APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS CON ENTENDIMIENTO: UNA CONSIDERACIÓN CRÍTICA DE LA

APRENDER PRINCIPIO EN LOS PRINCIPIOS Y NORMAS PARA LA ESCUELA MATEMÁTICAS

Andreas J. Stylianides

Universidad de California-Berkeley

Gabriel J. Stylianides2

Universidad de Pittsburgh

Resumen: El aprendizaje con comprensión ha recibido cada vez más atención por parte de los educadores y psicólogos, y progresivamente ha sido elevado a una de las metas más importantes para todos los estudiantes en todas las materias. Sin embargo, la realización de este objetivo ha sido problemático, especialmente en el dominio de las matemáticas. Para ello puede haber contribuido el hecho de que, a pesar de que la visión de los estudiantes que aprenden matemáticas con comprensión ha aparecido con frecuencia en los marcos curriculares, esta visión ha tendido a ser mal descrito, lo que ofrece un apoyo limitado para el desarrollo curricular y la política. El Principio de Aprendizaje en los Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares, un marco de plan de estudios de matemáticas influyente en los Estados Unidos, parece que hacer un esfuerzo para romper con esta tradición, ofreciendo una descripción basada en la investigación de lo que implica que los estudiantes aprendan matemáticas con comprensión. En este artículo se examina la medida en que el principio de aprendizaje cumple con este objetivo a la luz del trabajo seminal de estudiante en el aprendizaje de las matemáticas con comprensión. Por solidificar algunas ideas clave establecidos en el principio de aprendizaje y por la identificación de ideas para un nuevo examen, el artículo contribuye al desarrollo de las mejores descripciones de los marcos curriculares de las cuestiones relacionadas con la promoción del aprendizaje significativo en la escuela.

1. introducción

¿Cómo es que hay tantas mentes que son incapaces de entender las matemáticas? ¿No hay algo paradójico en todo esto? Aquí es una ciencia que sólo apela a los principios fundamentales de la lógica, el principio de contradicción, por ejemplo, en qué forma, por así decirlo, el esqueleto de nuestro entendimiento, a lo que no podía ser privado de sin dejar de pensar, y sin embargo, hay personas a

quienes les resulta oscuro, y en realidad son la mayoría. (Poincaré, 1914, pp 117-118)

Declaración Henri Poincaré capta elocuentemente tanto la relación indisoluble que existe entre las matemáticas y la comprensión, y la dificultad que el aprendizaje de matemáticas con comprensión conlleva. Si bien el aprendizaje de matemáticas con comprensión ha recibido cada vez más atención por parte de los educadores matemáticos y psicólogos y progresivamente ha sido elevado a una de las metas más importantes de la educación matemática de los estudiantes, la realización de este objetivo siempre ha sido problemático. Hay muchos factores que pueden explicar esto, como el conocimiento de los profesores y la pedagogía, el currículo, etc En este artículo, se considera uno de los factores, a saber, el plan de estudios, centrándose en la descripción de un marco curricular de cuestiones relacionadas con la promoción del aprendizaje significativo en escuela. Este enfoque es importante porque, a pesar de que la visión de los estudiantes que aprenden matemáticas con comprensión ha aparecido con frecuencia en los marcos curriculares, esta visión ha tendido a ser mal descrito, lo que ofrece un apoyo limitado a los desarrolladores del currículo.

Los Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares, un marco de currículo de matemáticas recientemente publicado por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, 2000) en los Estados Unidos (EE.UU.), parece hacer un esfuerzo para romper con esta tradición. El documento de Normas ofrece, en una sección llamada el Principio de Aprendizaje (NCTM, 2000, pp 20-21), una descripción basada en la investigación de lo que implica que los estudiantes aprendan matemáticas con comprensión. Este artículo ha sido motivado por el aumento del valor asignado actualmente al aprendizaje de las matemáticas con comprensión como un objetivo principal de enseñanza para todos los estudiantes y por el alto potencial de las Normas de influir en el desarrollo curricular.

