013-04_Simetría y Teoría de Grupos

SimetríaSimetría

Operación de Simetría :Movimiento de un objeto hacia una orientación equivalente ó indistinguible

Elemento de Simetría :Un punto, línea o plano alrededor el cual una operación de simetría es llevado a acabo

Operaciones y elementos de simetríaOperaciones y elementos de simetría

Existen 5 tipos de operaciones/elementos de simetría

1. Identidad1. Identidad: esta operación hace nada y se simboliza por E. El elemento es el objeto entero

2. Rotación Propia2. Rotación PropiaRotación alrededor de un eje por un ángulo de 22/n/n

mnC

nnn

nn

CC

EC

1

Rotation 2m/n

C4 y C2

1

2

3

4

PtCl4

El eje de rotación de mayor orden es llamado eje principal.

Ejemplos:

FNO2?

H2O NH3

3. Reflexión: 3. Reflexión: Reflexión especular a través de un plano

NH3

fenantreno

coroneno

4. Inversión: 4. Inversión: ii Centro de inversion ó centro de simetría

(x,y,z) (-x,-y,-z)

)(

)(

oddnii

evennEin

n

5. Rotación Impropia: S5. Rotación Impropia: Snn

Rotación alrededor de un eje por un ángulo de 2/n seguido de una reflexión a través de un plano perpendicular: ( La simetría Cn,h no es necesaria para que exista Sn)

S8 , TaF8

Tetrafluoruro de Xenón: XeF4

'4 2 2 2 4 2, , , 2 , 2 , , , 2 ', 2 ", ,h v vE i C C C C S S

Una molécula puede tener varios elementos de simetría !

BF3

323' ,3,,3,, SCCE vh

Simetría y teoría de gruposSimetría y teoría de gruposSimetría y teoría de gruposSimetría y teoría de gruposEn álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría.

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría.

Todas las moléculas pueden considerarse desde el punto de vista de la simetría

Todas las moléculas pueden considerarse desde el punto de vista de la simetría

Elementos y operaciones de simetríaElementos y operaciones de simetríaElementos y operaciones de simetríaElementos y operaciones de simetría


(Revisar clase 3)(Revisar clase 3)

Nomenclatura y notación de ejes:Nomenclatura y notación de ejes:

RotaciónRotación

Reflexión: a través de un plano Reflexión: a través de un plano

Definición: Un grupo es una colección de elementos:

1) el cual es cerrado bajo operación binaria asociativaasociativa de un solo valorCierre: A, B G AB GAsociatividad: A, B, C A(BC)= (AB)C

2) el cual contiene un solo elemento que satisface la ley de identidadidentidadIdentidad: existe E G de manera tal que AE=EA=A para todos los A G

3) el cual posee un elemento reciprocoreciproco para cada elemento de la colecciónInversa: A G existe A-1 G de manera tal que AA-1 =A-1A=E

Teoría de gruposTeoría de gruposTeoría de gruposTeoría de grupos

Orden de un grupoOrden de un grupo:: el numero de elementos que este contiene

Example: 1. set of all real number, under addition, order =

Closure: x + y GAssociativity: x + (y +z) =(x+y) +zIdentity: x +0 =0+x =xInverse: x +(-x) =(-x)+x =0

2. set of all integers, under addition3. {set of all real number}-{0}, under multiplication

Closure: x * y GAssociativity: x * (y *z) =(x*y) *zIdentity: x *1 =1*x =xInverse: x *(1/x) =(1/x)*x =1

4. {+1, -1}5. { 1, i}

Simetría de un objeto grupo puntual (simetría alrededor de un punto)

{E, C2,v,v'} = grupo puntual C2v

Cualquier objeto (ó molécula) puede ser clasificado en un grupo puntual determinado únicamente por su simetría.

Clasificación sistemática de las moléculas en grupos puntualesClasificación sistemática de las moléculas en grupos puntuales

Clasificación sistemática de las moléculas en grupos puntuales de simetría

Clasificación sistemática de las moléculas en grupos puntuales de simetría

Oh octaedral

Ejs: W(CO) 6, SF6,muchos complejos de metales de transición

Td tetraedral

Ejs: metano, CCl4,muchos complejos de metales de transición,PO4

3-, SO42-, etc.

Ih icosaedral

Ejs: B6H122-, C60

(no es un grupo puntual común)

Grupos de alta simetría

Grupos con baja simetría:

{E}=C1

{E,} =Cs

{E, i} =Ci

ONCl, CsC1

H

H

ClCl

F

F

Ci

Grupo C1

Contiene solo el operador E

es quiral, escencialmente no tiene simetría

C

H

CH3

NH2

HOOC

la mayoría de los aminoácidos y muchas moleculas orgánicas

Grupos Sn (n = 1,2 tienen nombres especiales)

Cs (S1) Ci (S2) S3, S4 ...

