Societat Catalana de Matematiques

President: Carles Perello VallsVicepres.: Josep Lluıs Sole ClivillesSecretaria: Marianna Bosch CasaboTresorera: M. Teresa Martınez-SearaVocals: Ramon Eixarch

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Josep M. Mondelo GonzalezIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albo

Enric Ventura CapellJoan Verdera Melenchon

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.cat

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesFebrer 2007. Numero 23

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

enric.ventura@upc.edu

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

Carles Perello, president de la SCM,Pili Royo, presidenta de laFEEMCAT i Albert Violant,president de la SBM-Xeix.

ISSN: 1696-8247Diposit Legal: B.9480-2003

Index

La Junta informa 1

Internacional 10L’estand a l’ICM 2006 10

In memoriam 11Pere Mumbru i Rodrıguez 11Javier Chavarriga Soriano 13

Noticiari 15Creu de Sant Jordi 15El marc contractual del professorat universitari de

matematiques a Catalunya 18La docencia de les matematiques a la UPC 25Les universitats informen 27Activitats amb ajut de la SCM 30

Activitats de la SCM 33Conferencia inaugural del curs de la SCM 33Segon Congres Txec-Catala de Matematiques 34Web d’EDUMATCAT 36Kangourou sans Frontieres 37

Agenda 39

Contribucions 40Catalonia tambe a la signatura dels nostres articles 40Que publiquem sobre matematiques? 40

Premis 46Medalles Fields 2006 47

Andrei Okounkov 47Grigori Perelman 50Terence Tao 52Wendelin Werner 53

Premi Nevanlinna 2006: Jon Kleinberg 57Premi Gauss 2006: Kiyosi Ito 60Premi Abel 2006: Lennart Carleson 63

Parlem de llibres 65

Webs de matematiques 70

Problemes 71

Tesis 74

La Junta informa

L’Assemblea General de socis (14 de novembre de 2006)

L’ultima Assemblea General de socis de la SCMva tenir lloc el dia 14 de novembre de 2006.Despres d’aprovar, com es habitual, l’acta dela sessio anterior, el president de la SCM, Car-les Casacuberta, va fer una exposicio resumidade l’Informe d’Activitats del Curs 2005-2006,que podeu consultar al web de la Societat. Acontinuacio, va fer un balanc dels quatre anysde gestio de la Junta presidida per ell, que ha-via estat escollida el 20 de juny de 2002, i aca-bava el seu mandat en aquesta assemblea. Enaquest numero de la SCM/Notıcies podeu lle-gir un escritdel president amb aquest caracter.El secretari, Josep Maria Font, va informar queactualment la SCM te nou-cents seixant-nou so-cis, dels quals cent-dotze s’hi han inscrit du-rant aquests quatre anys; aixo representa mesde l’11 % de la massa social actual.

El seguent punt de l’ordre del dia va ser lapresentacio per part de Jaume Amoros, presi-dent de la Comissio de Publicacions Electroni-ques, de la nova serie de monografies editadaper la SCM, on es combina una edicio en pa-per, que es pot obtenir a preu competitiu, ambl’edicio electronica, que consta d’un PDF que espot baixar lliurement del web de la SCM. Amb-dues edicions es fan sota una llicencia CreativeCommons. Es van presentar els primers quatrevolums ja editats.

Despres, el tresorer, Joan Carles Artes, vaexposar el balanc de l’exercici 2005 i el pressu-post per al 2007, que ell mateix comenta en unaltre article mes endavant. Aquest pressupostpreveu un augment mınim de les quotes de so-ci, que per al 2007 seran de 34e l’any per alssocis ordinaris, de 17e per als socis estudiantsi els membres de societats que tinguin un acordde reciprocitat, i de 68e per a les institucions.Tant el balanc de 2005 com el pressupost de2007 van ser aprovats per l’assemblea.

En compliment dels acords d’assemblees an-teriors, el tresorer va comunicar que el Fons dePromocio d’Activitats va despendre el 2005 untotal de 25.263,94e, dels quals 22.170,24e hovan ser per subvencionar activitats propies dela SCM de caracter innovador o extraordina-ri (gairebe la meitat, el congres conjunt ambl’EMS i la reunio del seu Comite Executiu).

Es van dedicar 1.103,35e al Fons de Coope-racio creat en l’assemblea de l’any passat. Esvan dedicar 3.093,70e a col.laborar amb activi-tats organitzades per membres de la comunitatmatematica catalana, concretament a tres con-gressos: el 4t Congres de la Societat Europeade Recerca en Educacio Matematica (Sant Fe-liu de Guıxols, del 17 al 21 de febrer de 2005),el Congres Algebraic and Topological Methodsin Non-Classical Logics II (Barcelona, del 15 al18 de juny de 2005), i les Primeras Jornadas deTeorıa de Numeros (Vilanova i La Geltru, del30 de juny al 2 de juliol de 2005).

El president va explicar que l’IEC ens hademanat que li fem saber el pressupost aprovaten aquesta Assemblea, ja que tal com l’apro-vem l’incorporara al seu propi pressupost peral 2007. Va remarcar que es el primer cop queaixo s’esdeve, i quepracticament ens garanteixque les subvencions que posem en el presuspostles obtindrem. I que, en general, hi ha molt bo-na disposicio per part de la Gerencia de l’IEC,ja que es valora molt be tota la feina que fem iel rigor amb que portem els comptes.

A continuacio va prendre la paraula Car-les Perello, que encapcalava l’unica candidaturapresentada per a la renovacio dels carrecs elec-tius de la Junta Directiva. Mes endavant podeullegir un escrit seu on exposa les perspectivesde la nova Junta per als propers quatre anys.

Un cop duta a terme la votacio, incloentels vots per correu, l’escrutini va comptar ambseixanta-sis vots valids i tres de nuls. Els votsvalids van ser quaranta-nou d’afirmatius, on-ze de negatius i sis en blanc, i per tant, vanquedar proclamats per als propers quatre anysels carrecs electius de la Junta Directiva: pre-sident, Carles Perello i Valls; vicepresident, Jo-sep Lluıs Sole i Clivilles; tresorera, Maria TeresaMartınez-Seara i Alonso, i secretaria, MariannaBosch i Casabo.

En el torn obert de paraules, M. Castelletva manifestar la seva excel.lent valoracio delsmandats de les darreres juntes, i demana queconstes en acta el seu agraıment a la Junta sor-tint. Tots els assistents van ratificar aquesta va-loracio i aquest agraıment amb un fort aplau-diment.

1

El president sortint, Carles Casacuberta, vamanifestar el seu agraıment a tots els socis quehan aportat el seu treball durant tots aquestsanys, i va esmentar els noms dels membres delscomites de la Societat i de la Junta Directiva,i en especial la secretaria administrativa, NuriaFuster, pel seu excel.lent treball i la seva dedica-cio a les tasques de la Societat. L’Assemblea varatificar tambe aquest agraıment amb un fortaplaudiment.

Finalment va prendre la paraula el vicepre-sident sortint, Josep Grane, i en nom dels mem-bres de la Junta Directiva sortint va fer pales elreconeixement d’aquesta Junta al president perl’enorme volum de treball que ha dut a termepersonalment, la seva intensa dedicacio i el seutacte en les questions delicades, que han fet quetreballar al seu costat hagi esdevingut un plaer.Tots els assistents van donar suport a les sevesparaules amb un caloros aplaudiment.

Josep Maria Font i LlovetSecretari de la SCM

Comiat de la Junta

El 17 de setembre de 2002 es va constituir unajunta directiva de la SCM formada per Jau-me Amoros, Joan Carles Artes, Carles Casa-cuberta, Josep Maria Font, Joan Girbau, Anto-ni Goma, Josep Grane, Agustı Reventos, CarlesRomero, Oriol Serra i Frederic Utzet. L’estiu de2004, l’Agustı i en Frederic varen deixar la Jun-ta despres d’una colla d’anys de feina ben fetai s’hi varen incorporar Martı Casadevall, IgnasiMundet, Enric Ventura i Joan Verdera. Aquestcomiat es la darrera oportunitat que tenim totsplegats d’agrair als socis l’interes per les activi-tats de la SCM en aquest perıode i l’entorn tanencoratjador de participacio i de col.laboracioque ens hem trobat.

Amb un miler d’associats i amb un volumconsiderable d’activitats i de recursos econo-mics, la SCM es una de les filials mes grans idinamiques de les vint-i-sis que te l’IEC. Aques-ta bona imatge ha estat premiada amb unbon tracte i una aportacio economica generosaels darrers anys, tant a carrec dels pressupos-tos d’activitats cientıfiques i de publicacions del’IEC com per part de la Seccio de Ciencies iTecnologia. La SCM agraeix sinceramentaquest suport.

Voldrıem destacar alguns dels principis ge-nerals que han guiat les actuacions de la Juntaen aquests quatre anys:

• Continuıtat i creixement. Les activitats em-blematiques de la SCM s’han preservat is’han intentat reforcar. L’Olimpıada Mate-matica es va fent cada any i els represen-tants catalans aconsegueixen sempre llocs demerit en la fase estatal. La Prova Cangurtindra enguany mes de 20.000 participants en

els territoris de parla catalana; ha estat re-coneguda pel Departament d’Educacio de laGeneralitat de Catalunya com una activitatimportant que cal mantenir i el 2006 ha re-but un premi de la Fundacio Caixa Sabadell,el mateix any que l’Assemblea de l’associa-cio internacional Le Kangourou sans Fron-tieres s’ha reunit a Barcelona amb un granexit d’organitzacio. A mes, s’han anat fentels Problemes a l’Esprint i el concurs de car-tells, i s’ha posat en marxa un nou concursde relats. La trobada de socis de la SCM s’hadut a terme cada any amb idees noves perdonar-li empenta, i s’ha organitzat una no-va serie de Trobades d’Ensenyament des de2003, conjuntament amb la FEEMCAT. ElButlletı de la SCM i la revista SCM/Notıcieshan continuat i han crescut gracies a la dedi-cacio dels seus responsables. I ha nascut unanova serie de publicacions lliurement accessi-bles en format electronic, gairebe al mateixtemps que els numeros del Butlletı han es-tat digitalitzats des del seu inici i posats al’abast de tothom al portal de Revistes Ca-talanes amb Acces Obert, com a part d’unainiciativa que la SCM ha estes a les altresrevistes matematiques catalanes.

• Integracio. La llista de persones que han col-laborat en la direccio i l’assessorament de laSCM en aquest perıode ha estat molt ampliagracies a la creacio d’un Comite Cientıfic, unComite d’Ensenyament i un Comite de Pu-blicacions, a mes de la Comissio Cangur ila Comissio de Representacio Internacional.Gracies altra vegada a totes les persones quen’han format part. A mes, la SCM ha pro-

2

curat en tot moment col.laborar de manerafranca i oberta amb les facultats i els de-partaments de matematiques del seu ambit,i ha iniciat una nova serie de conferenciesadrecades a estudiants universitaris per talde fer-se mes propera a ells.

• Dedicacio a l’ensenyament. La Trobada d’En-senyament no ha estat ni de lluny l’unicaaportacio recent de la SCM a l’ambit de l’e-ducacio i la formacio en matematiques. Lacol.laboracio amb la FEEMCAT ha permesdiverses accions conjuntes: declaracio sobrel’estat de l’ensenyament de les matematiquesa Catalunya el 2003; contribucions al Pac-te Nacional per a l’Educacio el 2005; resolu-cio del Parlament de Catalunya sobre el su-port institucional del Govern a l’ICM el 2006,i creacio del portal EDUAMATCAT d’ense-nyament i formacio el 2006, a iniciativa delDepartament d’Educacio. El 2006 tambe s’hasignat un acord de cooperacio amb l’encarajove Societat Balear de Matematiques. I caldestacar de manera singular l’inici del pro-jecte ESTALMAT a Catalunya l’any 2003.

• Catalanitat i internacionalitzacio. La voluntatde la SCM de refermar-se com una institucioque exhibeix amb orgull les quatre barres enel seu logotip i que procura ser coneguda irespectada arreu del mon s’ha fet palesa enmolts moments d’aquest perıode. El magnıficprecedent del Tercer Congres Europeu deMatematiques l’any 2000 va obrir un camıque la Junta actual ha seguit amb pas deci-dit. L’estand conjunt de la SCM, el CRM i laFEEMCAT a Madrid durant l’ICM 2006 n’es

un bon exemple. S’ha mantingut una rela-cio molt cordial de cooperacio amb les al-tres societats matematiques de l’Estat i laSCM ha estat en primera lınia, especialmentdins del Comite Espanyol de Matematiques(abans Comite IMU) i en l’organitzacio del’ICM 2006. L’Assemblea General de socisde la SCM va aprovar el 2004 una declaraciosobre la representacio internacional de Cata-lunya en l’ambit de les matematiques, que vatenir continuıtat amb la publicacio de l’infor-me Mathematics in Catalonia el 2006. Tambes’han reforcat els lligams amb la Societat Ma-tematica Europea, particularment durant elJoint Mathematical Weekend que la SCM vaorganitzar el setembre de 2005. I s’ha inici-at una relacio molt amical amb la SocietatMatematica Txeca, amb la qual s’han fet doscongressos conjunts: un a Praga el 2005 i unaltre a Barcelona el 2006. L’inici dels con-tactes per a una reciprocitat amb la SocietatMatematica Australiana ha estat la darreraaccio de la Junta en aquest sentit.

El 14 de novembre de 2006 hem passat elrelleu a un nou equip que s’ha posat al capda-vant de la Societat amb il.lusio i idees noves.Molts dels membres de la Junta sortint tornena formar part d’aquest equip. Gracies a totsells per voler continuar treballant, i gracies a laNuria per conduir tan be la Secretaria. Podeudonar per descomptat que fins i tot els que jano hi som farem el que estigui al nostre abastper contribuir que la SCM sigui cada any mesgran i mes apreciada.

Carles CasacubertaPresident sortint

Benvinguda de la nova Junta

La matematica constitueix una part importantde la nostra cultura. Es l’eina de la ment queens ha permes retratar el comportament delque ens envolta, i es l’arma de la infal.libilitat.Afegides a aquestes caracterıstiques, hi trobeml’estetica i el repte. L’estetica i el repte del quees cristal.lı i del que es difıcil.

Les activitats relacionades amb la matema-tica es multipliquen. No hi ha ciencia que enprescindeixi i algunes en depenen totalment.

D’una banda la seva dificultat, i de l’altrael desconeixement de fins a quin punt la nos-tra cultura, principalment la cientıfica i la tec-nologica en depenen, fan que la cultura ma-tematica a la societat sigui minsa i, per tant,que les cultures cientıfica i tecnologica tin-guin una base feble. Si no fos que aquesta fe-blesa te consequencies en el desenvolupamentdel paıs, a traves de propiciar poques voca-cions cientıfiques i poques iniciatives que re-

3

quereixin coneixements mes pregons, no cal-dria preocupar-se’n gaire. Com que sı que ente, doncs preocupem-nos-en.

La SCM ha estat al llarg dels darrers anysel portaveu de la nostra comunitat. D’una ma-nera creixent ha anat portant a terme la laborde donar a coneixer i prestigiar el coneixement il’us de la matematica en diferents ambits i esta-ments. La seva activitat es molta i polifacetica.

El repte que representa per a un nou equipdirigir les activitats de la Societat Catalana deMatematiques no es trivial. No es el meu paperfer un informe sobre quines han estat aquestesactivitats, pero cal esmentar-les per ubicar-nos.

Les accions destinades a promoure i pres-tigiar les matematiques entre el jovent sonparticularment notables: la Prova Cangur i laOlimpıada Matematica son actuacions de granvolada, que depassen les nostres fronteres; des-taquem tambe la participacio en el programaESTALMAT. La SCM ha mostrat un interesclar per la questio de l’educacio, com ho mos-tren, a mes de les activitats just esmentades, laseva relacio amb la FEEMCAT i l’ABEAM, ila Trobada Anual sobre l’Ensenyament.

Ha estat i segueix sent important l’edicio delButlletı, on treballs de matematiques sorgits delnostre medi poden publicar-se en la nostra llen-gua. Per la seva banda, la SCM/Notıcies ser-veix com a palestra per donar a coneixer lanostra activitat i per aproximar-nos als nos-tres membres mitjancant opinions, resums ifins i tot problemes. Tambe les publicacionselectroniques hauran d’anar creixent, aixı hodemanen els temps.

L’organitzacio de jornades, reunions, tro-bades i congressos, ja siguin interns o in-ternacionals, ha estat important, i certaments’incrementara. La participacio en el CongresInternacional de Matematiques ens ha col.locatuna mica mes dins la palestra internacional. Ien aquest ambit s’han realitzat mes activitats(trobada amb Txequia). La relacio amb la Soci-etat Matematica Europea esta ben viva. S’hanfet intents d’aproximar la Societat a l’IMU isembla que hi ha dificultats que s’haurien de su-perar. Tambe s’es membre del Comite Espanyolde Matematiques, que sembla que esta en plenaefervescencia, i la relacio amb el qual haurıemde precisar.

Per portar a terme aquestes activitats s’hacomptat amb les comissions cientıfica, d’ense-

nyament i de publicacions, a mes de les personesque s’han encarregat de les tasques i represen-tacions.

En el futur pensem que s’han de mantenirtotes i cada una de les activitats esmentades, ienfortir-les alla on calgui.

El proposit explıcit del nou equip es pres-tigiar la matematica a la societat, donant-la aconeixer, juntament amb la seva utilitat. Aixocertament ja s’esta fent, pero cal enfortir-ho.

Cal que ens ajudin els mitjans de comunica-cio, premsa, radio i televisio, a fer veure el nexede la matematica amb la cultura i les diversesactivitats humanes.

S’han de potenciar mes les relacions ambels usuaris de la matematica: cientıfics, tecnicsi humanistes. En particular, s’hauran d’orga-nitzar mes trobades amb les societats de fısicai quımica, i tambe d’altres disciplines, permostrar-nos els uns als altres les nostres capaci-tats i els nostres problemes. No podem excloured’aquestes relacions les que puguem tenir ambel teixit empresarial.

Preparar congressos on els nostres mate-matics exposin els seus treballs a la nostra co-munitat. Obrir un forum electronic per a lacomunicacio entre els matematics i altres in-teressats. I altres iniciatives tambe son possi-bles. Tot aixo, es clar, esta lligat a l’interes,les iniciatives, la disponibilitat i els mitjans quetinguin les persones que s’hi involucrin. Que lespuguem trobar!

El nou equip de direccio, proclamat despresde la votacio pertinent a l’Assemblea del passat14 de novembre de 2006, esta format per:President: Carles Perello Valls, actualment pro-fessor emerit de la Universitat Autonoma deBarcelona, al Departament de Matematiques.Dedicat a l’estudi dels models d’evolucio biolo-gica mitjancant equacions en derivades parcials.Vicepresident: Josep Lluıs Sole Clivilles, profes-sor titular del Departament de Matematiquesde la Universitat Autonoma de Barcelona. De-dicat a l’estudi de la probabilitat i dels proces-sos estocastics.Secretaria: Marianna Bosch Casabo, professoratitular a la Facultat d’Economia IQS de la Uni-versitat Ramon Llull. Dedicada a l’estudi de ladidactica de la matematica.Tresorera: Maria Teresa Martınez-Seara Alon-so, professora titular del Departament de Ma-

4

tematica Aplicada I de la Universitat Politec-nica de Catalunya. Dedicada a l’estudi de sis-

temes dinamics definits per equacions diferen-cials.

Carles Perello i VallsPresident de la SCM

Estat de comptes

Per explicar correctament el balanc comptablede la Societat Catalana de Matematiques del’any 2005, primer cal fer un recordatori de l’o-perativa normal d’una societat/empresa pel quefa a les periodificacions.

Es perfectament normal que una societatpagui algunes despeses a final d’any, pero queen realitat corresponen a projectes o facturesde l’any seguent. De la mateixa manera, unasocietat pot cobrar a finals d’any per concep-tes corresponents a l’exercici seguent. Per talde reflectir aquestes operacions correctament,no s’han d’imputar les despeses o els ingressosl’any en que es produeixen, sino l’any que real-ment els correspon. Aixo ens passa a nosaltresde manera prou significativa en l’activitat delCangur que comenca a generar despeses i in-gressos durant els darrers mesos de l’any ante-rior al que te lloc l’activitat. De fet, l’any 2004ja es van assumir unes despeses corresponentsa la reunio preparatoria de la Meeting Cangurque s’ha realitzat aquest any 2006.

La Junta de la SCM aplica aquest criteri desdel primer any en que varem assumir el mandat,pero el Servei de Gestio Economica de l’IEC nohavia assumit aquests conceptes, no pas per-que no els coneguessin, sino simplement perqueningu no els havia dit quines despeses i quins

ingressos havien de ser periodificats. Aixo queja varem veure els primer anys de mandat teniadifıcil solucio ates que cada any comencavem acomptar (l’IEC i la SCM) des de diferents es-tats inicials. Per tant, l’unica solucio consistia aassumir nosaltres la diferencia, es a dir, assumircom a estat inicial de 2005 el que ens donaval’IEC i a partir d’aquest moment anirıem al ma-teix pas. Es va decidir fer-ho el 2005 per tal depoder entregar a la nova Junta els comptes finsa bona part del 2006 sense aquestes complicaci-ons, ja que si s’endarreria mes el nou tresorer estrobaria el problema d’esbrinar el perque d’a-quests moviments.

Per tant, com a primer moviment comptablede 2005 tenim una situacio inicial que correspona la situacio de finals de 2004, segons l’IEC, i noa la de finals de 2004, segons la SCM. En defini-tiva, aixo afecta sis valors concrets: el valor dela SCM, el del Fons de Promocio d’Activitats(FPA), el dels ingressos periodificats, el de lesdespeses periodificades, el de les factures pen-dents de pagament i el dels rebuts pendents decobrament, tots a 1 de gener de 2005. I com espot veure, l’increment de patrimoni total de laSCM es veu justificat exactament per la modi-ficacio dels comptes periodificats.

Ajust comptable SCM-IEC 1-01-2005

SCM IEC Diferencia

Valor SCM a 01-01-05 3.002,08 5565,08 2.563,00

Valor Fons PA a 01-01-05 93.097,52 92620,91 −476,61

Total 2.086,39

Ingresos periodificats −6.291,00 −570,66 5.720,34

Despeses periodificades 7.469,24 5.055,67 −2.413,57

Pendents de pagament −261,49 −81,87 179,62

Pendents de cobrament 1.458,00 58 −1.400,00

Total 2.086,39

5

Aquest ajust de comptes en el pas de l’any2004 al 2005 ha tingut efecte especialment so-bre els resultats del Cangur 2005, que expli-quem mes endavant. Val a dir, pero, que totaixo es un simple quadre comptable i que no tecap efecte monetari; es a dir, no hem perdut niguanyat res.

Un cop explicat aixo, passem a descriure elbalanc de resultats de 2005. Primer us recordemquin va ser el pressupost aprovat per aquestaAssemblea el 14 de juny de 2004, i a continua-cio us presentem quin ha estat el balanc real deles diferents activitats.

Pressupost comptable SCM 2005

Activitat Ingressos Subvencions Despeses Total

Cangur 40.000 13.000 50.000 3.000Olimpıada 3.000 3.000 0Cursos 1.000 1.000 0Publicacions 3.000 8.000 12.000 −1.000Trobada 800 3.000 3.800 0Congres Valencia 6.000 6.000 0Trobada Ensenyament 1.000 3.000 4.000 0Trobada EMS-SCM 21.000 21.000 0Biblioteca digital 0 1.000 1.000 0Funcionament SCM 14.500 −14.500Nomines 10.500 −10.500Quotes socis 30.240 30.240Total 76.040 58.000 126.800 7.240

Fons PA 2.000 −12.000 0 −10.000Total 78.040 46.000 126.800 −2.760

Resum comptable SCM 2005. Definitiu

Activitat Ingressos Sub. IEC Sub. extr. Sub. FPA Despeses Total

Cangur 41.060,90 7.500,00 11.600,00 75.156,24 −14.995,34Cangur modificat 5720,34 −4065,24Cangur modificat 990,43Cangur real 46.781,24 7.500,00 11.600,00 0,00 72.081,43 −6.200,19Olimpıada 416,60 3.000,00 1.400,00 5.196,75 −380,15Cursos 763,00 317,00 1.080,00 0,00Publicacions 633,10 6.600,00 11.432,41 −4.199,31Trobada SCF-SCM 315,00 500,00 42,80 857,80 0,00Congres Valencia 4.000,00 1.176,68 2.823,32Trobada Ensenyament 900,00 2.264,12 3.164,12 0,00Trobada EMS-SCM 2.819,38 4.000,00 10.517,87 11.956,71 29.293,96 0,00Biblioteca digital 1.500,00 625,39 2.125,39 0,00Funcionament SCM 21,19 11.410,17 −11.388,98Nomines 9.639,66 −9.639,66Quotes socis 28.740,66 28.740,66Conferencies estudiants 1.389,00 1.389,00 0,00Congres Praga 3.000,00 4.471,87 7.471,87 0,00Fons Cooperacio 1.103,35 1.103,35 0,00ICM 2006 393,90 −393,90Total 74.769,83 24.600,00 29.917,87 22.170,24 160.891,30 −9.433,36

Fons PA 1.591,22 −25.263,94 28,86 −23.701,58Total 76.361,05 24.600,00 29.917,87 −3.093,70 160.920,16 −33.134,94

6

Podeu comprovar que aquest any hem sepa-rat les entrades per subvencions segons la sevaprocedencia: les de l’IEC, les que ens autosub-vencionem des del Fons de Promocio d’Activi-tats (FPA), i les d’altres fonts.

En la fila Cangur podem veure el resultatoficial del Cangur 2005, pero com a consequen-cia de l’ajust comptable que hem explicat calafegir les modificacions que es descriuen en lesdues files inferiors, i el resultat autentic corres-pon a la fila Cangur real. A efectes del calcultotal de l’any, nomes s’ha de mirar la fila Can-gur. Les dues files Cangur modificat i Cangurreal complementen la fila Cangur per donar unavisio acurada del Cangur 2005, pero no comp-tabilitzen per a la taula global. La descripciodels tres moviments es la seguent.

En la primera fila Cangur modificat reflec-tim els ingressos que el Cangur 2005 va tenirdurant l’any 2004, i que l’IEC havia interpretaten el seu moment com a ingressos del mateixany. Per tant, no figuren en el balanc del 2005com nosaltres voldrıem, pero cal sumar-los perobtenir la xifra real de quotes cobrades als qua-si be quinze mil sis-cents estudiants que vanapuntar-se a les proves.

Tambe en la primera fila tenim les despesesque es van fer l’any 2004 per preparar el Mee-ting Cangur 2006. Nosaltres haguessim volgutmantenir latent aquesta despesa per poder-lacarregar l’any 2006 a la seva activitat, pero atesque l’IEC ja l’havia imputada com a despesal’any 2004, hem hagut de carregar-la al 2005per tal de quadrar. Aquesta es una despesa querealment no correspon al Cangur 2005, encaraque figuri aixı.

Finalment, en la segona fila Cangur modifi-cat tenim les despeses que el Cangur 2005 va te-nir durant l’any 2004 i que l’IEC ja havia impu-tat com a despeses d’aquell any. Aquestes sı queson unes despeses que haguessim hagut de car-regar al Cangur 2005 i que en realitat no hi son.

Amb tot i aixo, encara que la taula digui queel Cangur ha tingut un deficit de quasi 15.000e,no ha estat aixı, sino que el deficit ha estat depoc mes de 6.000e. Aquest deficit es degut auna serie de despeses extraordinaries, autorit-zades per la Junta, per a la celebracio del deseaniversari de les proves Cangur, entre les quals,poden destacar: la invitacio al senyor Deleric,fundador de l’Associacio Cangur Internacional;uns obsequis d’agraıment als professors que han

portat el Cangur des del principi, i tambe es vaser un xic mes generos del que es habitual en elpremis als estudiants.

Per acabar la descripcio economica de l’acti-vitat del Cangur, val a dir que, tot i que les des-peses van ser molt superiors al previst, tambees cert que tant els ingressos per a inscripcionscom les subvencions rebudes van creixer moltper sobre del previst.

Una altra de les activitats destacades del’any 2005 va ser el Congres conjunt ambl’EMS. Sota aquest concepte incloem tant lesdespeses generades pel congres com les de lareunio de l’EMS que va tenir lloc a Barcelonaels dies posteriors. De les subvencions previstesper al Congres en va fallar una de 6.000e. Sia aixo hi afegim que les despeses de les duesactivitats van superar amb escreix les previsi-ons, aquesta activitat va suposar unes perduesde 11.956,71e que la Junta proposa eixugaramb diners del Fons de Promocio d’Activitats,ates que cau perfectament dins de les directriusper les quals es va crear aquest fons. De fet, jatenıem clar des de bon principi que les despesesde la reunio de l’EMS haurien de sortir d’aquestfons perque no tenıem previstes subvencions pera ella, pero al final ha calgut recorrer al fonstambe per cobrir part del mateix Congres.

Entre les activitats no previstes en el pressu-post que es va aprovar el 2004, tenim el Congresconjunt amb la Societat Matematica Txeca,per al qual varem aconseguir una subvencio del’IEC, les conferencies a estudiants de les tresuniversitats principals catalanes i el Fons deCooperacio. Aquest Fons de Cooperacio proved’una sol.licitut que varem rebre del ComiteEspanol de Matematicas en que pretenien queens afegıssim a una campanya del tipus del0,7 % per ajudar a la promocio de les ma-tematiques en paısos subdesenvolupats. La pro-posta del CEMAT era que els donessim el 0,7 %de les quotes dels nostres socis, cosa que ensva semblar poc rellevant, perque, suposava unaaportacio del voltant de 200e l’any. Aixı quevarem preferir fer una aportacio molt mes ge-nerosa, pero gestionar-la directament nosaltres,creant el Fons de Cooperacio. D’aquesta mane-ra, la SCM esta ara oberta a pagar despeses demil euros anuals per a un projecte que d’unamanera o una altra ajudi a fomentar les ma-tematiques en un d’aquests paısos. Durant el2005 es va ajudar uns matematics sudamericans

7

a assistir a un congres a Catalunya, i durant el2006 s’ha ajudat a pagar el viatge d’un soci queha anat a Paraguay a fer un curs de doctorat.

Totes aquestes activitats noves encaixenperfectament en el perfil de les activitats quepoden ser subvencionades des del Fons de Pro-mocio d’Activitats.

D’altra banda, el Fons de Promocio d’Ac-tivitats, a part de subvencionar les activitatsextraordinaries de la SCM que es descriuen ala taula, ha subvencionat tres activitats exteri-ors per un valor total de 3.093,70e segons esdescriu en la taula seguent:

Fons de promocio d’activitats 2005

Activitat Subvencions

Ajut Congres CRM 1.135,00

Ajut Congres J. M. Font 1.508,70

Ajut Congres Vilanova 450,00

Total 3.093,70

En resum, la SCM ha ingressat un totalde 74.769,83e en concepte de quotes i ser-veis; 24.600e, en subvencions de l’IEC, i29.917,87e, en subvencions exteriors. El Fonsde Promocio d’Activitats ha ajudat la SCMamb 22.170,24e. Les despeses totals han es-tat de 160.891,30e i aixo implica un deficit pera la SCM de 9.433,36e. Si a aixo hi afegimels 1.591,22e que s’han cobrat d’interessos, lessubvencions exteriors que ha fet el FPA i unesdespeses financieres del mateix, tenim que elconjunt de la SCM+FPA ha gastat 33.134,94emes del que ha ingressat. En concret, el FPAha baixat durant l’any 2005 en 23.701,58e.

Ates que la SCM va comencar l’any 2005amb un valor de 5.565,08e, l’ha tancat amb unvalor negatiu de 3.868,28e.

Pel que fa al valor conjunt SCM+FPA,va comencar l’any 2005 amb un valor totalde 98.185,99e i el va acabar amb un valor de65.051,05e.

Breu descripcio dels comptes de 2006

Tot i que no esta en l’ordre del dia el fet decomentar els comptes de l’any en curs, i queara tampoc no tenim els comptes tancats, sıque voldria destacar tan sols un parell d’activi-tats extraordinaries que han tingut lloc aquestany. Les anomeno extraordinaries no tant per-que no les tinguessim previstes (que sı que les

hi tenıem), sino per l’important moviment derecursos que han suposat. D’una banda tenimel Meeting Cangur que ha tingut lloc a Barce-lona aquest mes d’octubre, i de l’altra, l’ICM2006, que va tenir lloc a Madrid el mes d’a-gost. Totes dues activitats han gaudit de sub-vencions especials, pero no esta clar que puguinacabar amb saldo neutre. Per exemple, no es-perem recuperar les aportacions fetes a l’ICM,ja que el seu estat financer final no ha estat pasgaire positiu. Amb aixo no preveiem que l’any2006 pugui acabar amb saldo neutre per a laSCM tal com tenıem pressupostat i que possi-blement necessitarem novament ajut del FPAper quadrar algunes de les activitats extraor-dinaries del 2006, cosa que no s’allunya pas del’objectiu del mateix fons.

Descripcio del pressupost per al 2007

Pel que fa al pressupost de 2007, ens trobem enel cas que la Junta va haver de presentar unaproposta, que l’Assemblea del passat 14 de no-vembre va aprovar, i que haura de ser duta aterme per la nova Junta escollida a la mateixaAssemblea. Per aixo, hem tractat de fer un pres-supost una mica obert per tal de donar flexibi-litat a la nova Junta i que pugui empendre elsprojectes que cregui convenients. Aixı mateix,proposem la generacio d’un cert benefici per tald’eixugar els deficits comesos en l’exercici 2005i el que possiblement sortira de l’exercici 2006.

Aquest pressupost preveu una pujada de laquota basica de soci de 32 a 34e. Voldria re-cordar que fa dos anys ja es va apujar la quotabasica de 30 a 32e i que varem adoptar el cri-teri d’anar actualitzant les quotes bianualmentper tal d’assumir les alces del cost de la vida ibuscar les quotes arrodonides a nombres entersmentre fos possible. Aixo deixa la quota per aestudiants en 17e i la quota per a institucionsen 64e.

Cal destacar en el pressupost de 2007 unincrement en les subvencions previstes per alCangur 2007, doncs ja tenim promesa una sub-vencio de 6.000e de la Fundacio Caixa Sabadella aqueest efecte.

Gracies a la millora de la situacio economicade l’IEC, les subvencions procedents de l’Insti-tut han estat en els darrers dos anys molt mesgeneroses del que era habitual, i aixo cal esperarque continui igual sempre que es puguin justifi-car els projectes als quals aquestes subvencions

8

van dirigides. En concret, l’IEC ens ha aportat5.000e extres per a publicacions extraordina-ries durant l’any 2006 i tambe esta previst queho faci per al 2007. A mes, les activitats de pro-

jeccio exterior que ha realitzat la SCM durantels anys 2005 i 2006 han estat beneıdes i ade-quadament subvencionades per l’Institut, sensenegligir les activitats ordinaries.

Pressupost comptable SCM 2007

Activitat Ingressos Sub. IEC Sub. extr. Sub. FPA Despeses Total

Cangur 45.000 5.000 16.500 66.500 0

Cursos 1.000 1.000 0

Olimpıada 3.000 1.000 4.000 0

Trobada 1.200 3.000 4.200 0

Publicacions 500 11.600 12.100 0

Trobada Ensenyament 1.200 1.500 2.700 0

Fons Cooperacio 1.000 1.000 0

Conferencies estudiants 2.000 2.000 0

Funcionament SCM 12.000 −12.000

Nomines 10.500 −10.500

Quotes socis 30.480 30.480

Altres activitats 5.000 5.000 0

Total 79.380 29.100 17.500 3.000 121.000 7.980

Fons PA 1.500 −6.000 0 −4.500

Total 80.880 29.100 17.500 −3.000 121.000 3.480

Ates que per a l’any 2007 no hi ha, enprincipi, cap activitat extraordinaria prevista,i per tal de deixar a la nova Junta l’opciode programar-ne alguna, i tambe per intentarmantenir l’ındex de subvencions que rebem del’IEC, hem previst una partida de 5.000e pera l’any 2007 sota el concepte d’altres activitats,amb el benentes que caldra dotar de contingutaquesta partida per tal de confirmar la subven-cio de l’IEC. Tot i el caracter extraordinari delconcepte, ha estat acceptat per l’IEC a causadel canvi recent de Junta.

Val a dir, a mes, que aquest any, per prime-ra vegada en la historia de la SCM, l’IEC havolgut incloure dins del seu pressupost per al

2007 el pressupost de totes les seves societatsfilials. I per aixo ens hem reunit amb el gerenti la cap de Gestio per tal d’exposar el nostrepressupost, que hem acabat quadrant amb elque l’IEC assumira com a propi.

Amb tot aixo nomes em resta comentar que,ates que la Junta anterior ha perllongat el seumandat fins quasi el final de l’any 2006, ambpracticament totes les activitats de l’any ja fi-nalitzades, entenc que es la meva obligacio coma tresorer actual oferir-me a la nova Junta pertal de seguir exercint de fet, encara que no si-gui de nom, com a tresorer fins a quadrar elscomptes de l’any 2006.

Joan Carles ArtesTresorer de la SCM

9

Benvinguda als nous socis

Durant l’any 2006, la Societat Catalana de Ma-tematiques ha donat d’alta els socis seguents:Judit Abardia Bochaca, Lesly Maria AcostaArgueta, Saleem Akhtar Raja, Rita Almeida,Josep M. Alonso Baez, Jose Manuel BenitaBordes, Marc Camara Vallejo, Aris Daniilidis,Lauand Darbas Barbe, Jose Abraham de laFuente Perez, Pere Farro Sales, Sılvia GagoAlvarez, Francesc Xavier Gomez Naches, Gem-ma Huguet Casadas, Montse Moline Brull, Col-

legi Montserrat, Fernando Navarro Espinosa,Toni Perez Lopez, Enric Pico Marco, RogerRodrıguez Font, Pili Royo Regueiro, Josep Sar-danyes Cayuela, Juan Serra Marı i Xavier Xar-les Ribas. La Societat Catalana de Matemati-ques us dona la mes cordial benvinguda a tots, idesitja ser-vos d’utilitat en totes aquelles ques-tions relacionades amb la comunitat matemati-ca catalana.

Internacional

L’estand a l’ICM 2006

L’impacte del Congres Internacional dels Ma-tematics, ICM 2006, en les matematiques espa-nyoles i en el seu entorn dins i fora d’Espanyaha estat tan gran que tindra resso durant moltsanys. El treball conjunt de moltes persones idiverses institucions durant cinc anys va culmi-nar en un congres ben organitzat i d’un nivellcientıfic indiscutible del 22 al 30 d’agost de 2006al Palau Municipal de Congressos de Madrid.

Estand de la SCM a l’ICM 2006.

La SCM va dedicar-li un numero especialen angles de la revista SCM/Notıcies l’agostde 2006. Se’n varen repartir molts exemplarsdurant el Congres i encara en queden a dispo-sicio dels socis que desitgin tenir-lo (el rebrangratuıtament si el demanen a la Secretaria de laSCM). D’altra banda, es publicara una descrip-cio detallada del Congres en el proper numerode la revista. En aquesta pagina s’ofereix nomesuna cronica de la participacio de la SCM en elCongres mitjancant un estand conjunt amb elCentre de Recerca Matematica (CRM), la Fede-

racio d’Entitats per a l’Ensenyament de les Ma-tematiques a Catalunya (FEEMCAT) i el De-partament d’Educacio de la Generalitat, ambla col.laboracio de les facultats i els departa-ments de matematiques i de didactica de la ma-tematica de Catalunya.

Aquesta iniciativa, que va ser aprovada perla Junta de la SCM el marc de 2006, va par-tir d’una resolucio del Parlament de Catalu-nya l’1 de marc de 2006, on s’instava el Go-vern de la Generalitat a donar suport instituci-onal i economic a les universitats catalanes, alCRM, a la SCM i a la FEEMCAT per tal defer possible la seva participacio com un col.lec-tiu representatiu nacional a l’ICM 2006, a mesd’altres recomanacions referents a les activitatsde foment de les matematiques per part de lesinstitucions esmentades i a la representacio in-ternacional de la SCM.