Nuestro principal objetivo en este artículo es examinar críticamente la visión basada en la investigación sobre el aprendizaje significativo en las matemáticas escolares que se elabora en el Principio de Aprendizaje (LP). Perseguimos este objetivo discutir los puntos fuertes y débiles de la LP a la luz del trabajo académico que pueda considerarse fundamental en lo que respecta al tema de aprendizaje de las matemáticas con comprensión. Aunque nuestro artículo es sobre un marco de plan de estudios de matemáticas EE.UU., la discusión que realizamos pueden ser de interés para un público más amplio. Hay dos razones principales para esto. En

primer lugar, el caso de los EE.UU. puede ser vista como un indicador de la tendencia actual en muchos países para enfatizar el aprendizaje significativo en los programas escolares en todas las áreas de estudio (especialmente en matemáticas y ciencias). En segundo lugar, las normas han influido en los autores de los marcos curriculares en muchos países.

El artículo se estructura en dos secciones. En la primera sección, aportar pruebas a favor de algunas ideas fundamentales expuestas por el LP. Nuestra discusión "descomprime" estas ideas, la elaboración de cómo encontrar el apoyo de las investigaciones existentes (parte de los cuales no se hace referencia en el LP). En la segunda sección, se discuten algunos puntos que, si bien es importante y justifica la investigación, no están suficientemente tratados en el LP. Las cuestiones planteadas en esta sección representan recomendaciones sobre cómo el LP se podría mejorar. Por solidificar algunas ideas clave establecidos en el LP y por la identificación de ideas para un nuevo examen, el artículo contribuye al desarrollo de las mejores descripciones de los marcos curriculares de las cuestiones relacionadas con la promoción del aprendizaje significativo en la escuela. Una palabra de advertencia aquí es que nuestro examen de la LP se centra en lo que se dice o se hace referencia en el LP. Se podría argumentar que el análisis debía haber examinado el documento de Normas en el que esté integrado el LP. Decidimos no hacerlo porque uno de los aspectos más interesantes de la LP es su esfuerzo aparente de describir - en un texto corto y autónomo - la esencia de las Normas "visión con respecto a los estudiantes el aprendizaje de matemáticas con comprensión.

El artículo en su conjunto también puede ser visto como un estudio de la literatura en el aprendizaje de las matemáticas con comprensión, ofreciendo una interpretación y síntesis de algunos puntos importantes sobre este tema en el que hay consenso. Nuestro enfoque en temas de consenso es deliberada, ya que consideramos que un marco curricular ante todo deben ser juzgados en función de su potencial para comunicar a los diseñadores de currículos puntos bien establecidos que pueden servir como principios rectores en sus esfuerzos para diseñar programas efectivos.

2. La evidencia en favor de las ideas clave que figuran en el Principio de Aprendizaje

El LP apoya la afirmación de que el aprendizaje con comprensión es esencial y posible en las matemáticas escolares. El argumento a favor de un aprendizaje significativo en matemáticas de la escuela se hizo y con el apoyo experimental a principios de los años 1930 (Brownell, 1935, 1940, 1947), y se ha elaborado desde

entonces por muchos defensores de aprendizaje con comprensión (por ejemplo, Skemp,

1976). También ha sido corroborado por los resultados de muchos estudios recientes de diferentes métodos de enseñanza y teórico. Estos estudios: (1) colectivamente hincapié en la importancia de tener sentido en relación con las actividades de aprendizaje de los alumnos de diferentes edades, antecedentes y habilidades (Cobb et al, 1991; Fennema y Romberg, 1999; Hiebert y Wearne, 1993, Silver & Stein. , 1996; Zohar y Dori, 2003), y (2) revelan la necesidad de prestar más atención a la instrucción sentido de decisiones como parte de la escuela de enseñanza de las matemáticas (por ejemplo, Schoenfeld, 1988;. Silver et al, 1993). En apoyo de la LP, este cuerpo de montaje de la investigación sugiere que todos los estudiantes puedan comprender y aplicar conceptos matemáticos importantes. Por otra parte, este trabajo destaca los méritos académicos de los estudiantes desarrollando la comprensión conceptual, y destaca la importancia de las poderosas conexiones que se establecen entre los procedimientos y conceptos cuando se practica este tipo de aprendizaje.

