- - ˘ˇˆ...C.Q.D. – Revista Eletrônica de Matemática [re-curso eletrônico] / Faculdade de...

v. 6 - jul. 2016 - Edição Iniciação Científica

ISSN 2316-9664

ISSN 2316-9664

v. 6, jul. 2016

Edição Iniciação Científica

Editoras

Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro

Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues de Souza

Comitê editorial

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

Prof. Dr. Alexys Bruno Alfonso


Prof. Dr. Hércules de Araujo Feitosa

Prof. Dr. Ivete Maria Baraldi

Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento

Prof. Dr. Rubens de Figueiredo Camargo


Comitê científico

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola (Unesp/FC - Bauru)

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Contato e suporte técnico



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Editoração:

Ivone Barbieri (Unesp/FC – Bauru)

FICHA CATALOGRÁFICA

510

C919

C.Q.D. – Revista Eletrônica de Matemática [re-

curso eletrônico] / Faculdade de Ciências, De-

partamento de Matemática. – Vol. 6, (jul.

2016) Edição Iniciação Científica – Bauru :

Departamento de Matemática, 2012-

Semestral

ISSN 2316-9664

Disponível em:

http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

1. Matemática - Periódicos. I. Faculdade

de Ciências, Departamento de Matemática.

D esenv olv imento w eb

Thiago Alexandre Domingues de Souza

Sumário

Funções representadas por integrais Felipe Felix Souto, Marta Cilene Gadotti 4

Otimização da produção dos alimentos de um restaurante universitário Glaucia Maria Bessan, Pedro Augusto Mazini dos Santos, Nayara Bibiano Zebediff 15

Funcoes representadas por integrais ∗

Felipe Felix Souto † Marta Cilene Gadotti ‡

Resumo

Na Analise de Fourier os principais elementos sao funcoes definidas por inte-grais, como os coeficientes da Serie de Fourier, ou, principalmente, a funcao daTransformada de Fourier. Assim, as funcoes representadas por integrais, ou inte-grais dependendo de um parametro tem grande importancia nesse tipo de estudo.Neste trabalho, pretendemos estabelecer alguns resultados com respeito a continui-dade, diferenciabilidade e integrabilidade de funcoes definidas por integrais, baseadona referencia [1].

Palavras Chave: Analise de Fourier, funcoes representadas por integrais, integraisdependendo de um parametro

Introducao

Esse topico tem grande importancia, mas, muitas vezes, e deixado de lado noscursos de Calculo e, ate mesmo, em alguns cursos introdutorios a Analise: funcoesrepresentadas por integrais ou, numa nomenclatura antiga, integrais dependendo deum parametro. Um exemplo desse tipo de funcao e a transformada de Fourier deuma funcao f :

F (ξ) =1√2π

∫ ∞−∞

e−ixξf(x)dx.

Nosso objetivo principal sera discutir as propriedades de continuidade, diferen-ciabilidade e integrabilidade de uma funcao mais geral dada por:

Φ(x) =

∫ ∞−∞

f(x, y)dy, (0.0.1)

onde f : I×R→ R e uma funcao que satisfaz certas condicoes, que serao explicitadasnos resultados descritos neste texto, e I pode ser um intervalo limitado ou nao deR.

∗Trabalho realizado como parte do projeto de Iniciacao Cientıfica Fapesp, Processo:2015/00534-0 sob a orientacao da Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti.

†Email: feipe felix [email protected]. Curso de Bacharelado em Matematica,Universidade Estadual Paulista - Rio Claro

‡Email: [email protected], Departamento de Matematica do IGCE-Unesp, Rio Claro.

SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representadas por integrais.

DOI: 10.21167/cqdvol6ic201623169664ffsmcg0414 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemáticajul. 2016. Edição Iniciação Científica.

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1 Integrais definidas

Para estudarmos funcoes do tipo de (0.0.1), devemos, primeiramente, estudar algomais simples, que sao as funcoes representadas por integrais definidas:

ϕ(x) =

∫ b

af(x, y)dy, (1.0.2)

onde f : I × [a, b]→ R e uma funcao e I e um intervalo limitado ou nao de R. Noteque se f for uma funcao contınua, entao ϕ esta bem definida.

Proposicao 1 Se f : I × [a, b] → R e uma funcao contınua, entao ϕ : I → R,definida em (1.0.2), e uma funcao contınua.

Demonstracao: Seja x0 ∈ I qualquer. Queremos mostrar que dado ε > 0, existeδ > 0 tal que, para |h| < δ, temos:

|ϕ(x0 + h)− ϕ(x0)| < ε.

Para tanto, fixamos α > 0 e consideramos a restricao de f no retangulo R dadopor [x0 − α, x0 + α] × [a, b], que e uniformemente contınua (ja que e uma funcaocontınua definida num compacto). Assim, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para(x, y), (x′, y′) ∈ R:{

|x− x′| < δ

|y − y′| < δ⇒ |f(x, y)− f(x′, y′)| < ε

b− a.

Daı,

|ϕ(x0 + h)− ϕ(x0)| ≤∫ b

a|f(x+ h, y)− f(x, y)|dy <

∫ b

a

ε

b− ady = ε,

desde que |h| < δ.

Definicao 2 Dizemos que uma funcao f : I → R e uma funcao L1, quando forintegravel e absolutamente integravel.

Corolario 3 Seja f : I × [a, b] → R uma funcao dada por f(x, y) = g(x, y)k(y),onde g : I × [a, b] → R e uma funcao contınua e k : [a, b] → R e uma funcao L1,entao ϕ e uma funcao continua.

Demonstracao: Dado ε > 0, a continuidade da restricao de g no conjuntoR = [x0−α, x0 +α]× [a, b], para algum α > 0 fixado, implica na existencia de δ > 0tal que para (x, y), (x′, y′) ∈ R tem-se:

|g(x, y)− g(x′, y′)| < ε

[∫ b

a|k(y)|dy

]−1,

entao, para |h| < δ:

|ϕ(x0 + h)− ϕ(x0)| ≤∫ b

a|g(x, y)− g(x′, y′)||k(y)|dy < ε.

Proposicao 4 Seja f : I × [a, b] → R uma funcao contınua, possuindo derivadaparcial fx : I × [a, b]→ R tambem contınua. Entao ϕ : I → R e derivavel e vale:

ϕ′(x) =

∫ b

afx(x, y)dy.

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SOUTO, F. S.; GADOTTI. Funções representadas por integrais. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemáticajul. 2016. Edição Iniciação Científica.

, Bauru, v. 6, p. 4-14,


Demonstracao: Como ϕ define uma funcao contınua, basta mostrar que, dadoε > 0, existe δ > 0 tal que para |h| < δ :∣∣∣∣ϕ(x+ h)− ϕ(x)

h−∫ b

afx(x, y)dy

∣∣∣∣ < ε

ou, equivalentemente,∣∣∣∣∫ b

a

[f(x+ h, y)− f(x, y)

h− fx(x, y)

]dy

∣∣∣∣ < ε.

