntesis.
Efectúa y simplifica lo máximo posible.
a) (3x2 −5)(−x + 3) −x2 + 3x
b) (−x + y)2 + (x −y)2
c) 3a2 −5a(a2 −2a)
d) (3a2 −5a)(a2 −2a)
Realiza las operaciones, siendo:
P(x) = x2 −3x + 5 Q(x) = 2x2 + 5 R(x) = 4x −3
a) P(x) + Q(x) −R(x)
b) P(x) −Q(x) ⋅ R(x)
c) (P(x) −Q(x)) ⋅ R(x)
d) 3Q(x) − (x + 1) ⋅ R(x)
e) −P(x) + 2Q(x)
f ) P(x) −R(x)2
f ) P x R x x x( ) ( )− = − + −2 215 21 4
e) − + = + +P x Q x x x( ) ( )2 3 3 52
d) 3 1 6 15 1 4 3 22 2Q x x R x x x x x x( ) ( ) ( ) ( )( )− + ⋅ = + − + − = − ++ 12
c) ( ( ) ( )) ( )P x Q x R x x x x− ⋅ = − − +4 9 93 2
b) P x Q x R x x x x( ) ( ) ( )− ⋅ = − + − +8 7 23 203 2
a) P x Q x R x x x( ) ( ) ( )+ − = − +3 7 72
031
d) ( )( )3 5 2 3 11 102 2 4 3 2a a a a a a a− − = − +
c) 3 5 2 5 132 2 3 2a a a a a a− − = − +( )
b) ( ) ( )− + + − = − +x y x y x x y y2 2 2 22 4 2
a) ( )( )3 5 3 3 3 8 8 152 2 3 2x x x x x x x− − + − + = − + + −
030
e) ( )( )5 1 2 3 10 2 13 3 32 2 4 3 2x x x x x x x− + − + = − + + − +
d) 5 1 2 3 2 7 3 32 2 3 2x x x x x x− + − + = + − −( )( )
c) 5 1 2 3 3 5 52 2 2( ) ( )x x x x x− + − + = − −
b) 5 1 2 3 3 5 42 2 2( )x x x x x− + − + = − +
a) 5 1 2 3 3 5 12 2 2( ) ( )x x x x x− + − + = − −
029
Polinomios y fracciones algebraicas
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95
Haz estas divisiones y comprueba su resultado.
a) (x3 −2x2 + 4x −3) : (x2 + 3x −1)
b) (2x3 −5x + 2) : (x2 −2x + 1)
c) (x4 + 4x3) : (x2 −2)
d) (x3 + x2 −14x −16) : (2x −4)
Comprueba si esta igualdad es cierta.
(x2 −3x + 2)(2x −1) + (3x −2) = 2x3 −7x2 + 10x −4
( )( ) ( ) ( )x x x x x x x x2 3 23 2 2 1 3 2 2 7 7 2 3 2− + − + − = − + − + − === − + −2 7 10 43 2x x x
033
x x x x
x x x x
x x
3 2
3 2 2
2
14 16 2 4
21
2
3
24
3 14 16
+ − − −
− + + −
− −−− +
− −−−
− + −⎛
⎝⎜⎜⎜
3 6
8 168 16
32
2 41
2
3
24
2
2
x x
xx
x x x( )⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− = + − −32 14 163 2x x x
d)
x x x
x x x x
x xx x
x
4 3 2
4 2 2
3 2
3
2
4 2
2 4 2
4 24 8
2 8
+ −− + + +
+− +
+ xxx
x
x x x x x x
− ++
− + + + + = +
2 4
8 4
2 4 2 8 4 4
2
2 2 4 3( )( )
c)
2 5 2 2 1
2 4 2 2 4
4 7 24
3 2
3 2
2
2
x x x x
x x x x
x xx
− + − +− + − +
− +− + 88 4
2
2 1 2 4 2 2 5 22 3
x
x
x x x x x x
−−
− + + + − = − +( )( )
b)
x x x x x
x x x x
x xx
3 2 2
3 2
2
2
2 4 3 3 1
3 5
5 5 35
− + − + −− − + −
− + −+ 115 5
20 8
3 1 5 20 8 2 4 32 3 2
x
x
x x x x x x x
−−
+ − − + − = − + −( )( )
a)
032
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 95
96
Encuentra P(x), Q(x), R(x) y S(x), tales que:
a) P(x) + (x2 −3x + 5) = x3 −6x + 2
b) 2x3 −6x + 3 − Q(x) = x2 + 5x −2
¿Cuánto deben valer a y b para que se cumplan estas igualdades?
a) (x −3)(ax + b) = 2x2 −7x + 3 c) a(x −2) + b(2x + 1) = 13x −1
b) (ax + 3)(4x −b) = 8x2 + 6x −9 d) a(x2 + 2x) + b(3x + 7) + x2 = 5x2 −x −21
Realiza estas divisiones, empleando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto.
a) (x3 −3x2 + 5x −1) : (x −2) c) (2x4 + 3x2 + 5) : (x + 1)
b) (2x3 + x2 −4) : (x + 3) d) (x3 −2x ) : (x −3)
a) 1 3 5 12 2 2 6
1 1 3 5 3 52
− −−
= − + =– ( ) ( )→ C x x x R x
036
d) a x x b x x x xab
( ) ( )2 2 22 3 7 5 21 43
+ + + + = − − == −
⎧⎨⎪⎪⎩
→⎪⎪⎪
c) a x b x xab
( ) ( )− + + = − ==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 2 1 13 1 35
→
b) ( )( )ax x b x xab
+ − = + − == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 4 8 6 9 23
2 →
a) ( )( )x ax b x xab
− + = − + == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 2 7 3 21
2 →
035
2 5 5 4 2 1
2 3 4
6 5
3 2
3 2 2
2
x x x x
x x x x S x
x x
− + + +− − − + =
− + +( )
446 3
8 48 4
0
2x x
xx
++
− −
d) S x x x x x( ) ( ) : ( )= − + + +2 5 5 4 2 13 2
c) R x x x x x x( ) ( ( ))( ) ( )( )= − + − = − − − + = −1 3 2 1 2 4 4 1 42 2 xx x x3 24 7 2− + −
b) Q x x x x x x x x( ) ( )= − + − + − = − − +2 6 3 5 2 2 11 53 2 3 2
a) P x x x x x x x x( ) ( )= − + − − + = − − −3 2 3 26 2 3 5 3 3
d)2 5 5 4
2 13 2x x x
S xx
− + + = +( )
c) 12 1
32
−−
= +R x
xx
( )
( )
034
Polinomios y fracciones algebraicas
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97
Completa las siguientes divisiones.
