01-Contenidos m nimos.doc) - Manuel Fernández Vílchez · cálculo de integrales definidas. 21....

Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 1 ____________________________________________________________________________________________________

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNVERSIDAD

1. Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad

La siguiente relación de objetivos, contenidos y niveles tiene como finalidad el servir de orientación para la elaboración de la Prueba de Acceso a la Universidad de la materia Matemáticas II. Esta relación se adapta al currículo de la asignatura y su objetivo es matizar y especificar con cierto detalle algunos aspectos de los apartados del curriculo dedicados al Análisis, al Álgebra Lineal y a la Geometría

ANÁLISIS 1. Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites

laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales. 2. Saber aplicar el concepto de límite de una función en ±∞ para estudiar la existencia de asíntotas

horizontales y oblicuas.

3. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes:

∞−∞∞⋅∞

∞e0,

0

0, (se excluyen los de la forma 0,1 ∞

∞ y 00 ) y técnicas para resolverlas.

4. Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un

punto.

5. Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función.

6. Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto

7. Saber determinar las propiedades locales de crecimiento o de decrecimiento de una función derivable

en un punto y los intervalos de monotonía de una función derivable.

8. Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos.

9. Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones con no más de dos composiciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

10. Conocer la regla de L’Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.

11. Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o

puntos de inflexión.

12. Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos.

13. Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma )(xfy = indicando:

dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad ( 0)´´( <xf ) y de convexidad ( 0)´´( >xf ) y

puntos de inflexión.

14. Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información de la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.)


15. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.

16. Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función.

17. Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.

18. Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son

reales.

19. Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.

20. Conocer la técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas.

21. Conocer la propiedad de linealidad de la integral definida con respecto tanto al integrando como al

intervalo de integración.

22. Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.

23. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores).

24. Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo y la

regla de Barrow.

25. Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.

ÁLGEBRA LINEAL

26. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar,

transposición, producto de matrices, y saber cuándo pueden realizarse y cuándo no. Conocer la no conmutatividad del producto.

27. Conocer la matriz identidad I y la definición de matriz inversa. Saber cuándo una matriz tiene inversa y,

en su caso, calcularla (hasta matrices de orden 33× )

28. Saber calcular los determinantes de orden 2 y de orden 3.

29. Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.

30. Conocer que tres vectores en un espacio de dimensión tres son linealmente dependientes si y sólo si el determinante es cero.

31. Resolver problemas que puedan plantearse mediante un sistema de ecuaciones

32. Saber calcular el rango de una matriz.

33. Saber expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y conocer el concepto de matriz

ampliada del mismo.

34. Conocer lo que son sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles.

35. Saber clasificar (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo.


GEOMETRÍA

36. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio 37. Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente

dependientes.

38. Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra.

39. Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo:

el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.)

40. Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos

como sistemas de ecuaciones lineales.

41. Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta.

42. Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

43. Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (Por

ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.)

44. Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular

a otros dos y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos.

45. Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.

2. ESTRUCTURA DE LA PRUEBA DE “MATEMÁTICAS II” EN LA SELECTIVIDAD. Fase general: Cada estudiante recibirá dos exámenes -etiquetados Opción A y Opción B- y tendrá que elegir uno de ellos sin que pueda mezclar ejercicios de una opción con ejercicios de la otra opción. Cada examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual. Fase específica: Cada estudiante recibirá un único examen, sin opciones. EL examen constará de cuatro ejercicios: dos de ellos de Análisis y dos de Álgebra Lineal y Geometría. Estos cuatro ejercicios se valorarán por igual. Los exámenes de selectividad se pueden encontrar en la dirección de INTERNET:

http://www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm En la siguiente dirección están resueltos los exámenes de selectividad: http://www.iespadremanjon.com/ En la parte inferior central busca Exámenes de Selectividad de Matemáticas

• Libro 1º de Matemáticas



Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 4 ____________________________________________________________________________________________________ 3. INSTRUCCIONES PERTINENTES AL DESARROLLO DE LA PRUEBA. 3.1 De carácter general

� En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. � Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.

3.2 Materiales permitidos en la prueba � Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad de

almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados

� Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.

4. CRITERIOS GENERALES DE CORRECCION (es imprescindible concretar las valoraciones que se harán en cada apartado y/o aspectos a tener en cuenta).

Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no será suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente:

a) En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

b) Los estudiantes pueden utilizar calculadora que no sea programable, gráficas ni con capacidad de almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados indicando los pasos mas relevantes del procedimiento utilizado

c) Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.

d) Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio, excepto los siguientes errores que se penalizarán con el valor total de la pregunta o apartado:

1) No saber despejar en una ecuación de la forma ax=b. 2) Sumar fracciones quitando denominadores. 3) No saber que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. 4) Realizar: a2 + b2 = c2 ⇒ a + b = c 5) Realizar: ( ) 222

baba +=+ ; ( ) 222baba −=−

6) Realizar: baba +=+22 , es decir, 235925 =−=−

e) De igual manera, se penalizarán con un máximo del 10% la redacción incorrecta o el uso

inadecuado de símbolos Ejemplo: Si se pregunta “distancia de Linares a Madrid”, dar como solución x=305 se dará por mal, x=305 Km se dará por regular y dar como solución “la distancia de Linares a Madrid es de 305 Km.” se dará por buena.

f) La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. g) Si el alumno tiene que elegir entre los ejercicios de la opción A o los de la opción B, y se realizan

ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

5.- INSTRUCCIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS PRUEBAS ESCRITAS.

a) Para la resolución de los ejercicios no será necesario utilizar calculadoras. No obstante, no se prohibirá su uso y podrán utilizarse calculadoras científicas (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos). En cualquier caso, se advierte que durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.

b) El examen no se puede hacer con lápiz. c) En los ejercicios de la prueba no se pedirán las demostraciones de los teoremas. d) Ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico. e) Cada ejercicio llevará, de forma explícita, los puntos que vale, y si tiene varios apartados, la

puntuación de cada uno. De no ser así, se sobreentiende que todos los ejercicios valen igual y que, dentro de cada ejercicio, todos los apartado valen igual

Documento de orientación de Matemáticas II Profesor: José Guzmán Guzmán Pag. nº 5 ____________________________________________________________________________________________________ 6. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN.

Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no será suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio. También se tendrá en cuenta lo siguiente:

� En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

� Puedes usar calculadoras científicas (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

� Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.

� Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizarán la redacción incorrecta o el uso incorrecto de símbolos.

� La presentación clara y ordenada del ejercicio se valorará positivamente. � Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que

el primero que aparezca físicamente en el papel de examen. INSTRUMENTOS PARA PUNTUAR LAS EVALUACIONES.

A) Bloque de observación colectiva: Dos exámenes por trimestre, conteniendo el segundo toda la materia vista en ese período (incluyendo la del primer examen) y obteniendo la nota media ponderada. (El segundo examen puntúa el doble que el primero). Esta nota representará el 80% de la calificación de evaluación.

B) Bloque de observación individual: representará el 20 % de la calificación de evaluación, las llamaré CL1, CL2 y Cl3 para cada trimestre, y constará de:

a) Observación en el aula b) Asistencia y comportamiento a clase. c) Trabajo en casa. d) Controles escrito de clase, ...

FORMA DE LLEGAR A LA CALIFICACIÓN DE CADA TRIMESTRE Y LA FINAL: PRIMER TRIMESTRE: Llamaremos: EX1 y EX2 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl1 a la calificación del bloque de observación individual; Ev1 a la calificación de la primera evaluación; Ex3 a la calificación del examen de recuperación y Tr1 a la calificación del 1er trimestre

Media ponderada: 3

221

ExExM

⋅+= ; calificación 1ª evaluación:

10

12181

CLMEV

⋅+⋅=

Los alumnos con calificación Ev1 menor de cinco, y los que quieran subir nota, realizarán el examen de recuperación, con la misma materia que el EX2.

Calificación 1er trimestre: a) Si Ex3 > Ev1, 3

3211

ExEvTr

⋅+= ; b) Si Ex3 < Ev1, Tr1 = EV1

SEGUNDO TRIMESTRE: Llamaremos: EX4 y EX5 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl2 a la calificación del bloque de observación individual; Ev2 a la calificación de la segunda evaluación; Ex6 a la calificación del examen de recuperación y Tr2 a la calificación del 2º trimestre

Media ponderada: 3

5242

ExExM

⋅+= ; calificación 2ª evaluación:

10

22282

CLMEV

⋅+⋅=

Los alumnos con calificación Ev2 menor de cinco, y los que quieran subir nota, realizarán el examen de recuperación, con la misma materia que el EX5.

Calificación 2º trimestre: a) Si Ex6 > Ev2, 3

6222

ExEvTr

⋅+= ; b) Si Ex6 < Ev2, Tr2 = EV2

TERCER TRIMESTRE: Llamaremos: EX7 y EX8 a las calificaciones de los dos exámenes; Cl3 a la calificación del bloque de observación individual; Tr3 a la calificación del 3er trimestre

Media ponderada: 3

8273

ExExM

⋅+= ; calificación 3er trimestre:

10

32383

CLMTr

⋅+⋅=

Calificación global del curso: 3

123 TrTrTrFinal

++=

Los alumnos con calificación final menor de cinco realizarán un examen de suficiencia.

Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº6

REGLAS DE DERIVACIÓN -1

1 Dk = 0 SIENDO k UN NÚMERO REAL CUALQUIERA

2 Dx = 1 SIENDO x LA VARIABLE INDEPENDIENTE

a) DE FUNCIONES SIMPLES b) DE FUNCIONES COMPUESTAS

3 1−⋅=

nn xnDx ( ) DwwnwD nn⋅⋅=

−1

4 x

DxxD2

12

1

== Dww

DwwD ⋅==2

12

1

5 n n

nn

xnDxxD

1

11

−⋅

== Dwwn

wDwDn n

nn ⋅⋅

=

=

−1

11

6 x

DLx1

= Dww

DLw ⋅=1

7 xLa

xD a

11log ⋅= Dw

wLawD a ⋅⋅=

11log

8 Dex = ex [ ] DweeD ww⋅=

9 [ ] LaaaD xx⋅= [ ] DwLaaaD ww

⋅⋅=

10 D(sen x) = cos x DwwwDsen ⋅= )cos()(

11 D(cos x) = -sen x DwwsenwD ⋅−= )()cos(

12 )(sec)( 2 xxDtg = DwwwDtg ⋅= )(sec)( 2

13 )()sec()sec( xtgxxD ⋅= DwwtgwwD ⋅⋅= )()sec()sec(

14 )(cot)(cos)(cos xgxecxecD ⋅−= DwwgwecwecD ⋅⋅−= )(cot)(cos)(cos

15 )(cos)(cot 2 xecxgD −= DwwecwgD ⋅−= )(cos)(cot 2

16 [ ] ( )LxxLxxxxxD xxxx+⋅=⋅+⋅=

− 11 [ ] LuDvuDuuvuD vvv⋅⋅+⋅⋅=

−1


REGLAS DE DERIVACIÓN - 2

a) DE FUNCIONES SIMPLES b) DE FUNCIONES COMPUESTAS

17 x-

= xsenarcD

21

1 [ ] Dw

w- = wsenarcD ⋅

21

1

18 x-

- =xarcD

21

1cos [ ] Dw

w- = warcD ⋅

−

21

1cos

19 21

1

x+ = xtgarcD [ ] Dw

w+ = wtgarcD ⋅

21

1

20 21

1

x+ = xctgarcD

− [ ] Dw

w+ = wgarcD ⋅

−21

1cot

21 1

1sec

2 - xx =xarcD [ ] Dw

ww = warcD ⋅

−1

1sec

2

22 1

1cos

2 - xx

- =xecarcD [ ] Dw

ww = wecarcD ⋅

−

−

1

1cos

2

23 Suma / resta de dos funciones: [ ] DgDfgfD +=+ ; [ ] DgDfgfD −=−

24 Suma o resta de mas de dos funciones:

Es la suma o la resta de la derivada de cada sumando

[ ] DzDgDfzgfD +++=+++ ..........

25 Producto de un número y una función

[ ] DfkfkD ⋅=⋅

26 Producto de dos funciones [ ] DvuDuvvuD ⋅+⋅=⋅

27 Producto de tres funciones [ ] DzvuDvzuDuzvzvuD ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

28 Cociente de dos funciones 2v

DvuDuv

v

uD

⋅−⋅=

29 Cociente de una función y un número k

DfDf

kk

fD ==

1

30 Cociente de un número y una función 2f

Dfk

f

kD

⋅−=

Repaso de 1º de Bachillerato Profesor: José Guzmán Guzmán Pag nº8 Ejercicios de derivadas resueltos Consejos para calcular la derivada de una función:

1) Saberse las reglas de derivación y ponerlas. 2) Saber que regla de derivación hay que aplicar. 3) Es un cero poner y=f(x)= y aquí poner su derivada, Ej: Poner )4cos(284)4cos(7)4sen(7)4sen(7 xxxDxy ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= en lugar de

)4cos(284)4cos(7)4sen(7);4sen(7 xxxDDyxy ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=

4) La mayoría de las veces, simplificar consiste en calcular ,...;2054 −=⋅−+=⋅

5) Cuando hay un cociente, v

uy = , y el denominador, v, es una potencia hay que simplificar

obligatoriamente. Para ello cuando se calcula Dv no se quitan paréntesis, se saca factor común en el numerador y se simplifica, quedando en el denominador una potencia con la misma base y su exponente una unidad más.

6) Al derivar )(sen 2 u o )(cos 2 u hay que simplificar con la fórmula: )cos()sen(2)2sen( ααα ⋅⋅=

Ejemplo: [ ] DuuDuuuuD ⋅−=⋅−⋅⋅= )2sen()sen()cos(2)(cos 2

1.- Calcula la derivada de la función 2

2

)53(

853

−

+−=

x

xxy → Derivada de un cociente, con una potencia

en el denominador. HAY QUE SACAR FACTOR COMÚN y SIMPLIFICAR

( )

−=−=⋅−⋅==−=

−=+−=⇒

⋅−⋅=

422

2

253);53(63)53(2;)53(

;56;853

xvxxDvxv

xDuxxu

v

DvuDuv

v

uD

[ ]

33

22

3

2

2

2

)53(

2315

)53(

483018254518

)53()53(

)53(6)853()56()53(

)53(

853'

−

−−=

−

−+−+−=

=−⋅−

−⋅+−−−⋅−=

−

+−=

x

x

x

xxxx

xx

xxxxx

x

xxDy

NOTA: Si al calcular Dv quito paréntesis no se puede simplificar.

2.- Calcula las derivadas: a)

−

−−6

2

)12(

352

x

xxD ; b) ( ))3(4 45 xLxD ⋅ ; c) ( ))5cos(34 xeD x

⋅+−

a) Derivada de un cociente, con una potencia en el denominador: [ ]

7

2

7

22

57

52

6

2

)12(

414616

)12(

3660245148

)12()12(

)12(12)352()54()12(

)12(

352

−

++−=

−

++−+−==

−⋅−

−⋅−−−−⋅−=

−

−−

x

xx

x

xxxx

xx

xxxxx

x

xxD

( )

−=−=−=

−=−−=⇒

⋅−⋅=

12256

2

212;)12(12;)12(

;54;352

xvxDvxv

xDuxxu

v

DvuDuv

v

uD

b) Derivada del producto de dos funciones.

[ ]x

xx

DvxLvxDuxuDvuDuvvuD4

123

1);3(;20;4 3

4

445=⋅====⇒⋅+⋅=⋅

( ) [ ]43(5416)3(20)3(44444445

+⋅⋅=+⋅=⋅ xLxxxLxxLxD

c) Derivada de una suma: ( ) )5sen(154)5cos(3)5cos(3444

xexDDexeDxxx

−⋅−=+=⋅+−−−

3.- Calcula la derivada primera de las funciones 3 56) += xya ; 4 12) xyb = ; 532)2

−−= xxyc

3 23 2

3

)56(

26

)56(3

156´)

+=⋅

+=+=

xxxDya ;

==+=⇒⋅=−

3;6;561

1nDuxuDu

unuD

n n

n

3 33 3

4

1728

312

)12(4

112´)

xxxDyb =⋅== ;

===⇒⋅=−

4;12;121

1nDuuDu

unuD

n n

n

5322

34)34(

5322

1532´)

22

2

−−

−=−⋅

−−=−−=

xx

xx

xxxxDyc


−=−−=⇒= 34;5322

1 2 xDuxxuDuu

uD

4.- Calcula la derivada primera de la función )6(4 45 xLxy ⋅= → Derivada del producto de dos

funciones: [ ]x

xx

DvxLvxDuxuDvuDuvvuD4

246

1);6(;20;4 3

4

445=⋅====⇒⋅+⋅=⋅

( ) [ ]4)6(5416)6(20)6(44444445

+⋅⋅=+⋅=⋅= xLxxxLxxLxDDy

5.- Calcula )2cos(43 xey x⋅+=

− → Derivada de una suma

[ ])2cos(43 xDDeDy x⋅+=

− )2(83)2cos(4 33 xsenexDDe xx−⋅−=+=

−−

6.- Calcula 123

1342

2

−−

+−=

xx

xxy =

−−

−⋅+−−−⋅−−=⇒

22

22

)123(

)26()134()38()123(

xx

xxxxxxDy

22

2

22

2323

)123(

514

)123(

2122624322524

−−

+−=

−−

+−+−+−−=

xx

xx

xx

xxxxxx

( )

−−=−=−−=

−=+−=⇒

⋅−⋅=

2222

2

2 123;26;123

;38;134

xxvxDvxxv

xDuxxu

v

DvuDuv

v

uD

NOTA: como v no es una potencia, no se puede que sacar factor común en el numerador.

