MATEMÁTICAS BÁSICAS.

1.- Factores y ceros de polinomios.

Consideremos el polinomio 01

1

1)( axaxaxaxP n

n

n

n

. Si 0)( bP entonces se dice

que b es un cero del polinomio y una raíz de la ecuación 0)( xP . La expresión )( bx es un factor

del polinomio.

2.- Teorema de las raíces racionales.

Si 01

1

1)( axaxaxaxP n

n

n

n

tiene coeficientes enteros, entonces toda raíz racional de

0)( xP es de la forma s

rx , siendo r un factor de

0a y s un factor de na .

3.- Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n tiene n ceros (no necesariamente distintos). Aunque todos ellos pueden ser

imaginarios como en el caso de 1)( 2 xxP , los polinomios reales de grado impar deben tener un

cero real al menos.

4.- Ecuación de segundo grado.

cxbxaxP 2)( . Si 042 cab , los ceros reales de )(xP son

a

cabbx

2

42

5. Completación de cuadrado. 2

2

12

2

122 )()( bcbxbxcxbx

])([)( 2

2

12

2

12 bcbxcxbx

6.- Teorema del binomio (Productos notables).

6.1.- 222 2)( axaxax

6.2.- 222 2)( axaxax

6.3.- 32233 33)( aaxaxxax

6.4.- 32233 33)( aaxaxxax

6.5.- 4322344 464)( aaxaxaxxax

6.6.- 4322344 464)( aaxaxaxxax

6.7.- nnnnnn aanaxnn

axnxax

1221

!2

)1()(

6.8.- nnnnnn aanaxnn

axnxax 1221

!2

)1()(

6.9.- cbcabacbacba 222)( 2222

6.10.- cbabaccabcbacbacba 6)(3)(3)(3)( 2223333

7.- Algunas factorizaciones.

7.1.- )()(22 axaxax

7.2.- )()( 2233 axaxaxax

7.3.- )()( 2233 axaxaxax

7.4.- )()()( 2244 axaxaxax

7.5.- )2()2( 222244 axaxaxaxax

7.6.- )()( 121 nnnnn axaxaxax

7.7. )()( 121 nnnnn axaxaxax (n impar).

7.8.- )()(22 nnnnnn axaxax

8.- Factorización por agrupamiento.

)()()()( 2223 bxadxcdxcbdxcxadbxcbxdaxca

9.- Operaciones aritméticas.

9.1.- )( cbacaba 9.2.- c

ba

c

b

c

a 9.3.-

db

cbda

d

c

b

a

9.4.-

d

ca

d

ca

9.5.-

db

ca

d

c

b

a

9.6.- cd

ab

dc

ba

9.7.-

cb

da

d

c

b

a

9.8.-

cb

a

c

b

a

c

b

a

1

9.9.-

b

ca

c

b

a

c

b

a

1

9.10.- cba

cba

a

caba

)(

10.- Exponentes.

10.1.- 10 a ( 0a ) 10.2.- x

x

aa

1 10.3.- yxyx aaa

10.4.- yx

y

x

aa

a 10.5.- yxyx aa )( 10.6.- xxx baba )(

10.7.- x

xx

b

a

b

a

11.- Radicales.

11.1.- 2

1

aa 11.2.- naan1

11.3.- n

m

aan m

11.4.- nnn baba 11.5.- n

n

n

b

a

b

a

12.- Desigualdades.

Definiciones

Dados a, b R

12.1.- 0a si y sólo si a es positivo.

12.2.- 0a si y sólo si a es negativo.

12.3.- ba si y sólo si ab es positivo.

12.4.- ba si y sólo si ba es positivo.

12.5.- ba si y sólo si ab es positivo ó ba .

12.6.- ba si y sólo si ba es positivo ó ba .

Propiedades.

Dados a, b, c, d R

12.7.- Si 0a y 0b , entonces 0ba

12.8.- Si 0a y 0b , entonces 0ba

12.9.- Si ba y cb , entonces ca

12.10.- Si ba , entonces cbca

12.11.- Si ba y dc , entonces dbca

12.12.- Si ba y 0c , entonces cbca

12.13.- Si ba y 0c , entonces cbca

12.14.- Si bxa , entonces ax y bx x está entre a y b sin incluir los extremos.

