.. Serie Matemática - bnm.me.gov.ar · cuaderno especial con Jatos, gráficos, tablas, números al...

1

t=ampI1 ~L~S

) MINJ$TItRIO OE CULTURA y EDUCACION DlftEcCION NACIONAL DE lNVESTIGAClON DE LA NACION EXPEIUMENTACON y PERFECCIONAMIENTO EDUCATIVO

PROYECTO MULTINACIONAL PARA EL MEJORAMIENTO

DE LA ENSENtildeANZA DE LAS CIENCIAS OEA

Serie Matemaacutetica 1

Documento llordm4

Aplicaciones de la Estadiacutestica y de la Probabilidad

(Separata de Las aplicaciones en la ensentildeanza y el aprendizaje de la Matemaacutetica en la Escueshyla secundaria Reunioacuten de Montevideo (Urushyguay) 8 al 11 de Agosto de 1974)

l

BUENOS AIRES

Febrero 1977

INV OrrH3 SolO ~

51Z ~I iexcl

iW~ Aacute L _-

MINIStERIO QB ctlLTURA Y BDOCAClON

Ministro Prol RiClllrUacuteJ P Bruera

Secnltario de Estado de Educacioacuten Controlllmi7l1Jte RE JEnrique L CarrIlllZll

Subsecretario de Estado de Educacioacuten Pral Bellido C A Yilarreal

DIRECCION NACIONAL DE INVESl1GACION EXPERIMENTACION y PERFECCIONAMIENTO EDlICAl1VO (D 1 E P E)

Director Dr Bnmo L Cmpinen

Directora del Proyecto Multinacional para el Mejoramiento de la Bnsdanza de las CienCias

Insp MI1bel Stok1e

ORGANlZACION DB LOS IlSfADOS AMERICANOS

p(OGRAMA REGiONAL DE DESARROLLO EDUCAl1VO

Director del Departamento de Asuntos EducatiVos DI Hugo Albornoz

DiYisioacuten DesarroUo del Curticulum Dr Ovidw De Leoacuten

EsPeeiaJista del Departamento de Asunto Educativos en la Repuacuteblica Argentina

DrIl Ineacutes C de LtjmtlllOvich

APUCCIOLS [ LA ESTADI STICA Y D[ L PROIllILIDAD

1 bull SI )GER~C LS UFERETIS COTEI])()S y gtTlOlXJS

1 1 Ciclo Clcliexclcntal

Las ilociones le tlrohab il id~l(l y cstJltl iacutestica deben i ntro2uc irse en toJos

los ciclos le la ens entildemza

1n la pr imela cnscntilde1l1za se pucJen consiJcrar Jos etapas

intildeos de 6 a 9 antildeos Se propone que en es t a fas e se r eal icen experiencias

Je recoleccioacuten y tabulacioacuten ~lc Latos prevenientes uacutee s ituaciones Jel l~leJio ClJil

tiente ~cl c~ilcando

intildeos ele 10 a 11 antildeos l tilizancJo l os conociiexcliexclientos SOlre fracc iones ( qu~

braJos) se pueden 1cteminar e interpretar fenoacuteiexclenos estaJiacutesticos intrudushy

ciencIa los conceptos ele Tledia naja y 1eJ iana AJenaacutes podr aacute i ntruJicerse paushy

lat iva~lente la idea de prohalJiliJaJ pr imero en su fOILla cuali tatativa para

ir ll cganJo 1 su expres ioacuten cuanti ~at iva icltHantc experimentos con moneuas ) u~

dos bol itas de colores en una bol sa etc Con l os resultados obtenidos podraacuten

elaborarse los br tiacuteficos respectivos Son r1Uy uacutetiles l os graacuteficos en aacuterbol pa shy

ra el recuento de casos posibles y favorab les La i Jea de probabilidad ]luello

aprovecharse para lotivar y afianzar el concepto Je f racc i oacuten

12 Ciclo f1edio haacutes ico (12 a 15 antildeos)

Se sugiere que en esta fa~e se i ncorpor en a los progranms de matemaacutetica

l os prif1eros conceptos de estadiacute s tica descriptiva y probabilidades El t r atashy

miento de estos tenas debe-c5 ser de una laner a intuitiva Se pr opone r ecolecshy

tar datos o presentar los ya recolectados Por ejef1pl o talmantildeos pesos resulshy

tados de j uegos prcfehJos nUacutecro dc hemanos y henanas listas de resultashy

dos en juegos de azar etc

A continuiexclc ioacuten Jeber5n ordenarse los datos y tratarlos con teacutecnicas es t~

diacutesticas introduciendo distintos Jiagra-nas tales Carla pol igonal es de columshy

nas etc

-1shy

PosteriOITlentc se interpretarin los datos lostrando lo que se puede JeJu

c i r le ellos y COPO pucctcn compararse entre siacute

Con estas nociones se introduciraacute el concepto Je meJilIacutea eiexclpIacuter ica de proshy

ba~ il iI13J o frecuencia 1elJtiv8 alplianJo los rcsJltauos obtcniJos en 13 pri

nera etapa

iexclos Uumllportmte 3Jvertir 1ue los conceptos a incorporar no Jeben necesaria

rlcnte constituir uno o f1aacutes Clpiacutetulos especiacuteficos Ilc iU1 curso Je iacuteiJteruumliticu

sino Cjde deben ser presentados coo aplicacioacuten uumlmleJiata Je conceptos mateiexclaacuteshy

ticos i ntroclucilos o C090 liexcllotivacioacuten Je los iexcluuml Sflos Por ejelplo conociJa la

icleJ de nuacutemero racionll se pueJe deEnir la neJia y a partir de ello Jiscushy

tir al experincnto estatliacutestico que consiste en sacar el promeJio Je notas Je

los estCldUumllntes en el curso ue iexcliexclaten5ticls

Ln liacuteneas generltll~s Wla lista Je contenicios pueele ser la siguiente

1 2 1 l~ccoleccioacuten ~e datos Poblacioacuten o colectivo ~llcstr3

122 Ordcliexcl~cioacuten le ~nto$ ~gt stribucioacuten Jc los Jatos en clase frecuenshy

cia y Iiexclistribucioacuten de frccllcnci3 de LlJ1a clase

123 Representacioacuten de clatos lliagrmltls poligonales ele bltlrrltls iexcllIacutestoshy

gr31s aCllulativos de ciacuterculos scctorilles ctc

12 4 Interpretac ioacuten de Jatcs EstaJiacutegr~fos Ce posicioacuten o iacuteniacuteccs Je

ten(lcncia cC1tral lCGiacute3 T1cdioila y riexclloJa Est~h iacutegrafos o lnJices Je

Jispersioacuten arplituJ Jc l~otos Jcsviacioacuten neia Jcsviacioacuten cstan-

Jar

12 5 CorreLcioacuten Coe[ icicntc de correlacioacuten

1 2 6 COflIacuteJ im toril riiingulo de Pascol ocione5 elcentltlles Je proba)i

ljdoll frecuencia rclotivl o ~ecita erl1iacuterica ~e prohabil iacuteJad

1 2 7 Tallas de nuacutemeros aleatorios Ej emplos de s iriexclulac ioacuten

13 Ciclo leJio superior (16 a 18 antildeos)

fn este ciclo CO10 continuacioacuten ltle los cOllociTi cr~tos ya adcluiriuos por

el a10110 se puede introJucir una funJeacuteu-iexclCntacioacuten Jxiort5tica uc probabiacuteliJau

basJlb en l a teoriacutea ele corjllntos Todos 105 te~as Jchcraacuten ser irtcrc31~Jos en

-2shy

05 pro6r liacute~iexcl~S le ~~ teIloacutetic iexcl Le rl3neru progresiva y a r1eJ i Ja que se di spone

c los clt1cntos -iexclcccsarlOS

Se suu i er c el s igu i ente tratJJuumlcnt o iexclet oJooacutegico

nodo le not i vac ioacuten c~hia vez que se presente la oportuniiaLi se har5

un3 Jcscr i pcioacuten hi stoacuterica ~c las iJcas que contrihuyeron ~ [ oliolar l os pr iniexcle

ros conceptos de probab iliclJJ y estaJiacute stica

Presentrr la noc ioacuten de espacio rlUes tral fi nito a part i r Je L noc ioacuten Ce

conj unt o f j i1 i t o Pr esentar l~ probah il i~--- COIO caso plTt i cul3r de -J ncJ i

Jo de conjuntos es dec ir COi1O una [ uncioacuten que hace corresponJer a cada suh

conj CL1to del espacio rJest r a l un nClmero r eal no nCbativo que goza de ci er shy

t as prop ieJatles

Pr esentar el concepto J e variable ll cator ia J iscreta COElO una [uncioacuter

cuyo conjunto Je val ores es fin i to y lar una idea intu i t iva Je variabl e a shy

leiltor ia continua De igual manera desar r ollar l os conceptos de f unc ioacuten de

probabil idad y func i oacuten ltle J i stribClcioacuten

Il ~lstr3r con ejemplos sencillos el ~or~ccpto ltk~ csperarlZ~ k1 t~ middot iexcl5t ica o

valor esperaJo J e miexcl va r ilble al eatorio J isc re ta

Se sugiere pr esent ar l os conceptos ltle leJia y variarza Je una Jis tribu shy

cioacuten como los niacuteuneros que s e pueJall obt ener J e la fClnc i oacuten Je JistribClc i oacuten y

que carac t crizan c i er tas propieJaJes gcnerJlcs ue la mi s1a

Presentar y car act eri zar la cijs t ribucioacutel b i nomial para ensayos r epet ido s

(d is tr ihucioacuten ltle f r ecuenc ias t eoacuter icas poro variabl es discr etas)