7.- Calcula la derivada primera de la función 2

242 78)3(cos

xexxy x

−⋅−=−

3

2423

2

242 141632)6sen(3

7)(8))3((cos

xexexx

xDexDxDDy xxx

+⋅+⋅−⋅−=−⋅−=−−−

)6sen(33))3sen(()3cos(2))3((cos 2 xxxxD ⋅−=⋅−⋅⋅=

( ) xxxxx exexexexexD 2424242324 1632)2(48)(8 −−−−−⋅−⋅=−⋅⋅+⋅=⋅

334

2

2

14142707

xxx

x

x

xx

xD −=

⋅

−=

⋅−⋅=

8.- Calcula la derivada primera de la función )5cos(7)4(52 44 xxLxxy ⋅+⋅−= , simplificando el resultado al máximo

)5sen(355)4(2082

1)5cos(7))4((5)2( 33

4 3

44 xxxLxx

xDxLxDxDDy −−⋅−=⋅+⋅−=

9.- Calcula la derivada primera de la función 745 +⋅= xxy , simplificando el resultado al máximo. → Derivada del producto de dos funciones:

[ ]74

24

742

1;74;5;5

+=⋅

+=+===⇒⋅+⋅=⋅

xxDvxvDuxuDvuDuvvuD

( )74

3530

74

103520

74

10745

74

10745

2

+

+=

+

++=

+

++⋅=

+++⋅=⇒

x

x

x

xx

x

xx

x

xxDy

10.- Calcula la derivada primera de la función xex

xy 5

3

4 7

6

−−+= , simplificando el resultado al

máximo. DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES.

xx ex

xDex

DDxDy 5

4

35

3

4 521

3

27

6

1 −−⋅+−=−+=

424

2

4

23

3

21213707

xxx

x

x

xx

xD −=

⋅

−=

⋅−⋅=⇒

11.- Dada la función y=x4- 24x2- 64x+8, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=3.

a) Compruebo que x=3 pertenece al dominio → f(3) = 319 (HAZLO). Sí pertenece b) Calculo Df(x) → Df(x)=4x3- 48x- 64, y Df(3) = 108 – 144- 64 = -100 = m (pendiente) c) Recta tangente : A=(3,319) ; 100)3( −== Dfm . d) Ecuación de la recta tangente: y-319 =-100(x-3)


Ejercicio 1: Calcula la derivada primera de las siguientes funciones, escribiendo la fórmula que aplicas, simplificando al máximo el resultado y sacando factor común.

1º) 3

3 12)3cos(4)5(8

xexxtgy x

++−=−

La derivada de una suma es la suma de las derivadas

( ) ( ) =+⋅+⋅−⋅=−

3

3 12))3cos(4()5(8

xDeDxDxtgDDy x

4

222 34)4(12)5(sec40

xxxLxx −−⋅−⋅=

( ) )5(sec405)5(sec8)5(8)5(822xxxDtgxtgD ⋅=⋅⋅=⋅=⋅

( ) )3(123)3(4)3cos(4))3cos(4( xsenxsenxDxD ⋅−=⋅−⋅=⋅=⋅

( ) xxxxeeDeeD3333

6322)2(−−−−

⋅−=−⋅⋅=⋅=⋅ ; 46

2

3

331

xx

x

xD −=

−=

2º) 45 )1()2( −⋅+= xxy Derivada de un producto:

( )( ) ( )

( ) ( )

−=−=

+=+=⇒⋅+⋅=⋅

34

45

14;1

25;2

xDvxv

xDuxuDvuDuvvuD

)39()1()2()2(5)1()1(4)2( 344435+⋅−⋅+=+⋅−+−⋅+= xxxxxxxDy

3º) 64

72

−

+=

x

xy Derivada de un cociente

−=−

=−=

=+=

⇒⋅−⋅

=

64;64

2;64

2;72

22 xvx

Dvxv

Duxu

v

DvuDuv

v

uD

( ) ( ) 6432

132

6464

264

1

64:

64

264

64

64

144642

−−

−=

−⋅−

−=

−

−

−=

−

−

+−−

=xx

x

xx

xx

x

x

x

x

xx

Dy

( )64

264

64

144128

64

)144(642

64

144642

2

−

−=

−

−−−=

−

+−−=

−

+−−

x

x

x

xx

x

xx

x

xx


4º) 5

2

)32(

452

+

−−=

x

xxy

¿El denominador es una potencia? Sí � Al calcular Dv no quito paréntesis � Antes de hacer las operaciones del numerador, se saca factor común y se

simplifica con el denominador � El denominador final de la derivada es (x+3)6

Fórmula:

( ) ( ) ( )

+=+⋅=⋅+⋅=+=

−=−−=⇒

⋅−⋅=

102445

2

232;32102325;)32(

54;452

xvxxDvxv

xDuxxu

v

DvuDuv

v

uD

[ ]

=+⋅+

+⋅⋅−−−−⋅+=

46

42

)32()32(

)32(10)452()54()32(

xx

xxxxxDy

6

2

6

22

)32(

255212

)32(

4050201528

+

++−=

+

++−−+=

x

xx

x

xxxx

5º) )3(48 3 xLxy ⋅−= La derivada de una resta es la resta de las derivadas

( )( ) =

⋅⋅+⋅−=⋅−= 3

3

14)3(120348 32

xxxLxxLxDDDy

[ ]1)3(344)3(12 222+⋅⋅−=−⋅−= xLxxxLx

6º) ( )xtgarcy 2= Fórmula: ( )

=⋅=

==

+=

xxDw

xwxw

Dww

wtgDarc

2

12

22

1

2;2

1

12

2

( ) xxxxDy

2)21(

12

22

1

21

12

⋅+=⋅⋅

+=

7º) 143

9522

2

+−

−+=

xx

xxy

¿El denominador es una potencia? NO � En la derivada hago todas las operaciones del numerador � El denominador final de la derivada es (x2-4)6

Fórmula: ( )

+−=−=+−=

+=−+=⇒

⋅−⋅=

2222

2

2

143;46;143

54;952

xxvxDvxxv

xDuxxu

v

DvuDuv

v

uD

( ) ( ) ( )=

+−

−⋅−+−+⋅+−=

22

22

)143(

4695254)143(

xx

xxxxxxDy

( )22

2

22

2323

143

315823

)143(

3674221251612

+−

−+−=

+−

−+−−+−−=

xx

xx

xx

xxxxxx


Ejercicio 2:

1) ( ) xexy 2325 −

⋅+= y saca factor común Fórmula:

( ) { }xx eDvevxxDuxuDvuDuvvuD 22223 2;;)25(155)25(3;)25( −−−==+=⋅+⋅=+=⇒⋅+⋅=⋅

[ ]=+−⋅+=+⋅−⋅+=−−− )25(215)25()25(2)25(15 223222 xexxeexDy xxx

[ ]1110)25( 22+−⋅+=

− xex x

2) 463 23−+−= xxxy

La derivada de una resta es la resta de las derivadas

( ) ( )46

39

462

)3(29463

2

2

2

223

−+

+−=

−+

+−=−+−=

xx

xx

xx

xxxxDxDDy

3) ( )15cot −= xgarcy →Fórmula: ( ) ⇒⋅+

−= Dw

wwarctgD

21

1)(

15;152

55

152

1;15 2

−=−

=⋅−

=−=⇒ xwxx

Dwxw →

152

1

1525

5

152

5

151

1

−

−=

−⋅⋅

−=

−⋅

−+

−=

xxxxxxDy

4) )5(cos2 xy = simplificando con la fórmula del ángulo doble

Fórmula: )5(25);5cos(;1 xsenDwxwDwwnDw nn⋅⋅−==⋅⋅=

−

( )

)10(5)5cos()5(25

)5cos()5(cos22

xsenxxsen

xDxDyD

−=⋅⋅⋅−=

===

5) ( )52

35

535

−

−−=

x

xxy →

¿El denominador es una potencia? Sí � Al calcular Dv no quito paréntesis � Antes de hacer las operaciones del numerador, se saca factor común y

se simplifica con el denominador � El denominador final de la derivada es (5x-3)6

Fórmula:

( ) ( ) ( )

−=−⋅=⋅−⋅=−=

−=−−=⇒

⋅−⋅=

102445

2

235;35255355;)35(

310;535

xvxxDvxv

xDuxxu

v

DvuDuv

v

uD

[ ]

=−⋅−

−⋅⋅−−−−⋅−=

46

42

)35()35(

)35(25)535()310()35(

xx

xxxxxDy


6

2

6

22

)35(

1343075

)35(

1257512594550

−

++−=

−

++−+−=

x

xx

x

xxxx

6) 35

53

−

−=

x

xy Derivada de un cociente

−=−

=−=

=−=

⇒⋅−⋅

=

35;352

5;35

3;53

22 xvx

Dvxv

Duxu

v

DvuDuv

v

uD

( ) 35610

715

1

35:

352

715

35

352

2515353

−⋅−

+=

−

−

+=

−

−

−−−

=xx

xx

x

x

x

x

xx

Dy

( )352

715

352

25151830

352

2515356

352

2515353

2

−

+=

−

+−−=

−

+−−=

−

−−−

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

7) )7(2 xLy =

Fórmula: xx

DwxLwDwwnDw nn 17

7

1);7(;1

=⋅==⋅⋅=−

( ) )7(2

)7()7(22 xL

xxLDxDLyD ⋅===

8) )3(33 4

2xsenx

xy ⋅−= La derivada de una resta es la resta de las derivadas

[ ] )4cos(9)4(126

)3(33 43

3

3

2xxxsenx

xxsenxD

xDDy ⋅−⋅−

−=⋅−

=

342

6233

xx

x

xD

−=

⋅−=

[ ] )3cos(9)4(12)3(3 434 xxxsenxxsenxD ⋅+⋅=⋅

9) 3 25)5(cos xxecy += La derivada de una suma es la suma de las derivadas

[ ] [ ]3

3 2

253

10)5(cot)5(cos55)5(cos

xxgxecxDxecDDy +⋅−=+=

333 43 4 253

10

253

10

253

1010

253

1

xxx

x

x

xx

xDy ===⋅=

José Guzmán 2º Bachillerato: Funciones Pag. nº 14

I) Continuidad, derivabilidad y extremos de una función 1.- Función real de variable real; f: R →→→→ R, y = f(x)

Es toda correspondencia f que asocia a cada valor de la variable independiente x, como máximo, un valor de la variable dependiente, y.

2.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. Conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, y se designa por Dom f(x) El dominio puede restringirse por: a) Imposibilidad de realizar alguna operación.

• Denominadores: Los valores de x que hacen cero un denominador no están en el dominio.

Ejemplo: { }2,2)(4

74)(

2−−=→

−

+= RxfDomx

xxf

• Raíces de índice par: el radicando tiene que ser mayor o igual que cero.

Ejemplo: { } ( ]2,2024/)(24)( ∞−=≤=≥−∈=→−= xxRxxfDomxxf

• Logaritmos: el argumento tiene que ser mayor que cero

Ejemplo: { } ( ) ( )∞−∞−=>+∈=→+= ,03,03/)()3(log)( 22UxxRxxgDomxxxg

b) Contexto real del cual se extrae la función: Ejemplo: Sea x la base de un rectángulo de 100m de perímetro, e y la altura. Calcula la función que nos da la altura en función de la base y calcula su dominio. Solución: y= 50-x ⇒ Dom f(x)= (0,50) ¿Por qué?

c) Voluntad de quien propone la función:

Ejemplo: ( ) { } ( ) { }20,2,20,)(04

74)(

2−−∞−=−−∞−=→<

−

+= xfDomxsix

xxf

NOTA: x=2 no hay que quitarlo porque no está en el intervalo de definición. [x<0 = (-∞,0)]

3.- Dominio de funciones que no son a intervalos, teniendo en cuenta sólo la imposibilidad de realizar alguna operación ( apartado a). Estudiaremos funciones de la forma y= f(u) donde u es un polinomio.

� Funciones cuyo dominio es R: funciones polinómicas, función seno, función coseno, función exponencial, función arco tangente, función arco cotangente y las funciones que son raíces de índice impar.

� Función cociente de polinomios: su dominio es R – {valores de x que anulan el denominador].

{ } { }0,20/)(63

741)( −−==∈−=→

+

++= RresdenominadoRxRxfDom

x

x

xxf

� Función logarítmica y=logau: Dominio= {valores de x tales que u>0}. { } ( )2,048/)()48(log)( ∞−=>−∈=→−= xRxxfDomxxf

� Función raíz de índice par y radicando u: Dominio = {valores de x tales que u≥0}

{ } ( ) ( )∞−=>−∈=→−= ,20,204/)(4)( 34 3UxxRxxfDomxxxf

� Funciones y=arc sen(u) ó y=arc cos(u): Dominio = {valores de x tales que -1≤u≤1} { } { } [ ]3,4346281721)()72sen()( −−=−≤≤−=−≤≤−=≤+≤−=→+= xxxxfDomxarcxf

� Funciones y=arc sec(u) ó y=arc cosec(u): Dominio = R - {valores de x tales que –1<u<1}

( ) ( ] [ )

{ } { } ( )6,46446151

,64,6,4)()5sec()(

=<<=−<−<−=<−<−

∞∞−=−=→−=

xxx

RxfDomxarcxf U

� Funciones y= tg(u) e y = sec(u): { }0)cos(/)( =∈−= uRxRxfDom � Funciones y= cotg(u) e y = cosec(u): { }0)sen(/)( =∈−= uRxRxfDom

{ }

+=→==→= ππ

π kuukuu2

0)sen(;0)cos( ; y ahora despejas x.

ZK

kRxfDom

kxkxuxxf

∈∀

−=→=→==→=2

)(2

2)2tg()(ππ

π

ZK

kRxfDom

kxkxuxecxf

∈∀

+−=→+=→+==→=36

)(362

3)3(cos)(ππππ

ππ

� Suma, resta y producto de funciones: es la intersección de los dominios de cada una.


� Cociente de funciones: es la intersección de los dominios de cada una - {valores de x que anulan el denominador]

� 4.- DOMINIO DE FUNCIONES QUE SON A INTERVALOS: Estudiamos el dominio en cada intervalo, teniendo en cuenta que aparece 2. -c).

5.- RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN. Es el conjunto de valores de la variable dependiente “y” para los que existe función

6.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. Preguntas del libro: nº 5, 6 y 7 páginas 236 a 241 � Las funciones que no son a intervalos son continuas en todos los puntos de su dominio. � Las funciones que son a intervalos son continuas en todos los puntos de su dominio, excepto en

los puntos de cambio en los que se tiene que cumplir las propiedades de la continuidad:

)()()ª3;)()ª2;:

)()ª1 xf

ax

limafxf

ax

lim

existe

af

→=

→∃

∃

∃

7.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Preguntas nº 3, 4 y 5 de las páginas 254 a 257.

8.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN QUE NO ES A INTERVALOS: Es el conjunto de valores de x para los que existe derivada. ♦ Para calcular Df(a) se dan los siguientes pasos: a) Comprobar que existe f(a); b) calcular la función derivada Df(x) ; c) calcular Df(a) ♦ Las funciones que no son a intervalos son derivables en todos los puntos de su dominio,

excepto: a) Las raíces: Son derivables en todos los puntos en que es continua - {valores de x que anulan

el radicando}. Estos puntos se llaman angulosos. b) Funciones y=arc sen(u) ó y=arc cos(u): Es derivable en {valores de x / –1<u<1} c) Funciones y=arc sec(u) ó y=arc cosec(u): Es derivable en R - {valores de x / –1≤u≤1}

NOTA: Si y=arc sen(x+3), su dominio es [-4,-2] ⇒⇒⇒⇒ es continua en [-4,-2] y derivable en (-4,-2)

9.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN A INTERVALOS: Es el conjunto de valores de x para los que existe derivada. Una función f(x) es derivable donde es continua, pero:

� En los puntos de cambio hay que comprobar que existen la derivada por la derecha y por la izquierda (D+f(a) y D-f(a)) y que son iguales,

� Si es una raíz, no es derivable en los valores del dominio que anulen el radicando. (Puntos angulosos) NOTA: En los puntos en los que f(x) no es continua la función no tiene derivada. (*****) Si la función tiene mas de un intervalo se hace como en el ejercicio nº 1

Ej-1 Estudia donde es continua y derivable la función:

−>+

−≤−−=

174

1952

xsix

xsixxy

A) Dominio de la función: � En el intervalo (-∞,-1] todos pertenecen al dominio por ser y=x2-5x-9 una función polinómica � En el intervalo (-1,∞) todos pertenecen al dominio por ser y=4-7x una función polinómica � Dom f(x) = R B) Dominio de continuidad de f(x): La función es continua en el dominio, R, excepto en el punto de cambio x=-1,que hay que ver las tres propiedades: 1º) Que exista f(-1). Se cumple porque f(-1) = -3. 2º) Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a -1. Hay que hacer límites laterales.

