FUNCIONES

Anival Torre

ANIVAL TORRE

1

Contenido

ANIVAL TORRE

2

Conjunto productoDefinición deFunción Dominio y rangoFunciones elementales Grado de un polinomioFunción seccionada Función inyectivaDominio y rangoGrafica de las funcionesEjemplos Grafica de las funciones trigonométricas

,1,4,2,4

1,1,2,1

0,1,2

2,3,4,1

AxBB

A

Conjunto producto

ANIVAL TORRE

3

3

4

1

-1

7

0

A B

BAf :

Es una correspondencia que asocia a cada elemento de A un único elemento de B.

Definición de función

ANIVAL TORRE

4

Es un conjunto de pares ordenados de números (x,y). Es lo que asocia a cada elemento del conj. A un

único elemento del conj. B, es decir que y es el único valor de x.

fA Bf = {(5,8);(7,8)}

3 5 7

1

87

5

3

8

1

x

y

5

ANIVAL TORRE

Definición de función

CASOS I

CASO II

159

4

-6

f

295

3

6

f

A B

A B

4,96,56,1f

Funciones y Relaciones

ANIVAL TORRE

6

Gráficamente

X

Y

3 5

2

3

X

Y

ANIVAL TORRE

7

X

Y

X

Y

ANIVAL TORRE

8

Gráficamente

a)358

7

b)459

1234

c)

d)

ANIVAL TORRE

9

Gráficamente

a)

b)

c)

d)

ANIVAL TORRE

10

Gráficamente

a) 358

7

b)459

1234

X

Y

3 5

2

3

11

ANIVAL TORRE

Gráficamente

Función Inyectiva

a) Graficamete: Es aquella cuyo gráfico biseca a cualquier recta paralela al eje X en un único punto

12

ANIVAL TORRE

5432

1 2 3 4

f ={(1,2);(1,4);(2,3),(3,5),(4,5)}

Es cuando una línea horizontal lo corta en un solo pto.

y

x

x

y

f = {(1,2);(2,4);(4,1);(5,5);(6,3)}

1 2 3 4 5 6

54321

13

ANIVAL TORRE

Función Inyectiva

TALLER I

ANIVAL TORRE

14

1)Determine cual de los siguientes gráficos define función (1-1)

a) b)

a) b)

c)

TALLER I

ANIVAL TORRE

15

Dominio y rango

Dominio : El conjunto de todos los valores admisibles de x.

Rango: ( Contradominio o imagen) : El conjunto de todos los valores resultantes de y.

Los símbolos x e y denotan variables.• X : variable independiente.• Y: variable dependiente.

16

ANIVAL TORRE

1. f(x)= ax+b

2. f(x)= 2x

4. f(x)=

3. f(x)=

5. f(x)=

n=par

nx

xxf

nx

n=impar

6.

a)

xxfb )

xxfc )

xxfd )

x

y

x

y

x

y

x

x

x

y

y

y

y

y

y

x

x

x

Gráfica de las funciones

17

ANIVAL TORRE

7. axf

a

8. xxfa )

9. xaxf

a) a>1

xxfb )

1

b) 0 < a < 1

1

10. x

xfa1

)

b) x

xf1

11. 2

1

xxf

18

ANIVAL TORRE

1) FUNCIÓN LINEAL AFIN

baxxf

x

Y

Ejemplos

23

3

74)1

xxf

xxf

xxf

ANIVAL TORRE

19

a) Función Lineal Afín

2/3

3

32)1

x

y

xxf

baxxf

5/70

70

75

xy

yx

xxf

-3

3/2

y

x

x

y

7

-7/5

20

ANIVAL TORRE

2) Función Valor Absoluto

xxf

X

Y

,0fRRfD

Ejemplos

73

12

43

xxf

xxf

xxf

ANIVAL TORRE

21

3) Función cuadrática

2xxf

13

24

23

2

2

2

xxf

xxf

xxf

ANIVAL TORRE

22

Ejemplos

Función Cuadrática

72/72

72

27

27

720

0

7,2

372

2

2

2

xx

x

x

x

x

yxf

v

xxf

72 72 -2

-3

-7

y

x

23

ANIVAL TORRE

4) Función Cúbica

3xxf

X

Y

RfRRfD

Ejemplos

3

3

3

53

25

23

xxf

xxf

xxf

ANIVAL TORRE

24

5) Función Polinómica

db cxaxxf Ejemplo

2653 523 xxxxxf

0-2 3 5. . . .

