UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA(UNI-Norte)

TEORIA DE CAMPO MAGNETICOFISICA II

CAMPO MAGNETICOMuchos historiadores de la ciencia creen que la brújula, la cual usa una aguja magnética, se utilizó en china por primera vez en el siglo XIII a.C., y que su invención es de origen árabe o hindú. Los antiguos griegos tenían conocimiento del magnetismo desde el año 800 a.C. Descubrieron que la magnetita (Fe3O4) atrae pedazos de hierro. La leyenda atribuye el nombre de magnetita al pastor Magnes, quién atraía trozos de magnetita con los clavos de sus zapatos y la punta de su báculo mientras apacentaba su rebaño.En 1269 un francés llamado Pierre de Maricourt trazó las direcciones que seguía una aguja colocada en diversos puntos sobre la superficie de un imán natural esférico. Encontró que las direcciones formaban líneas que encerraban en un círculo a la esfera y que pasaban por dos puntos diametralmente opuestos el uno del otro, a los cuales llamó polos del imán. Experimentos subsecuentes mostraron que todo imán, sin importar su forma, tiene dos polos, llamados polo norte y sur, los cuales ejercen fuerzas sobre otros polos magnéticos de manera análoga a las fuerzas que ejercen entre sí las cargas eléctricas. Es decir, polos iguales se repelen entre sí y polos diferentes se atraen uno al otro.Los polos recibieron sus nombres debido al comportamiento de un imán en la presencia del campo magnético de la Tierra. Si un imán de barra se suspende de su punto medio y puede balancearse libremente en n plano horizontal, girará hasta que su polo norte apunte al Polo Norte geográfico de la tierra y su polo sur apunte hacia el Polo Sur geográfico terrestre. (La misma idea se utiliza para construir una brújula simple.)

En 1600 William Gilbert (1540-1608) amplió los experimentos de Maricourt a una diversidad de materiales. A partir de que la aguja de una brújula se orienta en direcciones preferidas, sugirió que la propia Tierra es un imán permanente. En 1750 los investigadores emplearon una balanza de torsión para demostrar que los polos magnéticos ejercen fuerzas atractivas o repulsivas entre sí y que estas fuerzas varían con el cuadrado inverso de la distancia entre los polos que interactúan. Aunque loa fuerza entre dos polos es similar ala fuerza entre dos cargas eléctricas, existe una importante diferencia. Las cargas eléctricas pueden aislarse (lo que corroboran el electrón y el protón), en tanto que un polo magnético individual nunca se ha aislado. Es decir, los polos magnéticos siempre se encuentran en pares. Todos los intentos realizados hasta ahora para detectar un polo magnético han sido infructuosos. No importa cuantas veces se corte en dos un imán permanente, cada pedazo siempre tendrá un polo norte y un polo sur. (Hay algunos fundamentos teóricos para especular que los monopolos magnético-polos norte o sur aislados - talvez existan en la naturaleza, y los intentos para detectarlos en la actualidad conforman un activo campo de investigación experimental.)La relación entre magnetismo y electricidad fue descubierta en 1819 cuando, durante una conferencia demostrativa, el científico danés Hans Christian Oersted encontró que una corriente eléctrica en un alambre desviaba la aguja de una brújula cercana. Poco tiempo después, André Ampére (1775-1836) formuló leyes cuantitativas para calcular las leyes de la fuerza magnética ejercida sobre un conductor por otro conductor eléctrico que porta corriente. También sugirió que, a nivel atómico, las espiras de corriente eléctrica son responsables de todos los fenómenos magnéticos.

