01 lógica proposicional

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Lógica Proposicional

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Lógica Proposiciona

l

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Trabajo Práctico Nº 1Lógica Proposicional

1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con r: “el restaurante es de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c)-La comida es buena y el servicio no. d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres

estrellas e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de

tres estrellas. f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen

servicio.

2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial. a) p q b) p q c) q p d) (p q)

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3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales:

a) (p q) p c) (q p) ( p q) e) (p q) (r)b) p (p q) d) (r r)

4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente

V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [( p q ) r] s ii) r (s p) iii) (p r) (r s)

5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.

i) (p q) r ; r es V ii) (p q) ( p q) ; q es V

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6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) (p q) q si p q es Falso b) p (p q) si p q es Verdad c) [ (p q) q] q si p es Verdad y q es Verdad

7) Simplificar las siguientes proposiciones: a) ( p q) b) (p q) ( p q) c)

(p q)

8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes.i) q r iii) p (q r) ii) (p q) r iv) (p q) ( p q)

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9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) ( p q ) r iii) p [ p q ] ii) [ (p q) (q r) ] (p r) iv) (p r) (r p)

10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?.

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PROPOSICION es una expresión de la cual se puede decir que es verdadera o que es falsa

 “El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición

verdadera

“Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional” es una proposición falsa

 pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera,

ni falsa; entonces, ésta no es una proposición. 

Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u . . .

Entonces :

p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andesq : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional

1 a b1 a b

1 e1 e

1 c d1 c d

1 f1 f

2 a b2 a b

2 c d2 c d

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NEGACION

Si queremos negar una proposición debemos anteponer expresiones como No es cierto que . . .; No sucede que . . .; o insertar convenientemente en la expresión . . . NO . . . . así, la proposición

“No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes”

es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes”

Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición,

el símbolo ó - también puede usarse

p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes

p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes

1 e1 e 1 f1 f

2 a b2 a b 2 c d2 c d

1 a b1 a b

1 c d1 c d

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CONECTORES LOGICOS

 Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los conectores lógicos; ellos son:

conjunción

disyunción incluyentedisyunción excluyente

implicación

doble implicación

Mediante el uso de los conectores y símbolos sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves),

podemos vincular dos o mas proposiciones entre sí

1 a b1 a b

1 c d1 c d

1 e1 e 1 f1 f

2 a b2 a b 2 c d2 c d

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Dadas las proposiciones : P : El jueves es el examen q : El viernes viajo

Podemos escribir las proposiciones compuestas :

p q

“El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas”

p q

“El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas”

p q

“El jueves es el examen implica que el viernes viajo” o

“Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo”

p q

“El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo p q

“El jueves es el examen y el viernes viajo”

1 e1 e 1 f1 f

2 a b2 a b 2 c d2 c d

1 a b1 a b

1 c d1 c d

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1) a) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas

cosas”

Las proposiciones involucradas son p : La comida es buena q : el servicio es bueno

La expresión simbólica es :

están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que pueden suceder ambas cosas

el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE ( )

1 b) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas”

Las proposiciones involucradas son p : La comida es buena q : el servicio es bueno

La expresión simbólica es :

están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que no pueden suceder ambas cosas

corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE ( )

p q

p q o p q

1e1e1 c-d1 c-d 1f1f

ProposiciProposiciónón

NegaciónNegación

OperacionOperacioneses

EjemplosEjemplos

Page 16: 01 lógica proposicional

1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“

Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena q : el servicio es bueno

p y q están vinculadas con el operador y

el operador que corresponde ahora es CONJUNCION ( )

pero la proposición “el servicio es bueno” está negada

q

La expresión simbólica es : p q1 d) En la expresión : No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas” Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena

r : El restaurante es de tres estrellas“

pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresión

No es negación

La expresión simbólica es :

(p r)

en ella, el “como que” sugiere una conjunción ( p r )

1e1e 1f1f

ProposiciProposiciónón

NegaciónNegación

OperacionOperacioneses

EjemplosEjemplos

Page 17: 01 lógica proposicional

1 e) En la expresión :

Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas.

Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas

La expresión simbólica es :

donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera llamada antecedente y la otra llamada consecuente

Si (antecedente) entonces (consecuente)

vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación.

El antecedente es : Si (tanto la comida como el servicio son buenos)

p q

El consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas)

r

( p q ) r

La forma es :

El Si . . . . . . . entonces . . . . . . nos hace pensar en la implicación

1f1f

ProposiciProposiciónón

NegaciónNegación

OperacionOperacioneses

EjemplosEjemplos

Page 18: 01 lógica proposicional

1 f) En la expresión :No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio.

Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buenaq : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas

detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación

el consecuente es la conjunción

Aparecen aquí tres operaciones

la primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúa

se distingue también una implicación,

aunque no aparezca aquí el clásico “si . . . entonces . . . “

sino “si . . . .siempre significa . . . . “

el antecedente es la proposiciónr : el restaurante es de tres estrellas

[ r ( p q) ]

p q : la comida es buena y el servicio es bueno

La expresión simbólica es :

ProposiciProposiciónón

NegaciónNegación

OperacionOperacioneses

EjemplosEjemplos

Page 19: 01 lógica proposicional

2 a) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo”

La proposición compuestap q es la conjunción de las proposiciones p con q

que en el lenguaje coloquial se expresa :

“el clima es agradable  y vamos de día de campo”

La proposición compuestap q es la doble implicación de las proposiciones p con qque en el lenguaje coloquial se expresa :

“el clima es agradable  si y solo si vamos de día de campo”

2 b) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo”

2 c-d2 c-d

ProposiciProposiciónón

NegaciónNegación

OperacionOperacioneses

EjemplosEjemplos

Page 20: 01 lógica proposicional

2 c) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo”

La proposición compuesta

q p es la implicación

q implica p

que en el lenguaje coloquial se expresa :

“ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable”

La proposición compuesta

(p q) es la negación de la doble implicación de las proposiciones

p con qque en el lenguaje coloquial se expresa :

“No es cierto que el clima es agradable  si y solo si

vamos de día de campo”

2 d) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo”

ProposiciProposiciónón

NegaciónNegación

OperacionOperacioneses

EjemplosEjemplos

Page 21: 01 lógica proposicional

La primera operación que vamos a tratar es la negación

Tablas de Verdad

Si p es verdad , p es falso

Si p es falso , p es verdad

p p

V F

F V

La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve :

Verdadera si ambas proposiciones son

verdaderasFalsa si alguna o

ambas proposiciones son falsas

p q p q

V

V

V V

VF F

F

FF

F

F

3–4-53–4-5

66

3 a-b3 a-b

44 5 i5 i

6 i-ii6 i-ii

3 c-d3 c-d

3 e3 e

5 ii5 ii

6 iii6 iii

Page 22: 01 lógica proposicional

La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve

p q p q

V

V

V V

VF V

V

FF

F

F

verdadera a si alguna o ambas proposiciones

son verdaderas

falsa si ambas proposiciones son

falsas

La tabla de verdad de la disyunción excluyente de proposiciones se resuelve

p q p q

V

V

V F

VF V

V

FF

F

F

verdadera si las proposiciones tienen valores

de verdad diferentes

falsa si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad

3–4-53–4-5

66

3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d 3 e3 e

44 5 i5 i

6 i-ii6 i-ii

5 ii5 ii

6 iii6 iii

Page 23: 01 lógica proposicional

La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve :

p q p q

V

V

V V

VF F

F

VF

F

F

verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad

falsa las proposiciones tienen valor de verdad

diferente

La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve

p q p q

V

V

V V

VF F

V

VF

F

F

verdadera si ambas proposiciones son

verdaderas

si el antecedente es falso, no importa el consecuente, la implicación es verdadera

falsa únicamente con antecedente (p)

verdadero y consecuente (q) falso

los términos los términos antecedenteantecedente – – consecuenteconsecuente se usan se usan

exclusivamente en ésta operaciónexclusivamente en ésta operación

3–4-53–4-5

66

3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d 3 e3 e

44 5 i5 i

6 i-ii6 i-ii

5 ii5 ii

6 iii6 iii

Page 24: 01 lógica proposicional

Las posibles combinaciones de valores de verdad entre dos proposiciones siempre se agotan en cuatro alternativas ; en caso que estén involucradas mas de dos proposiciones en una operación lógica, para averiguar la cantidad de alternativas posibles, usaremos la expresión : 2n donde n es la cantidad de proposiciones.