L’estand estava format per tres modulsde 9 m2 cadascun. Va ser decorat per l’empresa3A Disseny Grafic i estava equipat amb dos or-dinadors, un cano de vıdeo i una gran quanti-tat de material promocional i informatiu de lesinstitucions representades. Per a aquesta oca-sio, a mes del numero especial de la revistaSCM/Notıcies, la SCM va tenir a punt un dos-sier anomenat Mathematics in Catalonia (quees troba disponible al web) i els primers volumsde la nova serie de publicacions electroniques dela SCM. De fet, es va aprofitar aquest estand al’ICM per fer una presentacio publica d’aques-ta serie en una recepcio organitzada el dia 24d’agost.

10

Es va imprimir un nou dıptic en angles depromocio de la SCM i un altre dıptic de presen-tacio del portal EDUMATCAT, conjuntamentamb la FEEMCAT i el Departament d’Educa-cio. Tambe es va presentar el llibre d’actes dela Trobada d’Ensenyament de 2005 i es va ex-hibir un vıdeo conjunt de les tres institucionsesmentades, de quinze minuts de durada, quepodeu demanar si ho desitgeu (els quatre mi-nuts corresponents a la SCM es poden baixardel web).

Portada del dıptic.L’estand va estar controlat en tot moment

per set voluntaris seleccionats per la SCM: Ja-

vier Alonso, Mireia Besalu, Francesc Castella,Abraham de la Fuente (l’autor del vıdeo i d’u-na presentacio en Power Point), Ivan Merillas,Joel Saa i Raquel Terres. Donem les gracies atots ells.

Aprofitem aquest article per agrair l’apor-tacio economica de l’antic DURSI a la SCMper tal de cobrir una part de les despeses d’a-quest estand, aixı com la subvencio del Depar-tament d’Educacio a la FEEMCAT pel ma-teix concepte. Alhora, agraım a la presidentade la FEEMCAT, Pili Royo, i al director delCRM, Manuel Castellet, la seva col.laboracioen la preparacio de l’estand. Tambe valoremmolt la bona resposta i la presencia de la Fa-cultat de Matematiques de la UB, el Departa-ment de Didactica de les Ciencies Experimen-tals i la Matematica de la UB, el Departamentde Matematiques de la UAB, el Departa-ment de Didactica de la Matematica i de lesCiencies Experimentals de la UAB i la Facul-tat de Matematiques i Estadıstica de la UPC.Creiem que varem donar una molt bona imat-ge d’unitat i d’activitat col.lectiva. Tal com deiaun retol a l’estand, Mathematics is thriving inCatalonia.

Carles CasacubertaPresident de la SCM

In memoriam

Pere Mumbru i Rodrıguez

Pere Mumbru va estudiar la llicenciatura dematematiques a la Universitat Autonoma deBarcelona de 1974 a 1979.

Va obtenir el grau de llicenciatura, modalitattesina, l’octubre de 1981 amb una tesina intitu-lada Perıodes 1, 2 3, 4 5 i 7 equivalen a caos,

on va comencar el seu camı en la recerca en sis-temes dinamics discrets a que es va dedicar alllarg de tota la seva carrera academica.

Posteriorment, es va doctorar en CienciesMatematiques, tambe a la Universitat Autono-ma de Barcelona, l’octubre de 1987 sota la di-reccio del doctor Jaume Llibre Salo amb unatesi intitulada Estructura periodica i entropiatopologica de les aplicacions bimodals, obte-nint la qualificacio d’apte cum laude.

Tota la seva vida professional va transcorrera la Universitat de Barcelona. De 1979 a 1993 alDepartament de Didactica de les Ciencies Ex-perimentals i la Matematica de la Facultat deFormacio del Professorat (abans Departamentde Didactica de les Matematiques de l’Esco-

11

la Universitaria de Formacio del Professorat)i de 1993 en endavant al Departament de Ma-tematica Aplicada i Analisi de la Facultat deMatematiques. De 1979 a 1986 va ocupar uncarrec de professor contractat; de 1986 a 1988va ser professor titular d’escola universitaria;de 1988 a 1993 va ser catedratic d’escola uni-versitaria, i de 1993 en endavant (ja al Depar-tament de Matematica Aplicada i Analisi) vaocupar el carrec de titular d’universitat.

Com a professor es una persona molt recor-dada per la qualitat de les seves classes, l’entre-ga, la dedicacio i el bon tracte als alumnes, aixıcom la capacitat de motivacio dels seus cursos.

Com veurem mes endavant, en Pere va seruna personalitat molt global, que s’interessa perdiversitat d’aspectes de la ciencia, la vida i lacultura. En el mon de la recerca, mentre la pres-sio del sistema academic li ho va permetre, vacompatibilitzar la recerca en didactica de lesmatematiques i els sistemes dinamics. Va ar-ribar un moment en que es va adonar que elsistema universitari, en un proces de burocra-titzacio creixent, el penalitzaria (de fet ja hova comencar a fer) per la seva manca d’espe-cialitzacio. Aixo va coincidir en el temps ambl’obtencio de la seva placa de professor titular alDepartament de Matematica Aplicada i Analiside la Universitat de Barcelona i el va fer decan-tar per especialitzar la seva recerca en els siste-mes dinamics discrets, en que ja treballava.

Te publicacions en el camp de la didacticade les matematiques i en el dels sistemesdinamics discrets. En aquest darrer camp elsseus interessos i publicacions es van repartir enels temes seguents: dinamica simbolica, entro-pia topologica, models amb dinamica minimalen arbres i grafs i caracteritzacio del conjunt deperıodes de les aplicacions contınues d’arbres

En Pere va ser un excel.lent matematic. Te-nia un pensament profund i creatiu, una grancapacitat de treball i un entusiasme encoma-nadıs. Les seves aportacions van ser molt im-portants per comprendre certs fenomens lligatsa la dinamica caotica en espais 1-dimensionals.En aquest camp va desenvolupar una singularintuıcio a la qual molts dels seus col.legues vamrecorrer a l’hora de refermar o refutar les nos-tres conjectures per intentar comprendre deter-minats comportaments dinamics. Sovint la con-jectura era refutada amb un sorprenent i ines-perat exemple.

En Pere tambe va tenir una vessant coma intel.lectual. Va ser un home profundamentinteressat en tot el que passava al seu entorn.Amant de la lectura, el cinema i l’art en totesles seves manifestacions. Interessat en la psico-logia, l’ensenyament, la polıtica. . . Sempre quesorgia a la conversa algun tema mes o menyscomplex ell gairebe sempre ja hi havia pensat,i ja en tenia una opinio fruit d’una elabora-da reflexio. Usualment adoptava criteris que noeren fruit de la improvisacio, sino del coneixe-ment i la reflexio. En aquest aspecte, a mes,era una persona molt oberta. Allo que desco-neixia, lluny de rebutjar-ho, era objecte del seuinteres. Era tambe, i per aixo mateix, un ho-me molt crıtic amb la realitat social i polıticaque ens ha tocat viure. El preocupava profun-dament la injustıcia tan estesa i arrelada a lanostra societat i, especialment, el nostre paperi responsabilitat en aquesta situacio.

Un altre punt que cal destacar en la se-va personalitat es el d’home compromes. Com-promes amb el seus companys de recerca. Sem-pre posant per davant els interessos del grup alspropis. Disposat a fer feines feixugues que calfer, pero no ens agraden a ningu. Compromesamb la seva Facultat. Disposat tambe a sacri-ficar part del seu temps en feines de gestio. Idesenvolupant-les amb eficiencia i humanitat.Compromes, finalment, amb les seves idees. Nonomes era crıtic amb la situacio actual, sinoque treballava per canviar-la. En Pere mante-nia una activitat polıtica discreta pero cons-tant en el seu municipi. Allunyat dels partitspolıtics i mantenint la seva independencia de-dicava part del seu temps lliure a incidir en lavida polıtica del seu poble. Era conscient de l’e-norme dificultat per aconseguir qualsevol canvi,pero, alhora, sabia de la necessitat d’actuar percanviar la realitat. I vivia aquesta activitat ambgran passio. L’evolucio polıtica era un tema deconversa recurrent en els dinars els dies que enstrobavem per treballar.

En Pere va conviure amb una feixuga malal-tia els darrers dos anys de la seva vida. En totaquest temps va mantenir sempre una actitudextraordinariament positiva. L’hem vist cami-nar lentament, pujar escales, parar, respiraramb dificultat. . . Amb una forca interior enor-me i sempre amb un somriure als ulls. En lamesura de les seves possibilitats no va abando-nar mai cap de les seves activitats. Intentant

12

aprofitar fins a l’ultim moment el temps quetenia. Ens pot donar una idea d’aquest tarannael fet que quinze dies abans de morir va agafarl’avio i se’n va anar a passar el cap de setma-na a una ciutat que l’enamorava. Certament, vaaprofitar el seu temps.

Durant els dos anys de la seva malaltia novam deixar de treballar practicament cap set-mana. A tots els seus companys ens sembla-va mes preocupat perque la seva situacio noafectes anımicament el seu entorn que no pasper la seva propia malaltia. Actuava, dins deles seves possibilitats, com si res important es-

tigues passant. Realment treia energia de lesnostres trobades setmanals. No evitava parlarde la seva malaltia, pero sempre amb un es-perit summament positiu. Els que varem estara prop seu aquests darrers temps vam quedarprofundament impressionats per la seva actitudvital.

En Pere va ser, en definitiva, un cientıficlucid, profundament huma i compromes amb laseva societat. Tots aquells que varem tenirla sort de col.laborar amb ell en alguna de lesseves activitats no l’esborrarem mai del nostrerecord.

Lluıs Alseda i Francesc ManosasUAB

Javier Chavarriga Soriano

Oferim aquestes notes per donar testimoni iagraıment a una vida dedicada a les matemati-ques.

Javier Chavarriga va cursar la llicenciatu-ra en ciencies matematiques a la Facultat deMatematiques de la Universitat de Barcelonaen el perıode 1974-1979, es va especialitzar enanalisi matematica. Es va llicenciar el juny de1979, i va obtenir el grau de llicenciatura, mo-dalitat tesina, el desembre de 1981. Posterior-ment, es va doctorar en ciencies matematiquesen la mateixa Facultat el novembre de 1985, iva obtenir la qualificacio d’apte cum laude so-ta la direccio del doctor Carles Simo Torres.Durant els cursos 1979-1983 va exercir de pro-fessor ajudant al Departament de MatematicaAplicada i Analisi de la Universitat de Barcelo-na. Molts antics alumnes, que avui son profes-sors, encara recorden aquell flamant llicenciatque ensenyava equacions diferencials i que, toti que era novell en la feina, transmetia amb unagran intensitat el seu permanent entusiasme perles matematiques.

Inicia el curs 1983-1984 com a professor col-laborador de docencia i investigacio a la Facul-tat d’Informatica de la Universitat Politecnicade Catalunya. El novembre de 1984 obtingueuna placa de professor adjunt interı de matema-tiques generals a la Facultat de Farmacia de laUniversitat de Barcelona, on desenvolupa la se-va activitat docent en el perıode compres entreel novembre de 1984 i el juny de 1992. El generde 1985 es nomenat professor titular d’univer-sitat interı de matematica aplicada. El maig de

1987 guanya per concurs oposicio, la placa deprofessor titular d’universitat de matematicaaplicada al Departament de Matematica Apli-cada i Analisi de la Universitat de Barcelona.

Els anys noranta, es produeix la reestructu-racio del sistema universitari catala. En aquellsmoments, Catalunya nomes comptava amb tresuniversitats, amb diverses delegacions, en lesquatre provıncies del Principat. Amb l’esmenta-da reestructuracio, es creen o restitueixen novesuniversitats, com ara la Universitat de Girona,la Universitat de Lleida i la Universitat Rovirai Virgili de Tarragona.

Els seus llacos sentimentals i familiars ambles terres de la Franja de Ponent, i mes concre-tament amb el poble de Sena, a poc mes de cin-guanta quilometres de la ciutat de Lleida, vanpropiciar que, durant aquest perıode de canvis,apostes per la seva incorporacio a la Universitatde Lleida, de la qual, mes endavant, se sentiriamolt orgullos.

Aixı, l’octubre de 1992 es va integrar a laseccio de matematiques del Segria de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, a l’Escola Tec-nica Superior d’Enginyers Agronoms de Lleida.

13

Aquest centre va quedar adscrit a la Universitatde Lleida el novembre del mateix any.

Finalment, el juny de 1995 va guanyar laplaca de professor titular d’universitat de ma-tematica aplicada al Departament de Matema-tica de la Universitat de Lleida.

Des d’aleshores i fins a la seva mort, hemcompartit amb ell una bona part de les sevesinquietuds de recerca i estudi cientıfic. Es enaquest darrer centre universitari on va desenvo-lupar la part principal i mes fructıfera del seutreball docent i investigador.

Javier fou un dels impulsors del nou Depar-tament de Matematica de la nostra Universitati en va ocupar el carrec de director durant unllarg perıode.

La seva gran il.lusio era formar un grup d’in-vestigacio en sistemes dinamics: volia crear es-cola.

Per aconseguir el seu objectiu va comencarper buscar alumnes i va iniciar un curs de doc-torat titulat Modelitzacio matematica, que al-guns membres del nostre Departament varemcursar com a deixebles seus. D’aquests, en Jau-me Gine va continuar com a doctorant i aixı esva crear el nucli inicial del nostre grup de recer-ca. L’any 1995 s’hi incorpora Isaac A. Garcıa.

El comencament va ser forca dur i ambestretor: encara recordem el despatx de qua-tre metres quadrats compartit per tots tres alvell edifici del rectorat. Es una epoca marcadaper grans sacrificis i moltes hores de dedicacioal treball. En aquest perıode, Javier mostravaalgunes de les grans virtuts que el caracteritza-ven, com ara l’empenta i la forca de voluntat,que li permetien superar obstacles de qualsevolmagnitud, i la seva gran estimacio per la feinaben feta.

Els fruits d’aquests esforcos es fan evidentsamb el reconeixement de molts membres de lacomunitat cientıfica internacional i tenen llocles primeres col.laboracions i visites. S’establei-xen col.laboracions cientıfiques importants a es-cala estatal i internacional. Sense anim de serexhaustius, professors com ara Hector Giacomi-ni, de la Universitat de Tours; Armengol Ga-sull i Jaume Llibre, de la UAB; Mijhail Po-pescu, de l’Institut de Matematiques de Buca-rest; Laurent Cairo, de la Universitat d’Orleans;Mircea Sofonea, de la Universitat de Perpinya;Marco Sabatini, de la Universitat de Trento,etc., foren alguns dels professors visitants du-rant aquest perıode inicial.

La consolidacio del grup d’investigacio Se-minari de Sistemes Dinamics i les esmentadescol.laboracions van contribuir a l’organitzaciode diferents congressos, entre els quals podemdestacar les Jornades Catalanes de MatematicaAplicada i les dues edicions del Symposium onPlanar Vector Fields.

Mes endavant, el grup es va ampliar amb elsdoctorants Josep Mallol, Jordi Sorolla i MaiteGrau, de manera que la continuıtat de l’Escolade Sistemes Dinamics, creada pel Javier, que-dava garantida i, per tant, l’objectiu inicial delJavier, acomplert.

Quant a la seva investigacio, la podem em-marcar en els sistemes dinamics continus i, enparticular, en els de dimensio dos. Aquests sis-temes es poden pensar com a equacions diferen-cials ordinaries que han estat parametritzadesper una variable temporal.

Son remarcables les seves contribucions alproblema del centre i tambe al problema de laintegrabilitat. Es va dedicar igualment a l’estu-di de temes com ara els centres isocrons, la re-versibilitat, els sistemes nilpotents i degenerats,les bifurcacions, els cicles lımit (16e problemade Hilbert), les simetries de Lie, les equacionsdiferencials al pla complex projectiu, etc.

En els darrers temps fou un dels principalsimpulsors de la teoria de la integrabilitat deDarboux. Aquesta teoria es basa en el fet quela determinacio d’un nombre prou alt de so-lucions algebraiques per a un sistema dinamicen el pla, si aquestes existeixen, permet donarla integral primera del sistema. El matematicfrances Gaston Darboux va iniciar aquesta te-oria i, despres de llegir la seva memoria, Javi-er, amb la seva intuıcio matematica proverbial,va veure en les idees de Darboux l’inici de lateoria algebraica de les equacions diferencials,que preten l’estudi de les caracterıstiques de lescorbes algebraiques invariants d’un sistema di-ferencial i la seva relacio amb les altres soluci-ons del sistema. Es va abocar en gran maneraa l’estudi d’aquestes corbes algebraiques invari-ants, la qual cosa li va permetre trobar famıliesde sistemes amb propietats d’integrabilitat in-teressants, exemples nous de cicles lımit alge-braics per a sistemes quadratics i determinarpropietats per a sistemes quadratics amb inte-gral primera racional.

El juliol de 2002, Javier obtingue la placa decatedratic d’universitat de matematica aplica-da, fet que va suposar la culminacio del treball

14

docent i investigador realitzat fins aleshores enla seva carrera universitaria.

Afegit a tot l’anterior, Javier Chavarrigaes va preocupar per la difusio i divulgacio deles matematiques i la ciencia en general, i vaorganitzar diversos cicles de conferencies ambl’Institut d’Estudis Ilerdencs (IEI), del qual fouconseller, a l’Institut de Ciencies de l’Educacio(ICE), o des de la mateixa Universitat de Llei-da, on va impartir cursos de lliure eleccio obertsa tot l’alumnat de la Universitat i tambe per aprofessorat de secundaria. Entre aquests cur-sos volem destacar les Llicons populars de ma-tematiques, que van suposar un gran exit d’as-sistencia.

En l’ambit docent, i dins de l’Escola Politec-nica Superior (EPS), volem fer notar que Javi-er es va involucrar en l’establiment dels estudisd’enginyeria tecnica industrial, des del curs ini-cial, 1997-1998, com a professor de l’assignaturade calcul, i va col.laborar activament en la con-solidacio d’aquesta titulacio. Hem de remarcarque Javier sabia fer atractives les assignaturesque impartia i era apreciat i molt respectat pelsseus alumnes. Aixo queda pales, per exemple,pel bon nombre de vegades que se’l va requerirper apadrinar diverses promocions.

La darrera etapa de Javier ha estat com amembre de l’equip directiu de l’Escola Politec-nica Superior. Durant aquest darrer any i mig,Javier mena totes les seves il.lusions i esforcos

cap a l’Escola, i va impulsar la creacio dels es-tudis d’arquitectura tecnica, dels quals ha estatun gran entusiasta, aixı com l’obertura del Cen-tre de Recerca d’Energies Aplicades (CREA).Els darrers mesos va participar en l’elabora-cio d’una proposta de postgrau en enginyeriai tecnologies de la informacio, i va aconseguir elvistiplau necessari per portar a terme el projec-te. Com veiem, una altra de les caracterıstiquesque el definien era intentar trobar el consens en-tre tots.

Des de la seva vessant mes humana, tots elsque hem estat propers a ell podem donar testi-moniatge de la gran devocio envers el seu pare,cap a la seva dona, Cristina i, per descomptati per damunt de tot, cap als seus fills Marta iXavier, dels quals estava molt orgullos.

A mes de ciencia, Javier ens ha ensenyatmoltes altres coses de la vida i ens ha servitno poques vegades de model gracies a la sevaempenta, i les seves ganes de treballar, d’enten-dre els problemes, etc. El seu llegat queda ennosaltres i en cap cas serıem el que som si nol’haguessim conegut i ens hagues marcat consi-derablement.

Ara, estem segurs que ens animaria a tots,amb la seva peculiar manera de ser i la sevarialla, a continuar endavant. Continuar la se-va obra, fruit del seu treball i dedicacio, es lamillor manera de seguir recordant-lo.

Una forta abracada, Javier.

Isaac A. Garcıa, Jaume Gine, Maite Grau,Josep Mallol i Jordi Sorolla

Noticiari

Creu de Sant Jordi per a M. A. Canals i M. Castellet

Maria Antonia Canals i Tolosa

El treball generos, vital i incansable marca lavida de la Maria Antonia Canals, nascuda aBarcelona l’any 1930 en el sı d’una famılia moltvinculada al mon de l’ensenyament. Diu la Ma-ria Antonia que el seu pare, Emili Canals, unenginyer molt aficionat a les matematiques quemorı quan ella tenia vuit anys, fou la primerapersona que exercı una influencia decisiva en laseva vocacio, que neix a partir de la vivenciapersonal lligada al joc, la manipulacio i la in-tuıcio. Tambe fou decisiva la influencia de les

seves ties Dolors i Francesca Canals, conegudescom les ties Montessori, introductores a Cata-lunya del metode que porta aquest nom. Ambaquestes influencies, l’any 1950 acaba els estu-dis de magisteri i el 1953 finalitza la llicenci-atura de ciencies exactes a la Universitat deBarcelona.

Un dels seus primers contactes amb ladocencia fou al Liceu Frances, una de les escolesde mes prestigi social de Barcelona, on impartiaclasses de matematiques al batxillerat superior.

15

Pero fou a l’Escola Talitha on va poder posaren practica, entre el 1956 i el 1962, el sistemamontessoria. Tenia vint-i-set anys i va deixar eltreball anterior perque el projecte de la novaescola l’entusiasmava i perque, segons les sevesparaules, un no ha de quedar-se mai tancat,sino que ha de fer sempre allo en que realmentcreu. Aixı, la seva influencia com a coneixe-dora del metode Montessori, amb el suport del’opinio d’Alexandre Galı, va incidir en la deci-sio d’aplicar aquesta metodologia al parvularide l’escola. El pas seguent fou la construccio detot el material necessari, tasca que dugue a ter-me amb minuciosa precisio.

Cinc anys despres d’iniciar el projecte deTalhita, Maria Antonia decideix iniciar un nouprojecte en un barri amb mes necessitats. As-sabentada de les males condicions del barribarcelones de Verdum, decideix canalitzar elseu compromıs social en aquesta direccio. Elbarri disposava d’un barraco propietat de laparroquia on cada tarda s’impartien classes decapacitacio professional. Es aquı on l’octubrede 1962 la Maria Antonia inicia el funciona-ment de l’escola Ton i Guida, penjant a la por-ta un retol que deia Parvulario. Comencaella sola amb quaranta-dos nens i nenes d’entrequatre i sis anys, la majoria fills d’immigrants.L’escola es mantenia amb les quotes que pa-gaven les famılies segons les seves possibilitatseconomiques, encara que per arribar a fer reali-tat la construccio d’un nou edifici es va comptaramb les aportacions d’importants donatius degent benestant que creia en el projecte.

Com a Talhita, la M. Antonia aconseguı cre-ar a l’escola Ton i Guida un equip de mestresconscients de la importancia de la seva tascai de l’esperit de treball en equip. L’escola gaudıde molta anomenada i el 1975, amb mes de

quatre-cents alumnes, s’havia convertit en unexemple i model d’escola. Deixa Ton i Guidaper dedicar-se al carrec de cap de l’Area deServeis d’Ensenyament de Barcelona. Pero noacaba de trobar-se be en el mon de la polıticai deixa el carrec despres d’un any. S’havia in-volucrat en l’ambit universitari, impartint clas-ses de didactica de la matematica a l’Escola deMestres de la Universitat Autonoma de Barce-lona, i l’any 1982 obte placa a l’Escola Normalde Girona. Aquest fet significa un canvi de re-sidencia. I el 1985 tambe comenca a impartirclasses a l’Escola de Mestres de Vic. Paral.lela-ment a la docencia a la universitat, i fruit deles activitats de formacio permanent, l’any 1992sorgeix el primer grup de mestres dedicat a ladidactica de les matematiques: Grup Perımetre,ubicat a Girona. El Grup Perımetre, junta-ment amb l’equip ICE de matematiques de laUdG, funden l’Associacio d’Ensenyants de Ma-tematiques de Girona (ADEMGI), de la qualM. Antonia fou presidenta durant els quatreprimers anys, de 1992 a 1996. El 1994, l’As-sociacio de Professors de Matematiques de lesComarques Meridionals (APMCM) i l’ADEM-GI funden la Federacio d’Entitats per a l’En-senyament de les Matematiques a Catalunya(FEEMCAT), de la qual fou presidenta durantels tres primers anys.

La seva tasca ha estat reconeguda amb di-versos premis i homenatges: Medalla PresidentMacia (Medalla del Treball) (Barcelona, 13 d’a-bril de 1988); Premi Mestres 68, per la renova-cio aportada al camp de la didactica de la ma-tematica i a la concepcio de l’educacio infantil(Girona, 17 de desembre de 1994); homenatgeper la tasca docent i innovadora desenvolupadaen el camp de la didactica de les matematiques(Girona, 29 de abril de 2000); insıgnia de pla-ta de la FEEMCAT (juliol de 2000); Meda-

16

lla d’or de la Universitat de Vic (17 d’octubrede 2000) i de la Universitat de Girona (4 d’oc-tubre de 2001); homenatge de la Facultat deCiencies de l’Educacio de la Universitat de Gi-rona (29 de maig de 2001) i la distincio JaumeVicens Vives a la qualitat en la docencia uni-versitaria (4 d’octubre de 2001), dedicat per laM. Antonia als milers de noies i nois i als moltsmestres joves i grans que durant tots aquestsanys han estat els meus alumnes. Des del 30de setembre de 2001, Maria Antonia esta oficial-

ment jubilada. Nomenada professora emerita dela Universitat de Girona, actualment coordinael GAMAR (Gabinet de Materials i de Recercaper la Matematica a l’escola).

El passat dia 25 de setembre li va ser ator-gada la Creu de Sant Jordi, per la seva dedi-cacio al paıs i, en concret, per la seva tasca enla formacio de mestres i les seves publicacionsmatematiques. Ens alegrem amb ella d’aquestamerescuda distincio.

Pili Royo RegueiroPresidenta de la FEEMCAT

Manuel Castellet i Solanas

Manuel Castellet i Solanas va rebre la Creu deSant Jordi el 25 de setembre de 2006 en re-coneixement de la seva valuosa trajectoria enl’ambit universitari i la seva contribucio a la re-cerca amb la creacio del Grup de Topologia Al-gebraica de Barcelona, adscrit a la UniversitatAutonoma, de prestigi internacional; i tambe dela seva amplia vinculacio amb l’Institut d’Es-tudis Catalans, del qual, a mes de la direcciodel Centre de Recerca Matematica (CRM), foupresident.

En Manuel es ben conegut, no cal dir-ho,dins d’una institucio que ell mateix va presi-dir de 1978 a 1982, quan encara era la Secciode Matematiques de la Societat Catalana deCiencies Fısiques, Quımiques i Matematiques.De fet, l’arrencada de la SCM fins al que esavui va comencar en aquest perıode. Mes en-davant, va tornar a influir-hi fortament des dela presidencia de l’IEC. La seva col.laboracio ila seva empenta varen ser decisives per a l’exitdel Tercer Congres Europeu de Matematiques

l’any 2000. Des del seu lloc de privilegi al cap-davant de l’Institut (com a secretari general de1989 a 1992, com a vicepresident de 1992 a 1995i com a president de 1995 a 2002), va contribuiral foment i a la difusio de les matematiques ambdiverses iniciatives, entre elles la incorporacio al’IEC de la Fundacio Ferran Sunyer i Balaguerel 1991.

Algunes dades biografiques: va neixer a Bar-celona el desembre de 1943; es va llicenciar enmatematiques a la Universitat de Barcelona el1965 i va obtenir el grau de doctor a la ma-teixa universitat el 1973, amb una tesi doc-toral realitzada a l’Eidgenossische TechnischeHochschule (ETH) de Zuric sota la direccio deBeno Eckmann, un dels investigadors mes des-tacats en topologia algebraica del segle xx (ique, per cert, el marc de 2007 complira no-ranta anys). La topologia ha estat la seva es-pecialitat cientıfica des d’aleshores. Ben aviatva iniciar a Bellaterra el que ara es el Grupde Topologia Algebraica de Barcelona. A prin-cipis de la decada de 1980 l’equip estava for-mat per ell, la seva esposa Irene Llerena i undels seus primers alumnes de doctorat, JaumeAguade (1979). Actualment compta amb vint-i-cinc membres i es un grup consolidat de la Ge-neralitat de Catalunya, capdavanter en la sevaespecialitat a l’Estat i molt actiu a Europa, onha aconseguit distincions com ara un programade formacio Marie Curie entre 2000 i 2004.

Entre d’altres carrecs academics, ha estatdega de la Facultat de Ciencies de la UABde 1987 a 1991, vicerector de la UAB de 1993a 1994, membre del Consell Social de la UAB

17

entre 1988 i 1991, membre del Consell Socialde la UOC entre 1996 i 2005, membre del Con-sell Assessor per al Desenvolupament Sosteni-ble de la Generalitat de Catalunya de 1999 a2002, membre del Consell de la Societat Ma-tematica Europea des de 1994, membre del Re-al Patronato de la Biblioteca Nacional de 1997a 2002 i membre del jurat dels Premis Nacio-nals de Cultura de la Generalitat de Catalunyade 1998 a 2002. Es editor de la serie Advan-ced Courses in Mathematics CRM Barcelona,publicada per Bikhauser des de 2001. Va rebrela Medalla Narcıs Monturiol de la Generalitatde Catalunya al merit cientıfic i tecnologic l’any1991 i va aconseguir la Placa Narcıs Monturiolper al CRM l’any 2000.

La mes gran creacio professional d’en Ma-nuel ha estat, sens dubte, el CRM, que ell vaposar en marxa el 1984, tres anys despres d’ha-ver obtingut una Catedra de Geometria i Topo-logia a la UAB. El CRM va comencar amb pocasuperfıcie, pero amb una capacitat organitzado-ra extraordinaria. Aviat va aconseguir prestigiinternacional i va acollir investigadors molt des-tacats, entre ells sis guanyadors de la medallaFields l’any 1991 i d’altres mes tard, com araJean-Pierre Serre el 2004. En el seu dese aniver-sari, el CRM es va traslladar a la seva ubicacio

actual, i el 2005 amplia la seva capacitat finsa 1.225 m2, amb espai per a una trentena devisitants i un auditori nou per a cent perso-nes. Durant tot el perıode 1984-2006, ell n’haestat el director i ha aconseguit situar-lo entreels millors centres d’Europa. De fet, ell mateixva presidir el comite ERCOM de centres de re-cerca europeus de matematiques entre el 2002i el 2005. Durant aquests dotze anys, diversesgeneracions de matematics catalans s’han be-neficiat de l’existencia del CRM i molts grupsde recerca han crescut a la seva empara.

Tant des de la SCM com des del seu equip, lifem arribar una efusiva enhorabona per aques-ta nova distincio tan rellevant, que premia unadedicacio de molts anys a les matematiques isobretot a Catalunya.

Carles CasacubertaUB

El marc contractual del professorat universitari de matematiques

No fa pas gaire temps que la Ley Organicade Universidades (la LOU) va donar el tret desortida per a la creacio de cossos de professo-rat contractat a les universitats espanyoles, demanera paral.lela als cossos de funcionaris, queeren els unics existents fins al moment. La LOUestablia les bases generals i deixava en mansde les comunitats autonomes la implantacio re-al d’aquests nous cossos de professors univer-sitaris. Tot seguit, el Govern de la Generalitatva elaborar la Llei d’universitats de Catalunya(LUC) definint els contractes que es volien im-pulsar a Catalunya, i les regulacions i els requi-sits per accedir-hi.

Malgrat que aquestes noves figures de pro-fessorat ja comencen a ser presents a les uni-versitats catalanes (encara que potser nomestımidament), entre la comunitat universitaria

encara no hi ha un coneixement prou clarde quines figures son, ni de les seves carac-terıstiques principals. Per aquest motiu, i atesl’interes que te el tema per a les expectativesdels matematics catalans, des de la redaccio dela SCM/Notıcies hem cregut convenient pre-parar aquest informe, amb l’objectiu que elsinvestigadors puguin dimensionar correctamentaquestes figures i puguin autoavaluar-se abansd’optar a un d’aquests contractes. Explicaremtambe com funciona el proces d’acreditacio (de-finit mes avall), els criteris d’avaluacio en ma-tematiques i els resultats acumulats de les con-vocatories fetes fins ara.

Totes les dades necessaries per a l’elaboraciod’aquest informe ens han estat trameses moltamablement per l’Agencia per a la Qualitat delSistema Universitari de Catalunya (AQU), mit-

18

jancant alguns dels membres de les seves comis-sions d’acreditacio. Sense aquest input no ha-gues estat possible l’elaboracio d’aquest escrit,amb l’objectivitat que se li ha pretes donar.

L’informe minimitza les informacions de ti-pus burocratic i administratiu (que es podentrobar al web de l’AQU, www.aqucatalunya.org)i posa mes emfasi en els criteris i resultats ob-servats.

Les figures contractuals

La LUC recull una via contractual, no funcio-narial, per a la trajectoria academica del pro-fessorat, concretament a traves de quatre tipusde contractes laborals: professor col.laborador,professor lector, professor agregat i profes-sor catedratic. Cadascuna d’aquestes categoriesesta definida a la LUC, juntament amb els re-quisits per accedir-hi. El que segueix n’es unresum:

• Professor col.laborador: es la figura contractualde caracter temporal o permanent que desen-volupa exclusivament tasques docents per talde cobrir necessitats de docencia qualificada enambits especıfics de coneixement. La figura delprofessor col.laborador es, per tant, una figuraideada essencialment per a la docencia, no esuna figura que pugui cobrir l’etapa de forma-cio, ni tampoc es una figura de transit cap a lapermanencia, com ho es la figura del lector.• Professor lector: la figura de professorat lectorobre les portes de la nova carrera academicaa traves de la via contractual i permet acce-dir mes endavant a categories superiors ambcontracte indefinit (professorat agregat i ca-tedratic). El contracte es d’un maxim de quatreanys, flexibles en casos de maternitat o pater-nitat, i amb plena capacitat docent i investiga-dora. La figura de professorat lector es la tıpicaper a les persones que han completat recent-ment la seva etapa postdoctoral.• Professor agregat: el contracte de professoragregat es indefinit i suposa una provada capa-citat docent i investigadora.• Professor catedratic: el contracte tambe es in-definit i correspon a l’etapa mes avancada i con-solidada de la carrera academica; es la categoriasuperior del model contractual de la LUC.

En tots els casos, els tres requisits indispen-sables per aconseguir un d’aquests contractesson: 1) tenir un tıtol universitari, 2) disposar

de l’acreditacio per a la categoria corresponent,atorgada per l’Agencia per l’AQU, i 3) superarun proces selectiu que inclou una avaluacio in-terna de la universitat contractant, reguladapels seus estatuts propis i les seves normes defuncionament.

A mes, excepte per al cas dels col.labora-dors, s’exigeix tambe estar en possessio del tıtolde doctor i acreditar dos anys d’activitat docento investigadora, predoctoral o postdoctoral, ode transferencia de tecnologia, en situacio dedesvinculacio academica de la universitat con-vocant. Aquest ultim requisit es considera com-plert si els estudis de doctorat han estat cursatsıntegrament en una altra universitat, que hauraexpedit el tıtol de doctor.

Finalment, per a les figures d’agregat i decatedratic tambe cal acreditar un mınim detres anys d’activitat docent i de recerca, pri-oritariament postdoctoral.

Les avaluacions o acreditacions a les qualses fa referencia mes amunt les gestiona l’AQU,que obre dues convocatories cada any per a ca-dascuna de les quatre categories de professorat.La Comissio de Professorat Lector i Professo-rat Col.laborador (CLiC) es l’encarregada deles acreditacions per a col.laboradors i lectors,mentre que la Comissio d’Avaluacio de la Re-cerca (CAR) gestiona les d’agregat i catedratic(tambe anomenades acreditacions de recerca ide recerca avancada). Ambdues comissions vancomencar a treballar el febrer de 2003 i estanestructurades en sis subcomissions especıfiques:humanitats, ciencies socials, ciencies, cienciesde la vida, ciencies mediques i de la salut, ienginyeria i arquitectura. El professorat de ma-tematiques es avaluat per les subcomissions deciencies.

Proces d’acreditacio

Com s’ha dit en el paragraf anterior, l’AQUobre dues convocatories cada curs, una a la tar-dor, que es resol a finals de febrer, i una altradurant la primavera, que es resol el juliol. Elssol.licitants poden presentar la seva documen-tacio presencialment o be telematicament, indi-car quina subcomissio consideren mes afı al seuambit d’especialitzacio, si be l’assignacio defi-nitiva la fan els presidents de les subcomissionsespecıfiques. Aquestes estan compostes per pro-fessorat reconegut de les diverses arees de co-neixement (vegeu www.aqucatalunya.org), i en

19

la seva avaluacio poden, si escau, recorrer a re-ferees externs que son nomenats per a aquestproposit per l’AQU. L’AQU garanteix que totexpedient sigui avaluat per un mınim de dosespecialistes del mateix camp del candidat.

Per a l’emissio dels seus informes, la Sub-comissio de Ciencies es basa en la definiciode cadascuna de les quatre figures de profes-sorat establerta a la Llei 1/2003, d’universi-tats de Catalunya (LUC), i en la ResolucioUNI/938/2003, d’11 d’abril (DOGC num. 3866,de 16 d’abril de 2003). La valoracio d’un expe-dient esta estructurada en diversos camps d’a-valuacio (merits d’investigacio, formacio, etc.),que depenen del tipus d’acreditacio. Cada campd’avaluacio te associada una ponderacio en laqualificacio final, ponderacio que tambe depende l’acreditacio; per exemple, els merits enformacio i captacio de recursos tenen un pesespecıfic mes alt en l’acreditacio de recercaavancada que en la de recerca. Cada avaluadoromple un full d’avaluacio, amb les qualificacionsdels diferents camps, i un informe, i es comple-ta aixı la primera etapa del proces. La segonaetapa de l’avaluacio es en la reunio de la comis-sio corresponent, on cadascun dels expedientses analitzat globalment, es creuen les qualifica-cions i informes dels avaluadors, i es determinenles qualificacions definitives de cada camp d’a-valuacio. Aquestes, un cop ponderades, duen ala qualificacio final, que es la que formalmentdetermina el resultat final de l’acreditacio (po-sitiu o negatiu).

En consequencia, la valoracio baixa en uncamp pot ser compensada per merits en altrescamps i, per tant, un informe favorable no sig-nifica que s’hagi assolit el nivell fixat per la sub-comissio en cada apartat avaluat, de la mateixamanera que un informe desfavorable no significainsuficiencia en tots i cadascun dels apartats.

Els sol.licitants reben de l’AQU el resultatdel proces i, en el cas d’acreditacions desesti-mades, un breu comentari indica quins son elspunts febles detectats en el seu expedient. Elssol.licitants poden demanar veure el full d’a-valuacio de la seva sol.licitud amb les qualifi-cacions obtingudes en els diferents camps d’a-valuacio. Tambe hi ha un termini per presen-tar recurs d’alcada i exposar les al.legacionsque es considerin convenients, davant del presi-dent de la comissio corresponent (CliC o CAR)—no a la subcomissio avaluadora— recurs que

condueix a la revisio de l’expedient. El terminimaxim de resolucio d’un recurs es de tres mesosa partir de la presentacio.

Les acreditacions no tenen caducitat, i tam-poc no hi ha un temps mınim entre una sol.lici-tud i la seguent.

Les acreditacions de col.laborador i lectoremeses per l’agencia estatal ANECA tambe sonvalides a efectes de contractacio. L’acreditaciode contractat doctor emesa per l’ANECA es re-coneguda per les universitats catalanes a efec-tes de contractacio de professorat agregat, peroen aquest cas no poden acollir-se al ProgramaSerra-Hunter (vegeu l’apartat 8).

Acreditacio del professorat col.laborador

En el cas del professorat col.laborador, l’elementcentral de l’avaluacio es l’experiencia docent i elcurrıculum professional del candidat. La forma-cio academica i l’experiencia investigadora sonmerits complementaris en l’avaluacio del sol.lici-tant. Es a dir, el que prioritariament es valorade manera positiva es una trajectoria docent va-riada i extensa, tant teorica com practica, com-plementada per innovacio i formacio adrecadesa la docencia, com tambe una trajectoria pro-fessional reconeguda en un ambit relacionatamb la trajectoria docent. El tıtol de doctor esconsidera una part d’aquesta experiencia pro-fessional.