En la década de 1820 Faraday demostró conexiones adicionales entre la electricidad y el magnetismo, y lo mismo hizo Joseph Henry (1797-1878) por su lado. Los Dos demostraron que una corriente eléctrica puede producirse en un circuito, ya sea moviendo una imagen cerca del circuito o cambiando la corriente en otro circuito cercano. Estas

observaciones demostraron que un campo que cambia produce un campo eléctrico. Años después un trabajo teórico de Maxwell mostró que lo inverso también es cierto: un campo eléctrico variable origina un campo magnético.Una similitud entre los efectos eléctricos y magnéticos ha proporcionado métodos para elaborar imágenes permanentes. En el capítulo 23 se aprendió que cuando caucho y lana se frotan entre sí, ambos quedan cargados – uno positiva y el otro negativamente -. De modo análogo, un pedazo de hierro desmagnetizado puede desmagnetizarse golpeándolo con un imán. El magnetismo también se puede inducir en el hierro (y otros materiales) por otros medios. Por ejemplo si un pedazo de hierro desmagnetizado se coloca cerca de un imán intenso (sin tocarlo), conforme pase e tiempo el pedazo de hierro se magnetizará.Este capítulo examina las fuerzas que continúan en cargas móviles y en alambre que conducen corrientes en presencia de un campo magnético.

El campo magnético.

En el estudio de la electricidad la interacción entre objetos cargados se ha descrito en términos de campos eléctricos. Recuerde que un campo eléctrico rodea a cualquier carga eléctrica, estacionaria o en movimiento. Además de un campo eléctrico, la región del espacio que rodea una carga eléctrica móvil también contiene un campo magnético, como se verá en el capítulo 30. Un campo magnético rodea a cualquier sustancia magnética.

Históricamente el símbolo B se ha usado para representar un campo magnético, y esta es la noticia que se usa en este texto. La dirección del campo magnético B en cualquier ubicación está en la dirección hacia la cual apunta la aguja de una brújula en dicha ubicación. LA figura

29.1 muestra como trazar el campo magnético de un imán de barra con ayuda de una brújula. Advierta que las líneas de campo magnético afuera del imán apuntan alejándose de los polos nortes y acercándose a los

polos sur. Los patrones de campo magnético pueden visualizarse mediante pequeñas limaduras de hierro, como se muestra en la figura 29.2.

Se puede definir un campo magnético B en algún punto en el espacio en término de la fuerza magnética FB que el campo ejerce sobre un objeto de prueba, que en este caso una partícula cargada que se mueve a una velocidad v. Por ahora, supongo que no hay campo eléctrico o gravitacional en la región del objeto de prueba. Los experimentos acerca de movimiento de diversas partículas cargadas en un campo magnético dan los siguientes resultados:La magnitud FB de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es proporcional a la carga q y a la rapidez v de la partícula

FIGURA 29.1Campas que puede ser usado para trazar líneas de campo magnético de una barra magnética.

Figura 29.2 a) patrón de campo magnético que rodea a un imán de barra como se ve con limaduras de hierro. b) patrón de casco magnético entre pueblos distintos de los imanes de barra. c) patrón de campo magnético entre pueblos iguales de los imanes de barra. (Henry Leap y Jim Lehman)

la magnitud y dirección de depende la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo magnético B.

cuando una partícula cargada se mueve paralela al vector del campo magnético, la fuerza magnética que actúa sobre la partícula es cero.

Cuando el vector velocidad de la partícula forma un ángulo 0 con el campo magnético, la fuerza magnética actúa en dirección perpendicular tanto a v como a B; es decir, es perpendicular al plano formado por v y B (figura 29. 3a).

Figura 29.3 la dirección de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada que se mueve a velocidad v ante la presencia de un cuerpo magnético B. A) la fuerza magnética es perpendicular tanto a v como a B. B) la fuerza magnética ejercida sobre dos partículas cargadas opuestamente y que se mueve a la misma

velocidad en un cuerpo magnético están dirigidas de manera opuesta.