Determina el valor de m.
Utiliza la regla de Ruffini para decidir si el primer polinomio es divisible por el segundo.
a) P(x) = x4 −3x3 + 2x2 −10x + 3 y Q(x) = x −3
b) P(x) = 2x3 + 5x2 −10x + 8 y Q(x) = x + 5
b)
No es divisible
2 5 10 85 10 25 75
2 5 15 67
−− − −
− − →
a)
No es divisible
1 3 2 10 33 3 0 6 12
1 0 2 4 9
− −−
− − →
039
1 3 04 4 16 4 16 52
1 4 13 4 20 16 52 20
mm m
m m m
−− − − −
− − − − = −→ →→ m = 2
1 m −3 0−4
−20
038
c) 2 0 4
6 3 15
1 5
−5 1
3 9
2 3 16
−
b) 2 2
2
2 5
4 7
1 2 5
2 7
−−− − −
−
a) 1 2
2 2
5 15
−3 5
8 10
1 2
037
d) 1 0 2 03 3 9 21
1 3 7 21 3 7 212
−
= + + =→ C x x x R x( ) ( )
c) 2 0 3 0 51 2 2 5 5
2 2 5 5 10 2 2 5 53 2
− − −− − = − + −→ C x x x x R( ) (xx) = 10
b) 2 1 0 43 6 15 45
2 5 15 49 2 5 152
−− − −
− − = − +→ C x x x R x( ) ( ) == −49
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 97
98
Polinomios y fracciones algebraicas
Comprueba, sin emplear la regla de Ruffini, si el primer polinomio es divisible por el segundo.
a) P(x) = 2x3 −3x2 −14x + 15 y Q(x) = x −3
b) P(y) = y3 + 2y2 −6y −9 y Q(y) = y + 2
a) P (3) = 54 − 27 − 42 + 15 = 0 → Es divisible
b) P (−2) = −8 + 8 + 12 − 9 = 3 → No es divisible
Calcula el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas ni emplear la regla de Ruffini.
a) P(x) = x4 + 2x3 −x2 + 4x −6 y Q(x) = x −3 c) P(x) = x3 −10x + 3 y Q(x) = x −1
b) P( t) = 2t3 + 4t −8 y Q( t) = t + 5 d) P(x) = 3x −x3 −10x2 y Q(x) = x + 2
a) R = P (3) = 81 + 54 − 9 + 12 − 6 = 132 c) R = P (1) = 1 − 10 + 3 = −6b) R = P (−5) = −250 − 20 − 8 = −278 d) R = P(−2) = −6 + 8 − 40 = −38
¿Qué valor debe tomar a para que el resto de dividir x3 + ax2 −3x −a entre x −4 sea 67?
Determina a y b de manera que el polinomio x3 + ax2 + bx −6 sea divisible por x −2 y por x + 3.
Comprueba si M(x) = 2x3 −5x2 + 4x −4 es divisible por x −2 y, en caso afirmativo,encuentra un polinomio N(x) que permita escribir M(x) de la forma: M(x) = (x −2) ⋅ N(x).
Calcula x para que se cumplan las siguientes igualdades.
a) x = 2 b) x = 10 c) x = a − 5
Desarrolla y simplifica.
a) (x + 3)4 c) (3p + 2)4 i) (x2y −3)5
b) (x −y)5 d) (−p + 2p2)4 f ) (−3p −5p2)3 j) xx
2
61+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟h) 5 2 2
5−( )
g) 3 24
+( )e)1
32
5
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟x
046
c) ax
a⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟5
b) x x3 7
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟a) 8 8
6x
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
045
2 5 4 42 4 2 4
2 1 2 0 2 22
− −−
− = − +→ N x x x( )
044
2 13 11
25
a ba b
ab
+ = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
Si es divisible por x P a b+ − = − + − − =3 3 0 27 9 3 6 0 9→ → →( ) aa b− =3 33
Si es divisible por x P a b a− = + + − = +2 2 0 8 4 2 6 0 4 2→ → →( ) bb = −2
043
R P a a a a= = + − − = = =( )4 67 64 16 12 67 15 15 1→ → →
042
041
040
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 98
99
j) xx
x2
6
2 61 60
61
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝
( ) ⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜( ) ( )x
xx
x2 5 2 41 6
21
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
2 363
1( )x
x
33
2 2
464
1 65
+
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜( )x
x⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
xx x
2
51 6
61
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + + + ⋅ +
6
12 9 6 3
36 15 20 15 6
1 1x x x x
x x 66
i) ( ) ( )x y x y2 5 2 53 50
51
− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 4 2 3 23 5
23 5
3⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
( ) ( )
(
x y
x y
2 2 3
2
3
54
−− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
3 55
3
15 90
4 5
10 5 8 4 6
) ( )
x y x y x yy x y x y3 4 2 2270 405 243− + −
h) 5 2 2 50
5 51
55 5
−( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )) ⋅ −( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ −( ) +
+⎛⎝⎜⎜⎜
4 3 22 2 5
25 2 2
53
⎞⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ −( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −( ) +5 2 2 5
45 2 2 5
5
2 3 4 ⎛⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −( ) =
= − + − +
2 2
25 5 250 2 400 5 800 2 320 5
5
−−128 2
g) 3 2 40
3 41
34 4
+( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )33 2 2
2 42
3 2
43
⋅ ( ) +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ ( ) +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ ( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) =
= + + + +
3 2 44
2
9 12 6 36 8 6 4
3 4
== +49 20 6
f ) ( ) ( )− − =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟3 5 3
03 3
12 3 3p p p ⎟⎟⎟⎟ − ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ −( ) ( ) ( ) ( )3 5 3
23 52 2 2p p p p 22 2 3
3 4 5
33
5
27 135 225
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − − − −
( )p
p p p 1125 6p
e)1
32 5
01
3
5
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟x ⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛5 451
1
32 5
2( )x
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟1
32 5
3
3
2( )x ⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
1
32
54
1
3
2
3( )x
(( ) ( )− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
2 55
2
1
243
10
81
40
2
4 5x x
x77
80
9
80
3322 3 4 5x x x x− + −
d) ( ) ( )− + =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟p p p2 4
041
2 4 4
⎟⎟ − ⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ +
⎛⎝⎜( ) ( ) ( )p p p p3 2 2 2 22 4
22 4
3⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
( ) ( )
( )
p p
p p
2
44
2
2 3
2 4 44 5 6 7 88 24 32 16− + − +p p p p
c) ( ) ( ) (3 2 40
3 41
4 4p p+ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 33 2 4
23 2 4
33 2 2p p) ( )⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟33 2 4
42
81 216 216 96
3 4
4 3 2
p
p p x
⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + xx + 16
b) ( ) (x y x x− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −5 5 45
051
yy x y x) ( ) (+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5
253
3 2 2 −− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
y x y) ( )
(
3 454
55
yy x x y x y x y x y y)5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5= − + − + −
a) ( )x x x+ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +3 4
041
34 4 3 442
3 43
3 44
2 2 3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜x x ⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + +
3
12 54 108 81
4
4 3 2x x x x
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 99
100
Determina en los desarrollos los términos que se indican.
a) Séptimo término de (x + 2y)10.
b) Décimo término de (x2 −3)15.
c) Decimosexto término de (2p + q2)28.
d) Decimocuarto término de (−a + 2)21.