Hi ha quatre camps d’avaluacio, cadascunamb un pes especıfic diferent, que comentema continuacio: experiencia docent, 50 % (40 %trajectoria docent universitaria i 10 % per altresmerits docents) currıculum professional, 25 %;formacio academica, 10 %, i experiencia inves-tigadora 15 %.1. Experiencia docent. Aquest apartat inclou latrajectoria en docencia reglada universitaria ialtres merits relacionats amb activitats de for-macio per a la docencia i d’innovacio docent. Lavaloracio de la trajectoria docent universitariaes basa en el nombre d’assignatures i el volumde docencia acreditat, i es considera el caracterteoric o practic. La docencia no universitaria noes un merit que es tingui en compte en aquestapartat i es valora, si escau, en l’apartat d’altresmerits docents o dins de l’apartat d’experienciaprofessional. Nomes es valora la docencia ambun mınim d’un any academic d’activitat docenti la maxima valoracio requereix un mınim detres anys academics d’activitat docent regula-

20

da, que inclogui docencia teorica. Es consideraque un any academic comporta una mitjana dedotze credits impartits i la docencia impartidaanualment es valora proporcionalment a aquestcriteri. L’activitat docent s’ha d’acreditar do-cumentalment.

Pel que fa a activitats de formacio per ala docencia universitaria i d’innovacio docent, ialtres merits docents, es valoren com a meritsla participacio en cursos, postgraus i programesper a la docencia universitaria. No es consideraun merit d’aquest apartat la formacio doctoralespecıfica en l’area d’especialitzacio, que con-tribueix a l’obtencio del tıtol de doctor, i quees valora en l’apartat de currıculum professi-onal. Pel que fa als projectes d’innovacio do-cent, es valoren positivament i d’acord amb elseu grau de qualitat, l’entitat financadora i ladurada. Tambe es valoren aquı les tasques ins-titucionals de millora de la docencia. En qua-litat d’altres merits docents es pot valorar ladocencia universitaria no reglada i la docenciano universitaria, sempre que estigui justificadadocumentalment.2. Currıculum professional. Es valora positiva-ment l’experiencia professional que estigui rela-cionada amb l’ambit docent que s’avalua, de laqual es tenen en compte la durada, la dedica-cio, l’empresa o l’organisme, el carrec i l’activi-tat exercida. Per tal que la valoracio en aquestcamp sigui la maxima possible, es requereix unaactivitat professional de com a mınim tres anysa temps complet. Alternativament, el tıtol dedoctor tambe es considera com a experienciaprofessional amb la maxima valoracio. L’assoli-ment acreditat de la suficiencia investigadora odel diploma d’estudis avancats es valora pro-porcionalment. No obstant aixo, aquesta sego-na possibilitat no es un requisit necessari per ala qualificacio positiva de l’experiencia profes-sional.3. Formacio academica. Es te en compte l’ex-pedient academic, i es considera un merit ad-dicional que el candidat estigui en possessio demes d’una titulacio o que hagi estat mereixedord’un premi extraordinari.4. Experiencia investigadora. Tot i que l’avalua-cio favorable per a professorat col.laborador norequereix una experiencia investigadora, aques-ta experiencia pot contribuir a l’avaluacio po-sitiva i compensar deficits en altres apartats.Es valoren preferentment les publicacions en re-

vistes indexades, es a dir, que hagin passat unproces d’avaluacio peer review i que apareguinen les llistes del Science Citation Index o si-milars. Preval especialment la publicacio en re-vistes dels quartils superiors d’aquests llistats.Tambe es tenen en compte altres publicacionsde recerca, incloent-hi llibres o capıtols de lli-bres.

Conceptes avaluats en les acreditacionsde lector, agregat i catedratic

Ja hem indicat abans que els matematics sonavaluats per les subcomissions de Ciencies dela CliC i la CAR. Farem un repas dels criterisfets publics per aquestes subcomissions, per alcas de lectors, agregats i catedratics, que son lesfigures mes vinculades a la recerca. En els trescasos, els conceptes que s’avaluen son els ma-teixos, l’unic que canvia es el pes especıfic quete cadascun d’ells en l’avaluacio final. Es tractadels seguents:1. Publicacions. Els criteris publicats per les du-es comissions de ciencies indiquen una xifraorientativa del nombre mınim de publicacionsexigides, depenent de l’acreditacio, per dir totseguit que aquest nombre s’ha de contrastaramb les especificitats de l’area, la producti-vitat mitjana del camp d’especialitzacio, etc.Evidentment resulta impossible establir una xi-fra que sigui reconeguda com una aproximaciovalida tant per fısics, quımics, matematics, etc.Aquest contrast es fa efectivament en el cas dematematiques, ja que els parametres que des-pres presentarem indiquen que en tots els casosel nombre mınim anterior esta per sobre de lamitjana observada entre les sol.licituds avalua-des favorablement en matematiques.

Pel que fa a la qualitat, l’avaluacio en l’a-partat de publicacions te en compte aspec-tes habituals en aquests casos. Aixı, es valo-ren basicament les publicacions en revistes in-dexades, es a dir, que hagin passat un procesd’avaluacio peer review i que apareguin en lesllistes del JCR Science Edition o similars. Lesllistes es divideixen en quartils per a cadascundels subambits cientıfics. Quan una revista apa-reix llistada en mes d’un subambit, es conside-ra sempre la situacio relativa de la revista en elsubambit mes favorable per al candidat. Es va-lora especialment la publicacio en revistes delsquartils superiors, i es considera l’extensio del’article. A part del quartil (i per tal de pre-

21

cisar la repercussio efectiva de la recerca du-ta a terme pel sol.licitant), quan sigui possiblees considera l’ındex d’impacte de les publicaci-ons i el nombre de citacions rebudes per cadaarticle. Aquests, que son criteris generals pera ciencies, tambe son matisats per al cas es-pecıfic de matematiques, perque hi ha revistesmolt ben considerades per la comunitat ambindependencia de la seva posicio en el JCR, id’altra banda els ındexs d’impacte de bones re-vistes de matematiques son molt baixos com-parats amb altres ciencies. Als avaluadors se’lsdemana el seu propi parer sobre les publicaci-ons, amb independencia de l’ındex d’impacte,que els mateixos sol.licitants ja aporten en elcurrıculum normalitzat.

Per tal de contrastar si el candidat te unatrajectoria cientıfica recent, es te en compte queuna part dels articles valorats s’hagi publicaten els darrers tres anys. En la publicacio de lli-bres, es valora la qualitat de l’editorial segonsel seu prestigi internacional, i es te en comptel’exigencia i el rigor cientıfic en els processos deseleccio dels treballs publicats, el nombre d’au-tors i el tipus d’aportacio, ja sigui en el conjuntde l’obra, en un o diversos capıtols, o be en l’e-dicio d’una obra col.lectiva. Tambe, en aquestcas, es valora especialment la trajectoria delsdarrers anys, encara que sense establir un lımitfix de temps.2. Informes valoratius. Un altre aspecte fa re-ferencia als informes valoratius demanats pelssol.licitants a terceres persones, i que aquestesremeten directament a l’AQU. Aquests, que noson en cap cas obligatoris, sı que resulten conve-nients ja que ajuden els avaluadors a fer una va-loracio mes ajustada dels merits dels candidats.Logicament, els informes valoratius es tenen encompte considerant el prestigi de la persona queels emet, la informacio que contenen i la relacioque hi ha entre el signant i el sol.licitant. Aixı,per exemple, cal distingir els informes valora-tius de la recerca emesos per investigadors deprestigi allunyats de l’entorn del candidat delsemesos per coautors o directors de tesi.3. Contribucions a congressos. Les contribucionsa congressos nomes es consideren com a meritaddicional, i en cap cas no substitueixen altresmancances en l’experiencia cientıfica. Es con-sidera l’abast i la rellevancia internacional delcongres, i es valoren les comunicacions orals i lesponencies invitades, en cap cas les assistencies.

4. Estades en centres de recerca. Es valoren po-sitivament les estades de recerca de mitjana illarga durada, com a mınim de tres mesos i pre-feriblement superiors a un any, en centres derecerca de prestigi internacional reconegut i di-ferents del centre on es fa la feina habitual.Quan l’estada es posterior a la realitzacio dela tesi doctoral, es considera com a formaciopostdoctoral.5. Participacio i direccio de projectes de recerca.Es consideren exclusivament els projectes de re-cerca financats en convocatories competitives,tant de les administracions publiques (europe-es, estatals i autonomiques) com del sector pri-vat (fundacions i empreses), i te una considera-cio positiva especial la participacio del candidatcom a investigador principal del projecte.6. Direccio d’activitats de recerca, activitats for-matives i desenvolupament. Es valora la capa-citat del sol.licitant per formar un grup onucli de recerca, com tambe el fet d’haver diri-git i/o estar dirigint tesis doctorals. Tambe esvalorara la seva implicacio en la imparticio i/ola coordinacio de cursos de doctorat, postgrausi masters. En definitiva, els punts 5 i 6 mesu-ren l’impacte de la tasca del candidat en el seuentorn academic.7. Transferencia de tecnologia, patents, modelsd’utilitat i altres resultats. Es valoren aquellsresultats l’us actual dels quals pugui ser de-mostrat pel sol.licitant, o be que tinguin prouavancat el tramit per a la proteccio internacio-nal de drets, de manera que la comissio puguiavaluar l’interes real de l’aplicacio.8. Formacio doctoral i postdoctoral. En la forma-cio doctoral, es valora el centre en el qual s’harealitzat la formacio, el fet d’haver gaudit d’u-na beca competitiva i les publicacions que s’handerivat d’aquest treball de recerca. Es valora larecerca desenvolupada en centres diferents delde la realitzacio de la tesi, i es te en compte elprestigi internacional. Pel que fa a les estadespostdoctorals, no es consideren les estades infe-riors a sis mesos i la valoracio es especialmentpositiva per a les estades d’almenys un any imig.9. Trajectoria docent universitaria (nomes per alcas de lector). La valoracio de la trajectoria do-cent universitaria es basa en el nombre d’as-signatures i el volum de docencia acreditat, ies considera la naturalesa teorica o practica.

22

Te una consideracio especialment positiva el fetque el candidat hagi estat responsable d’algu-na assignatura. La docencia no universitaria noes un merit que es tingui en compte en aquestapartat, i es valora, si escau, a l’apartat d’altresmerits docents.10. Innovacio docent (nomes per al cas de lec-tor). Es valoren positivament els projectes d’in-novacio docent i es tenen en compte el graude qualitat, l’entitat financadora i la durada.Tambe es valoren les tasques institucionals demillora de la docencia.11. Altres merits. Es valoren els premis, les dis-tincions, els trams de recerca, la pertinencaa societats cientıfiques, comites editorials, co-mites de premis, etc., i els carrecs ocupats pelcandidat que impliquin una activitat de gestiode la investigacio.

Acreditacio del professorat lector

En el cas del professorat lector, l’element cen-tral de l’avaluacio son els merits investigadorsdel candidat i, entre aquests, les publicacions ci-entıfiques. Altres merits del candidat, entre elsquals hi ha els docents, poden modular l’avalu-acio, pero per si sols no poden ser determinantsd’una avaluacio positiva o negativa.

Els onze conceptes de l’apartat anteri-or s’organitzen en els tres camps d’avaluacioseguents:a) Experiencia investigadora, 65 % (publicaci-ons indexades 50 %; comunicacions a congressosi estades de recerca no incloses en la formacioacademica, publicacions no indexades, 8 %, iparticipacio en projectes de recerca, direccio derecerca i transferencia de tecnologia, 7 %). Elscriteris generals per a ciencies de la CLiC es-tableixen que del conjunt de publicacions, pera l’avaluacio es consideren les sis millors, va-lorades d’acord amb la qualitat de la revista,tot i que aquest nombre no s’ha de conside-rar un mınim absolut, sino que es contrasta encada cas, entre altres coses, amb la producti-vitat mitjana de l’area. En el cas de les ma-tematiques, aquest contrast es ben present, jaque la qualificacio maxima en l’apartat de pu-blicacions s’assoleix en matematiques amb trespublicacions indexades, una de les quals estiguien el primer quartil.b) Formacio academica, 20 % (predoctoral, 5 %;doctoral i postdoctoral, 15 %). La formacio

postdoctoral aquı te un paper important, i laqualificacio maxima en aquest apartat s’asso-leix amb una estada postdoctoral d’un any enun centre de prestigi reconegut.c) Experiencia docent, 15 % (trajectoria do-cent universitaria, innovacio docent). De mit-jana, s’observa que els lectors acreditats enmatematiques han impartit docencia regladadurant tres anys academics o mes. Tanmateix,aquest apartat es poc determinant, pel seupoc pes.

Resumint, un lector acreditat de matemati-ques es una persona que te entre tres i quatrepublicacions de qualitat, que participa en algunprojecte de recerca competitiu, i amb mobili-tat a escala internacional. Els sol.licitants quegaudeixen d’una beca tipus Juan de la Ciervao similar solen obtenir l’acreditacio de maneranatural.

Acreditacio de recerca del professoratagregat

Per a l’emissio de l’acreditacio de recerca, laCAR avalua l’activitat d’investigacio duta aterme fins ara i l’activitat en formacio, desenvo-lupament, gestio i administracio de la recerca, ialtres merits en general. Es considera la tempo-ralitat de la tasca cientıfica que s’hagi portat aterme i, en especial, la trajectoria dels darrersanys.

Els sol.licitants hauran de demostrar unacapacitat docent i investigadora provada, d’a-cord amb l’article 46 de la Llei 1/2003, de 19de febrer, d’universitats de Catalunya. Pel quefa a la capacitat investigadora, els sol.licitantshauran de demostrar, almenys, tres anys d’ac-tivitat investigadora postdoctoral per poder seracreditats.

Hi ha quatre camps d’avaluacio, basats enels nou primers conceptes de l’apartat 4 (l’ava-luacio es estrictament de recerca, sense que esconsiderin els merits docents):a) Publicacions i transferencia dels resultats derecerca, 75 %. Es valoren les publicacions i latransferencia de tecnologia de manera conjun-ta i amb el mateix valor. Els criteris esmentenuna xifra mınima de quinze articles, si be esprecisa que no es tracta de mınims absoluts exi-gibles, sino d’una referencia general en l’ambitde ciencies, que en cada cas s’ha de contrastaramb la qualitat mitjana de les publicacions delsol.licitant i la productivitat mitjana de l’area

23

corresponent. I efectivament, en matematiques,la mitjana observada del nombre de publicaci-ons entre les acreditacions de recerca positivesesta al voltant de deu.b) Direccio i participacio en projectes d’investi-gacio, 10 %. En aquest apartat, el que es consi-dera dins la normalitat i tıpic de l’agregat acre-ditat es haver participat i estar participant enun projecte de recerca competitiu. En cas de serinvestigador principal del projecte o d’altres demenor entitat (accions integrades, PICS, etc.),la seva puntuacio en aquest camp es veu incre-mentada.c) Activitat formativa, 10 %. En aquest campla normalitat se situa en el fet d’haver dirigit oestar dirigint tesines o treballs de recerca, par-ticipar en programes de doctorat, etc. La direc-cio de tesis incrementa la puntuacio en aquestapartat.d) Altres merits, 5 %. Es dona una importanciaespecial a la mobilitat internacional del candi-dat i als informes valoratius de terceres perso-nes.

En definitiva, un agregat acreditat de ma-tematiques es una persona que ha superat com-pletament l’etapa postdoctoral, capac de dur aterme recerca de manera autonoma i no sub-sidiaria, que comenca a contribuir significati-vament en temes actuals en una lınia diferentde la tesi doctoral, que participa activament enprojectes competitius, amb mobilitat internaci-onal, i que comenca a implicar-se en formacio.

Acreditacio de recerca avancadadel professorat catedratic

La figura del catedratic contractat correspon ala fase mes avancada i consolidada de la car-rera academica. El catedratic contractat es uninvestigador reconegut internacionalment en elseu camp, que ha fet contribucions importantsa mes d’una lınia d’investigacio, que participai dirigeix projectes competitius, amb capacitatde lideratge i de captacio de recursos, que ha di-rigit i format altres investigadors, i que en defi-nitiva te un impacte en el seu entorn academic.

Per a l’emissio de l’acreditacio de recercaavancada, la CAR utilitza els mateixos campsd’avaluacio que per a l’acreditacio de recerca,pero amb ponderacions diferents que reflectei-xen la major importancia que es dona a l’activi-tat de direccio i gestio de projectes, i formacio.Evidentment, tambe hi ha el requisit formal de

tres anys d’activitat investigadora postdoctoralper optar a l’acreditacio.a) Publicacions a revistes i publicacio de lli-bres, 65 %. En aquest cas, els criteris indiquenla xifra de trenta com a orientativa del nom-bre mınim de publicacions exigides, xifra queen matematiques resulta molt respectable. Elsmateixos criteris diuen que aquesta xifra no esun mınim absolut. I, novament, la xifra mit-jana de publicacions entre les acreditacions derecerca avancada en matematiques esta al vol-tant de vint.b) Direccio i participacio en projectes d’investi-gacio, 15 %. En aquest cas la situacio tıpica es lad’una persona que es investigador principal delseu projecte i que dirigeix un grup de recerca.La implicacio en projectes europeus, projectesde grans dimensions, etc., incrementa la puntu-acio en aquest apartat. Es considera importantla capacitat de lideratge i de dinamitzacio, im-puls de nous projectes, etc.c) Activitat formativa, 15 %. Haver dirigit coma mınim un parell de tesis doctorals es el quees considera dins la normalitat. La qualificaciomaxima s’assoleix quan el candidat es cap visi-ble d’una escola reconeguda.d) Altres merits, 5 %.

La major part de les acreditacions de re-cerca avancada positives corresponen a titularsd’universitat amb dos o tres sexenis de recercai a investigadors del Programa Ramon y Cajalen el seu darrer any de contracte.

Resultats acumulats de les acreditacions.Comentaris

Pel que fa a matematiques, en les convocatoriesresoltes fins ara els resultats han estat elsseguents:Col.laboradors: 127 sol.licituds, 110 avaluadesfavorablement (87 %).Lectors: 105 sol.licituds, 66 avaluades favorable-ment (63 %).Agregats: 49 sol.licituds, 22 avaluades favora-blement (47 %).Catedratics: 16 sol.licituds, 8 avaluades favora-blement (50 %).

Es interessant veure quants contractes hanestat originats per aquestes acreditacions enmatematiques en el total de les universitats ca-talanes: col.laborador, 19; lector, 25; agregat, 7;catedratic, 0.

24

Totes les persones contractades, excepte uncol.laborador, han estat acreditats per l’AQUde la Generalitat de Catalunya. L’absencia to-tal de catedratics contractats es dona gairebeuniversalment. No n’hi ha cap en tot l’ambit deciencies, i globalment nomes n’hi ha 4. Evident-ment, l’explicacio radica en el fet que pel quefa a la retribucio la figura del catedratic con-tractat no ha estat considerada a l’altura de lesexpectatives originals. La CAR ja va adrecaral DURSI un escrit posant de manifest aquestacircumstancia.

Els contractes laborals d’agregat i catedra-tic son objecte del Programa Serra-Hunter.Aquest pla del DURSI, pactat amb els partitspolıtics en el seu moment, preveu la creacio de1.200 contractes d’agregat o catedratic fins al2015 (800 d’agregat i 400 de catedratic). El pri-

mer de gener de 2006, les xifres eren de 163 i 4,respectivament, la qual cosa mostra que no s’es-tan assolint les expectatives. D’altra banda, pertal d’incentivar la via contractual a les univer-sitats catalanes, el pla estableix que el DURSIassumeix el 50 % del cost d’una placa de con-tracte en el cas que la persona contractada dis-posi d’una acreditacio emesa per l’AQU. Lesuniversitats poden contractar com a agregatpersones amb acreditacio de contractat-doctorper l’ANECA i que hagin superat les provesque la Universitat hagi dissenyat, pero si aques-ta persona no disposa de l’acreditacio de l’AQUaquest contracte no entra en el Programa Serra-Hunter i els costos de la placa van a carrec to-talment dels presupostos de la Universitat. Enmatematiques tots 7 agregats contractats hanestat acreditats per AQU Catalunya.

La docencia de les matematiques a la UPC: preparant l’espai europeu

En aquest article es descriuen les activitats que han dut a terme de manera conjunta els quatre de-partaments de Matematica Aplicada de la Universitat Politecnica de Catalunya (UPC), en el marcd’un projecte promogut per aquests departaments per tal de debatre i preparar la propera implan-tacio de l’espai europeu d’ensenyament superior. Les activitats realitzades han estat conferencies,tallers de treball i estades informatives a diverses universitats europees.

El que anomenem Espai Europeu d’Ensenya-ment Superior, conegut per les sigles EEES, espot definir com un nou marc universitari fruitde l’acord entre diversos estats europeus, pertal d’harmonitzar les titulacions universitariesi presentar un ambit universitari que conjun-tament fos mes compacte o mes competitiu aescala internacional.

Si nomes fos aixo, i mirat des del puntde vista dels departaments o del professoratuniversitari, gairebe no ens caldria fer gairecosa mes. Pero si aixo de l’espai europeu esquelcom mes, caldria precisar-ho, analitzar-hoi treure’n consequencies. Doncs be: en efecte,

hi ha alguna cosa mes que, en essencia, per anosaltres significa aprofitar la implantacio del’espai europeu per dur a terme un debat sobrela renovacio de la metodologia docent i la con-veniencia o no de centrar-la mes en l’aprenen-tatge de l’alumnat (es a dir, en la comunicacioprofessor-alumne, l’atencio personal, els recur-sos, els materials, etc.). Acceptant que aques-ta es, en sıntesi, l’essencia dels possibles can-vis que poden acompanyar la implantacio del’EEES, cal definir i precisar de que s’estaparlant, analitzar les implicacions en tots elsambits i, despres del debat necessari, treure’nconclusions per tal d’establir objectius i actua-cions sobre aquest tema.

I es en aquest context que, prenent cons-ciencia de la importancia del tema i amb elconvenciment que unes actuacions presentades iplanificades de manera conjunta i coordinadapodrien permetre aprofitar millor les activitatsi permetre una major intercomunicacio, els qua-tre departaments de Matematica Aplicada de laUPC varem acordar promoure un projecte ques’ha dut a terme al llarg del curs 2005-2006 ique s’ha plantejat assolir els objectius seguents:

25

• posar a l’abast del personal dels quatre de-partaments (PDI i PAS) informacio relativa al’espai europeu d’ensenyament superior, que esi que significa;• reflexionar de manera col.lectiva sobre el temai, en particular, sobre com pot afectar l’activi-tat docent de les matematiques en el contextd’una universitat politecnica com la nostra;• dur a terme activitats informatives de carac-ter general i de caracter especıfic;• dur a terme activitats de treball, que hemanomenat tallers, de diferents tipus (tematics,territorials) sobre la nostra activitat docent ac-tual i les perspectives de futur en el marc del’EEES;• obtenir informacio de que s’ha fet a Europa,duent a terme visites informatives de tipus ge-neral i sobre la docencia de les matematiques;• constituir un espai permanent d’informacio ide debat (web), que a mes sigui un vincle entreles persones i les unitats participants en el pro-jecte;• implicar les institucions i convidar-les a parti-cipar en aquestes activitats de manera properaa les persones que, d’una manera o altra, hau-ran de protagonitzar els canvis futurs.

Amb aquests elements, es va formalitzar unacord entre els quatre departaments esmentats,que es va concretar en un projecte d’actua-cio que es va presentar a l’equip de governde la UPC i va obtenir el suport institucio-nal que s’esperava. El projecte es va presen-tar a l’Agencia d’Ajuts Universitaris i de Re-cerca (AGAUR) del Govern de Catalunya, laqual va aprovar el projecte i el va dotar d’unajut economic per poder fer-lo realitat.

Les actuacions realitzades han estat: jor-nades plenaries, tallers territorials, tallerstematics i estades informatives a diverses uni-versitats europees. La informacio completa espot trobar a http://EEESMAT.upc.edu.

Tenint en compte el conjunt d’activitats re-alitzades, les principals conclusions del projectees poden resumir en els apartats seguents:1. S’ha posat a l’abast del personal dels quatredepartaments una quantitat d’informacio moltnotable tant quantitativament com qualitativa-ment, relativa a que es o que s’interpreta que esl’EEES; aquesta informacio permet fer-se unaidea molt precisa del significat de l’EEES i decom s’esta implantant en diferents universitatsd’Espanya i d’Europa.

2. S’ha intensificat notablement el coneixementmutu entre els quatre departaments implicats iel seu personal, fet que ha propiciat marcs decol.laboracio i entesa amb vista al futur.3. S’ha propiciat la reflexio individual i col.lec-tiva sobre l’espai europeu d’ensenyament supe-rior i, d’una manera mes concreta, sobre les im-plicacions en l’activitat docent de les matemati-ques en el context d’una universitat politecnicacom ara la UPC. Aquestes reflexions han decontribuir necessariament a promoure milloresen la innovacio i la qualitat de la docencia.4. S’han realitzat activitats informatives de ca-racter especıfic sobre temes d’interes molt con-cret que afecten territoris o diferents ambits deles matematiques; les conclusions d’aquestes ac-tivitats han de servir per compartir experien-cies i millorar-ne el plantejament docent en elfutur.5. Els anomenats tallers han donat fruits con-crets, ja que han permes la participacio directade les persones i han propiciat un millor conei-xement de l’activitat docent actual i el debatsobre les perspectives de futur en el marc del’EEES.6. Les visites informatives realitzades hanpermes obtenir i estructurar una informacio so-bre que s’ha fet a Europa, tant des d’un puntde vista general com mes concretament sobre ladocencia de les matematiques. En aquest ambitno nomes el personal dels departaments hem detreure conclusions, sino que aquestes aportaci-ons tambe han de ser utils als gestors del siste-ma universitari.7. La creacio d’un espai permanent d’informa-cio i de debat al web, a mes de contenir totala informacio sobre el projecte realitzat, servirasens dubte de vincle i d’espai comu entre lespersones i les unitats participants en el projec-te, a mes de poder ser d’utilitat a la resta dela comunitat universitaria de la UPC i d’altresuniversitats.8. La implicacio de les institucions ha estatcompleta des del primer moment i s’han impli-cat i han participat en les diferents activitatsrealitzades. A la vegada, s’ha assolit un millorconeixement d’aquestes institucions per part deles persones dels departaments, les quals seranles protagonistes mes directes dels canvis queeventualment es produiran en el futur.9. S’ha propiciat un coneixement mes completde les matematiques de la UPC a altres univer-

26

sitats de l’Estat i d’altres indrets, que habitual-ment en tenen una visio mes concreta o parcial.10. S’ha preparat el terreny per a una implan-tacio de l’ensenyament de les matematiques enel context de l’espai europeu, basada en la in-formacio, el debat, la reflexio i la participacio.Aquests elements son els que poden aportarllum i propostes raonades i raonables; qualse-vol altre marc no seria, segons la nostra opinio,propi d’una institucio com es la universitat.

Si s’han assolit veritablement els objectiusd’aquest projecte, pot dependre en part de lapercepcio individual, pero es ben clar que eldocument il.lustra que les activitats realitza-des han comptat amb una participacio moltamplia, amb una atencio i un seguiment moltnotables i han respost a les expectatives ques’esperaven. Per aquests motius, es pot afir-mar de manera clara que hem fet el que volıemfer, hem estimulat el debat que volıem propi-ciar, hem incitat a la reflexio individual i col-lectiva que volıem promoure i hem situat la in-novacio docent en matematiques en el centred’atencio que volıem ubicar. Ara cal que cadapersona ho faci seu, hi reflexioni, ho compartei-

xi i, col.lectivament, anem enfortint i millorantla qualitat docent que oferim en els ensenya-ments de la UPC; aquest es el nostre repte i elnostre objectiu.

Els quatre departaments impulsors d’aques-tes activitats estem satisfets, en lınies generals,de com ha anat la materialitzacio del projec-te. A mes d’expressar el nostre agraıment a lesinstitucions que ens han ajudat a fer realitat elprojecte, ens volem refermar en el nostre con-venciment que nomes amb informacio, debat iparticipacio s’assolira satisfactoriament una re-novacio com la que es planteja amb la implan-tacio de l’EEES, de la qual les universitats hande ser les protagonistes i, d’una manera moltespecial, les persones que la viuran de mane-ra directa i explıcita. Sense elles, tot el que esplanteja no es pot concretar, ni te cap sentit fer-ho sense la seva col.laboracio i implicacio; ambaquest projecte s’han posat al seu abast els pri-mers elements per fer-ho, que naturalment nopoden ser els ultims i en el futur caldra tre-ballar molt per assolir aquesta nova realitat demanera satisfactoria i al servei de la societat,dels seus interessos, inquietuds i aspiracions.

Amadeu Delshams, Josep M. Brunat, Eusebi Jarauta i Josep FabregaDirectors dels Departaments de Matematica Aplicada I, II, III i IV, respectivament

Les universitats informen

Activitats de la Facultat de Matematiques de la UB durant el curs 2006-2007

La Facultat de Matematiques de la Universitatde Barcelona va inagurar el curs academic eldia 4 d’octubre amb l’excel.lent conferencia deldoctor Eduard Casas Alvero titulada Nom-bres, punts singulars i geometria infinitessi-mal. El professor Casas ens va conduir, aprofessors i alumnes, per l’interessant mon deles singularitats i la seva historia. Altres con-ferencies programades inclouen la que anual-ment dediquem a la feina del guardonat ambel Premi Abel, i que tindra lloc durant el se-mestre de primavera.

Dins del marc de col.laboracio amb els pro-fessors de l’ensenyament secundari s’han con-tinuat les diverses activitats que ja fa diversosanys que porta a terme la Facultat. Aixı doncs,els passats 8 i 15 de novembre va tenir llocla xerrada taller Grafs: matematiques + in-

formatica, impartida pel doctor Antoni Ben-seny, a la qual van assistir un total de set-centscinquanta-quatre alumnes de diversos centresde Catalunya. A la xerrada vam veure com lesmatematiques i la informatica es complemen-ten per resoldre problemes complexos modela-bles amb grafs, mentre que al taller vam disfru-tar dissenyant estrategies guanyadores per ju-gar al joc del Nim. Els dies 24 i 31 de gener,tindra lloc la xerrada-taller Visualitzacio dedades cientıfiques per part de la doctora An-na Puig, que ens explicara com utilitzar einesgrafiques i matematiques per ajudar a la visu-alitzacio i interpretacio de grups complexos dedades. (Les inscripcions per les dues xerradestaller es fan durant el mes de setembre. Si vo-leu rebre la informacio personalment, envieu uncorreu electronic a secundaria@maia.ub.es.)

27

Des de la Facultat hem continuat donant su-port a diversos treballs de recerca en matema-tiques, posant en contacte els nostres alumnes iprofessors amb aquells alumnes i tutors de bat-xillerat que aixı ho han demanat. Tornarem acomencar aquesta activitat durant els primersmesos de 2007.

Finalment, l’edicio d’enguany de la Mate-fest/Infofest, la nostra particular Festa de lesMatematiques i la Informatica, tindra lloc elmatı del dia 28 de marc. Aquesta festa singu-lar l’organitzen els mateixos alumnes de la Fa-cultat i va adrecada als alumnes de segon cicled’ESO i tambe de batxillerat. En aquesta jorna-

da, podem experimentar amb les diverses ves-sants de les matematiques i de la informatica,en les diferents paradetes i estants repartits pertot l’edifici historic de la UB. Al llarg del matıtambe es pot gaudir de conferencies i tallers.Coincidint amb la Matefest/Infofest, la Facul-tat organitza la Jornada de Portes Obertes,adrecada a tots els alumnes de secundaria quevulguin informacio sobre els ensenyaments ques’imparteixen a la Facultat.

Trobareu informacio sobre aquestes i altresactivitats a www.ub.edu/csecundaria/ubicat, iinformacio mes general sobre la Facultat, awww.mat.ub.edu.

Nuria FagellaCoordinadora d’activitats per a secundaria

Facultat de Matematiques, UB

Activitats de les Seccions de Matematiques i d’Estadıstica de la UAB

Aquest curs 2006-2007 va comencar a la UABamb la molt bona notıcia que el nombre de ma-triculats de primer curs en la Seccio de Mate-matiques havia augmentat. Un dels motius d’a-quest fet el podem trobar en l’exit de la dobletitul.lacio Matematiques -Informatica. Les inau-guracions oficials dels estudis de matematiquesi estadıstica van consistir, respectivament, enles conferencies:

• Records: Quina es la probabilitat d’obtenir-ne? Quan apareixen? Quins valors prenen?,impartida pel professor del Departament deMatematiques Xavier Bardina i Simorra, eldia 18 d’octubre.

• Los estudios observacionales en Ciencias dela Salud: La varianza es la clave, imparti-da pel professor del Departament de Pedia-tria, d’Obstetrıcia i Ginecologia i de Medici-na Preventiva Miguel Martın Mateo, el dia19 d’octubre.

Regularment, el Departament de Matemati-ques organitza els Col.loquis que, recordem,van dirigits tant als alumnes universitaris comals professors. Els dos planificats per a aquestcurs son:

• Combinatoria enumerativa, probabilitat ianalisi complexa, impartit pel professor dela Universitat Politecnica de Catalunya MarcNoy, el dimecres 29 de novembre.

• Cinco anos de juegos matematicos, impar-tit pel professor de la Universidad Complu-tense de Madrid i editor de la Seccio de Jocs

Matematics de la revista Investigacion y Ci-encia, Juan M. R. Parrondo, el dimecres 21de marc.

Tambe se segueixen realizant les sessions depreparacio per a l’Olimpıada Matematica i en-guany s’ha afegit a aquesta activitat una denova, les anomenades Sessions d’aprofundimenten matematiques per a alumnes del segon cicled’ESO.

Dissabtes de les Matematiques del curs 2005-2006

Continuant amb les activitats mes relacio-nades amb l’ensenyament secundari, ens agra-daria comentar la bona acollida que ha tingutel Programa Argo. Aquest es un programa ge-neral de la UAB que, entre altres coses, donasuport per a la realitzacio dels treballs de recer-ca de secundaria. Podeu trobar mes informacioa www.uab.cat/ice/argo/. Alguns dels temesestadıstics o matematics sobre els quals s’ofe-

28

reix assessorament son: aplicacions de les frac-cions contınues, rellotges de sol, trigonometriaesferica, nombres primers i tests de primalitat,el nombre d’or, el creixement de poblacions, esla musica un llenguatge sense gramatica?, cons-truccions geometriques amb regle i compas as-sistides per ordinador, calcul de longituds decorbes, d’arees de superfıcies i de volums decossos comptant punts de l’espai, introduccioa l’astronomia a traves de l’esfera celeste, pro-varem el teorema de Pick, metodes de vota-cio: podrıem fer-ho millor!, enrajolaments delpla, l’estadıstica de poblacions ocultes: comconeixer el numero de consumidors de droguesd’una ciutat?, estadıstica, canvi climatic i salut,els fractals a la natura, un passeig per la cripto-grafia, al compas d’un algorisme, calcul del radide la Terra repetint l’experiment d’Eratostenes,s. iii aC, etc.

Els Dissabtes de les Matematiques se cen-traran enguany en els temes seguents: les for-

mes que ens envolten, evolucio i matematiques,teoria i practica del malabarisme i, finalment,matematiques i astrodinamica. Les xerrades se-ran:

• 17 de marc, a carrec de Natalia Castella-na, Per a quins problemes trucaries a untopoleg?

• 24 de marc, a carrec d’Angel Calsina, Comles matematiques ens ajuden a entendre lanatura.

• 14 d’abril, a carrec d’Andy Tonks, Les Ma-tematiques dels jocs malabars.

• 21 d’abril, a carrec de Josep Maria Mondelo,Disseny de missions espacials.

Recordeu que aquestes activitats estan di-rigides als alumnes de batxillerat. La deldia 24 de marc s’emmarca, a mes, dins del’any dedicat a l’evolucio a la UAB. Pera inscripcions i mes informacio consulteu:www.mat.uab.cat/dpt/Varis/trobades.html.

Armengol GasullDepartament de Matematiques, UAB

Activitats de la Facultat de Matematiques i Estadıstica de la UPC durant el curs2006-2007

El curs 2006-2007 a la Facultat de Matemati-ques i Estadıstica de la Universitat Politecni-ca de Catalunya es dedica, com ja comenca aser tradicio, a un matematic il.lustre. Enguanyhem escollit Leonhard Euler en commemoraciodel tercer centenari del seu naixement. A l’ini-ci del curs, la llico inaugural Leonhard Euler:quatre llicons escollides la va impartir el pro-fessor Enric Fossas (UPC) el dia 20 de setembrede 2006.

L’acte va comptar amb l’assistencia, a ban-da del conferenciant i del dega de la Facultat,dels vicerectors de la UPC T. Rovira i L. AndresYebra, i del consol de Suıssa a Barcelona.

El dia 10 d’octubre l’exrector de la UPC,doctor Jaume Pages, va parlar-nos de L’ava-luacio de la produccio cientıfica de les univer-sitats iberoamericanes. I el dia 18 del mateixmes, el professor Carlos Sanchez de la Universi-tat de la Habana (Cuba) va pronunciar la con-ferencia titulada Los Bernoulli y Euler: con-vergencias y divergencias. El mateix dia a latarda vam iniciar els cafes matematics, pensats

com unes sessions mes informals que les con-ferencies i amb la voluntat que siguin mes par-ticipatives i de discussio. Aquest primer cafeva ser sobre Kolmogorov y la edad dorada dela matematica moscovita a carrec tambe delprofessor Carlos Sanchez.

Llico inaugural del curs 2006-2007 a la FME

Al voltant de la Sisena Setmana de laCiencia, del 9 al 17 de novembre, es van orga-nitzar diverses activitats. Les exposicions Lesmatematiques a les enginyeries de l’agricultura

29

i l’alimentacio i Homes i maquines que vo-len es van poder veure durant tots els dies,a la biblioteca i al vestıbul de l’edifici, respec-tivament. La conferencia Aixo sona be: unateoria matematica de la consonancia, va anara carrec del doctor Xavier Gracia, professor dela FME, i el divendres dia 17 el professor, iactual director de l’Escola Superior d’Agricul-tura de Barcelona (ESAB-UPC), doctor Dani-el Lopez va parlar, juntament amb la doctoraMonica Blanco tambe de l’ESAB, de Matemati-ques, agricultura i alimentacio. La primera fasedel Premi Poincare va cloure, el mateix diven-dres 17 de novembre, els actes de la Sisena Set-mana de la Ciencia.

Enguany, els actes d’entrega de diplomes ide comiat i felicitacio als titulats s’han cele-brat en dues ocasions. L’ultim divendres delmes d’octubre hi va haver l’acte d’entrega dediplomes als estudiants que havien acabat la di-plomatura d’estadıstica i als que havien acabatels estudis corresponents a la llicenciatura enciencies i tecniques estadıstiques. L’entrega dediplomes als llicenciats en matematiques es vafer el dia 1 de desembre. Cadascun dels actes

va comencar amb paraules de felicitacio i reco-neixement als titulats per part del dega i delscaps d’estudis respectius i amb l’assistencia delpadrı de la promocio, a mes de comptar amb lapresencia de familiars i amics dels recentmenttitulats. Durant el mes de novembre, per SantAlbert, es van fer la tradicional fotografia ambtots els estudiants a les escales del pati.

El dia 11 de novembre la FME va acollirla VIII Jornada Didactica de Matematiques del’ABEAM, l’Associacio de Barcelona per a l’Es-tudi i l’Aprenentatge de les Matematiques. Pro-fessors de matematiques de totes les etapes edu-catives van assistir a les diferents xerrades, ex-posicions i activitats que es van organitzar.

Les activitats del mes de desembre se cen-tren en les celebracions del Nadal i, en especial,en el tradicional concert que van organitzar amig mes els estudiants musics de la FME.

Per al quadrimestre de primavera hi ha pro-gramada la Jornada Euler el dia 14 de febrer, ialtres conferencies tambe al voltant del perso-natge i els seus treballs. Trobareu la informacioa la pagina web www-fme.upc.es.

Margarida MitjanaVicedegana de Relacions de la FME, UPC

Activitats amb ajut de la SCM

Com en numeros anteriors, aquest apartat del noticiari el dediquem a fer breus resums de les diversesactivitats que s’han fet recentment i que han rebut el suport del Fons de Promocio d’Activitats dela SCM. A part de les quatre que ressenyem a continuacio, n’hi ha tambe dues mes d’aprovadesper a aquest any 2007: Eurocrypt (Barcelona, maig 2007) i Nonlinear Evolution Equations andDynamical Systems (l’Ametlla de Mar, Tarragona, juny de 2007).