De fato, dado ε > 0, a continuidade de fx garante a existencia de δ > 0 tal quepara |h| < δ:

|fx(x+ h, y)− fx(x, y)| < ε

b− a. (1.0.3)

Alem disso, do Teorema do Valor Medio, existe θy ∈ [0, 1], tal que:

f(x+ h, y)− f(x, y) = fx(x+ hθy, y)h. (1.0.4)

Portanto, segue de (1.0.3) e (1.0.4) que, para |h| < δ:

∣∣∣∣∫ b

a

[f(x+ h, y)− f(x, y)

h− fx(x, y)

]dy

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

∣∣∣∣f(x+ h, y)− f(x, y)

h− fx(x, y)

∣∣∣∣ dy =

∫ b

a|fx(x+hθy, y)−fx(x, y)|dy < ε.

O proximo Corolario, segue diretamente da proposicao anterior.

Corolario 5 Seja f : I × [a, b] → R uma funcao dada por f(x, y) = g(x, y)k(y),onde g : I×[a, b]→ R e uma funcao contınua com derivada parcial gx : I×[a, b]→ Rcontınua e k : [a, b]→ R e uma funcao L1, entao ϕ e uma funcao derivavel e vale:

ϕ′(x) =

∫ b

afx(x, y) dy.

Proposicao 6 Sejam g : [c, d] × [a, b] → R uma funcao contınua e k : [a, b] → Ruma funcao L1, entao∫ d

c

∫ b

ag(x, y)k(y) dy dx =

∫ b

a

∫ d

cg(x, y)k(y) dx dy.

Demonstracao: Primeiramente, defina F : [c, d]× [a, b]→ R por

F (x, y) =

∫ x

cg(ξ, y) dξ

e G : [c, d]→ R por:

G(x) =

∫ b

aF (x, y)k(y) dy.

Observe que:

G(c) = 0 e G(d) =

∫ b

a

∫ d

cg(x, y)k(y) dx dy.

Pelo Teorema Fundamental do Calculo, F e contınua e Fx(x, y) = g(x, y), logocontınua tambem. Assim, segue do Corolario 5 que:

G′(x) =

∫ b

aFx(x, y)k(y)dy =

∫ b

ag(x, y)k(y)dy.

Por fim, integrando a expressao acima de c ate d, concluımos que:∫ b

a

∫ d

cg(x, y)k(y) dx dy = G(d)−G(c) =

∫ d

c

∫ b

ag(x, y)k(y) dy dx.

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2 Funcoes definidas por integrais improprias

Agora que o caso mais simples foi estudado, podemos seguir com um tipo um poucomais complexo dado por:

ψ(x) =

∫ ∞a

f(x, y) dy, (2.0.5)

onde f : I × [a,+∞) → R e uma funcao satisfazendo algumas hipoteses a seremdefinidas e I pode ser um intervalo limitado ou nao de R. Para que ψ estejabem definida basta que f seja integravel. Entretanto, como nem tudo sao flores,nem a condicao de continuidade dessa funcao sera suficiente para que possamos terresultados analogos aos ja demonstrados. Por exemplo:

Considere a funcao f(x, y) = sen2(x)e−ysen2(x) que e integravel em [0,+∞),para cada x real fixado. E defina:

ψ(x) =

∫ ∞0

f(x, y) dy =

∫ ∞0

sen2(x)e−ysen2(x) dy = limy→∞

(1− e−ysen2(x)),

a qual pode ser dada explicitamente por:

ψ(x) =

{0, se x = kπ, k ∈ Z1, c.c.

que e uma funcao descontınua.Para determinar uma condicao para validar alguns resultados analogos, vamos

trabalhar com o conceito da integral impropria como limite uniforme de integraisdo tipo:

ψN (x) =

∫ N

af(x, y) dy,

assim, como cada ψN e contınua, seu limite uniforme, ψ, tambem sera.

Definicao 7 Dizemos que a integral impropria definida por (2.0.5) converge uni-formemente num intervalo J ⊂ I se, dado ε > 0, existir y(ε) > a tal que para todox ∈ J tem-se: ∣∣∣∣∣

∫ ∞y(ε)

f(x, y) dy

∣∣∣∣∣ < ε.

Proposicao 8 Se f : I×[a,+∞)→ R for uma funcao contınua e a integral definidaem (2.0.5) convergir uniformemente, entao ψ : I → R e contınua.

Demonstracao: Da convergencia uniforme, dado ε > 0, existe um y(ε) > a talque para todo x ∈ I: ∣∣∣∣∣

∫ ∞y(ε)

f(x, y)dy

∣∣∣∣∣ < ε

3.

Alem disso, a continuidade de f garante que existe δ > 0 tal que, para |h| < δ,vale: ∣∣∣∣∣

∫ y(ε)

a[f(x+ h, y)− f(x, y)] dy

∣∣∣∣∣ < ε

3.

Assim, para x e x+ h em I, com |h| < δ, temos:

|ψ(x+ h)− ψ(x)| ≤

∣∣∣∣∣∫ y(ε)

a[f(x+ h, y)− f(x, y)]dy

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫ ∞y(ε)

f(x+ h, y) dy

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∫ ∞y(ε)

f(x, y) dy

∣∣∣∣∣ < ε.

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Proposicao 9 (Teste M de Weierstrass) Suponha que para cada x fixado, afuncao y 7→ f(x, y) seja L1 em [a,∞). Suponha, tambem, que exista uma funcaoM : [a,∞) → R nao negativa e integravel tal que |f(x, y)| ≤ M(y), para todox ∈ J ⊂ [a,∞). Entao a integral em (2.0.5) converge absoluta e uniformemente emJ , isto e, as integrais: ∫ ∞

af(x, y)dy e

∫ ∞a|f(x, y)|dy

sao uniformemente convergentes em J .

Demonstracao: Como M(y) e integravel, denote∫ ∞a

M(y) dy = L.

Para cada ε > 0, existe y(ε) ∈ [a,∞) tal que:

L− ε <∫ α

aM(y) dy ≤ L, y(ε) < α <∞.

Logo, para y(ε) < α ≤ α′, tem-se:

0 ≤∫ α′

αM(y) dy =

(∫ α′

aM(y) dy − L

)−(∫ α

aM(y) dy − L

)< ε.

Portanto, para a ≤ y(ε) < α ≤ α′ <∞,∣∣∣∣∣∫ α′

αf(x, y)dy

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ α′

α|f(x, y)|dy

∣∣∣∣∣ <∫ α′

αM(y)dy < ε, ∀x ∈ J.

Observacao 10 Nao e sempre que a integral de uma funcao converge absoluta euniformemente, um exemplo bem conhecido e:∫ ∞

0

sen(xy)

ydy ,

cuja integral converge uniformemente, mas nao absolutamente.

Corolario 11 Seja f : I × [a,∞)→ R uma funcao dada por f(x, y) = g(x, y)k(y),onde g : I × [a,∞) → R e uma funcao contınua e limitada (limitacao de g comofuncao de y para x fixado) e k : [a,+∞) → R e uma funcao L1, entao ψ e umafuncao contınua.

Demonstracao: Basta observar que a integral de f definida em (2.0.5) convergeuniformemente pois: ∣∣∣∣∫ ∞

ag(x, y)k(y)dy

∣∣∣∣ < M

∫ ∞a|k(y)|dy,

onde M e o maximo de g(x, y) para x0 − b ≤ x ≤ x0 + b e −∞ < y < +∞, sendob > 0 fixado. E daı, temos a continuidade de ψ no ponto x0.