Encuentra los términos indicados de los siguientes desarrollos.
a) El término central de (3p2 −2q)12.
b) El término que contiene x12 en (2x2 + 1)9.
c) El término que contiene x11 en .
Calcula, empleando la fórmula del binomio de Newton, el valor de 5,13 y 0,992;teniendo en cuenta que:
5,1 = 5 + 0,1 0,99 = 1 −0,01
0,99 0,012 2 21 20
1 21
= − =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟( ) ⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
1 22
1
2( ) ( )0,01 0,01
0,02 00,0001 0,9801=
5,1 0,13 3 35 30
5 31
= + =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) 55 3
25 3
32 2⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟0,1 0,1 0,11
7,5 0,15 0,001 132,651
3
125
=
= + + + =
049
c) 103
2120
3
2 7⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − = − ⋅
xx( )
88960
3
14 11
xx x⋅ −
b) 96
2 1 5 3762 6 3 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =( ) .x x
a) 126
3 2 43 110 1442 6 6 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − =( ) ( ) . .p q p qq6
2 2
10
xx−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
048
d) 2113
2 1 666 990 0808 13 8⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ =( ) . . .a a
c) 2815
2 306 726 17413 2 15⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =( ) ( ) . . .p q 7720 13 30p q
b) 159
3 98 513 4152 6 9 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − = −( ) ( ) . .x x
a) 106
2 13 4404 6 4 6⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =x y x y( ) .
047
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 100
101
Estas expresiones se obtienen al desarrollar algunas potencias. Hállalas.
a) 4x2 + 20x + 25
b) 4a2 −12a + 9
c) 27x3 −54x2 + 36x −8
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16
a) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2
b) 4a2 − 12a + 9 = (2a − 3)2
c) 27x3 − 54x2 + 36x − 8 = (3x − 2)3
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16 = (3p + 2)4
El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son 1.792x2y12
y 1.024xy14, respectivamente. Calcula la potencia.
Al ser dos monomios consecutivos y positivos, la potencia corresponde a un bino-mio con dos términos positivos.
Como las potencias de x en los monomios conocidos corresponden al antepenúltimo y al penúltimo términos del desarrollo del binomio de Newton, y se trata de los términos séptimo y octavo, entonces la potencia correspondientees 8.
La potencia es (x + 2y2)8.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
d) x3 −5x2 + 3x + 9
e) 12x + 2x3 + 4 + 9x2
f ) x4 −8x2 −9
g) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
g) 2 10 28 32 2 2 3 85 4 3 2 2 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )
f ) x x x x x4 2 28 9 3 3 1− − = − + +( )( )( )
e) 12 2 4 9 2 2 13 2 2x x x x x+ + + = + +( ) ( )
d) x x x x x3 2 25 3 9 3 1− + + = − +( ) ( )
c) 2 15 31 12 3 4 2 14 3 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )( )
b) 3 8 20 16 4 2 3 23 2x x x x x x− − + = − + −( )( )( )
a) 2 8 2 12 2 3 2 13 2x x x x x x− + + = − − +( )( )( )
052
86
28 1 792 28 64 86
2 12 2 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = ⋅ =
⎛⎝
→ . x y x y ⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
x y
xy
2 2 6
1
2
87
8 1 024
( )
.→ 44 14 2 78 128 87
2= ⋅ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅x y x y( )
051
050
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 101
102
Determina las raíces de los siguientes polinomios.
a) (x −3)(x + 5)(x −2) e) x3 + 8x2 + 17x + 10
b) x(x −2)2 (2x + 1) f ) 3x3 + 7x2 −22x −8
c) (2x −1)(3x + 2)(x + 3)2 g) 2x4 −11x3 + 21x2 −16x + 4
d) x3 −3x2 −6x + 8 h) x4 −4x3 −12x2 + 32x + 64
De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que P(1) = −6, que P(0) = −3 y que una de sus raíces es 3. Determina ese polinomio.
Por ser de segundo grado, el polinomio es de la forma: P (x) = ax2 + bx + c
Si P (1) = −6 → a + b + c = −6
Como P (0) = −3 → c = −3
Si 3 es una raíz del polinomio: P (3) = 0 → 9a + 3b + c = 0
Entonces, tenemos que:
Así, el polinomio es: P (x) = 2x2 − 5x − 3
Obtén el valor de m para que el polinomio P(x) = mx3 −6x2 −4x + 8 tenga 2 como raíz.
Si 2 es una raíz del polinomio:
P (2) = 0 → 8m − 24 − 8 + 8 = 0 → 8m = 24 → m = 3
Halla el valor de n para que el polinomio P(x) = 2x3 + 2x2 + nx + 3 tenga −3 como raíz.
Si −3 es una raíz del polinomio:
P (−3) = 0 → −54 + 18 − 3n + 3 = 0 → −3n = 33 → n = −11
056
055
a ba b
ab
+ = −+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
39 3 3
25
054
h) x x x x x x4 3 2 2 24 12 32 64 4 2 4 2− − + + = − + −( ) ( ) { , }→
g) 2 11 21 16 4 2 1 2 1 2 14 3 2 2x x x x x x x− + − + = − − −( ) ( )( ) ,→ ,,1
2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
f ) 3 7 22 8 2 4 3 1 2 41
33 2x x x x x x+ − − = − + + − −
⎧⎨( )( )( ) , ,→ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
e) x x x x x x3 28 17 10 1 2 5 1 2 5+ + + = + + + − − −( )( )( ) { , , }→
d) 4, 1x x x x x x3 23 6 8 4 1 2 2− − + = − − + −( )( )( ) { , }→
c) ( )( )( ) , ,2 1 3 2 31
2
2
332x x x− + + − −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪
→⎪⎪
b) 0, 2x x x( ) ( ) ,− + −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 2 11
22 →
a) { 5, 2( )( )( ) , }x x x− + − −3 5 2 3→
053
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 102
103
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 2, 3 y 5, y otro polinomio con el mismo grado que tenga como raíces −2, −1 y 4.