Un punto importante establecido por la LP es que la memorización de hechos o procedimientos sin entender a menudo resulta en la formación frágil. Esta observación corresponde a la investigación que ha demostrado que el dominio de los hechos y el rendimiento de memoria de procedimientos no son suficientes para pensar matemáticamente (Schoenfeld, 1988), obtener las respuestas correctas no implica necesariamente la competencia matemática (Erlwanger, 1973), y el aprendizaje de fórmulas de cálculo es un pobre sustituto para el desarrollo de la comprensión de los conceptos subyacentes (Pollatsek et al., 1981). Lo que quizá sea más importante es que el LP va un paso más allá al señalar que la comprensión conceptual es sólo uno de al menos tres componentes principales de la competencia, los otros dos son el conocimiento factual y facilidad de procedimiento, y que la alianza de los tres que los hace Se puede utilizar en formas poderosas. Esta afirmación se apoya en la investigación que ha demostrado la compatibilidad y la estrecha interrelación entre la competencia objetiva y de procedimiento, y el aprendizaje con comprensión (Bransford et al, 2000;. Hiebert y Carpenter, 1992; Silver, 1987). Silver (1987), por ejemplo, destaca que las formas puras de uno u otro conocimiento conceptual o de procedimiento rara vez se exhiben, si alguna vez, y que "es la relación entre los tipos de conocimiento que da el conocimiento de uno el poder de aplicación en una amplia variedad de entornos "(p. 183, énfasis añadido).

Relacionado con lo anterior es el énfasis de la LP en la relación entre el desarrollo de los estudiantes la comprensión matemática por un lado y hacer conexiones entre ideas y procedimientos matemáticos, por otro. Hiebert y Carpenter (1992) Definición de la comprensión matemática en términos de la forma en el conocimiento está estructurado ilumina esta relación:

Una idea matemática o procedimiento o de hecho se entiende si es parte de una red interna. Más específicamente, las matemáticas se entiende si su representación mental es parte de una red de representaciones. El grado de comprensión está determinada por el número y la fuerza de las conexiones. Una idea matemática, procedimiento, o de hecho se entiende bien si se vincula a las redes existentes con conexiones más fuertes o más numerosas. (P. 67)

Bien conectado e ideas conceptualmente tierra permitirá a su titular a la vez de reconocerlos y verlos como parte de un todo más amplio dentro del cual cada parte comparte relaciones recíprocas con otras partes (Resnick y Ford, 1981; Romberg y Kaput, 1999; Schoenfeld, 1988, 1992). Además, las ideas con estas características se accede con fluidez para su uso en nuevas situaciones (Skemp,1976) y facultar a los titulares con la capacidad de transferencia - es decir, la capacidad de utilizar lo quehan aprendido en los problemas nuevos y desconocidos, y para aprender más rápidamente la información relacionada

(Bransford et al, 2000;. Carpenter & Lehrer, 1999; Hiebert y Carpenter, 1992; Resnick & Ford,1981; Schoenfeld, 1988). En resumen, el aprendizaje de las matemáticas con comprensión implica establecer conexiones entre ideas, estas conexiones se consideran para facilitar la transferencia de conocimientos previos a situaciones nuevas. La transferencia es esencial, ya que la mayoría de los nuevos problemas que requieren solución a través de estrategias previamente aprendidas, sino que sería imposible para un ser matemáticamente competente si cada problema requiere una estrategia diferente.