Si tengo que operar las proposiciones p ;

q y r, las combinaciones

posibles serán: 23 = 8

p q r resultado

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

3–4-53–4-5

66

3 a-b3 a-b 3 c-d3 c-d

3 e3 e 44

5 i5 i

6 i-ii6 i-ii

5 ii5 ii

6 iii6 iii

Page 25: 01 lógica proposicional

3 a) Para hacer la tabla de verdad de ( p q )

p debemos resolver primero p q

p q p q (p q) p

V V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

3 b) Para hacer la tabla de verdad de p ( p q )

debemos resolver primero p q

p q p q p (p q)

V V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

considerando la considerando la columna columna p q obtenida como obtenida como

antecedente y la de antecedente y la de q como consecuente, como consecuente,

resolvemos la resolvemos la implicaciónimplicación

y con la columna y con la columna obtenida buscar el obtenida buscar el

resultado final.resultado final.

3 e3 e3 c-d3 c-d

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

Page 26: 01 lógica proposicional

3 c) para resolver (q p) ( p q) debemos resolver por separado las implicaciones (q p) y ( p q) ; y luego buscar el resultado final

hallando una implicación entre esos dos resultados parciales

p q

V

V

V V

V

F F

V

VF

F

F

V

V

V

F

V

V

V

F

q p p q (q p) (p q)

3 d)3 d) Para resolver Para resolver ( r ( r r ) r ) debemos resolver primero debemos resolver primero ( r ( r r ) ; r ) ;

cuando r (antecedente) es cuando r (antecedente) es verdad, r (consecuente) verdad, r (consecuente)

también es verdadtambién es verdad,, idéntica idéntica situación cuando r es falso. situación cuando r es falso.

r r

V

F

V V

F V

F

F

y luego negar y luego negar ( r ( r r ) r )

r r ( r r )

3 e3 e

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

Page 27: 01 lógica proposicional

3 e)3 e) En ( p En ( p q ) q ) ( ( r ) aparecen involucradas tres r ) aparecen involucradas tres proposiciones,la tabla de verdad debe contemplar todas las proposiciones,la tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de valores de verdad entre las tres posibles configuraciones de valores de verdad entre las tres

proposiciones. También proposiciones. También r rp q rp q r

V V VV V V

V V FV V F

V F VV F V

V F FV F F

F V VF V V

F V FF V F

F F VF F V

F F FF F F

rr

FF

VV

FF

VV

FF

VV

FF

VV

Luego se resuelve Luego se resuelve ( p ( p q )q )

p p q q

VV

VV

FF

FF

FF

FF

FF

FF

y finalmente y finalmente ( p ( p q ) q ) ( ( r ) r )

( p ( p q ) q ) ( ( r ) r )

VV

VV

FF

VV

FF

VV

FF

VV

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

Page 28: 01 lógica proposicional

4)4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de verdad solamente para los valores asignados a las de verdad solamente para los valores asignados a las

proposicionesproposicionesi) [(p i) [(p q) q) r] r] s se resuelve: s se resuelve:

p q r sp q r s

V F F VV F F V

p p q q

VV

(p (p q) q) r r

VV

[(p [(p q) q) r] r] s s

VV

ii) r ii) r (s (s p) se resuelve: p) se resuelve:

p r sp r s

V F VV F V

s s p p

VV

r r (s (s p) p)

VV

iii) (p iii) (p r) r) (r (r s) se s) se resuelve:resuelve:

p r sp r s

V F VV F V

ssFF

p p r r r r s s

VV FF

(p (p r) r) (r (r s)s)

FF

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

Page 29: 01 lógica proposicional

Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad

5 i)5 i) Para saber el valor de verdad de Para saber el valor de verdad de (p q) r ; cuando r es V

Debemos considerar que la operación principal es una implicación, donde el consecuente ( r ) es verdad.