Presentar y ca rac t erIacute2iexcliexclr la d i stribuc ioacuten nom a l (Ji s t r ibucioacuten J e frecuen

cia para var iiexcliexcl]) le continua) Diexcliexclr una iJec geoMeacutetrica - int u i tiva ele coacutemo pCle

de ~ proximarse la Jis tribuc ioacuten norrla l a part ir le la binomial Plant ear pr o shy

hlenas senci llos a fi n (le ~klnejar y aplicar tablas le aacutereas de la curva nor

11lt11 bull

Si n entrar en (letall es una l ista de conteniJos puede ser l a siguiente

1 31 Espac i os muestr a l es Eventos o acontecimientos

l 3 2 iexcleoacuteda Je robabil i dad Pr opieuaJes - iacuteeJiJ a equiprobable lr olabi

lidad cond icional Sucesos i nJependicntes 1eJiJa eyiexclpiacuterica de pr~

bab iliJaJ

-3shy

1 33 Distribuciones c irobabiliuaJ gtribles o Funciones aleatorias

Distr iluc i ones liscretas funciones de probabilidaJ Funcioacuten Je

Jistribucioacuten le un~ variable o func ioacuten gtleatorit Funcioacuten ltle ltlis

tribucioacuten corrcs ponJ iente a una listribucioacuten discreta

1 3 4 Valor reJio iqueste unJ uistribacioacuten Varianza ue un ltlistriLucioacuten

Isperanza lteliacutetica Vlriable o [uncioacuten aleatoria estanltlarizaJa

135 Distrituciones liscretas especiales Distribucioacuten binoilIacuteal media

y varianza Je UJ1 J i str i bacjoacuten binor1Iacuteal Distribucioacuten de Poisson

Distribucioacuten gussiaKJ o noma1 Paso ue la Jistribucioacuten binomial

a la Je Poisson Lea ltlel paso ele la uistribucioacuten binorlIacuteal a la

nonlal

Algunos ejercicios de estaJiacutestica exigen caacutelc~los largos quc se pres tan

para ejercitar y justificar el uso de calculaJoras (de JlCsa o ue bolsillo)

o ue corputtdoras

2 FJETLOS DE APLICACIOIS

l Iniciacioacuten a l ns i J eas ue prob~b iliiquestaJ y estauiacutestica

En las aplicaciones de la P1ilten5tica la idea ue probabiliuau intervieshy

ne ~uy a rlClludo en el lunuo de los nintildeos en los juegos en la esperanza ltle

tener un huen tieMpo para el fin ltle semana en la probabiliuaJ Je llegar t

tie1po la escuela o en la probabiliciaG de obtener una b~ena clasificacioacuten

en los cxaacuteiexclencs

Los iexcl)l-meros ej erc icios pueclen cLcsarrollarse de r1uy dis tintas Jllaneras

sea utiliznnGo rtaterial ltliJaacutectico Jestinauos a otros fines (bloques au1tib~

se regle tas varillas) sea utilizando elementos pertenecientes al alwmo

(libros laacutepices) o mediante datos recogiuos seguacuten detemimdo criterio

Sielpre que se puedan oruenar objetos o Jatos segGn el valor Je ciertas cashy

racteriacutesticas b comparacioacuten de la uistribucioacuten de las mismas en tal ordeshy

nacioacuten se presta a un graacutefico o a un corentario ue intereacutes estaJiacutest ico

fccoleccioacuten Je uatos iay que cuucar ltlesJe la prif1era ensentildeanza en la

rccolocc ioacuten de clatos que seraacuten ordenados y guardados convcnienterlente En

j istintas Gater i as (Geografiacutea Historia I d iorla ) aparecen con frecuenshy

-4shy

Cll elatos numeacutericos que el profesor de rmterlaacutetica puede utilizar para

ej erlplificar las distintas rlaneras Je grafi car DisponienJo de Cuchos

graacuteficos se tiene tambieacuten la posibiliJad uumle compar arlos int rolucien

ltlo en la idea de una pos ible correlcioacuten entre ellos

Cada alLDUlo Jebcria 11cvar cuaderno especial con Jatos graacuteficos

tablas nuacutemeros al azar todo lo cual le iraacute dando U11a idea li1aacutes concreshy

ta que la corriente del anbiente en que vive En las revistas y perioacuteltli

cos de lectura comuacuten que el alurmo encontraraacute en su casa aparecen muchas

veces datos nurleacutericos y gdficos que el alul1mo puede recortar y llevar a

la escuela para discutir Se tienen asiacute Jatos que se refieren al arlbienshy

te en que el alurmo vive y que por tanto interesaraacuten seg-llramente a eacutel

y a toda la c l ase

ie aquiacute a lgunos ej emplos Je iatos y preguntas que ellos pueden ori ginar

1 La extens ioacuten y e l n(1lero de habi tantes (e los paiacuteses Je Ameacuterica le l

Sur son (en c i fras r edomias) 1

Ca10rlbia 1 140 (XX) N~ 2 20COOCOO habitantes

Venezuela 9OOCOO 10 000 CXJO Ecuador 260COO 6COOCOO Peruacute 1300COO 13000000 Brasil 8500 000 92 COO ((l0 Bolivia 1COO000 5000 COO Chile 750000 9000000 Argentina 3000COO 24 oooCOO Paraguay 4ooCOO 2500000 Uruguay 180000 3COOOOO

[1) GrlJ-iclr C ist irtlt1s laner JS est os (lat os b) iquestCuaacutelltOS son los habi -

Ctantcs por N-12 ile caueacutel Jais e) iquestCuuacutent cs son los il~bitantcs rmiddotor iexcl iexcl eacuter iclt1 ~eJ S(r) este ~(JC YO iquestes i gual ~1 le ~ cl~ ia aritleacutetica lel nUacuteT~e-

ro le habitantes por YJ-)

ue caua paiacute s d) ) lallar lo s porcentaj es ltle sushy

perficie y habitantes de caJa paiacutes r espec t o del total JIacer el graacutefico

c i rcular correspondiente (calcular los grados ele cada sector para calIacutea

paiacutes)

2 Los trabajauores del Paraguay estaacuten distribulJos por sect ores seguacuten

- 5shy

los siUientes porcentaje agriacutecola (52 ) industrial (15t) comercio

(S~) servicios (17 ) construcci oacuten (4~) transporte y corlunicaciones

(4~ )

Calcul ar los grauos que correspo~

den a caJa sector en el graacuteflco altl

junto

Estos liatos y graacuteficos son 11Uy

instructivos CmwenJriacutea q~e en

caua escuela hubiera abundanc i a ltle

ellos pedi uos a las direcciones

de estadiacutestica de caJa paiacutes que

suelen publicarlos anuaL~lente

3 En la rgentina el graacutefico de los nUacute11eros de alUImos inscriptos

en las escuelas pruumlaria c media y universitaria durante los uacuteltimos anos

es el adjunto

iexclTRICUL CADA 100 tmiddot IL lLliacutelTTATES

15018 1446814314

13581

3854

2715

p pM u

1954

M

1965

191 5

M u p u p M u 1960 1968

- 6 shy

Deduc i r ele este graacutefico a) Sabiendo que la pobl acioacuten total ce la Ar

gentina es de 24 li llones uumle habitantes cal cular e l nuacutemero de a l umnos

de caJa ni vel b) ToanJo tUl prol1edio ele 30 alumnos por maest ro Je escu~

la primaria calcula r el nuacutemero ele naes tros c) ConstrJir el graacutefico c i r

cul11 tle los porcentajes ele a1Ul1105 de cada nivel para 1965 el) Calcular

el porcentaje tie alu-rmos de pr imaria que pasan a la ensentildeanza media y el

nUacute1ero tle es tos qUe pasan a l a tmivcrsiJad

4 Slponga~os un carpeona to entre var i os equipos de Lltbol Anotar l es

resultados de los Jistintos partiltlos y 105 goles de cauumla equipo Onenar

los equipos por a) partios ganados b) goles a favor c) menos goles en

cOtra J) p3rticos empataJos Oeduc ir consecuencias

2 Ej emplos de ejercicios para graficar

l Anot ar las calificaciones ele todos l os a lurmos tle W1a clase Si eacutesshy

tas van ele O a 10 gr aficar l os nuacutemeros de a lullmos cuya calificacioacuten esshy

taacute entre O y 2 entre 4 ) 2 entre 10 y 8 (graacutefi co Je barras ) lIashy

cer tarlJieacuten l os graacuteficos acurul ativos (nuacutemeros de alunUl0S cuya califica shy

cioacuten es libUal o menor que y ntlrlero ele a1 UJnnos cuya calificacioacuten es 11i_

gual o mayor que )

2 Distanc ias de la casa a l a escuela Se piJ e a cada alurmo l a disshy

tancia de su casa a la escuel a l a cual si es preciso se calcula con

l a ayuda de un plano de la ciudad Con estas Jistancias a) buscar la

d i s tancia promeJi o b) indicar la maacutexira y l a iexcllliacutenima c ) graficar los

nUacuteGleros de a l wos que VIven a W1a dis tanc i a mayor que o a una distancia

~lenor que otra uaua d) sabienlo cl ticiexcliexclpo que caja a l urUlO tarda en ir

de su casa a la escuela calcular l a velocidaJ mc ia y detectar l os alum

nos que van maacutes raacutepido o m3s despacio que el promedi o

3 Cons t ruir la tabl a del nuacutemero de Iacuteleniexclanos de cada alumno Hacer gr~

ficos anaacutelogos a los del prohlef1a anterior Ver el nuacutemero de henanos

iexclaacutes probablc y la distribuc i oacuten Je las desviaciones ue este promcJio Pr~

uabl cmente sal ga una curva parecida a la nOlT1ul

4 Un vendedor ele r efrescos venle vasos de jugo de nartnja Durante

l os uiacuteas de una semana vendioacute 115 s i guientes cantiJaues lunes 60 rtartes

