Física IV Ms. José Castillo Ventura

Ing. en Energía

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Postulados de Bohr

1.- Cada electrón se mueve en órbitas circulares alrededor del centro de masa del átomo, bajo la interacción coulumbiana con el núcleo y de acuerdo con las leyes de Newton.

2.- La únicas órbitas permitidas son aquellas en que el momentum angular del

átomo alrededor de su centro de masa es un múltiplo entero de h=π2

h,

entonces L = n h , n = 1, 2, 3, 4.... (Cuantización del momentum angular).

3.-Cuando un electrón está en una órbita permitida no emite radiación (estado estacionario).

4.- La radiación ocurre en forma de cuantos de energía o fotones cuando el electrón pasa de una de las órbitas permitidas a otra órbita permitida con una

frecuencia dada por: h

EE fi −=ν , Ei, Ef, energías asociadas a las órbitas inicial

y final.

Consideremos el modelo planetario de Bohr para la aplicación de su primer postulado.

C.M.

e me

mN

r2

R

r1

r1

r2

r = r1 – r2

O

X

me

mN

C.M.

r1

r2 r

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2

)1(4

1 2

0 r

ZeU

πε−= )2(

2

1

2

1 22

21 vmvmE Nek +=

En el sistema centro de masa

Implica considerar al núcleo en reposo 021 =++=⇒ Rsi

mm

rmrmR

Ne

Ner

rrr

)4()(

)(0

0)(

tan)3(0

1

111

11211121

121

Ne

N

NNeNNe

NNeNNNe

NNe

mm

rmr

rmrmmrmrmrm

rmrrmrmrmrmrmrm

rmdoresySumandormrm

+=

=+⇒=+−=+−+=−++

=+

rr

rrrrr

rrrrrrrr

rrr

Procediendo en forma similar para :,tan 2,2 tienesermdoresysumandor err

)5()(2

Ne

e

mm

rmr

+−

=r

r

Derivando 4 y 5 respecto al tiempo, y elevando al cuadrado, se tiene:

)7()(

)6()(

2

2222

2

2221

Ne

e

Ne

N

mm

vmv

mm

vmv

+=

+=

Reemplazando 7 y 6 en 2:

)8()(2

1

)(2

1

)(2

1 2

2

22

2

22

Ne

Nek

Ne

eN

Ne

Nek mm

vmmE

mm

vmm

mm

vmmE

+=⇒

++

+=

donde )10(2

1)9(

)(2vEreducidamasa

mm

mmk

Ne

Ne µµ =⇒≡+

=

Analizando la masa reducida, ésta puede ser representada por:

1836

1,

1=

+=

N

e

N

e

e

m

mpero

m

mmµ

significa que como 0→⇒∞→N

eN m

mm

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Luego em=µ

Analizando 7:

01

)(

2

2

≅⇒∞

=+

=

+

=+

−=

vv

m

mv

m

m

m

m

m

m

mm

vmv

e

N

e

N

e

e

e

e

Ne

e

Esto implica que como la masa del núcleo es muy grande la velocidad del núcleo es aproximadamente cero.

Para la energía total. Sumando 1 y 10

)11(42

1

0

22

r

ZevE

πεµ −=

Aplicando la mecánica de Newton y considerando el primer postulado de Bohr, se tiene:

)12(2rFc µω=

Para la fuerza de interacción eléctrica: )13(4

12

2

0 r

ZeFe πε

=

Igualando 12 y 13

(*)4

1)14(

4

13

2

0

22

2

0

2

r

Zedondede

r

Zer

πεµω

πεµω ==

De 11:

)15(442

1

42

1

0

2

0

2

0

222

r

Ze

r

Ze

r

ZerE

πεπεπεµω −

=−=

)16(2

1UE −=⇒

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4

Del segundo postulado, tenemos:

)18(

)17(

2r

nr

r

nvdondede

vrnL

µωω

µ

µhh

h

=⇒==

==

Reemplazando 18 en 14 , simplificando y despejando r:

átomodelRadioZe

nr )19(

42

220

µπε h=

Para el hidrógeno Z= 1

Cuando n=1, r = r0 (Primera órbita), además que µ = me

)21(53,0

)20(4

0

0

2

20

0

Α=

=

r

BohrdeRadioem

re

hπε

De 19 y 20 : )22(2

0 Z

nrr = Estado de cuantización de las órbitas permitidas.

Para determinar la energía permitida en cada órbita, reemplazamos 19 en 16:

∞=−= ,......3,2,1)23(32 222

02

42

nn

eZEn

hεπµ

Para el hidrógeno Z=1

)24(32 222

02

4

hn

emE e

n επ−=

Cuando n=1, se obtiene el estado d menor energía o estado base.

)25(6,131 eVE −=

Luego la energía para los otros estados del hidrógeno es:

)26(1

6,132

−=n

En

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n =∞

n = 5 n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

0

-0,54

-0,84

-1,51

-3,40

-13,6

En (eV)

LYMAN

BALMER

PASCHEN

BRACKETT

PFUND

DIAGRAMA DE NIVELES DE ENERGÍA PARA EL HIDRÓGENO