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  • Semana 09 [1/28]

    Sucesiones

    29 de abril de 2007

    Sucesiones

  • Sucesiones Semana 09 [2/28]

    Definicin

    SucesinUna sucesin real es una funcin:

    f : N Rn f (n)

    ObservacionesPara distinguir a una sucesin de las dems funciones, se ocupar para denotar las sucesiones las letrass,u,v ,w ,a,b,c, etc. en lugar de f , adems la imagen de n, es decir, s(n) se anota sn en forma subindical.En lugar de escribir s : N R

    n snanotaremos alguna de las siguientes formas: (sn), {sn}, (sn)nN, {sn}nN, {sn}n=0, (sn)n=0.Informalmente se anota lo siguiente

    (sn) = (s0, s1, s2, , sj , sj+1, )

    Donde j N.La imagen de n N, es decir sn, se llama trmino n de la sucesin.Aceptaremos muchas veces que un nmero finito de trminos de la sucesin no estn definidos, o sea,funciones cuyo dominio no sea exactamente N.

    Sucesiones

  • Sucesiones Semana 09 [3/28]

    Ejemplos

    sn = n2+8

    n2+5 + 2

    n(sn) es la sucesin definida en forma recursiva por: s0 = 1, s1 = 1, sn+2 = sn+1 + sn.(sn) es la sucesin tal que su trmino n es el ensimo decimal de ( = 3, 141592654 . . .)s0 6 , s1 = 1, s2 = 4, s3 = 1, s4 = 5,. . .sn =

    n2 9

    s0 6 s1 6 , s2 =6 , s3 = 0, s4 =

    7, . . .sta es una sucesin porque slo tres trminos no estn definidos.sn =

    (1)n

    (sn) = (1, 6 , 1, 6 , 1, 6 , 1, . . .)

    Esta funcin no est definida para los valores de n impar y esto no es una cantidad finita de trminos. Esdecir, no es una sucesin.

    ObservacinLas sucesiones como cualquier funcin pueden graficarse en un sistema coordenado {OXY}. Sin embargoeste mtodo es poco utilizado ya que sus dominios son siempre N que es un conjunto de puntos aislados.Adems este tipo de grfico no presenta inters prctico como se ver ms adelante en las aplicaciones.El tipo de grfico ms utilizado consiste en grficar slo el conjunto imagen en una recta, indicando sobrecada punto el orden correspondiente.

    Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [4/28]

    Convergencia de sucesiones

    Convergencia (definicin informal)Sea (sn) una sucesin real y sea ` R. Diremos que (sn) converge a `, o bien que los trminos sn tienden a `(lo que se anota sn `), si dado cualquier intervalo cerrado del tipo [` , ` + ] con > 0, slo una cantidadfinita de trminos de la sucesin quedan fuera de l. Es decir, todo el resto de los trminos de esta sucesinestn dentro del intervalo.

    EjemploConsideremos la sucesin (sn) definida por sn = 1n , es decir: (sn) = (6 , 1,

    12 ,

    13 ,

    14 ,

    15 ,

    16 , . . .).

    A simple vista pareciera que al crecer n, los valores de sn se parecen cada vez ms a 0.Esto nos trae serias sospechas de que esta sucesin tiende a ` = 0.Para verificar esto, consideremos > 0 arbitrario y analicemos cuales trminos de la sucesin quedan dentrodel intervalo [0 , 0 + ] y cuales quedan fuera.Vemos que sn [, ] sn

    1n 1n n 1.

    La ltima desigualdad se verifica n, salvo para un nmero finito. Con esto, es claro que slo una cantidadfinita de trminos de la sucesin quedan fuera del intervalo [, ], quedando todo el resto dentro de l.Es importante observar que en la medida que sea ms y ms pequeo, el nmero de trminos de lasucesin que quedan fuera del intervalo [, ] es cada vez ms grande, sin embargo siempre sern unacantidad finita.

    Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [5/28]

    Convergencia de sucesiones

    Para formalizar la definicin informal dada anteriormente, se debe explicitar qu significa, matemticamente,que slo una cantidad finita de trminos de la sucesin quedan fuera de [` , ` + ]. Esto se haceescribiendo que a partir de un cierto trmino, todos los que siguen estn dentro del intervalo. Es decir,

    (n0 N)(n n0) sn [` , ` + ].

    Con esta consideracin, la definicin formal de convergencia es la que sigue:

    ConvergenciaDiremos que la sucesin (sn) converge a ` o bien que los trminos sn tienden a ` (lo cual anotaremos sn `)si se cumple que:

    ( > 0)(n0 N)(n n0) sn [` , ` + ].

    ObservacinLas siguientes expresiones son equivalentes a la anterior:

    ( > 0)(n0 N)(n n0) ` sn ` +

    ( > 0)(n0 N)(n n0) |sn `|

    ( > 0)(n0 N)(n n0) |sn `| <

    ( > 0)(n0 R)(n n0) |sn `|

    Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [6/28]

    Observaciones

    ObservacinEl intervalo [` , ` + ] suele llamarse en el contexto de la Topologia, vecindad en torno de `. Luego, decir quesn ` es equivalente a decir que a partir de cierto natural n0 (es decir, para todo n n0), los trminos snestn todos dentro de esta vecindad en torno de `.

    El factor |sn `| es la distancia entre sn y `, luego decir que sn ` es equivalente a decir que a partir de cierton0 la distancia entre sn y ` es menor o igual que . Como esto ltimo debe ocurrir , se concluye que cuandosn `, la distancia entre sn y ` puede hacerse tan pequea como se desee.