O

H

H

H

trans-cinnamaldehyde

OHHCO2H

OH HCO2H

meso-tartaric acid a propellane (S4)

Contiene solo las

operaciones E y

Contiene solo las

operaciones E y i

Contiene las operaciones E, Sn y Cn/2 (si n es par)

Grupos tipo C Poseen un eje principal pero no uno secundario

Cl

Cl

quiral

trans-1,2-dichlorocyclohexane (C2)

NH

HH

OH H

amoniaco (C3v)

agua (C2v)

Cl

HCl

H

trans-dichloroethene (C2h)

Cn

Solo eje principal Cn

Cnv

Eje principal Cn más n planos v

Cnh

Eje principal Cn más un plano h

H2O2:

C2

H2O2:

C2

B(OH)3:

C3h

B(OH)3:

C3h

Grupos tipo D (have a principal axis and n 2-fold secondary axes)

Dn Dnh Dnd

principle Cn axis also contains a also containsand n 2-fold hmirror plane n d planessecondary axes only and n v planes (and S2n)

(and Sn)

C6H6

D6h

P

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

PCl5 D3h HH

HHH

H

ethane D3d

quiral

Fe

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

Fe(C2O4)34- (D3) Fe(C5H5)2

D5h

Fe(C5H5)2

D5h

Moléculas Lineales

Cv Dh

asymmetrical symmetricalabout z axis about z axiscontains C and v contains C and v

AND a h, i, S

C O C OO

HCN HCN H2 H2

Ejemplo:

CC2h2h

Ejemplo:

CC3h3h

Ejemplo:

DD2h2h

Ejemplo:

DD3h3h

Ejemplo:

DD4h4h

Ejemplo:

DD2d2d

Ejemplo:

DD3d3d

Ejemplo:

SS44

Ejercicio:

¿?¿?

La molécula de peróxido de hidrógeno, H2O2 , puede existir en una de tres estructuras diferentes, pero todas ellas son de similar energía y existen en forma simultanea. Encuentre el grupo puntual para cada estructura.

HO O

HH

O OH

O OH

H

(trans) (cis)

(mas estable)(escalonada)

Ejercicio:

Ejemplo:

DD3h3h

http://symmetry.otterbein.edu/index.htmlhttp://symmetry.otterbein.edu/index.html

http://www.molwave.com/software/3dmolsym/3dmolsym.htmhttp://www.molwave.com/software/3dmolsym/3dmolsym.htm

Álgebra de matricesÁlgebra de matrices

Representaciones matriciales de operaciones de simetríaRepresentaciones matriciales de operaciones de simetría

v’ (xz)

Caracteres (trazas)Caracteres (trazas)

Para cada grupo puntualgrupo puntual, una tabla de caracteres resume la información sobre sus información sobre sus operaciones de simetríaoperaciones de simetría y sobre sus representaciones.

La tabla consiste en una serie de caracteres que representan cómo una representación irreducible se transforma cuando se aplica una cierta operación de simetría.

Para cada grupo puntualgrupo puntual, una tabla de caracteres resume la información sobre sus información sobre sus operaciones de simetríaoperaciones de simetría y sobre sus representaciones.

La tabla consiste en una serie de caracteres que representan cómo una representación irreducible se transforma cuando se aplica una cierta operación de simetría.

Tablas de caracteres:Tablas de caracteres:

1. El número total de operaciones de simetría es igual al orden del grupo, ‘h’.

2. Las operaciones de simetría en el grupo están agrupadas por clases. Todas las operaciones de simetría de una clase (p. ej, rotaciones C3, reflexiones h , etc.), tienen los mismos caracteres.

3. El número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de simetría, lo cual implica que la tabla de caracteres tiene que tener el mismo número de filas que de columnas.

1. El número total de operaciones de simetría es igual al orden del grupo, ‘h’.

2. Las operaciones de simetría en el grupo están agrupadas por clases. Todas las operaciones de simetría de una clase (p. ej, rotaciones C3, reflexiones h , etc.), tienen los mismos caracteres.

3. El número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de simetría, lo cual implica que la tabla de caracteres tiene que tener el mismo número de filas que de columnas.

Tablas de caracteres: propiedadesTablas de caracteres: propiedades

4. La suma de los cuadrados de las dimensiones de cada representación (traza de E), es igual al número de operaciones de simetría del grupo, que es el orden del grupo.

5. La suma de los cuadrados de los caracteres de cada representación irreducible es igual al número de operaciones del grupo.

6. Cada par de representaciones irreducibles cumple el principio de ortogonalidad.

7. Cada tabla de caracteres debe contener una representación irreducible totalmente simétrica.

4. La suma de los cuadrados de las dimensiones de cada representación (traza de E), es igual al número de operaciones de simetría del grupo, que es el orden del grupo.

5. La suma de los cuadrados de los caracteres de cada representación irreducible es igual al número de operaciones del grupo.

6. Cada par de representaciones irreducibles cumple el principio de ortogonalidad.

7. Cada tabla de caracteres debe contener una representación irreducible totalmente simétrica.

comillas

Propiedades moleculares y simetríaPropiedades moleculares y simetría

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