𝑢 𝑥,𝑦, 0 = 𝑓 𝑥,𝑦 ,

𝜕𝑢𝜕𝑡 𝑥,𝑦, 0 = 0,  

if  the  membrane  is:  a) a  circle  (r<a)  b) a  semicircle  (0<ϕ<π,  r<a)  c) a  circular  annulus  (a<r<b)  

 8.5.6  Consider  the  displacement  u(r, ϑ,t)  of  a  forced  semicircular  membrane  of  radius  a  that  satisfies  the  partial  differential  equation  

1𝑐!𝜕!𝑢𝜕𝑡! = ∇!𝑢 + 𝑔 𝑟,𝜗, 𝑡    

with  the  homogeneous  boundary  conditions:  

𝑢 𝑟, 0, 𝑡 = 𝑢 𝑟,𝜋, 𝑡 = 0,𝑎𝑛𝑑  𝜕𝑢 𝑎,𝜗, 𝑡

𝜕𝑟 = 0.  and  the  initial  conditions      

𝑢 𝑟,𝜗, 0 = 𝐻 𝑟,𝜗 ,𝑎𝑛𝑑  𝜕𝑢𝜕𝑡 𝑟,𝜗, 0 = 0.  

a) Assume  that  𝑢 𝑟,𝜗, 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝜙 𝑟,𝜗 ,  where  𝜙 𝑟,𝜗 are  the  eigenfunctions  kof  the  related  homogeneous  problem.  What  initial  conditions  does  A(t)  satisfy?  What  differential  equation  does  A(t)  satisfy?  

b) What  are  the  eigenfunctions?  c) Solve  𝑢 𝑟,𝜗, 𝑡 .    

 

Problema 4

Problema 5

Problema 6

 

       

empezamos con la funcion rectangulo(rect)de ancho T que es ⇧T

(t) y centrado en el intervalo de nT

a (n + 1)T esto es ⇧T

(t� (n +1

2)T ). Ver la siguiente imagen:

Donde la funcion rectangulo se define como:

Rect(t) = ⇧(t) =

(1 |t| < 1/2,

0 |t| � 1/2

Entonces la salida es:

! = L(f(t)) =1X

n=�1u(nT )⇧

T

(t� (n +1

2)T )

(a)Con la expresion anterior. Pruebe que el sistema es lineal.(b)Muestre que el sistema es invariante en el tiempo para desplazamientos de multiplos enteros deT.Ahora determinaremos la respuesta a impulso del sistema. La entrada esta representada por lafuncion � de modo que la entrada esta concentrada en t = 0 con valor de 1 y posteriormente es cero.Ası empezamos en t=0, la salida retiene el valor el valor de 1 y es 0 para t � 0. La salida tambienes 0 para valores para t < 0. En otras palabras la respuesta a impulso es

h(t) =

(1 0 t < T,

0 otro caso

(c) Ahora les toca calcular la funcion de transferencia. Esta facil solo calcule la transformada deFourier de la respuesta a impulso.

3.-La funcion de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define co-mo el cociente entre la transformada de Laplace de la salida(funcion de respuesta) y la transformadade Laplace de la entrada(funcion de excitacion), bajo la suposicion de que las condiciones inicialesson nulas.

Funcion de Tranferencia =L[salida]

L[entrada]

En teorıa de control se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de estrada-salida de componentes o sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales inva-riantes en el tiempo.La figura 2 muestra un diagrama de un sistema de suspension de un automovil. Conforme el automovilavanza por un camino los desplazamientos verticales de las llantas funcionan como una excitacionde movimiento para el sistema de suspension del automovil. El movimiento de este sistema consisteen un desplazamiento traslacion del centro de masa y un desplazamiento de rotacion alrededor delcentro de masa.

2

Figura 2 Figura 3

La version simplificada del sistema de suspension se muestra en la figura 3(a)Aplique la segunda ley de newton, encuentre la ecuacion diferencial que modela el sistema de lafigura 3, ahora halle la funcion transferenciaLa figura 4 muestra un sistema de suspension de un automovil pero un poco mas complejo,aplicandola segunda ley de newton al sistema se obtiene:

m1..

x = b(.

y � .

x) + k2(y � x) + k1(u� x)

m2..

y = �b(.

y � .

x)� k2(y � x)

(c) Ahora si calcule la funcion de transferencia.