Encuentra un polinomio P(x) de segundo grado cuyas raíces sean 1 y −2, y tal que P(3) = 30.
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 3, −1 y −1 y tal que Q(2) = −18.
Descompón estos polinomios y calcula su máximo común divisor.
a) 6x2y 12x3y2z 18xy3z2
b) 3x −6 5x −10 7x −14
c) 8x + 24 12x + 36 20x + 60
d) x2 + x −6 2x2 −3x −2
e) 3x2 + 9x −12 2x2 + 4x −16
f ) 4x2 + 16x + 16 6x2 + 42x + 60
g) 24x2 −12x 90x2 + 135x −90
h) x3 −2x2 −5x + 6 2x3 −7x2 + 2x + 3
i) x3 + 5x2 + 6x 3x3 + 9x2
j) 3x3 −7x2 + 5x −1 x3 −3x2 + 3x −1
d) x x x xx x x x
2
2
6 2 32 3 2 2 2 1
+ − = − +− − = − +
⎫⎬⎪⎪( )( )
( )( )⎭⎭⎪⎪+ − − − = −m.c.d. 6, 2( )x x x x x2 2 3 2 2
c) 8 24 8 312 36 12 320 60 20 3
x xx xx x
+ = ++ = ++ = +
⎫( )( )( )
⎬⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + + = +m.c.d. 24, 12 36, 20( )8 60 3x x x x
b) 3 6 3 25 10 5 27 14 7 2
x xx xx x
− = −− = −− = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭
( )( )( )
⎪⎪⎪⎪
− − − = −m.c.d. 6, 5 10, 7( )3 14 2x x x x
a) m.c.d. ( , , )6 12 18 62 3 2 3 2x y x y z x y z x y=
060
Por tanto, el polinomio es: Q x x x x( ) = − − −2 2 10 63 2
Si Q a a( ) ( )2 18 9 18 2= − ⋅ − = − =→ →
Q x a x x a x x x( ) ( )( ) ( )= − + = − − −3 1 5 32 3 2
059
Luego, el polinomio es: P x x x( ) = + −3 3 62
Si P a a( )3 30 10 30 3= ⋅ = =→ →
P x a x x a x x( ) ( )( ) ( )= − + = + −1 2 22
058
Q x x x x x x x( ) ( )( )( )= + + − = − − −2 1 4 10 83 2
P x x x x x x x( ) ( )( )( )= − − − = − + −2 3 5 10 31 303 2
057
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 103
104
Obtén el valor numérico de estas fracciones algebraicas en los valores que se indican.
Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas.
j)9 27
18 54
3 2
4 3
x x
x x
++
e)2
3 2
2
+ x
x
i)6 3
4 2
2ab a
b a
−−
d)3 2
3
+ x
x
h)20 8 4
12 8
2− ++a a
ac)
3
6
2 3
5 3
a b d
b a
g)3 5
3
2a a
a
−b)
12
8
2 3
2 3
a b c
b c
f )3 6
3
+ x
xa)
x yz
z x
2
2
062
d)( ) ( )
( )
− − ⋅ −+ −
=1 2 3 1
3 2 17
2
b)2 3 8 3 6
3 10
2⋅ − ⋅ +−
=
c)2 2 2
6 21
2( ) ( )
( )
− − −− −
= −a)3 1
3 3 2
10
11
2 +⋅ +
=
d) para ey xy
x yx y
2 2
23 1
−+
= = −b) para2 8 6
13
2x x
xx
− +−
=
c) para2
62
2a a
aa
−−
= −a) parax
xx
2 1
3 23
++
=
061
j) 3 7 5 1 1 3 13 3 1 1
3 2 2
3 2
x x x x xx x x x
− + − = − −− + − = −
( ) ( )( ))
( , )33 2 3 23 7 5 1 3 3 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + − − + − =m.c.d. x x x x x x
== − = − +( )x x x1 2 12 2
i) x x x x x xx x x x
3 2
3 2 2
5 6 2 33 9 3 3
+ + = + ++ = +
⎫⎬⎪⎪( )( )
( ) ⎭⎭⎪⎪+ + + =
= + = +
m.c.d. ( , )
( )
x x x x x
x x x x
3 2 3 2
2
5 6 3 9
3 3
h) x x x x x xx x x
3 2
3 2
2 5 6 3 1 22 7 2 3
− − + = − − +− + + =
( )( )( )(xx x x
x x x− − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − +3 1 2 1
2 5 6 23 2
)( )( )( ,m.c.d. xx x x x x x x3 2 27 2 3 3 1 4 3− + + = − − = − +) ( )( )
g) 24 12 12 2 190 135 90 45 2 2
2
2
x x x xx x x x
− = −+ − = +
( )( )( −−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + − =
=1
24 12 90 135 90
3
2 2
)( , )m.c.d. x x x x
(( )2 1 6 3x x− = −
f ) 4 16 16 4 26 42 60 6 2 5
2 2
2
x x xx x x x
+ + = ++ + = + +
⎫( )( )( )
⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ + + + =
= +
m.c.d. 16, 6( )
(
4 16 42 60
2 2
2 2x x x x
x )) = +2 4x
e) 3 9 12 3 1 42 4 16 3 2 4
2
2
x x x xx x x x
+ − = − ++ − = − +
( )( )( )( ))
( )(
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ − + − == +
m.c.d. 12, 23 9 4 163 4
2 2x x x xx )) = +3 12x
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 104
105
3SOLUCIONARIO
Realiza estas operaciones y simplifica.