( ) 3951

lim)(

1

lim2

−=−−−→

=−→

−−xx

xxf

x ; ( ) 374

1

lim)(

1

lim−=+

−→=

−→++

xx

xfx

3)(1

lim−=

−→⇒ xf

x

3º) 3)(1

lim)1( −=

−→=− xfx

f

Luego f(x) no es continua para x=-1 ⇒⇒⇒⇒ Resumen: f(x) es continua en R-{-1} C) Dominio de derivabilidad de f(x):

La función es derivable donde es continua, pero para x=-1 hay que comprobar que la derivada por la derecha y por la izquierda son iguales


752)1(;7)1(17

152−=−−=−=−⇒

−>

−<−=

−+ fDfDxsi

xsixDy No son iguales. NO ES DERIVABLE

Resumen: f(x) es derivable en R-{-1} NOTA: En la derivada no se pone ≤ en el primer intervalo hasta que veas que es derivable para x=-1

Si la función tiene un intervalo se hace como en el ejercicio nº 2

Ej-2 Estudia donde es continua y derivable la función:

=

≠=

01

0

xsi

xsix

senxy

Como la función sen(x) y x son derivables siempre y el denominador no vale cero, es derivable siempre, pero para x=0 hay que comprobar que tiene derivada con la definición:

=−

−

→=

0

)0()(

0

lim)0(

x

fxf

xDf =

−

→ xx

xsen

x

1)(

0

lim{ }===

−

→HôpitalL

x

xsenx

x'

0

0

0

lim2

{ }===−

→= HôpitalL

x

x

x'

0

0

2

1cos

0

lim0

2

0

20

lim==

−

→

senx

x→ Sí es derivable en x=0

La función f(x) es derivable en R, es decir, siempre

10.- RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. La recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=a ∈ Dom f(x), es la recta que pasa por el punto (a,f(a)) y su pendiente m= Df(a), y su ecuación es: y - f(a) = m(x-a)

11.- RECTA NORMAL A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La recta normal a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x= a ∈ Dom f(x), es la recta que pasa por el punto A=(a,f(a)) y es perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Se verifica que su

pendiente es )(

1

aDfm −= y su ecuación es )()( axmafy −⋅=−

NOTA: a) si Df(a) =0, la recta tangente es horizontal y la recta normal es vertical, y sus ecuaciones son y= f(a) y x= a, respectivamente. b) Si f(x) es continua para x=a, pero no es derivable porque Df(a) no existe y es infinita (esto

ocurre en los puntos angulosos), la recta tangente es vertical y la recta normal es horizontal, y sus ecuaciones son x= a e y= f(a), respectivamente.

12.- DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. Pregunta nº2 página 284

13.- REGLA DE L´HÔPITAL.

Se utiliza para resolver las indeterminaciones0

0 y

∞

∞

Se verifica que =→ )(

)(lim

xg

xf

ax )(

)(lim

xDg

xDf

ax → ; se aplica mientras aparezca la indeterminación;

a puede ser cualquier número real, +∞ y -∞ No es recomendable cuando el numerador es una raíz y el denominador un polinomio y x→∞.

Ejemplo: Calcula xex

x

x 22

2

3

5)4(cos5

0

lim−

⋅

−⋅

→ e interpreta geométricamente el resultado

==⋅

−⋅

→ − 0

0

3

5)4(cos5

0 22

2

xex

x

x

lim==

−

⋅−

→ − 0

0

)1(6

)8sen(20

0 2 xxe

x

x

limx 3

80

6

160

)142(6

)8cos(160

0 22

−=

−=

+−

⋅−

→ − xxe

x

x

limx

Interpretación geométrica:

La función xex

xxf

22

2

3

5)4(cos5)(

−⋅

−⋅= tiene una discontinuidad evitable el punto P=

−

3

80,0


14.- PUNTOS NOTABLES DE UNA FUNCIÓN: � Puntos de corte con los ejes: se obtienen resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

=

=⇒∩

0

)()(

y

xfyOXejexf

=

=⇒∩

0

)()(

x

xfyOYejexf

SIEMPRE hay que comprobar que los valores de x pertenecen al dominio. � Puntos críticos: son los puntos cuya abscisa, x, anula la primera derivada. Se obtienen

resolviendo la ecuación Df(x)=0. Hay que comprobar que las soluciones de x pertenecen al dominio. Dichos puntos serán máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión con tangente horizontal.

� Máximo relativo: El punto A=(a,f(a)) es máximo relativo de f(x) cuando a la izquierda de a la función crece (Df(x)>0) y a la derecha decrece (Df(x)<0). NOTA: Si la función f(x) es derivable, para x=a, el punto A=(a,f(a)) es máximo relativo de f(x) si y solo si Df(a)=0 y D2f(a)<0.

� Mínimo relativo: El punto A=(a,f(a)) es mínimo relativo de f(x) cuando a la izquierda de a la función decrece (Df(x)<0) y a la derecha crece (Df(x)>0). NOTA: Si la función f(x) es derivable, para x=a, el punto A=(a,f(a)) es mínimo relativo de f(x) si y solo si Df(a)=0 y D2f(a)>0.

� Punto de inflexión: El punto A=(a,f(a)) es punto de inflexión de f(x) cuando a la izquierda de a la función es cóncava (D2f(x)<0) y a la derecha es convexa (D2f(x)>0), o viceversa. NOTA: Si la función f(x) es derivable, para x=a, el punto A=(a,f(a)) es punto de inflexión de f(x) si y solo si D2f(a)=0 y D3f(a)≠0.

� Punto anguloso: El punto de coordenadas (a, f(a)) es un punto anguloso de la función f(x) cuando para x=a la función es continua pero no es derivable.

15.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN.

a) Si Df(x) > 0, f(x) es creciente b) Si Df(x) < 0, f(x) es decreciente c) Si Df(x) = 0, dudoso. Hay que estudiar si crece o decrece a su izquierda y a su derecha.

Para calcular los intervalos de monotonía y los extremos relativos de una función hay que dar los pasos:

a) Calculamos su dominio de definición y donde es continua y derivable. b) Dibujamos en la recta real el dominio de la función, los puntos críticos y los puntos de

cambio de la función. c) Estudiamos la monotonía en cada uno de los intervalos.

En los puntos dibujados que pertenecen al dominio: � Si crece a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) crece para x=a. (Si x= a es un punto

crítico, el punto(a,f(a)) es un punto de inflexión con tangente horizontal). En caso contrario, no se sabe y no se dice nada.

� Si decrece a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) decrece para x=a. (Si x= a es un punto crítico, el punto(a,f(a)) es un punto de inflexión con tangente horizontal). En caso contrario, no se sabe y no se dice nada.

� Si a la izquierda de x=a decrece y a la derecha crece, f(x) tiene un mínimo relativo para x= a., en el punto (a,f(a)).

� Si a la izquierda de x=a crece y a la derecha decrece, f(x) tiene un máximo relativo para x= a, en el punto (a,f(a))

16.- CURVATURA EN FUNCIONES DERIVABLES.

a) Si f"(x) > 0, f(x) es convexa b) Si f"(x) < 0, f(x) es cóncava. � Si f"(x) = 0, dudoso. Tenemos que comprobar lo que hace a su izquierda y a su derecha.

Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función hay que dar los pasos:

a) Calculamos su dominio de definición y donde es continua y derivable. b) Dibujamos en la recta real el dominio de la función, los puntos que anulan la segunda derivada,

los puntos angulosos (solo cuando hay raíces) y los puntos de cambio de la función. c) Estudiamos la concavidad y la convexidad en cada uno de los intervalos.

En los puntos dibujados que pertenecen al dominio: � Si es cóncava a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) es cóncava para x=a � Si es convexa a la derecha y a la izquierda de x=a, f(x) es convexa para x=a


� Si a la izquierda de x=a es cóncava y a la derecha convexa, o viceversa, f(x) tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (a, f(a))

17.- EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN.

El punto A=(a,k) es el máximo absoluto de la función f(x) cuando k≥f(x) para todo x ∈ Dom f(x). El punto B=(b,h)) es el mínimo absoluto de la función f(x) cuando h≤f(x) para todo x ∈ Dom f(x). Si existen, k se llama cota superior de la función, y h cota inferior de la función; k= f(a) y h= f(b) Si no hay asíntotas verticales, los valores de x candidatos a extremo absoluto son: los extremos relativos, los puntos de cambio de la función y los extremos del dominio o intervalo, si lo hay. Se calcula la segunda coordenada de todos esos puntos y el que tenga la mayor será el máximo absoluto y el que tenga la menor será el mínimo absoluto

18.- VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN: Si tenemos y=f(x), los puntos (a,b) de la gráfica de f(x), con b>0, pertenecen a la gráfica f(x) y los

puntos (a,b) de la gráfica de f(x), con b<0, pertenecen a la gráfica f(x) los puntos (a,-b). Lo primero es quitarlo y llegamos a una función a intervalos, siendo los puntos de cambio la solución o

soluciones que se obtienen al igualar a cero lo que hay dentro del valor absoluto.

Definición de valor absoluto:

<−

≥=

0

0

asia

asiaa . Ejemplo-1:

−<−−

−≥+=+=

242

24242

xsix

xsixxy

Ejemplo-2:

>−+

≤<−+−−

−≤−+

=−+=

143

1443

443

43

2

2

2

2

xsixx

xsixx

xsixx

xxy 1;4

043

21

2

=−=

=−+

xx

xx

Ejemplo-3: Dibuja la función f:R→R definida por 2xy += Propiedades:

a) El dominio de la función y=f(x) coincide con el de y=f(x). b) La función y=f(x) es continua en los mismos puntos que la función y=f(x). c) La función y=f(x) es derivable en los mismos puntos que la función y=f(x), excepto en los

valores de x tales que f(x)=0. En dichos puntos tenemos que comprobar que las derivadas por la derecha y por la izquierda son iguales. (Lo mas normal es que no lo sean).

19.- ESTUDIO DE f(x) CUANDO NOS DAN LA GRÁFICA DE Df(x).

a) Para los valores de x en los que exista gráfica de Df(x), f(x) es derivable, lo que implica que para dichos valores de x es continua y pertenecen al dominio.

b) MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS: Observando la gráfica � Para los valores de x tales que Df(x)>0, la función f(x) crece, � Para los valores de x tales que Df(x)<0, la función f(x) decrece, � Para los valores de x en los que la gráfica de Df(x) corte al eje de abscisas, (Df(x)=0; puntos

críticos), estudiamos lo que ocurre a su izquierda y su derecha, y calculamos los extremos relativos.

c) CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN: Observando la gráfica � Para los valores de x tales que la gráfica de Df(x) crece ⇒ D2f(x) ≥ 0 ⇒ la función f(x) es

convexa � Para los valores de x tales que la gráfica de Df(x) decrece ⇒ D2f(x) ≤ 0 ⇒ la función f(x) es

cóncava � Si la gráfica de Df(x) ni crece ni decrece, f(x) es una recta y no es ni cóncava ni convexa. � Si en x=a la gráfica de f(x) pasa de ser cóncava a convexa o viceversa, hay un punto de

inflexión. Si observamos la gráfica, en el punto (a,f(a)) la tangente es horizontal.

20.- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. (Página 319 del libro)

a) Escribimos la fórmula que piden que optimicemos y la llamamos w, indicando qué representa cada variable (una medida, un precio, abscisa de un unto, ……) .

b) Si la función tiene más de una variable, buscamos condiciones en el enunciado, despejamos incógnitas y sustituimos. En la función a optimizar sólo puede haber una variable.

c) Calculamos su dominio. d) La solución estará en los puntos críticos que pertenezcan al dominio o en los extremos del

dominio.


Ejercicios resueltos: Ej-1 De todos los rectángulos de área 100 cm2 calcula el de diagonal máxima y mínima.

Llamaremos x: medida de la base en centímetros ; y: medida de la altura en centímetros

)(1000010000100

;1004

2

222 xwx

x

xxDiagonal

xyyxÁreayxDiagonal =

+=+=⇒==⋅=⇒+=

Dominio de x = (0,∞) porque x es una medida y no puede ser ni cero ni negativa. La raíz existe siempre porque el radicando nunca puede ser negativo.

∉−=

∈=⇒==⇒

+⋅

−=⇒

ioDox

ioDoxxxDw

xx

xxDw

críti

Puntos

min10

min1010000;0)(

10000

10000)(

cos 2

14

42

4

Dw(5)= -3,6 <0→ w(x) decrece a la izquierda de x=10; Dw(5)= -3,64 <0,9→wg(x) crece a la derecha de x=10;

decrece crece 0 10 (mínimo relativo)

� Si x=10→y=100:10 = 10 cm→ El rectángulo de diagonal mínima es el cuadrado de lado 10 cm.

� El de diagonal máxima no existe; sería para x=0 o x=∞ o (los extremos del intervalo) y esto no es un rectángulo

Ej-2 Calcula el punto o puntos de la gráfica de la función y=x4 – 4x3 –18x2 en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima y calcula dicha pendiente. Igual para el de pendiente mínima

x: abscisa de los puntos de la función ; y: ordenada de los puntos de la función. Pendiente: m = Df(x) = 4x3 – 12x2 – 36x =w(x). Como x (abscisa de los puntos) puede valer cualquier número real, Dominio de x = R Calculemos los extremos de la función w(x): Puntos críticos: Dw (x)= 12x2 – 24x – 36 =0 ; x1= -1∈∈∈∈R; x2= 3∈∈∈∈R

crece decrece crece

-1 3 máximo relativo mínimo relativo

Dw(-3) = 144 >0 → w(x) crece ; Dw(0)= -36 → w(x) decrece ; Dw(5) = 144 >0 → w(x) crece El punto con pendiente mínima es P=(3,f(3)= (3,–189) y la pendiente m= w(3)=Df(3)=–108 f(3)==81–108–162=-189 ; m = w(3)= DF(3)= 108–108-108=-108. El punto con pendiente máxima es P=(-1,f(-1))= (-1,-13) y la pendiente m=w(-1)=20 f(-1)=1+4–18=-13 ; m = w(-1) = -4-12+36=20 Ej-3: Un granjero desea hacer tres corrales iguales y contiguos, como se señala en la figura.

y x

El área de cada uno es de 40 m2. La zona marcada con trazo grueso cuesta 450 € el metro de valla y la zona marcada con trazo fino cuesta 280 € el metro de valla. Determina las dimensiones x (largo) e y (ancho), con dos decimales, de cada uno de los corrales para que el coste de la valla sea mínimo

Coste = 450(4x+2y)+280(2x+2y)=2360x+1460y=2360x+ .58400

x

Área= .40

40x

yyx =⇒=⋅ Dominio de x=(0,∞∞∞∞)

Coste mínimo⇒⇒⇒⇒D Coste =2360-

∞∉−=

∞∈=⇒==⇒=

),0(97,4

),0(97.4

59

1460

2360

584000

58400 2

2 x

xx

x

decrece crece 0 4,97 (mínimo relativo) ∞ Solución: Cada corral mide de largo: x=4,97 m. y de ancho: y=8,05 m

Ej-4 Calcula el punto o puntos de la gráfica de la función 2xexy −

⋅= en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima


II) ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN. Una asíntota es una recta a la que se aproxima la función en uno de sus extremos o en los dos.

1.- Función polinómica y = P(x). � No tiene asíntotas verticales. � Tiene dos ramas parabólicas (RP), una por +∞ y otra por - ∞. (06.)

2.- Función racional (cociente de polinomios) Repaso 1º Bachillerato

� Asíntotas verticales (A.V.): se calculan por (01.) � Asíntotas horizontales, oblicuas y ramas parabólicas (AH, AO y RP). El resultado por +∞ y por

-∞ coincide, por lo que sólo lo haremos por +∞. Sólo hay una de las tres. Sea h= grado del numerador y k= grado del denominador.

CASOS Tipo de asíntota y ecuación:

h < k La recta de ecuación y=0 es A.H. por +∞ y por - ∞

h = k La recta de ecuación y=b es A.H. por +∞ y por - ∞ (02.)

h = 1 + k La recta de ecuación y=mx+n es A.O. por +∞ y por - ∞ (04.)

h > 1 + k Tiene una R.P. por +∞ y otra por - ∞ (06.)

NOTA : La posición de la A.H. o de la A.O. hay que estudiarla por +∞∞∞∞ y por -∞∞∞∞.

3.- Función irracional (raíz cuadrada de un polinomio ± un número).

a) No tienen asíntotas verticales b) Si los valores de x que se acercan a +∞ pertenecen al dominio, tendremos una AH, una AO o una

RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). c) Si los valores de x que se acercan a -∞ pertenecen al dominio, tendremos una AH, una AO o una

RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Observaciones:

� Si grado de P(x) ≠ 2 puede tener una rama parabólica por +∞, si se cumple 2. y otra por - ∞ , si se cumple 3. Se calculan por (06.)

� Si grado de P(x) = 2, tiene una asíntota oblicua por +∞ y otra por - ∞. (DOS SEMIASÍNTOTAS) Se calculan por (03.) y (04.)