12.15.- Si bxa , entonces ax y bx x está entre a y b incluyendo los extremos.

13.- Intervalos.

Para cada uno de los intervalos ),( ba , ],[ ba , ],( ba y ),[ ba , los números a y b se denominan

extremos del intervalo.

13.1.- Intervalo abierto: }/{),( bxaxba

13.2.- Intervalo cerrado: }/{],[ bxaxba

13.3.- Intervalo semiabierto por la izquierda: }/{],( bxaxba

13.4.- Intervalo semiabierto por la derecha: }/{),[ bxaxba

13.5.- }/{),( axxa

13.6.- }/{),[ axxa

13.7.- }/{),( bxxb

13.8.- }/{],( bxxb

13.9.- ),(

Operaciones con intervalos.

Si ],[],[ dcba , entonces:

13.10.- ],[],[],[ dcdcba

13.11.- ],[],[],[ badcba

13.12.- Al intersectar el intervalo ],[ ba con ),( , el resultado es el intervalo ],[ ba .

13.13.- Si ],[ ba y ],[ dc son excluyentes: ],[],[ dcba (El conjunto vacio).

14.- Definición de valor absoluto.

Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x es x si x es no negativo, y –

x, si x es negativo. Con símbolos se escribe

0Si

0Si

xx

xxx

Propiedades.

14.1.- axaax , donde 0a

14.2.- axóaxax , donde 0a

Dados a, b R

14.3.- baba 14.4.-

b

a

b

a si 0b

14.5.- baba 14.6.- baba

14.7.- baba

15- Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, si a y b son las longitudes de los lados perpendiculares y c es la longitud de

la hipotenusa, entonces 222 cba .

“El cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma del cuadrado de los dos lados más pequeños (catetos)”.

Los puntos A, B y C en la figura forman un triángulo rectángulo si se cumple 222

CBCABA ddd .

16.- Errores a evitar.

Error. Forma correcta. Ejemplo.

16.1.- 222)( axax 222 2)( axaxax Hacer a = x = 1

16.2.- 222)( axax 222 2)( axaxax Hacer x = 2, a = 1

16.3.- b

a

x

a

bx

a

bx

a

bx

a

Hacer a = b = x = 1

16.4.- xba

xba

a

xb

a

xb

a

a

a

xba

1 Hacer a = b = x = 1

16.5.- xba

xba

1

a

xb

a

xb

a

a

a

xba

1 Hacer a = b = x = 2

16.6.- c

b

c

a

c

ba b

c

a

c

ba ó

c

ba

c

ba Hacer a = 4, b = 8, c =2

16.7.- 532 )( xx 622232 )( xxxxx Hacer x = 2

16.8.- 2222 axax 2222 axax Hacer x = 3 y a = 4

16.9.- axax 22 2222 axax Hacer x = 3 y a = 4

16.10.- axax 2 22 axax Hacer x = 9 y a = 4

16.11.- 2222 axax )( 2222 axax

16.12.- nmnm baba // )()( nmmnnm baba /// )()(

16.13.- nn cabacba )()( nnnn cabacba )()( /1/1

16.14.- nmnm cabacba // )()( nmmnmnnm cabacba //// )()(

16.15.- bxbaxba )1( bxbaxba )1(

16.16.- a

xb

b

a

x

ba

x

b

a

x

b

a

x

1

15

2

1

5

3

2

5

3

2

16.17.-

b

xa

b

a

x

a

xb

b

a

x

b

a

x

1

3

10

5

3

1

2

5

3

2

16.18.- 00

k existe No0

k

16.19.- b

a

b

a

sen

sen b

a

b

a

sen

sen

sen

sen

16.20.- baba loglog)(log )(log)(log baba

16.21.- baba loglog)(log )(log)(log baba

16.22.- baba log.log).(log baba loglog).(log

16.23.- baba log/log)/(log baba loglog)/(log

16.24.- anan lnln nn aa )(lnln

16.25.- anan loglog nn aa )(loglog

Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / medinawj@gmail.com /

PIN: 58B3CF2D – 569A409B. http://www.slideshare.net/asesoracademico/

Abril 2016.