Repasamos la tabla de verdad de la Repasamos la tabla de verdad de la implicación:implicación:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Vemos que la implicación es falsa solo cuando el consecuente es falso y el

antecedente verdadero.

Si nuestro consecuente Si nuestro consecuente r es V, , no importa si p q es verdad o falso

p q rAnalizamos solamente cuando r es verdad

VV

VV

VV

VV

V VV V

V FV F

V VV V

V FV F

ahora resolvemos como ahora resolvemos como cualquier tabla de cualquier tabla de

verdadverdad

p q

VV

FF

VV

FF

(p q) r

VV

VV

VV

VV

(p q) r es verdad

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

5 ii5 ii

Page 30: 01 lógica proposicional

5 ii) Para saber el valor de verdad de Para saber el valor de verdad de (p q) ( p q)  cuando q es V

Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad

Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación, donde las expresiones involucradas son (p q) y

( p q)si si q es V cualquier disyunción donde esté q, será cualquier disyunción donde esté q, será

verdad, luego verdad, luego (p q) es V

p q p qAnalizamos solamente

cuando q es verdad

VV

VV

V V F F

y p puede ser VV

VV

p q FF

FF

al ser q “V” ; al ser q “V” ; q es F cualquier conjunción donde esté cualquier conjunción donde esté q , será , será falso, falso,

Las expresiones (p q) y ( p q) tienen diferentes valores de verdad

luego : (p q) ( p q)  es falso

p q (p q) ( p q)

FF

FF

FF

FF

luego luego ( p q) es F

verdad

ó ó falso

VV

VV

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

Page 31: 01 lógica proposicional

6 i) p q es Falso solamente cuando p es V y q es F

En (p q) q ; si p es V (p q) es V

nos queda una implicación de nos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente antecedente verdadero y consecuente falsofalso

entonces entonces (p q) q es falso

6 ii)6 ii) si p si p q es Verdad puede pasar que: q es Verdad puede pasar que: p sea V y q sea Vp sea V y q sea V

p sea F y q sea Vp sea F y q sea V

p sea F y q sea Fp sea F y q sea FPara hallar Para hallar p p (p (p q) q) confeccionamos tabla confeccionamos tabla

de verdad con las tres las de verdad con las tres las alternativasalternativas posiblesposibles

p q

V VV V

F VF VF FF F

(p (p q)q)VV

FF

VV

p p (p (p q) q)

VV

FF

VV

Los valores de Los valores de verdad no son los verdad no son los

mismos para mismos para todas las todas las

situaciones situaciones

entonces entonces no es posible determinar el valor de no es posible determinar el valor de verdad verdad con los datos proporcionadoscon los datos proporcionados

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

6 iii6 iii

Page 32: 01 lógica proposicional

6 iii) sabiendo que p es Verdad y q es Verdad para hallar [ (p q) q] q hacemos tabla de verdad para esos valores

p q q

V VV V

sabiendo que sabiendo que q es es verdadverdad

FF

hallamos hallamos p q

p q

V

luego hacemos luego hacemos (p q) q

(p q) q

V

finalmente resolvemos finalmente resolvemos [ (p q) q] q

[ (p q) q] q

F

Resulta [ (p q) q] q Falso

Negación - Negación - ConjunciónConjunción

Implicación Implicación Doble Doble

ImplicaciónImplicación

Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción ExcluyenteExcluyente

Page 33: 01 lógica proposicional

Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a : las Leyes de De Morgan

“La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la conjunción de la negación de cada una de las proposiciones”