El arco blanquiazul en esta fotografía indica la trayectoria circular seguida por un haz de luz de electrones que se mueve en un campo magnético. El matraz contiene gas a muy baja presión, y el haz se hace visible conforme los electrones chocan con los átomos del gas, el cual emite la luz visible. El campo magnético es producido por las dos bobinas (no mostradas). El aparato se puede usar para medir la relacióne /me para el electrón. (Cortesía de central Cientific Company)

la fuerza magnética ejercida sobre una carga positiva está en la dirección opuesta a la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección (figura 29. 3b)

la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula en movimiento es proporcional a sen donde es el ángulo que el vector velocidad de la partícula la forma con la dirección de B.

Estas observaciones pueden resumirse escribiendo la fuerza magnética en la formaFB=qv x B (29.1)

Donde la dirección de FBesta era dirección de V x B si q es positiva, la cual, por definición del producto plus (véase la sección 11. 2), es perpendicular tanto a v como a B. Se puede considerar esta ecuación como una definición operacional del campo magnético en algún punto en el espacio. Esto vez, el campo magnético se define en términos de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada móvil.La figura 29. Cuatro repasa la regla de la mano derecha para determinar la dirección del producto cruz V x B. Usted dirige los cuatro dedos de su mano derecha a lo largo de la dirección de v con la palma vuelta hacia B y luego la gira hacia B. El pulgar extendido, que está en el ángulo recto con los dedos, apunta entonces en la dirección de v x B. Puesto que FB=qv x B está en la dirección de v x B si q es positiva.

Figura 29. 4 la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética = qv B que actúa sobre una partícula con carga q moviéndose a velocidad v en un campo magnético b. La dirección de V x B es la dirección en la cual apunta el pulgar. A) si q es positiva,

está hacia arriba.b) si q es negativa está hacia abajo, anti paralela a la

dirección en la cual apunta el pulgar.

Figura 29.4a), y opuesta a la dirección de v x s si q es negativa (figura 29.4b). (Si necesita más ayuda para entender el producto cruz, debería revisar las páginas 333 a 334, incluyendo la figura 11.8.)

La magnitud de la fuerza magnética esFB=|q|vBsenθ (29.2)

Donde θ es el ángulo más pequeño entre v y B. A partir de esta expresión se ve que F es cero cuando v es paralela o anti paralela a B

(θ = 0 o 180°) y (FBmaxima=|q|vB ) cuando v es perpendicular a B (θ= 90°).

¿Cuál es el máximo trabajo que puede realizar un campo magnético constante B sobre una carga q que se mueve a través del campo a velocidad v?

Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctrica y

magnética:

La fuerza eléctrica actúa en la dirección del campo eléctrico, en tanto que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético.

La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de si la partícula está en movimiento, mientras que la fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada sólo cuando la partícula está en movimiento.

La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en tanto que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no trabaja cuando se desplaza tina partícula.

A partir de esta última propiedad, y sobre la base del teorema del trabajo y la energía cinética, se concluye que la energía cinética de una partícula cargada que se mueve a través de un campo magnético no puede ser alterada por un campo magnético aislado. En otras palabras,

Cuando una partícula cargada se mueve a una velocidad v a través de un campo magnético, el campo puede alterar la dirección del vector velocidad pero no puede cambiar la rapidez o la energía cinética de la partícula.

A partir de la ecuación 29.2 se ve que la unidad del SI del campo

magnético es

El newton por coulomb-metro por segundo, el cual se llama tesla (T):

1T= NCm /s

Puesto que un coulomb por segundo se define como un ampere, se ve

que

1T=1 NA .m

Una unidad del campo magnético que no es del SI pero se usa con frecuencia es el gauss (G), el cual se relaciona con el tesla por medio de la conversión 1 T= 104G. La tabla 29.1 muestra algunos valores típicos de campos magnéticos.

El extremo polo norte de un imán de barra se sostiene cerca de una pieza de plástico cargada positivamente. ¿El plástico es atraído, repelido o no es afectado por el imán?