Observacao 12 Observando a demonstracao acima, ve-se que para demonstrar acontinuidade de ψ num ponto x0, basta supor que a integral em (2.0.5) convirja uni-formemente em uma vizinhanca de x0. No caso de um intervalo ilimitado, a funcaopode ser convergente em cada vizinhanca, sem ser em todo intervalo. Conclui-seque tanto a continuidade, quanto a diferenciabilidade sao propriedades locais.________________________________________________________________________

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Proposicao 13 Seja f : I × [a,∞) → R uma funcao contınua, com derivada par-cial fx : I × [a,∞) → R tambem contınua. Suponha que (2.0.5) convirja (naonecessariamente uniformemente) e que∫ ∞

afx(x, y)dy

convirja uniformemente em I. Entao ψ e derivavel em todo ponto de I e vale:

ψ′(x) =

∫ ∞a

fx(x, y)dy.

Demonstracao: Queremos mostrar que dados ε > 0 e x ∈ I, existe δ > 0 tal que,para |h| < δ: ∣∣∣∣ψ(x+ h)− ψ(x)

h−∫ ∞a

fx(x, y)dy

∣∣∣∣ < ε,

ou seja, ∣∣∣∣∫ ∞a

[f(x+ h, y)− f(x, y)

h− fx(x, y)

]dy

∣∣∣∣ < ε.

De fato, dado ε > 0, da convergencia uniforme, temos a existencia de y(ε) > atal que: ∣∣∣∣∣

∫ ∞y(ε)

fx(x, y)dy

∣∣∣∣∣ < ε

3, ∀x ∈ I. (2.0.6)

Segue do Teorma do Valor Medio que existe θy ∈ [0, 1] tal que

f(x+ h, y)− f(x, y) = fx(x+ hθy, y)h.

Entao, fixado y(ε), da continuidade de fx, existe δ > 0 tal que:∣∣∣∣∣∫ y(ε)

a[fx(x+ hθy, y)− fx(x, y)]dy

∣∣∣∣∣ < ε

3. (2.0.7)

Assim, de (2.0.6) e (2.0.7) temos:∣∣∣∣∫ ∞a

[f(x+ h, y)− f(x, y)

h− fx(x, y)

]dy

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ ∞y(ε)

[fx(x+ hθy, y)

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫ ∞y(ε)

fx(x, y)]dy

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∫ y(ε)

a[fx(x+ hθy, y)− fx(x, y)]dy

∣∣∣∣∣ < ε.

O Corolario seguinte e obtido diretamente da proposicao anterior.

Corolario 14 Seja f : I × [a,∞)→ R uma funcao dada por f(x, y) = g(x, y)k(y),onde g : I × [a,∞) → R e uma funcao contınua, limitada (limitacao de g comofuncao de y e x fixado) e com derivada parcial gx : I × [a,∞) → R uma funcaotambem contınua e limitada, e k : [a,+∞) → R e uma funcao L1, entao ψ e umafuncao diferenciavel.

Proposicao 15 Seja f : I × [a,+∞) → R uma funcao como na Proposicao 8 ouem seu Corolario. Se (2.0.5) converge uniformemente, entao para qualquer intervalolimitado [b, c] ⊂ I, temos:∫ c

b

∫ ∞a

f(x, y) dy dx =

∫ ∞a

∫ c

bf(x, y) dx dy. (2.0.8)

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Demonstracao: Primeiramente, observe que:∫ c

b

∫ ∞a

f(x, y) dy dx =

∫ c

bψ(x) dx

e a integral definida da funcao ψ, que existe pela sua continuidade.Da Proposicao 6, provar (2.0.8) e equivalente a provar:

limN→∞

∫ N

a

∫ c

bf(x, y) dx dy =

∫ c

bψ(x) dx

ou, usando a Proposicao 6,

limN→∞

∫ c

b

∫ N

af(x, y) dy dx =

∫ c

bψ(x) dx

ou ainda,

limN→∞

∫ c

b

∫ ∞N

f(x, y) dy dx = 0.

De fato, dado ε > 0, a convergencia uniforme garante que para N suficientementegrande: ∣∣∣∣∫ ∞

Nf(x, y) dy

∣∣∣∣ < ε

c− b.

Portanto: ∫ c

b

∫ ∞N

f(x, y) dy dx <

∫ c

b

ε

c− bdx = ε.

Finalmente estamos prontos para analisar a funcao do tipo (0.0.1). Primeira-mente, observamos que ela pode ser escrita como a soma de duas integrais do tipo(2.0.5) : ∫ ∞

0f(x, y) dy e

∫ 0

−∞f(x, y) dy =

∫ ∞0

f(x,−z)dz. (2.0.9)

Assim, (0.0.1) converge uniformemente se dado ε > 0, existe y(ε) > 0 tal que:∣∣∣∣∣∫ y(ε)

−∞f(x, y)dy +

∫ ∞y(ε)

f(x, y)dy

∣∣∣∣∣ < ε,

ou seja, se ambas integrais de (2.0.9) convergirem uniformemente.Portanto, podemos enunciar os resultados que nos interessam, que seguem como

corolarios das proposicoes anteriores.

Proposicao 16 Se f : I×R→ R for uma funcao contınua e a integral definida em(0.0.1) convergir uniformemente, entao Φ : I → R e contınua. Mais geralmente,sera suficiente supor f(x, y) = g(x, y)k(y), com g : I×R→ R contınua e k : R→ Ruma funcao L1.

Proposicao 17 Seja f : I×R→ R uma funcao contınua, com derivada parcial fx :I × R → R tambem contınua. Suponha que (0.0.1) convirja (nao necessariamenteuniformemente) e que ∫ ∞

−∞fx(x, y) dy

convirja uniformemente em I. Entao Φ e derivavel em todo ponto de I e vale:

Φ′(x) =

∫ ∞−∞

fx(x, y) dy.

Mais geralmente, sera suficiente admitir f(x, y) = g(x, y)k(y), com g : I × R → Rcontınua, possuindo derivada parcial gx : I × R→ R contınua (ambas limitadas), ek : R→ R uma funcao L1.________________________________________________________________________

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Proposicao 18 Seja f : I × R → R uma funcao contınua. Se (0.0.1) convergiruniformemente, entao para qualquer intervalo limitado [b, c] ⊂ I, temos:∫ c

b

∫ ∞−∞

f(x, y) dy dx =

∫ ∞−∞

∫ c

bf(x, y) dx dy.

Mais geralmente, sera suficiente admitir f(x, y) = g(x, y)k(y), com g : I × R → Rcontınua e k : R→ R uma funcao L1.

Note que, para a mudanca na ordem de integracao, analisamos apenas o casoque uma das integrais e indefinida. Para que possamos ter as duas indefinidas,nao bastara apenas a convergencia uniforme de Φ, como, por exemplo, a funcaof(x, y) = ei(t−y)xf(x, y). Entretanto, existem varias condicoes suficientes, contudoa mais util para a Analise de Fourier e:

Teorema 19 (“Fubinizinho”) Seja f : R× R→ R uma funcao contınua tal queas integrais abaixo convirjam:∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞|f(x, y)| dy dx e

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞|f(x, y)| dx dy. (2.0.10)

Entao, as integrais iteradas da f convergem e∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x, y) dy dx =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x, y) dx dy. (2.0.11)

Demonstracao: Defina:

f+(x, y) =

{f(x, y), se f(x, y) ≥ 0

0, se f(x, y) < 0e f−(x, y) =

{−f(x, y), se f(x, y) < 0

0, se f(x, y) ≥ 0

e observe que f = f+ − f− e que |f | = f+ + f−. Assim, podemos provar apenaspara o caso que f(x, y) ≥ 0. Agora, seja

φ(x) =

∫ ∞−∞

f(x, y) dy = lima,b→∞

∫ b

−af(x, y) dy,

que esta bem definida pois as integrais de (2.0.10) convergem. Alem disso, comof(x, y) ≥ 0, tem-se

φ(x) ≥∫ b

−af(x, y) dy ≥ 0, ∀a, b > 0.