Simbólicamente Simbólicamente ( p q) p q

p q p

q p q (p q) p q ( p q) p q

V V F F V F F V

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F V V V

Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación

Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier

caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes

7 a-b7 a-b

8 i-ii8 i-ii

7 c7 c

8 iii8 iii

8 iv8 iv

Page 34: 01 lógica proposicional

SimbólicamenteSimbólicamente ( p q) p q

“La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones”

p q p

q p q (p q) p q (p q) p q

V V F F V F F V

V F F V F V V V

F V V F F V V V

F F V V F V V V

Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación

Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier

caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes

7 a-b7 a-b

8 i-ii8 i-ii

7 c7 c

8 iii8 iii 8 iv8 iv

Page 35: 01 lógica proposicional

Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La implicación es equivalente a la negación del

antecedente disyunción el consecuente”

p q p p q p q (p q) p q

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

Simbólicamente Simbólicamente p q p q

Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación

Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier

caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes

7 a-b7 a-b

8 i-ii8 i-ii

7 c7 c

8 iii8 iii

8 iv8 iv

Page 36: 01 lógica proposicional

p q p p q q q q p p (p (p q) q) (q (q p) p) p p q q (p q) [(p q) (q p)]

V V V V V V V

V F F V F F V

F V V F F F V

F F V V V V V

Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La doble implicación es equivalente a la

conjunción de las implicaciones recíprocas”

Simbólicamente Simbólicamente p q (p q) (q p)

Podemos verificar la Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble con una tabla de verdad de la doble implicaciónimplicación

Si la doble implicación de las dos Si la doble implicación de las dos expresiones resulta expresiones resulta verdad en cualquier

caso, las expresiones son equivalentes, las expresiones son equivalentes

7 a-b7 a-b

8 i-ii8 i-ii

7 c7 c

8 iii8 iii 8 iv8 iv

Page 37: 01 lógica proposicional

7 a) ( p q)

La negación de una La negación de una disyunción de proposicionesdisyunción de proposiciones

es equivalente a la conjunciónes equivalente a la conjunción

de la negación de de la negación de p y de q

( p) ( q)

(en este caso las (en este caso las proposiciones de la proposiciones de la

disyunción son disyunción son p ; q )

Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación

Así el resultado final esAsí el resultado final es

p q

p q

7 b) (p q) ( p q)

la negación afecta solamente al primer la negación afecta solamente al primer paréntesisparéntesis

( p q)

eliminamos una de las expresiones (eliminamos una de las expresiones ( p p q) pues las dos son idénticas q) pues las dos son idénticas (propiedad de idempotencia)

p q

Así el resultado final esAsí el resultado final es p q

( p q)

y el resto de la operación se escribe y el resto de la operación se escribe igualigual

7 c7 c

Page 38: 01 lógica proposicional

7 c) (p q) tenemos la negación de una doble implicacióntenemos la negación de una doble implicación

[ (p q) (q p)]

recuerde que recuerde que la doble implicación equivale a la conjunción de las implicaciones recíprocas

(p q) (q p)

[( p) q] [( q p)]

[( p) q] [( q) p] ( p q) ( q p)

Ley de De Morgan

la implicación equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el

consecuentepor De Morgan

Page 39: 01 lógica proposicional

8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que queremos negar

8 i) La encerramos entre paréntesis,

q r

y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el paréntesis.

( q r )

(( ))

viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la expresión la expresión obtenida buscando una expresión equivalente (leyes de De obtenida buscando una expresión equivalente (leyes de De

Morgan)Morgan) ( q ) r q r

(p q) r

La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en

el corchete

viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la expresión la expresión obtenida buscando una expresión equivalenteobtenida buscando una expresión equivalente

[ (p q) r ] [ (p q) r ] [ ( p q ) ] r

( p q ) r p q r

[ ]8 ii)8 ii) Para negar Para negar

8 iv8 iv8 iii8 iii

Page 40: 01 lógica proposicional

8 iii) escribimos la expresión que queremos negar

p (q r)La encerramos entre corchetes,

y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido

en el corchete

viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la expresión la expresión obtenida buscando una expresión equivalenteobtenida buscando una expresión equivalente

[ p (q r ) ] p (q r) p [ ( q ) r ]

p [ ( q ) r ]

[ ]

p ( q r )

aplicamos ley de De aplicamos ley de De MorganMorgan

La implicación es la disyunción La implicación es la disyunción de la negación del antecedente de la negación del antecedente

con el consecuentecon el consecuente

8 iv8 iv

Page 41: 01 lógica proposicional

8 iv) escribimos la expresión que queremos negar

La encerramos entre corchetes, ( p q ) ( r q )

y negamos todo lo que está comprendido en el corchete

[ ( p q) ( r q ) ]