Tambe hem de dir que, a carrec del Fons de Cooperacio, la SCM ha gastat 389,19e per col-laborar en l’enviament de llibres al Marroc, Nicaragua i el Paraguai organitzat per la Comisionde Desarrollo y Cooperacion del CEMAT, 315e per ajudar un matematic rus a assistir a l’ICM,i 800e en el viatge d’un professor al Paraguai per impartir un curs.

Winter School on Commutative Algebra and ApplicationsBarcelona, del 30 de gener al 3 de febrer de 2006

Del 30 de gener al 3 de febrer de 2006 es vacelebrar a la Facultat de Matematiques de laUniversitat de Barcelona l’escola Winter Scho-ol on Commutative Algebra and Applicationsamb l’objectiu d’introduir els participants endiversos temes recents de l’algebra commuta-

tiva i les seves aplicacions. L’escola fou orga-nitzada com a primera activitat de la xarxatematica Red Tematica de Algebra Conmuta-tiva y Aplicaciones (RTACA), xarxa subven-cionada pel Ministeri d’Educacio i Ciencia. LaSCM va subvencionar parcialment l’escola.

30

L’escola va constar de tres cursos de sishores cadascun, i tres conferencies d’una ho-ra. Els cursos van ser: Tight closure and vec-tor bundles, Holger Brenner (Universitat deSheffield). Combinatorics and commutative al-gebra, Jurgen Herzog (Universitat Matematicade Duisburg-Essen). On desingularization theo-rem, Orlando Villamayor (Universitat Autono-ma de Madrid).

Es va dedicar el matı del dimecres a tresconferencies complementaries als cursos quevan ser: The Bernstein construction revisited:a logarithmic approach, Luıs Narvaez (Uni-versitat de Sevilla); Resultants and subresul-tants: univariate vs. Multivariate case, Carlosd’Andrea (Universitat de Barcelona); Closu-res of ideals, complements, and matroids, NeilEpstein (Universitat de Michigan).

Brenner va fer una introduccio a la tightclosure des d’un punt de vista geometric usantles tecniques habituals dels fibrats vectorials encaracterıstica positiva. Va estudiar en detall la

tight closure del ideals de les algebres graduadesde dimensio baixa.

Herzog va presentar els resultats mes im-portants obtinguts recentment pel que fa a lacombinatoria i algebra commutativa. Es van do-nar els resultats mes significatius pel que fa alsanells de Stanley-Reisner dels complexos sim-plicials, ideals polimatroidals, chordal graphs, iels edge ideals d’un graf.

El curs de Villamayor versa sobre la resolu-cio de singularitats. En concret es van estudi-ar el teorema de desingularitzacio i el teoremade principalitzacio d’ideals immersos. L’objec-tiu fou donar demostracions constructives delsteoremes mitjancant la descripcio explıcita d’al-gorismes.

Quant a la participacio, un total decinquanta-cinc matematics van assistir a l’esco-la, dels quals una trentena eren de les universi-tats catalanes i espanyoles, i la resta basicamentd’Europa, pero tambe d’America i Asia.

G. Colome, T. Cortadellas, J. Elias, S. ZarzuelaUB

Kurt Godel, 100 anysBarcelona, 5 de maig de 2006

L’any 1999, la revista Time va publicar unallista de les cent persones mes influents del se-gle xx. En la llista nomes hi havia un ma-tematic: Kurt Godel. Kurt Godel es va conver-tir durant els anys trenta, i gracies nomes a trestreballs en logica i teoria de conjunts, en el logicmes famos del mon. La importancia de la sevaobra ha anat creixent al llarg dels anys i la se-va figura, despres de la seva mort l’any 1978,s’ha convertit en un autentic mite. John vonNeumann va dir d’ell que era el logic mes im-portant des d’Aristotil i l’unic matematic total-ment insubstituıble. La Universitat de Harvardli va concedir el doctorat honoris causa peldescobriment de la veritat matematica mes sig-nificant del segle. I el seu amic Albert Einsteindeia que nomes anava a l’Institute for AdvancedStudy per poder tenir el privilegi de tornar pas-sejant cap a casa conversant amb Kurt Godel.Tot i la seva fama, pero, hi ha un gran desconei-xement dels resultats matematics i de les ideesd’aquest home, a qui molts consideren un delspensadors mes profunds de la historia.

Aprofitant que el passat 28 de abril es vancomplir els cent anys del seu naixement, se ce-lebra el dia 5 de maig al Cosmocaixa de Bar-celona una jornada dedicada a Kurt Godel. Lajornada fou organitzada pel grup de logica i fi-losofia de la matematica de la Universitat deBarcelona i Cosmocaixa, i compta tambe ambel suport de la Universitat de Barcelona i de laSocietat Catalana de Matematiques mitjancantdel seu Fons de Promocio d’Activitats.

Godel es conegut sobretot pel seu treball enlogica matematica, el qual va canviar per sem-pre el paisatge matematic amb l’establimentdels lımits del raonament formal. A mes delsseus famosos teoremes d’incompletesa i de lademostracio de la consistencia de la hipotesi delcontinu, Godel va fer tambe contribucions im-portants a la teoria de la relativitat i la cosmolo-gia. Aixı mateix, els seus resultats matematicsli donaren una base ferma per a una visio fi-losofica del mon on els objectes matematics te-nen una existencia objectiva, i per a la seva con-viccio de la superioritat de la ment sobre els

31

ordinadors. La jornada, que volia recollir totsaquests aspectes de l’obra i el pensament deGodel, va incloure quatre conferencies invita-des, impartides per:

Jurgen Ehlers, Max-Planck-Institut furGravitationsphysik (Institut Albert Einstein ):Kurt Godel, the general theory of relativityand the concept of time.

Dagfinn Føllesdal, Universitat de Stanford:Godel’s philosophical world view.

Kai Hauser, ICREA-UB: Godel’s legacy inmathematical logic and some of its philosophi-cal ramifications.

William Tait, Universitat de Chicago: On

the context of Kurt Godel’s thought.Les conferencies van ser de caracter divul-

gador i accessibles a un public no especialitzati van comptar amb traduccio simultania. Des-pres de les conferencies es va projectar un do-cumental sobre Godel i la jornada va concloureamb una taula rodona sobre la importancia del’obra de Godel i el seu impacte, amb la parti-cipacio dels quatre conferenciants invitats i deldirector de l’Area de Ciencia i Medi Ambientde la Fundacio ‘la Caixa’, Jorge Wagensberg.Joan Bagaria (ICREA-UB) va actuar de mode-rador. La jornada compta amb mes de vuitantaparticipants.

Joan BagariaICREA-UB

Geometric and Asymptotic Group Theory with ApplicationsManresa, del 31 d’agost al 4 de setembre de 2006

Immediatament despres de l’ICM de Madrid esva celebrar, al campus de Manresa de la Univer-sitat Politecnica de Catalunya, el congres inter-nacional GAGTA, sobre teoria de grups, ambl’assistencia d’un centenar de participants depaısos diversos. Es el primer cop que s’organitzai es realitza un acte d’aquestes caracterıstiquesa la ciutat de Manresa.

La idea d’organitzar aquest congres a Ca-talunya va sorgir la primavera del 2005 en unaconversa amb diversos convidats del CRM du-rant el programa de recerca 2004-2005, preci-sament sobre teoria de grups. Es va comencara materialitzar quan, juntament amb V. Shpil-rain, vam fer els tramits per esdevenir activi-tat satel.lit del Congres Internacional dels Ma-tematics (ICM 2006).

El congres va estar dedicat a la teoria degrups, incloent tant aspectes geometrics (au-tomorfismes, outer space, accions de grups,hiperbolicitat, quasi-isometries, fronteres. . . ),com aspectes asimptotics (funcions isoperime-triques, creixement, camins aleatoris, metodesasimptotics i probabilıstics. . . ) i tambe aspec-tes mes algorısmics i computacionals. Per do-nar rellevancia a les aplicacions de la teoria degrups i subratllar els desenvolupaments recentssobre criptografia basada en grups, es va dedi-car l’ultim dia del congres a aquest tema: el 4de setembre fou el Cryptography Day.

Va haver-hi un total de seixanta con-ferencies, les vuit plenaries van ser impartidesper G. Arjantseva, O. Bogopolski, B. Bowditch,J. Burillo, M. Lustig, A. Miasnikov, M. Sapir iP. Schupp. Les comunicacions van ser de moltbon nivell i van tractar temes d’actualitat i in-teres en aquest camp de recerca. La participa-cio d’un centenar de persones ha estat valoradatambe com a punt molt positiu en un congresd’aquestes caracterıstiques.

Amb la intencio de potenciar la participa-cio d’investigadors joves d’arreu, l’organitzaciova atorgar uns vint-i-cinc ajuts per a joves, quecobria les seves inscripcions i despeses d’allotja-ment. A aquesta finalitat s’ha dedicat el suporteconomic rebut de la Societat Catalana de Ma-tematiques a traves del seu Fons de Promociod’Activitats.

El congres tambe va comptar amb un pro-grama d’activitats socials forca complet. D’unabanda, una excursio a Montserrat, amb un paamb tomaquet inclos, un concert a la basılicai, fins i tot, una salutacio inesperada de l’abata tots els congressistes. I de l’altra, es va rea-litzar una visita a les obres de restauracio delmonestir de Sant Benet de Bages, que formapart d’un projecte de Caixa Manresa encami-nat a convertir-lo en un gran complex culturali turıstic. A continuacio va tenir lloc el sopardel congres, on es va gaudir d’un ambient molt

32

cordial entre els assistents. Es de justıcia men-cionar que aquest programa social va ser possi-ble gracies al suport economic i organitzatiu del’Obra Social de Caixa Manresa.

El congres GAGTA ha rebut el suport(logıstic i economic) de diverses institucions: elDepartament de Matematica Aplicada III dela UPC, l’Escola Politecnica Superior d’Engi-nyeria de Manresa, la Universitat Politecnica

de Catalunya, l’Oficina de Suport a la Recer-ca Matematica de la UPC, la Societat Catala-na de Matematiques, l’Ajuntament de Manresa,Caixa Manresa, la Generalitat de Catalunya, elMinisterio de Educacion y Ciencia, i la Nati-onal Science Foundation (EUA). Agraım moltsincerament a totes aquestes entitats el suportrebut, sense el qual hagues estat impossible lacelebracio d’aquest congres.

Enric VenturaUPC

Barcelona Analysis ConferenceBarcelona, del 4 al 8 de setembre de 2006

Els matematics de les universitats catalanesque treballen en les diverses arees de l’analisimatematica (analisi complexa, analisi de Fou-rier, analisi funcional) organitzen des de fames de deu anys un seminari setmanal con-junt que te lloc alternativament a Barcelona ia Bellaterra. En ocasio de la celebracio a Ma-drid del Congres Internacional dels Matematics(ICM 2006), que s’organitza cada quatre anys ies considera l’esdeveniment matematic mes im-portant en l’ambit mundial, els grups de recer-ca involucrats en el nostre seminari van deci-dir organitzar un congres d’analisi, satel.lit del’ICM 2006, amb el nom de Barcelona AnalyisConference (BAC2006). En la mesura que elscongressos satel.lits d’un congres internacionalcontribueixen al seu exit, el BAC2006 es va con-cebre amb la voluntat de ser l’aportacio catala-na a l’ICM 2006 en l’ambit de l’analisi.

L’objectiu cientıfic del BAC2006 va ser do-nar una visio amplia de l’analisi i de les sevesaplicacions, en l’esperit de la seccio d’analisi del’ICM 2006. Les branques representades varenser: analisi harmonica, analisi complexa, analisireal i funcional, analisi del senyal, metodes pro-babilıstics en analisi, teoria geometrica de fun-cions, teoria geometrica de la mesura i aspectesde l’analisi relacionats amb les EDP.

Els conferenciants invitats varen ser triatsper un comite cientıfic que va seguir els cri-teris de qualitat maxima i complementarietatrespecte de la seccio d’analisi de l’ICM 2006.L’organitzacio va procurar afavorir la partici-pacio d’investigadors joves d’arreu.

El congres va rebre ajuts de diverses ins-titucions, entre les quals hi ha les universitatscatalanes i el Fons de Promocio d’Activitats dela Societat Catalana de Matematiques.

Julia Cufı i Joan VerderaUAB

Activitats de la SCM

Conferencia inaugural del curs de la SCM

El professor Dominic Welsh va pronunciar laconferencia Polynomials that count durantl’acte d’inauguracio de curs de la Societat Ca-talana de Matematiques el passat 14 de novem-bre. A continuacio en donem un breu resum iuna semblanca del conferenciant.

L’any 1912 George Birkhoff va introduir elque avui anomenem el polinomi cromatic PG(x)

d’un graf G = (V,E). Per un enter positiu k,PG(k) es el nombre de maneres d’acolorir Gamb k colors de manera que vertexs adjacentsrebin colors diferents. No es evident que PG(x)sigui una funcio polinomica, pero aixo es potprovar facilment. L’objectiu de Birkhoff eraresoldre el problema dels quatre colors ambmetodes analıtics; com sabem la solucio final

33

del problema no fa servir polinomis cromatics,pero la idea de Birkhoff va ser molt fructıfera.Una altra funcio notable es el polinomi FG(x)de fluxos. Per un enter k positiu, FG(k) es elnombre de k-fluxos no nuls que es poden defi-nir sobre G. Un k-flux no nul es una asignacioφ : E → H de pesos a les arestes de G amb va-lors no nuls en un grup abelia H d’ordre k talque en cada vertex el flux entrant es igual al fluxsortint (llei de Birkhoff). Cal donar una orienta-cio a les arestes de G, pero qualsevol orientaciodona el mateix resultat. El que no es gens evi-dent es que aquest nombre depengui nomes del’ordre k del grup H i no pas de la seva estruc-tura.

L’any 1932 Hassler Whitney troba unaexpressio del polinomi cromatic de la forma∑

A⊆E(−1)kxc(A), on c(A) es el nombre de com-ponents connexes del subgraf definit per A.Posteriorment William Tutte els anys 1940 re-pren les idees de Whitney i defineix el que avuiconeixem com a polinomi de Tutte TG(x, y).Es un invariant molt notable que conte elspolinomis definits anteriorment: TG(1 − x, 0)i TG(0, 1 − y) son, llevat d’un factor senzill,el polinomi cromatic i el polinomi de fluxosde G, respectivament. Mes encara, el polino-mi de Tutte apareix en arees molt diverses. Enmecanica estadıstica, la funcio de particio delmodel de Potts amb q estats sobre un graf G esen essencia TG(x, y). El polinomi de Tutte potdefinir-se tambe per matrius (mes generalment,per matroides); si M es la matriu associada a uncodi lineal sobre un cos finit d’ordre q, llavors elpolinomi enumerador de pesos del codi es essen-

cialemnt TM ((x + (q− 1)y)/(x− y), x/y). Si Kes un nus alternant, el famos polinomi de JonesVK(t) equival a TG(−t−4, t−4), on G es el grafplanar associat de forma canonica a G. Esmen-tarem tambe la relacio amb el polinomi d’Ehr-hart i(P, t), que serveix per comptar el nombrede punts amb coordenades enteres a l’interiord’un polıtop convex P . Pels anomenats zono-tops unimodulars, resulta que i(P, t) es, llevatd’un factor senzill, TM (1 + 1/t, 1), on M es lamatriu unimodular que defineix el zonotop.

En la seva conferencia, el professor Welshva desenvolupar algunes d’aquestes fascinantsconnexions i va discutir tambe la dificultat decalcular, fins i tot aproximadament, els inva-riants enumeratius associats a grafs, matrius,codis, nusos, polıtops, etc.

Dominic Welsh ha estat professor a la Uni-versitat d’Oxford des de l’any 1966. El temacentral dels seus treballs es la combinatoria,encara que tambe ha treballat en mecanicaestadıstica, probabilitat, algorismes aleatoris icomplexitat computacional. Ha estat directordel Mathematics Institute a Oxford, presidentde la Brittish Combinatorial Society i profes-sor visitant a nombroses universitats europeesi nord-americanes. Es autor de mes d’un cen-tenar d’articles de recerca i de diversos llibres,entre els que podem destacar Matroid theory(1976), odes and cryptography (1988) i Com-plexity: knots, colourings and counting (1993).Ha dirigit mes de trenta tesis doctorals. Aquestcurs 2006-2007 esta al Centre de Recerca Ma-tematica, on coorganitza un dels programes derecerca.

Marc NoyUPC

Segon Congres Txec-Catala de Matematiques

Del 21 al 23 de setembre de 2006 es va fer ala seu de l’Institut d’Estudis Catalans la sego-na edicio del congres conjunt de les societatsmatematiques de Txequia i Catalunya.

Com era de preveure, la participacio enaquest segon congres va tenir encara mes exitque en la primera edicio, amb mes de centvint matematics inscrits. En aquesta ocasio elCongres va estar estructurat en cinc seccions:

• Analisi matematica, organitzada per LubosPick (Universitat Karlova, Praga) i Joaquim

Martın (Universitat Autonoma de Barcelo-na).

• Estadıstica computacional i analisi de dades,organitzada per Jaromır Antoch (UniversitatKarlova, Praga) i M. Pilar Munoz (Universi-tat Politecnica de Catalunya, Barcelona).

• Fısica matematica, organitzada per OlgaKrupkova (Universitat Palackeho, Olomouc)i Xavier Gracia (Universitat Politecnica deCatalunya, Barcelona).

• Logica, organitzada per Petr Cintula (Akade-

34

mie ved Ceske republiky, Praga) i Joan Gis-pert (Universitat de Barcelona).

• Matematica discreta i informatica, organitza-da per Jan Kratochvıl (Universitat Karlova,Praga) i Oriol Serra (Universitat Politecnicade Catalunya, Barcelona),

• Teoria d’anells i de moduls, organitzada perJan Trlifaj (Universitat Karlova, Praga) i Do-lors Herbera (Universitat Autonoma de Bar-celona).

La sessio inaugural va ser presidida pel vi-cepresident de l’IEC, senyor Salvador Alegret,que va explicar als convidats txecs la natura-lesa de l’Institut d’Estudis Catalans; el consolhonorari de la republica txeca a Barcelona, se-nyor Jaime Martın, que va ressaltar el lideratgede Catalunya en les relacions entre la republicatxeca i l’Estat Espanyol, el president de la Soci-etat Matematica Txeca, senyor Jan Kratochvıli el president de la SCM, senyor Carles Casa-cuberta. Val a dir que el senyor Kratochvıl vasorprendre l’audiencia amb un parlament en ca-tala, que va ser gentilment respost per un par-lament del nostre president, en txec.

El president de la Societat Matematica Txe-ca i el president de la Societat Catalana deMatematiques amb el president de l’IEC

Despres de la sessio inaugural, el presidentde la societat txeca i el vicepresident de l’IECvan formalitzar l’acord bilateral de cooperacioque havia estat subscrit provisionalment a Pra-ga l’any 2004 entre ambdues societats.

Les sessions plenaries, amb un conferenci-ant per seccio, van ser complementades per lapresentacio de prop de seixanta comunicacionsen sessions paral.leles. A la pagina web de laSCM trobareu els resums de les conferencies icomunicacions i tota mena de detalls sobre elcongres.

Una novetat d’aquesta edicio va ser la ses-sio per a investigadors joves que va ser l’inicidel congres. En aquesta sessio es van oferir di-verses xerrades a carrec d’una seleccio d’estudi-ants, guanyadors a la competicio Czech-SlovakResearch Competition for University Studentsper part txeca, i guanyadors i finalistes del Pre-mi Evariste Galois per part catalana. El nivellde les presentacions va ser d’una qualitat ad-mirable que fa preveure un futur brillant de lesmatematiques a les dues comunitats.

Cal agrair el suport de l’Institut d’EstudisCatalans, del Departament d’Universitats i Re-cerca de la Generalitat de Catalunya, del Cen-tre de Recerca Matematica, dels grups de re-cerca de les diferents universitats catalanes i,en particular, als organitzadors de les diferentsseccions, que van contribuir generosament en elfinancament i l’organitzacio del congres.

En la sessio de clausura els presidents de lesdues societats van felicitar-se de les excel.lentsrelacions entre les comunitats matematiquesde les dues nacions que les edicions d’aquestcongres han evidenciat, i van manifestar la vo-luntat de continuar la cooperacio mutua ambformules imaginatives que, de ben segur, s’ani-ran desvetllant en el futur. Ara toca una pausaen la celebracio del proper congres d’aquestescaracterıstiques que podria acollir altres naci-ons europees de perfils matematics i culturalssemblants als de Txequia i Catalunya.

La SCM es pot sentir satisfeta per l’exit d’a-questa segona edicio del Congres Txec-Catalade matematiques que va correspondre amb es-creix a l’hospitalitat txeca de la primera edicioa Praga.

Oriol SerraComite Organitzador

35

Participants al Segon Congres Txec-Catala al pati de la Casa deConvalescencia, seu de l’IEC

Web d’EDUMATCAT

A partir de la col.laboracio entre el Departa-ment d’Educacio i Universitats, la Societat Ca-talana de Matematiques (SCM) i la Federa-cio d’Entitats per a l’Ensenyament de les Ma-tematiques a Catalunya (FEEMCAT), neix elprojecte de creacio del web EDUMATCAT, ones preten anar recollint activitats relacionadesamb l’educacio matematica que es duen a ter-me a Catalunya. Concretament, les referides arecerca educativa, formacio permanent del pro-fessorat, suport a l’activitat professional de ladocencia en matematiques i promocio de l’in-teres i el gust per les matematiques entre l’a-lumnat.

Hi trobareu la informacio classificada en elsblocs seguents:Tesis doctorals que s’han llegit a les diferentsuniversitats catalanes.Treballs de recerca de postgraus procedents dediverses universitats catalanes que ofereixen es-tudis de postgrau relacionats amb el tema.Memories de les llicencies retribuıdes concedidespel Departament d’Educacio i Universitats ique son dins d’aquest ambit.Projectes de recerca que es realitzen en institu-cions, sota la responsabilitat d’algun professoro professora, i son financats per alguna entitat.Bibliografia i publicacions dels professionals quetreballen a Catalunya i han publicat articlesi textos de recerca i divulgacio sobre educa-cio matematica. En particular, de les diversespublicacions periodiques que contenen habitu-alment articles sobre aquest tema.

Activitats de formacio i de suport al professoratque el Departament d’Educacio i Universitats,els Instituts de Ciencies de l’Educacio de lesuniversitats catalanes, la Societat Catalana deMatematiques, els col.legis professionals, les as-sociacions de professorat de matematiques i elsmoviments de renovacio pedagogica organitzenper donar suport a la tasca professional de ladocencia de matematiques a Catalunya.

http://phobos.xtec.cat/edumatcat

Activitats de divulgacio i promocio de les ma-tematiques de caire molt divers que la SocietatCatalana de Matematiques, les associacions deprofessorat de matematiques, el Departamentd’Educacio i Universitats i altres institucionspubliques i privades organitzen per tal de pro-moure, entre l’alumnat de Catalunya, l’interesper les matematiques, divulgar els contingutspropis de la matematica i desenvolupar les com-petencies de l’alumnat en l’ambit matematic.

Si ho desitgeu, podeu adrecar els vostres co-mentaris i aportacions a smuria@xtec.cat.

36

Kangourou sans Frontieres

La seu de l’Institut d’Estudis Catalans va aco-llir de l’11 al 15 d’octubre de 2006 la trobadaanual de l’associacio internacional Le Kangou-rou sans Frontieres (KSF), (KSFbcn2006) orga-nitzada per la Societat Catalana de Matemati-ques.

Taula presidencial de la sessio d’inauguracio

Hi van participar cent sis persones, repre-sentants de trenta nou organitzacions nacio-nals. En la primera sessio plenaria es va fer unabreu comunicacio de cada paıs. L’ordre d’inter-vencio va ser el seguent: Finlandia, els PaısosBaixos, Italia, els EUA, Noruega, Suıssa, Pu-erto Rico, Mexic, la Republica Txeca, Franca,el Canada, Venecuela, Hongria, Croacia, Ro-mania, Polonia, Eslovenia, Espanya, el RegneUnit, Suecia, Eslovaquia, Ucraına, Bielorusia,el Paraguay, Estonia, Serbia, Georgia, Lituania,Grecia, l’Ecuador, el Pakistan, el Kazakhstan,el Kirguizistan, Moldavia i Russia. En aques-ta sessio, comencant pel discurs de benvingu-da en nom de la Comissio Cangur de la SCM,que es va fer en catala, cada persona va par-lar en la seva propia llengua i, simultaniament,com que previament ens havien enviat el textde la intervencio, tothom podia llegir per pan-talla la traduccio al frances i a l’angles. Creiemque va ser un procediment molt ben acceptatper tothom i especialment emotiu per a aquellespersones assistents que, com nosaltres, estimenpoder parlar en la seva llengua.

Aixo mateix van fer el president de la SCM iel representant del Departament d’Educacio enla sessio d’inauguracio oficial, presidida per Sal-vador Giner, president de l’Institut d’Estudis

Catalans, en el transcurs de la qual van par-lar tambe el president de KSF i els represen-tants d’Alemanya, Bulgaria, on es van celebrarles trobades de 2004 i 2005, Catalunya i Aus-tria, on se celebrara la del 2007.

L’objectiu principal de la trobada es la pre-paracio de la prova Cangur de l’any que ve.Amb aquesta finalitat la major part dels paısosparticipants havien enviat una proposta d’e-nunciats classificats per nivell escolar i per graude dificultat que, en conjunt, constitueixen unllibre de problemes d’una qualitat excepcional.Durant les intenses sessions de treball els par-ticipants es reuneixen en grups per nivells i,despres d’una acurada analisi, seleccionen elstrenta problemes que es proposaran en el Can-gur. El marc incomparable de les sales de l’IECon es van desenvolupar les reunions dels grupsEcolier, Benjamin, Cadet, Junior i Etudiant vaser valorat per tothom molt positivament aixıcom tota la infraestructura i els serveis tecnicsque va posar a la nostra disposicio l’Institutd’Estudis Catalans; tot plegat va resultar moltviu, amigable i personalitzat.

Per completar les activitats de la trobada esproposen algunes comunicacions sobre aspectesde la divulgacio de les matematiques. Aquestany hi va haver una intervencio de Romaniai dues de la representacio francesa i, a mes,s’havia convidat el professor Anton Aubanell(professor a l’IES Sa Palomera de Blanes i a laUniversitat de Barcelona) perque ens fes unallico de geometria amb bombolles de sabo, queva tenir una acollida excepcional, i la professo-ra Maria Gaspar (Universitat Complutense deMadrid) perque expliques el projecte ESTAL-MAT, del qual ella va ser impulsora inicial alcostat del tristament desaparegut professor Mi-guel de Guzman, i una de les persones que vanajudar a fer mes ampli l’abast territorial delprojecte i portar-lo cap a Catalunya.

La possibilitat de poder desenvolupar to-tes les sessions al bell mig de Barcelona vapermetre organitzar activitats complementariesturıstiques (a peu, en bicicleta i en autobus) iuna visita al Cosmocaixa. Pero, de totes les ac-

37

tivitats socials, la que sens dubte la SCM i cre-iem que tambe tots els membres de l’associacioKSF recordaran molt de temps es la visita ins-titucional al Parlament de Catalunya, on ens varebre el President del Parlament, el Molt Il.lus-tre Senyor Ernest Benach, i on vam trobar unaacollida excepcional.

La Comissio Cangur al Parlament de Catalunya

Totes les opinions rebudes ens permetenafirmar que la Comissio Cangur de la SocietatCatalana de Matematiques va superar amb unexit rotund el repte que representava l’organit-zacio del 14th International Annual Meeting ofthe Association Kangourou sans Frontieres.Tot seguit es reprodueix parcialment el cartelldel Cangur 2007 a Polonia, on es constata queen la comunitat internacional que participa enaquest esdeveniment el fet nacional catala esuna realitat i, a mes, i aixo es interessant decomentar-ho, amb una amistat especial amb elsrepresentants de les nacions de parla castellana.Per que no podria ser aixı sempre i en moltesaltres circumstancies?

La comissio organitzadora vol agrair les im-portants subvencions de l’IEC i del Departa-ment d’Educacio que han permes portar a ter-me la trobada i donar una excel.lent atencio entots els aspectes (des de l’allotjament fins alsmenjars, passant per les activitats socials) a lespersones de procedencies tan diverses que hemacollit. Segurament aixo no hauria estat possi-ble sense el suport rebut de part de la junta de

la SCM i, molt en especial, del president, CarlesCasacuberta.

Tambe hem d’agrair el suport logıstic de lestres universitats catalanes. El Departament deMatematiques de la UAB va oferir el seu ser-vei de publicacions per poder elaborar el llibrede problemes que hem comentat mes amunt;un agraıment especial per la inestimable tas-ca de Raquel Hernandez. La Facultat de Ma-tematiques de la UB va facilitar el contacte ambel servei de traduccio de la UB i aixo va fer pos-sible que tothom parles en la seva llengua, co-sa que recordarem sempre. La Facultat de Ma-tematiques i Estadıstica de la UPC va aportarvuit voluntaris que van fer la tasca diaria d’ac-tualitzacio dels documents de treball i d’altresajuts.

I, naturalment, no podem amagar que laComissio Cangur de Catalunya ha dedicatmolts esforcos a organitzar la 14a Trobada In-ternacional de l’Associacio Le Kangourou sansFrontieres (KSFbcn2006). Ara be, vistos els re-sultats, les considerem molt ben emprades i cre-iem que la feina que es va fer ha estat agradablei profitosa i que el Cangur 2007 sera ben reeixit.Modestament, ens autofelicitem: Lluıs Almor,Marta Berini, Nuria Fuster (que per la seva de-dicacio hem de considerar un membre mes de laComissio, i certament un dels mes destacats!),Antoni Goma, Josep Grane i Carles Romero,gracies!

Antoni GomaCap de la Comissio Cangur de la SCM

38

Agenda

Advanced Course on Analytic and Pro-babilistic Techniques in Combinatorics

Organitza: CRMData i lloc: del 15 al 26 de gener de 2007 alCRM.Coordinadors: M. Noy (UPC) i D. Welsh (U.d’Oxford).

http://www.crm.cat/ACProbabilistic

Advanced Course on Quasideterminantsand Universal Localization

Organitza: CRMData i lloc: del 30 de gener al 10 de febrer de2007 al CRM.Coordinadors: S. Bazzoni (U. de Padova) iD. Herbera (UAB).

http://www.crm.cat/ACQuasideterminants

Diada Leonhard Euler

Organitza: IMUBData i lloc: 18 d’abril de 2007 a la UB.Coordinador: J. Pla i Carreras.

http://www.imub.ub.es/

Workshop on Patterns: Models andApplications

Organitza: IMUBData i lloc: 19 i 20 d’abril de 2007 a la UB.Comite cientıfic: N. Consul (UPC) i A. Jorba(UB).

http://www.imub.ub.es/pat07/

Conference on Cryptography and DigitalContent Security

Organitza: CRMData i lloc: del 14 al 18 de maig de 2007 alCRM.Comite cientıfic: E. Nart (UAB), J. L. Villar(UPC), F. Leprevost (U. de Luxemburg) iT. Ebrahimi (EPFL).

http://www.crm.cat/ContentSecurity

Advanced Course on Group-Based Cryp-tography

Organitza: CRMData i lloc: del 28 de maig al 2 de juny de 2007al CRM.Coordinador: E. Ventura (UPC).

http://www.crm.cat/ACGroupBased

IV Seminar on Categories andApplications

Data i lloc: del 6 al 9 de juny de 2007 al CRM.Comite organitzador: P. Ara (UAB), C. Broto

(UAB, coordinador), J. M. Casas (U. Vigo),L. J. Hernandez (U. de la Rioja), M. Ladra(U. de Santiago), A. Ruiz (UAB) i J. Scherer(UAB).

http://mat.uab.cat/ seca4/

NoLineal 2007

Organitza: Universitat de Castilla-La Mancha.Data i lloc: del 6 al 9 de juny de 2007, CiudadReal.Comite organitzador: V. M. Perez Garcıa (U.de Castella la Mancha, director), M. A. LopezGuerrero (U. de Castella la Mancha) i Ll. Al-seda (UAB).

http://matematicas.uclm.es/nolineal2007/

Barcelona Conference on C∗-Algebrasand Their Invariants

Organitza: CRMData i lloc: de l’11 al 15 de juny de 2007 alCRM.Comite cientıfic: P. Ara (UAB), K. Goodearl(U. de California a Santa Barbara) i F. Perera(UAB).

http://www.crm.cat/OAlgebras

NEEDS 2007

Organitza: UPCData i lloc: del 15 al 24 de juny de 2007, l’A-metlla de Mar.Comite organitzador: D. Gomez-Ullate (U. Com-plutense) A. Hone (U. de Kent), S. Lombardo(U. de Vrije ) i J. Puig (UPC).

http://www.needs-conferences.net/2007/

Conference on Enumeration and Proba-bilistic Methods in Combinatorics

Organitza: CRMData i lloc: del 25 al 29 de juny de 2007 al CRM.Comite cientıfic: M. Noy (UPC), O. Serra(UPC) i D. Welsh (U. d’Oxford).

http://www.crm.cat/Enumeration

Segundas Jornadas de Teorıa deNumeros

Organitza: Universitat Autonoma de Madrid.Data i lloc: del 16 al 19 de juliol de 2007, Ma-drid.Comite cientıfic: P. Berrizbeitia (U. SimonBolıvar, Venecuela), A. Cordoba (UAM),J. Gonzalez (UPC), F. Pablos (U. de Sala-manca) i N. Vila (UB).

http://www.uam.es/otros/sjtn2007/

39

Contribucions

Catalonia tambe a la signatura dels nostres articles

La normalitzacio del nostre paıs en tots elsambits passa certament per un munt de cosesque, si be han millorat en els ultims temps, en-cara estan lluny de la situacio que seria desitja-ble. Entre molts altres exemples, tothom ha vistles dificultats de poder tenir un estatut com cal,de tenir seleccions esportives catalanes, de veu-re l’us del catala realment normalitzat en totsels ambits de la vida quotidiana. . . fins i tota Europa encara no saben com sona el catalaoficialment.

Tots aquests grans temes pendents son fona-mentals per esdevenir un paıs normal. Malau-radament, la seva evolucio depen dels cicles del’alta polıtica catalana i espanyola, en la qualels ciutadans tenim una capacitat d’incidencialimitada (o almenys aixo ens sembla). Hi ha,pero, molts altres petits detalls del dia a dia,que sovint ens passen desapercebuts, i que po-dem utilitzar per aportar el nostre petit granetde sorra cap a aquesta normalitzacio. Son moltmes importants del que ens puguin semblar, i

aquests sı que nomes depenen de nosaltres ma-teixos!

A l’Avui del dia 24 de maig de 2006, vaapareixer un article de David Bueno i Torrens,professor i investigador en genetica de la Uni-versitat de Barcelona, amb una proposta bensenzilla. En paraules seves, Actualment hi hamolts catalans fent ciencia a Catalunya i arreudel mon, la qual cosa ens permet albirar un bonfutur per a la recerca al nostre paıs, sempre que,es clar, les administracions hi apostin decidida-ment. El que no fem servir gaire, pero, es lanostra denominacio d’origen comuna; malaura-dament nomes un de cada deu articles cientıficsrealitzats al nostre paıs n’inclouen el nom, Ca-talunya o Catalonia, entre els quals, per cert,tots els meus. I per posar el nom del nostrepaıs no cal cap benediccio oficial. . ..

Jo m’hi apunto. I animo des d’aquestes rat-lles a tots els matematics i cientıfics catalans afer-ho tambe. De mica en mica, s’omple la pica.

Enric VenturaUPC

Que publiquem sobre matematiques?

Una experiencia melancolica

Amb paraules semblants a les d’aquest tıtol,G. H. Hardy inicia la seva afamada Autojusti-ficacio d’un matematic, on no mostra precisa-ment el seu entusiasme per les tasques de divul-gacio, les quals ara, per contra, hom consideraimportants encara que difıcils, instant-nos alsmatematics a fer l’esforc necessari per donar aconeixer el nostre treball a la gent, tant pel res-pecte degut als ciutadans, com pel nostre propiinteres i afany de supervivencia.

Quan aquesta tasca es duu a terme a lapremsa diaria, la limitacio d’espai, la inopor-tunitat d’usar sımbols i formules, i la necessitatd’atraure l’atencio dels lectors, la converteixenen una tasca especialment ardua. Els qui gosenemprendre sols aquesta tasca, de vegades, solencaure en certs vicis que transmeten una imat-

ge una mica distorsionada del que es el treballd’un matematic. Pero, malgrat tots aquests in-convenients, soc dels qui anima tots aquells quetinguin facilitat de paraula a utilitzar els mit-jans de comunicacio al seu abast per mostrara aquelles persones interessades a saber-ho queles matematiques son una ciencia viva i util,que son importants per al progres i que estande vegades amagades en moltes activitats de lanostra experiencia quotidiana.

La llengua i les matematiques son els pilarsde la il.lustracio, i tenen un paper fonamentalen l’educacio primaria i secundaria. En contrade certa opinio massa generalitzada, em semblaque els conceptes i els problemes matematicsconsiderats en aquests nivells son relativamentsenzills i intuıtius. I es per aixo que poden seratacats amb certa profunditat, servint per en-trenar la ment en l’art del raonament precıs.

40

Dit en l’argot modern, son utils per instal.larel sistema operatiu al cervell huma, quelcomque resultaria molt mes difıcil d’aconseguir mit-jancant altres disciplines menys estructurades iamb conceptes mes complexos i difosos.

Possiblement aquesta es la contribucio mesimportant de les matematiques a la societat:ensenyar les regles del raonament deductiu, elsignificat d’una implicacio i, encara que pot-ser en dosis petites, l’art d’encadenar idees.Pero tambe la deteccio de les falacies mes co-munes: cercle vicios; arguments ad hominem,ad baculum o ad verecundiam; judicis d’inten-cions; confusio de l’antecedent amb el conse-quent; post hoc, ergo propter hoc, etc. Si tenimen compte com s’expressen en els mitjans moltspolıtics, locutors i periodistes, podrıem dir queal nostre paıs l’ensenyament de les matemati-ques es encara molt millorable.

Tinc entes que boxadors i especialistes enarts marcials tenen prohibit emprar les sevesdestreses davant de qui no les te. Per la mateixarao, em sembla que un matematic s’ha d’abste-nir d’utilitzar tota la forca del nostre llenguat-ge quan tracti un assumpte amb aquells que noel dominen, i que tampoc no ha d’abusar deles nostres definicions, que per precises es fana vegades difıcils, ni de les nostres llargues ca-denes de silogismes, si es que preten divulgaramb exit aquesta ciencia nostra, diverses vega-des mil.lenaria. I tot aixo, no pas en detrimentdel fet que, quan un matematic escriu o parladirigint-se a un public ampli, ho hagi de fer totcuidant de manera exquisida la pulcritud delsseus raonaments.

En les comptades vegades que m’he atrevita escriure en la premsa diaria, he tingut oca-sio d’experimentar alguns dels riscs que aquestatasca comporta. A aquell que desitgi intentar-ho puc donar-li un consell: conve deixar sem-pre molt clar que nomes pretenem donar unaversio impressionista de les idees, centrant-nosen allo que jutgem mes important, pero senseanim de precisar totes les definicions ni de fertotes les excepcions, que serien apropiades enun treball o assaig mes extens, pero que fari-en il.legible un article periodıstic. No crec quesigui aquesta l’ocasio de relatar-les, pero dispo-so d’una sucosa llista d’anecdotes pintoresquesque van des dels aficionats al Fermat que vin-gueren, a vegades des de molt lluny, a mostrar-me les seves demostracions propies, registrades

ja davant notari, arran d’un article que vaig pu-blicar a El Paıs quan es va donar a coneixerla prova d’A. Wiles l’estiu de 1993, fins a labeneıda testarudesa dels que havien calculat,usant paper milimetrat, el nombre exacte depunts del reticle que estaven dins dels cerclesde radis proxims a 100, motivats per un altrearticle meu en el mateix diari, escrit uns anysdespres en col.laboracio amb Luis Seco i CharlesFefferman. Titulat Numeros, atomos y estre-llas, ens proposavem allı divulgar els nostresresultats del moment pel que fa als fonamentsmatematics rigorosos de la mecanica quantica.Projecte en el qual havıem trobat una conne-xio interessant amb aquell problema classic dela teoria de nombres que pregunta per l’errorcomes si es compara l’area d’un cercle amb elnombre de punts de coordenades enteres quehi ha al seu interior. Pero no va resultar gensfacil dissuadir diversos aficionats de la banali-tat d’obstinar-se a calcular graficament valorsparticulars d’aquest terme d’error, com tampocno ho va ser transmetre el caracter asimptoticdel problema.