Hiebert y Carpenter (1992) enfatizan que "[u] na observación que supone cerca de status axiomático en la ciencia cognitiva es que el conocimiento previo de los estudiantes influye en lo que aprenden y cómo se comportan" (p. 80). El LP tiene un punto fuerte sobre el poder de utilizar la experiencia de los niños y el conocimiento previo en el aprendizaje de las matemáticas con comprensión. La investigación sugiere que los estudiantes traen a la escuela una cantidad considerable de conocimientos y experiencia, y que los alumnos construyan significados para una nueva idea, relacionándola con las ideas que ya conocen o tienen experiencia con (Bransford et al 2000;. Gagnon y Collay, 2001) . En el ámbito concreto de las matemáticas, las investigaciones muestran que los niños comienzan a construir relaciones matemáticas mucho antes de venir a la escuela.

Estas primeras formas de conocimiento puede servir de base para el desarrollo de varios componentes del plan de estudios formal matemática elemental y para comprender más a los niños en expansión de las matemáticas (Carpenter et al, 1981, 1996;. Carpenter & Lehrer,

1999; Hiebert y Carpenter, 1992; Schoenfeld, 1992). Por ejemplo, la obra de Carpenter y sus colegas demuestra que, cuando los niños comienzan la escuela, ya tienen un almacén de conocimientos considerable relevante a la aritmética. Aunque los niños pueden carecer de las representaciones simbólicas de la suma y la resta, tienen experiencias de suma y resta de números de artículos en su obra todos los días, y que pueden resolver una amplia gama de problemas de suma y resta. Si el conocimiento de los niños se toca y se basa en que los profesores tratan de enseñarles las operaciones formales de la suma y la resta, es probable que los niños adquieran una comprensión coherente y exhaustiva de estos procesos. (1990) Mack estudio con ocho alumnos de sexto grado es un ejemplo diferente. Esto demuestra que los estudiantes de este nivel de escolaridad puede construir algoritmos significativos en fracciones de aprendizaje, teniendo en cuenta que la instrucción se basa adecuadamente en su informal / conocimientos previos sobre este domain.One otro punto importante hecha por la LP es que el aprendizaje de matemáticas con comprensión puede ser promovida a través participación de los estudiantes en actividades de resolución de problemas. Varios investigadores enfatizan que las actividades curriculares que involucran a los estudiantes en la resolución de problemas reflejan un énfasis en el aprendizaje de las matemáticas con comprensión (Fennema et al, 1999;. Romberg y Kaput, 1999, 1992 Schoenfeld,). Por ejemplo, Fennema et al. (1999) nota:

Debido a que el objetivo de la educación matemática debe ser el desarrollo de la comprensión por parte de todos los estudiantes, la mayor parte del plan de estudios debe estar compuesto por las tareas que proporcionan a los estudiantes con situaciones problemáticas. Dos razones apoyan esta afirmación. La primera es que las matemáticas que vale la pena aprender está más estrechamente representada en las tareas de resolución de problemas. La segunda es que los estudiantes son más propensos a participar en las actividades mentales necesarias para desarrollar la comprensión cuando se enfrentan con las matemáticas integradas en situaciones problemáticas. (P.

187) Desde un punto de vista epistemológico, los problemas son la fuente del significado del conocimiento matemático. Como Vergnaud (1982) señala: "[n] o sólo en sus aspectos prácticos, sino también en sus aspectos teóricos, el conocimiento surge de los problemas que hay que resolver y situaciones a ser dominados" (p. 31). Producción intelectual se convierta en conocimiento sólo si demuestran ser eficaces y fiables en la solución de los problemas que han sido

identificados como importantes en la práctica (que deben ser resueltos con frecuencia) o teóricamente (su solución permite una nueva comprensión del dominio conceptual relacionada). Íntimamente relacionado con la participación en la resolución de problemas se está involucrando en actividades relacionadas con el razonamiento matemático y la prueba: los patrones explorando, haciendo, las pruebas y la evaluación de conjeturas, y desarrollar matemáticamente sólidos argumentos a favor o en contra de las afirmaciones matemáticas. Varios estudiosos han elaborado sobre la conexión entre el aprendizaje de las matemáticas con comprensión y razonamiento y pruebas. Ball y Bass (2003) destacan que "el razonamiento matemático es inseparable del conocimiento de las matemáticas con entendimiento" (p. 42). En el mismo espíritu, Hanna y Jahnke (1996) señalan que "[p] techo en toda su gama de manifestaciones es ... una herramienta esencial para la promoción de la comprensión matemática en el aula" (p. 877).