f )3
2
4
9
6 2
9
+⋅
−=
+−
x
x
x
x
e)a b
c
a
b
b
ac
2 3 2
2
8
6
3
8: =
d)3
2
8
9
4
3
2 3x
y
x y x⋅ =
c)a a a a a a a a2 2 2 23
8
3 11
12
2 1
6
3 9 6 22 8 4
2
−−
−−
−=
− − + − +44
3 14 5
24
2
=
=− + −a a
b)3 2
5
7
2
3 12
10
6 4 35 5 3 12
10
a a a a a a a−−
−−
− +=
− − + + −=
− −− 36
10
a)x x x x x x x+
+−
−+
=+ + − − −
=− +2
3
5 3
4
3 1
6
4 8 15 9 6 2
12
11 211
12
f )3
2
4
9
+ ⋅−
x
x
e)ab
c
a
b
2 3
2
8
6:
d)3
2
8
9
2x
y
xy⋅
c)a a a a2 23
8
3 11
12
2 1
6
− − − − −
b)3 2
5
7
2
3 12
10
a a a− − − − − +
a)x x x+ + − − +2
3
5 3
4
3 1
6
063
j)9 27
18 54
9 3
18 3
1
2
3 2
4 3
2
3
x x
x x
x x
x x x
++
=++
=( )
( )e)
3 2
2 2
+ x
x
i)6 3
4 2
3 2
2 2
3
2
2ab a
b a
a b a
b a
a−−
=−−
=( )
( )d)
3 2
3
+ x
x
h)20 8 4
12 8
5 2
3 2
2 2− ++
=− +
+a a
a
a a
ac)
3
6 2
2 3
5 3 2
a b d
b a
d
ab=
g)3 5
3
3 5
3
2a a
a
a−=
−b)
12
8
3
2
2 3
2 3
2
2
a b c
b c
a b
c=
f )3 6
3
1 2+=
+x
x
x
xa)
x yz
z x
x y
z
2
2=
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 105
106
Efectúa estas operaciones y simplifica.
Realiza estas sumas y restas, y simplifica el resultado.
d)4
3 3 18
3
2 2 42 2x x x x− −−
+ −b)
x
x x
x
x x
++ −
− −+
1
6
2 3
32 2
c)2 3
4 4
1
2 4
1 2
42 2
−+ +
−+
− +−
a
a a a
a
aa)
3
3 6
1 2
6 122x x x
x
x++ + −
+
065
g)3 1
4 12
2
4 12
3 9 3 3 2 6
4
2 2x
x
x
x
x x x x x x−+
−+−
=− − + − − − −
(( )( )x xx x
x
+ −=
=− −
−
3 32 15 3
4 36
2
2
f )3
2 6
1
3
3 2
2 6
1
2 6a a a a−+
−=
−−
=−
e)3 2
2
1
3
3 9 2 6 2 2
2
2 2−+
+++
=+ − − + + + +
+p
p
p
p
p p p p p p
p( )(( )p
p
p p+=
− ++ +3
11
5 6
2
2
d)3
2
1
2 4
2
3 6
18 3 4
6 2
11
6 12a a a a a+−
+−
+=
− −+
=+( )
c)a
a
a a
a
a a a a a2 3
2
3 33
8
3 11
12
2 1
6
3 9 6 22 8−−
−−
−=
− − + − aa a
aa a
a
3 2
2
2
4
2411 4 13
24
+=
=− + +
b)1 2 5 3 2 2 5 3
2
2 2 2 3 2+−
−−
−=
+ − + −y
x
y x
y
x y x
x y
y y x y x x y ++=
=− + +
2
3 8 2
3
2
3 2 2
2
x
x yx x y y y
x y
a)2 5 3 2 5 3 2 3
a b
a b
ab
b a a b
ab
a b
ab− +
+=
− + +=
− +
d)3
2
1
2 4
2
3 6a a a+−
+−
+
g)3 1
4 12
2
4 12
x
x
x
x
−+
− +−
c)a
a
a a
a
a2 3
2
3
8
3 11
12
2 1
6
− − − − −
f )3
2 6
1
3a a−+
−b)
1 2 5 3 22
2+ − − − −y
x
y x
y
x y x
xy
e)3 2
2
1
3
−+
+ ++
p
p
p
pa)
2 5 3
a b
a b
ab− + +
064
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 106
107
Calcula y simplifica el resultado.
f )6 28
6
4
2
1
3
6 282 2
x
x x x x
x
x
−− − +
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−−
:xx
x
x x
x
x−−
− −=
−−
=6
3 14
6
6 28
3 142
2:
e)x
x
x
x
x
x
x x
x
+−
⋅++
−−−
=+ ⋅ +
+2
9
2 6
3 6
1
2 6
2 2 3
32
( ) ( )
( ))( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x
x
x
x
x
x
− ⋅ +−
−−
=
=−
−−−
3 3 2
1
2 32
3 3
1
2 3==
+−
1 3
6 18
x
x
d) 3 31
21
3
22 3−
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = −
aa 33
1
2
3 2
22
33 3
23 2
6 3 3 6 4
2
⋅−
++
⋅ =
= −−
+ + =
=− + + +
a a
aa
a a==
+a 15
2
c)1
21 2
2
3
2−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−−x
x
x
x:
xx
x
x
x x
x x
x
x:
( )( )
( )( )
−−
=− −− −
=−−
4
2
3 2
2 4
3
4
b)x
yy
xx y y x
2 2
2
2
2−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⋅
−22
5 2 2
4
2 2
=− −x y x y
a)1
12
11 2
2x
x x
x
x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− +: : ==
−+
2 2
22
x
x x
f )6 28
6
4
2
1
32
x
x x x x
−− − +
−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:c)
1
21 2
2−+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟x
x
x:
e)x
x
x
x
x
x
+−
++
− −−
2
9
2 6
3 6
1
2 62·b)
xy
yx
2 2−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
d) 3 31
21
3
22− + −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
aa ·a)
11
21
x
x−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:
066
d)4
3 3 18
3
2 2 4
8 8 9 27
6 3 22 2x x x x
x x
x x− −−
+ −=
− − +− +( )( )) ( )2
4 2
119
6 54 24 72
xx
x x x
−=
=− +
− − +
c)2 3
4 4
1
2 4
1 2
44 6 8 12
2 2
2
−+ +
−+
−+
−=
=− − + −
a
a a a
a
aa a a aa a a a
a aa a
a
2 2
2
2
4 2 4 4 8
2 2 211 6 8
2
+ − − − −+ −
=
=− + −
( ) ( )
33 2 24 8 16 8 16− + − + −a a a a
b)x
x x
x
x x
x x x x x
x x
++ −
−−+
=+ − + + −
+1
6
2 3
3
2 4 3 6
32 2
2 2
( ))( )x
x x
x x x−=
− ++ −2
4 7 4
6
2
3 2
a)3
3 6
1 2
6 12
6 6 12 2
6 22
2
x x x
x
x
x x x
x x++ +
−+
=+ + + −
+=
( )
−− + ++
x x
x x
2
2
8 18
6 12
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 107
108
Demuestra esta igualdad.
Halla los valores de A y de B para que se cumpla la igualdad.