Assim, para quaisquer c, d > 0, temos:∫ d

−cφ(x) dx ≥

∫ d

−c

∫ b

−af(x, y) dy dx =

∫ b

−a

∫ d

−cf(x, y) dx dy ⇒∫ ∞

−∞φ(x) dx ≥

∫ b

−a

∫ d

−cf(x, y) dx dy. (2.0.12)

Como a integral impropria∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x, y) dx dy

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existe, segue que o conjunto

A =

{∫ b

−a

∫ d

−cf(x, y) dx dy / c, d sao fixados e a, b sao quaisquer.

}e limitado , como tambem (2.0.12) e valido para quaisquer c, d > 0, f(x, y) ≥ 0 e

limc,d→∞

∫ d

−cf(x, y)dxdy =

∫ ∞−∞

f(x, y)dx,

segue que, ∫ ∞−∞

φ(x)dx ≥∫ b

−a

∫ ∞−∞

f(x, y) dx dy.

Finalmente, fazendo o limite com a, b→∞, obtemos:∫ ∞−∞

φ(x)dx ≥∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x, y) dx dy,

que e uma parte de (2.0.11), sendo que a outra e simetrica, basta definir

φ(y) =

∫ ∞−∞

f(x, y) dx

Observacao 20 Se considerarmos a integral de Lebesgue, ao inves da integral deRiemman no teorema acima, o resultado e conhecido como teorema de Fubini e bastasupor que uma das integrais em modulo convirja, pois daı teremos a convergenciada outra.

O resultado citado na observacao acima e demonstrado por partes, assim comoapresentado na referencia [2]. Neste trabalho, apresentaremos apenas a demons-tracao para o caso das funcoes escadas, enquanto que o mais geral deixaremos oenunciado para um quesito de curiosidade.

Teorema 21 Seja s ∈ S(R2) (conjunto das funcoes escadas).

(a) Para cada y ∈ R fixo, a integral ∫Rs(x, y) dx

existe e, como uma funcao de y, e Lebesgue integravel em R. Alem disso,∫R2

s(x, y) d(x, y) =

∫R

(∫Rs(x, y) dx

)dy.

(b) Para cada x ∈ R fixo, a integral ∫Rs(x, y) dy

existe e, como uma funcao de x, e Lebesgue integravel em R. Alem disso,∫R2

s(x, y) d(x, y) =

∫R

(∫Rs(x, y) dy

)dx.

(c) Em particular, ∫R

(∫Rs(x, y) dy

)dx =

∫R

(∫Rs(x, y) dx

)dy.


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C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemáticajul. 2016. Edição Científica.

, Bauru, v. 7, p. 4-14,


Demonstracao: Provaremos apenas o item (a), pois o (b) saira de modo analogoe (c) e uma decorrencia de (a) e (b).Note que existem a1 < b1, e a2 < b2 tais que s : [a1, b1] × [a2, b2] → R e umafuncao escada em [a1, b1]× [a2, b2] e s(x, y) = 0, ∀(x, y) 6∈ [a1, b1]× [a2, b2]. Entao,exitem particoes a1 = x0 < x1 < · · · < xn < b1 e a2 = y0 < y1 < · · · < ym < b2,de [a1, b1] e [a2, b2] respectivamente, e cij ∈ R tais que, para todo i ∈ {1, . . . , n} ej ∈ {1, . . . ,m}:

s(x, y) = cij , ∀x ∈ (xi−1, xi) e ∀y ∈ (yj−1, yj).

Assim,

∫[xi−1,xi]×[yj−1×yj ]

s(x, y) d(x, y) = cij(xi−1, xi)(yj−1 × yj) =

∫[yj−1,yj ]

(∫[xi−1,xi]

s(x, y) dx

)dy.

Daı, fazendo a soma sobre i e j, obtemos∫[a1,b1]×[a2,b2]

s(x, y) d(x, y) =

∫[a2,b2]

(∫[a1,b1]

s(x, y) dx

)dy.

Como s(x, y) = 0 ∀(x, y) 6∈ [a1, b1]× [a2, b2], segue o resultado.

Teorema 22 (Teorema de Fubini) Suponha f ∈ L(R2) (conjunto das funcoesintegraveis a Lebsegue). Entao:

(a) A integral de Lebesgue ∫Rf(x, y) dx

existe para quase todo y ∈ R e a funcao G : R→ R, definida por:

G(y) =

∫Rf(x, y) dx, se a integral existe

0, c.c.

e Lebesgue integravel em R e∫Rf(x, y) dx =

∫RG(y) dy ;

(b) A integral de Lebesgue ∫Rf(x, y) dy

existe para quase todo x ∈ R e a funcao H : R→ R, definida por:

H(x) =

∫Rf(x, y) dy, se a integral existe

0, c.c.

e Lebesgue integravel em R e∫Rf(x, y) dy =

∫RH(x) dx ;

(c) Em particular, ∫R

(∫Rf(x, y) dy

)dx =

∫R

(∫Rf(x, y) dx

)dy.


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, Bauru, v. 7, p. 4-14,


3 Consideracoes finais

Como foi mencionado anteriormente, a Transformada de Fourier e um tipo defuncao definida por uma integral impropria e com os resultados apresentados nestetrabalho, podemos realizar o estudo da continuidade e diferenciabilidade deste tipode funcao e de suas propriedades. O texto descrito aqui e util no estudo de todafuncao definida por integrais improprias, como a Transformada de Laplace, a funcaoGama, entre outras.

Referencias

[1] Figueiredo, Djairo Guedes de, Analise de Fourier e Equacoes Diferenciais Par-ciais, Associacao Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada, Rio deJaneiro, 2003.

[2] W.W.L Chen, Introduction to Lesebgue Integral; Lecture Notes of WilliamChen, 1977.


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Otimizacao da Producao dos alimentos de umrestaurante universitario ∗

Glaucia Maria Bressan; Pedro Augusto Mazini dos Santos;Nayara Bibiano Zebediff †

Resumo

Este trabalho tem como objetivo minimizar o custo total da producao de ali-mentos de um Restaurante Universitario, utilizando modelos matematicos de Pro-gramacao Linear. Os custos otimos obtidos pelos modelos sao comparados comos custos reais vivenciados pelo restaurante, levando em consideracao a demandadiaria das refeicoes, a quantidade e o perfil de usuarios, alem dos nutrientes indis-pensaveis para suprir as necessidades diarias em cada refeicao (almoco e jantar).O Metodo Simplex e aplicado nos modelos propostos para obtencao das solucoesotimas, ou seja, dos custos mınimos de producao. Os resultados se mostram pro-missores e auxiliam na tomada de decisao, proporcionando aumento do lucro naproducao dos alimentos e, consequentemente, diminuicao de desperdıcios, quandocomparados com a pratica usual do restaurante em estudo.

Palavras Chave: Restaurante Universitario. Programacao Linear. Metodo Sim-plex.