El passat mes de gener de 2006 vaig tornara reincidir en aquesta aventura, aquest cop ambun article publicat en la seccio Futuro d’ElPaıs, en referencia a la conjectura de Kepler,la demostracio de la qual apareixia als Annalsof Mathematics en el seu numero de novem-bre de 2005. Tractant-se d’un problema rela-tivament facil d’explicar als lectors, que uneixla seva historia pintoresca a la rellevancia delscientıfics implicats en la solucio, i atesa la na-turalesa final de la demostracio que fa un usessencial de l’ordinador, em vaig creure capacde composar unes lınies que poguessin interes-sar a un public general, subratllant les vicisitutsdel proces de verificacio de la prova de les qualsjo tenia notıcia de primera ma a traves de PeterSarnak (un dels editors d’Annals), qui amable-ment m’envia tambe el manifest editorial quela revista havia decidit publicar.

De manera que, juntament amb una moltsuccinta historia i plantejament del problema,vaig escriure uns comentaris sobre l’actuacio delcomite d’experts i l’editorial, que exposa el des-afiament que les demostracions assistides perordinador presenten a una revista de la tra-jectoria i qualitat d’Annals. Naturalment, vaigincloure algunes preguntes retoriques que creiaque un ciutada il.lustrat podia fer-se sobre la in-

41

teraccio de les matematiques amb l’ordinador.Pero tambe sobre la influencia que els compu-tadors, a traves d’Internet i de certes agenciesconegudes d’avaluacio, estan tenint en la profes-sio, ja que estimulen una excessiva proliferaciode publicacions innecessaries, la principal fina-litat de les quals es inflar els currıculums delsseus autors. La meva sorpresa, aquest cop, esque les anecdotes no venen dels aficionats a re-soldre problemes d’empaquetaments d’esferes,sino de membres de la professio que s’han sen-tit al.ludits i, de manera privada molts i publicaalguns, m’han fet arribar les seves opinions. Lamajoria m’han mostrat el seu acord amb alloque suggereixo en el meu article i amb l’opor-tunitat de dir-ho, pero tambe hi ha hagut reac-cions molt negatives, que discrepen en el fons ien la forma, fins i tot amb certa virulencia, delcontingut i del vehicle emprat per difondre’l.Segons m’han expressat alguns, la proliferaciode publicacions irrellevants i l’us indiscriminatde criteris tan generals, com son els ındexs d’im-pacte de les revistes o el nombre de cites en lapresa de decisions de polıtica cientıfica, es unassumpte que mereix ser debatut, pero m’acu-sen d’haver tret el tema en la premsa diaria i no,per exemple, a la SCM/Notıcies o a La Gace-ta, que serien, segons diuen, vehicles mes apro-piats. Pero abans de seguir descrivint aquestscomentaris, conve que el lector sapiga a que esrefereixen. L’article d’El Paıs del 4 de gener de2006 deia aixı:

La conjectura de Kepler: ments,maquines i publicacions

Annals of Mathematics, possiblement la millorrevista matematica del mon, va publicar el no-vembre de 2005 la demostracio obtinguda perThomas Hales d’una famosa conjectura formu-lada per Kepler fa quatre segles.

Que l’autor del problema sigui un afamatcientıfic i que hagi transcorregut tant de tempsen resoldre’s el fa semblant a l’ultim teorema deFermat, amb el qual tambe comparteix la sen-zillesa de l’enunciat; tenir una historia rica enresultats parcials, incloent diverses demostra-cions falses o incompletes; que Hales, com feuWiles en el cas de Fermat, hagi dedicat mes desis anys a perfilar la solucio i, a mes, haver estatpublicades ambdues demostracions als Annals.

Quina es la manera mes eficient d’empaque-tar esferes de la mateixa mida? En aquesta pre-

gunta, enganyosament senzilla, radica l’enigmaproposat per Kepler. Es clar que en disposarboles a l’espai quedaran sempre espais buits, iun empaquetament dens minimitzara el volumd’aquests espais entre elles. Un ejemple notablees construeix disposant-les inicialment sobre unpla, tangents entre si i formant files intercala-des, que creen una densa capa sobre la qualpodem apilar les noves esferes colocant-les en-tre cada tres tangents de la formacio inicial.Iterant amb compte aquest proces, sobre i sotala primera capa, obtenim un empaquetamentperiodic que, en cristal.lografia, rep el nom dexarxa cubica centrada en les cares i que apareixil.lustrat en la manera habitual com els fruitersdisposen les seves ofertes de pomes i taronges.Es facil calcular la densitat d’aquesta configu-racio (0,74. . . ), que Thomas Hales ha demos-trat que es insuperable: no importa com ompliml’espai amb esferes, la densitat sera sempre me-nor o igual que l’assolida per la xarxa cubicacentrada.

El problema fou suggerit a Kepler per unmariner que desitjava estimar el nombre de ba-les de cano que emmagatzemaven les naus ene-migues en la seva coberta. Pero el 1611 no po-dien imaginar que el disseny de bons empaque-taments hagi resultat avui tan rellevant en latecnologia de la informacio, tant per enviar se-nyals per un canal sorollos sense perdre qua-litat, com en els codis que ens garanteixen lafidelitat del so d’un disc compacte. Nosaltrespodem fer broma tambe amb la perspicacia delsfruiters, pero aixo ens distreuria de la questioimportant, es a dir, de l’enorme desafiament ala ment humana que plantejava la conjectura, ala qual s’havia d’atacar perque estava aquı, comdigue G. Mallory sobre l’escalada de l’Everest.El desafiament es enorme, quasi be de vertigen,ja que involucra totes les maneres possibles dedisposar boles a l’espai: com comencar aquestatasca?

42

Si es tractes solament del cas periodic, lla-vors l’escalada es mes facil i el gran Gauss,a mitjan segle xix, ja va poder realitzar-la.Tambe podem rebaixar la dimensio i fer-nos lapregunta analoga per a cercles del pla: cap al1960, el matematic hongares Fejes Toth troba laresposta correcta, que resulta ser la versio bidi-mensional de la xarxa cubica centrada. Pero entres dimensions la cosa es molt mes difıcil: en unempaquetament, cada esfera te associada unacel.la d’influencia, formada pels punts de l’espaique estan mes a prop del seu centre que no pasdel de les altres esferes. El quocient entre el vo-lum de l’esfera i el de la seva cel.la d’influencia esla densitat local de l’empaquetament. Resultaque, en dimensio dos, les cel.les de major den-sitat local son hexagons, amb els quals es pottessel.lar el pla. A l’espai, les cel.les de la redcubica centrada son dodecaedres rombics. Lacel.la local mes densa es el dodecaedre regular,pero amb ella, com be saben els cristal.lografs,no es pot tessel.lar l’espai. Aquesta discrepanciaentre la solucio optima local i la global es unade les raons per les quals el problema de Keplerha resultat ser tan difıcil.

L’article de Hales consta d’unes cent vintpagines de matematiques convencionals. Perodepen d’un programa informatic que analitzaprop de cinc mil casos residuals, per als qualss’han d’optimitzar funcions de mes de dues-centes variables. Despres de diversos anys detreball, la comissio d’experts a qui els Annalshavia encarregat la revisio de l’article ha llancatla tovallola, sentint-se incapac de resseguir totsels detalls en un temps raonable; tasca que s’hacomparat amb la de comprovar, una per una, laveracitat de totes les dades de la guia telefonicade Nova York. Malgrat aixo, el comite ha dut aterme el nombre adequat de comprovacions perpoder sostenir la seva fe en la correccio de laprova amb, segons diuen, un 99 % de probabi-litat. Pero, es aixo suficient?

Una demostracio matematica es una cade-na de raonaments, a vegades molt llarga, queens porten des d’una hipotesi de partida fins auna tesi d’arribada i que es susceptible de serentesa per tothom que tingui el temps i l’en-trenament adequats. Pero aquest no es el casde la prova de Hales. El dilema dels Annals esmolt gran i la seva solucio eclectica potser nosatisfara tothom: publica la part que s’ajusta al’esquema tradicional, pero afegeix un comen-

tari editorial que adverteix que la prova depend’un programa que apareixera en una altra re-vista especialitzada en computacio. Els editorsassenyalaven que estem davant un cas d’aproxi-macio de les matematiques a la practica de lesciencies experimentals, ja que la verificacio dela part informatica s’ha de fer amb els criterisamb els quals es valida un experiment, i no ambels tradicionals de les matematiques.

Annals es una revista bimensual centenariaeditada a Princeton conjuntament per la Uni-versitat i l’Institut d’Estudis Avancats. Els re-quisits per apareixer entre les seves pagines sonmolt estrictes: ha de tractar-se d’un resultat re-llevant demostrat amb tecniques originals. Noes estrany que publicar als Annals sigui l’ob-jecte del desig per a molts matematics i quetractin d’aconseguir-ho amb els seus millors re-sultats. La demora entre l’arribada i la publi-cacio d’un article esta al voltant dels dos anys,pero aquesta es una dada que Annals compar-teix amb altres revistes, que no son ja tant uninstrument de comunicacio, ja que els resultatscirculen abans per la xarxa, sino una garan-tia de qualitat. Aquesta es ara la principal raode ser de les millors revistes. Pero aquestes sonuna minoria; la majorıa tenen criteris molt mesrelaxats: tant, que les seves publicacions son,amb molta frequencia, un simple i prescindiblesoroll.

A diferencia de la demostracio del teoremade Fermat, que ha necessitat el fecund enginymatematic contemporani, crec que la prova dela conjectura de Kepler, sense desmereixer ambaixo el treball de Hales, hagues pogut fer-se fasegles si s’hagues comptat amb els mitjans decalcul que tenim avui a l’abast. Significa aques-ta demostracio que estem al llindar d’una no-va era en la qual les maquines s’encarregarande demostrar els teoremes? Son els matematicsuna especie en extincio?

Sincerament crec que la resposta es un ro-tund no, encara que sigui forca corrent l’afir-macio que l’ordinador es un instrument moltvaluos, una ajuda quasi imprescindible, en lainvestigacio actual. Pero es possible, i jo diriaque molt desitjable, que les maquines s’encar-reguin en el futur de tants desenvolupamentsrutinaris i tantes demostracions cloniques que

43

mantenen ocupats massa matematics, els quals,incansables, publiquen obvietat rere obvietat.Omplint, amb referencies mutues, el registre dela grotesca casa de cites que te seu a Filadelfia.Alliberats per les maquines, aquests artistes po-drien, seguint el bon exemple de Wiles i Hales,dedicar tots els seus esforcos a resoldre proble-mes realment difıcils i interessants que tinguinllavors cabuda als Annals of Mathematics.

Citacions a la Xarxa

Com he posat de manifest a la introduccio, haestat l’ultim paragraf de l’article el que ha por-tat cua. Quan les cites i els ındexs d’impacte sonemprats per distribuir alguns complements re-tributius (els famosos sexennis a Espanya) ambun criteri ampli, no mereixen major atencio.La part dolenta es quan s’utilitzen per establirpolıtiques cientıfiques, financar els projectes degrups grans en detriment d’altres de mes pe-tits, establir lınies de prioritat, o en les promo-cions de l’escalafo universitari. Aquı tenim unproblema serios, i s’ha de dir que l’unica mane-ra reconeguda d’avaluar la tasca d’un cientıfices mitjancant la importancia i la dificultat delsseus resultats, que estan acompanyats de l’o-riginalitat de les idees i de les tecniques quehagi introduıt per obtenir-los. Tota la resta essoroll. Pero aixo nomes pot apreciar-ho qui es-tigui en condicions de fer-ho, i aquı tenim unaltre problema. Societats mes vertebrades ci-entıficament que l’espanyola tenen institucionsde prestigi els membres de les quals coneixen iexerceixen el canon, pero em temo que aquestno es el nostre cas i, potser per aixo, circulenper la xarxa escrits que assenyalen el nostre paıscom un exemple d’us excessiu dels esmentatsındexs, tant per part dels tribunals d’oposiciocom pels mateixos responsables de la polıticacientıfica, que han entronitzat la coneguda fal-lacia de l’argument ad populum portant-la finsal BOE.

Es tracta d’un tema de molt d’interes que,en la meva opinio, hauria de ser tractat ambcerta profunditat pels cientıfics espanyols. Peroles escasses lınies que hi vaig dedicar en el meuarticle no pretenien tant. Tampoc ara no desit-jo aprofundir en l’assumpte, pero sı que vol-dria comentar dues publicacions originades ar-ran del meu escrit que m’han cridat l’atencio: estracta de dos articles publicats, pels respectius

autors, a El Paıs Digital i a l’edicio especial pera Valencia del mateix diari el mes de febrer de2006, i les referencies precises dels quals podentrobar-se tambe a les pagines de DivulgaMATde la RSME. No es la meva intencio entrar encap polemica amb ningu, sino simplement as-senyalar alguns aspectes d’aquests escrits quem’han fet reflexionar sobre les precaucions queha de tenir en compte tot matematic a l’horad’escriure. Per aixo, en endavant, em referire aaquests professors amb la tıpica notacio d’A i B.

El professor A soste opinions que discrepende les que ell ha detectat en el meu article, iles il.lustra amb un sımil muntanyenc propiciattambe per algun dels meus comentaris: s’hand’atacar problemes difıcils o exercitar-se ambproblemes assequibles, pujar muntanyes altes orepetir mil vegades la pujada al puig del nostrepoble? Es un dilema amb ramificacions interes-sants davant el qual A sembla que s’inclina perla segona alternativa. Que els deus el beneeixin!No pretenc polemitzar mes en aquesta direccio,pero se m’acudeixen diverses preguntes relaci-onades sobre les quals sembla oportu reflexio-nar: Que es un problema interessant? Es prefe-rible concentrar-se en algun projecte matematicd’envergadura o diversificar els esforcos? Pagala pena a un investigador establert dedicar-sea produir resultats que son simples exercicis deprincipiants? Es la matematica una tasca de so-litaris o, com a molt, de grups reduıts o, al con-trari, tendim cap a una investigacio orquestral?

Pero m’ha cridat l’atencio la puntualitza-cio que fa del meu escrit, criticant-me el co-mentari sobre l’existencia de l’esmentat edito-rial d’Annals. Es tracta, crec jo, d’un recurs di-alectic classic, atacar les premisses menors perarribar en situacio avantatjosa al punt que real-ment es vol rebatre. Diu A: Annals anade uncomentario editorial advirtiendo de que la pru-eba depende de un programa y que. . . No es ci-erto. La revista estudio la posibilidad de anadirtal comentario, y esa posibilidad trascendio aldominio publico. Pero el hecho es que el comen-tario, al final, no fue anadido. Sorprende que elprofesor Cordoba no lo haya comprobado, cuan-do en el mismo numero de los Annals en el queaparece la demostracion de Hales —noviembrede 2005—, hay precisamente un artıculo suyo(por lo cual, por cierto, le felicito).

Resulta que qualsevol pot comprovar que,en la primera pagina del numero esmentat

44

d’Annals, apareix un statement by the edi-tors que comenca amb les paraules seguents:Computer-assisted proofs of exceptionally im-portant mathematical theorems will be conside-red by the Annals. . . i segueix donant detallsdel procediment que han dissenyat per gestio-nar la publicacio de tals demostracions. Com vapoder A no parar atencio a l’existencia de l’edi-torial d’Annals i posar-se en la situacio grotescade l’alguacil alguacilado?

El discurs de molts polemistes, intel.lectu-als i polıtics ofereix nombrosos exemples d’usd’aquest recurs dialectic que estem comentant.Pero em sembla que un matematic, amb totsels instruments de raonament i deduccio deque habitualment disposa, no necessita utilitzaraquesta eina, podent anar directament a atacarla major, fins i tot amb contundencia. Ara be, sioptem per usar-la llavors hem d’estar molt se-gurs de la veritat de tot el que afirmem, perque,en cas contrari, caurem en un ridıcul espantos.

El professor B procedeix de manera una mi-ca diferent. Llegint el seu Matematicos en lacasa de citas, sembla que coincidideix en elfons amb tot el que la lectura del meu articleli suggereix. B soste que [. . . ] Basar exclusi-vamente la promocion academica, el logro decomplementos y la concesion de proyectos de in-vestigacion en las citas obtenidas o el factor deimpacto de las revistas puede tener los efectosperversos implıcitos en la denuncia de Cordoba:abandono de la lectura por la escritura, faltade reflexion, publicacion de refritos, mercadeode citas, etc.. Malgrat aixo, tot seguit es pre-gunta: ¿como alguien del prestigio de AntonioCordoba ha podido largar semejante exabrup-to? i passa a conjecturar diverses raons: recelsprofessionals, perdua de poder o potser senili-tat, quan afirma, erroniamente per cert, que jonomes tinc un article als Annals i que d’aixo,en fa ja quasi trenta anys. En realitat en tincuns quants mes i l’ultim estava encara molt re-cent quan B va escriure aquesta bajanada, perotampoc no soc l’unic espanyol que ha publicat

en aquesta revista, com es pot ser comprovarara molt facilment a traves d’Internet. Jo nohavia mencionat res de tot aixo en el meu es-crit, no conec personalment el professor B i norecordo haver mantingut cap conversa amb ell,per la qual cosa em sorprenen els seus judicissobre el que creu que son les meves intencionsocultes o les meves presumptes frustracions.

Sol dir-se que la cortesia d’un matematic ra-dica en la claredat i en la precisio. Encara queno els conegui personalment, ni tampoc esticfamiliaritzat amb les seves obres, no tinc incon-venient a pensar que A i B son dos professionalscompetents. Pero, els seus escrits demostren fe-hacentment com algu entrenat en l’art del rao-nament precıs i riguros pot, quan surt una mi-ca del seu camp especıfic, incorrer en diversesde les falacies (argument ad hominem, judicisd’intencions, falsetat de les premisses, non se-quitur . . . ) que com a matematics tenim l’obli-gacio de corregir en el nostre ofici docent. Lalectura d’ambdos escrits, amb certes frases unamica agressives, fa pales en ells una certa faltad’elegancia. Que hi farem! Hom ja ha apres queentre els matematics, gent especialitzada en lapulcritud del raonament, en la busqueda dela veritat i de la bellesa de les idees, que formenuna elit planetaria un pel anarquica i allunyadade les convencions socials, amb una historia ricaen episodis interessants i ments generoses i be-lles, s’han donat tambe els comportaments mesmesquins, propis d’un col.lectiu que, com passaamb els poetes, es el principal, si no l’unic, ob-servador i lector de si mateix. El que ha succeıta l’ultim ICM, en el qual ningu no va mencionarexplıcitament la tasca de Jose Luıs Fernandez,que fou l’autentic impulsor de la candidaturaespanyola, fou qui realitza el treball previ i quidissenya l’estrategia que va portar a l’exit ob-tingut a Pequın, per ser, a continuacio, apartatde la presidencia del Comite, es un vuit-mil del’us de la filosa, mereixedor d’estar a la historiauniversal d’aquells assumptes que va escriure elgran Borges.

Antonio Cordoba BarbaUAM

45

Premis

Com no podia ser d’altra manera, dediquem la seccio de premis d’aquest numero de la SCM/Notıciesa fer-nos resso dels premis i premiats aquest estiu passat al Congres Internacional dels Matematics,ICM 2006. Les medalles Fields, el Premi Nevanlinna i el Premi Gauss (que es van atorgar durantla sessio inaugural de l’ICM a Madrid) i el Premi Abel (atorgat el passat maig per l’Academia deCiencies i Lletres de Noruega) estan, sens dubte, a la llista dels maxims guardons a que un matema-tic pot aspirar en reconeixement de la seva recerca. I naturalment els guardonats d’enguany, AndreiOkounkov, Grigori Perelman, Terence Tao, Wendelin Werner, Jon Kleinber, Kiyosi Ito i LennartCarlesson, respectivament, formen part de l’elit matematica mundial per les seves excepcionalsaportancions, be resolent problemes classics de gran dificultat, be per la seva paternitat de teoriesi arees matematiques totalment noves i interessants.

Aprofitem l’oportunitat per dir que aquest any 2006 que acabem de passar, el professor francesJean-Pierre Serre (Medalla Field l’any 1954 i Premi Abel l’any 2003) va ser investit doctor honoriscausa per la Universidad Complutense de Madrid. Val a dir que aquest gran matematic i tambegran persona te forca relacio cientıfica amb la comunitat catalana, com va quedar pales quan laUniversitat de Barcelona el va investir tambe doctor honoris causa el novembre de 2005.

Els premiats amb el rei Joan Carles I, despres de la sessio inaugural de l’ICM 2006a Madrid on es va fer l’entrega de premis

A causa de l’excepcionalitat d’aquesta ocasio, postposem per al proper numero la publicaciod’escrits sobre altres premis que la redaccio tenia encomenats: el Premi Ferran Sunyer Balaguer2006, atorgat a Xionan Ma i George Marinescu; el Premi Richard von Misses 2006, atorgat a JoseAntonio Carrillo, i el Premi Galois 2006 de la SCM per a Ariadna Farres.

46

Medalles Fields 2006

Andrei Okounkov

Andrei Okounkov ha treballat, individualmenti en col.laboracio amb altres matematics, enmolts problemes de teoria de representacions,combinatoria, geometria i fısica, aportant solu-cions completes o fent contribucions molt re-llevants sobre una bona quantitat de questi-ons. Dos temes recurrents en els seus treballsson l’estudi de les propietats asimptotiques deproblemes combinatorics i la interaccio ambla fısica estadıstica i la teoria de cordes. Enaquestes notes parlarem d’una porcio minsadels resultats d’Okounkov, triats d’entre els mesrellevants guiant-nos per les nostres preferen-cies personals. El lector trobara una exposiciodels resultats d’Okounkov mes detallada i escri-ta de manera molt mes competent a la laudatiopresentada a l’ICM 2006 per Felder [2]. Per aca-bar, no ens podem estar de recomanar les notesdels diversos cursos impartits per Okounkov so-bre els seus propis treballs, moltes a l’arXiv (perexemple, math.CO/0309074, math.CO/0309075,math-ph/0309015, math-ph/0601062), a part, esclar, de la lectura dels seus articles.

Abans de parlar sobre els resultats d’Okou-nkov, recordarem algunes nocions rellevants degeometria algebraica. Donats dos enters no ne-gatius g i n es denota per Mg,n l’espai de mo-duli de corbes connexes marcades (C,x) esta-bles, de genere g, definides sobre C, i amb npunts marcats x = (x1, . . . , xn). Que (C,x) si-gui estable vol dir que C es una corba conne-xa, que totes les seves singularitats son nodalsi disjuntes de x, i que el grup d’isomorfismesf : C → C que satisfan f(xj) = xj per tot jes finit. Aquesta darrera condicio nomes es potsatisfer si 3g−3+n ≥ 0. El genere d’una corbanodal C coincideix amb el de la corba que s’obteallisant les singularitats de C, substituint unentorn de cada singularitat de C (que es biholo-

morf a un entorn de (0, 0) dins xy = 0 ⊂ C2)per la interseccio de xy = ε amb una bola deradi prou gran en relacio amb ε 6= 0. L’espaide moduli Mg,n te una estructura natural destack de Deligne-Mumford propi o, en termesde geometria diferencial, d’orbifold compacte.Ates que des del punt de vista de l’homologiaracional els orbifolds es comporten com les vari-etats topologiques, existeix una classe fonamen-tal [Mg,n] de grau 6g−6+2n a l’homologia ra-cional de Mg,n. Prenent per cada (C,x) l’espaicotangent de C a xj s’obte un (orbi)fibrat delınia Lj →Mg,n, i donats enters d1, . . . , dn ≥ 0es defineix

〈τd1 , . . . , τdn〉 = 〈c1(L1)d1 ∪ · · · ∪ c1(Ln)dn ,

[Mg,n]〉 ∈ Q,

on el genere g satisfa 3g−3+n = d1+· · ·+dn (siel g que resulta no es enter llavors per definiciol’expressio anterior es zero). Mes en general, siV es una varietat projectiva complexa1 i β ∈H2(V ) es una classe d’homologia, es defineixMg,n(V, β) com l’espai de moduli d’aplicacionsφ : (C,x) → V algebraiques estables (es a dir,tal que (φ,C,x) te un nombre finit d’automor-fismes) que representen la classe β, on (C,x)es una corba marcada connexa, de genere g inodal, pero no necessariament estable. En ge-neral l’espai Mg,n(V, β) no es un orbifold, perohom pot definir de manera natural una classed’homologia racional [Mg,n(V, β)] que fa el pa-per de classe fonamental. Per cada j hi ha unaaplicacio d’avaluacio evj : Mg,n(V, β) → V queenvia (φ,C,x) a φ(xj). Com en el cas de Mg,n

es tenen fibrats de lınia Lj →Mg,n que tenenfibra, sobre la classe de (φ,C,x), canonicamentisomorfa al cotangent de C al punt xj . Donatsenters no negatius d1, . . . , dn i classes de coho-mologia α1, . . . , αn ∈ H∗(V ) es defineix l’in-variant de Gromov-Witten (GW) corresponentcom:

〈τd1(α1), . . . , τdn(αn)〉Vβ,g =⟨∏j

cj(Lj)dj ∪ ev∗j αj , [Mg,n(V, β)]⟩∈ Q.

1La construccio que expliquem tot seguit (definicio dels invariants de Gromov-Witten) tambe te sentit, fent lesmodificacions necessaries, quan V es una varietat simplectica.

47

Els nombres 〈τd1 , . . . , τdn〉 es poden calcularde manera algorısmica, i el mateix passa amb〈τd1(α1), . . . , τdn(αn)〉Vβ,g quan V es una corbaalgebraica (en canvi, quan V te dimensio ≥ 2calcular els invariants de GW pot ser molt com-plicat). Pero tant en un cas com en l’altre esplanteja el problema d’entendre aquests inva-riants globalment, de descobrir les estructuresque apareixen quan es consideren simultania-ment tots els possibles valors dels enters dj i g(a mes de β i les classes de cohomologia αj enel cas dels invariants de GW) agrupant els in-variants en una funcio generatriu. Un exemplees la funcio seguent:

F (t0, t1, . . . ) =

exp

∑(k0,k1,... )

〈τk00 τk1

1 . . . 〉∏ ti

ki

ki!

.

Witten va conjecturar que F es una funcio τde la jerarquia KdV. Mes concretament, elsseguents operadors diferencials contenen F alseu nucli:

L−1 =14T 2

1 −12

∂

∂T1+

12

∑k≥1

(k + 2)Tk+2∂

∂Tk,

L0 = −12

∂

∂T3+

12

∑k≥1

kTk∂

∂Tk+

116

,

Ln = −12

∂

∂T2n+3+

12

∑k≥1

kTk∂

∂T2n+k

+14

∑i+j=2n

∂2

∂Ti∂Tj, n ≥ 1,

on denotem T2i+1 = ti(2i+1)−1(2i−1)−1 . . . 3−1

(els operadors Lj son una base de la subalgebrade l’algebra de Virasoro donada pels campsvectorials holomorfs a C). La propietat queLkF = 0 per tot k ≥ −1 es prou restrictiva perdeterminar tots els coeficients de F llevat d’unfactor multiplicatiu constant. Aquesta conjec-tura de Witten va ser demostrada per primercop per Kontsevich (vegeu [3]), i Okounkov enva donar una nova demostracio a [6]. Una altrapossible funcio generatriu es la seguent:

F(x1, . . . , xn) =∑

(d1,...,dn)

〈τd1 , . . . , τdn〉∏

xdii .

Considerem la funcio definida per tot x = (x1 <

x2 < · · · < xn) ∈ Rn

E(x) = exp(

112

∑x3

i

)∫γ≥0

e−R

γW (dγ),

on γ : [x1, xn] → R es contınua, no negativa, li-neal a cada segment [xi, xi+1], satisfa γ(x1) =γ(xn), i la mesura W (dγ) es una col.leccio degaussianes independents en els increments deγ a cada interval [xi, xi+1]. Okounkov dona a[6] una relacio precisa entre F i E , reinterpre-tant F en termes del comportament asimptoticdel nombre de maneres d’obtenir una superfıciede genere fixat identificant les cares de n polı-gons dos a dos, quan el nombre de cares delspolıgons convergeix a ∞. Aquesta idea, inter-pretar una quantitat definida a partir de la to-pologia d’un espai de moduli en termes de l’es-tudi asimptotic d’un problema combinatoric,apareix en molts altres treballs d’Okounkov.

Els resultats de [6] es basen en part en l’arti-cle d’Okounkov i Pandharipande [7], el primerd’una trilogia dedicada a l’estudi dels invari-ants de GW d’una corba algebraica V . Usant[7] Okounkov i Pandharipande demostren a [8]que una certa funcio generatriu FV en els invari-ants de GW satisfa Lk,V FV = 0 per tot k ≥ −1,on els operadors Lk,V novament son una base dela subalgebra de l’algebra de Virasoro generadaper camps vectorials holomorfs. En aquests tre-balls s’estableix una relacio entre els invariantsde GW de V i certs nombres de Hurwitz, i uningredient crucial es l’estudi del comportamentasimptotic d’aquests nombres de Hurwitz.

Un altre ingredient de [6] son els resul-tats de [5], on Okounkov demostra una conjec-tura de Baik-Deift-Johansson que relaciona elcomportament asimptotic de les primeres co-lumnes del diagrama de Young associat a unaparticio aleatoria de 1, . . . , n, quan n tendeixa infinit, amb el dels primers valors propis d’u-na matriu hermıtica aleatoria de mida n×n. Laprobabilitat que s’associa a cada particio ve do-nada per la mesura de Plancherel sobre el con-junt de les representacions del grup simetric Sn

(que, com es ben sabut, esta en bijeccio amb elconjunt de particions de n), i per triar la matriuhermıtica prenem variables aleatories normalsindependents per a cada una de les entrades queno estan sota la diagonal. Per relacionar totsdos problemes, Okounkov construeix un pontque passa per l’estudi de les funcions F defini-des en termes de la topologia de Mg,n. Poste-

48

riorment han aparegut dues demostracions mesde la conjectura de Baik-Deift-Johansson, unadeguda a Borodin, Okounkov i Olshanski, il’altra, a Johansson. Per a una introduccio mesdetallada a aquests problemes, vegeu l’articlede Stanley [10].

Quan V es una varietat de Calabi-Yau de di-mensio 3 hom pot definir els invariants deDonaldson-Thomas (DT), que compten subes-quemes de dimensio 1 amb caracterıstica d’Eu-ler fixada i dins una classe d’homologia dona-da, en termes de la cohomologia de l’espai deHilbert corresponent. A diferencia dels invari-ants de GW, els invariants de DT compten cor-bes sense cap parametritzacio donada i, a mes,son enters, mentre que els invariants de GW, aconsequencia de l’existencia de parametritzaci-ons amb automorfismes, son nombres racionals.Maulik, Nekrasov, Okounkov i Pandharipandehan conjecturat a [4], inspirats per la teoria decordes, una relacio precisa entre funcions ge-neratrius associades als invariants de GW i elsde DT. Una versio local d’aquesta conjecturaha estat demostrada per Okounkov i Pandhari-pande a [9].

En un altre treball relacionat amb l’espai demoduli de corbes, Eskin i Okounkov calculena [1] el volum dels estrats H(µ) de l’espai demoduli de corbes C dotades d’una diferencialholomorfa ω ∈ H1(T ∗C) amb ordres d’anula-cio especificats per µ = (µ1, . . . ). La mesura aH(µ) es defineix usant la representacio de mo-nodromia de ω, i el volum total es calcula viauna interpretacio en termes del comportamentasimptotic del nombre de revestiments ramifi-cats d’un tor. Aquest resultat troba aplicacionsa l’estudi de la dinamica de billars poligonalsgenerics gracies als treballs d’Eskin i Masur,i del flux geodesic de Teichmuller a traves dela formula de Kontsevich que relaciona els ex-ponents de Lyapunov amb els volums dels es-trats H(µ). Sobre aquestes questions el lectorpot consultar el magnıfic survey de Zorich [11].

Com ja hem dit al principi, Okounkov ha de-mostrat molts mes teoremes dels que aquı hemcomentat. A tall d’exemple, i per concloure, es-mentem els seus treballs inicials sobre teoriade representacions, alguns en col.laboracio ambKerov i Olshanski, els treballs mes recents so-

bre la relacio entre la teoria de Seiberg-Witteni les particions aleatories en col.laboracio ambNekrasov, i els treballs duts a terme amb Ke-nyon, Mikhalkin i Sheffield on es relaciona lamecanica estadıstica dels dımers, en certs lımitstermodinamics, amb la geometria algebraicareal.

Referencies

[1] Eskin, A.; Okounkov, A. Asymptotics ofnumbers of branched coverings of a torus andvolumes of moduli spaces of holomorphic dif-ferentials. Invent. Math., 145 (1), (2001),59–103.

[2] Felder, G. The work of Andrei Okounkov.Proceedings of the ICM, Madrid 2006,math.GM/0609847.

[3] Looijenga, E. Intersection theory onDeligne-Mumford compactifications (afterWitten and Kontsevich). Seminaire Bour-baki, vol. 1992/93, Asterisque, 216 (1993),exp. num. 768, 4, 187–212.

[4] Maulik, D.; Nekrasov, N.; Okounk-ov, A.; Pandharipande, R. Gromov-Witten theory and Donaldson-Thomas theory,II. [Preprint] math.AG/0406092.

[5] Okounkov, A. Random matrices and ran-dom permutations. Int. Math. Res. Not., 20,(2000), 1043–1095.

[6] Okounkov, A. Generating functions for in-tersection numbers on moduli spaces of cur-ves Int. Math. Res. Not., 18 (2002), 933–957.

[7] Okounkov, A.; Pandharipande, R.Gromov-Witten theory, Hurwitz theory, andcompleted cycles Ann. of Math., 163 (2),(2006), 517–560.

[8] Okounkov, A.; Pandharipande, R. Vi-rasoro constraints for target curves. Invent.Math., 163 (1), (2006), 47–108.

[9] Okounkov, A.; Pandharipande, R. Thelocal Donaldson-Thomas theory of curves.[Preprint] math.AG/0512573.

[10] Stanley, R. Increasing and decreasingsubsequences and their invariants. Procee-dings of the ICM, Madrid 2006. http://www-math.mit.edu/˜ rstan/papers/ids.pdf

[11] Zorich, A. Flat surfaces. Cartier, P.;Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. [eds]Frontiers in number theory, physics and geo-metry. Vol. I: On random matrices, zeta func-tions and dynamical systems, Berlın: Springer-Verlag, 2006, 439–586.

Ignasi Mundet i RieraUB

49

Grigori Perelman

Grigori Yakovlevich Perelman va neixer a Le-ningrad (actualment Sant Petersburg) en unafamılia jueva el 13 de juny de 1966. Va re-bre la seva educacio en el liceu fisicomatematic239 de Sant Petersburg, una selectiva escolade secundaria especialitzada en programes defısica i matematica molt avancats. El 1982 vacompetir amb l’equip de la Unio Sovietica ales olimpıades matematiques internacionals, iva guanyar una medalla d’or amb una puntu-acio perfecta. A final de la decada dels anysvuitanta, obtingue el tıtol de doctor, amb unatesi sobre les superfıcies de sella a l’espai eu-clidia. Despres del seu diploma, treballa enel famos institut de matematiques de Stek-lov, amb A. D. Aleksandrov i Yuri D. Bu-rago. A principis dels anys noranta obtinguemolts resultats en geometria riemanniana i enespais d’Alexandrov. Un espai d’Alexandroves un espai metric que satisfa certes condici-ons metriques sobre els seus triangles, com enuna varietat de Riemann de curvatura acota-da. Aquests espais apareixen de manera naturalquan s’estudien lımits o degeneracions de varie-tats de Riemann. El 1992 va publicar un articlefundacional sobre els espais d’Alexandrov ambBurago i Gromov.

El 1992, Perelman fou invitat a passar unsemestre a Nova York i un altre a Stony Brook,i el 1993 inicia una beca postdoctoral de dosanys a Berkeley. A finals del primer any d’esta-da a la Universitat de California a Berkeley jahavia escrit la famosa solucio de l’anomenadaconjectura de l’anima, plantejada el 1972 perCheeger i Gromoll. Aquests havien demostratque tota varietat no compacta de curvatura nonegativa te una anima compacta, que en donamolta informacio topologica i metrica, i havienconjecturat que si la curvatura era estrictamentpositiva en un punt, aleshores l’anima seria unsol punt. Perelman va fer una demostracio bri-llant en un article de nomes tres pagines. Aixo

fou reconegut amb la invitacio a fer una con-ferencia a l’ICM de 1994 a Zuric, alhora querebe ofertes de treball de Stanford, Princeton,l’Institute for Advanced Study i la Universi-tat de Tel Aviv. D’aquesta epoca s’explica unaanecdota que s’ha fet famosa. La comissio deStanford li va demanar cartes de recomanacio iun curriculum vitae, demanda a la qual ell res-pongue: si coneixen el meu treball, no necessi-ten el meu curriculum vitae, i si nececessiten elmeu curriculum vitae, no coneixen el meu tre-ball. L’anecdota pot no ser certa, el que sı que sesap es que va declinar totes les ofertes i el 1995va tornar a Sant Petersburg, a la seva feina an-terior a l’Institut Steklov, amb un sou de menysde cent dolars mensuals. Sembla que digue queal Estats Units havia estalviat prou diners perviure a Russia. El seu pare havia emigrat a Is-rael dos anys abans i se’n va anar a viure ambla seva mare, que s’havia quedat a Sant Peters-burg. Als seus col.legues els digue: M’adonoque a Russia treballo millor. A partir de lla-vors Perelman dona pocs senyals de vida, llevatdel correu electronic, i sembla que no viatja finsque anuncia la conjectura de Poincare.

La conjectura de Poincare es un problemaampliament conegut, i ningu no questiona quefos un dels set problemes del mil.leni quan lafundacio Clay n’elabora la llista l’any 2000. Elque no es preveia l’any 2000 era que, plantejadael 1904, es resolgues amb tres articles penjats aInternet per Perelman durant els anys 2002 i2003. De fet, Perelman no nomes resolgue laconjectura de Poincare, sino tambe la conjectu-ra de geometritzacio, enunciada per Thurstona finals dels anys setanta. Cal dir que fins alstreballs de Thurston els especialistes estaven di-vidits entre els que creien que la conjectura dePoincare era certa i els que creien que era falsa,i la composicio dels grups podia variar cada dia!Els treballs de Thurston que donaven suport ala seva conjectura van fer inclinar la balancacap als que creien que era certa. La conjecturade Thurston afirma que tota varietat es divi-deix de manera canonica en trossos geometricso uniformes, que tenen una metrica amb propie-tats especials, anomenada homogenia. Aquestaconjectura no nomes generalitzava la de Poin-care, sino que introduıa la geometria riemanni-ana, que finalment ha portat a la resolucio.

50

El seguent pas significatiu el feu Hamiltonquan va introduir el flux de Ricci. Es trac-ta d’un flux sobre l’espai de les metriques ri-emannianes d’una varietat, que s’ha de pen-sar com l’analeg del flux de la calor. Tots sa-bem que el flux de la calor reparteix la tempe-ratura de manera (asimptoticament) uniforme;analogament el flux de Ricci tendeix a repartirla metrica de manera uniforme en la varietat.Per a superfıcies, el metode de Hamilton fun-ciona be i redemostra la seva uniformitzacio:donada una metrica en una superfıcie compac-ta, el flux evoluciona en la seva classe conformecap a una metrica de curvatura constant. Endimensio tres, pero, les coses no son tan facils,i el flux dona lloc a singularitats, llocs on lacurvatura tendeix a infinit, explota, en tempsfinit. Hamilton desenvolupa tot un programaamb aquest flux i obtingue resultats molt im-portants, pero no podia tractar completamentles singularitats. Va ser Perelman, treballant ensolitari, que va resoldre l’estudi de les singu-laritats utilitzant un punt de vista molt mesriemannia. Un cop resolta la questio de les sin-gularitats, en lloc de fer-ho public Perelman esva dedicar a completar la demostracio de la ge-ometritzacio.