Campas magnéticoAlgunas magnitudes aproximadas de campo magnético

Fuente del campo Magnitud del campo (T)

Imán de laboratorio de superconducción intensa 30 imán de laboratorio intenso 2Unidad médica de IRM 1.5imán de barra 10 -2

Superficie del Sol 10-2

Superficie de la Tierra 0.5 x 10-4

Interior del cerebro humano (debido a impulsos nerviosos) 10-13

EJEMPLO 29.1 Un electrón que se muere en un campo magnética.

Un electrón en un cinescopio de televisión se mueve hacia elFrente del tubo con una rapidez de 8.0 x 10-6 m/s a lo largo del eje x (Fig. 29.5). Rodeando el cuello del tubo existen bobinas de alambre que crean un campo magnético de 0.025 T de magnitud, dirigido a un ángulo de 60° con el eje x y que se encuentra en el plano xy), Calcule, la fuerza magnética sobre el electrón y la aceleración del mismo.

Solución Usando la ecuación 29.2 se puede encontrar la magnitud de la fuerza magnética:FB=|q|vBsenθ = (1.6 x 10-19 C) (8.0 x 106 m/s) (0.025 T) (sen 60°)= 2.8 x 10-14 N

Ya que v x B está en la dirección z positiva (regla de la mano derecha) y la carga es negativa, FBestá en la dirección z negativa.

La masa del electrón es 9.11 x 10-31 kg, por lo que su aceleración es en la dirección z negativa.

Figura 29.5 La fuerza magnética FBque actúa sobre el electrón esta en la dirección z negativa cuando v y B están en el plano xy.

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA CORRIENTESi se ejerce una fuerza magnética sobre una partícula cargada aislada cuando ésta se mueve a través de un campo magnético, no debería sorprenderle que un alambre que conduce una corriente experimente también una fuerza cuando se pone en un campo magnético. Esto es resultado de que la corriente representa una colección de muchas partículas cargadas en movimiento; por tanto, la fuerza resultante ejercida, por el campo sobre el alambre es el vector suma de las fuerzas individuales ejercidas sobre todas las partículas cargadas que forman la corriente.. La fuerza ejercida sobre las partículas se transmite al

alambre, las partículas chocan con los átomos que forman el alambre.

Antes de continuar con el análisis vale la pena explicar la notación empleada en este texto. Para indicar la dirección de B en las ilustraciones, en ocasiones se presentarán vistas en perspectiva, como las que se muestran en las figuras 29.5, 29.6a y 29.7. En las ilustraciones planas, como las mostradas en la figura 29.6b a d, se describe un.

Figura 29.6 a) Un alambre suspendido verticalmente entre los polos de un imán. b) La configuración mostrada en la parte a) como se ve mirando hacia el polo sur del imán, de modo que el campo magnético (cruces azules) esta dirigido hacia la pagina. Cuando no hay corriente en el alambre, permanece vertical c) Cuando la corriente es hacia arriba, el alambre se desvía hacia la izquierda d) Cuando la corriente es hacia abajo, el alambre se desvía hacia la derecha.

Campo magnético dirigido hacia la página con cruces azules, las cuales representan las colas de las flechas disparadas perpendicularmente y alejándose de usted. En este caso el campo se llama, donde el sud índice “in” indica “interior de de la página”. Si B es perpendicular y dirigido hacia afuera de la página, se usa una serie de puntos azules, los cuales representan los puntos de las flechas que vienen hacia usted (Véase en la fig. P29.56) En este caso el campo magnético se llama Bout. Si B está en el plano de la página, se usa une serie de líneas azules con puntas de flecha, como se muestra en la figura 29.7.