Introducao

O restaurante universitario (RU) em estudo esta localizado na Universidade Tec-nologica Federal do Parana, campus Cornelio Procopio. Possui um grande numerode usuarios e e utilizado por alunos, professores e servidores que realizam suas re-feicoes (almoco e jantar) diariamente. Atualmente, foi necessario um aumento doespaco fısico do restaurante, em virtude do crescimento do numero de usuarios.Diante deste fato, este restaurante deve entao produzir uma quantidade maior dealimentos em cada refeicao para atender a demanda diaria de almoco e jantar. Ocardapio basico e composto por arroz, feijao, bisteca e frango grelhado. Cada usuariopode se servir de arroz, feijao e escolher um destes dois tipos de carne oferecidos.

Com este consequente aumento da producao dos alimentos, surgiu a preocupacaocom o aumento de possıveis sobras e com o custo total da producao destes alimentos,o que pode afetar o lucro da empresa responsavel pelo funcionamento do restaurante,que e terceirizado. A partir deste contexto, este trabalho propoe uma formulacaomatematica do problema apresentado como um Problema de Programacao Linear

∗Departamento de Matematica campus Cornelio Procopio.†Email: [email protected]. Curso de Licenciatura em Matematica.

Universidade Tecnologica Federal do Parana

BESSAN, G. M.; SANTOS, P. A. M.; ZEBEDIFF, N. B. Otimização da produção dos alimentos de um restaurante universitário.

DOI: 10.21167/cqdvol6ic201623169664gmbpamsnbz1527 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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Revista Eletrônica Paulista de Matemática jul. 2016. Edição Iniciação Científica., Bauru, v. 7, p. 15-27,C.Q.D. -

(PPL), baseado na formulacao do conhecido Problema da Dieta, explorado na lite-ratura por [4], [5] e [12].

Desta forma, Com o objetivo de minimizar o custo total da producao de alimen-tos do Restaurante Universitario (RU) da UTFPR campus Cornelio Procopio, estetrabalho propoe unir as tecnicas da Programacao Matematica com a necessidade doplanejamento dessa producao [15], [18], modelando o problema como um problemade programacao linear baseado no Problema da Dieta [16] e buscando suas solucoesotimas pela aplicacao do Metodo Simplex, cujo conteudo, descrito na Secao 3, podeser encontrado em [5], [11] e [8]. As solucoes numericas obtidas pela execucao dosmodelos sao analisadas - quanto a variacao e a sensibilidade dos parametros - ecomparadas com os custos reais vivenciados pelo restaurante em estudo.

Como resultado, espera-se que os modelos matematicos fornecam as quantidades(em kg) de alimentos que devem ser produzidas para o almoco e para o jantar, bemcomo o custo total de producao, que por sua vez, deve ser o custo mınimo.

Este trabalho esta organizado como segue. A Secao 1, seguinte a esta introducao,apresenta a revisao bibliografica do tema, que aborda o Problema da Dieta. Emseguida, a Secao 2 descreve brevemente sobre a Programacao Linear e o algoritmodo Metodo Simplex. A Secao 3 informa sobre o funcionamento do restauranteem estudo e os dados a serem considerados para a formulacao do problema. Osmodelos matematicos de programacao linear baseados no Problema da Dieta saoapresentados na Secao 4, juntamente com os resultados obtidos pela aplicacao doMetodo Simplex. Finalmente, as Secoes 5 e 6 apresentam, respectivamente, asconclusoes dos resultados e as consideracoes finais.

1 Breve Historico

O Problema da Dieta vem sendo explorado na literatura desde 1945 e foi propostopor George Stigler, pioneiro no ramo [16]. Nesta epoca, nao havia um metodo quefacilitasse os calculos; o metodo simplex ainda nao tinha sido proposto por GeorgeDantzig, por isso, Stigler resolveu um amplo conjunto de inequacoes para que ob-tivesse a resposta desejada. Mais recentemente, o trabalho de [12] apresenta umaferramenta para avaliacao de modelos matematicos para a otimizacao do planeja-mento de dietas. Os resultados da implementacao de alguns modelos sao obtidos ecomparados.

Historicamente, segundo [16], o problema da dieta visava atender as necessidadesnutricionais de um homem mediano, pesando aproximadamente 70 kg. Desejava-se descobrir qual quantidade dentre 77 diferentes alimentos deveria ser ingeridadiariamente, de modo que as necessidades mınimas de nutrientes fossem iguais asrecomendadas pelo Conselho Nacional de Pesquisa Norte-americano e que, alemdisso, a dieta elaborada tivesse o menor custo possıvel. A solucao de um problema deprogramacao linear pode ser obtida por meio de heurısticas ou por meio de metodosexatos como o Metodo Simplex, cujo algoritmo foi desenvolvido por George Dantzigem 1947 para resolver problemas numericos de Programacao Linear [4]. Este metodose trata de um metodo iterativo de auxılio a tomada de decisao, que sera abordadona Secao 3. Dantzig necessitava encontrar um bom problema para testar o novometodo criado, sendo o problema da dieta de Stigler escolhido para isso. Existemvarios problemas abordando o tema, recentemente [5] desenvolveram o Problemada Programacao de Dietas em uma Clınica de Repouso e o principal objetivo daclınica, que recebe cerca de 50 pacientes em um fim de semana, e a escolha dasdietas e a preparacao das refeicoes visando a desintoxicacao alimentar e atividadefısica dos pacientes.


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Segundo [12], o problema original proposto por Stigler e de extrema importanciapara o desenvolvimento da Programacao Linear, bem como seus atos e aplicacoesposteriores. Mais especificamente, analisando a questao alimentar, abre-se a opor-tunidade da aplicacao de diferentes modelos matematicos visando a melhoria daalimentacao da populacao.

2 Materiais e metodos

A Pesquisa Operacional (PO) e uma ciencia que visa o desenvolvimento e a aplicacaode metodos cientıficos para a resolucao de problemas e tomadas de decisao [5] e [1].E aplicada a problemas em que se faz necessario especificar, de forma quantitativa,a conducao e a coordenacao das operacoes ou atividades dentro de uma organizacao.Possui grande utilidade na solucao de problemas de otimizacao, na tomada de de-cisoes e no gerenciamento de sistemas, selecionando as melhores decisoes, dentretodas as possıveis [5].

Exemplos de modelos matematicos sao os modelos de Programacao Matematica,uma das mais importantes variedades dos modelos quantitativos que apresenta umagrande utilidade na solucao exata de problemas de otimizacao. Os algoritmos eos metodos da Programacao Matematica buscam estruturar e solucionar modelosquantitativos que podem ser expressos matematicamente. Os modelos sao estru-turados logicamente com o objetivo de determinar as melhores condicoes de funci-onamento para os sistemas representados e se reunem em algumas subareas comoa Programacao Linear [5] e [1], a Programacao Nao Linear [7] e a ProgramacaoInteira [13]. Como na modelagem matematica do problema do RU, proposta nessetrabalho, todas as equacoes envolvidas sao lineares, entao trata-se de um problemade programacao linear (PPL).

A formulacao geral de um PPL deve conter 3 partes fundamentais: a funcaoobjetivo, as restricoes e as condicoes de nao-negatividade. Para a funcao objetivo epara cada uma das restricoes consideradas, escreve-se uma equacao linear, relacio-nando as variaveis de decisao com os coeficientes conhecidos. Um PPL e dito estarescrito na forma padrao quando formulado de acordo com as Equacoes (2.1), (2.2)e (2.3) [1].