� Si hemos calculado la A.O. por +∞∞∞∞, y es la recta y=3x+6, por -∞∞∞∞ será la recta y=-3x-6. (Si eres listo te ahorras calcularla).

4.- Funciones en las que aparecen polinomio y raíces de polinomios.

a) Asíntotas verticales: se calculan por (01.) b) Si los valores de x que se acercan a +∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o

una RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (02.), si no hay se prueba con la A.O. (03.) y si no hay se busca la R.P. (06.)

c) Si los valores de x que se acercan a -∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (03.), si no hay se prueba con la A.O. (04.) y si no hay se busca la R.P. (06.)

5.- Funciones trigonométricas. (SIEMPRE SE TRABAJA EN RADIANES)

Las funciones seno, coseno, arco seno y arco coseno no tienen asíntotas. a) Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante tienen infinitas asíntotas verticales. b) Las funciones arco seno y arco coseno no tienen asíntotas. c) Las funciones arco tangente y arco cotangente tienen dos semiasíntotas horizontales, una por +∞

(02.) y otra por - ∞ (03.)


Tenemos que saber que:

2)tg(

π→+∞arc ;

2)tg(

π−→−∞arc ; π→+∞)(cot garc ; 0)(cot →−∞garc

)tg(2

1tg)(cot aarc

aarcagarc −=

=

π. Ej.: 3218,0)3tg(

23

1tg)3(cot =−=

= arcarcgarc

π

6.- FUNCIONES TRASCENDENTES. (Logaritmos y exponenciales)

Calculamos su dominio. a) Hay A.V. si tenemos valores de x que anulen el denominador o hay un logaritmo de u, y existe

algún valor de x tal que u=0. Si hay, se calculan por (01.) b) Si los valores de x que se acercan a +∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o una RP

(SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (02.), si no hay se prueba con la A.O. (03.) y si no hay se busca la R.P. (06.)

c) Si los valores de x que se acercan a -∞ pertenecen al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA DE LAS TRES). Se empieza por la A.H. (03.), si no hay se prueba con la A.O. (04.) y si no hay se busca la R.P. (06.)

NOTA: En los límites por -∞∞∞∞ se comienza con el cambio de variable x=-t

Fórmulas para calcular las asíntotas: 01. Cálculo de las asíntotas verticales:

La recta x = a es A.V. de f(x) cuando 0

)(k

xfax

lim=

→, siendo k∈R y k≠0.

� Hay que hacer límites laterales para estudiar la posición de la A.V. y la función. � Habrá tantas como valores de x que anulen el denominador. � La AV y la función nuca se cortan.

02. Calculo de las A.H. por +∞∞∞∞:

La recta y=b es AH de f(x) por +∞∞∞∞ cuando Rbxfx

lim∈=

∞→)(

� Si pido la posición, hay que estudiar si se corta la AH y f(x), y la posición de la AH y la función, por +∞. 03. Calculo de las A.H. por -∞∞∞∞:

La recta y=b es AH de f(x) por -∞∞∞∞ cuando Rbxfx

lim∈=

−∞→)(

� Si pido la posición, hay que estudiar si se corta la AH y f(x), y la posición de la AH y la función, por -∞. 04. Calculo de la asíntota oblicua por +∞∞∞∞:

La recta y= mx+n es AO de f(x), por +∞∞∞∞, cuando:

0)(

≠∈∞→

= myRx

xf

x

limm ; ( ) Rmxxf

x

limn ∈−

∞→= )(

� Si pido la posición, hay que estudiar si se cortan la AO y f(x) y la posición de la AO y la función, por +∞.

05. Calculo de la asíntota oblicua por +∞∞∞∞: La recta de ecuación y=mx+n es A.O. de f(x) por - ∞∞∞∞, siendo

0)(

≠∈−∞→

= myRx

xf

x

limm ; ( ) Rmxxf

x

limn ∈−

−∞→= )(

� Si pido la posición, hay que estudiar si se cortan la AO y f(x) y la posición de la AO y la función, por -∞. 06. Calculo de las ramas parabólicas por +∞∞∞∞ y por -∞∞∞∞:

∞−

∞+=

∞→ IVcuadrantePR

IcuadrantePRxf

x

lim

..

..)( ;

∞−

∞+=

−∞→ IIIcuadrantePR

IIcuadrantePRxf

x

lim

..

..)(

José Guzmán Matemáticas II Integral Indefinida Pag. nº 22

Diferencial de una función: df(x) = Df(x).dx

Tabla de integrales indefinidas inmediatas de:

a) Función simple b) Función compuesta

∫∫∫∫ dx = x + C CxfdxxDf= dxxdf +=⋅⋅ ∫∫ )()()(

∫ +=⋅ CxLdxx

1

∫ +=⋅ CuLdxu

u

'

∫ −≠++

=⋅

+

11

1

nsiCn

xdxx

nn ∫ −≠+

+=⋅⋅

+

11

'1

nsiCn

udxuu

nn

∫ +=⋅+

Cxarcdxx

)(tg1

12

∫ +=⋅+

Cuarcdxu

u )(tg1

'2

∫∫∫∫ ex dx = ex + C ∫∫∫∫ u’.eu dx = eu + C

CaLa

1 = dxa xx

+⋅∫ CaLa

1 = dxau uu

+⋅⋅∫ '

∫∫∫∫ cos(x) dx = sen(x) + C ∫∫∫∫ u’.cos(u).dx = sen(u) + C

∫∫∫∫ sen(x) dx = -cos(x) + C ∫∫∫∫ u’.sen(u).dx = -cos(u) + C

∫∫∫∫ sec2x dx = tg(x) + C ∫∫∫∫u’. sec2u dx = tg(u) + C

∫∫∫∫ cosec2x dx = - cotg(x) + C ∫∫∫∫ u’.cosec2u dx = - cotg(u) + C

∫ +=⋅−

Cxarcdxx

)(sen1

1

2 ∫ +=⋅

−Cuarcdx

u

u )(sen

1

'

2

∫ +=⋅−⋅

Cxarcdxxx

)(sec1

1

2 ∫ +=⋅

−⋅Cuarcdx

uu

u )(sec

1

'

2

Integral de una suma de funciones: ∫∫∫∫ [f(x)+ g(x)] dx = ∫∫∫∫ f(x)dx + ∫∫∫∫ g(x)dx

Integral de una resta de funciones: ∫∫∫∫ [f(x)- g(x)] dx = ∫∫∫∫ f(x)dx - ∫∫∫∫ g(x)dx

Integral del producto de un número y una función ∫∫∫∫ [k.f(x)] dx = k. ∫∫∫∫ f(x)dx

NOTA: En la Integral indefinida de una función compuesta, si haces el cambio de variable t=u ; dt=u’.dt, llegamos al la Integral indefinida de una función simple. Ejemplo:

∫ ∫∫ +==+

=⋅+

=

=⋅===⋅+

Cuarctarcdttu

dt

t

u

u

dtdxdxudtutdx

u

u )tg()(tg

1

1

'1

'

';';

1

'222

( )∫ ∫∫ +==+

=⋅+

=

=⋅====⋅+

Cxtgarcttgarcdttx

dt

t

x

x

dtdxdxxdttxxtdx

x

x 2

22

242

4)(

1

1

21

2

2;2;;

1

2


MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: A) Integral de un cociente de polinomios. (Funciones racionales) Caso I: El denominador es un monomio.

Divido cada monomio del numerador por el monomio del denominador, y se descompone la integral en suma de integrales inmediatas.

∫ ∫ ∫∫∫ ++⋅+−+=+−+=−+−+

Cx

xLxxxdxx

dxxdxdxxdxx

xxxx

4

92

8

7

8

112

4

7

2

1

4

98472 243

2

235

Caso II: El polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el grado del denominador. Divido los polinomios, aplico la propiedad de la división (Dividendo = divisor x cociente + resto), y descomponemos la integral en la suma de la integral de un polinomio y una integral del caso III.

∫ ∫∫ += dxxQ

xrdxxcdx

xQ

xP

)(

)()(

)(

)( siendo P(x)=Q(x).c(x)+r(x)

Caso III: El polinomio del numerador es de grado menor que el del denominador. 1) El denominador es un polinomio de grado uno: tenemos una integral logarítmica.

∫∫ ++===

=⋅=

+=

=+

⇒ CxLtLdttdtdxdxdt

rdenominadoxt

dxxiable

deCambioa 54

4

7

4

71

4

7

4

1;4

54

54

7

var)

∫∫ ++=

=

+==

+==

+⇒ CxL

u

xudt

xdx

xinmediata

lInteb 54

4

7

4'

54

54

4

4

7

54

7gra)

2) Hacemos el cambio t= Q(x), y calculamos dt = DQ(x).dx; se saca factor común en dt y en el numerador de

la fracción (Se intenta en todos los cocientes, aunque no sean de polinomios) Si se simplifican todas las x el cambio es posible. Ejemplo:

( )

( )

( )CxxLtLdt

ttdt

xt

x

dtx

dxdxxdt

xxt

dxxx

x+++===

+⋅

+=

+=+=

++=

=++

+∫∫ ∫ 163

7

6

7

616

)1(6

1)17

16

1;)66(

;163

163

77 2

2

2

3) El denominador es un binomio de segundo grado sin raíces reales.

⇒+=+

++

=+

+∫∫∫ tangentearcoundanosI

arítmicaleCasoIIIdx

bax

ndx

bax

mxdx

bax

nmx

:

loggraint;º2:

2

1

21222

4) El denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales: ax2+bx+c

Se transforma en una del caso 3º, del siguiente modo:

( )[ ]22

2

22

22

2

)(;4

4

2

4;

2;

2

4βαβα −−=

−=

−=

−=

−±−= xaxQ

a

acb

a

acb

a

b

a

acbbx

2122222

:

)(

1IIdt

t

nmmt

dtdx

txxtdx

x

nmx

adx

cbxax

nmx+=

−

+−=

=

+=−==

−−

+=

++

+∫∫∫ β

ααα

βα

(realiza todas las operaciones del numerador y del denominador y estás en el caso 3)) 5) El denominador es un polinomio con una raíz real múltiple: Q(x)=(ax+b)n.

Hago el cambio de variable t=ax+b ; despejo x y calculo dx; realizo todas las operaciones del numerador y tengo una integral del Caso I

∫ ∫ =

+−=

+−=

=−=+==

+

+−dt

t

tt

ttx

dtdxtxxtdx

x

xx3

2

223

2 12113

12

;1;1

)1(

753 Se resuelve como en 1) y se deshace

el cambio (t=x+1). HAZLO. 6) Si no es ninguno de los casos anteriores, descomponemos la fracción en suma de fracciones simples del

siguiente modo:

CxLxLxx

zLtLtt

zLtLtt

dzz

dtt

dttdttdxdzxz

dxdtxt

dxx

dxx

xxdxxx

xxdx

xxxx

xx

++++−+

−+

=+−−=

=+−−

⋅+−

⋅−

=+−+−

=

=+=

=+==

=+

++

−+++=++

−+=

++++

−+

−−

−−

−−

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫∫ ∫∫

310

11

10

1

)1(5

4

)1(5

3

10

1

10

1

5

4

5

3

10

1

10

1

15

4

25

61

10

11

10

1

5

4

5

6

;3

:1

3

1

10

1

1

1

10

1)1(

5

4)1(

5

6

)3()1(5

783

155060305

783

22

1223

23

3

2

234

2


)3()1(

)1()1)(3()1)(3()3(

31)1()1()3()1(

7533

32

233

2

++

+++++++++=

++

++

++

+≡

++

−+

xx

xDxxCxxBxA

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Como los denominadores son idénticos, los numeradores también. (Dos polinomios son idénticos cuando su valor numérico, para cualquier valor de x, es el mismo). Como hay cuatro incógnitas, A, B, C y D, le damos a x cuatro valores cualesquiera. Los mejores son los valores de x que son raíces del denominador; en este ejercicio x=-1 y x=-3 y otros dos cualquiera.

6;1221783)1()3()1()1)(3()3( 232−=−=→−=⇒−+≡+++++++++⇒ AAxxxxDxxCxxBxA

2

1;4

321

7220;

2

1;483

−==⇒

=+→=

=+→=−=−=−→−= CB

CBx

CBxDDx (resuelve el sistema)

Sustituyendo en la integral, llegamos a integrales de los casos 1º y 5º. (También pueden salir de los casos 3º y 4. En este curso no entra).

B) Integrales por partes: Fórmula: ∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu Voy a distribuir las funciones en tres grupos:

Grupo A: exponenciales, seno y coseno. Grupo B: logaritmos, arco tangente y arco cotangente. Grupo C: arco seno y arco coseno.

1) Integral del producto de dos funciones del grupo A: a) Producto de dos funciones y las dos son exponenciales. Llamo I a la integral � Se llama a una u y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos una vez la fórmula; nos aparece nuestra integral

multiplicada por un número (k.I), planteamos una ecuación y calculamos I.

CL

eII

LL

e

Ldxvdv

dxedueudxeI

xxxx

xxx

xx

xx+

−

⋅=⇒+

⋅=

===

−==

=⋅⋅=

−−−−

−

∫∫ 223

2

23

2

23

2

223

12;2

2;2

3232

333

22

32

� Se transforman las dos en exponenciales de base e, se multiplican y tenemos una integral inmediata.

CL

e

L

edxe

e

eaTeoríadxeI

xxxLxL

Lx

mLam

xx+

+−

⋅=

+−==

=

==⋅=

−+−

+−−

∫∫ 232

2

2322

:2

32)232()232(

233

32

b) Producto de dos funciones y las dos no son exponenciales. Llamo I a la integral Se llama a una u y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula dos veces; la segunda vez, llama u

a la función que ha salido al calcular du la primera vez; nos aparece nuestra integral multiplicada por un número (k.I), planteamos una ecuación y calculamos I.

∫∫ =⋅−−=

−==

−==

=⋅=−−

−−− dxxsenexe

evedv

dxxsenduxu

dxxeI xxxx

x )2(3

2)2cos(

3

1

3

1;

)2(2);2cos(

)2cos( 3333

3

[ ][ ]

Cxxsene

IIxsenxeIIxsenexeI

Ixsenexeevdxedv

dxxduxsenu

xxxx

xxxx

+−

=−+−=⇒−⋅+⋅−

=

⇒

+⋅

−−⋅

−=

−==

==

=

−

⋅−−−

−−−−

13

)2cos(3)2(2;4)2(2)2cos(39

9

4)2(

9

2)2cos(

3

1

3

2)2(

3

1

3

2)2cos(

3

1

3

1;

)2cos(2);2(

3333

3333

NOTA: Si tenemos la integral de seno o coseno al cuadrado, se pone como producto, se aplica una vez la

fórmula de integración por partes, se aplica la ecuación fundamental de la trigonometría y nos sale nuestra integral multiplicada por un número (kI), planteamos una ecuación y calculamos I.

∫∫∫ =⋅−−=

−==

==

=⋅⋅=⋅= dxxxxsenxvxsendv

dxxduxsenu

dxxsenxsendxxsenI )7(cos)7cos()7(7

1

)7cos(7

1);7(

)7cos(7);7(

)7()7()7( 22

Cxxx

IxxxI

IxxxIIxxxdxxxx

+−

=⇒−=

−+−=⇒−+−

=⋅−+−= ∫

14

)7cos()7sen(7)7cos()7sen(714

;77)7cos()7sen(7)7cos()7sen(7

1))7(sen1()7cos()7sen(

7

1 2

2) Integral del producto de un polinomio y una función del grupo A

Se llama u al polinomio y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula tantas veces como nos indique el grado del polinomio.


( ) ( ) ( )∫∫ =⋅−++−−=

−==

⋅−=+−=

=⋅⋅+− dxxxxxxxvdxxsendv

dxxduxxudxxsenxx )2cos(23)2cos(743

2

1

)2cos(2

1;)2(

)23(2;743)2(743 2

2

2

( ) =

−⋅−++−−=

==

⋅=−=

= ∫ dxxsenxsenxxxxxsenvdxxdv

dxduxu)2(

2

3)2()23(

2

1)2cos(743

2

1

)2(2

1;)2cos(

3;232

( ) [ ] ( ) Cxsenxxxxxxsenxxxx +⋅+++−−

=+−++−−= )2(232

11186)2cos(

4

1)2cos(

4

3)2()23(

2

1)2cos(743

2

1 22

3) Integral del producto de una función del grupo B y un polinomio o cociente de polinomios. Se llama u a la función del grupo B y al resto dv, se calcula v y du, aplicamos la fórmula una vez y llegamos a

la integral de un cociente de polinomios.

∫∫ +−++−−

+−=⋅

−⋅+++

−

−=

−

−=

−=

⋅+

=+=

=⋅−

+CxLxL

x

xLdx

xxxL

xx

vdxx

dv

dxx

duxLu

dxx

xL2

5

13

5

1

2

3

)2()3(

1)3(

2

1

2

1;

)2(

13

1);3(

)2(

)3(

2

2

−==−−=

===

→≡++−⇒−

++

≡−+

5

1;15;3

5

1;55;2

1)3()2(23)2)(3(

1

AAx

BBx

xBxAx

B

x

A

xx

25

13

5

1

2

1

5

1

3

1

5

1

)2()3(

1−++−=

−+

+−=⋅

−⋅+= ∫∫∫ xLxLdx

xdx

xdx

xxI

NOTA: Si la función del grupo B está elevada a n, aplicamos la fórmula de integración por partes n veces.