Figura 1: Esquema mas realista de una suspension

4.-Suponga que la corriente electrica I en un circuito electrico satisface:

LdI

dt+ RI = E0

donde R, L,E0 son constantes positivas(a) Hallar I(t) para t > 0 si I(0) = I0 > 0

(b)Graficar la solucion en (a) para el caso I0 >E0

R

(c) Mostrar que I(t) tiende aE0

Rsi t!1.

5.-Suponga que se aplica un impulso de 1 volt en t = 0 a un circuito RLC y para t < 0 I(t) = 0 y lacarga en el capacitor es cero. Esto puede modelarse por la ecuacion

LdI

dt+ RI +

1

C

Zt

0

I(⌧)d⌧ = �(t)

3

   

donde R,L,C son constantes positivas y,

(i)L

C>

R2

4, (ii)

L

C>

R2

4. Halle I(t) para cada condicion.

6.- Una placa semi-infinita de ancho ⇡ tiene sus caras aisladas. Las caras semi-infinitas, son manteni-das a 0 �C, mientras que la cara de ancho ⇡ es mantenida a 100 �C. Asumiendo que la temperaturainicial es de 0 �C, encuentre la distribucion de temperaturas en cualquier tiempo.

@U

@t=

@2U

@x2+

@2U

@y2

U(0, y, t) = 0

U(⇡, y, t) = 0

U(x, y, 0) = 0

U(x, 0, t) = 100

0 < x < ⇡ , t > 0

Hint:Para resolver este problema la idea es usar la transformada de Laplace en la parte temporal, y

despues usar la transformada seno en la parte espacial. La solucion debe ser de la forma:

U(x, y, t) = 400⇡

3/2

1Pn=1

(1�cos(n⇡)n

)sen(x)R

e�(p2+n

2y

2/4p

2)dp

con p2 = y

2

4v

7.- Use la transformada de Laplace y su inversa para resolver el siguiente problema:

@U

@t=

@2U

@x2+ 2x

U(0, t) = 0

U(1, t) = 0

U(x, 0) = x� x2

0 < x < 1 , t > 0

¿Se puede resolver por Transformada de Fourier? Explicar su respuesta.Tienen que llegar a que:

U(x, t) = x(1� x)� 4

⇡3

1X

n=1

(1� e�n

2⇡

2t

n3)sen(n⇡x)

8.-Encontrar la solucion de la ecuacion diferencial de Laguerre:

tx00 + (1� t)x0 + nx = 0

Mostrar que la transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre Ln

(at) es:

L[Ln

(at)] =(s� a)n

sn+1s > 0

4

 Las  ecuaciones  4.4.1  es  la  ecuación  de  onda  4.4.2  son  las  condiciones  de  Dirichlet  4.4.3  son  condiciones  iniciales  distintas  de  cero,  son  f(x)  (tesnión  inicial)  y  g(x)  (velocidad  inicial)    4.4.11  Es  la  solución  general  de  la  ecuación  de  onda  como  una  serie  de  Fourier,  bajo  las  condiciones  de  frontera  e  inciales  descritas  arriba.    En  el  problema  4.4.6  For  4.4.1-­‐4.4.3,  unicamente  hacer  el  caso  4.4.3  (se  refiere  al  problema)      

 

 

2.-Consider the one-dimensional infinite space wave equation with a periodic source of frequency !:

@2�

@2t= c2@2�

@2x+ g(x)e�i!t (1)

(a)Show that a particular solution � = u(x)e�i!t is obtained if satisfies a nonhomogeneus Helmholtzequation

d2u

d2x+ K2u = f(x)

(b) The Green’s function G(x, x0) satisfies:

d2G

d2x+ k2G = �(x� x0)

Determine this infinite space Green’s function so that the corresponding �(x, t) is an outward-propagating wave.(c) Determine a particular solution of (1)

3.-Using the method of(multidimensional) eigenfunction expansion, determine G(x, x0) if

r2G = �(x� x0)

and(a) On the rectangle 0 < x < L, 0 < y < H

x = 0 , G = 0

y = 0 ,@G

@y= 0

x = L ,@G

@x= 0

y = H ,@G

@y= 0

(b) on the rectangular-shaped box 0 < x < L, 0 < y < H, 0 < z < W with G=0 on the six sides.

(c) On the semicircle 0 < r < a, 0 < ! < ⇡ with G = 0 on the entire boundary.

6

Problema 4

Problema 5

Problema 6

 

 

Examen Parcial 4

Matemáticas Avanzadas de la Física

Semestre 2011-2

Profesora Lucía Medina Gómez

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Examen Parcial 4

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