Fig. 92.7 segmento de un alambre que conduce corriente, ubicado en un campo magnético B. La fuerza magnética ejercida sobre cada caga que conforma la corriente qvd×B, y la fuerza neta sobre el segmento de longitud L es IL× B.La fuerza sobre un conductor que lleva corriente pueden demostrarse sosteniendo entre los polos de un imán, como se muestra en la figura 29.6a. Para facilitar la visualización se ha removido parte del imán de la herradura en la parta a) de modo que se vea la cara extrema del polo sur en las pates b), c) y d) de la figura 29.6 El campo magnético esta dirigido hacia adentro de la página y cubre la región interna de los círculos sombreados, cuando la corriente en el alambre es cero, el alambre permanece vertical, como se muestra en la fig.29.6b. Sin embargo, cuándo muna corriente dirigida hacia arriba fluye en el alambre, come se muestra en la figura 29.6c, el alambre se desvía hacia la izquierda. Si se invierte la corriente, como se ve en la figura 29.6d, el alambre se desviad hacia la derecha.Cuantifique este análisis considerando un segmento de alambre recto de longitud L y área de sección trasversal A, que conduce una corriente I, en un campo magnético B, como se muestra en la figura 29.7. L a fuerza magnética ejercida sobre una carga q que se mueve a una velocidad de arrastre V d es qvd×B. Para determinar la fuerza total que actúa sobre el alambre multiplique la fuerza que se ejerce sobre una carga qvd×B. Por el número de cargas en el segmento. Puesto que el volumen del segmento AL, el numero de cargas en el segmento nAL, donde n es el numero de cargas por unidad de volumen. Por tanto, la fuerza magnética total sobre el alambre de longitud L es

FB=(qvd×B )nAL

Esta expresión puede escribirse en una forma más conveniente observando que, de acuerdo con la ecuación 27.4, la corriente en el alambre es I=nqud A . por tanto,

FB=IL×BDonde L es un vector que apunta en la dirección de la corriente I y tiene una magnitud igual a la longitud L del segmento. Observe que esta expresión se aplica solo a un segmento de alambre recto de un campo magnético uniforme.

Considere ahora un segmento de alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme en un campo magnético, como se muestra en la figura 29.8. Donde la ecuación 29.3 se deduce que la fuerza magnética sobre un pequeño segmento de vector de longitud ds en presencia de un campo magnético B es

dFB=Lds×B

Fig. 29.8 Un segmento de alambre de forma arbitraria que conduce una corriente I en un campo magnético B experimenta una fuerza magnética. La fuerza sobre cualquier segmento ds es I ×B y esta dirigida hacia afuera de la pagina. Usted debe emplear la regla de la mano derecha para confirmar la dirección de esta fuerza.

Donde dFBesta dirigida hacia afuera de la pagina para las direcciones supuestas en la Fig. 29.8. Se puede considerar la ecuación 29.4 como una definición alternativa de B. Esto es, el campo magnético B puede definirse en términos de una fuerza mensurable ejercida sobre un elemento de corriente, donde la fuerza es un máximo cuando B es perpendicular al elemento y cero cuando B es paralela al elemento. Para calcular la fuerza total FBque actúa sobre el alambre mostrado en la figura 29.8 integre la ecuación 29.4 sobre la longitud del alambre:

FB=I∫a

b

ds×B

Donde a y b representan los puntos extremos del alambre, cuando se realiza una integración, la longitud del campo magnético y la dirección que el campo forma con el vector ds (en palabras con, con la orientación del elemento) puede deferir en diferentes puntos.Considere a continuación dos casos que involucran la ecuación 29.5 en ambos casos el campo magnético se considera constante en magnitud y dirección.

Caso 1 Un alambre curvo conduce una corriente I y esta ubicado en un campo magnético uniforme B, como se muestra en la fig.29.9ª. Puesto que el campo es uniforme, B puede sacarse de la integral en la ecuación 29.5 y se obtiene

FB=I (∫a

b

ds)×B

Fig. 29.9 a) Un alambre curvo que conduce una corriente I en un campo magnético uniforme. La fuerza magnético total que actual sobre el alambre es equivalente a la fuerza sobre el alambre recto de longitud L teniendo entre los extremos del alambre curvo. b) Una espirad de forma arbitraria que conduce corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza magnética neta sobre la espira es cero.