∫∫ =⋅⋅−⋅=

⋅==

⋅⋅==

=⋅⋅ dxLxxxLx

dxxvxdxdv

dxLxx

duxLudxxLx 22

2

2

2

2

1

2

1;

1;

=

⋅==

⋅==

dxxvxdxdv

dxx

duLxu

2

2

1;

1;

[ ] CLxxLxxLxxxLxdxxLxxxLx ++−⋅=+−=

⋅−⋅−⋅= ∫ 122

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 222222222

4) Integral del producto de x y la función cosec2(ax) o la función sec2(ax)

Se aplica una vez la F.I.P.P., llamando u=x y dv al resto; nos queda la integral de cotag(ax) o tg(ax), que se resuelve escribiéndolas como cociente y haciendo el cambio de variable t=denominador.

∫∫∫ =+⋅−=

⋅−==

==

==⋅⋅ dxxsen

xxgx

dxxgvdxxecdv

dxduxu

dxxsen

xdxxecx

)3(

)3cos(

3

1)3(cot

3

1

)3(cot3

1;)3(cos

;

)3()3(cos 22

2

)3(3

1

3

11

3

1

)3cos(3

1

3cos(3);3(

)3(

)3cos()3(

9

1)3(cot

3

1xsenLtLdt

tdtx

dt

dxxdtxsent

dxxsen

xCxsenLxgx ===

=

===

=⇒++⋅−= ∫∫

5) Integral del producto de un polinomio y una función del grupo C

a) Integral de una función del grupo C multiplicada por un número (puede ser 1): Se llama u a la función del grupo C y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula una vez, y llegamos a una integral irracional, que se resuelve haciendo el cambio de variable t=radicando.

∫∫ =−

+⋅=

==−

===⋅ dx

x

xxsenarcx

xvdxdv

dxx

duxsenarcudxxsenarc

22

913)3(

;91

3);3(

)3( Cxxsenarcx +−−⋅291

3

1)3(

22

1

2

12

291

3

1

3

1

2

16

1

6

11

6

1

18

1

:18;91

913 xt

tdttdt

tdtx

dx

xdxdtxt

dxx

x−−=−=⋅−=−=−=

−=

−=−=

=−

⇒ ∫∫∫−

b) Integral de una función del grupo C multiplicada por x: hacemos el cambio de variable t= a la función del grupo C, despejamos x y calculamos dx. Obtenemos una integral por partes del caso 2).

=+−=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=

−=−=

⋅−==

==

=⋅⋅ ∫∫∫ )2cos(8

1)2(

16

1)2(

4

1cos

2

1

41cos1

2

1;cos

2

1

:)cos(2);2cos(

)2cos(

222

tttsendttsentdttsentt

xttsen

dtsentdxtx

txxarct

dxxarcx

Cxxxxxxxtsentt

xxxxtsenttsen+⋅+−⋅−=

−=−−=−=

−⋅=⋅−⋅=⋅⋅== )2arccos(

4

141

4

1

18)41(4cos)2cos(

4142412cos2)2( 2

22222

22


c) Integral de una función del grupo C multiplicada por x2: se llama u a la función del grupo C y al resto dv, se calcula v y du y aplicamos la fórmula una vez, y llegamos a una integral irracional, que se resuelve haciendo el cambio de variable t=radicando.

( ) Cxxxarcxdxx

xxarcx

xvdxxdv

dxx

duxarcu

dxxarcx ++⋅−−⋅=−

+⋅=

==

−

−==

=⋅⋅ ∫∫ 219

1)cos(

3

1

13

1)cos(

3

1

3

1;

1

1);cos(

)cos(223

2

33

32

22

=⋅+⋅−=+−=−

−=⋅−=

−=−=

−=−=

=−

⇒ ∫∫∫∫∫−

2

36

1

2

16

1

6

1

6

11

6

11

6

1

2

1;2

;1;1

13

1 2

3

2

1

2

1

2

1322

2

3tt

dttdttdtt

tdt

xt

x

dtx

dxdtxdt

txxt

dxx

x

( )3223 19

11

3

1

9

1

3

1xxtt −+−−=+−= ( ) 222 11

9

11

3

1xxx −−+−−= [ ]22 131

9

1xx +−⋅−−= [ ]21

9

1 22+⋅−−= xx

d) Integral de una función del grupo C multiplicada por un polinomio de hasta grado dos: se descompone

en suma de integrales de los casos anteriores. e) Si es de grado mayor que dos la cosa se complica. (NO ENTRAN ESTE CURSO).

C) INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE: 1) NORMAS GENERALES PARA EL CAMBIO DE VARIABLE

a) Consiste en hacer el cambio de variable x=u(t) o t=g(x); calculamos dx y sustituimos en la integral. Para que el cambio sea “bueno” en la nueva integral no puede aparecer la variable x.

b) Si hay una función compuesta f(u) y u no es un polinomio de grado uno, obligatorio el cambio t= u; se despeja x y se calcula dx, excepto si al calcular x o dx aparecen raíces. Se llega una integral inmediata, a la integral de un cociente de polinomio o una integral por partes.

[ ] CxxeIdttextsent

tdtdxsentxsenxarctdxe senxarctsenxarc

++−⋅==⋅⋅=

−=−=

====⋅ ∫∫

2

221

2

1cos

11cos

cos;;

∫∫ =⋅+=

==

−===⋅= dtsentete

evedv

sentdtdutudxteI ttt

tt

t cos;

;coscos =

==

==ttevedv

tdtdusentu

;

cos;

[ ]⇒⋅⋅−⋅+= ∫ dttesentete tttt coscos [ ]sentteIIsenteteI tttt+=⇒−⋅+= cos

2

1cos [ ] Cxxe senxarc

++−⋅=21

2

1

c) Si aparece una potencia, un, intentamos el cambio t=u (sólo la base). d) Si hay un cociente, intentamos el cambio t= denominador. Si hay una potencia en el denominador, hacemos lo

indicado en c). (Las raíces son potencias de exponente fraccionario). Si hay un producto en el denominador llamamos t sólo a una de ellas.

e) Si hay un producto de dos funciones llamamos t sólo a una de ellas. f) Una vez acabada la integral hay que deshacer el cambio. Sólo tiene que quedar la variable x.

NOTA: en los casos que siguen no se puede aplicar el caso b)

2) FUNCIONES EXPONENCIALES. a) Si todas las exponenciales tienen la misma base y el mismo exponente, hacemos el cambio t= exponencial b) Si todas las exponenciales tienen la misma base, a, y no tienen el mismo exponente, hacemos el cambio de

variable t=au siendo u = m.c.d. de los exponentes.

1.- ∫ ∫∫ =+

+=⋅

+

+

=

===

====

+

+−−

−

dttt

t

t

t

t

dt

t

tt

te

te

t

dtdx

tedxedtetdx

e

eetx

xxx

x

xx

)1(

1

2

1

2

1

2

11

;1

;2

;2;

2 2

32

22

2422

2

42

CeLxeetLtLt

ttt

tdt xxx

++−−−=+−−−=+

+−+=

−

∫ ∫ 28

7

4

1

4

1

2

12

8

7

8

1

4

1

2

1

)2(

12

2

1

2

1 222

2

2

;2

1;12012)2()2(

2)2(

12 22

22

2

==→=⇒+−≡++++⇒+

++≡+

+−AAttCttBttA

t

C

t

B

t

A

tt

t

4

7;1

4

7

2

3;1331;

4

7;742 =−=+−−=++→=

−=−=→−= CCCBAtCCt

NOTA: Cuando las exponenciales sólo se diferencian en el sigo del exponente, es mejor llamar t a la del numerador. (Compara 2.- y 3.- que son el mismo ejercicio.)


2.- ∫ ∫∫ =−

+=⋅

−

+

=

==

===

−

+−

−

dttt

t

t

dt

t

t

te

t

dtdx

dxedtetdx

e

ex

xx

x

x

)1(

12

2

1

1

21

2

11

;2

2;

1

222

22

2

2

CeLxetLtLtdtt

dtt

dttxx

+−+−=−+−=−

+−−=−−−

∫∫∫ 12

33

2

11

2

3

2

3

2

1

1

1

2

31

2

3

2

1 2212

−=→−=

=→=

−=→=

→+≡+−+−⇒−

++≡−

+

31

31

10

12)1()1(1)1(

12 2

22

Bt

Ct

At

tCttBttAt

C

t

B

t

A

tt

t

3.- ∫ ∫∫ =−

+=⋅

−

+=

===

===

−

+−

−−−

dtt

t

t

dt

t

t

te

te

t

dtdx

dxedtetdx

e

exx

xx

x

x

1

2

2

1

11

2

2

11

;1

;2

2;

1

222

22

2

2

CeLetLtxx

+−−=−−=−−

12

3

2

11

2

3

2

1 22 ¿Cuál es más fácil?

c) Si todas las exponenciales no tienen la misma base, las convertimos todas en base e. (am = emLa) (No se las preguntaré este curso) 3) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A) SIN COCIENTES: a) Producto de dos funciones seno o de dos funciones coseno con distinto argumento. b) Producto de una función seno y una función coseno con distinto argumento.

⋅+⋅=−

⋅−⋅=+

βαβαβα

βαβαβα

sensencoscos)cos(

sensencoscos)cos(

)aCaso

;

⋅−⋅=−

⋅+⋅=+

βαβαβα

βαβαβα

sencoscossen)sen(

sencoscossen)sen(

)bCaso

(También se pueden hacer por partes). Se transforma en suma de integrales con la fórmula

NOTA: las razones trigonométricas tienen el mismo ángulo o argumento en todos los casos que siguen c) Potencia de exponente natural impar de una función seno

nnn tuu

uu

uu

dtdxdxDuudt

utcambio

elhaceSe

)1()cos1(sen

cos1sen

)sen(';)sen(

)cos( 222

22

−=−=

−=⇒

⋅

−=⋅⋅−=⇒

=

d) Potencia de exponente natural impar de una función coseno

nnn tuu

uu

uu

dtdxdxDuudt

utcambio

elhaceSe

)1()sen1(cos

sen1cos

)cos(';cos

sen 222

22

−=−=

−=⇒

⋅=⋅⋅=⇒

=

e) Producto de potencias de exponente natural impar de funciones seno y coseno, con el mismo ángulo Se hace el cambio t= a la que tenga mayor exponente. Se sigue como en c) o d)

f) Producto de una potencia de exponente natural impar y otra de exponente natural par, con el mismo ángulo. Se hace el cambio t= a la que tenga exponente par. Se sigue como en c) o d)

g) Potencia de exponente par del seno, del coseno o del producto de una potencia del seno y otra del coseno, con el mismo ángulo

� Aplicamos las fórmulas del ángulo mitad: 2

)2cos(1)(cos;

2

)2cos(1)( 22 α

αα

α+

=−

=sen

� Sustituimos en la integral, quitamos paréntesis, realizamos todas las operaciones y descomponemos la integral en suma de integrales inmediatas o de los casos c), d), e), f), g).

h) Potencia de la función tangente: tgn(ax+b) Se hace el cambio de variable t= tg(ax+b), se despeja x y se calcula dx:

∫ ∫+

=+⇒+

⋅=+−

==+⇒ dtt

t

adxbaxdt

tadx

a

tbxtbax

nn

22 1

1)(tg

1

11;

)arctg();arctg(

Llegamos a la integral de un cociente de polinomios, se resuelve y se deshace el cambio de variable. i) Potencia de la función cotangente: cotgn(ax+b)

Se hace el cambio de variable t= cotg(ax+b), se despeja x y se calcula dx:

∫ ∫+

=+⇒+

⋅−

=+−

==+⇒ dtt

t

adxbaxgdt

tadx

a

tgarcbxtgarcbax

nn

22 1

1)(cot

1

11;

)(cot);(cot

Llegamos a la integral de un cociente de polinomios, se resuelve y se deshace el cambio de variable.


B) CON COCIENTES: todas las razones trigonométricas tienen el mismo ángulo. j) El denominador es la función de seno o la función coseno al cuadrado. Descomponemos la integral en suma de integrales inmediatas o de los casos siguientes k) o l).

k) Cambio t=cos(ax+b) ⇒2

22

1

)(cos1)(sen;

)sen(;)sen(

t

baxbax

baxa

dtdxdtbaxadt

−=

=+−==+

+⋅

−=⋅+⋅=

Se sustituye, se realizan todas las operaciones posibles (las potencias de seno que queden tienen que ser pares) y si desaparece la variable x el cambio es válido; en caso contrario probamos otro cambio.

l) Cambio t=sen(ax+b) ⇒2

22

1

)(sen1)(cos

)cos(;)cos(

t

baxbax

baxa

dtdxdxbaxadt

−=

=+−=+⇒

+⋅=⋅+⋅=

Se sustituye, se realizan todas las operaciones posibles (las potencias de coseno que queden tienen que ser pares) y si desaparece la variable x el cambio es válido; en caso contrario probamos otro cambio.

m) Sólo hay potencias de exponente natural par de seno, de coseno o de ambas. Se hace el cambio:

t=tg(ax+b) ⇒2

22

2

2

2 1)(sen;

1

1)(cos

1

11;

arctg

t

tbax

tbaxdt

tadx

a

tbx

+=+

+=+⇒

+⋅=

+−=

n) Si no vale ninguno de los anteriores hacemos el cambio de la tangente del ángulo mitad.

22

2

2 1

2)sen(;

1

1)cos(

1

12;

arctg2;

2tg

t

tbax

t

tbaxdt

tadx

a

tbx

baxt

+=+

+

−=+⇒

+⋅=

+−=

+=

Ejercicios resueltos:

1.- ==⋅=

=−=

==

= ∫∫ ∫ dtxx

dtx

dtx

dxtx

dxxdtxtdCaso

dxx )2(cos2

1

)2cos(2)2(cos

)2cos(2

1;1)2(cos

)2cos(2);2sen(:)

)2(cos 4522

5

Cxxxttt

dtttdtdtdtt ++−=+−=+−=−= ∫∫∫∫ )2(sen6

1)2(sen

2

1)2sen(

2

1

6222

1

2

1)1(

2

1 3232

222

2.- =+

=

+=

+−=

+=+=

=+∫ ∫ dtt

t

dtt

dxt

x

xtxthCaso

dxx2

3

2

3

12

1

1

1

2

1;

2

arctg1

12arctg);12tg(:)

)12(tg

CxLx

tLtdtt

ttdt +

++++=+−=

+

−+= ∫∫ 4

)12(tg1)12(tg1

4

1

4

1

12

1

2

122

22

2

3.- =++=

+

== ∫∫ ∫∫ dxxdxxdxx

xgcasodxx )4(cos4

1)4cos(

2

1

4

1

2

)4cos(1)2(cos:))2(cos

224

CxxxxxxxIxx +++=+++=++= )8sen(64

1)4sen(

8

1

8

3)8sen(

64

1

8

1)4sen(

8

1

4

1

4

1)4sen(

8

1

4

11

)8sen(64

1

8

1)8cos(

8

1

8

1

2

)8cos(1)4(cos:))4(cos

4

1 22

1 xxdxxdxx

xgcasodxxI +=+=

+

=== ∫ ∫∫

4.- ==⋅=

=−=

==

== ∫∫ ∫∫ dtxx

dt

xdtx

dxtx

dxxdtxtcCaso

dxx

dxx)3(cos

1

3

1

)3cos(3)3cos(

1

)3cos(3

1;1)3(cos

)3cos(3);3sen(:)

)3cos(

1)3sec(

222

CxLxLdtt

dtt

dttt

dtt

+−−+=−

−+

=+⋅−

−=

−= ∫∫∫∫ 1)3sen(

6

11)3sen(

6

1

1

1

6

1

1

1

6

1

)1()1(

1

3

1

1

1

3

12

5.- { } Cx

xgIIdxx

xdx

xjcasodx

x

x+−

−=+=+==

+∫∫∫ )2sen(2

1)2(cot

2

1

)2(sen

)2cos(

)2(sen

1)

)2(sen

)2cos(121222

)2(2

11

2

1

12

1

2

1

)2cos(2

)2cos(

)2cos(2;)2cos(2

)2(:)

;)2(cot2

1)2(cos

12

2

2

2

1

xsent

tdtt

x

dt

t

x

x

dtdxdxxdt

xsentdCaso

IxagdxxecI

−=

−⋅=

−⋅==⋅=

=

==

=

=−

==

∫∫

∫

−

−


4) FUNCIONES IRRACIONALES a) Una raíz o varias con los índices iguales y los radicandos, que son polinomios de grado uno, iguales. Se hace

el cambio de variable t= a la raíz, se despeja x y se calcula dx. b) Todos los índices iguales y los radicandos son polinomios de grado uno o potencias de ese polinomio de

grado uno. Se hace el cambio de variable t= a la raíz del polinomio de grado uno, se despeja x y se calcula dx. c) Los índices no son iguales y los radicandos son polinomios de grado uno o potencias de ese polinomio de

grado uno. Llamo n= al m.c.m. de los índices. Se hace el cambio de variable t= a la raíz de índice n del polinomio de grado uno, se despeja x y se calcula dx.

d) Hay una sola raíz cuadrada, multiplicando o dividiendo a dx, y el radicando es un binomio de la forma

( ) tataxbadtt

b

adxt

b

ax

tabxCambio

xba cossen1cos;sen

sen22222222

⋅=−=−⇒

⋅==

=

⇒−

1.- =⋅=⋅⋅−=

⋅==

=

=⋅− ∫∫∫ dttdtttdttdxtx

txCambio

dxx 222 cos2

9cos

2

3sen99

cos2

3;sen

2

3

sen32

49

[ ] Cxxx

tttttdtt

+

−⋅+

=⋅+=+=

+= ∫ 9

41

3

2

3

2arcsen

4

9cossen

4

9)2sen(

8

9

4

9

2

)2cos(1

2

9 2

e) Si el radicando no es un polinomio de grado uno o una potencia de un polinomio de grado uno, hago el cambio t= radicando, se calcula dt, se despeja dx y se sustituye. (Si se simplifican todas las x el cambio es bueno).

