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--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
1
“CÁLCULO I”
Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix MíguezDpto. Matemática Aplicada y Métodos InformáticosE.T.S.I. Minas.Universidad Politécnica de Madrid
BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL
Cálculo de áreas
--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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1. CURVAS EXPRESADAS EN FORMA EXPLÍCITA
Caso 1.1: Área de la figura limitada por la curva y=f(x)entre x = a, x = b y el eje OX
y = f(x)
a) Al buscar los puntos de corte de y = f(x) con el eje OX(haciendo f(x)=0) ninguno pertenece al intervalo [a,b]
x=bx=a=ò
b
aArea f(x)dx
y=f(x)
Área
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b) Al buscar los puntos de corte de y = f(x) con el eje OX(haciendo f(x)=0) ambos pertenecen al intervalo [a,b]
x=bx=a
y=f(x)
Área
x1 x2
1 2
1 2
b
a
x x b
a x x
Area f(x)dx
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
= =
= + +
ò
ò ò ò
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Caso 1.2: Área de la figura limitada por las curvas y=f(x),y=g(x),x = a, x = b
( )b
af(x) g(xArea ) dx= -ò
x=bx=a
y=f(x)
Área
y=g(x) y=g(x)
y=f(x)
x=a x=bÁrea
a) f(x) y g(x) tienen el mismo signo en [a,b] y no se cortan
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x=bx=a
( )b
af(x) g(xArea ) dx= -ò
y=f(x)
Área
y=g(x)
b) f(x) y g(x) tienen signo contrario en [a,b] y no se cortan
--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
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( ) ( )
( )
1 2
1
2
x x
a x
b
x
g(x) g(Area dx df(x) f(x) x)
g(x)
x
df(x) x
= - + - +
+ -
ò ò
ò
c) f(x) y g(x) tienen el mismo signo en [a,b] y se cortan
x=b
x=a
y=f(x)
y=g(x)
x1 x2
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Caso 1.4: Área de la figura limitada por las curvas y=f(x),y=g(x)
( )b
ag(x) f(Area x) dx-= ò
Se resuelve el sistema:
y f(x)
y g(x)para hallar su intersección
y=f(x)
y=g(x)
a b
Área
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EJEMPLO
Hallar el área limitada por las curvas:
Solución:Solución:
2y x , y x
2y x
y x 2x x x 0 ,x 1
Puntos de intersección:
( )3
21 11 3
2
32 00 0
x x 2 1 1Area = x x dx = - = - =
3 3 3 3
é ù é ùê ú ê ú- ê ú ê úë ûë û
ò
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EJEMPLO
Hallar el área limitada por las curvas:
Solución:Solución:y = sen(x) , y = 1'5.cos(x)
y = 1'5.cos(x)y = sen(x)
x [0,2 ]
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Puntos de intersección:
sen(x)
sen(x) = 1'5.cos(x) = 1'5cos(x)
Luego los puntos de intersección son:
x1=arctg(1.5)[0,/2]
x2= +arctg(1.5)[/2, 3/2]
x1
x2
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arctg(1.5)
arctg(1.5)Area sen(x) 1'5cos(x) dx
arctg(1.5) arctg(1.5)
arctg(1.5) arctg(1.5)Area cos(x) 1'5 sen(x)
Area cos( arctg(1.5) cos(arctg(1.5))
1'5 sen( arctg(1.5)) sen(arctg(1.5))
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EJEMPLO:EJEMPLO:
Hallar el área de que encierra una elipse de semiejesa y b. Su ecuación es:
2 2
2 2
x y+
ba= 1
Solución:
a-a
b
-b
Debido a la simetría se puede calcular Sólo el área A1 y multiplicar por 4 para obtener el área total.A1
A = 4. A1
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Una expresión paramétrica de la elipse es:
x(t) = a . cos(t)y (t) = b . sen(t)
El área de la elipse será entonces:
a
0
A 4. y.dx
Que, expresada en paramétricas va a ser:
2
0
A 4. b.sen(t).( a).sen(t).dt
2
2
0
A 4ab. sen (t).dt
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Una forma de resolver la integral anterior es mediantela beta de Euler, en su expresión:
p
b - -= × ×ò/ 2
2p 1 2q 1
0
(p,q) 2 sen (t) cos (t) dt
Siendo: 2p – 1 = 2 p = 3/2 2q – 1 = 0 p = 1/2
Por lo tanto:
1 3 1A 4ab. ,
2 2 2
3 12 2
A 4ab 4ab2 4
A=.a.b
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EJEMPLO:EJEMPLO:
Hallar el área de la región del plano que está encerrada entre el eje de abscisas (y=0) y la parábola:
2 2x + y + 2xy - 7x - 6y +10 = 0
Solución:
2y x 3 x 1
1y x 3 x 1
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Intersección entre y1, y2
x 3 x 1 x 3 x 1 x 1
Intersección parábola con eje OX:
2 2
0 x 3 x 1 3 x x 1
9 x 6x x 1 x 7x 10 0
x = 2 , x = 5
5 2
1 1
A x 3 x 1 dx x 3 x 1 dx
A = 9/2
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ÁREA DE UNA CURVA EXPRESADA EN POLARES:ÁREA DE UNA CURVA EXPRESADA EN POLARES:
2
1
21A .d
2
Consideramos la curva: = ()
Cuando n se obtiene:
i
Ii
radiomedio (i )
Área sector circular (ASC)
. 2. ASC i
ASC=(1/2). i2i
Sumando todos los sectores:
n
2i
i 1
1A .
2
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EJEMPLO:
Calcular el área de la región del plano limitada porla curva de ecuación polar:
a cos(2 ) (Lemniscata de Bernoulli)
Solución:
=/4=-/4
Por simetría:4
2
0
1A 4 .d
2
de donde:
4
2
0
A 2 a .cos 2 d
=2a2
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EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Calcular el área comprendida entre la curva y=tg(x/2)la recta x=/4 y el eje OX
Solución: 0.158347...
2. Calcular el valor del área rayada de la figura:
2 2 4I(a) + arcsen(a ) + (1- a ) 1- a
4
a2
1
1
x2+y2=1
(*)
(*) Fuente: Universidad Alfonso X El Sabio
Solución
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3. Calcular el valor del área comprendida entre lascardioides: yρ = a. 1+ cos θ ρ = a. 1 cos θ
= 0
= /2
=
2a
A = 3. - 82
Solución
ρ = a. 1+ cos θ
ρ = a. 1 cos θ
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4. Calcular el área comprendida entre la circunferenciax2 + y2 = 4 y la recta x = 1
4A = - 3
3Solución
5. Calcular el área entre la curva: x=y2+4.y
y la recta x=0
32A =
3Solución
(*)
(*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas”Ed. Tébar Flores.
(*)