[[ ]]

viene ahora la tarea de viene ahora la tarea de transformartransformar la la expresión obtenida buscando una expresión obtenida buscando una

expresión equivalenteexpresión equivalenteLa doble implicación es la conjunción La doble implicación es la conjunción

de las implicaciones recíprocasde las implicaciones recíprocas

{ [ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q) ] }

La implicación es la disyunción La implicación es la disyunción de la negación del de la negación del antecedente con el antecedente con el

consecuenteconsecuente

{ [ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q ) ] }

[ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q ) ]

[ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q ) ( p q ) ]

[ ( p q) ( r q ) ] [ ( r q) ( p q ) ]

p p q q p p q q

Page 42: 01 lógica proposicional

Tautología o Ley LógicaTautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen

Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo

componen, la proposición es una ContradicciónContradicción..

p q p q p p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

p p q

Es Es tautologíatautología

p q p

P q (p q)

(p q) p

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

F

9 i9 i 9 ii9 ii

9 iii-iv9 iii-iv

Page 43: 01 lógica proposicional

en este caso ( p q ) r

p q r p q ( p q ) r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

se realiza la tabla de verdad correspondiente

9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología,

si todos los valores de verdad de la columna de los resultados

fueran verdaderos, la proposición sería tautología

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

en la segunda fila en la segunda fila aparece un valor de aparece un valor de

verdad falsoverdad falsoesta proposición que tiene valores esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) verdad falso (según sea p y/ó q)

es una es una contingenciacontingencia

9 iii-iv9 iii-iv9 ii9 ii

Page 44: 01 lógica proposicional

p q r p q q r (p q) (q r) p r [ (p q) (q r) ] (p r)

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

toda la columna de resultados es verdadtoda la columna de resultados es verdad

9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

[ (p q) (q r) ] (p r) es tautología

9 iii-iv9 iii-iv

Page 45: 01 lógica proposicional

9 iii) si p [ p q ] es tautología también podemos resolver con tabla de verdad

p q p q p [ p q ]

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

La doble implicación es verdad cuando ambas La doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad (las dos

falsas ó las dos verdad)falsas ó las dos verdad)La conjunción es falsa si una de las La conjunción es falsa si una de las proposiciones es falsa (o ambas) proposiciones es falsa (o ambas)

esta proposición que tiene valores esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q)verdad falso (según sea p y/ó q)

9 iv) 9 iv) (p r) (r p) p r p r r p (p r) (r p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

La implicación es falsa solo La implicación es falsa solo cuando el antecedente es cuando el antecedente es

verdadero y el consecuente es verdadero y el consecuente es falsofalsoesta proposición esta proposición tiene valores de tiene valores de

verdad verdadero verdad verdadero y valores de y valores de verdad falso verdad falso

(según sea p y/ó (según sea p y/ó q)q)

p [ p q ] es contingenciacontingencia

(p r) (r p) es contingenciacontingencia

Page 46: 01 lógica proposicional

10)10) El viajero se encuentra frente a El viajero se encuentra frente a dos caminos dos caminos

desea ir a la Capital, y el desea ir a la Capital, y el único que puede indicarle único que puede indicarle el camino correcto es el el camino correcto es el

Sr. ZSr. Z(que parece no estar muy (que parece no estar muy

dispuesto)dispuesto)Contesta las preguntas solo con “si” o con “no” y solo una pregunta

y si es mentiroso, miente y si es mentiroso, miente siempre . . . ¿ o siempre dice la siempre . . . ¿ o siempre dice la

verdad . . . ?verdad . . . ?

Es un buen comienzo Es un buen comienzo diferenciar los caminos, al de la los caminos, al de la izquierda llamo camino A y al de la derecha camino Bizquierda llamo camino A y al de la derecha camino B

AABB

Supongamos que el camino A es el Supongamos que el camino A es el correctocorrecto

si el viajero señala el camino A y si el viajero señala el camino A y pregunta:pregunta:

“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”

Si es de los que dicen la verdad, Si es de los que dicen la verdad, como es el camino correcto como es el camino correcto

responderá . . .responderá . . .