2.- =⋅

=

=⋅=

=

=⋅⋅

∫∫ dtxtxdtxdxxdt

xtCambio

dxxx

)3(cos)3(cos

1

3

1

)3(cos3

1)3(sec3

)3tg(

)3tg()3(cos

1 2

222

2

Cxtt

dtt +=⋅⋅=⋅== ∫−

)3tg(3

22

3

1

2

13

1

3

1 2

1

2

1

3.- Resuelve la integral ∫ ⋅+

dxx

x

2

3

1

haciendo el cambio de variable t=1+x2

=−

==⋅=

−===

−=+=

=⋅+

∫∫∫∫ dtt

tdt

t

xdt

xt

x

txdtx

dxdtxdx

txxtCambiodx

x

x 1

2

1

2

11

2

1

1;2

1;2

;1;1

1

2322

2

3

( ) ( ) Cxxttttttt

dttdtt +−⋅+=−⋅=−⋅=⋅−⋅=−= ∫∫−

213

13

3

1

3

1

2

12

1

2

32

1

2

1

2

1 222

1

2

3

2

1

2

1

5) FUNCIONES LOGARÍTMICAS a) Hay un logaritmo de un polinomio de grado uno: L(ax+b): hago el cambio t= L(ax+b), despejamos x y

calculamos dx.

4.- ∫∫∫ +−−

=−−

=

=⋅⋅+=+

=

==

===⋅

+ − Cx

Lx

e

t

caso

partesPordtetdte

e

t

dtedxex

exLxtCambiodx

x

Lxt

tt

ttt

t22

º2)1(

1

;

;12222

b) Hay un logaritmo y el argumento no es un polinomio de grado uno. (Sería un caso de 1) b)).

[ ] ( ) ( )[ ] CxLxLxtteIdtetdtedxex

xLtCambio

dxxL tttt +−⋅⋅=−⋅==⋅=

==

=

=⋅ ∫∫ )3(cos)3(sen2

1cossen

6

1

3

1sen

3

1

3

1;

3

1

);3(

))3(sen(

[ ] [ ] [ ]tteIItteIdtetetet

evdtedv

dttdutudtetet

evdtedv

dttdutudtetI

ttttt

tt

tt

tt

t

cossen2

1cossensencossen

;

sen;coscossen

;

cos:sensen

−⋅=⇒−−⋅=⇒⋅+⋅−⋅=

=

==

⋅−===⋅−⋅=

==

⋅===⋅⋅=

∫

∫∫

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº30 I) INTEGRAL DEFINIDA. (Página 381 del libro)

La integral definida de la función f(x), continua en el intervalo [a, b], es un número real que coincide con el “área” del recinto plano limitado por la función y el eje de abscisas en el intervalo [a,b], con la siguiente peculiaridad: si f(x)>0, el área se considera positiva y si f(x)<0, el área se considera negativa. La integral definida es la

suma de todas ellas, y se representa por ∫ ⋅b

adxxf )(

Ejemplo: Calcula la integral definida de la función f(x)= 3 + 2x - x2 en el intervalo [-2,2] Aplico la fórmula la fórmula de la página 381, partiendo el intervalo en ocho partes iguales;

∑∫=

−−

⋅−=⋅8

1

1

3

2)()()(

iiii cfxxdxxf ; la longitud de todos los intervalos es la misma y vale

5,08

)2(21 =

−−=−=

−iii xxb y es la base de los “rectángulos”; ci es el punto medio de cada

intervalo y f(ci) es la altura de cada rectángulo y la llamaremos hi

intervalo base P.M. altura Área

xi-1 xi bi ci hi bi.hi

-2 -2 0,5 -1,75 -3,56 -1,78

-1,5 -1 0,5 -1,25 -1,06 -0,53

-1 -1 0,5 -0,75 0,94 0,47

-0,5 0 0,5 -0,25 2,44 1,22

0 0,5 0,5 0,25 3,44 1,72

0,5 1 0,5 0,75 3,94 1,97

1 1,5 0,5 1,25 3,94 1,97

1,5 2 0,5 1,75 3,44 1,72

Integral definida = 6,75

75,6)()()(8

1

1

3

2=⋅−=⋅ ∑∫

=

−−

iiii cfxxdxxf

Este método y otros que hay en el libro se estudian en Cálculo Numérico, pero para nosotros es muy complicado y al tomar pocos intervalos la aproximación no es buena. (Si dividimos el intervalo en 40 partes el resultado es 6,67) Nosotros calcularemos las integrales definidas aplicando la regla de Barrow, que dice: “Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y F(x) es una primitiva de f(x), se verifica

que )()()( aFbFdxxfb

a−=⋅∫ ”

En nuestro ejemplo f(x)= 3 + 2x - x2

F(x) es una primitiva de f(x) Cxxxdxxxdxdxdxxf +−+=−+=⇒ ∫∫∫∫322

3

1323)(

Como necesito una, le doy a C el valor que quiera: ⇒++−

=⇒=3

93)(0

23 xxxxFCSi

....6666,63

20

3

2

3

22)2()2()(

3

22)2(;

3

2)2(

2

2≈=−=−−=⋅⇒==− ∫−

FFdxxfFF

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº31 II) FUNCIÓN INTEGRAL. (Página 385 del libro)

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b], la función ∫ ⋅=x

adttfxF )()( se llama función

integral, siendo a un número fijo y x∈[a,b]. Hay dos tipos de ejercicios:

1.- Dibuja la función integral ∫−⋅=

xdttfxF

4)()( , sabiendo que f:[-4,4] →→→→ R y su

gráfica es NOTA: lo primero es poner, en el gráfico, lo que vale el área de cada trozo. Para ello lo descompongo en rectángulo, cuadrados o triángulos rectángulos. (HAZLO) a) Hago una tabla de valores y en la columna x pongo los extremos del intervalo, los puntos de

cambio y los puntos de corte con el eje OX, en orden creciente.

x F(x)

-4 0

-2 4

-1 4+1=5

0 5 - 1=4

0,5 4 - 0,5=3,5

2 3,5+4,5 = 8

4 8+8+2=18 b) Estudio que tipo de función hay en cada intervalo, sabiendo: � Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento horizontal que está sobre el eje de

abscisa (eje x) ⇒ la gráfica de F(x) será un segmento horizontal � Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento horizontal que no está sobre el eje x ⇒ la

gráfica de F(x) será un segmento oblicuo � Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento oblicuo creciente ⇒ la gráfica de F(x)

será una parábola con ramas ascendentes y el vértice de la parábola estará en el punto de corte de corte de f(x) y el eje x

� Si en el intervalo [a,b] la gráfica de f(x) es un segmento oblicuo decreciente ⇒ la gráfica de F(x)

será una parábola con ramas descendentes y el vértice de la parábola estará en el punto de corte de corte de f(x) y el eje x

En nuestro ejemplo:

♦ En [-4,-2] F(x) será un segmento oblicuo creciente. ♦ En [-2,0] F(x) será una trozo de parábola con ramas descendentes, y el vértice en x=-1;

será el punto P=(-1,5)

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº32 ♦ En [0,2] F(x) será un trozo de parábola con ramas ascendentes, y el vértice para x=0,5;

estará en el punto Q=(0’5,3’5) ♦ En [2,4] F(x) será un trozo de parábola con ramas descendentes, y el vértice fuera del

intervalo y a su derecha. (f(x) cortará al eje x a su derecha)

2.- Dada la función ∫+

⋅=24

)3()(

x

xL

t dtexf , sin resolver la integral, calcula Df(x),

simplificando al máximo el resultado. a) En la función del integrando cambio t por x, ex

b) Se aplica la regla de Barrow y se deriva, teniendo en cuenta (*):

{ } ))3(()24()(24

)3(xLGxGBarrowderegladtexf

xx

xL

t−+==⋅= ∫

+

c) G(x) es una primitiva de ex ⇒⇒⇒⇒D(G(x))= ex⇒⇒⇒⇒ D(G(w))= ew.Dw, siendo w una función cuya variable es x.

324

2

3

9

24

2

3

33

242

4

))3(()24())3(()24()(

242424

)3(24

−+

⋅=−

+

⋅=⋅−

+⋅=

=⋅−+⋅=−+=

++

+

+

x

e

x

x

x

e

xx

xe

xLDexDexLDGxDGxDfxx

x

xLx

Ejercicios propuestos:

1. Dibuja la función integral ∫− ⋅=x

dttfxF2

)()( , sabiendo que f: [-2,5] → R y la gráfica

de f(x) es:

2. Dada la función ∫ ⋅−=)3cos(

2

21)(x

xdttxf , sin resolver la integral, calcula Df(x),

simplificando al máximo el resultado.

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº33 III) ÁREAS DE RECINTOS PLANOS.

Por los extremos del intervalo y por los puntos de corte de las funciones que delimitan el recinto, trazamos rectas verticales que nos dan los trozos en que se descompone el recinto, calculamos el área de cada uno y las sumamos

NOTA: en el dibujo del recinto, hay que dibujar líneas verticales por cada punto de corte y por cada extremo del intervalo 1.- Área del recinto plano limitado por una función, f(x) y el eje de abscisas

(OX) en el intervalo [a,b]. Ejemplo-1: Área del recinto plano limitado por la función y=3 - 2x - x2 y el eje de abscisas, en el intervalo [-2,2].

La función f(x) tiene que ser continua en el intervalo [a,b]. Hay que realizar los siguientes pasos:

a) Calculamos los puntos de corte de la función y el eje de abscisas, que pertenecen al intervalo [a,b]. Las ordenamos de menor a mayor, incluyendo a y b.

[ ] [ ]

212:

2,23;2,21;032;023

0

23 21

222

<<−

−∉−=−∈==−+=−−

=

−−=

ordenanSe

xxxxxx

y

xxy

b) Calculamos el área: =−+−−=+= ∫∫ −)1()2()2()1()()(

2

1

1

2GGGGdxxfdxxfÁrea

2

3

34

3

7

3

27

3

7

3

27

3

5

3

2

3

22

3

5unidades=+=

−+=−

−+

−−= (**)

G(x) es una primitiva de f(x) Cxxxdxxxdxdxdxxf +−−=−−=⇒ ∫∫∫∫322

3

1323)(

3

2)2(;

3

5)1(;

3

22)2(

3

93)(0

23−

==−

=−⇒+−−

=⇒= GGGxxx

xGCSi

c) Si nos lo piden, dibujamos el recinto plano del que nos piden el área.

En la tabla de valores tienen que estar, obligatoriamente, los extremos del intervalo y los puntos de corte de f(x) y el eje de abscisas que pertenecen al intervalo [-2,2].

(**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale positivo, porque el recinto está encima del eje OX y en el segundo sale negativo porque está debajo del eje OX. 2.- Área del recinto plano limitado por una función, f(x) y el eje de abscisas.

Como no nos dan el intervalo, lo tenemos que calcular con los puntos de corte de f(x) y el eje de abscisas OX.

Ejemplo-2: Área del recinto plano limitado por la función y=x3-4x2-x+4 y el eje de abscisas.

La función f(x) tiene que ser continua. Hay que realizar los siguientes pasos:

a) Calculamos los puntos de corte de la función y el eje de abscisas. Las ordenamos de menor a mayor, y de ahí obtenemos los extremos del intervalo: la menor y la mayor solución.

Obligatorios otros x -2 1 2 -1 0

f(x) 3 0 -5 4 3

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº34

[ ]4,1:411:

4;1;1:;044

0

44 321

2323

−⇒<<−

==−==+−−

=

+−−=

IntervaloordenanSe

xxxSolucionesxxx

y

xxxy

b) Calculamos el área: =−+−−=+= ∫∫ −)1()4()1()1()()(

4

1

1

1GGGGdxxfdxxfÁrea

208,2112

253

12

189

12

64

12

189

12

64

12

29

12

160

12

35

12

29unidades≈=+=

−+=−

−+

−−= (**)

G(x) es una primitiva de f(x) =+−−=⇒ ∫ ∫∫∫∫ dxxdxdxxdxxdxxf 44)( 23

12

486163)(04

2

1

3

4

4

1 234234 xxxx

xGCSiCxxxx+−−

=⇒=⇒++−−=

12

160)4(;

12

29)1(;

12

35)1( ==

−=−⇒ GGG

c) Si nos lo piden, dibujamos el recinto plano del que nos piden el área.

Obligatorios otros x -1 1 4 2 0

f(x) 0 0 0 -6 4 En la tabla de valores tienen que estar, obligatoriamente, los puntos de corte de la función con el eje de abscisas. (**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale positivo, porque el recinto está encima del eje OX y en el segundo sale negativo porque está debajo del eje OX.

3.- Área del recinto plano limitado por dos funciones f(x) y g(x) Como no nos dan el intervalo, lo tenemos que calcular con los puntos de corte de las funciones f(x) y g(x).

Ejemplo-3: Área del recinto plano limitado por las funciones y=-3x + 4 e y= -x3 + x + 4.

Las funciones f(x) y g(x) tienen que ser continuas. Hay que realizar los siguientes pasos:

a) Calculamos los puntos de corte de las funciones. Las ordenamos de menor a mayor, y de ahí obtenemos los extremos del intervalo: la menor y la mayor solución.

[ ]2,2:202:

2;0;2:;04;434

43

4 321

333

−⇒<<−

==−==−+−=++−

+−=

++−=

IntervaloordenanSe

xxxSolucionesxxxxx

xy

xxy

d) Calculamos el área:

[ ] [ ] =−+−−=−+−= ∫∫ −)0()2()2()0()()()()(

2

0

0

2HHHHdxxgxfdxxgxfÁrea

2844440440 unidades=+=+−=−+−= (**)

H(x) es una primitiva de f(x) - g(x) = -x3 + x+4 – (-3x +4)= - x3 + 4x.

[ ]4

8)(02

4

14)()(

24243 xx

xHCSiCxxxdxdxxdxxgxf+−

=⇒=⇒++−=+−=−⇒ ∫∫∫( )

4)2(;0)0(;4)2(4

822

−===−⇒−⋅−

= HHHxx

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº35 b) Si nos lo piden, dibujamos el recinto plano del que nos piden el área.

En la tabla de valores tienen que aparecer, obligatoriamente, los puntos de corte de las dos funciones.

(**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale negativo, porque ahí f(x) < g(x) y la función f(x) – g(x) es negativa; dentro del segundo valor absoluto sale positivo, porque ahí f(x) > g(x) y la función f(x) – g(x) es positiva. 4.- Área del recinto plano limitado por dos funciones, f(x) y g(x) en el intervalo

[a,b]. Ejemplo-4: Área del recinto plano limitado por las funciones y= x2 – 5 e y= 1-x, en el intervalo [-2,3]. Las funciones f(x) y g(x) tienen que ser continuas en el intervalo [-2,3]. Hay que realizar los siguientes pasos:

a) Calculamos los puntos de corte de las funciones f(x) y g(x), que pertenecen al intervalo [a,b]. Las ordenamos de menor a mayor, incluyendo a y b.

[ ] [ ]

322:

3,22;3,23:;06;15

1

5 21

222

<<−

−∈=−∉−==−++−=−

+−=

−=

ordenanSe

xxSolucionesxxxx

xy

xy

b) Calculamos el área:

[ ] [ ] =−+−−=−+−= ∫∫ −)2()3()2()2()()()()(

3

2

2

2HHHHdxxgxfdxxgxfÁrea

25,212

43

6

129

6

17

6

112

6

17

6

112

6

44

6

27

6

68

6

44unidades===+=+

−=

−−

−+−

−= (**)

H(x) es una primitiva de f(x)-g(x) = x2 - 5 – (-x +1)= x2 + x - 6.

[ ] ⇒=⇒+−+=−+=−⇒ ∫ ∫∫∫ 062

1

3

16)()(

232 CSiCxxxdxxdxdxxdxxgxf

( )6

27)3(;

6

44)2(;

6

68)2(

6

3632

6

3632)(

223−

=−

==−⇒−+⋅

=−+

= HHHxxxxxx

xH

c) Si nos lo piden, dibujamos el recinto

plano del que nos piden el área.