84 mieacutercoles 96 jueves 72 viernes 90 saacutebado 108 Jomingo 66 Graficar

en barras Buscar l os porcentajes de venta de cada diacutea respecto del total

-7 shy

de la semana )iscutir a qu[ puede ser debido que el saacutebado vendioacute tmshy

to se pucJcn hacer hipoacutetesis y luego verificarlas por l as ventas de

otras semanas

S Un f rclter o venle [ruta a los ahml1OS de una escuela He aquiacute l a

tabla de ventas durante un seriexclan~1 (en kgr)

Diacutea Uvas ~lanzanas Peras ~aranjas

bull 20lunes 6 10 S

martes 8 16 I 14 8I - 1nnercolcs 182 24 I 12

1612 22I Jueves 4 I viernes 16 1010 6

I Con estos datos a) preparar un rictogr~~a utilizando los dibujos de la

fruta respect iva b) mediante e l pictograma deducir la f ruta maacutes veruli2a

durante l a semana y los porcentajes tle frutas vendidas de cada clase e)

valor medio de las canticlacles vcnJiJas uacutee cada fruta Jurante la semana ti)

frutas maacutes y menos vendidas

6 Tempera turas diarias miiacutexirlJs y iexcliexcliacuten~as Jurante un mes Con un tennoacute

metro tlc riexcl5x ima y miacutenrna (o bien tOLlado ltle los Jatos f1cteoro loacuteg i cos ue los ltliariacuteos) se anotan las tel~peraturas maacutexima y miacutenina tle cada diacutea Juran

te un mes Con ello a) gr aficar estas telper3turas b) graficar las difO

renc ias ent re la waacutexima y l a miacutenu~ c) comparar estas graacuteficas con l as

te otros eses o con las del uacutesmo iexcliexcles de aflOS anteriores d) graacuteficos ashy

clUlUlativos inJLClt-lnllo 10$ nUacuteDcros de tiiacuteas erl que la tciexclgteratura maacutexima ha

sido Ifmayor que y la illnir1a ha sido Iacutei1enor que 1

7 Asistencia o inasistencia de alumnos Anot3- durante un nes el nuacutemeshy

ro de alunmos preser-ltes cada diacutea Deducir eacutet ) Jos diacuteas de maacutexi1Ia y fliacuteniJra

asistencia y averiguar la causa t l vez conparando con otros graacuteficos o

datos (lluvia buen tiec1PO [riacuteo) b) valor medio del nUacuteTIero de alillmos ashy

sistentes

-8shy

3 l1U1105 cstauiacutegraEos y orglllizacioacuten ele los datos En tlUchos casos

conviene ensenar la nancra praacutect i ca Je organizar los datos y JeJucir ltle

ellos los cstadiacutegrafos qle pUed~lj interesar Varos a exponer con cietal le

un sol o c~so COl~10 lro~elo le la ianCT3 ILC proceucr

Las mcdiuas de l a estatura ele los llumnos de una clase er centiacuteliexcl-eshy

tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165

167 169 lleteni na r la lilcJia la moda y la lOediana ue la Jistribuacutecioacuten

ProceJeren~os a organizar los datos en una tabla observanJo que la

mplitud e la Jistribucioacuten se obt ene1raacute rest ano el valor miacutenimo pr esenshy

t ado del valor lilaacuteximo o seJ 1(9 - 145 ~ 24 A continuacioacuten se de termimiddot

llaraacute el nuacutemero Je ire rvalos y l a mjllituJ de cacla uno de ellos Si acor

Jamos que 11 ampl i t u del interv~10 le c l ase es 5 obtenJ r emos 5 i nterva

los (24 5 aproximadamente 5)

Constru inos l uego una tabl a de valor es con l as s i guientes columnas

es t atur a punt o fl eJ i o f r ecuencia frecuencia aCUDulada produc t o ele fre

cue1cia y purto meJio las fil as J e la tabla seraacuten l os intervalos de cla

se correspondi entes (14 5-149) - (150 -154) (155 -1 59) (160- 164) (16 5-169)

Est~tll ras Punt o mCl~io

lIacutee l irt er val o Fr ecuenci Fr ecuenc i a acur1Ul ada

Pr oduc t o de frecuenci il

y punto Jeuacuteio

145 -149

150-1 54

155-159

160-1 64

165-1 69

Total

1475

152 5

1575

1625

167 5

2

3

4

3

3

15

2

5

9

12

15

295 0

57 5

6300

87 5

502 5

2372 5

La media se detenninar aacute dividiendo el t otal del produc t o de f r ecuen

c iacutea y punto medio entre e l tota l de altumos que corr esponlt2e a l tot21 Je

l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1

-9 shy

La moja corresponderaacute ll valor ciacutee mayor frecuencia en la distribucioacuten

(1575) La Jediana es el valor correspondiente al caso que ocupa el punto

neJ io de la di stribucioacuten es decn lOl octavo caso Evidentemente la meliacutea

na se encontrad en el intervalo (155-159) cuyo valor lle frecuencia acumushy

lauacutea (9) es el riaacutes proacuted~)o al octavo caso

Observaciones

Intervalo El lkite superior de cada intervalo por ejeJ)lplo (145-149)

que corresponde a 149 incluye a los alurltJ10s con estatura hasta 1499 es

decir todas las estaturas JJenorcs que ISO

iexclmto Jlcdio del intervalo Se obtiene como sCi iswna de los 1iacutemi tes Je

cacla intervalo de clase considerando el liacutemite superior seguacuten la conside shy

racioacuten anterior Ejemplo para el intervalo de clase (145-149) el punto meshy

dio es 1475 = (145 + 150)2

Frecuencia Representa el nuacutemero de vlOces que aparece un determinado

valor en la distribucioacuten

Frecuencia acwnulada Representa el nUacuteliexclero total de casos deslIacutee el pri

mer intervalo hasta el intervalo correspondi ente Se obtiacutelOne utilizando su

mas sucesivas de la frecuencia de cada intervalo

Producto de frecuencja y PUiexcl1to medio Representa la suaa ele las al tushy

ras de los alunmos que componen cada i ntervalo

Total El total de frecuenc ia indica el nUacutelnero de casos de la diacutestribu

cioacuten y Jebe coincidir con l a frecuencia aCUlnulada del uacuteltimo i ntervalo

Para Wl anaacutelisis maacutes completo hay que calcular ta1bieacuten la varianza y

la desviacioacuten cstandar

La distribucioacuten de las alt Lltras Je l os alurJ10s ce una clase es un caso

tiacutepico en que casi siempre resulta una distribucioacuten muy proacutexirca a la normal

vale decir que si -se grafican las frecuencias en funcioacuten de las al tunls

la curva resultante tiene la forma de campma tiacutepica de la ley normal

Una manera de constata r este hecho sin necesidad de caacutelculos es la

siguiente Considerar el total dc ahL-rrlOS de la clase y pediY que 5 alUllU10s

le estaturas diferentes represeptat ivos de los alunmos bajos medianamenshy

te bajos medianos medianamente altos y a ltos se ubiquen en este orden en

ma fila Cumplido este tribite peclir que el resto de los alUJmos del curshy

-10shy

SO se ubiquen detraacutes de aquel alurmo cuya estatura es maacutes proacutexima a la suya

de los S antes elegidos Podraacute observar se que como resultado Je esta di s tri

bucioacuten las estaturas de l os a lutlnos se Jistribuyen aproximada1lent e seguacuten

la curva noma l Es decir Je l as 5 filas que se forman las longitudes

dibujan l a fOTIna de campana ele dicha curva

Otra manera de ejel1llificar la ley nomal consis te en recoger al azar

en el patio unlt1S SO hojas de un deterl1inaJo aacuterbol (o de aacuterboles de l a misshy

iexcliexclla especie) Se tonan 5 hoj as ele diferent es t amantildeos y las res t antes se van

colocanJo sobre la que tiene el tariexclantildeo roacutes proacutexioo al suyo Se LOTI1ar aacutell 5

rr~ntones y los nuacutemeros de hojas de cada uno presentan visiblemente l a dis shy

tribucioacuten nOITolal

4 La distribucioacuten noIT1al Despueacutes ele haber constatado que en muchos

ej enplos la CUDra de frecuencia t ona la fOTIna de canpana con un maacuteximo en

el valor meel io conviene es tudiar con raacutes exacti t ud la distribuc i oacuten nonnal

En los uacutel tiiexcliexcliexcl05 antildeos de 11 ensentildeanza media el almmo debe aprender a

manejar esta distribucioacuten con sus tablas y caracteriacutesticas fundamentales

Es una herr ami enta dentro de l campo de las apl i caciones de la matemaacutetica

concept ualment e importante y praacutecticamente indispensable en Duchos carlpos

Vamos a dar un ejemplo de aplicacioacuten que puecle usarse en una gran variedad

de situaciones anaacutelogas El ejemplo estaacute t omado del curso de Probabilidashy

des y Est adiacute s tica para el 6deg antildeo del Bachillera t o preparado en el Inst it~

to ue Cienc i as de la Universidad acional de Asunc ioacuten (Paraguay) por J G

Miller yA A de Silvero 1974

Un ca~lpesino cosecha sand iacuteas para vender en e l mercado El prec io de shy

pende del peso y cono tiene varios miles de sand iacuteas y no l as puede pesar

una por lma eligioacute 64 de t ilJ11antildeos variables para que constituyera1 una

muestra de l a cosecha y oot uvo los siguientes pesos y frecuencias 1 kgr

- 1 sandiacutea 2 kgr - - 6 sandiacuteas 3 kgr - 15 sandiacuteas 4 kgr - 20 sanJiacuteas