SI !SI !

Porque si el viajero hiciera la pregunta Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este es el camino que lleva a la “¿ este es el camino que lleva a la

Capital ?” piensa decir la verdad . . .Capital ?” piensa decir la verdad . . .

SI !SI !

SISISISI

Page 47: 01 lógica proposicional

AABBfrente a la misma frente a la misma

pregunta : Señalando el pregunta : Señalando el camino Acamino A

“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me

respondería ?”Si el Sr. ZSi el Sr. Zes de los que mienten siempre dirá . . . es de los que mienten siempre dirá . . .

SI !SI !él sabe que el camino señalado es el correcto, él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el pero el

viajero no pregunta por el caminoviajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital , que lleva a la Capital , sino por una posible respuestasino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá camino que lleva a la Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá

“no”. Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y “no”. Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que luego, a la pregunta responderá “no”decir “si” sabiendo que luego, a la pregunta responderá “no”

NO NO !!

si el viajero preguntara (que no puede si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la

Capital?” , él piensa mentir . . .Capital?” , él piensa mentir . . .

Aunque los dos Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI”“SI”

Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de los que dicen la verdad, responde SI, cuando de los que dicen la verdad, responde SI, cuando

se señala el camino correctose señala el camino correcto

SISI

SISI

Page 48: 01 lógica proposicional

Señalando ahora el Señalando ahora el camino B (camino camino B (camino

equivocado)equivocado)

AA BB

frente a la misma frente a la misma pregunta :pregunta :

“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me

respondería ?”

Si el Sr. ZSi el Sr. Z

NO NO !! NO !NO !

es de los que dicen la es de los que dicen la verdad siempre dirá . . . verdad siempre dirá . . .

porque si el viajero hiciera la pregunta porque si el viajero hiciera la pregunta “¿este es el camino que lleva a la “¿este es el camino que lleva a la

Capital?”, piensa decir la verdad . . .Capital?”, piensa decir la verdad . . .

Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .

NONO

NONO

Page 49: 01 lógica proposicional

AABBfrente a la misma frente a la misma

pregunta : señalando el pregunta : señalando el camino Bcamino B

“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me

respondería ?” dirá . . . dirá . . .

NO !NO !Z sabe que el camino señalado es el correcto, Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el pero el

viajero no pregunta por el caminoviajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital , que lleva a la Capital , sino por una posible respuestasino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el a la pregunta “¿este es el

camino que lleva a la Capital?” , recién entonces dirá “si” camino que lleva a la Capital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco perderá esta oportunidad de (para mentir). Pero tampoco perderá esta oportunidad de

mentir y decir que va a responder (la verdad),que el camino mentir y decir que va a responder (la verdad),que el camino no leva a la Capital””no leva a la Capital””

SI !SI !

si el viajero preguntara (que no puede si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a hacerlo) “¿este es el camino que lleva a

la Capital?” , él piensa mentir . . .la Capital?” , él piensa mentir . . .

Aunque los dos Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO”“NO”

Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de los que dicen la verdad, responde NO si el de los que dicen la verdad, responde NO si el

camino señalado no es el correctocamino señalado no es el correcto

NONO

SISI

Page 50: 01 lógica proposicional

Como la respuesta a la pregunta

Es la misma, independientementeEs la misma, independientemente

o del que miente . . .o del que miente . . .

“Si yo le preguntara si este camino lleva

a la Capital Ud. ¿ Qué me

respondería ?”

Así nuestro viajero, que Así nuestro viajero, que pudo pudo formular una sola pregunta que formular una sola pregunta que descifra el enigma,descifra el enigma, encontró el encontró el

camino correcto camino correcto Y hacia la Capital se Y hacia la Capital se

encamina, eso sí, algo encamina, eso sí, algo perturbado por el esfuerzoperturbado por el esfuerzo

que se trate del que dice la verdad . que se trate del que dice la verdad . . .. .