En la tabla de valores tienen que aparecer, obligatoriamente, los puntos de corte de las dos funciones. (**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale negativo, porque ahí f(x) < g(x) y la función f(x) – g(x) es negativa; dentro del segundo valor absoluto sale positivo, porque ahí f(x) > g(x) y la función f(x) – g(x) es positiva.

función obligatorios otros x -2 0 2 1 -1

f(x) 10 4 -2 4 4 recta obligatorios

x -2 0 2 y 10 4 -2

parábola obligatorios otros x -2 2 3 0 -3

f(x) -1 -1 4 -5 4 recta obligatorios

x -2 2 4 y 3 -1 3

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº36 5.- Área del recinto plano limitado por más de dos funciones.

Calculamos los puntos de corte de las funciones, dos a dos; las dibujamos y por cada punto de corte trazamos una vertical y calculamos el área de cada una de las regiones que quedan entre dos verticales. (Cada trozo será alguno de los casos anteriores). Si además nos dan un intervalo, trazamos por sus extremos dos verticales, que junto con las trazadas por los puntos de corte, que pertenezcan al intervalo, nos dan las regiones de las que hay que calcular el área. Ejemplo-5: Dibuja el recinto plano limitado por la función f(x)=3x-x2, la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=2 y la recta y=-4. Calcula su área. a) Calculamos donde se cortan dos a dos:

=−=+−⇒

=−==−−−=+−⇒

==+−+−=+−⇒

−==

+−==

+−==

8;44)()(

4;1;043;43)()(

2;044;43)()(

4)(

4)(

3)(

21

22

222

xxxhxg

xxxxxxxhxf

doblexxxxxxxgxf

yxh

xyxg

xxyxf

I

I

I

b) Hacemos las tablas de valores y dibujamos el recinto plano. En este caso, el dibujo es imprescindible.

En la tabla de valores tienen que aparecer, obligatoriamente, los puntos de corte de las funciones. (**) Observa que dentro del primer valor absoluto sale negativo, porque ahí f(x) < g(x) y la función f(x) – g(x) es negativa; dentro del segundo valor absoluto sale positivo, porque ahí g(x) > h(x) y la función g(x) – h(x) es positiva. Este trozo se puede hacer sin integrales: área de un triángulo rectángulo. c) Calculamos el área:

[ ] [ ] =−+−=−+−= ∫∫ )4()8()2()4()()()()(8

4

4

2HHGGdxxhxgdxxgxfÁrea

267,103

32

3

24

3

88

3

82432

3

8

3

16unidades≈=+=+

−=−+

−−

−= (**)

G(x) es una primitiva de f(x)-g(x) = - x2 + 3x – (-x +4)= - x2 + 4x - 4.

[ ]3

126)(042

3

1)()(

2323 xxx

xGCSiCxxxdxxgxf−+−

=⇒=⇒+−+−=−⇒ ∫

( )3

16)4(;

3

8)2(

3

1262−

=−

=⇒+−⋅−

= GGxxx

H(x) es una primitiva de g(x)-h(x) = - x + 4 – (-4)= - x + 8.

[ ]

=

=⇒

⋅+−=⇒=⇒++−=−⇒ ∫ 32)8(

24)4(

2

)16()(08

2

1)()( 2

H

HxxxHCSiCxxdxxhxg

6.- Áreas con un parámetro en alguna función o en el intervalo

Ejemplo-6: Determina b, sabiendo que b>0 y que el área limitada por la curva y= x2 y la recta y=-bx es igual a 9/2. a) Calculamos donde se cortan, llamando f(x) a la 1ª y g(x) a la segunda

f(x) obligatorios otros x 2 -1 4 0 -2 y 2 -4 -4 0 -10

g(x) obligatorios h(x) obligatorios x 2 8 x -1 4 8 y 2 -4 y -4 -4 -4

José Guzmán Integral Definida Áreas de recintos planos Pag. nº37

[ ]0,int00

;00)(0 21

222

begracióndeIntervalobbComo

bxxbxxbxxbxx

bxy

xy

−⇒<−⇒>

−==⇒=+⇒=+⇒−=

−=

=

b) Calculamos el área

[ ] ⇒=−−=−= ∫− 2

9)()0()()(

0

bFFdxxgxfÁreab

3272

9

6

1

6

1 333=⇒=⇒== bbbb

NOTA: como b es positivo b3 es positivo, y el valor absoluto vale el misno

F(x) es una primitiva de h(x)= f(x)-g(x)= x2+bx →→→→3

3323

6

1

6

32)(;0)0(

6

32)( b

bbbFF

bxxxF =

+−=−=⇒

+= SOLUCIÓN: b=3

Ejemplo-7: En la figura adjunta pedes ver representada en el intervalo [0,2 la gráfica

de la parábola de ecuación 4

2xy = . Halla el valor de m para que las áreas

de las superficies sombreadas sean iguales.

333

0

2

112

1)(;0)0(

12

1)(

12

1)0()(

4

1mmFFxxFmFmFdxxÁrea

m==⇒=⇒=−== ∫

3332

2

212

1)(;

3

4)2(

12

1)(

12

1

3

4)()2(

4

11 mmmGGxxxGmmmGGdxxÁrea

m−==⇒−=⇒+−=−=

−= ∫

3

4

12

1

3

4

12

1 33

21 =⇒+−=== mmmmÁreaÁrea SOLUCIÓN: 3

4=m

NOTA: ¿Por qué no he puesto valor absoluto en el área?. ¿Sabrías hacerlo poniendo valor absoluto?.

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 38 Rango de una matriz por el método de Gauss.

El rango o característica de una matriz Amxn es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si Amxn =Omxn, rango(A)=0; en caso contrario, se verifica que 1 ≤ rango(A) ≤ menor (m,n).

Se verifica que rango(A)= rango(At); si m>n, es mejor calcular el rango de At Método de Gauss: 1.- Si se suprimen las filas o columnas nulas, el rango de la matriz no varía. 2.- Si hay r filas o columnas iguales o proporcionales y se suprimen r-1, el rango de la matriz no

varía. 3.- Si permutamos dos filas el rango de la matriz no varía. 4.- Si permutamos dos columnas el rango de la matriz no varía. 5.- Si una fila se multiplica por un número distinto de cero, el rango de la matriz no varía. 6.- Si una columna se multiplica por un número distinto de cero, el rango de la matriz no varía. 7.- Si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un número distinto de cero, el rango de la

matriz no varía. 8.- Si a una columna se le suma otra columna multiplicada por un número distinto de cero, el rango

de la matriz no varía. 9.- Para comenzar a aplicar el método de Gauss a11≠ 0, y con la propiedad nº7 hacemos cero los

que están debajo de el, a21, a31, ............. 10.- Si a22≠ 0, con la propiedad nº7 hacemos cero los que están debajo de él, a32, a42, ............., y

así sucesivamente hasta que esté triangularizada inferiormente. NOTA: cuando se pueda o se necesite, se aplican las propiedades 1 a la 6.

11.- Si la matriz está triangularizada inferiormente y en la diagonal principal no hay ceros, el rango coincide con el número de filas que ha quedado.

Rango de una matriz por determinantes

El rango o característica de una matriz Amxn coincide con la dimensión de la mayor submatriz cuadrada con determinante distinto de cero.

Método de Gauss para discutir y resolver sistemas. (Tema 3, pag54) Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se escribe el sistema en forma matricial y se triangulariza la matriz ampliada con las siguientes reglas: 1.- Si se suprimen las filas nulas, el sistema obtenido es equivalente al dado. 2.- Si hay r filas iguales o proporcionales y se suprimen r-1, el sistema obtenido es equivalente

al dado. 3.- Si permutamos dos filas el sistema obtenido es equivalente al dado. 4.- Si permutamos dos columnas el sistema obtenido es equivalente al dado., pero hay que

anotar el nuevo orden de las incógnitas. La columna de los términos independientes no se puede permutar.

5.- Si una fila se multiplica por un número distinto de cero, el sistema obtenido es equivalente al dado.

6.- Si a una fila se le suma otra fila multiplicada por un número distinto de cero, el sistema obtenido es equivalente al dado.

7.- Para comenzar a aplicar el método de Gauss a11≠≠≠≠ 0, y con la propiedad nº7 hacemos cero los que están debajo de él, a21, a31, .............

8.- Ahora a22≠≠≠≠ 0, y con la propiedad nº7 hacemos cero los que están debajo de él, a32, a42, ............., y así sucesivamente hasta que esté triangularizada inferiormente. NOTA: cuando se pueda o se necesite, se aplican las propiedades 1 a la 5.

Cuando la matriz está triangularizada, se calcula el rango de la matriz de los coeficiente y el rango de la matriz ampliada, y se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius (página 58) para discutirlo. Se resuelve como se dice en la página 59

¿Qué diferencias observas entre I y III?

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 39 1.- FORMAS DE DETERMINAR UN PLANO.

Determinar un plano consiste en poder calcular sus ecuaciones, en cualquiera de sus formas.

En la mayoría de los casos necesitamos el vector de posición o vector normal del plano, →→

= zn Se nos pueden dar los siguientes casos, según que tengamos:

a) Un punto A y un vector de posición o vector normal →

n : calculamos la ecuación implícita o general del plano

mediante un producto escalar 0=⋅→→

nAX (esto se llama ecuación normal del plano)

b) Un punto A y dos vectores de dirección →→

vyu . (Tienen que ser no nulos y linealmente independientes).

b-1) De aquí podemos obtener las ecuaciones paramétricas.

b-2) Los vectores →→→

vyuAX , tienen que ser coplanarios; con un producto mixto 0),,( =→→→

vuAX

tenemos la ecuación implícita o general del plano.

c) Tres puntos A, B y C:

c-1) Si los tres puntos no están alineados construimos dos vectores de dirección →→

ACyAB y

estamos en el caso b). c-2) Si los puntos están alineados, hay infinitos planos que pasan por ellos. Se calculan obteniendo

el haz de planos de arista la recta que pasa por ellos. (Pregunta nº8)

2.- FORMAS DE DETERMINAR UNA RECTA. Determinar una recta consiste en poder calcular sus ecuaciones, en cualquiera de sus formas. Se puede determinar con:

a) Un punto y un vector de dirección: con esto podemos llegar a la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones continuas o como intersección de dos planos.

b) Dos puntos de la recta: con los puntos construimos un vector y estamos en el caso anterior. c) La recta como intersección de dos planos: resolvemos el sistema y la solución nos dará las ecuaciones

paramétricas de la recta, de donde obtendremos un punto y un vector y estamos en el caso a).

NOTA: Cuándo tenemos que calcular donde se cortan rectas, planos, …. , se forma un sistema de ecuaciones lineales y se discute; si es compatible se cortarán, y el lugar donde se cortan tiene de dimensión 3-rango(M); de dimensión 0 es un punto, de dimensión 1 es una recta y de dimensión 2 es un plano.

3.- POSICIÓN DE DOS PLANOS

I) Escribimos los planos en su ecuación continua o implícita, y obtenemos un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas y lo discutimos. (MÉTODO DE GAUSS y teorema de Rouché-Fröbenius)

a) Si rango(M) < rango(M*) → el sistema es incompatible; los planos no tienen puntos en común, son paralelos.

b) Si rango(M) = rango(M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como 3-rango(M)=1, los planos son secantes en una recta. La solución del sistema nos da las ecuaciones paramétricas de dicha recta.

c) Si rango(M) = rango(M*)=1 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como 3-rango(M)=2, los planos se cortan en un plano, los planos son coincidentes.

II) Los planos en su ecuación general: 0:1 =+++ dczbyaxπ y 0:2 =+++ δλβαπ zyx . y

escribimos las proporciones δλβα

dcba===

a. Si las tres igualdades son ciertas los planos son coincidentes b. Si las dos primeras igualdades son ciertas y la tercera no, los planos son paralelos c. Si alguna de las dos primeras igualdades es falsa, los planos son secantes.

NOTA: Si nos piden posición y que calcule donde se cortan, es mejor I)

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 40 4.- POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS

Escribimos los planos en su ecuación continua o implícita, y obtenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, y lo discutimos. (MÉTODO DE GAUSS y teorema de Rouché-Fröbenius)

a) Si rango(M) = rango(M*) = n = 3 → el sistema es compatible determinado; como n-rango(M)=3-3=0, los planos son secantes en un punto. La solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto.

b) Si rango(M) = rango(M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango(M)=3-2=1, los planos son secantes en una recta. La solución del sistema nos da las ecuaciones paramétricas de dicha recta.

c) Si rango(M) = rango(M*)=1 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango(M)=3-1=2, los planos se cortan en un plano, los planos son coincidentes.

d) Si rango (M) < rango (M*) → el sistema es incompatible; los tres planos no tienen puntos en común y se estudia su posición dos a dos. (Obligatorio siempre). El mejor camino es pregunta nº 3, II

5.- POSICIÓN DE RECTA Y PLANO El plano ππππ tiene que estar en su ecuación general o implícita, siempre.

I) La recta r está dada como intersección de dos planos: Formo un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas y lo discutimos. (Método de Gauss y teorema de Rouché-Fröbenius)

a) Si rango (M) = rango (M*) = n = 3 → el sistema es compatible determinado; como n-rango (M)=3-3=0, el plano y la recta son secantes en un punto; la solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto.

b) Si rango (M) = rango (M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango (M)=3-2=1 el plano y la recta se cortan en una recta; la recta está contenida en el plano, r ⊂⊂⊂⊂ ππππ.

c) Si rango (M) < rango (M*) → el sistema es incompatible; el plano y la recta no tienen puntos en común; la recta y el plano son paralelos, r // ππππ. II) La recta r está dada en paramétricas ( si está en continuas se pone en paramétricas):

Resolvemos el sistema por sustitución; sustituyo x, y y z de la recta en la ecuación del plano y llegamos a la ecuación at=b, siendo a y b números reales.

batDtdcCtdcBtdcA

tdcz

tdcy

tdcx

DCzByAx

==++++++⇒

+=

+=

+=

=+++

;0)()()(

0

332211

33

22

11

a) Si a≠≠≠≠0, es compatible determinado: π y r son secantes, se cortan en un punto, y sus coordenadas se obtienen calculando t, x, y y z.

b) Si a=0 y b=0, es compatible indeterminado; la recta está contenida en el plano, r ⊂⊂⊂⊂ ππππ. c) Si a=0 y b≠≠≠≠0, es INCOMPATIBLE; la recta y el plano son paralelos, r // ππππ.

6.- POSICIÓN DE DOS RECTAS

I) Si nos dan las dos rectas r y s como intersección de dos planos: Formamos un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas y lo discutimos. (MÉTODO DE GAUSS y teorema de Rouché-Fröbenius)

a) Si rango (M) = rango (M*) = n = 3 → el sistema es compatible determinado; como n-rango (M)=3-3=0, las rectas son secantes en un punto; la solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto.

b) Si rango (M) = rango (M*)=2 < n=3 → el sistema es compatible indeterminado; como n-rango (M)=3-2=1, las rectas se cortan en una recta; las rectas son coincidentes.

c) Si rango (M) =3< rango (M*)=4 → el sistema es incompatible; como rango (M)=3 están en el espacio; las rectas se cruzan.

d) Si rango (M) =2< rango (M*)=3 → el sistema es incompatible; como rango (M)=2 están el plano; las rectas son paralelas.

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 41

II) Si nos dan las dos rectas r y s en sus ecuaciones paramétricas o continuas:

Calculo un punto y un vector de cada recta:

→

uAr ,: y

→

vBs ,:

a) 3,, =

→→→

vuABrangoSi ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s se cruzan, son no coplanarias

b) 2,, =

→→→

vuABrangoSi y 2, =

→→

vurango ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s son secantes.

c) 2,, =

→→→

vuABrangoSi y 1, =

→→

vurango ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s son paralelas

d) 1,, =

→→→

vuABrangoSi ⇒⇒⇒⇒ las rectas r y s son coincidentes.

NOTA: cuando pida el punto de corte escribo las dos rectas en paramétricas, los parámetros con distinto nombre, uno k y otro t, igualo las x, igualo las y e igualo las z y llego a un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas (k y t) que es C.D.

