00002 Ejercicios Resueltos Geometria Plana

Colegio Santo Ángel de la Guarda

Matemáticas, 2º ESO. Curso 2010-2011

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a)

b)

c)

d)

GEOMETRÍA PLANA. Ejercicios resueltos.

1. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas.

Solución:

Hallamos la longitud del lado c, que es el desconocido:

2 2 2 2 2 2 2c a b c 5 2 c 25 4= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ c 29 cm⇒ =

El perímetro, P será:

a 5 cm=

b 2 cm= c

c 7 cm=

a

b 3 cm=

10 cm

8 cm

5 cm

P 5 2 29 12, 4 cm= + + =

Solución:

Hallamos la longitud de a: 2 2 2 2 2 2c a b 7 a 3= + ⇒ = + ⇒

249 a 9⇒ = + ⇒ 2a 49 9 a 40 cm⇒ = − ⇒ =

El perímetro, P será: P 7 3 40 13,3 cm= + + =

Solución:

Hallamos la longitud del lado pequeño del rectángulo, que llamaremos x:

2 2 2 210 8 x 100 64 x= + ⇒ = + ⇒ x 36 6 cm⇒ = =

El perímetro, P será: P 2 8 2 6 28 cm= ⋅ + ⋅ =

Solución:

Hallamos la longitud del lado del cuadrado que llamaremos x:

2 2 2 25 x x 25 2x= + ⇒ = ⇒ 25 5

x cm2 2

⇒ = =

El perímetro, P será: 5 20

P 4 14,1 cm2 2

= ⋅ = =

Ejercicios resueltos de geometría plana Matemáticas 2º ESO

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2. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas:

El perímetro: 100

P 3 cm 17, 3 cm3

= ⋅ =

El área: 2ap l n ap perímetro 5,77 17, 3

A 49,9 cm2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =

ap 5 cm= 7,26 cm

ap x=

4x

10 cm

Solución:

Perímetro: P 5 2,7 13,8 cm= ⋅ = Área:

2ap l n 5 7,26 5A 90,75 cm

2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

Solución:

Calculamos previamente x, aplicando Pitágoras al triángulo indicado:

( )22 2 2 2

2

10 2x x 100 2x x

100100 3x x 5,77 cm

3

= + ⇒ = + ⇒

⇒ = ⇒ = =

2x

x 10 cm

5,77 cm

ap 6 cm=

Solución:

Perímetro: P l n 7 5,77 40,39 cm= ⋅ = ⋅ = Área:

2ap l n 6 5,77 7A 121,17 cm

2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

a)

b)

c)

Matemáticas 2º ESO Ejercicios resueltos de geometría plana

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Perímetro: P 3 11,6 cm 34,8 cm= ⋅ =

Área: 2base altura 11,6 13

A 150,8 cm2 2⋅ ⋅

= = =

3. Halla el radio de la circunferencia y el área del círculo asociado, sabiendo

que su longitud es de 12π cm.

Solución:

Radio L 12

L 2 R R 6 cm2 2

π= ⋅π⋅ ⇒ = = =

⋅π ⋅π

Área:

2 2 2A R 3,14 6 113,04 cm=π⋅ = ⋅ =

4. Halla la longitud de arco de las dos circunferencia siguientes y también el

área asociada a esos arcos

30ºθ =R=3 cm

altura 13 cm=

Solución:

Calculamos x, aplicando Pitágoras:

x

x2

13 cm

Solución:

arco

2 R 2 3,14 3 30L 1,57 cm

360 360⋅π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

2 22

sector

R 3,14 3 30A 2,36 cm

360 360π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅

= = =

22 2 x

13 x2 = + ⇒

22 x

169 x4

= + ⇒

25x169

4⇒ = ⇒

169 4x

511,6 cm

⋅⇒ = =

=

d)

a)


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5. Halla la longitud y el área de la siguiente figura.