Pero la cantidad ∫a

b

dsrepresenta el vector suma de todos los elementos de

longitud de a a b. Partir de la ley de la duma es igual al vector Lı , dirigido de a a b. Por tanto, la ecuación 29.6 se reduce a

FB=I Lı x BCaso 2 Una espira cerrada de forma arbitraria que se reduce una corriente I se coloca en un campo magnético uniforme, como se ve en la figura 29.9b. También en este caso se puede expresar la fuerza que actúa sobre sobre la espiral en la forma de la ecuación 29.6 pero en esta ocasión se debe tomar la suma vectorial de los elementos ds sobre toda la espira:

FB=I [∮ds ]x BPuesto que el conjunto de elementos de longitud forma un polígono cerrado, la suma vectorial debe ser cero. Esto se desprende de el

procedimiento grafico de la suma de vectores por medio del método del polígono. Puesto que ∮ds=0, se concluye que FB=0:

La fuerza magnética neta que actúa sobre cualquier espiral de corriente serrada en un campo magnético.

EJEMPLO 29.2 Fuerza sobre un conductor semicircular

Un alambre doblado en forma de un semicírculo de radio R forma un circuito cerrado y conduce una corriente I. El alambre se encuentra en el plano XY, y un campo magnético uniforme esta presente a lo largo del eje Y positivo, como se muestra en la figura 29.10encuentre la magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa sobre la porción recta del alambre y sobre la porción curva.

Solución: La fuerza F1 que actúa sobre la porción recta del alambre tiene una magnitud F1=ILB=2 IRB, puesto que L=2 R , y el alambre es perpendicularmente a B. La dirección de F1 es hacia afuera de la pagina, pues LxB esta a lo largo del eje Z positivo (esto es, L esta hacia la derecha en la dirección de la corriente; por lo que, de acuerdo con la regla de los producto cruz, LxB es hacia fuera de la pagina figura 29.10).

Para encontrar la fuerza F2 que actúa sobre la curva debe escribir primero una expresión para la fuerza dF2 sobre el elemento de longitud dS mostrado en la figura 29.10. Si θes el ángulo entre B y dS, entonces la magnitud de dF2 es

dF2=1|dSxB|=IB senθdS

Con el fin de integrar esta expresión debe expresar dS en términos de θ. Puesto que S=Rθ , se tiene dS=Rdθ y se puede realizar esta situación para dF2:

d F2=IRBsenθ dθ

Para obtener la fuerza total F2 que actúa sobre la porción curva, se puede integrar esta expresión para tomar en cuenta las contribuciones de todos los elementos dS. Advierta que la dirección de la fuerza sobre todo elemento de la misma: hacia el interior de la pagina (puesto que dS x B es hacia adentro). Por tanto, la fuerza resultante F2 sobre el alambre

curvo debe apuntar también hacia la página. La integración de la expresión para dF2 sobre los limites θ=0+θ=π (esto es el semicírculo completo) produce

F2=IRB−∫0

π

senθdθ=IRB|−cosθ|0π

¿−IRB (cosπ−cos0 )=−IRB (−1−1 )=2 IRB

En vista queF2 , con una magnitud de 2IRB, esta dirigida hacia la página y puesto que F1 con una magnitud de 2IRB, es hacia afuera del papel la fuerza neta sobre la espira serrada es 0. Este resultado es consistente con el caso 2 recién descrito.

Figura 29.10. La fuerza neta que actúa sobre una espira de corriente serrada en un campo magnético uniforme es cero. En la configuración mostrada aquí la fuerza de la porción recta de la espira es 2IRB y esta dirigida hacia afuera de la página, y la fuerza sobre la porción curva es 2IRB dirigida al interior de la página.