Un último aspecto que queremos destacar es que el LP en cuenta tanto los aspectos cognitivos y sociales del aprendizaje. La consideración de ambas concepciones psicológicas y sociológicas de aprendizaje de acuerdo con la tendencia actual de la integración de estas dos perspectivas (véase, por ejemplo, Cobb & Bauersfeld,1995; Yackel y Cobb, 1996). En cuanto a la aproximación psicológica al aprendizaje, el LP reconoce la idea constructivista que la comprensión es una actividad continua de las personas organizar sus propias estructuras de conocimiento, un proceso dinámico y no una adquisición de las categorías de conocimiento (Confrey, 1994; Gagnon y Collay, 2001 , Piaget, 1948/1973; Pirie y Kieren, 1994). El LP también toma nota de que el aprendizaje con comprensión apoya la creación de aprendices autónomos - es decir, los alumnos que "se puede tomar el control de su aprendizaje mediante la definición de sus objetivos y el seguimiento de su progreso" (NCTM, 2000, p 21.). El concepto de autonomía se remonta al menos a la obra de Piaget (1948/1973), quien propuso que el principal objetivo de la educación debe ser el cultivo de la autonomía de los educandos. En cuanto a la perspectiva sociológica para el aprendizaje, el LP (NCTM, 2000) presenta la idea de que "[l] a ganar con la comprensión pueden mejorarse aún más por las interacciones en el aula, los estudiantes proponen ideas matemáticas y conjeturas, [y] aprenden a evaluar su pensamiento propio y el de los demás ", y señala que" [c] lassroom discurso y la interacción social puede ser usado para promover el reconocimiento y la conexión entre las ideas y la reorganización del conocimiento "(p. 21). Ejemplos de este tipo de ambientes de clase se pueden encontrar en los informes de investigación de varios (por ejemplo, Ball & Bass, 2003; Lampert, 1986, 1990; Yackel y Cobb, 1996).

3. Recomendaciones para Mejorar el principio de aprendizaje

A medida que la discusión de la sección anterior sugiere, el LP resume así algunas ideas clave sobre el aprendizaje con comprensión en el contexto de las matemáticas escolares. Sin embargo, hay algunas otras ideas importantes que, aunque justificada por la investigación, no están suficientemente tratados en el LP. En esta sección se presentan cuatro tales ideas y formular recomendaciones acerca de cómo estos temas podrían abordarse en futuras versiones de este u otros marcos curriculares.

Nuestro primer punto es que el LP no discute la importante idea de que lo que consideramos un resultado de aprendizaje deseable (por ejemplo, el desarrollo de la comprensión o la adquisición de fluidez procedimental) determina el valor relativo de los métodos de enseñanza. La forma en que Brownell (1935, 1947) y Skemp (1976) - dos defensores de la enseñanza y el aprendizaje para la comprensión - abordar este tema puede servir como un modelo útil para el LP.

