Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A

INSTITUTO TECNOLÓGICOMETROPOLITANO

Institución Universitaria adscrita a laAlcaldía de Medellín

VICEDECANATURA DE CIENCIASPROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO

Guía de trabajoSucesiones y series

Cálculo Integral 2009-II

ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo.

COMPETENCIAComprender y aplicar el concepto de serie numérica para modelar y dar la solución a problemas en distintos contextos

INDICADOR DE LOGROAnalizar la convergencia o divergencia de una sucesión de números reales.

NOTAAsegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las definiciones para evitar ideas erróneas.

CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS

Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en orden definido: , donde es el primer término, es el segundo, es el n-ésimo

término.

Notación: La sucesión también se denotará por o

Ejemplo 1. Algunas sucesiones se pueden definir mediante una fórmula para el n- ésimo término, así se tienen:

a. , donde, y la sucesión es

b. , donde, y la sucesión es

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Ejemplo 2. Algunas sucesiones no tienen una ecuación definitoria sencilla. Tal es el caso de la sucesión de Fibonacci , dada de manera recurrente por:

. Cada término es la suma de los anteriores.

Los primeros términos son:

Definición: Una sucesión tiene límite L y se escribe =L o cuando

.

Si para existe un entero correspondiente N tal que siempre que n>N.Si el límite existe se dice que la sucesión converge (o que es convergente). Si no es así, se dice que la sucesión diverge (o que es divergente).

Teorema Si y , donde n es un entero, entonces

Nota: Si , entonces la sucesión es divergente.

Ejemplo 3 La sucesión es divergente ya que .

Propiedades de las sucesiones convergentes

Sean y sucesiones convergentes y c una constante, entonces

1.

2.

3.

4. , si

El teorema del emparedado también se puede adaptar para sucesiones en la siguiente forma.

Teorema Si , para n y entonces

.

Otro hecho de utilidad respecto a los límites de las sucesiones se establece en el teorema siguiente.

Teorema Si entonces

Ejemplos

a. Determine

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Dividamos el numerador y el denominador por la potencia más alta de n y

utilicemos las leyes de los límites

b. Calcule

Note que el denominador y numerador y denominador se van par infinito conforme . La regla de L´Hospital no se puede aplicar en forma directa.

Sin embargo podemos aplicarla a la función relacionada y obtener:

Por lo tanto tenemos

c. Determine si la sucesión converge o diverge.

Si escribimos los términos de la sucesión tendremos , ya

que los términos de la sucesión oscilan entre -1 y 1 infinidad de veces, no se

aproxima a ningún número; como consecuencia el no existe; es

decir, la sucesión diverge.

d. Evalúe en caso de que exista

Aplicando un teorema visto antes tenemos

Por tanto,

El siguiente teorema establece un criterio para las sucesiones llamadas geométricas

Teorema La sucesión converge si y diverge para los demás valores de r.

Ejemplo 4

a. La sucesión , diverge ya que >1

b. En cambio converge a cero, ya que

Definición Una sucesión se llama creciente si par todo n>1, en otras

palabras Se llama decreciente si para todo n>1. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.

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Ejemplo 5 La sucesión es decreciente por que

Definición Una sucesión está acotada por arriba si existe un número M tal que

para todo n>1. Y está acotada por abajo si existe un número m tal que

para todo n>1. Si está acotada por arriba y por abajo se dice que está acotada. Y se tiene el siguiente teorema.

Teorema toda sucesión acotada y monótona es convergente

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Haga una lista de los 5 primeros términos

a.

b.

c.

2. Determine si la sucesión converge o diverge

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

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m.

3. Determine si la sucesión es creciente , decreciente o no

a.

b.

c.

d.

4. Demuestre que la sucesión definida por

Satisface que que es decreciente. Deduzca que la sucesión es decreciente y determine su límite.

5. Halle el límite de la sucesión

BIBLIOGRAFÍA

DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992.

HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Sexta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1998.

LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003.

PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992.

STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994.

STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición. Bogotá: Thompson editores, 1999

http://www.branchingnature.org/Sucesiones_Series_Dario_Sanchez.pdf

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http://library.thinkquest.org/C0110248/algebra/apgpintro.htm

http://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-series.html

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