El poc nivell de detall de les demostraci-ons de Perelman ha estat una font importantde polemica. Cal dir que en menys de setan-ta pagines Perelman dona la demostracio de laconjectura de geometritzacio, que inclou la dePoincare, i que despres se n’han elaborat textosdetallats, amb extensions d’entre dues-centes iquatre-centes pagines. Alguns matematics pre-tenen que els treballs de Perelman no es podienconsiderar suficients per atribuir-li el merit dela demostracio. La veritat es que la lectura de-mana un esforc molt gran per completar detalls,pero que gairebe sempre s’han de seguir els pas-sos i arguments que suggereix Perelman, que vaometre molts detalls a proposit.

Els treballs previs de Perelman sobre la con-jectura de l’anima i els espais d’Alexandrov sonmolt reconeguts, a mes d’estar escrits de mane-ra extremadament concisa. Gracies a aquestareputacio es va donar la importancia merescu-da als preprints de Perelman, i diversos ma-tematics es van llencar a treballar en la sevacomprensio. En destaquen les notes de B. Klei-ner i J. Lott, el llibre de J. Morgan i G. Tian il’article de H.-D. Cao i X.-P. Zhu. Aquest dar-rer va saltar als mitjans de comunicacio el junyde 2006 per una roda de premsa de S. T. Yau.Cal aclarir que el treball de Cao i Zhu es moltmeritori i amb un esperit molt semblant als al-tres esmentats; es original sobretot en aspectesmes analıtics, pero reprodueix literalment delsaltres grups algun fragment mes geometric i to-pologic. Probablement no van poder evitar veu-re’s involucrats en la campanya de promocio deles matematiques a la Xina. Cal recordar queYau es un matematic d’un nivell excepcional,que obtingue la Medalla Fields de manera moltmerescuda, pero que alhora es molt combatiupolıticament, i que promociona molt els puntspositius de Cao i Zhu, pero no els de Morgan iTian i Kleiner i Lott.

Tothom sap que Perelman va refusar la me-dalla Fields. De fet, l’allunyament de la comu-nitat cientıfica ja havia comencat feia uns anysquan va refusar un premi de la societat ma-tematica europea, i sembla molt poc probableque mai es torni a integrar en la comunitat ci-entıfica. En tot cas, els seus treballs han estatcomprovats suficientment perque s’accepti lademostracio de la conjectura de Poincare. D’a-quı poc probablement tambe s’acceptara ple-nament la de geometritzacio. De fet, es en aixoque tornare a treballar quan acabi de redactaraquesta nota i l’envii a l’Enric, l’editor de laSCM/Notıcies, que ja fa molts dies que me lava demanar...

Joan PortiUAB

51

Terence Tao

Ja feia temps que el nom de Terence Tao figura-va en totes les apostes sobre possibles candidatsa la Medalla Fields a l’ICM de Madrid. En lamencio del premi es llegeix:

Per les seves contribucions a les equacionsen derivades parcials, a la combinatoria, al’analisi harmonica i a la teoria additiva denombres.

D’origen xines i nascut a Adelaida, Australia,el 17 de juliol de 1975, Tao va mostrar una ha-bilitat precoc per les matematiques que el vadur als vuit anys a participar en un programaespecial de la Universitat John Hopkins a Balti-more per a joves excepcionalment dotats. Va serel participant mes jove a les edicions de 1986,1987 i 1988 de l’Olımpiada Internacional de Ma-tematiques, i va obtenir una medalla d’or alstretze anys. Als quinze, va publicar el seu pri-mer llibre de matematiques, Solving mathema-tical problems, a personal perspective (ara jus-tament reeditat), als vint-i-un ja havia obtingutel seu doctorat a Princeton, i als vint-i-quatre,una posicio de full professor a la Universitat deCalifornia a Los Angeles. La seva brillant car-rera no s’atura i guanya tota mena de premis ireconeixements (el Salem Prize el 2000, el Boc-her Prize el 2002, el Clay Research Award el2003, el Levi L. Conant Prize el 2005, el SAS-TRA Ramanujan Prize el 2006, entre d’altres)fins a obtenir la Medalla Fields aquest estiu.

Aquesta es nomes una breu descripcio del’expressio publica de qui ha estat batejat comel Mozart de les matematiques. I es que unade les seves qualitats mes reconegudes es la defer simple el que es donava per intrınsecamentcomplex. Tal com es reflecteix en la mencio dela Medalla Fields, Terry (com es habitualmentconegut) es admirat per especialistes d’arees

matematiques ben llunyanes i que s’han anatdistanciant historicament. En la mes pura tra-dicio de les grans figures de l’historia de les ma-tematiques, Terry assegura que

[. . . ] tendeixo a veure les matematiques comun tot, i em sento particularment felic quantinc l’oportunitat de treballar en un projec-te que involucra diverses arees alhora.

Les contribucions matematiques de Terry, gai-rebe sempre en col.laboracio amb altres investi-gadors i sempre originals i sorprenents, cobrei-xen un espectre amplıssim. En la seva confe-rencia a l’ICM a Madrid en va triar una de lesprobablement mes populars: l’existencia de pro-gressions aritmetiques arbitrariament llarguesde nombres primers, un resultat obtingut ambBen Green, una altra de les promeses messolides entre els joves matematics. El celebreteorema de Szemeredi, del 1975, estableix quequalsevol conjunt d’enters amb densitat posi-tiva (asimptoticament conte una fraccio posi-tiva de tots els nombres) conte progressionsaritmetiques arbitrariament llargues. Els nom-bres primers no satisfan aquesta condicio dedensitat. Per adaptar el resultat de Szemeredials nombres primers, Tao va exposar en la sevaconferencia un principi filosofic que, segons ell,l’ha guiat en molts dels seus treballs: cada pro-blema matematic sol contenir una part estruc-turada i una part aleatoria que s’han de separari tractar de manera diferenciada. Podreu seguirl’aplicacio d’aquest principi en l’article de Mar-tin Klazar publicat en un numero recent delButlletı de la SCM, sobre aquest resultat.

Una altra de les contribucions celebrades deTerry tracta les equacions no lineals de Sch-roedinger, equacions en derivades parcials quedescriuen, entre d’altres, el fenomen de la pro-pagacio de la llum en els cables de fibra optica.En col.laboracio amb quatre matematics mes,Colliander, Keel, Staffilani i Takaoka, l’anome-nat I-team, ha donat resultats d’existencia desolucions per a una d’aquestes equacions deSchroedinger, el coeficient no lineal de les qualsdescriu l’autointeraccio de la llum en un me-di com ara la fibra optica (d’on ve el nom deI-team).

En relacio amb l’analisi harmonica, una deles contribucions mes apreciades de Terry trac-

52

ta el problema de Kakeya. Imagineu que vo-leu donar una volta de 180 a una agulla enel pla. Intuıtivament la regio del pla resseguidapel moviment es un cercle. El resultat sorpre-nent es que aquest moviment es pot fer en unregio d’area mes petita que la d’un cercle, esmes, en una regio d’area arbitrariament peti-ta. El problema esta ben entes en el pla, enel sentit que es coneix la dimensio fractal del’area necessaria (una mesura mes precisa quel’area habitual) que es dos. El problema estava,pero, completament obert en dimensions mesgrans que dos. Les contribucions de Terry enel cas n-dimensional del problema de Kakeyahan fet veure les seves implicacions en nombro-sos camps de l’analisi de Fourier o en l’estudid’ones no lineals.

No s’acaba aquı la relacio de contribucionsfonamentals de Tao. En lloc de seguir llegintpodeu consultar directament la seva sorprenentpagina personal. Terry es un escriptor extre-mament prolıfic. Quan li interessa un proble-

ma tendeix a donar la seva propia versio delsresultats mes importants, i els posa a disposi-cio del public mitjancant la seva pagina web.Tambe hi posa el seu diari matematic personalple de comentaris suggeridors. Per exemple, el29 d’octubre de 2006 diu que acaba de revisarla seva versio sobre la prova de Perelman de laconjectura de Poincare. A la seva pagina podeutrobar tambe el capıtol del llibre Additive com-binatorics titulat Santalo’s inequality entreels quatre capıtols que finalment no han apare-gut a la versio impresa.

Malgrat tot aquest poder intel.lectual, Terryes una persona senzilla, afable i de tracte nor-mal. Fins fa poc mantenia a la seva pagina webuna extensa col.leccio de fotografies i comen-taris filmografics de les seves actrius preferidesdel cinema que, potser a causa a la seva creixentpopularitat personal, ha decidit eliminar.

Segurament se seguira sentint parlar delpersonatge i de la seva obra en les properesdecades, segles i potser mil.lennis.

Oriol SerraUPC

Wendelin Werner

Laudatio escrita i pronunciada per Charles M. Newman (Courant Institute of Mathematical Sciences, Universitat

de Nova York, Nova York) a l’ICM06, i publicada a Prooceedings of the International Congress of Mathematicians,

Madrid 2006, 1, European Mathematical Society Publishing House (ISBN: 978-3-03719-022-7). Traduıda al catala

per la redaccio.

1. Introduccio

Per a mi es un gran plaer el poder escriureaquest report sobre alguns dels resultats de re-cerca de Wendelin Werner que l’han dut a gua-nyar la Medalla Fields al Congres Internacionaldels Matematics de 2006. Hi ha diversos aspec-tes del treball de Werner que em satisfan es-pecialment. Un d’ells es que es va formar com

a probabilista, i es va doctorar el 1993 sota ladireccio de Jean-Francois Le Gall a Parıs, ambuna tesi sobre el moviment brownia al pla que,com veurem, te una gran influencia en el seutreball posterior. Fins ara la teoria de la proba-bilitat no havia estat mai representada entre lesmedalles Fields, i per aquest motiu estic enor-mement satisfet de ser aquı com a testimonid’aquest canvi en la historia.

Originalment, no vaig formar-me en proba-bilitats, sino en fısica matematica. Com veu-rem, el treball conjunt de Werner i els seus col-laboradors Greg Lawler, Oded Schramm i StasSmirnov, conte aplicacions de la probabilitat ila teoria d’aplicacions conformes a questions fo-namentals de la fısica estadıstica. Un segon mo-tiu de satisfaccio es la meva creenca que aquestfet, juntament amb altres treballs recents, esun important pas mes en la clara interaccio en-

53

tre matematiques i fısica. Es a dir, matematicscom ara Werner no nomes troben demostraci-ons rigoroses d’enunciats previament existentsen la literatura fısica, sino que van mes enlla iaporten noves maneres conceptuals d’entendreels fenomens basics, en aquest cas, una descrip-cio geometrica directa de l’estructura aleatoriaintrınseca dels sistemes fısics en els seus puntscrıtics (almenys en dues dimensions). La perco-lacio n’es un exemple senzill, pero important.

Permeteu-me un comentari mes personalcom a director del Courant Institute durant elsquatre ultims anys. Un dels nostres objectius,com ho fou del nostre institut predecessor aGottingen, es l’eliminacio de les distincions ar-tificials entre la ciencia matematica i les sevesaplicacions a altres ciencies. Crec que el treballde Wendelin Werner apunta brillantment cap aaquesta direccio.

Encara un tercer motiu de satisfaccio es l’es-til col.laboratiu de la major part del treball deWerner. Matematiques potents i boniques po-den venir de diferents estils de treball perso-nal. Pero crec que un estil tan interactiu comes el de Werner, Lawler, Schramm i altres col-laboradors, d’una banda, beneficia l’esperit, ide l’altra, porta a un treball mes rellevant quela suma de les seves parts. Es un bon senyalveure un Medalla Fields guardonat per aquestestil de treball.

2. Camins brownians i exponentsd’interseccio

L’area de la probabilitat que interactua mes for-tament amb la fısica estadıstica es la que s’ocu-pa dels processos estocastics amb estructura es-pacial no trivial. Aquest camp, que tambe estarelacionat amb finances, teoria de la comunica-cio i informatica teorica, entre altres materies,te amplies i interessants aplicacions i utilitzamatematiques de gran categoria. Deixeu-me es-mentar dos dels treballs de Werner del perıode1998-2000. No nomes tenen un valor intrınsec,sino que tambe foren precursors de les ideesi els avancos posteriors en la comprensio delssistemes crıtics 2-dimensionals amb invariancia(natural) conforme. (Hi hagueren, es clar, al-tres antecedents importants, com ara l’aproxi-macio de Aizenman als scaling limits —vegeu,e. g., [1, 2]— i el treball de Kenyon sobre caminsamb llacos esborrats i enrajolaments —vegeu,e. g., [13].)

El primer d’aquests dos treballs es un articlede 1998 de Balint, Toth i Werner, [36]. La moti-vacio va ser la construccio d’una versio contınuade l’anterior reticle de Toth, la veritable passe-jada autorepulsora una estructura matematicaprou bonica (versio ampliada d’una construc-cio feta per Arratia quasi vint anys abans, nopublicada i gairebe oblidada) que unifica i re-flecteix els camins brownians unidimensionalsque, movent el temps endavant i enrere, omplentot l’espai-temps bidimensional. En aquesta es-tructura apareix una corba (aleatoria) recobri-dora del pla, que es analoga a la que va motivarSchramm en el seu article del 2000 en que vaintroduir la SLE, [33]. SLE es la sigla del queva ser originalment anomenat evolucio de Lo-ewner estocastica, i que ara es coneix mes coma evolucio de Schramm-Loewner.

El segon treball consisteix en dos articles es-crits en col.laboracio amb Lawler els anys 1999i 2000, sobre exponents d’interseccio browni-ana al pla [25, 27]. En el segon es demostraque tenim el mateix conjunt d’exponents, supo-sant nomes certes propietats d’invariancia locali conforme. Aquesta va ser una idea fonamentalque, combinada amb la introduccio de la SLEper a l’analisi de fenomens crıtics 2-dimensio-nals, dona lloc a una remarcable successio detres articles mes dels anys 2001-2002 de Law-ler, Schramm i Werner, [17, 18, 20], en els qualsaportaven tota una serie d’exponents d’inter-seccio.

Per exemple, siguin W 1(t),W 2(t), . . . movi-ments brownians independents al pla comen-cant en diferents punts per a t = 0. Lla-vors, la probabilitat que les corbes aleatori-es W 1([0, t]), . . . ,Wn([0, t]) siguin disjuntes est−ζn+o(1) quan t →∞, per alguna constant ζn.

Teorema 2.1. [18] Els exponents d’interseccioζn per n ≥ 2, son

ζn =4n2 − 1

24. (1)

Aquesta formula va ser conjecturada ante-riorment per Duplantier i Kwon a [12], i de-duıda despres per Duplantier [11] mitjancantuns calculs no rigorosos basats en la grave-tat quantica 2-dimensional. Malgrat la simpli-citat de la formula, abans de la introduccio delsmetodes basats en la SLE, la seva obtencio ambtecniques de calcul estocastic convencional ha-via estat impossible.

54

3. Teoria de la probabilitat conforme

Des de l’any 2001 fins ara hi ha hagut un graninteres en l’aproximacio SLE i les seves apli-cacions. Per parlar-ne, primer farem una breuintroduccio a les SLE; [32, 38, 16] en son bonesreferencies generals. Donats un domini de Jor-dan D en el pla complex, dos punts diferents ai b a la seva vora ∂D, i un parametre positiuκ, la SLE (cordal) amb parametre κ, denota-da SLEκ, es un cert camı continu aleatori (unacorba, modul reparametrizacio monotonica) ala clausura D, comencant en a i acabant en b.Quan κ < 4, SLEκ es (amb probabilitat 1) uncamı simple que nomes toca ∂D en a i b. Lo-ewner, en un treball dels anys vint [28], va es-tudiar l’evolucio de corbes no aleatories de aa b, en termes d’una funcio conductora re-al. Enviant de manera conforme D al semiplasuperior H i reparametritzant adequadament,s’obte (per κ ≤ 4) una corba simple γ(t) enH per t ∈ (0,∞) i aplicacions conformes gt deH \ γ([0, t]) a H satisfent l’equacio d’evoluciode Loewner,

∂tgt(z) =2

gt(z)− U(t), (2)

amb funcio conductora U(t) = gt(γ(t)). SLEκ

correspon a l’eleccio de U(t) com la funcio ale-atoria B(κt), on B es el moviment brownia uni-dimensional estandard. Quan κ > 4, es neces-sita fer algunes modificacions, pero la formula(2) segueix sent valida, encara que per κ ≥ 8les corbes recobreixen el pla.

Tornem als avancos recents basats en SLE.Molts d’ells han estat motivats per resultats norigorosos de la literatura sobre fenomens crıtics2-dimensionals de la fısica estadıstica. Els puntscrıtics dels sistemes fısics es donen tıpicamentper a valors molt especıfics dels parametresfısics, com els de quan s’acaba la corba de pres-sio de vapor en un sistema lıquid/gas. Els siste-mes crıtics tenen propietats molt remarcables,ja que s’hi presenten macroscopicament fluctua-cions aleatories que normalment nomes son ob-servables a escales microscopiques. Un fet re-lacionat es que moltes quantitats quan s’apro-pen al seu valor crıtic tenen un comportamentexponencial, amb exponents no enters, anome-nats exponents crıtics (aixı com altres fets ma-croscopics tals com els scaling limits que co-mentarem mes endavant), els quals es creu que

satisfan universalitat, es a dir models mi-croscopics diferents en el mateix espai dimensi-onal han de tenir els mateixos exponents en elsseus respectius punts crıtics. A mes, els siste-mes crıtics 2-dimensionals tenen una remarca-ble propietat addicional, que esta al centre tantdel tractament SLE com dels seus antecedentsa la literatura fısica: la invariancia conforme aescala macroscopica.

Com en el cas dels exponents d’interseccio,molts dels resultats bidimensionals basats en laSLE van ser demostracions rigoroses dels valorsque ja es coneixien mitjancant arguments norigorosos, especialment els provinents del ques’anomena en la literatura fısica com a teoriadel camp conforme, iniciada amb els treballsde Polyakov i els seus col.laboradors durant elsanys setanta i vuitanta [31, 4, 5] –vegeu tambe[10, 30, 9]. En canvi, altres resultats son nous.Parlare d’alguns amb mes detall, pero, com jahe dit, el que es particularment interessant esque l’aproximacio basada en la SLE no es nomesuna rigoritzacio del que ja es coneixia en la lite-ratura fısica, sino tambe una aproximacio con-ceptualment complementaria a la de la teoriadel camp conforme. Werner en particular ha in-sistit en la necessitat d’entendre aquesta rela-cio. Aixo l’ha portat, per exemple, a centrar-seen la propietat de restriccio, com fa en l’ar-ticle sobre la mesura conformement invariantsobre llacos autodisjunts [39]. Aquest article esun exemple del seu gran interes a estendre l’en-focament SLE original sobre corbes aleatoriesen el cas de llacos aleatoris, encara, pero, ambpropietats d’invariancia conforme, tant en el casespecıfic dels lımits escalats de percolacio [6, 7]com en els escenaris mes generals de les sopesde llacos brownians [26, 37] i dels conjunts dellacos conformes estudiats per Scott Sheffield iWerner.

A continuacio presento mes exemples delsresultats obtinguts en els darrers sis anys.

4. La frontera browniana

Sigui W (t) un moviment brownia al pla. Elcomplement al pla de la corba W ([0, t]) es unaunio numerable de conjunts oberts, un delsquals es infinit; la frontera d’aquesta compo-nent infinita s’anomena la frontera browniana.Com a consequencia de les relacions profundesque el moviment brownia al pla i els seus expo-

55

nents d’interseccio tenen amb la SLE6 (vegeu[19, 23]), Lawler, Schramm i Werner obtenenel resultat seguent, que demostra una famosaconjectura de Mandelbrot [29]:

Teorema 4.1. [21] La dimensio de Hausdorffde la frontera browniana planar es 4/3.

5. Camins amb llacos esborrats

El teorema seguent reflecteix informalment unaltre conjunt de resultats que tracten de caminsamb llacos esborrats i altres objectes aleatorisen reticles. Excepte en el cas de la percolacio,que discutirem mes endavant, aquests resultatssobre lımits escalats continus, en els quals l’es-cala del reticle tendeix a zero, no es restringei-xen a cap reticle particular.

Teorema 5.1. [24] Sigui D un domini de Jor-dan al pla; llavors els scaling limits dels caminsamb llacos borrats aleatoris, l’arbre maximaluniforme aleatori i la corresponent corba den-sa en D son, respectivament, SLE2, un arbrecontinu basat en SLE2, i la SLE8 que omple elpla.

Els lımits escalats de models de reticles es-tan entre els resultats mes interessants i, sovint,mes difıcils. Tractar-los be requereix un grandomini de conceptes i tecniques de tres areesdiferents: geometria conforme (com en les evo-lucions de Lowner classiques amb funcio con-ductora no aleatoria), analisi estocastica (ja queper la SLE la funcio conductora es un movi-ment brownia), i la teoria de la probabilitat pera models de reticles (e. g., camins aleatoris, opercolacio, o models d’Ising. . . ). El treball d’enWerner combina aquests tres ingredients ambuna eficacia admirable.

6. Percolacio

Abans d’acabar, permeteu-me tractar un exem-ple mes que demostra com poden interactuarles tres arees esmentades: els scaling limits depercolacio crıtica 2-dimensional. La comunitatfısica ja coneixia (de manera no rigorosa) elsvalors dels exponents i, fins i tot, certa infor-macio geometrica sota la forma de formules es-pecıfiques per a lımits escalats de probabilitatsde creuament entre trossos de les vores de do-minis. Aquestes formules les va trobar Cardy[9] seguint la conjectura d’Aizenman, la qual

afirmava que havien de ser conformement inva-riants [15]. Pero es tenia poc coneixement dela geometria dels lımits escalats d’objectes comara les vores dels clusters.

A [33], Schramm va argumentar que el lımitd’una vora, anomenat el camı d’exploracio, ha-via de ser SLE6. Llavors, Smirnov, per al re-ticle triangular, va demostrar [34] que (A) lesprobabilitats d’encreuament convergeixen a lesformules de Cardy conformement invariants, iva esbocar un argument sobre com aixo podiaportar a (B) la convergencia de tot el camı d’ex-ploracio a SLE6, justificant a mes que s’han depoder estendre aquests resultats a (C) un sca-ling limit complet per a la famılia de llacos devores de tots els clusters. Llavors, a [35], Smir-nov i Werner mostren alguns exponents de per-colacio, usant la convergencia del camı d’explo-racio (B), mentre que a [22], Lawler, Schrammi Werner combinen el scaling limit complet (C)amb els arguments de percolacio per obtenir unaltre exponent que presentem mes endavant.

La convergencia de (B) i (C) es pot demos-trar usant una quantitat considerable d’eines depercolacio reticular [6, 7, 8], com a resultats deKesten, Sidoravicius i Zhang [14] i d’Aizenman,Duplantier i Aharony [3]. Aleshores els resultatsde Werner i coautors sobre l’exponent de perco-lacio s’apliquen i donen un altre exemple excel-lent de com els tres ingredients mencionats an-teriorment interactuen: el teorema seguent de-mostra una conjectura de den Nijs i Nienhuis[10, 30].

Teorema 6.1. [22] En percolacio crıtica sobreel reticle triangular,

Prob[diametre del cluster d’origen ≥ R] =(3)

R−5/48+o(1), R →∞.

7. Conclusio

Acabo amb uns comentaris sobre models con-tinus de la teoria de la probabilitat i les sevesrelacions amb altres arees de les matematiquesque es veuen exemplificades en el treball deWendelin Werner. Tradicionalment, un delsprincipals enfocaments de la teoria de proba-bilitats, especialment a Franca, ha estat cap aobjectes continus com son el moviment brow-nia i el calcul estocastic, amb les aplicacions ales equacions diferencials estocastiques. Els queens hem format en un context diferent, com ara

56

la mecanica estadıstica, de vegades veiem elsmodels de reticles com a mes reals o mesfısics. Pero aixo es una visio parcial. Sonnomes els models continus amb propietats es-pecials, com ara la invariancia conforme en du-es dimensions, els que relacionen la teoria de laprobabilitat amb altres arees desenvolupades deles matematiques. Aquestes relacions i intersec-cions han esdevingut d’importancia creixent enels darrers anys, i aquesta tendencia seguiraen el futur. Fins i tot per a aquell que estiguiinteressat en els models de reticle originals, esprou clar que les seves propietats, com ara elsexponents crıtics o l’universalitat crıtica, no po-

den ser enteses sense una analisi profunda delsmodels continus que apareixen en els lımits es-calats. Gracies al treball de Wendelin Werner,els seus col.laboradors i d’altres, hom pot dirque ara tots som continuistes.

8. Referencies

Per motius d’espai hem omes la llarga llista de refe-rencies d’aquest escrit; el lector interessat pot con-sultar l’article original a Prooceedings of the Inter-national Congress of Mathematicians, Madrid 2006,vol. 1, European Mathematical Society PublishingHouse, on les trobara amb la mateixa numeracio.

Premi Nevanlinna 2006: Jon Kleinberg

Al Congres Internacional dels Matematics(ICM) celebrat a Madrid l’agost de 2006, JonKleinberg va rebre el Premi Nevanlinna. Aquestpremi el va instaurar la International Mathe-matical Union (IMU) l’any 1982 i es concedeixa cada ICM, al merit de les contribucions enaspectes matematics de les ciencies de la infor-macio.

Els informatics teorics que han rebut pre-viament el premi son: Robert Tarjan (algorıs-mia i teoria de grafs), Leslie Valiant (algorısmiai complexitat), Alexandre Razborov (complexi-tat), Avi Wigderson (complexitat i algorısmia),Peter Shor (computacio quantica) i Madhu Su-dan (complexitat i teoria de codis). Una parti-cularitat de tots ells es que treballen als EUA.

Malgrat els seus trenta-cinc anys, Jon Klein-berg te una extensa produccio cientıfica, granpart d’ella sense coautors. Com veurem, elsseus articles tenen dues caracterıstiques: co-breixen un ampli espectre de l’algorısmia, i al-guns dels seus treballs teorics han tingut unaaplicacio practica a molt curt termini. Klein-berg te disponible, a la seva pagina web, unampli ventall de la seva produccio cientıficahttp://www.cs.cornell.edu/home/kleinber.

Evidentment, aquest escrit te una intersec-cio important amb l’anunci oficial del premi queva apareixer a la revista Notices of the AMS [9].

Jon Kleinberg va fer el doctorat al Depar-tament de Computer Science al MIT, sota ladireccio de Michel Goemans, sobre el tema dedissenyar algorismes per problemes del tipus ca-mins disjunts. El problema basic es el seguent:donada una xarxa, trobar els camins disjunts(que no intersectin) entre qualsevol parell denodes a la xarxa. Es coneix que aquests pro-blemes son NP-hard, la qual cosa implica quesota la hipotesi plausible que P6=NP, el proble-ma no te solucio eficient (que funcioni en tempspolinomic en la grandaria de l’entrada) deter-minista [1]. El que Kleinberg va fer es dissenyaralgorismes d’aproximacio eficients, es a dir, al-gorismes que donen una solucio aproximada a lasolucio optima del problema i ho fan en tempspolinomic.

Al mateix temps que feia la seva tesi, Klein-berg va treballar en altres problemes. En parti-cular, sobre el problema de trobar els veıns mespropers a l’espai euclidia d-dimensional. Donatun conjunt P = p1, p2, . . . , pn de punts a Zd

i un altre punt q ∈ Zd, volem trobar el puntpi ∈ P mes proper a q (en la distancia `2).La solucio a aquest problema es pot utilitzarcom a tecnica per resoldre problemes en altrescamps. Per exemple, donat un conjunt de da-des, es pot representar cada dada com un punta Zd (on d es el nombre de components de cadadada); aleshores comparar dades per veure (perexemple) el grau de similaritat es equivalent a

57

computar la distancia com a vectors entre lesdades. Abans de la contribucio de Kleinberg, esconeixien algorismes per computar la distanciaentre punts a Zd, pero aquests algorismes te-nen una complexitat exponencial en d, que elsfa eficients unicament per a valors petits de d.En algunes de les aplicacions d’aquest metodede la distancia mınima entre punts a Zd, comara problemes de recuperacio de la informaciotextual o biologica, d pot arribar a tenir valorsde fins a 106. L’aportacio de Kleinberg va serun algorisme eficient per aproximar el problemadels veıns mes proxims a Zd. El seu metode con-sisteix a combinar, de manera molt astuta, lesprojeccions aleatories dels vectors Zd a Z1 [2].

Les aportacions mes conegudes de Klein-berg estan relacionades amb l’estudi de les xar-xes complexes i, en particular, el web. L’any1989 Tim Berners-Lee al CERN de Ginebra dis-senyava la www (o web) perque els investiga-dors del CERN puguessin compartir les dadesde l’accelerador de partıcules. Des d’aleshores elweb ha crescut anarquicament, pero de maneramolt autoorganitzada, fins que actualment uncalcul aproximat dona la xifra de 109 paginesweb. El web ha passat en disset anys a ser unelement imprescindible en les relacions huma-nes. Recordem que la xarxa web es el graf oncada nus es una pagina web, i les arestes di-rigides son els hiperenllacos (hyperlinks) entrepagines.2 El creixement caotic del web es a cau-sa que cada usuari pot penjar tantes paginescom vulgui, escriure en l’idioma que esculli, so-bre el tema que prefereixi, i posar enllacos cap aqualsevol altra pagina que desitgi. Cada paginapot tenir des d’uns quants caracters fins a cen-tenars de milers. Tot aixo dona una topologia alweb que evoluciona i canvia drasticament d’undia a un altre. A mesura que la utilitzacio delweb es va estendre, es va fer palesa la neces-sitat de tenir procediments eficients de cercad’informacio en pagines web. Al comencamentaquesta cerca es feia dissenyant petites peces deprogramari que anaven aleatoriament de paginaen pagina cercant la informacio desitjada. Lamajoria de les pagines explorades esdevenieninutils, des del punt de vista de la cerca que esfeia, ja que no contenien cap informacio relle-vant. La gran aportacio de Kleinberg va ser do-

nar importancia a les connexions entre pagines,a mes dels seus continguts [2]. Kleinberg va in-troduir els conceptes de pagina autoritat i depagina distribuıdora (hub). Una pagina auto-ritat es una pagina web que conte informacioprecisa sobre un tema particular. Una paginadistribuıdora es una pagina web que te enllacoscap a moltes pagines autoritat, sobre un temadeterminat. Per exemple, si una persona cer-ca informacio sobre el teorema fonamental del’algebra, utilitzara un cercador tipus Yahoo,Google o similars, i el resultat de la cerca esuna pagina distribuıdora, amb adreces ordena-des per ordre de rellevancia de pagines autori-tat, com ara la Viquipedia, MathWorld i d’al-tres. Destaquem que una bona pagina auto-ritat es una pagina a la qual apunten molts hi-perenllacos des de pagines distribuıdores, men-tre que una bona pagina distribuıdora esaquella que apunta a moltes pagines autoritatque siguin utils. Aquesta idea de la classifica-cio de pagines d’acord amb les connexions entreelles es molt intuıtiva, pero a causa de la circu-laritat en les definicions de les pagines autori-tat i distribuıdores, la formulacio matematicaes complicada, i aquesta formulacio es impres-cindible per arribar a un metode algorısmic queal mateix temps identifiqui i avalui les paginesautoritat i distribuıdores. L’aportacio de Klein-berg va ser donar un marc formal a la relacioentre la importancia dels continguts de pagines,utilitzant les pagines distribuıdores i autoritat,i com a consequencia produir un algorisme ano-menat HITS (hypertext induced topic selecti-on) per ordenar les pagines per ordre de re-llevancia. Donat un tema de cerca, l’algorismeHITS funciona de la manera seguent: primerfa una avaluacio heurıstica sobre la qualitat decada pagina distribuıdora i de cada pagina au-toritat. A partir d’aquests primers valors apro-ximats, fa un proces iteratiu on a cada itera-cio alternativament refina l’ordenacio o de lespagines autoritat o de les pagines distribuıdo-res, utilitzant els valors obtinguts per millorarl’ordenacio de les pagines a la iteracio previa(vegeu [2, 6]). L’algorisme HITS es la base dela majoria dels cercadors de web que funcionenactualment.

L’altre tema de xarxes complexes on Klein-2De la mateixa manera, els nusos de la xarxa Internet son les maquines i els servidors, i les arestes (no dirigides

en aquest cas) son les connexions fısiques entre maquines.3El nom ha esdevingut tan conegut, que mantindre el nom angles.

58

berg te un paper molt important es el de lesxarxes small world.3

El 1967 S. Milgram va realitzar l’experimentd’enviar una seguit de cartes des de Nebraskaa Massachusetts, on la transmissio es feia viapersones conegudes que es passaven la carta di-rectament de ma en ma. Milgram va compro-var que, despres de com a maxim quatre o cincintermediaris, les cartes van arribar a la sevadestinacio. Va estendre l’experiment a altres ti-pus de xarxes socials, amb resultats semblants,i va concloure que en la majoria d’aquestes xar-xes el diametre per anar d’un nus a un altre escom a maxim sis. Milgram va anomenar aquestfenomen small world. Els anys noranta es vaobservar experimentalment que aquesta propi-etat small world es una caracterıstica intrınsecade les xarxes complexes, i en particular que ladistancia mitjana (com a graf dirigit) entre dosnusos del web es setze.4 El 1998 Watts i Stro-gatz van presentar un primer model molt sim-ple per explicar el fenomen small world. Pero vaser el model de Kleinberg el que va donar l’ex-plicacio mes acurada del fenomen small worlda les xarxes sociologiques [3, 4]. En una xarxasociologica els n nusos son persones, dues perso-nes estan relacionades (amistat, coautors, etc.)si estan connectades per una aresta, i el graude proximitat (veıns, treballen al mateix de-partament, viuen a la mateixa ciutat, etc.) es ladistancia a que esta situat un nus respecte del’altre. Al model original de Kleinberg el grafera un graella, on cada nus tenia connexionsamb els quatre veıns, i dos nusos u i v (no veıns)estaven connectats amb probabilitat d(u, v)−2,on d es la distancia entre ells. Kleinberg va de-mostrar que per aquesta xarxa hi ha un algo-risme, que pot portar una carta entre dues per-sones qualssevol a la xarxa, utilitzant com amaxim lg2(n) intermediaris. Pero el que es re-alment interessant es que tambe demostra quesi la probabilitat de connexio per a distanciesgrans ve donada per una distribucio d(u, v)−r

amb r 6= 2, aleshores no hi ha cap algorisme perpassar un missatge entre dues persones quals-sevol a la xarxa que ho faci en menys de Ω(nc)on c depen de la r que s’utilitza per a la pro-babilitat de tenir connexions llargues. Per tant,unicament amb la distribucio d(u, v)−2 podemassegurar l’efecte small world.

Es a dir, el resultat de Kleinberg ens diuque dues persones a una certa distancia d, seranamics amb una probabilitat d−2. El que semblames important d’aquest resultat es el fet ques’ha postulat una llei sobre la natura de les re-lacions humanes, i la seva descoberta ha estatpossible gracies al raonament algorısmic. Re-centment, Kleinberg ha impartit dues xerradesa Columbia i Berkeley on continua formulantnous resultats en el camp de la sociologia, ob-tinguts com aplicacio del metode algorısmic adiferents tipus de xarxes socials (vegeu [8] pera una petita ressenya de la xerrada a Colum-bia, i el bloc del 25/10/06 de Luca Trevisan,http://in-theory.blogspot.com/, per a una resse-nya sobre la xerrada de Kleinberg a Berkeley).Reproduint directament la frase final de la res-senya feta per Trevisan:Sovint he sentit dir que quan la biologia esde-vingui una ciencia dura amb un fort contingutde matematiques, la informatica teorica tindraun paper fonamental en el desenvolupament dela futura biologia teorica. El que no imaginavaes que la mateixa sociologia es transformaria enuna ciencia dura i la informatica teorica tindriaun paper clau en aquesta transformacio.

A les actes de l’ICM celebrat a Madrid hi haun article del mateix Kleinberg [5], on presen-ta una revisio molt ben feta dels seus resultatssobre small world i algunes consequencies.

A mes de les contribucions esmentades,Kleinberg ha treballat en un ampli ventall d’al-tres areas en el camp de l’informatica teorica:problemes de congestio i encaminament de pa-quets en xarxes, protocols de comunicacio enxarxes, mineria de dades, models evolutius,analisi de l’estructura de les proteınes, algoris-mes en lınia, etc. En total te mes de vuitantapublicacions, i recentment, en col.laboracio ambEva Tardos, tambe a la Universitat de Cornell,ha publicat un llibre de text sobre algorısmia,que dona una visio diferent de la que la restadels llibres de text fan [7].

Referencies

[1] Kleinberg, J. Approximation algorithms fordisjoint path problems. PhD in Computer Sci-ence, Massachusetts Institute of Technology(1996).

4Considerant el subgraf del web que es fortament connex, que correspon aproximadament a un 40 % del totaldel web.

59

[2] Kleinberg, J. Authoritative sources in a hy-perlinked environment. Journal of the ACM,46, (1999). Versio conferencia: SODA (1998).

[3] Kleinberg, J. The small-world phenomenon:Al algorithmic perspective. ACM Symposiumon Theory of Computing, 462–469, 2000.

[4] Kleinberg, J. Navigation in the SmallWorld. Nature, 406 (2000).

[5] Kleinberg, J. Complex networks and de-centralized search algorithms. Proceedings ofthe ICM (2006).

[6] Kleinberg, J.; Lawrence, S. The structu-re of the Web. Science, 294 (2001).

[7] Kleinberg, J.; Tardos, E. Algorithmdesign. 2a ed. Addison-Wesley, 2005.

[8] Lohr, S. Computing, 2016: What won’t bepossible? The New York Times (31 d’octubrede 2006).

[9] The Nevanlinna Prize Awarded. Notices ofthe AMS, 53 (9), (2006): 1045–1047.

J. DıazUPC

Premi Gauss 2006: Kiyosi Ito

El genial Kolmogorov deia que els matematicsde cada generacio tenien un camp molt petitper treballar, limitat, d’una banda, pels pro-blemes trivials que no tenien cap interes, i del’altra, pels problemes tan difıcils que eren im-possibles de resoldre amb les matematiquesdel seu temps. Pero caldria afegir que els ma-tematics genials —i, sense cap dubte, en Kol-mogorov ho era— son aquells que posen unpeu en l’impossible. Kiyosi Ito va posar un peuen l’impossible diverses vegades durant la se-va llarga vida professional i per aquest motiuha rebut un ampli reconeixement de la comu-nitat matematica. Se li han atorgat nombrosospremis entre els quals destaca el Premi Gaussconcedit al darrer Congres Internacional delsMatematics celebrat a Madrid el passat mesd’agost.

Ito va neixer a l’illa japonesa de Honsu el 7de setembre de 1915 i va estudiar la carrera dematematiques a la Facultat de Ciencies de laUniversitat Imperial de Toquio (1935-1938). Sitenim en compte la guerra entre el Japo i laXina de 1937 a 1945, la Segona Guerra Mun-dial, i els foscos anys de postguerra al Japo,hom pot imaginar que els seus primers anysde matematic varen ser forca difıcils. Entre elsanys 1938 i 1942 va treballar al Servei d’Es-tadıstica Governamental; segons explica (vegeu

[3]), el director del Servei li deixava forca tempsper estudiar, i l’any 1942 va publicar dos tre-balls fonamentals: en el primer [4], que va ser laseva tesi doctoral, dona una interpretacio pro-fundıssima dels processos amb increments in-dependents introduıts per P. Levy, a la llumde certs resultats de J. L. Doob. Cal dir queen aquells anys la teoria de la probabilitat totjust comencava a considerar-se com una partseriosa de la matematica, en lloc d’un recull deformules i trucs per al calcul de probabilitats, ique els processos estocastics estaven en la sevaprimera infancia. Molt pocs matematics japo-nesos estaven interessants en aquesta teoria, iIto, per compte propi, estudia a Levy, Kolmogo-rov, Doob i Feller. Si en el primer article s’apre-cia el nervi d’un matematic fora de serie, en elsegon ([5]) ja hi brilla la genialitat: posa els fo-naments de la integral estocastica i de la formu-la de canvi de variables (actualment anomenatsintegral i formula d’Ito), que despres comenta-rem. Aquests treballs varen tardar anys a ser es-tudiats amb l’atencio que mereixien: referint-seal segon article ([5]), Ito diu quan es va publi-car nomes el va llegir el meu amic Maruyama.Continuant amb la seva trajectoria professio-nal, el 1943 va ser nomenat professor ajudant ala Universitat de Nagoya, on va coincidir ambK. Yosida i tambe amb S. Kakutani, que haviaretornat a Osaka des de Princeton a causa dela guerra. L’any 1952 va ser nomenat professora la Universitat de Kyoto, de la qual es va jubi-lar el 1979. Durant aquells anys va estar tambea Princeton (1954-1956), Stanford (1961-1964),Aarhus (1966-1969) i Cornell (1969-1975); enaquestes visites va coincidir amb els millors pro-babilistes del moment: Chung, Doob, Dynkin,

60

Feller, el polifacetic Malliavin, McKean, Meyer,Neveu,. . . Diu que de tots ells va aprendre, peropodem afegir que segur que tambe tots varenaprendre d’ell. Despres de la seva jubilacio aKyoto, va ser professor a la Universitat Gakus-huin de 1979 a 1985.