Minimizarf(x1, x2, . . . xn) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn (2.1)

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . . (2.2)

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm,

x1, x2, . . . , xn ≥ 0 (2.3)

onde,aij , (i = 1, 2, . . . ,m ; j = 1, 2, . . . , n) → coeficientes tecnicos ou tecnologicos

(reais);b1, b2,. . . , bm → termos independentes (constantes de restricao ou segundos

membros);c1 , c2,. . . , cn →coeficientes da funcao objetivo (coeficientes de custo);x1, x2,. . . , xn → variaveis de decisao (principais ou controlaveis);

A funcao linear (2.1) a ser minimizada representa a funcao objetivo;


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O sistema de equacoes lineares (2.2) representa as restricoes (restricoes funcio-nais);

A equacao (2.3) representa as condicoes de nao negatividade das variaveis.A solucao para o problema do RU, proposto neste trabalho, e obtida aplicando-

se o Metodo Simplex [4], que se trata de um metodo iterativo de auxılio a tomadade decisoes e que pode ser consultado em [1] e [3]. Em linhas gerais, segundo [5],o Metodo Simplex parte de uma solucao basica viavel, pertencente a um vertice,do sistema de equacoes que constituem as restricoes do problema. A partir dessasolucao inicial, o algoritmo identifica novas solucoes viaveis de valor igual ou melhorque a corrente. Assim, o processo encontra novos vertices da envoltoria convexa doproblema e determina se este vertice e otimo ou nao, ou seja, se a troca de variaveisna base pode ainda melhorar a funcao objetivo. O algoritmo para implementacao doMetodo Primal Simplex, o mais aplicado na literatura para a resolucao do Problemada Dieta, e descrito a seguir para um PPl escrito na forma padrao de acordo comas equacoes (2.1) a (2.3).

Algoritmo Primal SimplexFase IEncontre uma particao basica primal-factıvel: A = (B,N).Os vetores das variaveis basicas e nao basicas sao, respectivamente:

XB = (xB1xB2 ...xBm)T ;XN = (xN1xN2 ...xNn−m)T

Faca PARE=FALSO, IT=0(Sera FALSO ate que a condicao de otimalidade seja verificada. IT indica o

numero da iteracao.)Fase IIEnquanto NAO PARE faca:Passo 1: Determine a solucao basica primal factıvel: XB = B−1bPasso 2: Calculo dos custos reduzidos

2.1. vetor multiplicador simplex: λT = cTBB−1

2.2. custos reduzidos (coeficientes das variaveis nao basicas da funcaoobjetivo): cNj − λTaNj , j = 1, 2, ..., n−m2.3. determinacao da variavel a entrar na base: cNk

= min{cNj}.A variavel xNk

entra na base.Passo 3: Teste de otimalidade

Se cNk≥ 0 entao a solucao na iteracao IT e otima. PARE=VERDADE.

Passo 4: Calculo da direcao simplex: y = B−1aNk

Passo 5: Determine o passo e variavel a sair da base: Se y ≤ 0, entao o problemanao tem solucao otima finita PARE=VERDADE.

Senao: ε = min{

xBiyi|yi > 0, i = 1, . . . ,m

}Passo 6: Atualizacao da particao basica: B = [aB1 ...aBl−1

aNkaBl+1

...aBm ] eN = [aN1 ...aNk−1

aBlaNk+1

...aNn−m ]IT ← IT + 1Retorne ao Passo 1.

Fim do algoritmo

Detalhes sobre a Fase I e determinacao da variavel que entra na base podem servistos em [10, 2, 19].

Apos a obtencao da solucao otima, obtida pelo Metodo Simplex, uma analise desensibilidade pode ser feita para prever o comportamento da funcao objetivo apos


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modificacoes de algum dos parametros do PPL. Esta analise e aplicada, por exemplo,ao planejamento a longo prazo e aos novos requisitos, visando uma melhoria naformulacao do PPL [9].

3 Descricao do Problema

O restaurante da UTFPR do campus Cornelio Procopio, local de estudo e coletade dados deste trabalho, e administrado por uma empresa terceirizada pela Uni-versidade. Trata-se de um restaurante de auto-servico, com excecao a carne, quepode ser escolhida entre bisteca, frango ou uma carne ’do dia’, como opcao. Osalimentos adotados como cardapio basico no problema abordado neste trabalho saoarroz, feijao, frango e bisteca, pois sao alimentos servidos diariamente no almoco eno jantar.

O problema, formulado como um PPL, tem por objetivo minimizar o custoda producao diaria destes alimentos, de forma que atenda a demanda diaria derefeicoes: em media, 733 usuarios para o almoco e 607 usuarios para o jantar. Osdados foram coletados no restaurante durante os meses de Abril e Maio de 2014.Alem da demanda, deve fornecer a quantidade mınima de nutrientes necessarios aosusuarios, que cada refeicao deve satisfazer.

Figura 1: Restaurante Universitario.

O restaurante universitario e localizado no terreo da universidade, sendo defacil acesso a todos que transitam pela instituicao. Dispoe de um espaco fısico deaproximadamente 666,89 m2, com 67 mesas e 268 cadeiras suficientes para acomodaresse numero de usuarios fazendo suas refeicoes simultaneamente, como pode servisto na Figura 1. A Figura 2 mostra as bancadas do servico de auto-atendimento(self-service). As refeicoes tem o custo de R$3,00 reais para alunos e servidores.

O restaurante e aberto de segunda a sexta-feira, com horario de funcionamentopara o almoco das 11 horas da manha as 14 horas da tarde e o jantar das 17horas e 30 minutos da tarde as 21 horas e 30 minutos da noite. Aos sabados orestaurante fornece apenas almoco, que possui o mesmo horario de funcionamentode segunda a sexta-feira. O servico do restaurante e terceirizado; trabalham cerca


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Figura 2: Servico de Self Service.

de 30 funcionarios entre cozinheiras, nutricionista, administrador, operados de caixae faxineiras.

Os dados referentes a quantidade de nutrientes por 100 gramas de alimentocozido foram extraıdos da Tabela Brasileira de Composicao de Alimentos (Nepa -Unicamp, 2011).

A Tabela 1 exibe os valores referentes a energia, proteına, carboidrato e ferroque o organismo humano necessita diariamente. Estes nutrientes sao os selecionadospara serem inseridos nas restricoes dos modelos, pois os alimentos servidos diari-amente no RU sao ricos em carboidrato (arroz), ferro (feijao), proteına (frango ebisteca) e energia (presente em todos os alimentos).

Tabela 1: Tabela de necessidades nutricionais com unidade de medida 100gAlimento Energia Proteına Carboidrato Ferro

Arroz 128 kcal 2,5g 28,1g 0,1mg

Feijao 76 kcal 4,8g 13,6g 1,3mg

Frango G. 156 kcal 32g 0g 0,3mg

Bisteca Suına 280 kcal 28,9g 0g 0,9mg

As restricoes do PPL consideram a demanda de usuarios para as refeicoes ea quantidade de nutrientes necessaria para o almoco e para o jantar, conforme operfil dos usuarios do restaurante. Considerando o fato de que todos os alunosmatriculados podem fazer suas refeicoes no restaurante, de acordo com o sistemaacademico da UTFPR-CP, 80,87% dos usuarios sao do sexo masculino com idadeentre 19 e 23 anos; os demais, 19,13%, sao do sexo feminino, de mesma faixa etaria.Desta forma, os dados sobre os nutrientes inseridos no modelo, sao baseados em umapessoa do sexo masculino, na faixa etaria de 19 a 23 anos, o que constitui a grandemaioria dos usuarios. Tambem foi considerado, no custo da producao de alimentos,o chamado fator de rendimento de cada alimento, de acordo com [14]. Este fatorde rendimento indica o quanto o alimento ganha ou perde, em peso, durante o seuprocessamento termico (cozimento). O arroz e o feijao, por exemplo, tem seu peso


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aumentado apos o cozimento, o que nao acontece com as carnes. A Tabela 2 exibeo fator de rendimento dos alimentos considerados neste trabalho.