PRECUNTA SOBRE 29.3Los 4 alambres mostrado en la figura 29.11 conduce la misma corriente del punto A al punto B atraves del mismo campo magnético. Clasifique los alambres de acuerdo con la magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre ellos, del mayor al menor.

FIGURA 29.11 ¿cual alambre experimenta la fuerza magnética mas grande?

1) Cual es la corriente en el circuito en la figura4 la fuerza electromotrices y los resistores poseen los siguientes valores є1=2.1V є2=4.4V r1=1.8Ω, r2=2.3Ω R=5.5Ω

RiR+ir1+ε1−ir 2ε 2=0

i=ε2+ε1

R+R1−¿r 2¿

i= 4.4V−2.1V5.5+1.8+2.3

=2.3V9.6Ω

i=0.2 A

2) Cual es la diferencia de potencial entre los puntos A y B de la figura 4, cual ∆V entre los punto AC en la figura 4 VAB=3.8V VAC=2.5V.

Punto b-a

Vb−i r2+ε2=VaVa−Vb=i r2+ε2

Va−Vb=( ε2−ε1

R+r1+r2)r1+ε 2

Va−Vb=−(0.2)r2+ε 2

∆ ab=− (0.2 ) (2.3 )+¿4.4)∆ ab=3.848

Vc+i r1+ε1=Vai r1+ε1=Va−Vc

(0.2 ) (1.8 )+ (2.1 )=∆ac2.5V=∆ac

3(En la figura 5 esta representa un circuito de dos mayas ¿encuentre la corriente del circuito los elementos poseen los siguientes valores?ε1=2.1 V, ε2=6.3 V, R1=1.7Ω R2=3.5 Ω, ε3=6.3V

2 i1 R1+i2R2=ε1−ε2−−−−−−−( 4 )

i2 R2+2 i3 R1=0−−−−−−(5)¿2i3 R1+2i1 R1=ε1−ε2−−−−−(6) ¿¿

¿

Sust (1) en (4)

3) Cual es la diferencia de ∆V entre los puntos Ay B en el circuito de la figura

Calcule la resistencia equivalente de la figura 6 utilizando para ellos los siguientes valores R1=4.6 Ω R2=3.5 Ω R=2.8ΩB) cual es le valor de la corriente que pasa por R1 cuando una batería de 12 V esta conectada en los puntos A y B.

2( i1+i2 )R1+2i1 R1=ε2−ε1

4 i1 R1+2i2 R1=ε1−ε2−−−−−−−−(7 )desp ( i2)en( 4 )

i2=ε1−ε 2+2 i1 R1

R2−−−−'−−−−−(8)

sut(8 )en(7 )

4 i1 R1+2[ε1−ε 2+2i1 R1

R2 ]R1=ε1−ε 2

4 i1 R1 R2 2(ε1−ε2 )R1+4 i1R12

R2=ε1−ε 2

4 i1 R1 (R2+R1 )=(ε1−ε2 )(2 R1+R2 )

i1=(ε1−ε 2)(2 R1+R2)4 R1 (R2+R1 )