La relación entre el dividendo (D), el divisor (d ), el cociente (C ) y el resto (R) en una división se puede expresar como:
Es decir, si al dividir x2 + 3x + 5 entre x + 2 obtenemos como cociente x + 1 y resto 3,podemos escribir:
Expresa de esta manera las siguientes fracciones algebraicas.
→ 2 3
22 3
9
2
2x x
xx
x
− +−
= + +−
2 3 2
2 4 2 3
3 33 6
9
2
2
x x x
x x x
xx
− + −− + +
+− +
b)
→ x x
xx
x
x
2 3
4 4
++
= −+
x x x
x x x
x
2
2
3 4
4
+ +− −
−
a)
d)2 2
1
3
2
x
x x
+− +
c)x x x
x x
3 2
2
2 5 1
2
− + −− +
b)2 3
2
2x x
x
− +−
a)x x
x
2 3
4
++
x x
xx
x
2 3 5
21
3
2
+ ++
= + ++
D
dC
R
d= +
069
→ →A BA B
A BA B
A+ =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 2 16
12 8
=== −
32B
A
x
B
x
A x B x
x x
A B x A
++
−=
− + ++ −
=+ −
2 4
4 2
2 4
4( ) ( )
( )( )
( ) ++− −
=−
− −2
2 8
16
2 82 2
B
x x
x
x x
A
x
B
x
x
x x++
−= −
− −2 4
16
2 82
068
1
1
1
11
1 1 12x x x
x
x−+
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ −22 1
1 1
1 1
1
1−⋅
−=
−− +
=+
x
x
x
x x x( )( )
1
1
1
11
1 1
12x x x x−+
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
+
067
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 108
109
La igualdad (3x + 5)2 = 9x2 + 25 es falsa, porque: (3 ⋅ 2 + 5)2 � 9 ⋅ 22 + 25
Usa el mismo procedimiento para comprobar que las siguientes afirmaciones son falsas, y después escríbelas correctamente.
a) (3 −2p)2 = 9 −4p2
b) (2x −1)2 = 2x2 −4x + 1
c) (5 −3x)(5 + 3x) = 25 −6x2
a) Respuesta abierta: (3 − 2 ⋅ 3)2 � 9 − 4 ⋅ 32
(3 − 2p)2 = 9 − 12p + 4p2
b) Respuesta abierta: (2 ⋅ 2 − 1)2 � 2 ⋅ 22 − 4 ⋅ 2 + 1
(2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1
c) Respuesta abierta: (5 − 3 ⋅ 1)(5 + 3 ⋅ 1)2 � 25 − 6 ⋅ 12
(5 − 3x)(5 + 3x) = 25 − 9x2.
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −2x −15, sabiendo que es múltiplo de 4x + 5?
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −10x −3, sabiendo que una
de sus raíces es ?
Si es una raíz, entonces 2x − 3 es un factor del polinomio.
→ 8 10 3 2 3 4 12x x x x− − = − +( )( )
8 10 3 2 3
8 12 4 1
2 32 3
0
2
2
x x x
x x x
xx
− − −− + +
−− +
3
2
32
072
→ 8 2 15 4 5 2 32x x x x− − = + −( )( )
8 2 15 4 5
8 10 2 3
12 1512 15
0
2
2
x x x
x x x
xx
− − +− − −
− −+
071
070
→ 2 2
12 2
3
2
x
x xx
+− +
= +
2 2 1
2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
3 2
3 2
2
2
x x x
x x x x
x xx x
+ − +− + − +
− +− + −
00
d)
→ x x x
x xx
x
x x
3 2
2 2
2 5 1
21
2 1
2
− + −− +
= − ++
− +
x x x x x
x x x x
x xx x
3 2 2
3 2
2
2
2 5 1 2
2 1
3 12
− + − − +− + − −
− + −− +
22 1x +
c)
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 109
110
Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P(x) = x3 −2x2 + 3x + 1 entre:
Determina un polinomio del que sabemos que:
a) Es de tercer grado. c) Se anula para x = 1.
b) Solo tiene dos términos. d) P(2) = 28
Al ser un polinomio de tercer grado es de la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Si se anula para x = 1: P(1) = 0 → a + b + c + d = 0
Como P(2) = 28 → 8a + 4b + 2c + d = 28
Si solo tiene dos términos, hay tres posibilidades:
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea ab2c y cuyo mínimo comúnmúltiplo sea a3b2c2d.
Respuesta abierta.
P(x) = a3b2c
Q(x) = ab2c2d
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea 2(x −3)(x + 5)3 y cuyomínimo común múltiplo sea 2 ⋅ 32(x −3)3(x + 5)3(x + 7).
Respuesta abierta.
P(x) = 18(x − 3)(x + 5)3(x + 7)
Q(x) = 2(x − 3)3(x + 5)3
076
075
3) Si yd b ca d
a dac
� 0 0 08 28
44
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪→ ⎪⎪⎭⎪⎪
= −→ P x x( ) 4 43
2) Si yc b da c
a c
a
c� 0 0 0
8 2 28
14
31
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
= −→
44
3
14
3
14
33
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ P x x x( )
1) Si yb c da b
a bab
� 0 0 08 4 28
77
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬→ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪
= −→ P x x x( ) 7 73 2
074
1 2 3 12 2 2 2 2 5 2 4
1 2 2 5 2 2 5 2 3
2 2 52
−− −
− − −
= + −( ) +C x x x( ) −− = −2 2 5 2 3R x( )
b)
1 2 3 11
2
1
2
3
4
9
8
13
2
9
4
17
8
3
2
9
42
−
−
− = − + =→ C x x x R x( ) ( )117
8
a)
b) x − 2a) x − 1
2
073
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 110
111
Calcula estas raíces, sabiendo que los dos polinomios son cuadrados perfectos.
Comprueba con varios ejemplos que si m y n son dos números naturalesconsecutivos, entonces:
m2 + n2 + m2n2 es un cuadrado perfecto.
Encuentra una demostración general de esta propiedad.
En general:
El término general de la progresión aritmética: 5, 8, 11, 14, 17, 20, … es an = 3n + 2.
Calcula la expresión del término general de estas progresiones.
a) 1, 5, 9, 13, 17, …
b) −5, −3, −1, 1, 3, …
c) 8, 3, −2, −7, −12, …
d) −1, −4, −7, −10, …
a) an = 4n − 3
b) an = 2n − 7
c) an = −5n + 13
d) an = −3n + 2
Completa esta tabla y determina el polinomio que expresa el número de diagonalesde un polígono convexo en relación con su número de lados.