    Cuando una sucesin no converge a real alguno, se dice que es una sucesin divergente.

    Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [7/28]

    Ejemplos

    Probar que 1n 0Por demostrar que: ( > 0) (n0 N) (n n0) |1n 0| .

    Como 1n 0 1n

    n 1,

    basta tomar n0 =[

    1]+ 1, y se tendr que:

    n n0 n 1.

    Observemos que en la demostracin tambin pudo haberse elegido n0 =[

    1]+ 1000 (o algo similar). Notamos

    entonces que el valor de n0 no es nico, ya que tomar cualquier otro valor mayor que l, tambin es til para laprueba. Es decir, en la demostracin de la convergencia slo debemos probar la existencia de algn n0,sabiendo que habrn otros que tambin pueden ser usados.Es posible dar una demostracin alternativa recordando que la propiedad arquimediana dice:

    ( > 0)(n0 N) n0 > 1.

    Notando que (n n0) se cumple adems que n n0 > 1, es decir, n > 1, la propiedad arquimedianapuede escribirse, convenientemente, del siguiente modo:

    ( > 0)(n0 N)(n n0) n > 1.

    Esta expresin es equivalente a la que deseabamos probar.Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [8/28]

    Ejemplos

    Probar usando la definicin que no es cierto que 1n 2

    Debe probarse que:

    [( > 0)(n0 N)(n n0)1n 2

    ],es decir:

    ( > 0)(n0 N)(n n0)1n 2

    > .Pero

    1n 2

    = 2 1n 1, n N.Luego basta tomar = 12 , con lo cual dado cualquier n0 N, si se toma n = n0 la proposicin es cierta.

    En el prximo Teorema veremos que el resultado de este ejemplo es ms general, ya que siempre se cumpleque cuando una sucesin converge a un real `, no converge a otro real distinto.

    Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [9/28]

    Unicidad del punto de convergencia

    TeoremaSi (sn) es una sucesin que converge a `1 R y tambin a `2 R, entonces necesariamente`1 = `2.

    Demostracin.Como la sucesin converge a `1 y tambin a `2, se cumplen simultneamente las siguientes dosproposiciones

    ( > 0)(n0 N)(n n0) |sn `1|

    y( > 0)(n0 N)(n n0) |sn `2| .

    Notemos que hemos puesto n0 y n0 en las dos frases anteriores, en lugar de un nico n0 para

    ambas. La razn de esto es que como, en general, n0 depende de la sucesin, de y del puntoal cual la sucesin converge, en la primera y segunda frase, los n0 no tienen porqu ser igualesentre s. De hecho, si supusieramos a priori que el n0 es el mismo, la demostracin no seracorrecta.Como las dos frases anteriores son datos, dado > 0 arbitrario, si tomamos n0 = max{n0, n0}se cumple simultneamente que

    (n n0) |sn `1| |sn `2|

    continua...

    Sucesiones

  • Convergencia de sucesiones Semana 09 [10/28]

    Observaciones

    Continuacin demostracin.En consecuencia, tomando n = n0, se deduce que:

    |`1 `2| = |`1 sn0 + sn0 `2| |`1 sn0|+ |sn0 `2| + = 2

    Es decir (0,), `1`2

    2

    .Esto lo podemos interpretar, diciendo que |`1`2|2 es una cota inferior de (0,), cuyo nfimo es 0.Por lo tanto concluimos que |`1`2|2 0. Adems, es bien sabido que

    |`1`2|2 0.

    Por lo tanto se concluye que |`1`2|2 = 0, es decir, que `1 = `2.

    Sucesiones

  • Lmite Semana 09 [11/28]

    Lmite

    Definicin de lmite de una sucesinSi (sn) es una sucesin que converge a `, entonces ` se llama lmite de la sucesin, lo cual se anotar:

    ` = lim sn o bien ` = limn

    sn o bien ` = limn

    sn.

    ObservacinLa proposicin anterior nos dice que el lmite de una sucesin cuando existe, es nico.

    Sucesiones

  • Lmite Semana 09 [12/28]

    Ejemplo 1

    Probar que lim ( n+12n+3) =12

    Debemos demostrar que

    ( > 0) (n0 N) (n n0) n + 12n + 3 12

    . (1)Para hacer esta demostracin, comencemos notando que n+1

    2n+3 12

    = 2n+2(2n+3)2(2n+3) =

    14n+6

    = 14n+6 14n .

    Usando lo anterior, notamos que para demostrar (1), basta con demostrar la siguiente proposicin auxiliar

    ( > 0) (n0 N) (n n0)1

    4n .

    En efecto, esta ltima implica (1) ya que si 14n entonces por el desarrollo anterior, se tendr que n+12n+3

    12

    .La demostracin de la proposicin auxiliar es muy fcil, ya que basta con utilizar la propiedadarquimediana, poniendo en ella 4 en lugar de .

    Sucesiones

  • Lmite Semana 09 [13/28]

    Ejemplo 2

    Probar que lim

    2 + 1n =

    2Aqu debemos demostrar que

    ( > 0) (n0 N) (n n0)

    2 +1n

    2

    .Anlogamente al ejemplo anterior, comencemos estudiando la diferencia entre mdulo. Notemos que

    2 + 1n

    2 =

    2+ 1n

    2

    2+ 1n +

    2

    2+ 1n +

    2

    =

    1n

    2+ 1n +

    2

    1n2

    1n .

    Usando este desarrollo, vemos que para realizar la demostracin, basta con estudiar la siguientep