Si es llegeixen els seus treballs recollits en[3] hom veu que Ito va anar sempre tant al da-vant com al darrere dels seus contemporanis: aldavant, obrint nous camins i atacant problemesal lımit de l’impossible, i al darrere, posant elpunt final a resultats dels altres. Potser de totsels treballs fonamentals d’Ito, els mes interes-sants d’explicar, ates el seu us en molts campsde coneixement, son els que tracten de la for-mula d’Ito i les equacions diferencials estocas-tiques.

Comencant pel principi, un proces estocas-tic es un model matematic d’un fenomen queevoluciona aleatoriament al llarg del temps; perexemple, una persona que passeja per una ciu-tat i que a cada cruılla elegeix si girar a la dretao a l’esquerra tirant una moneda; el movimentd’aquesta persona es pot estudiar mitjancantles lleis de l’atzar. Aixı, es pot calcular la pro-babilitat que despres d’un temps determinat es-tigui en un punt concret de la ciutat, el tempsmitja que tardara a arribar a un barri determi-nat, etc. La millor manera de mirar-se aquestrecorregut aleatori no es instant per instant (lapersona tirant la moneda a cada cruılla), sinoconsiderant el conjunt de tots els recorregutspossibles i definint-hi una probabilitat. Cadarecorregut possible s’anomena una trajectoriadel proces estocastic.

El proces estocastic que atrau l’interes d’Itoes un model del moviment brownia, que s’a-nomena proces de Wiener (o tambe, movimentbrownia, pero hi ha altres models del mateix fe-nomen, com ara el d’Ornstein-Uhlenbeck). Comes ben conegut, el moviment brownia, que nova ser descobert per Brown, es un movimentrapid i altament irregular que es pot observar,tal com Brown va fer cap a l’any 1820, mirantamb el microscopi partıcules de pol.len en aigua;al principi es creia que el moviment era degut alfet que les partıcules de pol.len estaven vives,pero Brown va comprovar tambe el movimenten partıcules inorganiques (per a tota aquestahistoria vegeu [6]). Durant la segona meitat delsegle xix molts cientıfics varen treballar sobreel moviment brownia i va comencar-se a forjar

l’explicacio actual que el moviment es a causadel bombardeig de les molecules del lıquid so-bre la partıcula de pol.len; pero tot era forcadifıcil d’expressar matematicament i de com-provar experimentalment: la gran dificultat ma-tematica era que la trajectoria semblava queno tenia tangent i, per tant, apareixen cor-bes contınues sense derivada en cap punt. Aquıcal citar L. Bachelier, que en un sorprenent lli-bre titulat Theorie de la speculation (1900) vaproposar un model per al moviment brownia ila seva utilitzacio en finances, avantcant-se se-tanta anys a la matematica financera que avuite tanta importancia; pero dissortadament vapassar desapercebut. El seguent pas fonamen-tal el va donar Einstein el 1905, el seu any ex-traordinari. En un magnıfic article [2] que teper objectiu trobar fets que garanteixin tantcom sigui possible l’existencia d’atoms de di-mensions finites determinades, Einstein, queno coneixia el moviment brownia, el va desco-brir teoricament i va explicar la seva naturale-sa, amb un raonament (alhora fısic i matematic)que esquiva la no-derivabilitat de la trajectoria.Alguns dels millors matematics de principis desegle xx, com ara Borel, Lebesgue o Levy tre-ballaven per donar forma matematica rigorosaa les conclusions d’Einstein sobre el movimentbrownia, pero va ser Norbert Wiener els anys1923-1925 qui ho va aconseguir, definint unaprobabilitat a l’espai de les funcions contınues;aquests van ser uns resultats extremadamentdifıcils i d’una importancia cabdal. De fet, ambWiener va comencar la formulacio matematicaactual del moviment brownia. Finalment, lespropietats mes fines varen ser descobertes perPaul Levy els anys 1930-1950.

Figura 1. Aproximacio a una trajectoriabrowniana.

La formulacio del proces de Wiener es, sen-se entrar gaire en detalls tecnics, la seguent: elprimer que es fa es separar el moviment de lapartıcula a l’espai en tres components indepen-

61

dents, una en cada direccio. Considerem aixıuna partıcula que es mou sobre un eix, i desig-nem per W (t) la posicio de la partıcula a l’ins-tant t. Suposem que a l’instant 0 esta a l’origen(W (0) = 0), i fem un grafic temps-espai perseguir el moviment de la partıcula. El dibuixno es pot fer, ja que, com hem dit, la corba note derivada en cap punt, pero una aproximacioseria com la de la figura 1.

Pero aquest grafic es d’una de les infinitespossibles trajectories de la partıcula, i, de fet,seria millor dir que hem representat la funcio

Wω : [0,T ] −→ Rt −→ Wω(t)

on la variable ω ∈ Ω es refereix al factor aleato-ri, al fet que representem una trajectoria esco-llida d’acord amb una probabilitat a Ω. El mo-del suposa que si prenem n instants del temps,0 ≤ t1 < · · · < tn, aleshores els incrementsW (t1),W (t2)−W (t1), . . . ,W (tn)−W (tn−1) sonindependents i que W (ti)−W (ti−1) es una va-riable normal de mitjana 0 i variancia ti− ti−1.Aixı, es pot calcular, per exemple, la probabili-tat que en determinat temps la partıcula estiguien determinada zona.

Per continuar amb la nostra explicacioens calen unes nocions sobre la integral deRiemann-Stieltjes d’una funcio respecte d’unaaltra (aquı comentarem una versio simplifica-da; per a la teoria general vegeu, per exem-ple, Apostol [1]). Siguin h, g : [0, T ] → R duesfuncions, h contınua i g de de variacio fitada(per exemple, una funcio monotona o una fun-cio amb derivada contınua en tots els punts).Aleshores es pot definir la integral

∫ T0 h(t) dg(t)

de la manera seguent:∫ T

0h(t) dg(t)=lim

∑i

h(si)(g(ti+1)−g(ti)

), (1)

on el lımit es pren sobre qualsevol successio departicions de [0, T ] de la forma 0 = t0 < · · · <tn = T , amb el pas tendint a zero, i si ∈[ti, ti+1]. Aquesta integral te practicament totesles propietats de la integral ordinaria de Rie-mann. De fet, quan g es diferenciable amb deri-vada contınua, la integral de Riemann-Stieltjeses redueix a una integral de Riemann,∫ T

0h(t) dg(t) =

∫ T

0h(t)g′(t) dt.

Un exemple que utilitzarem despres es elseguent: sigui g(t) contınua de variacio fitada,amb g(0) = 0. Llavors:∫ T

0g(t) dg(t) =

12(g(T ))2. (2)

Ens interessa una integral del tipus∫ T0 f(t) dWω(t), pero el plantejament anteri-

or (en general) no funciona ja que Wω(t) (ambω fixat) te variacio infinita. Wiener, pero, enla seva construccio de la probabilitat a l’espaide les funcions contınues, va necessitar aques-ta integral i la va definir mitjancant tecniquesde probabilitats, es a dir, no fixant la ω, sino(simplificant molt) utilitzant un lımit semblanta (1) pero en un sentit probabilıstic, concre-tament en mitjana quadratica; observem queel resultat de la integral es una variable ale-atoria en lloc d’un nombre. Ito defineix unaintegral similar on permet que l’integrant siguitambe un proces estocastic (amb certes restric-cions); concretament, defineix una integral dela forma

∫ T0 H(t) dW (t), on H(t) es un proces

estocastic. Aquesta integral es lineal, pero ja nosegueix totes les regles habituals. Per exemple,a diferencia de (2),∫ T

0W (t) dW (t) =

12

(W (T ))2 − 12

T, (3)

on el segon terme de la dreta apareix a cau-sa de l’extrema irregularitat de les trajectoriesbrownianes; tecnicament, les trajectories brow-nianes tenen variacio de primer ordre infinita,pero variacio de segon ordre finita, mentre queel calcul diferencial ordinari s’ocupa de funci-ons que tenen variacio primera finita i variaciode segon ordre zero.

Amb l’objectiu que aquesta integral siguiutil, Ito formula les regles de l’anomenat calculestocastic que, com hem comentat, seran dife-rents de les del calcul ordinari. Retornem per unmoment a les funcions reals ordinaries i siguing : [0, T ] → R una funcio contınua i estricta-ment monotona (llavors sera de variacio fitada)i f : R→R una funcio diferenciable amb deriva-da contınua. Aleshores una manera d’escriure laformula del canvi de variables (o la regla de lacadena) es

f(g(T )) = f(g(0)) +∫ T

0f ′(g(t)) dg(t).

62

Per exemple, per a f(x) = x2, la formula ante-rior dona(

g(T ))2 =

(g(0)

)2 + 2∫ T

0g(t) dg(t),

que quan g(0) = 0 coincideix amb (2). En el casaleatori aquesta formula no es correcta, pero Itodemostra que si f : R→R es dues vegades di-ferenciable, amb la segona derivada contınua,aleshores

f(W (T )) = f(0) +∫ T

0f ′(W (t)) dW (t)

+12

∫ T

0f ′′(W (t)) dt,

on, la primera integral es una integral d’Ito (es-tem integrant un proces estocastic) i la segonaapareix a causa de la variacio quadratica delbrownia. Aquesta es la famosa formula (o le-ma) d’Ito del canvi de variables. Aixı, per alcas f(x) = x2 tenim, d’acord amb (3),

(W (T ))2 = 2

∫ t

0W (t) dW (t) + T.

(Recordeu que W (0) = 0). Finalment, afegimque la integral d’Ito permet donar un sentit ri-goros a equacions diferencials de la forma

dX(t) = f(X(t))dt + g(X(t))dW (t),

on f i g son funcions conegudes i X(t) es elproces estocastic incognita. Informalment, auna equacio diferencial ordinaria li hem afegitun terme aleatori. Ito tambe es va ocupar d’a-questes equacions. Per a una introduccio a lesintegrals d’Ito i les equacions diferencials esto-castiques vegeu, per exemple, Oksendal [7].

Referencies

[1] Apostol, T. M. Analisis matematico. Barcelo-na: Editorial Reverte, 1960.

[2] Einstein, A. Uber die von der molekularki-netischen Theorie der Warme geforderte Bewe-gung von in ruhenden Flussigkeiten suspendier-ten Teilchen. Annalen der Physik, 17 (1905),549–560. Traduccio al catala a Einstein en ca-tala. Barcelona: Edicions de la Revista de Fısica,1998.

[3] Ito, K. Selected papers. Nova York: Springer,1987. D. W. Stroock i S. R. S. Varadhan [ed].

[4] Ito, K. On Stochastic Processes (infinitelydivisible laws of probability). [Japo], Journ.Math. xviii (1942), 261–301. Reproduıt a [3].

[5] Ito, K. Differential equations determininga Markov process. Journ. Pan-Japan Math.Coll., 1077 (1942). Reproduıt a [3].

[6] Nelson, E. Dynamical theories of Browni-an motion. Princeton, Nova Jersey: PrincentonUniversity Press, 1972.

[7] Oksendal, B, Stochastic differential equations.Springer, 1985.

Frederic UtzetUAB

Premi Abel 2006: Lennart Carleson

El passat 23 de maig a la Universitat d’Oslo, elprofessor Lennart Carleson, un dels matematicsmes influents del segle xx, va rebre el PremiAbel 2006 pels seus profunds resultats en analisiharmonica i en sistemes dinamics.

El Premi Abel de l’Academia de Ciencies iLletres de Noruega fou atorgat per primer copel 2003, en commemoracio del dos-cents aniver-sari del naixement de Niels Henrik Abel, famosmatematic d’aquesta nacionalitat, mort prema-turament a l’edat de vint-i-sis anys. Es conside-rat per molts com l’equivalent al Premi Nobelde Matematiques, encara que en aixo compe-teix amb un altre guardo de mes llarga historia(si be de menor quantia economica), la Meda-lla Fields.

Durant els anys seixanta, Carleson completael projecte iniciat mes de cent-cinquanta anysabans per un matematic frances contempora-ni d’Abel: Jean Baptiste Fourier. Fourier parti-cipa a les campanyes de Napoleo a Egipte, coma amic personal i conseller seu. La seva aporta-

63

cio principal a les matematiques fou el treballTheorie analytique de la chaleur.

Multitud de fenomens naturals, com ara l’e-volucio de la calor en una barra o les ones delso, poden ser descrits amb una grafica. Fouri-er afirma que tota grafica, per complicada quesembli, es pot descompondre en una suma d’o-nes elementals, anomenades sinus i cosinus. Sipensem en ones de so, cada sinus o cosinus re-presenta un so pur, com el d’un diapaso benafinat. Ja hi havia antecedents d’aquesta des-composicio en els treballs de matematics del se-gle xviii, per exemple Daniel Benouilli, pero lesaportacions de Fourier foren crucials per acla-rir el seu significat. L’afirmacio de Fourier podiaser interpretada en diversos sentits i fou temade debat entre els matematics del seu temps,precisament en un moment en que l’analisi ma-tematica passava per una fase de formalitzacio.Molts, entre ells Lagrange, s’hi oposaren inici-alment. El 1913 Lusin formula el problema d’u-na manera molt precisa: tota grafica contınua(en termes col.loquials que es possible dibui-xar amb un trac continu) es pot obtenir su-mant una serie infinita de grafiques d’ones ele-mentals. Durant anys, les investigacions sobreel tema no varen donar cap resultat concluent,i sı bastants indicis en contra. El 1966, Carle-son publica la seva solucio que, per sorpresa demolts, era afirmativa.

Per la seva extrema dificultat, la demostra-cio d’aquest resultat va romandre com una illadins l’analisi harmonica. Ha estat durant elsultims deu anys quan la resta de matematicshan comencat a entendre-la i a ser capacos d’u-sar les tecniques de Carleson en els seus propistreballs.

Els sistemes dinamics analitzen l’evolucio alllarg del temps de diversos fenomens, des de lesfluctuacions d’una poblacio, als mercats finan-cers o a fenomens meteorologics. En molts ca-sos, aquests fenomens tendeixen a una situacioespecial que rep el nom de atractor. Per exem-ple, un pendol en un medi amb friccio va per-dent amplitud en les seves oscil.lacions i tendeixa parar. Per contra, si afegim uns imans queatreguin el cap del pendol, la seva evolucio seracompletament diferent. Depenent de la posicioinicial des de la qual alliberem el pendol, aquestsera atret per un dels imans. Canviant lleugera-ment aquest punt inicial, podem fer que el seuatractor canvıi. Aixo es el que s’anomena un sis-

tema caotic. L’existencia de sistemes caotics foudescoberta pel meteoroleg Edward Lorenz, delMassachussets Institute of Technology (MIT),de qui es diu que, repetint una vegada una tas-ca del dia anterior, observa que els resultats esdesviaven enormement dels previs. Aquest es elconegut efecte papallona: el simple movimentde les ales d’una papallona a Pequın el marc potinfluir sobre els huracans de l’agost a l’Atlantic.Un dels mes famosos sistemes caotics fou pro-posat per l’astronom Henon. Se suposava queaquest sistema tenia un dels anomenats atrac-tors extranys, conjunts complicats d’estructurafractal, dels quals hi ha boniques representa-cions grafiques per ordinador, pero que no esconeixen en detall. Benedicks i Carleson prova-ren l’existencia d’aquest atractor, obrint el camıa l’estudi de sistemes dinamics d’aquest tipus.

El treball de Carleson abasta tambe altrescamps de l’analisi. Una de les seves fites en elcamp de l’analisi complexa es el teorema de lacorona. Aquest problema fa referencia a unaquestio establerta com a conjectura pel ma-tematic japones Kakutani a principis dels anysquaranta. Malgrat que no tenia res a veure ambl’astronomia, el teorema rebe el seu nom peranalogia amb la corona solar, l’anell de materiaincandescent que rodeja el Sol i que unicamentes pot observar quan hi ha un eclipsi total deSol. En aquest treball, Carleson definı les mesu-res, que ara es coneixen com a mesures de Car-leson, que han resultat ser fonamentals tant enaquesta area com en la d’analisi harmonica. Elseu treball amb Sjolin sobre multiplicadors deFourier, o el seu estudi del comportament de lessolucions de l’equacio de Scrodinger per a tempspetits (fonamental en la mecanica quantica)han tingut una influencia enorme en l’analisi.El segell d’un gran matematic es no solamentla seva capacitat per vencer un problema ques’ha resistit a les generacions previes, sinotambe la seva capacitat per crear les eines queusaran les futures generacions.

Carleson ha rebut altres guardons interna-cionals, com ara el Premi Leroy P. Steele de laSocietat Matematica Americana, el Premi Wolfen matematiques, la Medalla d’Or Lomonosovde l’Academia de Ciencies Russa, la MedallaSylvester de la Reial Societat Londinenca, ila Medalla Celsius de la Reial Societat Suecade Ciencies. Durant mes de quinze anys dirigıl’Institut Mittag-Leffler a Suecia, un dels cen-

64

tres d’investigacio en matematiques mes pres-tigiosos del mon. Fou president de la Unio Ma-tematica Internacional (IMU) i editor, durantmes de vint anys, d’Acta Matematica, sens dub-te una de les mes prestigioses revistes especialit-zada en matematiques. Actualment es professoremerit de la Universitat de California a Los An-geles (UCLA) i del Reial Institut de Tecnologia(KTH) d’Estocolm. A mes de ser un cientıficextraordinari, ha estat sempre preocupat peraltres aspectes de les matematiques, com ara

la divulgacio, la docencia i la interaccio entreciencia pura i aplicada. En el Congres Mundi-al dels Matematics, l’ICM 2006, celebrat aquestestiu passat a Madrid, participa a la taula rodo-na que clausurava el congres, i en la seva inter-vencio va assenyalar la importancia d’aquestsaspectes. Encara que Carleson ja havia visitatEspanya altres vegades, fou emocionant disfru-tar un cop mes de la senzillesa i la sensatesad’aquest gran geni.

Ana VargasUAM

Parlem de llibres

Fa uns mesos, quan vaig llegir La incognitaNewton, la vaig trobar prou interessant i to-talment adequada com a literatura de divul-gacio cientıfica —com si fos una novel.la. Und’aquests textos rars que poden tenir un papermolt important en l’apropament de la tasca ma-tematica i de la personalitat dels matematics ala societat culta —de fet, a la societat lectora,en general. Aquesta hipotesi —la importanciaque, en l’apropament del cientıfic en general idel matematic, en particular, i de la seva tascapot tenirr la novel.la— la vaig exposar i defensaren l’encontre Literatura i Matematiques queva tenir lloc a l’IEC, l’any 2000, en ocasio del’Any Mundial de les Matematiques.

Vaig parlar de la novel.la amb alguns com-panys del Departament de Probabilitat, Logicai Estadıstica de la Universitat de Barcelona, ila vaig recomenar, com fa Richard Montgomeryal final de la seva ressenya, com un entreteni-ment estiuenc, en moments de lleure, en els des-placaments en avio per assistir a congressos iencontres.

Per aixo quan l’amic i col.lega Josep MariaFont Llovet em va demanar si volia traduir pera la SCM/Notıcies de la Societat Catalana deMatematiques la ressenya que, Richard Mont-gomery havia fet d’aquesta novel.la al Noticesof the American Mathematical Society (volum53, numero 9, octubre 2006), no m’hi vaig podernegar.

I no solament per la rao suara esmentada,sino tambe, i d’una manera molt particular, perl’originalitat de la ressenya de la novel.la que faMontgomery, usant-la de pretext per apropar-nos al problema dels tres cossos i questions en-cara ara obertes. Es una ressenya molt adequa-da per als lectors del Notices of the AmericanMathematical Society i molt intel.ligent. Usa lanovel.la, ben allunyada de la recerca matemati-ca real, com un pretext per apropar-nos a al-guns dels problemes matematics que el pro-blema dels tres cossos ha suscitat, encara quenomes sigui de manera divulgadora, pero ambrigor. A mes, cap al final, conte una petitasorpresa: una felicitacio d’aniversari. Considerosincerament —tal com em va posar en relleu enJosep Maria— que omple de satisfaccio i d’or-gull a tots els que som membres del cos docenti investigador de la UB i, voldria creure, de totsels centres docents i de recerca matematica deCatalunya.

Jo ara, en particular, vull afegir-me a la fe-licitacio de Montgomery, encara que sigui ambretard. I ho vull fer perque en la meva vida per-sonal i professional ha estat un privilegi enormehaver-ne estat company d’estudis, a la Facul-tat de Matematiques durant els anys 1962-1967;haver coparticipat amb ell, l’homenatjat, junta-ment amb Pilar Bayer, Julia Cufı i Nadal Batle(1945-1997), a iniciar l’ensenyament de la ma-tematica a la UAB, anys 1968-1971, aleshores

65

un projecte de futur que el temps ha omplertde sentit, de competencia i de qualitat; haverimpartit matematiques ii, durant un parell otres d’anys a la Facultat de Fısiques de la UB;i, durant anys, i malgrat els estralls de la vida i

les diferencies en el mon real de la matematicaque ens separen, haver-ne pogut ser col.lega iamic.

De tot cor, doncs, m’uneixo a les felicitaci-ons de Richard Montgomery: felicitats, Carles!

The three body problem. A Cambridge misteryLa incognita Newton

Autor: Catherine ShawEditorial: Allyson & Busby, marc 2005.Traduccio castellana d’Hernan Sabate i Montserrat GurguıRoca Editorial de Libros, S. L. Barcelona, gener de 2006ISBN-13: 978-84-96525-52-8 ISBN-10: 84-96525-52-X

Disposem d’almenys tres llibres titulats Thethree body problem [7], [9], i el llibre del qualestem fent la ressenya.5 En el darrer, tres ma-tematics de Cambridge son assassinats amb po-ques setmanes de diferencia. Tots tres treballenen el problema dels tres cossos i viuen a Cam-bridge, Anglaterra, pels volts del 1880. L’heroı-na es una mestra d’escola amb interessos moltforts per les matematiques.

M’agrada la ciutat anglesa de Cambridge.M’agrada una bona historia de misteri (de de-tectius). A mes, he dedicat una decada a treba-llar alguns aspectes del problema dels tres cos-sos. Per totes aquestes raons vaig pensar queaquest llibre em plauria.

L’estil em va decebre. Shaw l’escriu com unreguitzell de cartes que l’heroına envia a la se-va germana. La primera dotzena de cartes, si fano fa, em van semblar fastigosament edulcora-des. Em vaig sentir empresonat en una habita-cio victoriana, recarregada de cortinatges, totaempaperada de roses, amb coixins amb pelussa,i nines de porcellana d’un valor molt discutible.Estava lligat a una otomana, i el segrestadorm’entatxonava la boca de crespells i pernil quem’impedien de poder cridar.

Tanmateix, pero, l’estil es el que es corres-pon amb l’epoca. Si passo per alt l’estil (quedubtosament pot agradar a ningu), el text eshistoricament acurat. El misteri que s’hi desen-volupa es entretingut. La ciutat anglesa de

Cambridge hi es descrita amb molta vivesa.La personalitat i la sociologia dels matematicsesta ben reflectida. Les psicologies que guienels comportaments d’alguns dels membres dela nostra nissaga s’hi veuen reflectides amb unaprecisio sorprenent. L’egoısme, l’ansia per la re-putacio, i l’arrogancia que trobem en els mem-bres de la nostra professio s’entrecreuen clara-ment, i representen un o dos dels nostres tretsmes admirables. En les pagines del llibre hi veigimatges de no pocs dels meus col.legues.

El mobil dels assassinats de la la novel.la esel Premi del Rei Oscar II, un prestigios premicompetitiu de matematiques que s’havia pro-posat l’any 1884. El rei de Noruega i SueciaOscar II l’havia dotat economicament. Mittag-Leffler (de la Universitat d’Estocolom) era l’en-carregat d’organitzar la competicio. Poincareguanya el premi el gener de l’any 1889, des-pres que els presumptament assassinats de lanovel.la tambe hi haguessin concursat.

La historia de la victoria de Poincare es,fins i tot, mes notable que la historia de fic-cio dels assassinats. Poincare guanya el pre-mi pel convenciment general que havia fet unavenc notable en la resolucio del problema.El seu treball, en forma de memoria, fou publi-cat a la revista Acta, una altra de les aventu-res conjuntes del rei Oscar II i Mittag-Leffler.Quan Phragmen repassava la memoria hi trobaun error molest. I quan Poincare s’endinsa en

5Val a dir que, en traduir-lo al castella, s’ha optat incomprensiblement pel tıtol La incognita Newton. El tıtol ori-ginal El problema dels tres cossos. Un misteri a Cambridge, com que es tracta d’una novel.la d’assassinats on morenprecisament tres matematics reputats, constitueix un joc de paraules que, per desgracia, l’encarregat de prendrela decisio del tıtol castella no ha copsat. O be, pitjor encara, creient que mantenir el tıtol original faria que el possiblelector —i, de retruc, possible comprador— s’espantes perque s’adones que es tractava d’un problema matematic i nod’una novel.la de misteri —quelcom molt poc probable— i se n’allunyes perdent-se una venda i un lector potencials.(Nota del traductor.)

66

l’analisi de l’error, aquest va creixer de mane-ra que el cor del seu treball es mostra pen-dent de ser desentrellat. Amb la finalitat d’as-solir la veritat que s’amagava darrere l’error,Poincare posa al descobert el que avui conei-xem com a caos en dinamica no lineal —enespecial en enreixats homoclınics. Ja s’havia,pero, editat i adhuc s’havia distribuıt un nom-bre limitat de copies de l’Acta. Tot i aixo s’in-tenta ocultar l’error. Pero finalment, mes d’unany mes tard, l’error fou corregit per Poin-care, i el manuscrit, ara ja correcte, fou publi-cat. Poincare invertı tot el cabal del premi iuna mica mes a sufragar les despeses d’aquestasegona edicio. De tot aixo, en traiem un en-senyament important: molt sovint els avencoses construeixen damunt d’errors molt seriosos!(Per a mes detalls d’aquesta historia consul-teu, en particular, el llibre [1]. Altres fontsson el web: www-groups.dcs.standrews.ac.uk/∼history/Biographies/Poincare.html i el llibre[3].)

Shaw fa una bona tasca quan descriu lahistoria i l’esperit del problema dels tres cossosdurant el temps del Premi del Rei Oscar II. Nousa gaires matematiques, pero aixo, en aquestcontext, es un encert. S’endinsa tanmateix, ambuna mica de deteniment i detall, en l’estatde l’educacio matematica i descriu un debathistoric sobre aquesta questio en el qual Cayleytingue un paper d’allo mes rellevant, un debatles idees basiques del qual sentim repetir unavegada i una altra fins als nostres dies.

Se m’ha fet pesat el temps dedicat a la pri-mera tercera part del llibre, pero, un cop su-perada, l’argument comenca a mostrar-me de

quina manera els personatges de la historia ana-ven prenent cos amb els seus defectes obsessius.Aleshores vaig comencar a relaxar-me i a disfru-tar de la novel.la. La meva esposa, amb moltames experiencia que jo com a lectora d’obres demisteri, rapidament va conjecturar el desenllac.El desenllac, pero, pren un gir molt inspirat.

Si encara estas llegint aquesta ressenya etconsidero una audiencia captiva i mirare d’anaruna mica mes enlla pel que fa al problema ma-tematic dels tres cossos. Quin es exactamentel problema? Barrow-Green [1] l’enuncia suc-cintament: Tres partıcules es mouen a l’espaisota l’accio de l’atraccio gravitacional que s’e-xerceixen mutuament. Donades les seves condi-cions inicials, determinar el seu moviment ulte-rior. Ara be, el treball de Poincare que guanyael Premi del Rei Oscar II implica que el pro-blema, enunciat en aquests termes, no te solu-cio. Aquesta situacio es similar a la de la de-mostracio de Galois de la irresolubilitat de laquıntica general. Normalment, les demostraci-ons d’irresolubilitat d’un problema no clouenla historia, ans al contrari, n’inicien una demolt mes amplia. La irresolubilitat del proble-ma dels tres cossos,6 a traves dels enreixats ho-moclınics, i les tecniques desenvolupades perPoincare precediren la teoria qualitativa delssistemes dinamics i, amb aquesta teoria, el pro-blema dels tres cossos es transforma de la nit aldia en un univers complet de problemes.

Fare un esbos de tres problemes obertsque s’aixopluguen sota l’ombrel.la del problemadels tres cossos. Fan referencia a la densitat, oubiquitat, de tipus diversos de solucions.

Probablement molts de nosaltres hem sentita parlar de la conjectura de Poincare referent ala topologia. Pero Poincare feu una altra con-jectura, molt menys coneguda, pero molt mesoberta. L’altra conjectura de Poincare afirmaque les orbites periodiques son topologicamentdenses: a ε d’una solucio i per a un interval detemps fitat, existeix una orbita periodica que faombra a la solucio donada, a ε, durant l’inter-val de temps donat. Aquesta altra conjecturade Poincare i la seva fe en la importancia deles orbites periodiques ha estimulat una quan-

6De fet, es tracta d’una no-integrabilitat del problema i no pas d’una irresolubilitat, ates que, donades les condi-cions inicials, el problema es resoluble. Heus acı una altra analogia amb la irresolubilitat de la quıntica que, d’acordamb el teorema fonamental de l’algebra, es resoluble —en el sentit que te solucio, pero la solucio no es expressableper radicals. Hi ha, doncs, una limitacio en la questio de la resolubilitat: on, com, amb quines eines, etc.? (Notadel traductor.)

67

titat enorme de recerca, inclosa la creacio del’homologia de Floer [4] per demostrar la con-jectura d’Arnol’d referent a les fites inferiorstopologiques del nombre d’orbites periodiques ials diversos i espectaculars contraexemples defluxos que no tenen orbites periodiques (vegeu[6] i [5]).

Com hem establert, aquesta conjectura dePoincare es falsa per al problema de tres cos-sos, pero per una rao facilment evitable. Diemque un moviment es fitat si la distancia entreels tres cossos es mante fitada com a funcio deltemps, i que es no fitat en altre cas. Les fun-cions periodiques son fitades. Pero hi ha con-junts oberts notables de solucions en els qualstots els moviments son no fitats. Naturalment,el problema dels tres cossos te dos invariants oconstants del moviment: l’energia i el momentangular (totals). A l’espai de fases, hi ha fun-cions analıtiques que son constants damunt detota corba solucio. Cada solucio amb energianul.la o positiva es no fitada. Per tant, estudi-ant aquesta conjectura de Poincare haurıem derestringir-nos a solucions amb energia negati-va. El camı estandard del que queda de l’al-tra conjectura de Poincare es que les solucionsperiodiques son denses en el conjunt de les so-lucions fitades.

El segon problema obert s’inicia realmentabans de l’altra conjectura de Poincare. Es certque suficientment a la vora de tota solucio fi-tada hi ha una solucio no fitada? En altres pa-raules, els moviments no fitats son densos i, enconsequencia, els moviments fitats son no den-sos arreu? Si la resposta fos que sı i el nostreunivers nomes estigues format pel Sol, la Terrai la Lluna movent-se d’acord amb les lleis deNewton en una orbita fitada, aleshores si sot-metessim la Lluna a una forca arbitrariamentpetita, un dels tres cossos podria ser enviat auna distancia infinitament allunyada dels al-tres dos. Michel Herman, a la conferencia delCongres Internacional de les Matematiques de1998 anomena aquesta questio el problema mesantic dels sistemes dinamics.

El tercer problema obert es especıfic del pro-blema pla dels tres cossos. Si excloem les col-lisions, aleshores l’espai de configuracio del pro-blema consta de tres copies del pla menys lescol.lisions i te el tipus d’homotopia d’una 2-es-

fera menys tres punts per una circumferencia.La circumferencia es genera quan fem girar demanera rıgida el triangle format pels tres cos-sos. Si, seguint les petjades de Poincare comes usual, ens interessem per les orbites que noson absolutament periodiques, sino que son pe-riodiques modul una rotacio rıgida, podem ome-tre el factor circumferencia. Ara estem buscantclasses lliures d’homotopia de corbes sobre la2-esfera menys tres punts. Aquestes classes soncodificades per la seva sequencia d’eclipses (osyzygy). Un eclipse es una configuracio coli-neal dels tres cossos. Els eclipses sense col.lisi-ons van en tres colors —1, 2, 3, depenent de lamassa que hi ha al mig de les altres duesen l’eclipse, com ara 1231212 . . . , que estableixla llista d’eclipses a mesura que ocorren. Ca-da sequencia d’eclipses es realitzada per algunasolucio? Si no, quines sequencies queden exclo-ses? El conjunt de sequencies d’eclipses que esrealitzen tenen densitat positiva en el conjuntde totes les sequencies d’eclipses possibles?

Tornant al segon i mes antic proble-ma, per que no podem donar la respostanumericament? No podrıem prendre un progra-ma numeric d’alta precisio, fer-lo correr durantmolt de temps i veure simplement si dona es-tabilitat o inestabilitat? Es a dir, basant-se enexperiments numerics d’aquest tipus, gairebetots els astrofısics en practica es decanten perno densos arreu;7 i. e., de l’escapament even-tual. Estadısticament, sembla que la majoria deles orbites no son fitades; vegeu, per exemple, elcapıtol 7 de [9]. Pero els esmentats experimentsnumerics, en cap cas, no porten a demostra-cions ni tampoc a arguments convincents delproblema mes antic de tots. La dificultat d’en-caminar els experiments cap a proves es trobaen el teorema de KAM (Kolmogorov-Arnol’d-Moser) i en la naturalesa de la difusio d’Ar-nol’d. En mecanica celeste, i generalment ensistemes hamiltonians, no hi ha gairebe mai so-lucions que siguin estables en el sentit que s’es-tableix en un primer curs de sistemes dinamicso d’equacions diferencials ordinaries. En comp-tes d’aixo, hem de conviure amb l’estabilitatKAMmolt mes feble. El teorema KAM afirmaque, si una orbita periodica es linealment esta-ble (el flux linealitzat sobre l’orbita es estable)i si se satisfa una condicio de torsio addici-

7Caldria aclarir si hem de dir per a tot no densos, no densos arreu, o no densos enlloc. (Nota deltraductor.)

68

onal (sobre derivades d’ordre superior del fluxal llarg de l’orbita), aleshores aquesta solucioesta envoltada per una famılia de tors invari-ants. Aquests tors son els famosos tors KAM. Elflux sobre cadascun dels tors es quasiperiodic, itots tenen la meitat de la dimensio de l’espai defases subjacent. Pero els tors no omplen del totl’espai de fases. Un entorn de l’orbita es home-omorf a Dn×Tn, on Dn es un n-disc i Tn es untor n-dimensional. L’enter 2n es la dimensio del’espai de fases i n s’anomena el nombre de grausde llibertat. Pero, en aquest entorn, els torsKAM constitueixen un subconjunt de la formaC×Tn ⊂ Dn×Tn, on C ⊂ Dn es un conjunt deCantor que es no dens arreu, pero de mesura po-sitiva. Si n = 2, aleshores els tors KAM forcenl’estabilitat ates que els tors KAM tenen dimen-sio dos i es troben en una varietat de dimensiotres d’energia constant. En aquest cas, els torsenvolten l’orbita original i aixı bloquegen topo-logicament l’escapament de solucions properes.Pero quan n > 2, no es presenta el bloqueigtopologic. Les solucions poden fugir pel vol-tant dels tors KAM. Aquesta fuita es la difu-sio d’Arnol’d. Si la resposta del problema mesantic fos sı, les orbites fitades son no densesarreu, aleshores la difusio d’Arnol’d entra enjoc. Per que no podem constatar numericamentla difusio d’Arnol’d? En primer lloc, la densi-tat dels tors KAM s’apropa a 1 a mesura queens apropem a l’orbita original. En segon lloc,les estimacions de Nekhoroshev garanteixenque el temps d’escapament per a qualsevolorbita de difusio d’Arnol’d es comporta comp(ε) = exp(−1/ε), on ε es la distancia de lacondicio inicial a l’orbita original.8 Aquest p(ε)es una funcio plana: es a dir, el seu desenvolupa-ment de Taylor es identicament nul. En termespractics aixo indica que l’escapament es extre-madamant lent: que la nostra Lluna en procesd’escapament es mogui un radi lunar lluny dela Terra pot esdevenir mes llarg que la historiade l’Univers.

Conjecturo que em van oferir el privilegide fer la ressenya d’aquest llibre per la nota depeu de pagina que clou la novel.la. La nota ensadreca a una pel.lıcula en Javaescript realitzadapel professor Charlie McDowell de la Universi-tat de California, Santa Cruz, on s’inclou unareferencia al meu article amb Alain Chenciner

sobre el problema dels tres cossos. Aquest tre-ball era el redescobriment i la demostracio rigo-rosa de l’existencia d’una orbita coneguda actu-alment com el vuit. Aquesta orbita fou primera-ment establerta numericament per Chris Moore[8] en un treball breu, molt bonic i refrescant.Alain Chenciner i jo [2] varem redescobrir elvuit de Moore i varem detallar les seves propie-tats de simetria i variacionals. Carles Simo vademostrar (numericament) que el vuit es es-table de tipus KAM. (Estic escrivint aquestaressenya durant el congres pel seixanta aniver-sari d’en Simo. Felicitats, Carles!)

Quan estudiava la llicenciatura estava con-vencut que mai no treballaria en el problemadels tres cossos. Molts dels mes prestigiosos ma-tematics, ja morts, que han precedit la nostrapromocio hi havien treballat. Com podia com-petir amb aquests vells prohoms? I, almenystan important com aixo, com podia treballaren una area en la qual molts dels experts mesreals ja ens havien deixat? No seria com treba-llar en una morgue? Pero vaig descobrir una co-munitat investigadora molt activa en mecanicaceleste matematica i una allau de problemesdifıcils que encara estaven vius. Aquest mis-teri d’assassinats m’ha retornat als vells dub-tes sobre el problema dels tres cossos i sobre lacultura competitiva que generalment hi ha en-tre matematics. Un cop superada l’empalagosadolcor de l’estil, em proporciona un trencaclos-ques molt bonic i bones sensacions del passat,l’epoca del premi, i de Cambridge.

Aquest llibre pot ser una lectura estiuen-ca molt agradable, si desitgeu trencar amb larecerca o amb les ressenyes, o un obsequi d’ani-versari o de Nadal per a un col.lega o un amicamb interes per les mates.

Referencies[1] Barrow-Green, J. Poincare and the three

body problem. Providence, RI: American Mathe-matical Society; (History of Mathematics; 11).Londres: London Mathematical Society, 1997.

[2] Chenicher, A.; Montgomery, R. A remar-cable periodic solution to the three-body pro-blem in the case of equal masses. Annals ofMathematics, 152(3), (2000), 881–901.

[3] Diacu, F.; Holmes, P. Celestial encounters.The origins of chaos and stability. Princeton,NJ: Princeton University Press, 1996.

8De fet, el text original conte un error, probablement, de notacio. L’expressio p(ε) del text indica la velocitatd’escapament. El temps d’escapament vindria indicat per l’invers de p(ε). (Nota del traductor.)

69

[4] Floer, A. Morse theory for fixed pointsof sympletic diffeomorphisms. Bulletin of theAmerican Mathematical Society , 16(2), (1987),279–282.

[5] Ginsburg, V; Gurel, B. Z. A C2-smoothcounterexample to the Hamiltonian Seifert con-jecture in R4. Annals of Mathematics, 158(3),(2003), 953–976.

[6] Kuperberg, K. Counterexamples to the Sei-fert conjecture. Proceedings of the Internatio-

nal Congress of Mathematicians. Vol. II. Berlın,1998.

[7] Marchal, C., The three-body problem. Amster-dam: Elsivier Science Publishers, B. V. Studiesin Astronautics, vol. 4, 1990.