Tabela 2: Tabela de fator de Rendimento (Perda Termica)Alimento Fator de Rendimento

Arroz 2,5

Feijao 3

Frango G. 0,6

Bisteca Suına 0,7

O resultado esperado e a quantidade em quilogramas (kg) de arroz, feijao, frangoe bisteca que deve ser produzida no almoco e no jantar com um custo mınimo, deforma que satisfaca a demanda e atenda as necessidades diarias de nutrientes.

4 Resultados

Sao apresentadas a seguir quatro situacoes possıveis que podem ocorrer no RU,modeladas como problemas de programacao linear. As variaveis de decisao x1,x2, x3 e x4 representam, respectivamente, as quantidades em quilograma a seremproduzidas de arroz, feijao, bisteca e frango. Como os usuarios podem optar porfrango ou bisteca, considera-se um dado ja praticado pelo restaurante: a producaodestes alimentos de forma que uma opcao exclua a outra. Portanto, o Modelo 1representa a situacao em que os usuarios optem por frango durante o almoco. OModelo 2 representa a opcao de bisteca no jantar. Por sua vez, o Modelo 3 representaa opcao de bisteca no almoco e, o Modelo 4, a opcao de frango no jantar. A primeirarestricao de cada um dos modelos representa a quantidade de energia que deve sersatisfeita na refeicao; a segunda restricao, por sua vez, representa a quantidade deproteına, a terceira, de carboidrato e a a quarta, de ferro. As ultimas tres restricoesde cada modelo representam os limitantes superiores e inferiores das variaveis paraque todos os alimentos estejam presentes na solucao otima.

As formulacoes dos PPL’s apresentados a seguir foram obtidas da seguinte ma-neira: na funcao objetivo, os coeficientes das variaveis de decisao x1, x2, x3 e x4, osquais representam o preco dos alimentos, foram convertidos de quilograma (kg) para100g, unidade usada na modelagem do problema. Alem disso, o fator de rendimentofoi aplicado nos coeficientes das variaveis de decisao, pois o objetivo e minimizar ocusto da producao dos alimentos ja preparados. No conjunto de restricoes, supomosuma porcao media, de acordo com o perfil dos usuarios, de 200g de arroz, 100g defeijao, 100g de frango grelhado ou 100g de bisteca suına, lembrando que uma opcaode mistura exclui a outra. Dessa forma, os coeficientes das variaveis de decisao nasrestricoes sao obtidos a partir dos valores da Tabela 6, multiplicados pelos valoresda porcao media considerada. As constantes das restricoes sao obtidas a partir dasoma de cada nutriente presente em cada alimento, multiplicando-se pela media deusuarios de almoco e jantar.

Modelo 1 Modelo 2min 0, 068x1 + 0, 097x2 + 1, 22x4 min 0, 068x1 + 0, 097x2 + 1, 03x3

sa sa256x1 + 76x2 + 159x4 ≥ 359903 256x1 + 76x2 + 280x3 ≥ 3714845x1 + 4, 8x2 + 32x4 ≥ 30639, 4 5x1 + 4, 8x2 + 28, 9x3 ≥ 23673


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56, 2x1 + 13, 6x2 ≥ 51163, 4 56, 2x1 + 13, 6x2 ≥ 41822, 30, 2x1 + 1, 3x2 + 0, 3x4 ≥ 1329, 4 0, 2x1 + 1, 3x2 + 0, 9x3 ≥ 1456, 8x1 < 2199 x1 < 1821x2 < 1466 x2 < 1214x4 > 0 x3 > 0

Modelo 3 Modelo 4min 0, 068x1 + 0, 097x2 + 1, 03x3 min 0, 068x1 + 0, 097x2 + 1, 22x4

sa sa256x1 + 76x2 + 280x3 ≥ 448596 256x1 + 76x2 + 159x4 ≥ 2980375x1 + 4, 8x2 + 28, 9x3 ≥ 28367 5x1 + 4, 8x2 + 32x4 ≥ 25372, 6356, 2x1 + 13.6x2 ≥ 51163, 4 56, 2x1 + 13, 6x2 ≥ 41822, 30, 2x1 + 1, 3x2 + 0, 9x3 ≥ 1759, 2 0, 2x1 + 1, 3x2 + 0, 3x4 ≥ 1092, 6x1 < 2199 x1 < 1821x2 < 1466 x2 < 1214x3 > 0 x4 > 0

Os modelos foram executados com o apoio computacional do software LINDO 1

para a obtencao das solucoes otimas e auxılio na tomada de decisao. A configuracaoutilizada para as execucoes dos PPL´s refere-se a um processador Intel Core I3-3110M 2.40 GHz , memoria RAM de 4GB, sistema Windows 8.1.

A Tabela 3 exibe as solucoes otimas encontradas para as funcoes objetivo, ouseja, os valores dos custos mınimos diarios para a producao de alimentos no RU emcada uma das situacoes consideradas.

Tabela 3: Resultados para a Funcao Objetivo

Opcao F.O.

Modelo 1 772,40

Modelo 2 553,11

Modelo 3 660,08

Modelo 4 639,63

Os valores para as variaveis basicas, fornecidos pela solucao otima, sugerem aquantidade em quilogramas que deve ser produzida de cada alimento, para o almocoe jantar, diariamente. As Tabelas 4 a 7 apresentam os resultados para todas ascombinacoes possıveis de opcoes de almoco e jantar, de acordo com as escolhas dosusuarios. As colunas “Almoco” e “Jantar” apresentam a quantidade de alimento aser produzida em quilogramas para almoco e jantar. A coluna seguinte representao preco por quilograma de alimento e a ultima coluna exibe o custo mınimo totalde cada alimento, a partir das solucoes otimas dos modelos.

Apos a obtencao das solucoes otimas, a analise de sensibilidade dos parametrosdos modelos sugeridos e realizada para avaliar o comportamento da funcao obje-tivo, bem como o valor do custo mınimo total, de forma que as variaveis basicaspermanecam na base. A Tabela 8 mostra o intervalo de variacao dos coeficientes dafuncao objetivo para o Modelo 1, de maneira que as varaveis basicas continuem nabase.

