* FACTOR INTEGRANTE. ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2.
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*FACTOR INTEGRANTE
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2
*La ecuación diferencial no es
exacta
0),(),( dyyxNdxyxM
x
N
y
M
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 3
*Ecuación diferencial exacta
*Existe una función llamada factor integrante, que al multiplicarla por la
ecuación diferencial dada se obtiene una ecuación diferencial exacta
0),(),(),(),( dyyxNyxudxyxMyxu
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 4
*Aplicamos las siguientes condiciones
*Aplicando la condición de exactitud
)),(),((),(),( yxNyxux
yxMyxuy
xxyy uNNuuMMu
MuNuNMu yxxy
*Derivando como un producto
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 5
*1) Si la función depende únicamente de la variable x, se tiene que la derivada parcial con respecto a y es igual a cero, es decir si 𝑈 (𝑥 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑈 𝑦=0
Con lo que
NuNMu xxy Separando variables e Integrando
dx
N
NM xy
eu
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 6
*2) Si la función depende únicamente de la variable y , entonces su derivada con respecto a la variable x, es igual a cero,
con lo que se tiene
MuNMu yxy
Separando variables e Integrando
dy
M
MN yx
eu
𝑈 (𝑦 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑈 𝑥=0
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 7
*3) Si no es posible encontrar una expresión que dependa únicamente de las variable x , ni únicamente de la variable y;
el factor integrante se toma en la forma
* .
𝑥𝑝 𝑦𝑞𝑀 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑥+𝑥𝑝 𝑦𝑞𝑁 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑦=0
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 8
*Ejemplo resolver la siguiente ecuación diferencial
(𝑥 𝑦2− 𝑦 3 )𝑑𝑥+(1−𝑥 𝑦2 )𝑑𝑦=0
De la ecuación se tiene que
Primero calculamos
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 9
Calculamos
Calculamos
Vemos que no es posible encontrar una función que dependa únicamente de la variable x
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 10
*Buscamos el factor integrante
𝑁 𝑥−𝑀 𝑦
𝑀𝑑𝑦=− 2𝑑𝑦𝑦 =−2𝐿𝑛𝑦=𝐿𝑛 𝑦−2
𝑢=𝑒 𝑁𝑥−𝑀 𝑦
𝑀𝑑𝑦
=𝑒𝐿𝑛𝑦− 2=𝑦− 2=1
𝑦2
*Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante
1
𝑦2(𝑥 𝑦2− 𝑦3 )𝑑𝑥+
1
𝑦 2(1−𝑥 𝑦 2 )𝑑𝑦=0
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 11
la cual es exacta y tiene como solución
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 12
Resolver la ecuación diferencial
𝑀=2 𝑦2+4 𝑥2 𝑦 ;𝑁=4 𝑥𝑦+3 𝑥3
𝑀 𝑦=4 𝑦+4 𝑥2 ;𝑁 𝑥=4 𝑦+9 𝑥2
Calculamos
Calculamos
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 13
𝑁 𝑥−𝑀 𝑦
𝑀= 5 𝑥2
2 𝑦2−4 𝑥2 𝑦
𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑢 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥𝑝 𝑦𝑞
𝑀=2 𝑥𝑝 𝑦𝑞+2+4 𝑥𝑝+2 𝑦𝑞+1𝑁=4 𝑥𝑝+1𝑦 𝑞+1+3 𝑥𝑝+3 𝑦𝑞
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 14
𝟐(𝒒+𝟐)𝒙𝒑 𝒚𝒒+𝟏+4 (𝑞+1)𝑥𝑝+2 𝑦𝑞=𝟒 (𝒑+𝟏)𝒙𝒑 𝒚𝒒+𝟏+3(𝑝+3)𝑥𝑝+ 2𝑦 𝑞
𝑝=1 ,𝑞=2 , 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑈 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥 𝑦2
(2 𝑥1𝑦 2+2+4 𝑥1+2 𝑦2+1)𝑑𝑥+(4 𝑥1+1 𝑦2+1+3𝑥1+3 𝑦2 )𝑑𝑦=0
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 15
(2 𝑥𝑦4+4 𝑥3 𝑦3 )𝑑𝑥+(4 𝑥2 𝑦3+3 𝑥4 𝑦2 )𝑑𝑦=0
𝑥2𝑦 4+𝑥4 𝑦 3=𝐶
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 16
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 17
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 18
*Estoy seguro que este material fue de su agrado y te permitió aclarar las dudas sobre la determinación del factor integrante