S kgr - lS sandiacuteas 6 kgr - 6 sand iacuteas 7 kgr - 1 sandiacute a Aquiacute al decir

por ej emplo 3 kgr se entiende entre 2 S kgr y 3 S kgr

Con es tos elatos se trata de saber como se distribuyen l os pesos ltle las

sandiacuteas en l a cosecha del campesino

Consul tados un ~ltemaacute tico y un botaacutenico anbos coincidieron en que poshy

-llshy

diacutea suponerse que la distribuc ioacuteiexcl de los pesos seguiacutea la ley nomal y que

por taJlto bastaba saber el vnlor pcJio y la desviacioacuten estanciar para sa

ber todos los Jetalles ele esta clistdbucioacuten Por otra parte se pue(~e sushy

llOpcr que el valor medio y la desvi2cioacuten estanJar de toda la cosecha coin

ciden con los miSllOS valores Je la muestra Sentado esto se ca lcula

1 El valor leJio de l os pesos de la muestra es 1 = 25664 = 4 kgr

2 La desviacioacuten estandar se calcula asiacute

representado por s a l a desviacioacuten cstandar

3 Se sabe o se elediexcliexclce de la t ahla de frecuencia de la ley nOITIlal

que entre + s = 52 Y 1 - s = 28 estaacute el 68 ele la poblacioacuten en este

caso las sandiacuteas Si el campesino teniacutea por ejerplo 8CiXl sandiacuteas pueshy

de calcular que el 68 Je ellas e sea 5440 tienen su peso entre 2 8 y

52 kgr

4 Se sabe tambieacuten que entre ff + 2s y iexcl - 2s estaacute el 96 Je la poblashy

cioacuten es decir en el caso lC tllal el 9oacutet de l as sandiacuteas tendraacuten su peso

entre 16 y 64 kgr Las sandiacuteas cuyo peso cae fuera de estos liacutemites

constituyen soacutelo el 4 ele la cos8cha

Con estos elatos y los 1ue se puoelen deducir de llna tabla de la d istr i

bucioacuten nonlal se pueden hacer listintos planes de venta y ver cllaacutel es el

iexcllaacutes conveniente para e] campesino Por ej emplo a) vender todas las sandiacuteas

a S 20 por kgr b) como las sandiacuteas medianas son las maacutes solicitaJas se

JUcJc leciclir que aquellas cuyo peso esteacute entre 28 y 52 kgr (el 68) se

cobraraacuten $ 10 maacutes que el correspondiente seguacuten su peso y las que pesan fue

ra de este i ntervalo se cobraraacuten S 10 menos de lo que corresponJeriacutea seguacuten

su peso

Disponiendo de una tabla es faacutecil calcular el n(lJero de sandiacuteas de ca

da peso y por tanto calcular el produc to de la venta en cada plan Se tieshy

ne asiacute un ej enplo de lo utiacutelidad de la estadiacutestica para problellas praacutecticos

y frecJentes en la vida Jiaria

5 Graacuteficos en aacuterbol Los primeros problenas de probabilidad con un

-12shy

nUacuteJlcro finiacute to de casos todos igualmente probables conducen al recuento Je

los casos posibles y favorables 1iexclay que aprovechar estos problemas para

estudiar combinator i a y al r eveacutes la mejor ejemplificacioacuten de la cOiexcllbina shy

toril estaacute en los problemas Je probabiliJadcs finitas

Al principio sin embargo l--k~S que la combinatoria que supone cierto

entremmicnto en el Ixmej o de foacutennulas es rccomenJable el uso ole graacutefishy

cos en 3rt ) 1 para graficar y luego coatar 105 casos posibles y favorables

Vaelos a exponer un ejel1plo tiacutepico

Se lanza una moneda sucesivamente y 8

6 -47 se conviene en que cara vale 1 punto y IIseca (o cruzf osello) vale Jos

puntos Estos puntos se van sumanclo

y se Cesea saber las di stintas mane

ras de llegar a una suma exactamenshy te igual a 7

~atura lmcnte que lo esencial en

el enunciado es que se trata ue un

proceso con dos alternativas de proba

bilidad 12 caJa una en vez de una

moneltla podriacutea tra t arso ole un bohshy

llero con dos boUumlllas iguales una

marcada con 1 y la otra con 2 que

6 fueran sacaacutendose sucesivamente reshy4 ponienJo cada vez la bolilla sacada

5

Las sumas obteniJas en las prime 7

8

7 ras 7 jugadas se representan en esshy6 _- -- 8 te aacuterbol

73 6

7 De este aacuterbol se JcJucen variacuteas

cosas por ej erlplo __ 7 -shy a) iquestDe cuaacutentas maneras pueJe obshybull

tenerse l a S~~ 7 en 12 7

jugadas

5

4

_

-13- shy

21

Sltguacuten el griifico es degen 1 2 Oacute 3 j ugadas 4 en 4 jugadas 10 en S jushy

gaJos 6 en 6 jugtuas y 1 en 7 jugadas

De aquiacute puesto qi1C el nuacutencro total ele posibi l uacuteluacuteJcs en i jUcieacutelJas es

sen

- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +

~ 32

1 )7 = = OC07 123

iexcl-)) A Y j) Jue6an de la s i guient e r~aeTa Uno enpic za sea A y elige un

nUacuteiexclilcro entre 1 y 2 El otro jugador II pueJe antildeadirle 1 oacute 2 al n-iJnero elegishy

uo por A y asiacute sucesivamente El jugador que llega primero a 7 gana iquestCuaacutel

es l a estrateampia a seguir

-lirando al graacutefico se observa que si A elige 1 y sabe jugar iJ estaacute

perdiacuteJo puesto que si D elige 2 entonces A elie otra vez 1 con lo cual

llega a 4 pun~os y gana cualquiera que sea la eleccioacuten de B Si 13 elige 1

se tiene l a suma 2 y entonces s i A elige 2 se tiene la 5UlsIJ 4 y tanto SI

J elige 1 como 2 gana tambieacuten A En cambio si el priiexcler jugaJor elige 2 basta que gt elija tamllieacuten 2 para sumar 4 y A estaacute perdido

~ste tipo de jiCgOS interesan al altuumlmo y agi lizan e l razonaJniento

Otro ejemplo simpl e es el siguielte hay 2 pilas de cbjetos con 2 objetos

catL1 LL13 el jugarlor A elpieza sacando 1 Oacute 2 objetos tic la mismo pila a

continuacioacuten el jugador iJ 1uce lo iexcluumlsmo El jugador que saca el uacuteltimo ob

jeto pierde Se puede hacer el graacutefico en 5rbol de l as distintJs posibili_

~1aJes y se obsenra que si juega bien siempre gana el jugador que j uega

segunJo osea B

aturalmente que cambiando los nuacutemeros y las re~las este tipo ce ju~

gos se pueele complicar tanto cono se lesee

6 Tabla de 1uacutemeros a l azar aplicaciones Conviene que l os alumnos

practiquen aunque sea en ejemplos simples el uso ltle l as tablas ele nuacuteneshy

ros alea torios o nuacutemeros al azar Es el unamento Jel meacutetoclo ltle ~lonte Car

lo muy usado en tecnologiacutea y en muchas raLas ue la infonaacutetica Conviene

que cada alumno se construya su propia tabla (Je unos SOO Jiacutegitos) de mane

-14

riexcl que si hace f alta jUllt1nUO l as J is tintas tablas de todos )05 allllU1os

se t enJr5 una cantiiacuteaC ya corsideracle de nuacutemeros para ser utilizados en

la c1ase

iexcl)ara cons t rui r una ~c estas tablas se pueuumlc tOT1ar Wl1 rilleta con 10

ui vi siolles (ele O 1 9) Y L1Cerlu girar sucesivar1ente al azaL O bien tomar

un bolillero c(n lG hol iJ las cn-lricracas Jo O a 9 Otros meacutetoJos elemer t a shy

les se iacute nt ican en el libro ltc Glampyr1ann-Vorg3 liLe s proh3biliteacutes al eacutecole

CEDIC 1973 De est e lib o tOialnos 13 tabla Je 400 Jiacutegitos que ficiura en

la paacutegina s iguiente

ViLTIOS a dar algunos ej e1eplos ele aplicacioacuten de la tabl1 el e nuacutemeros alea

torio aturalmentc que 11 confianza en los resultados Jepenele de la can shy

t illad de n(ilJCrOS tOJlada en general hay que tOfar rluchos ruiacutes ~c los que ashy

qUl vanos 1 t omor (l o que se suele hocer con Ul1a computadora) pero nues shy

tro obj eto es dar (lllicaJ1cntc lma iJea del meacutetodo

1 Consi derellos el r~isro probl ema del ejeplo del ndeg anterior consistertc

en Slllar n(iacuterc ros 1 Oacute 2 seguacuten saJ ga enra o cruz Wl J~10neda 13JY)zo~a al azar t

llas ta Llegar n la surla 7

-15shy

o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O

5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7

S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3

3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9

9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5

4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6

1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8

4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8

1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6

S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3

S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1

9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O

4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5

S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579

2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1

4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5

3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516

9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4

S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O

Para sIDular la situacioacuten suponemos que un (iacutegito par Je la tabla (el

O incluiJo) vale 1 y que un Jiacutegito inpar vale 2 Vamos a tonar los nuacutemeros

ele la tabla por filas y contamos el nUacuteDero de ellos que hace falta para lle

gar exactilmente a 7 si pasailos de 7 imlicarros con una estrella Por ej er~shy

pl0 los prineros nuacuteneros de 1lt1 tabla (06558) dan 1 + 1 + 2 + 2 + 1 7

Y por tanto anotamos 5 (nuacutemero de jugadas para llegar 3 7) siguen Jespueacutes

