01. Calculo Matricial de Estructuras

8/17/2019 01. Calculo Matricial de Estructuras

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TEORÍA DE ESTRUCTURAS Cálculo Matricial de Estructuras

BLOQUE D

CÁLCULO MATRICIAL DE

ESTRUCTURAS

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CONTENIDOS

1. Matriz de rigidez de una barra de tensión axial2. Formación automática de la matriz de rigidez3. Cálculo de desplazamientos y reacciones4. Cálculo de fuerzas internas en los elementos

5. Armaduras planas6. Sistemas de coordenadas locales y globales7. Matriz de rigidez de un elemento de la armadura8. Cálculo de reacciones y fuerzas internas en una armadura

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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA DE TENSIÓN AXIAL

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k es la constante de rigidez axial de la barra empotrada en un

extremo, se interpreta como la fuerza necesaria para causar undesplazamiento unitario en el extremo libre.

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Vector de fuerzas Matriz de rigidez Vector denodales desplazamientos

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Ni se puede calcular de 2 formas:

Para nudos del 2 al 6

Para nudo 7 (extremo derecho) Para nudo 1 (extremo izquierdo) 8


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FORMACIÓN AUTOMÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZLa principal ventaja del método de rigidez es que permite laformación automática de las matrices que componen elproblema.

en donde se han creado dos vectores de la misma longitud del vector de

desplazamientos, uno por cada elemento que contribuye a la ecuación dee uilibrio.

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FORMACIÓN AUTOMÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Esto sugiere el siguiente algoritmo:

1- Crear una matriz K cuadrada de tamaño n × n, con todos sus elementosiguales a cero.

2- Por cada elemento, agregar las contribuciones de ke a K en las posicionesadecuadas. Esto requiere la creación de un cuadro de correspondencias entrela numeración local de grados de libertad (que para el caso que nos ocupa es,simplemente, 1-2) y la numeración global, que en elementos como el detensión axial simple, coincide con la numeración de nodos.

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Esto indica que, por ejemplo, con respecto a la matriz de rigidez del elemento 4, k4, el

término (1, 1) contribuye al valor (4, 4) de la matriz K, el (1, 2) al (4, 5), el (2, 1) al (5, 4) yel (2, 2) al (5, 5). 12


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FORMACIÓN AUTOMÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZEl proceso de automatización se facilita si:

La matriz ke, que en este caso es de tamaño 2×2, se traslada a una matriz ΔKe,de tamaño n×n.donde n es el número total de grados de libertad, con base en el cuadro decorrespondencias.La matriz ΔK

e representa la contribución del elemento e a la matriz de rigidez

general de la estructura, K.Esta última será la suma de tales contribuciones:


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CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONES

Da tiene desplazamientos conocidos, nulos (restricción total)P

aes desconocido, reacciones.

Pb

es conocido, fuerzas externas.D

bes desconocido.

Por tanto:

Para Da nulo, se simplifica a:


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CÁLCULO DE FUERZAS INTERNAS EN LOS ELEMENTOS

En base al cuadro de correspondencias de las numeraciones local y global delos grados de libertad resulta posible formar los vectores d

e, e = 1, 2, . . . ,M,

extrayendo de Db los valores correspondientes. Por ejemplo, para el elemento

3:


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ARMADURAS PLANAS

Puesto que en las armaduras los elementos están sometidos al mismo estadotensional, la matriz de rigidez elemental es idéntica a la deducidaanteriormente.

La diferencia fundamental entre las armaduras y las cadenas reside en ladiversa orientación de los elementos. Esto hace necesario el empleo dediferentes sistemas de coordenadas para cada elemento, por una parte, y parala estructura en general, por otra.


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SISTEMAS DE COORDENADAS LOCAL Y GLOBAL

En el elemento *:


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Como en toda la estructura los elementos tienen, en general, orientacionesdiferentes, es necesario convertir todas las fuerzas internas a un sistema decoordenadas común.Con el fin de hacer una deducción general que sea útil para elementos depórticos, en el sistema local se han añadido dos fuerzas cortantes V

i y V

j que,

obviamente, son nulas en el caso de armaduras.


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Í


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T es la matriz de transformación o rotación.

La inversa de la matriz de transformación está dada por su transpuesta. Lasmatrices que cumplen esta condición se denominan ortogonales.

Í


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Con el fin de generalizar la matriz de transformación, se puede presentar enfunción de los cosenos directores:

Í


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PRINCIPIO DEL CONTRAGRADIENTE

Si ρ , δ , y ξ son los desplazamientos en las direcciones de R, N, V,respectivamente, y u, v los desplazamientos en las direcciones X, Y,respectivamente. El trabajo realizado por la resultante está dado por:

Como siendo

Si las fuerzas en un sistema local se obtienen de las fuerzas del sistema globalcomo p = T P, los desplazamientos medidos en el sistema global se obtienen delos medidos en el sistema local por medio de la expresión D = T Td. Esta ley sedenomina principio del contragradiente.

Í


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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE ARMADURA

Í


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CÁLCULO DE REACCIONES Y FUERZAS INTERNAS

pe = [ −N 0 N 0]T (extremo 1) p

e = [N 0 -N 0]T (extremo 2) TRACCIÓN

pe = [N 0 -N 0]

T

(extremo 1) pe = [-N 0 N 0]

T

(extremo 2) COMPRESIÓN

Si por convección la tracción es positiva y la compresión negativa pe(3) > 0


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