i1=(6 .3V −2. 1V )(2(1. 7Ω)+3 . 5Ω)4 (1 .7Ω)(1 .7Ω+3 . 5Ω

=0 . 82Ω

−2(0 . 82 A )(1. 7Ω)+ i2 (3.5Ω)=2. 1V−6 .3V

i2=4 .2V +2. 79V3. 5Ω

=−0 .42 A

i3=0 .82 A+(−0 . 040 A )=0 . 42 A

R 1R 12

=1R1

=1R 2

1R 12

=14 . 5Ω

+13. 5Ω

=05Ω

R123=R12+R3R123=2Ω+2 .8Ω=4 .8Ω

I 3=VR123

=12V2 .8Ω

=2 .5Ω

V 12=I 3 R12=(2 . 5 A )(2Ω)=5V

I 1=V 1

R1=5V

4 .5Ω1 .8 A

I 1+ I 2=7 .5(1. 08 )+ I2=7 . 5I 2=7 .5−1 .08I 2=6 . 42 A

5) Calcule la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 1

64

23

R12=1+2=3Ω

1R123

= 13Ω

+ 16Ω

=2Ω R123=2+3=5Ω1

5Ω+ 1

4Ω=2.22

6) Calcule la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 1

R12=R1+R2

R12=2Ω+1Ω=3Ω1

R126=1

6+ 1

3=R126=2Ω

R126=R126+R3

R126=2Ω+3Ω=5 Ω1

R12346=1

4+ 1

5=R12346=2.22Ω

7) Aplique la ley de Kirchhoff y resuelve las expresiones para calcular el valor de la corriente en todo el circuito que muestra la figura 2

1Ω3 Ω

4 Ω

4 Ω5V

6 Ω

2 Ω

i 1 +i 2=i3 (1)2Ωi1+4Ωi1-5v+6Ωi3+4v=0(2)3Ωi2-3v+1Ωi2+6Ωi3+4v=0(3)

Resolvemos el sistema aplicando matrices y por el método de Gauss Jordán.

[1 1 −16 0 60 4 6 ] = (0-0-24)-(0+24+36)=|A|=12

Calculamos la determinante principal en la matriz.

A11= [0 64 6]=-24

A12= [6 60 6 ]=36

A13= [6 00 4 ]=24

A21=[1 −14 6 ]=10

A22=[1 −10 6 ]=6

A23=[1 10 4]=4

A31=[1 −10 6 ]=6

A32=[1 −16 6 ]=12

A33=[1 16 0]=6

Calculamos la adjunta:

|A|=[−24 36 2410 6 46 12 6 ] = [−24 10 6

36 6 1224 4 6 ]

A-1= 1

|A|* adjunta

A-1= 1

|12|* [−24 10 636 6 1224 4 6 ]

A-1= [−2 56

12

3 12

1

2 13

12]

Representamos el cálculo de cada variable….

[ i1i2i3] =[−2 56

12

3 12

1

2 13

12]∗[ 0

1−1]

[ i1i2i3]=[0+¿ 56

−12

0 ¿−1¿0+¿ 1

3 ¿−12 ¿ ]

Si resolvemos la suma obtendríamos para cada una de las variables el valor de:

[ i1i2i3]=[13

−12

−16

]Luego realizamos una verificación rápida sobre los valores obtenidos en el sistema.i 1 +i 2=i3(1/3)+(-1/2)=(-1/6)(-1/6)=(-1/6)

8) Aplique las leyes de Kirchoff para calcular los valores de la corriente en los circuitos

i1=i2+ i3 i2R3+ε2+ i1 R2+i1R1−ε1=0

i2R3+ε2−i3R4−ε3−i3R5=0

ε 2−ε1=−i1 (R1+R2 )−i2 R3

ε 2−ε3=−i2R3+i3(R4+R5)4 v−5v=−i1 (4 Ω+2Ω )−i2(6 Ω)

−1v=−6Ωi1−6Ωi2

6Ω i1+6Ωi2=1v (2)4 v−3v=−i2(6 Ω)+i3(3Ω+1Ω)

1v=−6Ωi2+4 Ωi3(3)

i1=i2+ i36Ω i1+6Ωi2=1v

−6 Ωi2+4 Ωi3=1 v

∆=1 −1 −16 6 00 −6 4

¿ (24+36+0 )−(0+0−24 )=84

∆ x=0 −1 −11 6 01 −6 4

¿ (0+6+0 )− (−6+0−4 )=16

∆ y=1 0 −16 1 00 1 4

¿ (4−6+0 )−(0+0+0 )=−2

∆ z=1 −1 06 6 10 −6 1

¿ (6+0+0 )− (0−6−6 )=18

x=1684

= 421

y=−284

=−142

z=1884

= 314

i1=4

21A

i2=1

42A

i3=3

14A