(45344) que dan 1 + 2 + 2 + 1 + 1 7 y ~mot~JOS otra vez S jugaJas

sigue despueacutes (67 ~)3) que (~arl 1 + 2 1- 2 + 2 7 Y anotamos 4 jugadas ~

siacute sucesiveacuteDcnte e in(iiacutecaiacuteltio con una estrella las vecc~) que no se llega e

xactarnente T a 7 se ohti cne la sucesioacuten

-16shy

5 - 5 - 4 - 5 - - 4 - 5 6 4 4 5 Iiacute r 1 6 5 - o - 5 - lt1 4 ~ - 5 - 4middot ~ 6 shy

S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -

S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4

l)c este rcsuumltadc se lulucc que Je los iacute5 casos cO-silc raJos iexclay 20 CU~

tras 24 cincos 7 sei s y 24 estrclLiexcls Por lo tanto Jas probabiliJales Pi

ele que se necesiten i j~6~as res01~an) r espectivamente

24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75

Los rcsul t alos son flUy CCl1Cl (entes con los vcrLlatlcros antes obteLi os

n rea l iaJ hay 1eE1as i~Ha~ coinciJcnciLi en general JaJa la cantiJaJ Jc

nJrlcros t onaclos no era llc espeTor tanta aprOXiiexcl1acioacuten Convencriacutea en l a cla

se seguiacute-r con naacutes nUacuteJ ~cros para ver ~i l os r esul t ados se estabiacuteli zan

2 La tabla de nuacute lcros a lcotoriacuteo5 pucJe servi r p~r3 tO~ar nUacuteJ1clos al

azar en e l plano Por c jcnplD ton2n(~O cuate rna s ~e Iiuacuterlcros suces ivos (O 6~

55) (84 5 3) (4467) ellos pueden defin ir los puntos le coonlcnashy

Jas (0 06 0 55) (C Siexcl-O 53) (0 44 0 67) Jcntro Jel cualtrauo de laJos

O~ x 1 O Y 1

Si lt~cl~t ro de es t e cuaJraJo de I lt1Jo un i JaJ se tiene una fi~l1lra tie aacuter ea

F la probabilj Jac de que un Jlunto lt12[0 al iexclzar Jentro Jel cualraJo eaiacutea

Jcnt ro de la f i gura es igual a F (cociente del aacuterea Je l a f igura por el

aacuterea del cLl8uraclo) Por tant o si s e tor~an rucho$ pLmtos a l Jzar y se Jivi shy

ic el nUacuteJ lero le l os riexclue IacuteliexcllJi caacuteldos dent ro Je la figur por el n(iiexclero t otal

se tenJr tiacute Ui1 val or aproximaJo Jc F aprox i rltlcioacuten que creceraacute con el nWiexcllcro

~~c puumlntos tomaJos

Erl la f igura los puntos 5011 pUiitos a l azar t OjileacuteLllos SCgUacuteil la tab l a unshy

ter ior (prolonga~lfl hasta 12CO J iacutegi tos COlnO se encuentra en e l 1ibro ~iacute(~n shy

ciacuteonauacuteo de Glayriexclimn -Va r iexcliexcliexcl ) Son en totiexcliexcll 300 puntos Dalt2o el ciacuterculo de ra shy

dio 14 que estaacute en la E i ~lJra el nLlIicro ~le puntos q-le haI) caiacutedo en su inshy

t erior es 66 Por tant o el tirea del ciacuterculo pOT este meacutetoJo resulta iacuteiexclual

a (j(300 = 0 22 bull La venhlc-ra aacuterea es 314 16 = 0 19 La aprOXiacuteliexclacioacuten no

-17shy

11 es -1Uy granJc CYO es acept able09

atlralC1(l~tc ciexclue e l neacutetouo es uacutet iacute J 08 I 0 7 )ara figuras Je [ona irregular OS

cuy~ iquestre) no puc ~c calcul2TSe pOl OS I

I una s iacutenplc foacutermlll a COr10 en el camiddot04

03 so consit~er~do que se ha tor~lJo1 02 para pOltler coriexclparJT el gr~~o le 0 1

x aproxinac ioacuten obteniuo por el lleacutetoO

o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo

3 Consiuereiexcliexclos el circui t o c la fiiexclara adjunt a Los int e rrLlptorcs

~lcelcn estar abi ertos o cerralos con probabiliJaJ 12 Para que pase co shy

rricite J Jebe es t ar cerraJo por

l o [enos UJ int errupt or tCC caua

fila horizont al El lliacutelT1CrO Je ciexcl shy3 sos en cue est o ocurre es (2 - 1)

2(2 -1) ~ 21 Y el n1cro ue casos

26 posibles es ~ 64 Por tanto

l a probabiliael ele que pase corrien

t e es p ~ 2164 ~ 0 33

iquestCOacutellO sirllllar csta si tuac i oacute y

resol ve r el problema con una tabla

Jc ntli1cros aleatorios PoJenos aCr~

ar los nuneros Jc la tab lD Cl grllpOS de 6 Lliacuteg i t os corrcspoIll1icndo caja nuacute

)lCrO a -n interruptor Gcl CIacuteYC lUuml to Ir-t er pret aiexclos los nUacuteficros pares (inclui shy

uos el O) corlO jmlicador cs Jc que no pasa corri ent e (ir~eacutecrruptor abierto) y

l os irlIlares ue que siacute pasa corrient e (i nt ernliexcl)tor cerrolo) Para que pas e

corr ient e por el ci rcui to entr e los tres priLCros lUacuteflcros del gnllo Jebe

hal)cr por lo Llenos pno qlC se1 irj p~lr entre los dos s igu i entcs Jebe haber

por lo menos W10 que t 2lb ieacuten sea iRpar y e l sext o debe ser inpar nalizanshy

do seguacuten este criterio los 66 grupos de 6 nuacutemeros q i iC se pucJcn f O713Y CO~l

los 400 diacutegi tos de la taLl~ anterior se encuentra ltuc inJ icanl~o con que

no pasa corr iente y por S que s iacute pasa corricrte IJOY el circiJ i to l a suces ioacuten

resultaJl t e es

-1 8 shy

~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )

i s ~cci- 52 tt( iCiexcl- ~ (6 casos de los c~lcs 22 corres~o ien a la letra

S L~ rohabi l i da 1uscadCiexcl rlcciJa por es t e meacuteto~o expcrljiexclcntal resulta

)J = 2266 = 0 33 La aprOX iJ1ilCioacuten con el resultaJo teoacuterico es muy notable

Pareceriacutea que nos heros cleteniJo en una pos icioacuten favorable para ver si eacutes

t e ha sido e l caso coavendriacutea se~uir con la tabla de nuacutemeros al azar

Insistinos en que en estos casos en que se pueJe calcular la probabil~

lad teoacutericamente de manera s imple el loeacutetoJo Jc middotlonte CarIo no tiene inteshy

ramps r raacutectico pero lCrmiddoto5 puesto ej clplos simples para hacer COilprcnJcr el

reacutetodo En casos en que e l caacute l cul o exacto es J ifiacutecil o irlposible e l eacutetoshy

Jo es Je Ducho valor

7 Dos ejeDpl os Je [lrobabilIacutel~ades continuas Cuando los casos posibles

y favorables se pueJen representar por los puntos de un intervalo o de una

f i gura del plano o del espacio se trata de un problena de probabil iJades

cont i nuas y la probab iliclad se clefine entonces (supolienJo los casos igualshy

lont e probables ) COflO el coci ente le las neJiJas (longitudes aacutereas o volG

menes) VaJ-)os a Llar un ejcJlp l o

l Para ir D la escuela tengo que t Or1ampr dos oacutellnilxl s La espera llaacutexi~lla

pra el pri1ero es Je JO rinu t os y para el segundo Je 8 iexcllIacutenut os SabienJo

que el tic-lpo e viaje efectivo es de 20 7 i mlt os iquestqueacute probdl i] idad tengo

e ll egar l O hora s i salgo de casa 30 ninuto s antes

y

B

o

SoLlC i oacuten LlaJ~alJo x al tiempo ue

espera para el pricaer oacuterrmibus e y

al t i e middotpo de espera del segundo t~

neillOS l as conJic iolles x 10 y~ 8

~os casos pos ibles son por tanto t

toJos los puntos de l aacuterci lel rectaacuten

gulo de laJos 10 8 o sea SO Los

casos favorables corresponJen a l os pWi

t os para los cuales es x + y 10 105

10 x cuales son los que const ituyen e l aacuterea

rayaJa en la fi gura Por tanto la probaLil uumlao huscaJa es

p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6

-19shy

2 Suponiquestarno5 C1 ~)l ano ray~Jo con 1iacuteneas paral elas a uistancia a

Si sobre el nisrlo se arroj o (1 lzar un seb1nento (aguja r ilil~o) Je 1cnshy

githl st D 10 poL~l~i l idad c que corte a alguna parlcJCi es

2 s iexcl = uo

La conJicioacuten s lt a se inponc para que el segmento no puela cortar a

naacutes Jc una par~lcliquest~ Si es sgt 3 entonces la foacute r hlla anterior la cltr~uumlor

nCI~icll uacutecl nuacuterero lt~ r1Ymiddot~ os de inersccc i oacuten del sC61lentG con las par -uacutecshy

las

La foacutemula antcri0r no se ptce J el)OStrar a nivel sCcUlCario Sin eL

bargo se puec 2ltlr s jn Jcostr(cioacuten y conrrobarJ ~ experil~enti11L1cnte El

haz de rectas paralelas se pilclc Il i bujar en el suelo o sobre un] iacutenesa En

vez Le 1Tiexclmiddotojar siexclJccsivm~entc un segJ1ento y ~ividir el nCrnero de veces que

co-ta por el nuacutencro tot~l l~ e veces s e pueue ta~1bieacuten lt1rToj ar le unltl sola

ve~ ti-l lanojo le seiquest~lcntos (p l iacutellos o agujas) y ( iviJir el nuacutemero de los

que cortan D a l guna p~raleLl por el nuacuteiexclcro total Se PUCtc tmbieacuten arroshy

j ar W1 segnento de lOlgi t url cualqui era ~ayoY que a Cltonccs al J i viu ir

la SlUna dE los rUlitos le interscclioacuten por l~ l nUacuteJ71CrO de vcces qJe se ha 1shy

rroj8t1o se tic~EC el rlIacuteso valor Jc la foacutenlula laua cue ya no cs la prol~