III) Si nos dan las dos rectas r y s en sus ecuaciones paramétricas Los parámetros con distinto nombre, uno k y otro t, igualo las x, igualo las y e igualo las z y llego a un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas (k y t) y lo discuto por GAUSS M* es una matriz 3x3 y M es una matriz 3x2 a) Si rango (M) =2= rango (M*) = n → el sistema es compatible determinado; n-rango (M)=2-2=0, las

rectas son secantes en un punto; la solución del sistema nos da las coordenadas de dicho punto. b) Si rango (M) = rango (M*)=1 < n=2 → el sistema es compatible indeterminado; n-rango (M)=2-1=1

las rectas son coincidentes. c) Si rango (M) =2 < rango (M*)=3 → el sistema es incompatible; las rectas se cruzan. d) Si rango(M) =1 < rango(M*)=2 → el sistema es incompatible; las rectas son paralelas

7.- CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Vectores de posición de los planos ππππ1 y ππππ2 : →→

21 nyn ; vectores de dirección de las rectas r y s: →→

vyu

I) PARALELISMO:

a) Si plano π1 es paralelo al plano π2 sus vectores de posición →→

21 nyn son iguales o proporcionales

b) Si plano π1 es paralelo la recta r (o viceversa) el vector de posición del plano →

1n y el vector de

dirección de la recta →

u son ortogonales 011 =⋅⇒⊥→→→→

unun

c) Si la recta r es paralela a s los vectores de dirección de ambas son iguales o proporcionales

II) ORTOGONALIDAD o PERPENDICULARIDAD:

d) Si el plano π1 es perpendicular al plano π2 sus vectores de posición →→

21 nyn son ortogonales

02121 =⋅⇒⊥→→→→

nnnn

e) Si el plano π1 es perpendicular a la recta r el vector de posición del plano →

1n y el vector de dirección

de la recta →

u son iguales o proporcionales.

f) Las rectas r y s son perpendiculares cuando 0=⋅⇒⊥→→→→

vuvu y 2,, =

→→→

vuABrango son

coplanarias (A∈∈∈∈r y B∈∈∈∈s) 8.- HAZ DE PLANOS DE ARISTA LA RECTA r.

Es el conjunto de los infinitos planos que pasan por r, y se llama arista del haz de planos. Expresamos r como intersección de dos planos

( ) ( ) 0:0

022221111

2222

1111=+++⋅++++⋅⇒⇒

=+++

=+++dzcybxadzcybxa

rrectalaaristadeplanos

dehazdelEcuaciónr

dzcybxa

dzcybxaβα


Cuando conozcamos los valores de αααα y ββββ, sustituimos y tenemos la ecuación del plano.

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 43 9.- HAZ DE PLANOS PALALELOS AL PLANO π Ejemplo: sea π:3x+5y-7z+8=0; la ecuación del haz de planos es paralelos a π es 3x+5y-7z+K=0. Dándole valores a K tenemos planos paralelos a π

10.- CALCULAR LA ECUACIÓN DEL PLANO

A) Que pasa por un punto: sea el punto A=(1,-2,3) Hay infinitos planos y se llama radiación de planos y su ecuación es ( ) ( ) ( ) 0321 =−+++− zyx λβα ;

dándole valores a λβα y, obtengo las ecuaciones de los infinitos planos que pasan por A

B) Que pasa por dos puntos A y B

Hay infinitos planos que son el haz de planos de arista la recta r que pasa por A y B (pregunta nº 8)

C) Que pasa por tres puntos no alineados A, B y C

La ecuación del plano se obtiene haciendo el producto mixto 0,, =

→→→

ACABAX

D) Que contiene a un punto y a una recta � Escribo la recta como intersección de dos planos, y calculo la ecuación del haz de planos (nº 8) � Si pasa por el punto A=(4,-3,5), sustituyo x=4, y=-3, z=5 en la ecuación del haz de planos y nos sale una

ecuación con dos incógnitas α y β; hay infinitas soluciones y calculo una; no vale la solución α=0 y β =0. E) Que contiene a dos rectas �� Escribo una recta como intersección de dos planos, y calculo la ecuación del haz de planos

�� De la otra recta calculo un punto cualquiera, lo sustituyo en la ecuación del haz de planos como en D)

�� Me sale una ecuación con dos incógnitas α y β; hay infinitas soluciones y calculo una; no vale la solución α=0 y β =0.

NOTA: Si las rectas son secantes y me queda 000 =⋅+⋅ βα , resulta que el punto elegido es donde se

cortan r y s; no vale, y calculo otro punto. F) Que pasa por un punto A y es paralelo a otro plano

Si plano π1 es paralelo al plano π2 sus vectores de posición →→

21 nyn son iguales; calculo la ecuación del

plano haciendo el producto escalar 02 =⋅→→

nAX

También se puede calcular con el haz de planos paralelos (pegunta nº 9) G) Que pasa por un punto y es perpendicular a una recta

Si el plano π es perpendicular a la recta r el vector de posición del plano →

n y el vector de dirección de la

recta →

u son iguales; calculo la ecuación del plano haciendo el producto escalar 0=⋅→→

nAX

H) Que contiene a una recta y es perpendicular a un plano π Escribo la recta como intersección de dos planos y calculo la ecuación del haz de planos; quito paréntesis,

saco factor común x, y y z y calculo el vector →

1n

El plano π es perpendicular al plano π1; sus vectores de posición son ortogonales 01 =⋅→→

nn

Me sale una ecuación con dos incógnitas α y β; hay infinitas soluciones y calculo una; no vale la solución α=0 y β =0. I) Plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s

� La recta r tiene que estar como intersección de dos planos, calculo la ecuación del haz de planos ,

quito paréntesis y saco factor común x, y y z y calculo el vector normal del plano →

n

� La recta s en sus ecuaciones continuas o paramétricas para calcular el vector de dirección →

v

� Como el plano y la recta son paralelos →→

⊥ nv 0=⋅⇒→→

nv ; llegamos a una ecuación donde las


incógnitas son βα y ; le doy a una un valor distinto de cero y calculo la otra

� Sustituyo estos valores de βα y en la ecuación del haz de planos, quito paréntesis y tengo la

ecuación general del plano J) Plano que pasa por el punto P y es paralelo a r y s

� Las rectas r y s en sus ecuaciones continuas o paramétricas para calcular los vectores de

dirección →

ru y →

sv

� Calculo la ecuación del plano mediante el producto mixto: 0,, =

→→→

sr vuPX

11.- CALCULAR LAS ECUACIONES DE LA RECTA NOTA: lo primero es saber pasar de unas ecuaciones a otras

A) Que pasa por un punto A=(1,-2,3)

Hay infinitas rectas y se llama radiación de retas y su ecuación es λβα

321 −=

+=

− zyx; dándole valores a

λβα y, obtengo las ecuaciones de las infinitos rectas que pasan por A

B) Que pasa por dos puntos A y B : calculo el vector →

AB , y con el punto A y dicho vector escribo las ecuaciones paramétricas o continuas de la recta

C) Que pasa por un punto A y es paralela a otra recta s

Si la recta r es paralela a s los vectores de dirección de ambas son iguales; sr vu→→

= y con el punto A y dicho vector escribo las ecuaciones paramétricas o continuas de la recta D) Que pasa por un punto y es perpendicular a un plano

Si el plano π es perpendicular a la recta r el vector de posición del plano →

n y el vector de dirección de la

recta →

u son iguales; y con el punto A y dicho vector escribo las ecuaciones paramétricas o continuas de

la recta E) Que pasa por un punto A y es paralela a dos planos π1 y π2 �� Calculo las ecuaciones paramétricas de la recta s donde se cortan los planos π1 y π2 �� La recta r es paralela s y pasa por A ( lo hago como en C)

F) Ecuaciones de la recta s que pasa por el punto A, es paralela al plano π y corta a la recta r

La recta s es la que pasa por el punto A y el punto B (donde se cortan la recta r y el plano1π paralelo

a π y que pasa por el A

A B

π

π1s

r


G) Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan. Puntos de mínima distancia

Las rectas r y s que se cruzan en sus ecuaciones paramétricas

+=

+=

+=

tdpz

tdpy

tdpx

r

33

22

11

: y

+=

+=

+=

khqz

khqy

khqx

s

33

22

11

: y tomamos

un punto genérico de cada una P=(p1+d1t,p2+d2t,p3+d3t) ∈r y Q=(q1+h1k,q2+h2k,q3+h3k) ∈s

P y Q son los puntos de mínima distancia, y →→

⊥ uPQ y →→

⊥ vPQ , siendo →

u y →

v los vectores de dirección

de las rectas r y s. De los dos productos escalares obtenemos un sistema de dos ecuaciones donde calculamos las incógnitas µλ y , y después las coordenadas de los puntos A y B.

� d(r, s) = d(P,Q): distancia mínima de dos rectas que se cruzan � La recta que pasa por P y Q es perpendicular a r y s.

12.- PROYECCION ORTOGONAL DEL PUNTO A EN LA RECTA r. (P.O.) Hay que tener las ecuaciones paramétricas de la recta r. � Es el punto Q = r ∩ π, siendo π el plano perpendicular a r que pasa por P; para calcular Q la recta r en

paramétricas y el plano π en implícita, y resolvemos el sistema por sustitución.

p

r

A Q B

s

¿Para qué me va a servir la proyección ortogonal?

a) Distancia de un punto a una resta: →

== AQQAdrAd ),(),(

b) Para calcular la ecuación de la recta s que pasa por A y es perpendicular a r, cortándola

Ecuaciones de s: pasa por el punto A y un vector director es →

AQ

c) El simétrico de un punto A respecto de la recta r:

Es el punto B tal que Q es el punto medio del segmento PM; →→→

→→

→

−=⇒+

= aqbba

q 22

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 46 13.- PROYECCION ORTOGONAL DEL PUNTO P EN EL PLANO ππππ (P.O.). � Es el punto Q = r ∩ π, siendo r la recta perpendicular a π que pasa por P para calcular Q la recta r en

paramétricas y el plano π en implícita, y resolvemos el sistema por sustitución.

¿Para qué me va a servir la proyección ortogonal?

a) Distancia de un punto a un plano de forma razonada: →

== AQQAdAd ),(),( π

b) EL simétrico de un punto A respecto del plano ππππ:

Es el punto B tal que Q es el punto medio del segmento PM: →→→

→→

→

−=⇒+

= aqbba

q 22

p

r

Q

A

B

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 47 14.- DISTANCIAS:

a) Entre dos puntos: →

= ABBAd ),(

b) Del punto P a la recta r ⇒ d(P,r) = d(P,Q); Q es la Proyección Ortogonal de P en r (pregunta nº 12)

c) Del punto P al plano π ⇒

�� De forma razonada: d(P,π) = d(P,Q), Q es la Proyección Ortogonal de P en π (pregunta nº 13)

�� Con la fórmula: A=(a,b,c) ; 0=+++≡ δλβαπ zyx ; 222

),(λβα

δλβαπ

++

+++=

cbaPd

d) Entre dos rectas: � Si r y s secantes o coincidentes ⇒ d(r,s) = 0 � Si r //s ⇒ d(r,s) = d(P,s)=d(P,Q), siendo P un punto cualquiera de r y Q es la Proyección

Ortogonal del punto P en la recta s (pregunta nº 12) �

e) Entre una recta r y un plano π: � Si son secantes ó la recta está contenida en el plano, r ⊂ π ⇒ d(r,π) = 0

� Si la recta r y el plano π son paralelos, r//π ⇒ 222

),(),(λβα

δλβαππ

++

+++==

cbaPdrd , siendo

P=(a,b,c) un punto cualquiera de r y 0=+++≡ δλβαπ zyx

f) Entre dos planos:

� Si π1 y π secantes o coincidentes: ⇒ d(π1,π) = 0

� Si los planos son paralelos, π1//π ⇒ ⇒ 222

1 ),(),(λβα

δλβαπππ

++

+++==

cbaPdd , siendo

P=(a,b,c) un punto cualquiera del plano π1 y 0=+++≡ δλβαπ zyx d(π1,π2)=d(A,π1)

15.- SIMETRÍAS:

a) Simétrico de un punto A respecto de un punto B.

Es otro punto C tal que B es el punto medio del segmento AC ⇒→→→

→→

→

−=⇒+

= abcca

b 22

b) Simétrico de un punto P respecto de la recta r

Es otro punto M tal que Q es el punto medio del segmento PM; →→→

→→

→

−=⇒+

= pqmmp

q 22

Q es la proyección ortogonal del punto P en la recta r. (Ver dibujo y teoría de la pregunta nº 12) c) Simétrico de un punto P respecto del plano ππππ

Es otro punto M tal que Q es el punto medio del segmento PC; →→→

→→

→

−=⇒+

= pqmmp

q 22

Q es la proyección ortogonal del punto P en el plano π. (Ver dibujo y teoría de la pregunta nº 13)

d) Plano simétrico de un plano ππππ respecto de un punto P. a) Calculamos un punto A cualquiera del plano π b) Calculamos B, simétrico de M respecto de P. (Como en a)) c) El simétrico del plano π respecto del punto P es el plano π1 que pasa por B y es paralelo a π.

Se calcula la ecuación del plano mediante un producto escalar 0=⋅→→

nBX

e) Recta simétrica de la recta r respecto de un plano ππππ �� Calculamos dos puntos de r, A y B. �� Calculamos M y N, simétricos de A y B respecto de π. (Como en c)) �� La recta s que pasa por M y N es la simétrica de la recta r respecto del plano π. (Calcula su ecuación)


f) Recta simétrica de la recta r respecto del punto P � Calculamos dos puntos de r, A y B. � Calculamos M y N, simétricos de A y B respecto de P. (Como en a)) � La recta s que pasa por M y N es la simétrica de la recta r respecto del punto P.(Calcula su ecuación)

16.- ÁNGULOS

a) ÁNGULO DE DOS PLANOS

El ángulo de los planos π1 y π lo escribiremos (ππππ1, ππππ) y sus vectores de posición son 1

→

n y →

n �� Si los planos son coincidentes (ππππ1, ππππ)=0 �� Si los planos son paralelos no forman ángulo �� Si los planos son secantes, se cortan formando cuatro ángulos diedros iguales dos a dos. El ángulo de

los dos planos es el menor de los dos, º90),(0 1 ≤< ππ y se calcula →→

→→

⋅

⋅

=

nn

nn

1

1

1 ),cos( ππ

b) ÁNGULO DE DOS RECTAS

El ángulo de las rectas r y s lo escribiremos (r,s) y sus vectores directores son →

u y →

v �� Si las rectas son coincidentes (r,s)=0 �� Si las rectas son paralelas no forman ángulo; sus direcciones forman un ángulo de 0º �� Si las rectas son secantes, se cortan formando cuatro ángulos iguales dos a dos. El ángulo de las dos

rectas es el menor de los dos, º90),(0 ≤< sr y se calcula →→

→→

⋅

⋅

=

vu

vu

sr ),cos(

�� Si las rectas se cruzan no forman ángulo, aunque sus direcciones si lo forman,

º90),(0 ≤< sr y se calcula →→

→→

⋅

⋅

=

vu

vu

sr ),cos(

c) ÁNGULO DE RECTA Y PLANO

El ángulo del plano π y la recta r lo escribiremos (ππππ, r) y el vector de posición del plano es →

n y el vector

director de la recta es →

u �� Si la recta está contenida en el plano (ππππ, r)=0 �� Si el plano y la recta son paralelos no forman ángulo �� Si el plano y la recta son secantes, se cortan formando cuatro ángulos iguales dos a dos. El ángulo de

los dos planos es el menor de los dos, º90),(0 ≤< rπ y se calcula →→

→→

⋅

⋅

=

un

un

rsen ),(π

José Guzmán 2º Bachillerato: Geometría del espacioPag. nº 49 17.- TRIÁNGULOS EN E3. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

Tres Puntos A,B y C forman triángulo si no están alineados, es decir, si los vectores →→

ACyAB son

linealmente independientes. (O si su área no vale cero). a) El triángulo es equilátero si los tres lados miden igual.

b) El triángulo es rectángulo si el ángulo mayor A mide 90º, es decir, los vectores →→

ACyAB son

ortogonales. (Calculamos la medida de los tres lados y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor).

c) Medida del ángulo A: →→

→→

⋅

⋅=

ACAB

ACABAcos

d) Mediana: Recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. e) Baricentro: punto de corte de las medianas de un triángulo f) Plano mediador o mediatriz de un segmento: es el plano que pasa por el punto medio del segmento y

es perpendicular a dicho segmento. g) Recta altura: recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. h) Circuncentro: punto de corte de los planos mediatrices de un triángulo.

�� Obtenemos la ecuación del plano π1 que contiene a los tres vértices (A, B y C); el plano mediatriz π2 del segmento AB y el plano mediatriz π3 del segmento AC

�� Circuncentro = π1 ∩ π2 ∩ π3. (PUNTO DE CORTE DE LOS PLANOS) i) Ortocentro del triángulo ABC: punto de corte de las alturas de un triángulo. Para calcularlo:

� Obtenemos la ecuación del plano π1 que contiene a los tres vértices (A, B y C); el plano π2 que pasa por el punto A y es perpendicular al lado BC y el plano π3 que pasa por el punto B y es perpendicular al lado AC

� Ortocentro = π1 ∩ π2 ∩ π3. (PUNTO DE CORTE DE LOS PLANOS)

18.- PARALELOGRAMOS. TIPOS DE PARALELOGRAMOS:

a) Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo si tres de ellos no están alineados y sobre los lados

paralelos hay dos vectores iguales →→

= BCAD ó →→

= DCAB

b) Los puntos A, B, C y D forman un rectángulo si forman un paralelogramo, y A=90º, es decir, →→

⊥ ADAB

c) Los puntos A, B, C y D forman un cuadrado si forman un rectángulo y los lados no paralelos miden igual, d(A,B)=d(A,D).

d) Los puntos A, B, C y D forman un rombo si es paralelogramo, no es rectángulo y los lados no paralelos miden igual, d(A,B)=d(A,D).

e) Medida de los ángulos: →→

→→

⋅

⋅=

ADAB

ADABAcos ;

∧∧

= CA y ∧∧

= DB ; º180=+∧∧

BA

A B

C D

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