Aunque ambos estudiosos favorecen el aprendizaje significativo y la enseñanza de la aritmética y creemos que la comprensión cabal de los procedimientos de cálculo no se puede lograr sin una base conceptual sólida, ninguna de las rechaza no significativas formas de enseñar y aprender aritmética. Brownell (1935) señala que "taladro se recomienda cuando las ideas y procesos, ya se entiende, deben ponerse en práctica para aumentar la competencia, que se fije para la retención, o para ser rehabilitado después de dejar de usar" (p. 19, énfasis añadido). Skemp (1976) menciona tres ventajas de la enseñanza de las matemáticas instrumentales, es decir, las reglas sin razones: (1) Dentro de su propio contexto, las matemáticas instrumentales suele ser más fácil de entender, (2) Las recompensas son más inmediatos y evidentes, y (3) Debido a que menos conocimiento se trata, pensamiento instrumental a menudo puede ayudar a lograr una la respuesta correcta más rápida y fiable que el pensamiento relacional. Además, tanto Brownell y avance Skemp el argumento de que, dependiendo de qué resultados de aprendizaje se valoran, diferentes métodos deben ser empleados, en consecuencia, no existe un método de instrucción absoluta. Brownell apoya este argumento mediante el uso de sus resultados experimentales sobre el aprendizaje del algoritmo de la sustracción de "préstamo" de decenas. Por un lado, se encontró que el método de "descomposición" fue más efectivo que "adiciones iguales" cuando los resultados de aprendizaje deseados eran el desarrollo de la comprensión de los estudiantes y la mejora de su capacidad para transferir sus conocimientos. Por otra parte, se encontró evidencia de que el método de adiciones igual era superior a la descomposición cuando ambos se les enseñó mecánicamente. Skemp (1976) expresa una idea similar cuando señala, por ejemplo, que "[s] i los estudiantes se les enseña de manera instrumental, a

continuación, un" tradicional "plan de estudios probablemente va a beneficiar más" (p. 156). Las observaciones anteriores indican que los dos investigadores reconocen que una cuestión fundamental en la enseñanza es ¿cuáles son los resultados de aprendizaje deseados. Dada la interdependencia entre los resultados de aprendizaje adecuados y apropiados métodos de instrucción, la enseñanza para la comprensión no siempre puede ser el método de enseñanza más adecuado.

Los resultados de Hiebert y de Wearne (1993) investigación sobre las relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje y el valor de posición de varios dígitos de suma y resta en seis aulas de segundo grado apoyar una idea similar a la que propone en el párrafo anterior. Hiebert y Wearne encontró que los estudiantes en las aulas que hacían hincapié en la construcción de relaciones entre el valor relativo y estrategias de cálculo recibido menos problemas que sus pares más tradicionalmente enseñadas, pasó más tiempo con cada problema, se les hizo más preguntas para describir y explicar estrategias alternativas, y mostró niveles más altos de desempeño para finales de año en la mayoría de los tipos de actividades. Estos hallazgos inicialmente parecía estar en contradicción con algunas conclusiones obtenidas por trabajos anteriores (por ejemplo, Good et al, 1978;. Leinhardt, 1986). Esto se debe a un trabajo anterior sugiere que los maestros que estimulan altas tasas de rendimiento de los estudiantes, en relación con las competencias básicas en los grados primarios, tienen las siguientes características: enseñan lecciones de ritmo rápido, piden más recuerdo de proceso / explicación preguntas, y presentar ellos más problemas por lección que los novatos do. Esta "discrepancia" podría ser atribuido a la relación entre los resultados de aprendizaje adecuados y procedimientos de enseñanza. Las características de los profesores «eficaces» derivadas de los estudios previos a Hiebert y Wearne (1993) se limita probablemente a las aulas enseñan tradicionalmente (véase Brophy y Good, 1986). Como nota Hiebert y Wearne (1993), "estas características pueden estar relacionados con un mayor rendimiento si se compara con otras aulas utilizando una similar (pero no tan efectivamente implementadas) método de enseñanza" (p. 422, énfasis añadido).

Pasamos ahora al segundo punto, que se refiere a la cuestión de la transferencia de conocimiento de una situación a otra. Mientras que el LP capta bien la idea de que el conocimiento conceptualmente a tierra es más probable que se transfieren a nuevas situaciones de problemas, no se considera situaciones en las que la transferencia no ocurre. Una manera de abordar este problema sería la de aprovechar la gran cantidad de investigaciones que considere el carácter situado del aprendizaje (Boaler, 1998;. Carraher et al, 1985,1987; Lave et al, 1984).. La