LilidltJ ~1 sino el alcr ~CclO

Si en 11 foacuten~ula tbLeacutel se JcspejJ iacuteiacute 25[2 y se calcul a p por el iexcle

t OlLO cxper i ncntal anter ior 1 se tiene U~l~ Tarela lt~e ca lcular al azar el nJ

iexcliexclcro 1T Este problemiddotta se coroce con el iexclolcre dC problema de la aguj al

uacutee buffQJ

i iexclay otras l~luchas J1eras de cal cul ar 7iacute COI-O resuumll tiexcliexcldo Je l e probabi ~

lil(1l~ lt1e U~1 hecho u1 azar Ora na-Iera e~ l a s iacuteJuicnte cQj ls iderciexclos en

e l plaro farc3do tollos l os pmtos de coortlcn2das cnteras o sea los veacutershy

tices dc la Jivisieacuten del pJano en clacrados ue l a(~() imi~jal- l~eccrtemos ffi

c iacuterculo de raio tmjJad y arToj eacutenoslo al azar sobre el p13no_~1 nd1~ero

iexcl r ande de veces Anotcrcs cJca vez el ruacute~le l~o de veacutertices Jel cuauriculaJo

qLe queJ an c1liIacutecrtos pOt~ el ciacuterculo 511znJo estos nuacutencros y uiviJicrJo

por el nill~ero total Je veces que se ha arrojado el cl i sco ) se tcnuraacute e l

valor iexclcdio iquestel n(ucTO 0c puntes cubiertos Se pueue uemos tr-ar que este

-20shy

valor meuio es i 6ual a ff le uanera que al proceder cxpelimentalmel1tc

taubieacuten Jebern obtcre cjc valores aproxiraaLos de este nCu1ero

S CTcciricnto de pollacio~es El estuclio y caacutelculo Je i Ivalores 1(shy

l~ios se suele hacer en estadiacutestica si bien pu0le liaccrse ya veces con

viene hacerlo en otros varios Clp iacutetulos Je la matemaacutetica

La fOacutelula claacutesica del i rllcreacutes cOlpuesto pUGJe interpretarse TaJilbieacuten

COlO la foacuternul a Jel T1crcciruacuteento Jc Ul1a poblacioacuten (ciucla2 paiacutes) baj o

la Lipoacutetesis ele qLe la t2sa Je creci1uumlento es proporcional El la poblacioacute-iexcl

ruumlsDa es decir que el nuacutenero total de naciruumlentos es Tila)or CGanto mayor

es lJ poblacioacuten total [ntonces si r es la tasa Je creciri cnto anLlal y

n la poblacioacuten al cabo J 1 antildeos (0 es la poblacioacuten inicial ) se tiene

Para n2 antildeos la foacutemula se escribe

y Je aJ1bO-s foacuternulas resulta

=( )shy n2 n O

es Jecir la poblac ioacuten a la ruacute t aJ lic un periacuteodo es iiquestllal a la meLia gcOllsect

trica cie poblacioacuten en l os cxtreiexcllos inlepen~ientcrJentc ele la tasa Je creshy

cimiento r

Por ej er1plo si en una ciuCau en 1960 teniacutea lOJ habi taIltes y en 1970

tcrla 16105 1 se c3lcul~ que er 1965 tlelJiacutea tener 105(16)12 === 12410 5

hltlbi taDtes Otro cJ emplc UTl2 poblacioacuten lle 60000 Labi t antes hace 5 ailos

que tcniacute1 40000 iquestCUD1tos se estita que tenclraacute Jentro ue 5 antildeos Se tiene 12la ecuacioacuten 60000 = (~OOOO x) ele llonde x = 90000

1I1 ceral la hipoacutetesis hecha Je que las poblaciones crecen cmiexclo la

foacutenyUacutea del ca]i t81 en eJ intereacutes corlpuesto se ajusta castante a la reashy

] iJaJ sierlpre que no Laya notivos dc excepcioacuten que perturben esta ley ue crec ento

CuatKio se estudlan liacuteuacutetes y aparece el nuacutenero e hay que vincular

-21shy

el resultaltlo con el intereacutes continuo (intereacutes compuesto en que la capi

talizJcioacuten se lace ins tantaacuteneamente) La foacutermula resulta entonces

1 vale tarbieacuten paruuml cualqu ier fenoacuterleno Je creciJliento en el que se SLlp02 1 ( _ ga que 1a tasa ue CrCC1llcnto tota lfUte (le ~ t para t tendiendo a

cero) es proporcional a C Si r es negativo se escribe

-rt )iexcl t = ~O e

1 es l a foacutermula de l decrecimiento Je poblaciones Esta foacuterrlluumla aparece

en mucl~as s ituaciones Si se pregunta en cuanto tiempo O se habraacute reltlushy

ciJo- a la mi tae ponienltlo J = NOn r esulta t = (lr) lag 2 Este valor

se llaJ~a l a vida ncdia tic la poblac ioacuten 1 es curioso observar qLle no ltle

pende ltle 0

9 middotIiscelaacutenea VaJ10S a ltlar algunos ej cmplos ele ej crcicios varialtlos

corlo moJcl os lt-le situaciones frecuentes Caja profesor Jcberiacutea ir colecci2

nn1do cj ercic ios anaacutelogos aJapt aLios al nClio ambiente ue la clase

1 Correlacioacuter Is tutii o colparativo Je las calificaciones ltle los alliexcliexcl

nos en diferentes disciplinas Se anotan l as cal ificaciones J e los alurmos

ele la clase en iexcliexcltemaacuteticas 1 en otra iexcliexclateria (por eje~plo fiacutesica o muacutesica)

1 se r epresentan en el pluno tor1aado estos pares Ce nUacuteTler os como las coor

JenaJas cartes ianas Je l os puntos al que ver luego si es tos puntos esshy

taacuten o no naacutes o menos en liacutenea recta Se puede calcular el coeficiente Je

correlacioacuten 1 J ibuj ar la lccta Ce reresioacuten j acienCo lo pismo con otros

pares ltc nat erias se puede comparar el r-ayor o Henar graJc ltle correlac ioacuten

entre ellas

Convj ene Jar eje1lJllos en que no existe l a correlacioacuten nota CJl ateshy

iexcl-aacuteticas y (~is tancil a que el alwiJ10 viacutec de 1 ~ escuela) 1C50 l~cl al~Eulo y

(t( l~e ~~ cr fiJe n~ c ioacute 15 conveni ente llevar al aiexcl la est aJiacutesticas

~cl paiacute s o de l a ciudad en que se vive (cantidades fabricadas de ciertos

productos r esultado de cosechas temperaturas iacutendices de enferrleltlaJes)

1 analizar posibles correlaciones entre ellas En general los caacutelculos

son engorrosos pero se hace faacutecilr1ente con una cor1putadora aunque sea de

bolsillo

-22shy

2 Probabilidad cor~uesta Para obtener un cierto cargo o para ser

seleccionado para formar parte de un equipo se presentan 12 candidatos

de los cuales hay que elegir primero una terna y despueacutes dentro de esta

terna se elegiraacute el candidato Suponiendo que todos los candidatos tieshy

nen los rlIacutesmo meacuteritos iquestcuaacutel es la probabilidad lle ser elegido

Para ser puesto en la prinera terna la probabilidad es 31Z = 14

Y para la segunda eleccioacuten la probabil idad es 13 Por tanto la probabili dad pedida es llZ Obseacutervese que se podriacutea haber razonado asiacute puesto

que los lZ candidatos son igualrlcnte probables la probabilidad de ser ele

gido es llZ independientel~ente de las el iminaciones parciales cualesshy

quiera que estas sean

3 Inllependencia Al recolectar Jatos para muestras dc las cuales se

quieran deducir resultados probabiliacutesticos hay que cuidar mucho la inde

pendencia asiacute como el tamano o nuacutemero de los mismos

En el capiacutetulo destinado a Probabilidad y Estadiacutestica del libro cue

vas tendencias en la Ensentildeanza de l a ~1atemaacutetica vol III (UJoESCO 1973)

se cita un ej emplo curioso de Engel seguacuten el cual para los alumnos de

dos clases de 50 grado en una escuela de Stuttgart resultoacute que el conjUIl

to de mujeres de sus familias (hermanas) era tan soacutelo la mitad del conjw

to de varones (hermanos) Como se sabe que en la poblacioacuten total en toshy

dos los paiacuteses los nuacutemeros de varones y mujeres son praacutecticamente iguashy

les se tiene un ejemplo de que las muestras por ser deraasiado pequentildeas

o por tener alguacuten sesgo subyacente pueden comlucir a resultados erroacuteshy

neos La estadiacutestica de meacutetodos para deducir en cada caso el grado de

confiabilidad del resultado

Respecto de la independencia se puede observar que 3 variables ale~

torias x y z pueden ser independientes entre siacute dos a dos y no ser inshy

dependientes en s_u conjunto He aquiacute el siguiente ejempl o de lreudenthal

(Probabili ty and Stat istics Llsevier Amsterdam 1965)