1Linear interactive and discrete optimizer - www.lindo.com


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Tabela 4: Custo mınimo utilizando Modelo 2 (jantar) e Modelo 3 (almoco)

Almoco Jantar Preco por kg (R$) Custo Total (R$)

Arroz 21,99 18,21 0,68 27,34

Feijao 14,66 12,14 0,97 26,00

Bisteca G. 35,76 30,24 10,28 678,48

TOTAL 731,82

Tabela 5: Custo mınimo utilizando Modelo 1 (almoco) e Modelo 4 (jantar)


Arroz 21,99 18,21 0,68 27,34

Feijao 14,66 12,14 0,97 26,00

Frango G. 39,40 32,63 12,17 876,61

TOTAL 929,95



Arroz 21,99 18,21 0,68 27,34

Feijao 14,66 12,14 0,97 26,00

Frango G. 39,40 - 12,17 455,16

Bisteca G. - 30,24 10,28 310,87

TOTAL 819,37



Arroz 21,99 18,21 0,68 27,34

Feijao 14,66 12,14 0,97 26,00

Frango G. - 32,63 12,17 397,11

Bisteca G. 35,76 - 10,28 367,61

TOTAL 818,06

Tabela 8: Analise de Sensibilidade (Funcao Objetivo - Modelo 1)Variaveis Valor Mınimo Valor Maximo

x1 −∞ 0,19063x2 −∞ 0,183x4 0,64667 ∞

A Tabela 9 exibe os intervalos de variacao das constantes das restricoes, asquais estao enumeradas de acordo com as linhas do Modelo 1. O valor corrente


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das constantes pode variar do valor mınimo ao valor maximo, para que as variaveispermanecam na base.

Tabela 9: Analise de Sensibilidade (Limite das Restricoes - Modelo 1)Restricoes Valor Mınimo Valor Maximo

02 −∞ 737,00403 18031,80078 ∞04 −∞ 143521,398405 −∞ 2463,7962606 567,63159 4720,5200207 562,09863 4092,5832508 −∞ 393,987488

Tabela 10: Analise de Sensibilidade (Funcao Objetivo - Modelo 2)Variaveis Valor Mınimo Valor Maximo

x1 −∞ 0,1782x2 −∞ 0,17107x3 0,58402 ∞


02 −∞ 643125,937503 14932,2002 ∞04 −∞ 118850,597705 −∞ 2213,80487106 51224231 3569,16003407 555,336487 303508 −∞ 302,449829

A Tabela 10 refere-se aos possıveis intervalos para os coeficientes da funcaoobjetivo do Modelo 2. Os intervalos em que as variaveis da funcao objetivo doModelo 3 podem ser alteradas sao os mesmos do Modelo 2. Logo, esta mesmatabela e valida tambem para o Modelo 3.

A Tabela 11 representa os intervalos em que as constantes das restricoes doModelo 2 podem variar. A analise de sensibilidade das constantes das restricoes doModelo 3 e descrita na Tabela 12 e a analise de sensibilidade para os limites dasconstantes das restricoes do Modelo 4, e apresentada na Tabela 13.

Para o Modelo 4, a analise de sensibilidade da funcao objetivo e igual a doModelo 1, pois utilizam as mesmas variaveis. Esta, e representada na Tabela 8.

A partir dessas analises, sao conhecidos os intervalos permitidos para a variacaodo preco dos alimentos (coeficientes da funcao objetivo), assim como os intervalosde variacoes das demandas (constantes das restricoes) descritas em cada modelo.

Para exemplificar, observe o Modelo 1. De acordo com a analise de sensibilidadeda Tabela 8, o coeficiente da variavel x4 pode assumir o valor mınimo de 0,64667.


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02 −∞ 774493,437503 18031,79981 ∞04 −∞ 143521.398405 −∞ 2667,457406 628,84204 426607 676,5672 3619,166708 −∞ 357,619385


02 −∞ 610315,7503 14932,19922 ∞04 −∞ 118850,601605 −∞ 2040,27874806 470,057739 3909,08007807 458,0877441 3389,08325208 −∞ 326,262512

Aplicando esse valor no respectivo coeficiente da funcao objetivo, a solucao otimaobtida e o custo mınimo de R$546,51, que anteriormente era de R$772,40. NoModelo 2, alterando o coeficiente da variavel x1 para 0,1782 na funcao objetivo,valor maximo permitido de acordo com a analise de sensibilidade da Tabela 10, ocusto mınimo varia de R$553,11 para R$753,78, fazendo com que as variaveis basicaspermanecam na base.

5 Conclusao

Durante os meses de Abril e Maio de 2014, perıodo da coleta de dados no res-taurante universitario, observou-se o quanto se produziu durante este perıodo, emquilogramas, de cada alimento aqui descrito, como o arroz, feijao, frango e bisteca.Estas quantidades diarias sao exibidas na Tabela 14. E importante ressaltar que,na pratica diaria do restaurante em estudo, nao ha um planejamento da producao,ou seja, todos os alimentos sao produzidos conforme a demanda de cada refeicao.Ambas as opcoes de carne sao produzidas em sua totalidade, no almoco e no jantar.Tais praticas fornecem um custo unitario de producao de alimentos em todas asrefeicoes.

A Tabela 15 compara os custos da producao de alimentos utilizando as com-binacoes dos modelos propostos neste trabalho com os custos reais vivenciados pelorestaurante. A coluna “F.O. (R$)” representa o custo mınimo oferecido pelo valorda funcao objetivo dos modelos matematicos. A coluna “Real (R$)” representa ocusto real do restaurante, sem o planejamento da producao de alimentos. Final-mente, a ultima coluna representa o lucro obtido ao serem utilizados os modelosmatematicos como planejamento da producao.

Conforme os valores apresentados na Tabela 15, a producao de alimentos pro-posta pelos modelos matematicos e suas combinacoes para as refeicoes de almoco e


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Tabela 14: Quantidade de alimento produzida (em kg) e custo total da pratica diaria doRU

Almoco (kg) Jantar (kg) Preco por kg (R$) Custo Total (R$)

Arroz 57,08 41,71 0,68 67,18

Feijao 29,5 21,28 0,97 49,26

Frango G. 35,37 21,91 12,17 697,10

Bisteca G. 39,8 23,04 10,28 646,00

TOTAL 161,75 107,94 1459,54

Tabela 15: Comparacao do Custo da Producao de Alimentos

Combinacoes dos Modelos F.O. (R$) Real(R$) Lucro (R$)

2 e 3 731,82 1459,54 727,72

1 e 4 929,95 1459,54 529,59

1 e 2 819,37 1459,54 640,17

3 e 4 818,86 1459,54 640,68

jantar proporcionam lucros na producao diaria de alimentos no RU e, consequen-temente, favorecem a diminuicao de desperdıcios. A carne e o alimento mais carodentre os considerados e servidos diariamente no restaurante. Por isso, produzi-lasde forma otimizada, conforme as combinacoes dos modelos, proporciona um lucrodiario consideravel, ao ser comparado com o custo real do restaurante.

6 Consideracoes finais

Este estudo gerou a percepcao da importancia do planejamento no restaurante uni-versitario em estudo, no sentido de determinar a quantidade a ser produzida de cadaalimento oferecido diariamente no almoco e no jantar, de acordo com o numero deusuarios e com a quantidade de nutrientes necessaria em cada refeicao conforme operfil dos seus usuarios. Os modelos de programacao linear, para este caso, forne-cem resultados promissores e auxiliam na tomada de decisao, tendo como principaisconsequencias, o aumento do lucro do restaurante e a diminuicao dos desperdıcios.

Como perspectivas futuras deste trabalho, visando o auxılio na tomada de de-cisao, planeja-se a implantacao dos modelos matematicos propostos no dia a diadesse restaurante; o que ainda depende da autorizacao dos proprietarios do mesmo.Alem disso, pretende-se tambem expandir esse trabalho para restaurantes de outroscampus universitarios e para refeicoes realizadas em escolas publicas.

Referencias

Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.

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