Si x es el número de lados, entonces: P xx x
x x( )( )
=−
= −3
2
1
2
3
22
N.o de lados 3 4 5 6 7
N.o de diagonales 0 2 5 9 14
080
079
n m m m m m m m m m m= + + + + + = + + + + + +1 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 4 3→ ( ) ( ) mmm m m m m m
2
4 3 2 2 22 3 2 1 1=
= + + + + = + +( )
Si ym n m n m n= = + + = =3 4 169 132 2 2 2 2→
Si ym n m n m n= = + + = =2 3 49 72 2 2 2 2→
Si ym n m n m n= = + + = =1 2 9 32 2 2 2 2→
078
b) x x x x x x x x4 3 2 2 2 26 7 6 1 3 1 3 1− + + + = − − = − −( )
a) 9 12 4 3 2 3 22 2x x x x− + = − = −( )
b) x x x x4 3 26 7 6 1− + + +
a) 9 12 42x x− +
077
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 111
112
El director de un supermercado ha observado que el número de clientes atendidos cada hora por un dependiente está relacionado con suexperiencia. Ha estimado que ese númeropuede calcularse de forma aproximada
con la función: , donde d
es el número de días que el dependiente lleva trabajando y C es el número de clientesatendidos en una hora.
a) ¿Cuántos clientes por hora atendería undependiente que lleve trabajando dos días?
b) El director sabe que un dependiente empieza a ser rentable a la empresa cuandoatiende a 32 clientes por hora. ¿Cuándo sucede eso?
c) Investiga lo que sucede con el número de clientes atendidos por dependientesque tienen mucha experiencia. ¿Puedes constatar alguna característica especial?
Si los dependientes tienen mucha experiencia, el número de clientes atendidosse aproxima a 40, sin llegar a superarlo.
Una plancha de cartón mide 30 ×40 cm. En cada uno de sus vértices recortamos un cuadrado de x cm de lado. Doblando las solapas que quedanse forma una caja.
a) Expresa su volumen en función de x.
b) Calcula el volumen si x mide 2, 4, 6 y 8 cm.
c) Determina la medida de x para que el volumen de la caja sea máximo.
40 cm
30 cm
x
x
082
N.o de días 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
N.o de clientes 38,83 39,88 39,99 39,99 39,99
c)
b) días40
332 40 32 96 8 96 12
d
dd d d d
+= = + = =→ → →
a) clientesC ( )240 2
2 316=
⋅+
=
C dd
d( ) =
+40
3
081
Polinomios y fracciones algebraicas
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113
a) V(x) = x(40 − 2x)(30 − 2x)
b) V(2) = 1.872 cm3 V(4) = 2.816 cm3 V(6) = 3.024 cm3 V(8) = 2.688 cm3
c) V(5) = 3.000 cm3 V(7) = 2.912 cm3
Suponiendo que el lado tiene como longitud un número entero, el volumen esmáximo cuando x = 6 cm.
Determina A, B y C para que se cumpla que:
Fíjate en la descomposición que hemos hecho de la fracción, para expresar estas fracciones algebraicas como la suma de otras fracciones más sencillas.
19 2
6
5
3
3
22
−+ −
=−+
+−
x
x x x x
19 2
6 3 2
19 2 2 3
2
−+ −
=+
+−
− = − + + =
x
x x
A
x
B
x
x A x B x A( ) ( ) ( ++ − + + = −− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −=
B x A BA BA B
AB
) 2 3 22 3 19
53
→
b) x x x x2 6 3 2+ − = + −( )( )
x x
x x x x x
2
3 2 2
9
2 9
2
3
1
3
+ ++ +
=− +
++
A CA B C
B C
C AA B A
+ =+ − =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −+ − + =
13 1
3 3 9
13 1 11
3 3 3 9
4 23 3 6
B A
A BA B
A
+ − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= 0021
BC
==
x x
x x
Ax B
x x
C
xx x Ax B
2
3 2 2
2
9
2 9 3 39
+ ++ +
=+
− ++
++ + = +( )(( ) ( )x C x x
Ax Ax Bx B Cx Cx C+ + − + =
= + + + + − + ==
3 33 3 3
2
2 2
(( ) ( ) ( )A C x A B C x B C+ + + − + +2 3 3 3
a) x x x x x3 2 22 9 3 3+ + = + − +( )( )
A CA B C
B C
C AA B
+ =− + + =
− + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −− + + −
72 0
2 7
72 7 AA
B A
A BA B
A=
− + − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− + =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02 7 7
3 02 0
=== −=
21
5BC
7 7
2
2 12
3 2
2
3 2
x
x x x
Ax B x C x x
x x x
+− − −
=+ − + + +
− −( )( ) ( )
−−+ = + − + + + =
= − + −
27 7 2 1
2
2 2
2
x Ax B x C x xAx A x Bx( )( ) ( )
222 2
2
2
B Cx Cx CA C x A B C x B C
+ + + == + + − + + + − +( ) ( ) ( )
b)19 2
62
−+ −
x
x xa)
x x
x x
2
3 2
9
2 9
+ ++ +
7 7
2 1 2
2
3 2 2
x
x x x
Ax B
x x
C
x
+− − −
= ++ +
+−
083
3SOLUCIONARIO
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114
PARA FINALIZAR...
Demuestra la propiedad que cumplen los números combinatorios.
Los números combinatorios verifican que:
Así, para n = 4:
Análogamente, si para n la suma es 2n, entonces para n + 1 la suma es: 2n ⋅ 2 = 2n + 1
Demuestra, utilizando el método de inducción, las siguientes igualdades.
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
a) Si 1n = =+→ 1
1 1 1
2
( )
c) …(
1 2 31
23 3 3 3
2
+ + + + = +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥n
n n )
b) …( )(2
1 2 31 1
62 2 2 2+ + + + = + +
nn n n )
a) …(
1 2 31
2+ + + + = +
nn n )
085
550
552
5554
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛
⎝⎜⎜⎜… ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
551
553
…55555
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
b)n
m
n
n m
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜→55
0⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
55
55
55
2 ⎟⎟=
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝
55
53
55
1
55
54⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟55
3
55
52⎟⎟⎟⎟
40
41
42
4⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
3344
40
3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
0031
31
3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
2232
33
4⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
44
30
31
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + 33
233
40
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + 33
132
44
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
== + = ⋅ =8 8 8 2 24
n nn
nm0
1⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = nn
mn
m−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
11
1
Si n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
3 30
31
32
→ ⎟⎟⎟⎟⎟ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + + + = =3
31 3 3 1 8 23
Si 2n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
→ 20
21
22⎟⎟⎟⎟⎟ = + + = =1 2 1 4 22
a) Si 1n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + =→ 1
011
1 1 2
b) …550
552
5554
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +55
1553
555
…55
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
a) n n n0 1 2
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ++ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =… n
nn2
084
Polinomios y fracciones algebraicas
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115
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
Dados los polinomios:
P(x) = 3x4 + 8x3 − 15x2 − 32x + 12
Q(x) = 2x4 + x3 − 16x2 + 3x + 18
determina los polinomios A(x) y B(x) de menor grado que cumplan que:
P(x) ⋅ A(x) + Q(x) ⋅ B(x) = 0
Así, A(x) = −2x2 + x + 3 y B(x) = 3x2 + 5x − 2.