ANIVAL TORRE

25

Ejemplos

2592

562

3754

6352

3187

1356

251

314

xxxxxf

xxxxxxf

xxxxxf

xxxxf

ANIVAL TORRE

26

6) Función de la forma

x

xf1

2

1

xxf

ANIVAL TORRE

27

Ejemplo

152

23

1

1

12

51

4

34

2

2

2

xxx

xxxf

x

xxf

xxf

x

xxf

xxf

ANIVAL TORRE

28

7) Función Raíz Cuadrada

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

21

24

51

23

ANIVAL TORRE

29

Ejemplos

8) Función exponencial

xaxf Caso I a>1

Caso II 0<a<1

Ejemplos 53 2 xxf

ANIVAL TORRE

30

Ejemplos

28

24

93

47

3

12

7

3

2

5

3

x

x

x

x

x

xf

xf

xf

xf

xf

ANIVAL TORRE

31

 Función Máximo entero de x    f(x) = [ x ]

Función signo de x    f(x) = sg(x)

ANIVAL TORRE

32

9) Función Máximo entero

Y

x

y =f(x) = x²

-1 1-2 2

ANIVAL TORRE

33

9) Función Cuadrática

1,2

512 2

v

xxf

-5

-2-1

El numero que esta dentro del paréntesis baja con el signo cambiado (+2 a -2), mientras que el otro, el que esta fuera del paréntesis baja igual.

Orientación de la parábola. Negativo

se abre hacia abajo

34

ANIVAL TORRE

Función Cúbica

x

x

x

x

v

xxf

5

38

830

35

8,3

83

3

3

3

35

8

-3-5

y

x

35

ANIVAL TORRE

Función Raíz Cuadrada

5,3

53

v

xxf

3

41

21

12

1

21

12

x

x

x

xy

y

x

xxf

a)

b) 3

5

-3

-11

1

2

36

ANIVAL TORRE

Grado de un polinomio

6,7,3,3,2..

673332 4119877

CP

xxxxxxxf

Grado de la función polinómica:

Valor que toma un exponente de la variable

Polin. Factor 39

5 factores=

5 ptos. críticos

Multiplicidad [par- impar]

= 0

+

-7 -6 -3 -2 3-

y

x

Rebota = par

Biseca= no multiplicidad

37

ANIVAL TORRE

Lo igualamos a 0

Pasos a seguir xxxxxxf 32917

7232

xxxxxxxxf 3233117 7733

0,2,3,3,1,1..

233117 7833

CP

xxxxxxxf

2x

PRIMERO: FACTORIZAR, la función tiene que ser lineal

AGRUPAR factores iguales

-3 -2 -1 0 1 3 X

YMide la

altura de la curva

Si es una división, entonces se harán restricciones para que del denominador suban al nominador.

38

ANIVAL TORRE

Función seccionada

9,1

93 1

v

xf x

3

269

3

193

0

1

xf

x

3

39

931

1

x

xf

oxfx

x

Asíntotas-Es una recta que se acerca a una curva sin tocarla en el infinito.-Evalúa el trazo o grafica de una función.

Para cortar el eje

-26/3

-9

1 3

39

ANIVAL TORRE

Ejemplo

2

10

5,1

51

5

x

y

vx

xf

-2

10

x

y

1

5

40

ANIVAL TORRE

Valor absoluto

7,2

72

v

xxf

95

2727

72

0

0

xx

xx

x

y

x -9 -2

-5

-7

5 x

y

41

ANIVAL TORRE

1,3

132

v

xxf

2/72/5

2/132/13

2/13

132

1320

xx

xx

x

x

x

x

y

-3

1

-5/2-7/2

42

ANIVAL TORRE

Función seccionada

811

9

8615

6582

5014

022

5

xx

x

xx

xx

xx

xfx

43

ANIVAL TORRE

124

4

2

1

-1

-2 5 6 8

y

x

Grafica con cada una de las funciones

0

44

ANIVAL TORRE

2,1124,

124,44,22,12,00,

5,0,2

,88,66,55,00,2

R

D

c) (I-I) no es injectiva, porque las rectas se cortan por 2 líneas horizontales.d) Tipos de discontinuidad: {-2,0,5,6,8}

D. Extremo: {2}D. Evitable: {5,6}D. Salto: {0,8}

45

ANIVAL TORRE

FIN

46

ANIVAL TORRE