Una laacutempara estaacute controlada por dos interruptores A B Cuando los

dos estaacuten abiertos o los dos cerrados la laacutenpara estaacute apagada y si uno

estaacute abierto y el otro cerrado la laacute1para estaacute prendida Se sabe que A

y il se usan con la misrla frecuencia y que la laacutempara estaacute prendida la mishy

-23shy

taJ del diacutea Sea x la variable aleatoria del interruptor A tal que

x ~ O si A estaacute abierto y x ~ 1 si estaacute cerraJo Anaacutelogamente sea y la

variable aleatoria que con los iexcluumlsmos valores se refiere a B y sea z la

que se refiere a la laacutempara (z = O si estaacute apagada y z ~ 1 si estaacute pren

elida)

Se tienen las siguientes probabil idades

~pez = olx = O) pez = olx = 1) = p ez = liexclX O) = pez = llx = 1) x 12

~pez = o ly = O) = pez = o ly = 1) = pez 11 y = O) = pez = lly 1) 12

lo que prueba que l os pares (x z) (y z) son independientes asiacute como por

hipoacutet esis el par (xy)

En cambio es

pez ~ O x = y) = 1 pez ~ O x f y) O

lo que prueba que x yz en su conjunto no son i rdependientes

4 Distribucioacuten de las letras en el idioma castellano La frecuencia

de las letras en el i J ioDa castellano es una fuente de ejercicios de esshy

tadiacutestica y probabilidad interesante porque se tiene siempre el material

a mano y permite vinculaciones con la l inguiacutestica Contanto el nuacutemero de

veces que aparece una determinada letra en una paacutegina de un libro y divishy

eliendo por el nuacutemero total ele letras se tiene l a frecuencia corresponshy

diente a dicha letra Se pu~le proponer a l os alumnos que l o hagan con

distintas l etras y en distintas paacuteginas Ver si para una misma letra

los resultados son bastantes coincidentes y para distintas letras ordeshy

narl as por su f r ecuencia de aparicioacuten

Puede ser uacutetil para comparar la siguiente t abla de frecuencia (los

nuacutemeros indican el tanto por ciento) calculada por A Garciacutea del Busto

(Acta ~1exicana de Ciencia y Tecnolog iacutea vol IV 1970 paacutegs 94-133)

-24shy

u 347

b a 987 h 0 S9 ntilde 013

v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018

e 11 24 q 0 82

y 0 71

f 061

1 4 j 51 r 540

11 240 s 6 45 z 0 30 +n

b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I

El uacuteltimo dato espacio significa el espac lO entre palabras

Obs~rvesc que en es t e caacutelculo la letra 11 ha sido cons ider ada como

uos veces el siacutembolo 1

Con estos da tos se puede p~iexcl ir iquestCuaacutel es el n~ero de veces que una middot

determinada l et ra apareceraacute en pr omedio en una paacutegina Hay que estir1ar

el nuacutemero de l etras ele cada paacutegina (contando el espacio entre palabras

como un siacutembolo) y tener en cuenta el porcentaje anterior

En es te tipo de anaacutel is is elel i el i oma se puede pedir tanbieacuten calcular

el nuacutemero ele l etras promeJ io de las palabras En el artiacuteculo citado Gar

ciacutea del Busto da t wabieacuten l as frecuencias de los diagramas (pares de leshy

tras) y los trigr amas (ternas ltle letras) maacutes frecuentes asiacute como la fre

cuenci a de caJa letra cuando se conoce la anterior o las dos anteriores r

-25shy

l3I BLIOGlvF lA

ADERSOiiacute RD atemaacuteticas para el prirer ciclo secwlUario Vol 1 -II

Grupo de Estudi o le la latcmaacutet ica Escolar (S~SG) StanforJ Universi

ty Press Palo Alto California US A 1962

- ARJXlGAST G et al Recopilacioacuten organizacioacuten e interpretac ioacuten le dashy

tos Trillas ~leacutexico 1970 (traJuccioacuten Jel Booklet ndeg 16 The ati~

nal Council of Teachers of ~athematics publicada con la ayuda del

Centro Regional de Ayuda Teacutecnica (RTAC) Je la Agencia para el Desa shy

rrollo Internacional (AID)

BHAllLEY J 1 ~cCLELLmiddotj) J Conceptos baacutesicos Je es tadiacutest i ca Manual

~loderno leacutexico 1972 (traduccioacuten Je Bas ic Statistical Concepts ---

A Self-Instructional Text publicado con la ayuda del Centro Reiexclioshy

nal de AyuJa Teacutecnica (RTAC) de l a Agencia para el Desarrollo Intershy

nacional (AID)

- CRl1ER liacute ElerlOntos de la teoriacutea Je probabiliJaJes y aplicaciones Ashy

gu ilar j1aJriJ ]9634

- FELLER 1 An introuctiOl to Protnbili ty Theory ane i ts Al i~ ti otCs

Vo~ John ~ilcy ~ Sons 7 ~UCV2 York J9 5)

FlRlA11EZ l ProhabiliJ alles 1l11 icaciones del Instituto Je k~ tenaacutetishy

cas Puriexcls y AplicaJas de Riacuteo de Janeiro Riacuteo ltle Janeiroilras il1973

- FPJE Lgt 1 rntrouction to Statistical In[crcnce AJdi son--esley Hea

din Iassachusetts 1963

GLYk VARGA T Les proLa~iliteacutes a l eacutecol c CEDrC Lyon Franshy

cia 1973

KREYSZIG E IntroJnccioacuten a Id estaJiacutestica iexclatcnaacutetica Ewitorial LilflU shy

sa-Iilcy hico 1973

SATAlO LA Probabil iiquestltld ce inferencia estaiiacutestica ~lonografiacuteis J e la

OEA na 11 lashiacutengton ~)C USA 1970

- SI 2RLOCK AJ Estaiacutestiacutecas y probabilidades hli torial Vicens Vives

5arce1ona 1969

- SPIECEL ~1 Estadiacutestica cGruv - j liD Cook Co Panamaacute 1969

- UESCO 0uevas Tenclencbs en l a EnseIacutelanza ele la atemaacutetica Vol III

1973 (traduccioacuten castellalla por la Ofic i na de Ciencias par a Aneacute shy

rica Latina onteviJco)

-27shy

La diagramacioacuten de esta publicacioacuten fue realizada por el personal de Graficacioacuten y Disentildeo contramiddot tado por la Drganizacioacuten de los Estados Amerimiddot canos e impreso en el Servicio Reprograacutefico de la Direccioacuten Nacional de Investigacioacuten Experishymentacioacuten y Perleccionamiento Educativo

(DIEPE)

Febrero 1977

INV OrrH3 SolO ~

51Z ~I iexcl

iW~ Aacute L _-

MINIStERIO QB ctlLTURA Y BDOCAClON

Ministro Prol RiClllrUacuteJ P Bruera

Secnltario de Estado de Educacioacuten Controlllmi7l1Jte RE JEnrique L CarrIlllZll

Subsecretario de Estado de Educacioacuten Pral Bellido C A Yilarreal

DIRECCION NACIONAL DE INVESl1GACION EXPERIMENTACION y PERFECCIONAMIENTO EDlICAl1VO (D 1 E P E)

Director Dr Bnmo L Cmpinen

Directora del Proyecto Multinacional para el Mejoramiento de la Bnsdanza de las CienCias

Insp MI1bel Stok1e

ORGANlZACION DB LOS IlSfADOS AMERICANOS

p(OGRAMA REGiONAL DE DESARROLLO EDUCAl1VO

Director del Departamento de Asuntos EducatiVos DI Hugo Albornoz

DiYisioacuten DesarroUo del Curticulum Dr Ovidw De Leoacuten

EsPeeiaJista del Departamento de Asunto Educativos en la Repuacuteblica Argentina

DrIl Ineacutes C de LtjmtlllOvich




























nas etc

-1shy





nera etapa

















Jar









-2shy











t as prop ieJatles
















11lt11 bull





bab iliJaJ

-3shy











nonlal



o ue corputtdoras


















-4shy












y a toda la c l ase












paiacutes)


- 5shy



(4~ )



junto









es el adjunto


15018 1446814314

13581

3854

2715

p pM u

1954

M

1965

191 5

M u p u p M u 1960 1968

- 6 shy


















gual o mayor que )

















-7 shy



otras semanas




bull 20lunes 6 10 S



















sistentes

-8shy






tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165















y punto Jeuacuteio

145 -149

150-1 54

155-159

160-1 64

165-1 69

Total

1475

152 5

1575

1625

167 5

2

3

4

3

3

15

2

5

9

12

15

295 0

57 5

6300

87 5

502 5

2372 5



l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1

-9 shy






Observaciones







dio es 1475 = (145 + 150)2





















-10shy


































-llshy













52 kgr












su peso






-12shy






















5


8


73 6




jugadas

5

4

_

-13- shy

21




sen

- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +

~ 32

1 )7 = = OC07 123
















segunJo osea B








-14



la c1ase















-15shy

o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O

5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7

S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3

3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9

9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5

4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6

1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8

4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8

1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6

S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3

S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1

9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O

4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5

S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579

2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1

4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5

3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516

9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4

S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O











-16shy


S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -

S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4




24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75









O~ x 1 O Y 1














-17shy







o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo









t e es p ~ 2164 ~ 0 33














resultaJl t e es

-1 8 shy

~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )





















y

B

o












p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6

-19shy




2 s iexcl = uo




las















uacutee buffQJ










-20shy














=( )shy n2 n O



cimiento r









-21shy





-rt )iexcl t = ~O e





pende ltle 0












entre ellas








bolsillo

-22shy

































-23shy





elida)