A x
B x
Q x
P x
x x x x
x
( )
( )
( )
( )
( )( )( )( )
(= − = −
− + + −2 1 3 2 3
−− + + −= −
+ −+ −2 2 3 3 1
1 2 3
2 3 1)( )( )( )
( )( )
( )(x x x
x x
x x ))
Q x x x x x x x x x( ) ( )( )( )(= + − + + = − + + −2 16 3 18 2 1 3 2 34 3 2 ))
P x x x x x x x x x( ) ( )( )( )(= + − − + = − + +3 8 15 32 12 2 2 3 34 3 2 −−1)
P x A x Q x B x P x A x Q x B x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ = ⋅ = − ⋅0 → → AA x
B x
Q x
P x
( )
( )
( )
( )= −
086
1 2 3 11
213 3 3 3 3
2
+ + + + + + =+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ + +… k k
k kk( )
( )( )33
2 23 2
4 3 2 32 1
43 3 1
2 4
=
=+ +
+ + + + =+ + + +k k k
k k kk k k k( ) 112 4
46 13 12 4
4
1 2
4
2
4 3 2 2 2
k
k k k k k k
+=
=+ + + +
=+ +
=( ) ( ) (( )(( ) )k k+ + +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
1 1 1
2
2
c) Si 1n = =+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥→ 1
1 1 1
23
2( )
1 2 3 11 2 1
612 2 2 2 2 2+ + + + + + =
+ ++ + =
=
… k kk k k
k( )( )( )
( )
22 3
62 1
2 9 13 6
61
3 22
3 2
k k kk k
k k k
k k
+ ++ + +
+ + +=
=+
→
( )( ++ +=
=+ + + +
2 2 3
61 2 2 1 1
6
)( )
( )( )( ( ) )
k
k k k
b) Si 1n = =+ ⋅ +→ 1
1 1 1 2 1 1
62 ( )( )
1 2 3 11
21
3 2
21
2
+ + + + + + =+
+ + =+ +
=
=+
… k kk k
kk k
k k
( )
( )( ++=
+ + +2
2
1 1 1
2
) ( )(( ) )k k
3SOLUCIONARIO
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116
Demuestra que, para cualquier número entero n, la siguiente expresión es múltiplode 24.
n4 + 2n3 − n2 − 2n
n4 + 2n3 − n2 − 2n = (n − 1)n(n + 1)(n + 2)
Como el polinomio es el producto de cuatro números enteros consecutivos, al menos uno de ellos ha de ser múltiplo de 3.
Siendo n un número entero, hay dos posibilidades:
1) Si n es impar, entonces n − 1 y n + 1 son pares y, además, son pares consecutivos; por tanto, uno de ellos es múltiplo de 4. Así, (n − 1)(n + 1) es múltiplo de 8, luego el polinomio es múltiplo de 24.
2) Si n es par; entonces n + 2 también es par, y como en el caso anterior, uno de ellos es múltiplo de 4. Por tanto, n(n + 2) es múltiplo de 8 y el polinomio es múltiplo de 24.
Un polinomio P(x) verifica que:
P(2) = 3
es divisible por x + 1.
Al dividirlo entre x − 5, el resto es 15.
Calcula el resto de la división P(x) : Q(x), siendo:
Q(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 5)
P(x) = C(x) ⋅ Q(x) + R(x), siendo grado R(x) < grado Q(x) = 3
R(x) = ax2 + bx + c
P(2) = C(2) ⋅ Q(2) + R(2) → 3 = C(2) ⋅ 0 + R(2) → 3 = 4a + 2b + c
P(−1) = C(−1) ⋅ Q(−1) + R(−1) → 0 + C(−1) ⋅ 0 + R(−1) → 0 = a − b + c
P(5) = C(5) ⋅ Q(5) + R(5) → 15 = 25a + 5b + c
Así, el resto es:
Completa la siguiente fila del triángulo de Tartaglia.
1................3.003 2.002 1.001.................1
nk
n
k n k−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
− − −=
13 003
1 13.
!
( )!( ( ))!.→ 0003 3 003 1 1→ n k n k
nk
! . ( )!( ( ))!= − − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = 22 002 2 002 2 002.
!
!( )!. ! . !( )!→ →n
k n kn k n k
nk
−= = −
+ 111 001
1 11 00
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ − +=.
!
( )!( ( ))!.→ n
k n k11 1 001 1 1→ n k n k! . ( )!( ( ))!= + − +
089
R x x x( ) ( )= +1
21
4 2 30
25 5 0
1
2
1a b ca b ca b c
a b+ + =− + =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= =→22
0c =
088
087
Polinomios y fracciones algebraicas
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117
Igualando cada par de expresiones:
Entonces la fila del triángulo está compuesta por:
Haz esta suma.
1
1
1 1
1
11
1
99
1
99
n n n nn n( )+∑ = −
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟∑ =
= −
= =
22
1
2
1
3
1
3
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟+ + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − =
…1
99
1
100
11
100
99
100
1
1 11 1 0
n n
A
n
B
nA n Bn A B n A
A BA( )
( ) ( )+
= ++
= + + = + + + =→ →==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −1
11
AB
1
11
99
n nn ( )+∑=
090
140
1 141
14 142
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =91 14
3364 14
41.0001
145
2 002 146
3 00⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =. . 33 14
73 432 14
83 003 1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =. . 44
92 002
1410
1 001 14
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
.
.111
364 1412
91 1413
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =14 14
141
2 002 3 003 1 12 002
. !( )! . ( )!( ( ))!
. !(k n k k n kk
− = − − −nn k k n k
k n k− = + − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −)! . ( )!( ( ))!
(1 001 1 1
2 3 ++− = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 1
5 3 32 3 1
)( )n k k
k nn k
n ===
149k
3SOLUCIONARIO
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