[8] Moore, Ch. Braids in classical gravity.Phys. Rev. Lett , 70 (24), (1993), 3675–3679.

[9] Valtonen, M.; Karttunen, H. The three-body problem. Cambridge University Press,2006.

Traduccio de la ressenya per Josep Pla i Carrera: voldria agrair l’amabilitat de l’Antoni Benseny i de l’ErnestFontich (UB), que han llegit la traduccio, m’han indicat correccions d’estil que milloren sensiblement laclaredat expositiva, pero, molt mes important encara, han corregit alguns errors d’interpretacio que haviacomes i que desvirtuaven el rigor de les parts mes tecniques de la ressenya de Montgomery. Gracies, amics!

Josep Pla i CarreraUB

Webs de matematiques

El web de les corbes i superfıcies

Coneixeu el problema de la braquistocrona? Labraquistocrona es la trajectoria que ha de seguirun objecte amb pes i sense velocitat inicial peranar d’un punt a un altre, sense lliscar i sensefregament, amb l’unica influencia de la grave-tat, de manera que el temps que trigui a arribarsigui el mınim possible. A primer cop d’ull, uns’imagina que la trajectoria en questio ha de seruna lınia recta, pero un petit estudi el conven-cera que no es aixı: agafant una corba que siguimes vertical al comencament per tal que l’objec-te agafi velocitat mes rapidament, podem dis-minuir el temps invertit en el trajecte.

El problema de la braquistocrona va serplantejat per Newton el 1696, i diversos ma-tematics el van resoldre, entre ells els germansBernoulli, cosa que va originar una agra dis-puta entre ells. La corba en questio es un arcde cicloide i te la particularitat que per asso-lir el mınim temps possible d’un punt a l’altrela part final del trajecte es fa cap amunt. Laboleta, viatjant per sobre d’un arc de cicloide,agafa tanta velocitat que la inercia la porta alpunt desitjat, costa amunt, en el mınim tempspossible. De fet, si agafem la braquistocrona ila recta que uneix els dos punts, quan la bola

arriba a destı sobre la cicloide, la bola sobre larecta es gairebe a mig camı!

Per veure el dibuix comparatiu de la tra-jectoria del punt sobre la braquistocrona i so-bre el segment recte, us recomano que visiteul’Enciclopedia de les formes matematiques re-marcables a www.mathcurve.com. Aquı l’autor,Robert Ferreol, professor de matematiques alLiceu Carnot de Parıs, recull formes i formesd’objectes matematics remarcables, corbes pla-nes, corbes a l’espai, superfıcies, fractals, etc.

L’organitzacio dels objectes es, obviament,per categories, pero dintre de cada categoria lapodeu trobar o be alfabeticament pel seu nomhabitual, o be per la forma. Per exemple, lescorbes planes estan dividides en nou models, es-pirals, paraboles, catenaries, lemniscates, sinu-soides, etc. Es un plaer passejar per aquest web,i descobrir cada cop corbes i superfıcies desco-negudes, amb propietats increıbles! Per exem-ple, ja sabeu que es una estrofoide? I una pe-ritrocoide? I el paraigua de Whitney, amb unaequacio tan senzilla com x2z = y2? Que hi hade l’anticaustica? Tots aquests objectes i cen-tenars mes els podreu trobar a mathcurve.com,gracies a Robert Ferreol.

Josep BurilloUPC

70

Problemes

Una nova seccio de problemes per al nou SCM/Notıcies i, per comencar, el nostre agraıment altreball dels lectors que col.laboren amb enunciats i solucions. Moltes gracies!

Els dos primers problemes, A73 i A74, continuen mostrant que la quantitat de coses que espoden arribar a proposar sobre l’aparentment humil triangle deu ser certament infinita. . . El tercer,pero, es un bonic problema de probabilitats, proposat pel professor V. Diekert. Finalment, el quart,es el producte d’haver llegit malament un altre enunciat, i obtenir-ne un problema molt mes bonic(i difıcil) que el primitiu!

A l’apartat de solucions publiquem solucions a tres problemes, dues de les quals son de l’estu-diant (i olımpic) Xavier Ros, a qui agraım la seva feina i el seu interes. Les altres dues son de lamateixa redaccio.

Finalment, el professor Miguel Angel Acebo, de la URV, ens va fer notar una debilitat essenciala la solucio ja publicada del problema A68 que ens havia passat per alt i, per causa de la qual,demanem disculpes als nostres soferts lectors. Com a penitencia, hem elaborat una solucio d’aquestproblema, construıda a partir de les observacions que aquest professor ens va fer. I, naturalment,tambe li donem les gracies per la seva col.laboracio amb el rigor d’aquestes pagines.

Us recordem que el correu electronic per als enviaments es cromero@xtec.net i que si escriviu enels formats TEX o LaTEXens feu la feina mes agradable i senzilla.

Problemes proposats

A73. (Proposat per la redaccio.) Demostreuque, si a, b i c son els costats d’un triangle nodegenerat, aleshores

a2(b + c− a) + b2(a + c− b)

+ c2(a + b− c) ≤ 3abc .

A74. (Proposat per la redaccio.) Demostreuque un triangle 4ABC es rectangle si, i nomessi,

cosA

2cos

B

2cos

C

2− sin

A

2sin

B

2sin

C

2=

12

.

A75. (Proposat per V. Diekert.) En una presohi ha cent presos condemnats a mort, numeratsde l’1 al 100. El director de la preso els ofereixuna ultima possibilitat de salvar-se, que con-sisteix en aixo: fa cent paperets amb cadascundels numeros de l’1 al 100, i els col.loca aleato-riament dins dels cent calaixos (tambe nume-rats de l’1 al 100), un paperet a cada calaix,d’una calaixera que te al seu despatx. Men-trestant els presos son a les seves cel.les, total-ment incomunicats del mon exterior i entre ells.La prova consisteix en el fet que, per a cadai = 1, . . . , 100, seguira els cinc passos seguents:

1) Cridara el pres i al seu despatx, tot sol;2) li deixara obrir els cinquanta calaixos que ell

vulgui;

3) comprovara si un dels calaixos oberts conteel paperet amb el numero i;

4) els tornara a tancar tots; i

5) tornara el pres a la seva cel.la sense deixar-loparlar amb ningu.

La condicio que posa es que, si tots els pre-sos obren el calaix amb el seu propi numero,aleshores, tots se salven, pero, nomes que unpres falli, tots moren.

Un dels presos, que es matematic, de segui-da s’adona que el director de la preso els estaprenent el pel. Obrint cinquanta dels cent calai-xos a l’atzar, cada pres te probabilitat 1/2 d’en-certar el seu propi numero i, per tant, les proba-bilitats que tot el col.lectiu se salvi son 1/2100,que es com dir que ja estan morts abans decomencar la prova. Despres de pensar una mi-ca, fa una sol.licitud al director: Podria parlaruns minuts amb la resta de presos abans de co-mencar el proces?. El director (conscient que,de tota manera, 1/2100 es insignificantment pe-tit), accepta i li concedeix uns minuts.

Sabrieu dir en quina estrategia esta pensantel pres matematic, que aconsegueix augmentarfins a mes del 30 % (sı, heu llegit be, a mesde 0, 3!!) la probabilitat que tot el col.lectiu sesalvi?

71

A76. (Proposat per la redaccio.) Dues circum-ferencies C1 i C2, la primera de radi mes granque la segona, es tallen en els punts A i B. Larecta r1, una de les dues tangents comunes aambdues circunferencies, te els respectius puntsde tangencia a P i Q, mentre que l’altra tangent

comuna, r2, els te a R i S. Heu de demostrar queels ortocentres dels triangles 4APQ, 4BPQ,4ARS i 4BRS son els vertexs d’un rectangle iheu de determinar la posicio relativa dels puntsA i B respecte d’aquest rectangle.

Solucions

A67. (Proposat per la redaccio.) Trobeu el llocgeometric dels centres dels triangles equilatersinscrits a l’el.lipse

x2

a2+

y2

b2= 1

Solucio: (Solucio de la redaccio.) Siguin (m,n)les coordenades del centre del triangle, el qualtambe es el centre de la circumferencia circums-crita que talla l’el.lipse a quatre punts: els tresvertexs del triangle i un altre punt de l’el.lipse.Aquest punts son les solucions del sistema:

x2

a2+

y2

b2= 1

(x−m)2 + (y −m)2 = r2

En fer la substitucio

y = b

√1− x2

a2

obtenim l’equacio de quart grau(a2 − b2

)2x4 − 4a2m

(a2 − b2

)x3 + · · · = 0

i si x1, x2, x3 i x4 en son les arrels, aleshores

x1 + x2 + x3 + x4 =4a2m

(a2 − b2

)(a2 − b2)2

=4a2m

a2 − b2

Pero, si posem que x1, x2 i x3 son les abscissesdel centre del triangle, com que, a mes, n’es elbaricentre, resulta

x1 + x2 + x3 = 3m

i, per tant,

3m + x4 =4a2m

a2 − b2

o sigui,

x4 =4a2m

a2 − b2− 3m =

(a2 + 3b2

)m

a2 − b2

Un calcul del tot paral.lel dona

y4 =

(3a2 + b2

)n

b2 − a2

i com que el punt (x4, y4) es de l’el.lipse,((a2+3b2)m

a2−b2

)2

a2+

((3a2+b2)n

b2−a2

)2

b2= 1

que dona

m2(a(a2−b2)a2+3b2

)2 +n2(

b(b2−a2)3a2+b2

)2 = 1

que es una el.lipse.

A68. (D’una olimpıada brasilera.) Trobeu to-tes les solucions enteres i positives de l’equacio

(m + 1)n − 1 = m!

Solucio: (Solucio de la redaccio, a partir de lesobservacions de Miguel Angel Acebo, URV.) Si(m+1)n = 1+m!, es facil veure que m+1 ha deser primer perque, en el cas contrari, hi hauriaun primer, p, que dividiria a 1, cosa impossible.Amb m + 1 = 2, 3, 5 obtenim les solucions:

m = n = 1 m = 2 i n = 1 m = 4 i n = 2

Suposem ara que m > 4. Tenim:

m! = (m + 1)n − 1 =

=((m + 1)− 1

)((m + 1)n−1

+ (m + 1)n−2 + · · ·+ (m + 1) + 1)

=

= m((m + 1)n−1

+ (m + 1)n−2 + · · ·+ (m + 1) + 1)

o sigui,

(m−1)! = (m+1)n−1+(m+1)n−2+· · ·+(m+1)+1

72

i com que (m + 1)k ≡ 1 (mod m)

(m− 1)! ≡ n (mod m) (∗)

Com que el nombre m + 1 es primer i mes granque cinc, m ha de ser un nombre parell, o si-gui, compost, el qual, com a consequencia deser mes gran que 4, ha de ser un divisor de(m − 1)!. Aixo i la congruencia (∗) impliquenque m ha de dividir n i, per tant, que m ≤ n.Pero, aleshores,

(m + 1)n ≥ (m + 1)m > mm + 1 > m! + 1

que es una contradiccio. En consequencia, lesuniques solucions de l’equacio proposada sonles que s’obtenen de m = 1, 2, 4 ja descrites.

Aquesta resulta ser, doncs, una demostra-cio elemental d’un teorema de Liouville que diuque si p es un primer mes gran que 5, aleshores(p− 1)! + 1 no es l’n-essima potencia de p, pera cap nombre natural n.

A69. (Proposat a l’Olimpıada Matematica In-ternacional, Atenes, 12 de Juliol de 2004.) Eltriangle 4ABC es un triangle acutangle ambAB 6= AC. El cercle de diametre BC talla elscostats AB i AC respectivament en els punts Mi N . El punt O es el punt mitja del costat BC.Les bisectrius dels angles BAC i MON es tallenen el punt R. Cal demostrar que les circum-ferencies circumscrites als triangles 4BMR i4CNR tenen un punt comu al segment BC.

Solucio: (Solucio de Xavier Ros, estudiant ala FME de la UPC.) Siguin A = BAC, B =ABC i C = ACB. Com que OM = ON =OB = OC, els triangles 4OBM , 4OCN i4OMN son isosceles i OMB = B, ONC = Ci MON = 180−2A. A mes, OMN = ONM =A i OR talla perpendicularment MN del quales la mediatriu.

Si tenim en compte que OMB = B iOMN = A, aleshores AMN = C. D’altra ban-da, R es el punt de tall de la bisectriu de l’angleA amb la mediatriu de MN i, com que la bisec-triu de l’angle A talla l’arc MN de la circum-ferencia circumscrita al triangle 4AMN en elseu punt mitja, es clar que R es aquest punt,cosa que implica que AMRN es un quadrilatercıclic. Per tant,

NMR = NAR =A

2

es a dir,

RMO = NMO − NMR =A

2

iRMB = B +

A

2Sigui P el punt de tall de AR i BC. En el

triangle 4APB es compleix que

APB = RPB = 180 −(

B +A

2

)i

RMB = B +A

2i aixo implica que

RMB + RPB = 180

es a dir, que PRMB es un quadrilater cıclic.De la mateixa manera, PRNC tambe es

un quadrilater cıclic i, per tant, P esta sobreles circumferencies circumscrites als triangles4BMR i 4CNR i, per tant, les dues circum-ferencies es tallen sobre BC.

A70. (Proposat per Jose Luis Dıaz-Barrero,UPC.) Siguin A1, A2, . . . , An els vertexs d’unpolıgon convex i sigui M qualsevol punt interi-or al polıgon. Si M1,M2, . . . ,Mn son les projec-cions respectives del punt M sobre els costatsA1A2, A2A3, . . . , AnA1, proveu que(

n∑k=1

1

AkA2

k+1

)(n∑

k=1

AkM2

k

)≥ n2

4

amb el benentes que An+1 = A1.Solucio: (Solucio de Xavier Ros, estudiant a laFME de la UPC.) Com que

AkM2

k + MkM2 = MA

2k

iMk−1A

2k + MM

2k−1 = MA

2k

aleshores,

n∑k=1

AkM2

k =n∑

k=1

MkA2

k+1 (∗)

D’altra banda, si apliquem la desigualtat deCauchy, obtenim que(

n∑k=1

1

AkA2

k+1

)(n∑

k=1

AkM2

k

)≥

(n∑

k=1

AkMk

AkAk+1

)2

73

i, a mes, si fem servir (∗) i, novament, la desi-gualtat de Cauchy, obtenim:(

n∑k=1

1

AkA2

k+1

)(n∑

k=1

AkM2

k

)

=

(n∑

k=1

1

AkA2

k+1

)(n∑

k=1

MkA2

k+1

)

≥

(n∑

k=1

MkAk+1

AkAk+1

)2

Pero, com que

n∑k=1

AkMk

AkAk+1

+n∑

k=1

MkAk+1

AkAk+1

=n∑

k=1

AkAk+1

AkAk+1

= n

aleshores un dels dos sumands de l’esquerra hade ser mes gran o igual que n

2 i, per tant,

(n∑

k=1

1

AkA2

k+1

)(n∑

k=1

AkM2

k

)≥(n

2

)2=

n2

4

com volem demostrar.Observem que la igualtat es verifica si, i

nomes si, Mk es el punt mitja de AkAk+1 pertot k.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Tesis

• Merce Claverol Aguas va llegir la seva tesi, dirigida per Ferran HurtadoDıaz i Manuel Abellanas Oar, titulada Problemas geometricos en morfologıacomputacional, el dia 16 de novembre de 2004. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada IV de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Aquesta tesi es divideix en dues parts. La pri-mera part conte l’estudi de tres pesos o pro-funditats, associats a conjunts finits de puntsen el pla: el pes definit per les capes conve-xes, convex depth (introduıt per Hubert, 1972,i Barnett, 1976), la separabilitat lineal, tambeconeguda com location, halfspace o Tukey depth(Tukey, 1975) i el pes Delaunay. De la nocio depes, s’obte una estratificacio dels conjunts depunts en el pla en capes i una particio del pla enregions o nivells. Les fronteres dels nivells sonconegudes per depth contours. Es defineixen elsconceptes de capa i nivell en els tres pesos as-senyalats i s’estudien propietats i complexitats.Chazelle va obtenir un algorisme per calcularen temps optim les capes convexes, que coinci-deixen amb les fronteres dels nivells convexos.En aquesta tesi, per als pesos de separabilitatlineal i Delaunay, es proporcionen algorismesd’obtencio, tant de capes com de nivells, i de

calcul del pes d’un punt nou que s’incorpori alconjunt donat. De manera independent, han es-tat obtinguts pel pes de la separabilitat linealels algorismes de construccio dels nivells, loca-tion depth contours, i el de calcul del pes d’unpunt nou, per Miller et al. (2001).

Per als tres pesos mencionats, s’analitzenarbres generadors, poligonitzacions o triangula-cions, amb pes mınim, on el pes s’ha consideratcom la suma dels pesos de les arestes de tals es-tructures. S’obtenen propietats generals entornde la caracteritzacio d’aquestes estructures i al-gorismes d’obtencio per a alguna d’elles.

Es defineixen dos pesos relacionats amb laseparabilitat mitjancant cunyes: el pes segonsdominacio isotetica i la separabilitat α. Enambdos, es donen algorismes per al calcul delspesos dels punts d’un conjunt donat. La sepa-rabilitat α esta estretament relacionada ambl’enumeracio eficient de (α, k)-sets. Es realitza

74

un estudi combinatori del conjunt de (α, k)-setsper a conjunts de punts en el pla i es descriuenalgorismes de construccio de tots els (α, k)-setsen cadascun dels quatre casos possibles, segonssiguin, α o k, fixos o variables.

En la segona part, es tracten diversos pro-blemes de transversalitat. S’obtenen resultatssobre la caracteritzacio de les permutacions re-alitzables, tant com polıgons simples, com con-vexos, sobre arranjaments de rectes.

Per a col.leccions de segments en el pla, esdefineixen cunya i cercle transversals separa-dors. Es realitza una analisi de l’ordre d’aquestselements transversals separadors i s’obtenen di-versos algorismes de decisio d’existencia delsmateixos i construccio de tots ells. Per a col-leccions de cercles, tambe es defineix el cercletransversal separador i s’obte un algorisme d’e-xistencia i construccio d’aquests cercles quantots tenen el mateix radi.

• Gisela Pujol Vazquez va llegir la seva tesi, dirigida per Jose Rodellar i JosepMaria Rossell, titulada Contribucio al control fiable de sistemes interconnectatsamb incerteses, el dia 19 de novembre de 2004. La tesi correspon al Departamentde Matematica Aplicada III de la Universitat Politecnica de Catalunya.

En aquesta tesi, presentem una solucio per ados problemes rellevants en la teoria de control:el problema del cost quadratic garantit i el pro-blema del control H∞, per a un cert tipus desistemes. Considerem els sistemes interconnec-tats lineals amb incerteses, sota la presencia defallades en els actuadors, i dissenyem controlsdescentralitzats que, a mes a mes d’assegurarestabilitat, resolen aquests dos problemes. Tre-ballem amb tres models diferents d’incerteses:incerteses normades o acotades, incerteses defi-nides sobre un politop i incerteses que segueixenel model multiconvex. El model de fiabilitat em-prat permet plantejar-se tant una fallada totalen l’actuador com una fallada parcial. Els dosproblemes tractats son:

• Problema del control RGC. Sintetitzar elcontrol fiable sota fallada en els actuadors,que assegura estabilitat i garanteix un certgrau de rendiment o de cost, calculant unacota mınima per a la funcio de cost.

• Problema del control robust. Dissenyar elcontrol que assegura estabilitat interna sotapertorbacions en el sistema, i permet obteniruna cota per a la relacio entre la pertorbacio ila sortida controlable. Es considera la normaH∞ del sistema, que representa l’incrementmaxim en energia, entre l’entrada i la sortidadel sistema.

A l’hora de dissenyar ambdos controls, uti-litzem les tecniques donades per les inequacionslineals matricials (LMI), que permeten una facilimplamentacio numerica. Aixı doncs, a part de

tractar els problemes de la llei RGC i del con-trol robust, hem determinat una relacio generalentre inequacions matricials lineals i no line-als, que permet obtenir caracteritzacions LMIper a un gran ventall de problemes de teoriade control. Les LMI que hem obtingut sepa-ren les dades del problema i les variables dedisseny, i permeten una resolucio menys res-trictiva. En particular, faciliten l’us de funci-ons de Lyapunov parametriques que assegurenl’estabilitat del sistema quan una funcio no pa-rametrica no arriba a fer-ho. La formulacio permitja de les tecniques LMI ens ha permes obte-nir implamentacions numeriques efectives, aixıcom relaxacions en les condicions d’estabilitat.

En el cas del problema del control RGC,trobem que quan es consideren fallades en elsistema, el model d’incerteses es veu reduıt encerta manera, tambe perd llibertat en la defi-nicio de la funcio de cost. Un cop sintetitzatel control RGC, presentem dues maneres quepermeten obtenir una cota optima del cost ga-rantit, aixı com treure’n la dependencia respec-te de les condicions inicials. Hem dut a termeexemples numerics que mostren l’eficiencia delsmetodes enunciats, tractant els models d’incer-teses normat i politopic. Els resultats s’han ob-tingut usant el Toolbox LMI Control del pro-grama Matlab.

El segon problema que ens plantegem es eldel control estatic realimentat per l’estat, talque la norma H∞ del sistema es troba acotada.Aquest fet assegura que l’efecte de pertorbaci-ons en el sistema esta dins de marges desitjats.

75

A mes a mes, la sıntesi obtinguda es indepen-dent del model d’incerteses i, en el cas dels mo-dels normat i politopic, hem obtingut una ca-racteritzacio LMI. Tambe fem un breu estudi

del control robust realimentat per la sortida,obtenint una caracteritzacio en termes LMI, enel cas que no se suposin errors en la mesura dela sortida.

• Maria Teresa Grau Montana va llegir la seva tesi, dirigida per JavierChavarriga Soriano i Hector Giacomini, titulada Contribution to the qualitativestudy of planar differential systems, el dia 17 de desembre de 2004. La tesicorrespon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma deBarcelona.

La tesi versa sobre la teoria qualitativa delssistemes diferencials en el pla i cada capıtolconte un aspecte diferent. A la introduccio, esdona un resum dels resultats mes coneguts is’hi introdueix la notacio que es fa servir al llargde la tesi. En particular, s’hi estudia el proble-ma de la integrabilitat i alguns resultats sobrela determinacio de l’estabilitat d’un punt sin-gular o d’una orbita periodica a fi de presentarels darrers capıtols. El problema de la integra-bilitat es defineix com el problema de trobar laintegral primera d’un sistema d’equacions dife-rencials en el pla i determinar la classe funcionala la qual pertany. Els capıtols 2 i 3 tracten elproblema de la integrabilitat.

En el capıtol 2 es dona un resultat quepermet trobar una expressio explıcita per auna integral primera d’un cert tipus de sis-temes polinomials. Mitjancant un canvi racio-nal de variables, fem correspondre a una equa-cio diferencial lineal homogenia de segon ordre:A2(x)w′′(x) + A1(x)w′(x) + A0(x)w(x) = 0,els coeficients de la qual son polinomials, a unsistema diferencial polinomial pla. Provem queaquest sistema te un invariant per a cada solu-cio arbitraria no nul.la w(x) de l’edo de segonordre, que, quan w(x) es un polinomi, dona lloca una corba algebraica invariant. A mes, donemuna expressio explıcita per a una integral pri-mera del sistema construıda a partir de duessolucions independents de l’edo de segon ordre.Aquesta integral primera no es, en general, unafuncio Liouvilliana. Finalment, verifiquem quetots els exemples coneguts de famılies de siste-mes quadratics amb una corba algebraica inva-riant de grau arbitrariament alt es poden des-criure mitjancant aquesta construccio (modultransformacions biracionals).

En el capıtol 3, les corbes algebraiques in-variants d’un sistema diferencial polinomial platenen el paper fonamental. Si un sistema dife-

rencial polinomial pla te una corba algebraicainvariant irreductible, aleshores els valors delseu cofactor en cadascun dels punts singularsno degenerats estan determinats. De fet, aquestvalor es una combinacio lineal a coeficients na-turals dels valors propis associats al punt singu-lar no degenerat. Aquests coeficients naturalses poden determinar completament en algunscasos depenent de la natura del punt singular.Aixı mateix, els punts de l’infinit tambe es po-den tenir en compte. Un cop considerem el sis-tema en el pla projectiu complex, el grau d’unacorba algebraica invariant esdeve un parametredel seu cofactor. Si considerem un sistema degrau d, aleshores te d2 + d + 1 punts singulars(comptats amb la seva multiplicitat) i el cofac-tor d’una corba algebraica invariant te grau pelcap alt d − 1. Procedim de la manera seguent:prenem un polinomi de grau d− 1 amb els seusd(d+1)/2 coeficients arbitraris i suposem que esel cofactor d’una corba algebraica invariant ir-reductible de grau n. Aleshores, imposem totesles condicions que ens donen els punts singu-lars no degenerats. En el cas general, imposemd2 + d + 1 condicions i, aixı, podem determi-nar completament el cofactor i el grau de lacorba, l’existencia de la qual es pot determinarresolent un sistema d’equacions lineal, o trobemuna condicio d’incompatibilitat. D’aquesta ma-nera, en general, podem determinar l’existenciade totes les corbes algebraiques invariants d’unsistema.

El capıtol 4 tracta sobre l’estabilitat d’u-na orbita periodica d’un sistema diferencial pla.Suposem que f(x, y) = 0 es una corba invariantirreductible que conte l’orbita periodica. Pro-vem que les integrals sobre l’orbita periodica dela divergencia i del cofactor coincideixen. Aixı,podem decidir sobre l’estabilitat de l’orbita pe-riodica mitjancant la integracio del cofactor so-bre aquesta.

76

En el capıtol 5, donem una aplicacio dels re-sultats descrits en els capıtols 3 i 4. Consideremels sistemes quadratics amb un cicle lımit alge-braic coneguts fins al moment de la redacciod’aquesta tesi. Aquests cicles lımit algebraicsestan continguts en corbes algebraiques inva-riants de grau 2, 4, 5 i 6 i algunes d’aquestesfamılies de sistemes quadratics son biracional-ment equivalents. Aplicant el metode descrit enel capıtol 3, mostrem que la corba algebraicainvariant que conte el cicle lımit es l’unica cor-ba algebraica invariant del sistema. Aprofitemaquest resultat per provar que aquests sistemesno tenen integral primera Liouvilliana. I apli-cant la formula donada en el capıtol 4, provemque aquests cicles lımit algebraics son hiperbo-lics.

El capıtol 6 tracta sobre l’estudi i les propi-etats de la funcio perıode associada a un punt

singular amb part lineal de tipus centre-focus.Com que el punt singular es sempre monodr-omic, donada una seccio transversal al flux ambel punt singular com a extrem, podem definirl’aplicacio de Poincare i la funcio perıode as-sociades a la seccio. Diem que el punt es iso-cron si podem trobar una seccio tal que la sevafuncio perıode associada es constant. Aquestadefinicio generalitza la definicio usual donadaper centres a punts singulars qualssevol ambpart lineal de tipus centre-focus. Caracteritzemaquesta propietat mitjancant simetries de Liei formes normals, tot generalitzant els procedi-ments coneguts per centres. Aixı mateix, donemun exemple d’una famılia de sistemes depenentd’un parametre real, que el seu origen es unpunt singular amb part lineal de tipus centre-focus i que no es un punt isocron per cap valordel parametre.

• Gabriela Liliana Damilano Scarpinello va llegir la seva tesi, dirigida perPere Puig i Casado, titulada Modelos de localizacion y escala. Algunas conside-raciones teoricas y aplicaciones a pequenas muestras, el dia 14 de juliol de 2005.La tesi correspon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonomade Barcelona.

La tesi se centra principalment en l’estudi deles caracterıstiques i els procediments d’in-ferencia d’uns destacats representants de lesfamılies de grups de transformacions: els mo-dels de localitzacio i escala. D’una banda, escaracteritzen tots els models de localitzaciosimetrics per als quals una combinacio lineal dela mitjana i mediana mostrals es un estimadorasimptoticament eficient del parametre de loca-litzacio. El model resultant, a tres parametres,pot entendre’s com una distribucio normaltruncada simetritzada. Es presenten, a mes, dosmetodes alternatius per estimar els parametresque, per les seves propietats asimptotiques, re-sulten bons competidors dels estimadors demaxima versemblanca (EMV): un basat en lacurtosi empırica que es destaca per la sevasenzillesa de calcul i un algorisme iteratiuque pot implamentar-se facilment usant pro-gramari estandard que treballi amb la distri-bucio normal truncada simple. Tambe es realit-zen estudis basats en simulacions a fi de com-parar el comportament dels distints estimadorsquan la grandaria mostral es petita. Al esten-dre aquest resultat al cas particular de l’esti-

mador de Hodges-Lehmann, es caracteritza ladistribucio logıstica com l’unic model de lo-calitzacio simetric per al qual aquest estima-dor es asimptoticament eficient. D’altra ban-da, s’investiguen els procediments d’inferenciaen models de localitzacio i escala en presenciade censura de tipus i (time censored) i es de-mostra una condicio suficient per a la unici-tat de l’EMV. A mes, s’aplica l’estadıstic Z∗

de Barndorff-Nielsen, basat en l’aproximacioasimptotica d’ordre superior Saddlepoint, pera l’estimacio per intervals de la mitjana pobla-cional de la distribucio normal i el parametred’escala de la distribucio valor extrem (Log-Weibull); aixı mateix, i mitjancant simulaci-ons, s’estudia el seu comportament per a pe-tites mostres. En l’extensio al cas de dues mos-tres es considera la comparacio de mitjanes pera mostres aparellades i independents (proble-ma de Behrens-Fisher) i la comparacio delsparametres d’escala de dues distribucions va-lor extrem. Si be l’ambit de la investigacio esdesenvolupa dins de l’estadıstica matematica,tots els topics tractats s’il.lustren amb exemplesd’aplicacio a situacions practiques.

77

• Carles Noguera i Clofent va llegir la seva tesi, dirigida per Francesc Es-teva i Joan Gispert, titulada Estudi algebraic de les extensions axiomatiquesde logiques borroses basades en normes triangulars, el dia 11 de juliol de 2006.La tesi correspon al Departament de Probabilitat, Logica i Estadıstica de laUniversitat de Barcelona.

El fundador de la logica borrosa, Lotfi Zadeh,distingia el que anomenava Fuzzy Logic in nar-row sense com a aquella part de la logica bor-rosa que proposa i estudia sistemes logics pertal de formalitzar el raonament aproximat. Enaquests sistemes, normalment la connectiva deconjuncio forta s’ha interpretat semanticamentmitjancant una norma triangular (o t-norma,per mes brevetat), sovint contınua, mentre quela connectiva d’implicacio s’ha interpretat comel residu de la t-norma. En aquest sentit es diuque aquests sistemes de logica borrosa estan ba-sats en t-normes i els seus residus.

La condicio necessaria i suficient per tal queuna t-norma tingui residu es que sigui contınuaper l’esquerra. Tenint en compte aquest fet, iamb la intencio d’obtenir la logica borrosa ba-sada en t-normes mes basica, Esteva i Godovan introduir el sistema MTL, que efectivamentresulta esser complet respecte de la semanticadonada per totes les t-normes contınues per l’es-querra i llurs residus.

Aquesta tesi es un intent de descriure les ex-tensions axiomatiques de MTL, tot parant unaatencio especial a aquelles que al seu torn si-guin tambe basades en t-normes. Ho hem fet desd’un punt de vista algebraic que explota el fetque totes aquestes logiques son algebritzablesper varietats de MTL-algebres. Per tant, el nos-tre estudi de les extensions axiomatiques ha re-sultat ser, de fet, un estudi algebraic d’aquestesvarietats en que l’objectiu final seria una des-cripcio del reticle que configuren i de les sevespropietats mes rellevants. Malgrat que una des-cripcio aixı encara no s’ha assolit, sı que, tan-mateix, hem fet avencos significatius en aquestadireccio. Els podem classificar en dos grups: a)resultats que mostren la gran complexitat delreticle, i b) resultats que en descriuen algunesde les parts mes tractables. Amb mes precisio,els principals avencos son:

• A partir dels metodes de rotacio-anniquilacioper construir t-normes contınues per l’esquer-ra involutives, hem proposat una manera dedescompondre les MTL-cadenes i hem estu-diat alguns casos particulars de la descom-posicio. Aixo ens ha portat a desenvoluparuna teoria de MTL-algebres perfectes, localsi bipartides.

• Hem provat que les IMTL-algebres perfec-tes coincideixen (llevat d’isomorfisme) ambles rotacions inconnexes dels semihoops pre-lineals.

• Hem demostrat que el reticle de varietats ge-nerades per IMTL-algebres perfectes es iso-morf al reticle de totes les varietats de semi-hoops prelineals.

• S’ha demostrat un teorema de descomposiciode qualsevol MTL-cadena com a suma ordi-nal de semihoops totalment ordenats indes-composables.

• Hem estudiat una classe particular de MTL-cadenes indescomposables (les cadenes feble-ment cancel.latives) i les seves logiques asso-ciades.

• Hem estudiat les varietats de MTL-cadenesque compleixen una debilitacio de la llei decontraccio, la n-contraccio. Aquesta condiciogaranteix que se satisfa un teorema de la de-duccio global.

• Hem concentrat l’estudi en una subvarie-tat particular d’algebres 3-contractives, lesWNM-algebres.

• Finalment, hem estudiat les expansions deles logiques basades en t-normes quan s’afe-geixen al llenguatge constants per als valorsde veritat intermedis, i hem examinat quinsteoremes de completesa satisfan aquestes lo-giques.

78

Birkhäuser Customer Servicec/o SDCHaberstrasse 7D-69126 HeidelbergTel.: +49 / 6221 / 345 0 Fax: +49 / 6221 / 345 42 29e-mail: orders@birkhauser.ch

www.birkhauser.ch

Fellmann, E.A., Basel, Switzerland

Leonhard Euler

2007. 196 p. Hardcover€ 29.90 / CHF 49.90ISBN 978-3-7643-7538-6

Euler was not only by far the most productive mathematician in the history of mankind, but also one of the greatest scholars of all time. He attained, like only a few scholars, a degree of popularity and fame which may well be compared with that of Galilei, Newton, or Einstein. Moreover he was a cosmopolitan in the truest sense of the word; he lived during his first twenty years in Basel, was active altogether for more than thirty years in Petersburg and for a quarter of a century in Berlin. Leonhard Euler’s unusually rich life and broadly diversified activity in the immediate vicinity of important personalities which have made history, may well justify an exposition. This book is based in part on unpublished sources and comes right out of the current research on Euler. It is entirely free of formulae as it has been written for a broad audience with interests in the history of culture and science.

Heij, C., Erasmus University Rotterdam, The Netherlands / Ran, A. / van Schagen, F., both Vrije Universiteit Amsterdam, The Netherlands

Introduction to Mathematical Systems TheoryLinear Systems, Identification and Control

2007. VII, 166 p. With CD-ROM. Softcover€ 38.– / CHF 62.–ISBN 978-3-7643-7548-5

This book provides an introduction to the theory of linear systems and control for students in business mathematics, econometrics, computer science, and engineering. The focus is on discrete time systems, which are the most relevant in business applications, as opposed to continuous time systems, requiring less mathematical preliminaries. The subjects treated are among the central topics of deterministic linear system theory: controllability, observability, realization theory, stability and stabilization by feedback, LQ-optimal control theory. Kalman filtering and LQC-control of stochastic systems are also discussed, as are modeling, time series analysis and model specification, along with model validation. Exercises using MATLAB, presented on an accompanying CD, enhance the main concepts and techniques in the text.

Väth, M., Freie Universität Berlin, Germany

Nonstandard Analysis2007. VIII, 252 p. Hardcover€ 38.– / CHF 62.–ISBN 978-3-7643-7773-1

Nonstandard analysis was originally developed by Robinson to rigorously justify infinitesimals like df and dx in expressions like df/dx in Leibniz' calculus or even to justify concepts like δ-’functions'. However, the approach is much more general and was soon extended by Henson, Luxemburg and others to a useful tool especially in more advanced analysis, topology, and functional analysis. The book is an introduction with emphasis on those more advanced applications in analysis which are hardly accessible by other methods. Examples of such topics are a deeper analysis of certain functionals like Hahn-Banach limits or of finitely additive measures: From the viewpoint of classical analysis these are strange objects whose mere existence is even hard to prove. From the viewpoint of nonstandard analysis, these are rather 'explicit' objects. Formally, nonstandard analysis is an application of model theory in analysis. However, the reader of the book is not expected to have any background in model theory; instead knowledge of calculus is required and, although the book is rather self-contained, background in more advanced analysis or (elementary) topology is useful.

Knapp, A.W., State University of New York, Stony Brook, NY, USA

Basic Algebra2006. XXII, 717 p. 42 illus. Hardcover€ 58.– / CHF 92.–ISBN 978-0-8176-3248-9COR – Cornerstones

Basic Algebra and Advanced Algebra systematically develop concepts and tools in algebra that are vital to every mathematician, whether pure or applied, aspiring or established. Together, the two books give the reader a global view of algebra and its role in mathematics as a whole. The exposition proceeds from the particular to the general, often providing examples well before a theory that incorporates them. The presentation includes blocks of problems that introduce additional topics and applications to science and engineering to guide further study. Many examples and hundreds of problems are included, along with a separate 90-page section giving hints or complete solutions for most of the problems. Basic Algebra presents the subject matter in a forward-looking way that takes into account its historical development. It is suitable as a text in a two-semester advanced undergraduate or first-year graduate sequence in algebra, possibly supplemented by some material from Advanced Algebra at the graduate level. It requires of the reader only familiarity with matrix algebra, an understanding of the geometry and reduction of linear equations, and an acquaintance with proofs.

New Books

Materials MatemàticsRevista Electrònica de Divulgació MatemàticaEditada pel Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona

El Departament de Matemàtiques de la UAB té el plaer de presentar-vos la nova revista de divulgació matemàtica en format electrònic Materials Matemàtics. Aquesta publicació és dús lliure i es pot consultar a

http://www.mat.uab.cat/matmat

El seu objectiu és la difusió de les matemàtiques per mitjà de la publicació de treballs originals. Aquests articles van dirigits a un ventall ampli de lectors que pretén cobrir des dels joves interessats per les matemàtiques fins a matemàtics professionals.

Els treballs poden estar escrits en qualsevol dels idiomes usats de manera habitual en la comunitat matemàtica daquest país.

Us animem que participeu activament en aquest projecte i presenteu els vostres treballs. A la pàgina web de la revista hi trobareu tota la informació necessària.

Cordialment, els editors,

Armengol Gasull i Gregori Guasp

ARTICLES PUBLICATS AL VOLUM 2006:

Trigonometria esfèrica i hiperbòlica (J. Girbau)Probabilitats geomètriques. Geometria integral (A. Reventós)Imatges i matemàtiques (J. Bruna i J. Saludes) Matemàtiques i finances (F. Utzet) El floc de neu de von Koch (A. Teruel) El moviment dels planetes (R. Martínez)Blade Runner, el «factor humano» y la fórmula de Bayes (R. Delgado) Un model de dinàmica de poblacions per a lanèmia aplàstica (A. Calsina) Unes pinzellades dhistòria (F. Cedó) La recta de mínims quadrats (M. Farré) Democràcia: dels vots als escons (A. Alabert) Paraules i nombres (T. Guillamon) Genética y probabilidad: pruebas de paternidad y portadores de enfermedades.(R. Delgado) Relojes de sol (J. Girbau)De Pitàgores a Fermat: un viatge a través de laritmètica (X. Xarles)Una reflexió sobre el racó de lunivers on vivim i la seva relació amb un instant crucial de la història (J. Llibre)Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, dinámica de poblaciones y números primos (E. Liz)

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’Institut d’Estudis Catalans

Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona

c/e: scm@iec.cat Adreca web: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditacio*) Institucio

En reciprocitat. Soc soci de(Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM te acords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms:o Institucio

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio bancaria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de Ma-

tematiques a nom de

a la llibreta d’estalvi/el compte corrent/la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLes quotes per a l’any 2007 i 2008 son les seguents: 34 euros socis ordinaris, 17 euros socis estudiantsi membres de societats amb conveni de reciprocitat, 68 euros institucions, 20 euros EMS i 23,5 eurosRSME les dues ultimes pagant la quota a traves de la SCM.

*Cal adjuntar fotocopia del comprovant de la matrıcula.