En cambio es
















-24shy

u 347


v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018

e 11 24 q 0 82

y 0 71

f 061

1 4 j 51 r 540

11 240 s 6 45 z 0 30 +n

b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













-25shy

l3I BLIOGlvF lA













nacional (AID)










cia 1973


sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





-27shy


(DIEPE)

Febrero 1977




























nas etc

-1shy





nera etapa

















Jar









-2shy











t as prop ieJatles
















11lt11 bull





bab iliJaJ

-3shy











nonlal



o ue corputtdoras


















-4shy












y a toda la c l ase












paiacutes)


- 5shy



(4~ )



junto









es el adjunto


15018 1446814314

13581

3854

2715

p pM u

1954

M

1965

191 5

M u p u p M u 1960 1968

- 6 shy


















gual o mayor que )

















-7 shy



otras semanas




bull 20lunes 6 10 S



















sistentes

-8shy






tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165















y punto Jeuacuteio

145 -149

150-1 54

155-159

160-1 64

165-1 69

Total

1475

152 5

1575

1625

167 5

2

3

4

3

3

15

2

5

9

12

15

295 0

57 5

6300

87 5

502 5

2372 5



l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1

-9 shy






Observaciones







dio es 1475 = (145 + 150)2





















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52 kgr












su peso






-12shy






















5


8


73 6




jugadas

5

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_

-13- shy

21




sen

- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +

~ 32

1 )7 = = OC07 123
















segunJo osea B








-14



la c1ase















-15shy

o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O

5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7

S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3

3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9

9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5

4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6

1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8

4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8

1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6

S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3

S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1

9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O

4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5

S 4 S 3 1 4 O 2 9 8 4 9 9 8 8 6 5 579

2 4 6 1 9 7 8 5 567 8 4 4 7 1

4 320 4 S S 8 2 o 4 S 4 4 3 6 926 5

3 4 6 6 8 2 6 9 9 9 2 6 7 4 2 9 7 516

9 3 1 3 7 4 8 9 2 S 7 5 9 2 8 4

S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

3 O 1 O 5 081 3 3 O O 9 9 7 9 197 O











-16shy


S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -

S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4




24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75









O~ x 1 O Y 1














-17shy







o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo









t e es p ~ 2164 ~ 0 33














resultaJl t e es

-1 8 shy

~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )





















y

B

o












p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6

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cimiento r









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En cambio es
















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v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018

e 11 24 q 0 82

y 0 71

f 061

1 4 j 51 r 540

11 240 s 6 45 z 0 30 +n

b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













-25shy

l3I BLIOGlvF lA













nacional (AID)










cia 1973


sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





-27shy


(DIEPE)

Febrero 1977





nera etapa

















Jar









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t as prop ieJatles
















11lt11 bull





bab iliJaJ

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nonlal



o ue corputtdoras


















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y a toda la c l ase












paiacutes)


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junto









es el adjunto


15018 1446814314

13581

3854

2715

p pM u

1954

M

1965

191 5

M u p u p M u 1960 1968

- 6 shy


















gual o mayor que )

















-7 shy



otras semanas




bull 20lunes 6 10 S



















sistentes

-8shy






tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165















y punto Jeuacuteio

145 -149

150-1 54

155-159

160-1 64

165-1 69

Total

1475

152 5

1575

1625

167 5

2

3

4

3

3

15

2

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15

295 0

57 5

6300

87 5

502 5

2372 5



l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1

-9 shy






Observaciones







dio es 1475 = (145 + 150)2





















-10shy


































-llshy













52 kgr












su peso






-12shy






















5


8


73 6




jugadas

5

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_

-13- shy

21




sen

- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +

~ 32

1 )7 = = OC07 123
















segunJo osea B








-14



la c1ase















-15shy

o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O

5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7

S 9 5 2 3 3 S o 1 7 4 699 3

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b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













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l3I BLIOGlvF lA













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sa-Iilcy hico 1973




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(DIEPE)

Febrero 1977











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191 5

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145 -149

150-1 54

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Total

1475

152 5

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2

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3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9

9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5

4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6

1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8

4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8

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S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1

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S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

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2

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3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9

9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5

4 1 O S 4 lOS 1 8 7 4 1 2 1 5 9 6

1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8

4 O 6 4 4 1 7 1 7 O 1 3 463 1 8 2 8 8

1 O 3 7 5 7 6 S 1 S 6 2 9 3 6 9 o 7 5 6

S 7 1 8 S 7 9 1 O 7 S 4 2 2 2 2 2 O 1 3

S 1 2 7 2 3 O 2 1 3 9 2 441 3 9 6 S 1

9 4 O 1 2 4 2 3 6 3 O 1 2 6 1 1 O 6 S O

4 O 6 4 5 2 2 8 4 1 S 3 2 544 4 1 2 5

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S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

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2

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dio es 1475 = (145 + 150)2





















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1 4 ~ 7 2 ( S 1 6 7 2 7 5 S S O o 3 6 8

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Total

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2

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5


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-16shy


S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -

S - - 5 - S - - 4 4 ( - S 4




24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75









O~ x 1 O Y 1














-17shy







o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo









t e es p ~ 2164 ~ 0 33














resultaJl t e es

-1 8 shy

~- S S 5 lt S ~ ~ )S S ~ -)~) gt~ ~ iexcl )





















y

B

o












p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6

-19shy




2 s iexcl = uo




las















uacutee buffQJ










-20shy














=( )shy n2 n O



cimiento r









-21shy





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pende ltle 0












entre ellas








bolsillo

-22shy

































-23shy





elida)






En cambio es
















-24shy

u 347


v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018

e 11 24 q 0 82

y 0 71

f 061

1 4 j 51 r 540

11 240 s 6 45 z 0 30 +n

b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













-25shy

l3I BLIOGlvF lA













nacional (AID)










cia 1973


sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





-27shy


(DIEPE)

Febrero 1977


















gual o mayor que )

















-7 shy



otras semanas




bull 20lunes 6 10 S



















sistentes

-8shy






tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165















y punto Jeuacuteio

145 -149

150-1 54

155-159

160-1 64

165-1 69

Total

1475

152 5

1575

1625

167 5

2

3

4

3

3

15

2

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12

15

295 0

57 5

6300

87 5

502 5

2372 5



l Tcclenc i1 23725 1 5=12 1

-9 shy






Observaciones







dio es 1475 = (145 + 150)2





















-10shy


































-llshy













52 kgr












su peso






-12shy






















5


8


73 6




jugadas

5

4

_

-13- shy

21




sen

- = - = ~ ) gtl1 = 2 -shy~ 1( +

~ 32

1 )7 = = OC07 123
















segunJo osea B








-14



la c1ase















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o 6 S S S 4 5 3 3 3 S 4 5 3 2 O

5 2 S J 1 6 4 8 S 0 4 2 9 464 7

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9 O S 2 c 5 6 S 463 S o 6 S 5

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S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

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-16shy


S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -

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24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75









O~ x 1 O Y 1














-17shy







o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo









t e es p ~ 2164 ~ 0 33














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p = (2 8 + 382)80 = 4880 = 0 6

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bolsillo

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En cambio es
















-24shy

u 347


v 0 80 1 594 o 769 deg97 w 000389 029 I 220c J P d 412 I k 001 x 018

e 11 24 q 0 82

y 0 71

f 061

1 4 j 51 r 540

11 240 s 6 45 z 0 30 +n

b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













-25shy

l3I BLIOGlvF lA













nacional (AID)










cia 1973


sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





-27shy


(DIEPE)

Febrero 1977



otras semanas




bull 20lunes 6 10 S



















sistentes

-8shy






tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165















y punto Jeuacuteio

145 -149

150-1 54

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Total

1475

152 5

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1625

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2

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15

2

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295 0

57 5

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Observaciones







dio es 1475 = (145 + 150)2





















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S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

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o 0 1 02 0304 05 06 0 0809 1 Jo









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Febrero 1977






tros son 145 148 151 152 154 156 158 159 160 162 164165















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145 -149

150-1 54

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Total

1475

152 5

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2

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Observaciones







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S 1 7 9 8 O 8 1 3 3 G 1 O 1 O 9 7 7 3 O

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-16shy


S - 5 4 - 4 4 4 6 - - ) lt 5 S - 5 - 4 ti - - 5 - S - - e - S - -

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24 - 2 7 r 5 = 75 = t) ) ) = = OJ9 6 75









O~ x 1 O Y 1














-17shy







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e 11 24 q 0 82

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b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













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nacional (AID)










cia 1973


sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





-27shy


(DIEPE)

Febrero 1977






Observaciones







dio es 1475 = (145 + 150)2





















-10shy


































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5


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jugadas

5

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segunJo osea B








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I













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cia 1973


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5

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sen

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I













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l3I BLIOGlvF lA













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sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





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(DIEPE)

Febrero 1977













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5


8


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5

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I













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5arce1ona 1969





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(DIEPE)

Febrero 1977






















5


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Febrero 1977

21




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3 1 S 7 4 8 6 2 5 [) 4 S 6 1 9

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Febrero 1977

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b 0 85 n 592 L 3 83 espacio 1669

I













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l3I BLIOGlvF lA













nacional (AID)










cia 1973


sa-Iilcy hico 1973




5arce1ona 1969





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Febrero 1977




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Febrero 1977














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Febrero 1977





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