teoría de la cognición situada explica por qué la transferencia no se da en términos de la idea de que el aprendizaje está relacionada con la situación o contexto en que se lleva a cabo. Esta teoría explica, por ejemplo, en los casos donde los adultos no utilizan su escuela aprendió aritmética en las compras, los adultos a menudo no se dan cuenta de situaciones matemáticamente similares, por lo tanto la elección de los procedimientos depende más del contexto y no en los aspectos matemáticos de las tareas ( Lave et al., 1984). Cognición situada también es responsable de los casos en que los niños tienen más éxito en la resolución de problemas aritméticos en el contexto de la palabra en la resolución de problemas equivalentes, sino puramente simbólico (Carraher et al., 1987), o para aquellos en los que los niños demuestran un rendimiento superior en la resolución de problemas en el mercado como en comparación con la escuela-como el establecimiento (Carraher et al., 1985).

En relación con lo anterior es nuestro tercer punto. El LP no discute la posibilidad de un conocimiento previo de los estudiantes y experiencia convertirse en una carga en su futuro aprendizaje de las matemáticas, con lo que aparece a sugerir que el conocimiento previo y la experiencia siempre facilita el aprendizaje posterior. Sin embargo, como Bransford et al. (2000) señalan, "[p] conocimiento revious pueden ayudar o dificultar la comprensión de la información nueva" (p. 78, énfasis añadido). Una manera de explicar esta cuestión sería que la LP para advertir a los lectores que la experiencia previa, aunque correcta en el contexto en que se generó, no necesariamente pueden ser fácilmente aplicable en los nuevos contextos. Varios estudios ayudan a ejemplificar este punto. Bell et al. (1981) demostraron que los niños tienen dificultades con los problemas verbales sobre los números decimales, ya que las creencias adquiridas desde su participación previa en otros dominios matemáticos y que se resisten al cambio. Dos tales creencias, probablemente procedentes de la experiencia de los estudiantes con números enteros, son una 'multiplicación hace más grande "y" el menor número siempre debe ser dividido en el más grande. "Fischbein et al. (1985) proponen que hay ciertos tipos de modelos intuitivos relacionadas con las operaciones aritméticas y utilizado en la instrucción inicial de que "tan profundamente arraigada en la mente del aprendiz que siguen ejerciendo un control inconsciente sobre el comportamiento mental, incluso después de que el alumno ha adquirido oficial nociones matemáticas que son sólidos y correcta "(p. 16; en el original todo el segmento se destaca). La suma repetida y modelos partitivos son dos ejemplos de la multiplicación y la división, respectivamente. Los profesores suelen elegir estos modelos "como dispositivos didácticos iniciales porque corresponden mejor a las necesidades mentales de los niños de la escuela primaria en el período operacional concreto y debido a que proporcionan la forma más natural de entender el nuevo concepto" (Fischbein et al., 1985, p . 15). Aunque estos

modelos no están mal, son incompletos y no capturar todos los diferentes significados de la multiplicación y la división. En la misma línea, Resnick et al. (1989), sobre la base de un análisis de errores de los niños como aprenden decimales, concluyen que "los errores son una consecuencia natural de los intentos de los estudiantes para integrar el nuevo material que se les enseña con el conocimiento ya establecido" (p. 8).

Llegamos ahora a nuestro último punto. Aunque el LP considera el aprendizaje matemático, tanto a nivel del individuo y el grupo social, parece pasar por alto el importante papel del contexto cultural en el que tiene lugar el aprendizaje. De acuerdo con las teorías del aprendizaje en el dominio de los discursos culturales ", aprender y conocer, ya sea centrándose en el nivel del individuo o del grupo social, sólo puede entenderse si se considera en el contexto cultural más amplio" (Davis et al.,

2000, p. 69). Jerome Bruner (1996), un líder en el campo de la psicología cultural, sostiene que un "no se puede entender la actividad mental a menos que [uno] tiene en cuenta el contexto cultural y sus recursos, las mismas cosas que dan a la mente su forma y alcance" (pp . x-xi). El papel fundamental de la cultura en la formación de la comprensión de un individuo sugiere que el aprendizaje puede adoptar diferentes formas para estudiantes con diferentes antecedentes culturales. A su vez, esto enfatiza la importancia de

"Pedagogía culturalmente relevante" (Ladson-Billings, 1994) para cultivar el aprendizaje con comprensión en ambientes de clase con poblaciones estudiantiles diversas.