( ) ( )

3 31 2 4 1 2 4total

1 2 3 4

L 2 RL L L 2 R 2 R 2 RL

2 2 2 2 2 2 2 2R R R R 3,14 5 3 4 0,5 39, 25 m

⋅π⋅⋅π⋅ ⋅π⋅ ⋅π⋅= + + + = + + + =

=π + + + = + + + =

Área. Es la suma de las áreas de cada uno de los semicírculos que aparecen:

( ) ( )

22 2 23 31 2 4 1 2 4

total

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4

A RA A A R R RA

2 2 2 2 2 2 2 23,14

R R R R 5 3 4 0, 5 78,89 m2 2

π⋅π⋅ π⋅ π⋅= + + + = + + + =

π= + + + = + + + =

6. Halla el área de la zona comprendida entre el cuadrado y el círculo

2 2 2cuadrado círculoA A A 6 3 36 28,26 7,74 m= − = −π⋅ = − =

120ºθ = R=12 cm

R=3m

Solución:

arco

2 R 2 3,14 12 120L 25,12 cm

360 360⋅π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

2 22

sector

R 3,14 12 120A 150,72 cm

360 360π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅

= = =

b)

Solución:

Longitud. Es la suma de la longitud correspondiente a las semicircunferencias de radio 5, 3, 4 y 0,5 cm:

Solución:

2 2cuadrado círculoA A A l R= − = −π⋅

El radio es 3 m y el lado del cuadrado es el doble de 3 m Entonces, sustituyendo datos:


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7. Halla el área comprendida entre el círculo y el cuadrado

Ahora sólo nos queda sustituir datos en la expresión del área:

2 2 2círculo cuadradoA A A 6,36 9 46,01 m= − =π⋅ − =

8. Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que la diagonal del

cuadrado es de 1 cm.

Área del círculo: 2

2 2círculo

12A R 3,14 2 3,14 0,39 cm

2 8

=π⋅ = ⋅ = ⋅ =

Entonces:

( )

( )

cuadrado círculocírculo cuadradocuadrado círculo

2

3 A AA AA A A

2 23 0,5 0,39

0,165 cm2

−−= − − = =

−= =

l=9 m

Solución:

2 2círculo cuadradoA A A R l= − =π⋅ −

El lado del cuadrado es 9 m, pero para obtener el radio Hay que hacer unos cálculos previos. Hallamos x. El radio será la mitad de esta distancia:

2 2 2 2x 9 9 x 162 x 162 12,73 m= + ⇒ = ⇒ = = ,

por lo que, como hemos dicho, 12,73

R 6,36 m2

= =

9 m

9 m x

Solución:

círculo cuadradocuadrado círculo

A AA A A

2−

= − −

Área del cuadrado:

2 2 2 2 1 1 21 x x x x cm

2 2 2= + ⇒ = ⇒ = =

2 2cuadrado

1A x cm

2= =


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9. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que el lado del

triángulo equilátero es de 7 m.

Cálculo del área del triángulo equilátero:

2triángulo

217base altura 7 3 7 7 32A m

2 2 4 4

⋅⋅ ⋅ ⋅

= = = =

Cálculo de la apotema del triángulo:

triángulo 2triángulo

7 322Aap l n 1 74A ap m

2 l n 2 33 7

⋅⋅ ⋅

= ⇒ = = =⋅ ⋅

Cálculo del radio del triángulo:

2 2

2

2 2

2

7 1 7R

2 2 3

7 1 7 7R m

2 2 3 3

= + ⇒

⇒ = + =

Después de todos estos pasos, tan solo nos queda sustituir el radio de la circunferencia y la altura del triángulo en nuestra expresión del área buscada:

2

2 2

217base altura 7 28 21 32A R 4, 3 m

2 3 2 4

⋅ ⋅ π− = π⋅ − =π⋅ − = =

l= 7 m

Solución:

2círculo triángulo

base alturaA A A R

2⋅

= − =π⋅ −

Cálculo de la altura del triángulo:

( )2

2 277 altura

2

7 21altura 7 m

4 2

= + ⇒

⇒ = − =

7 m

7 m

2

altura

ap R

7

2


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10. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que la diagonal del

cuadrado es de 2 m.

Por otro lado, el radio de la circunferencia (las cuatro esquinas) es la mitad del lado del cuadrado. El área buscada es:

22 2 21

A x R 1 3,14 0, 2 m2 = −π⋅ = − ⋅ =

Solución:

2 2cuadrado círculoA A A x R= − = −π⋅

Cálculo del lado del cuadrado:

( )2 2 2

2

2 x x

2 2x x 1 m

= + ⇒

⇒ = ⇒ =

D

x

x 2 mD =

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