4. Conclusión

Mientras aprenden matemáticas con comprensión es un objetivo importante de instrucción para todos los estudiantes, las formas de práctica en el aula de matemáticas que fomentan el aprendizaje significativo parecen desviarse de la norma, al menos en EE.UU. instrucción matemática (Hiebert et al, 2003;. Manaster,1998). Esta situación se debe en parte a los problemas que surgen al tratar de hacer que el aprendizaje de la comprensión de una parte consistente de todos los estudiantes experiencias matemáticas todos los días.

Una forma prometedora para ganar influencia en ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas con comprensión es equipar a los maestros con materiales de estudio (libros de texto para estudiantes y profesores ediciones) que les proporcionan la orientación necesaria. Este argumento se apoya en el gran cuerpo de investigaciones que sugieren que la actividad matemática que se lleva a cabo en las aulas, incluidas las decisiones de los profesores sobre las tareas de

matemáticas para aplicar y cómo, están mediadas a través de los materiales curriculares que utilizan (Beaton et al., 1996 ; Burstein, 1993; Nathan et al, 2002;. Porter,

1989; Remillard, 2000; Romberg, 1992; Schmidt et al, 1997;. Stein et al, 1996;. Zaslavsky,2005). Pero el diseño de materiales curriculares que pueden ser utilizados por los profesores a sus alumnos en el aprendizaje significativo es una tarea compleja y por lo que la orientación que los marcos curriculares (tales como los Estándares del NCTM) puede ofrecer a los desarrolladores de planes de estudio sobre esta cuestión es crucial.

Algunas de las preguntas que los marcos curriculares deben abordar en lo que se refiere a la integración de conocimiento en una concepción coherente del aprendizaje de las matemáticas en los materiales curriculares escolares son las siguientes: ¿Cuál podría ser la relación entre el conocimiento factual, facilidad de procedimiento, y la comprensión en el aprendizaje matemático? ¿Cuál podría ser el papel de la resolución de problemas y el razonamiento y la prueba en el aprendizaje de las matemáticas con comprensión? ¿Cuál podría ser la influencia del conocimiento previo de los estudiantes y las experiencias de aprendizaje con comprensión, y cómo podrían éstas ser tratados o utilizados con eficacia por la instrucción? ¿Qué podría explicar la transferencia de conocimiento en algunas situaciones y lo que podría inhibir este proceso en los demás? ¿Cuál podría ser el papel del contexto cultural más amplio en el que se desarrolla el aprendizaje de los alumnos, y cómo se relaciona esto con los factores individuales y sociales? ¿Cuál podría ser la relación entre los resultados del aprendizaje y métodos de enseñanza, y lo que esta relación implica para aprender matemáticas con comprensión?

El LP hace un serio intento de posicionarse sobre muchas de las cuestiones antes mencionadas, así orientar de manera significativa los esfuerzos de desarrollo curricular que se han comprometido a mejorar la calidad del aprendizaje de los estudiantes de las matemáticas. Al reconocer la importancia y la complejidad del objetivo de describir los temas de la promoción del aprendizaje significativo en la escuela, se utilizó el trabajo académico seminal en esta área para examinar el grado en que la LP cumple con este objetivo. Nuestro examen reveló que el LP sustancialmente capta algunos puntos clave elaborados en la literatura relacionada con el aprendizaje con comprensión pero insuficientemente aborda algunos puntos importantes. Nuestro análisis en este artículo de los puntos que no están suficientemente tratados en el LP no tiene la intención de devaluar la importancia y la contribución potencial de la LP para el desarrollo del currículo, sino que está destinado a sugerir la forma en que podría ser el LP mejorarse aún más.

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