013-Kriging

MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE

08 - Kriging08 - Kriging

Estimadores lineales ponderadosEstimadores lineales ponderados Kriging SimpleKriging Simple Kriging OrdinarioKriging Ordinario Propiedades del KrigingPropiedades del Kriging Plan de KrigingPlan de Kriging ValidaciónValidación


La idea básica es estimar el valor de una variable La idea básica es estimar el valor de una variable regionalizada (por ejemplo, la ley de cobre total) en una (por ejemplo, la ley de cobre total) en una posición posición uu donde no conocemos el valor verdadero, donde no conocemos el valor verdadero, planteando:planteando:

donde Z*(donde Z*(uu) es el valor estimado para la posición ) es el valor estimado para la posición uu, {Z(, {Z(uuii), ), i=1...n} son los valores de los datos en las posiciones {i=1...n} son los valores de los datos en las posiciones {uuii, , i=1...n}, i=1...n}, aa es un coeficiente aditivo y { es un coeficiente aditivo y {ii, i=1...n} son , i=1...n} son ponderadores.ponderadores.

)()(1

*i

n

ii ZaZ uu

Estimadores lineales Estimadores lineales ponderadosponderados



¿Qué factores podrían ¿Qué factores podrían considerarse en la considerarse en la asignación de los asignación de los ponderadores?ponderadores?

cercaníacercanía a la posición que a la posición que está siendo estimadaestá siendo estimada

redundanciaredundancia entre los entre los valores de datosvalores de datos

continuidad o continuidad o variabilidad espacialvariabilidad espacial

anisotropíaanisotropía (dirección (dirección preferencial)preferencial)



Estimador del Estimador del más cercano más cercano vecinovecino: atribuye toda la ponderación al dato más cercano al sitio a estimar (ii = 1 para el dato más cercano, ii = 0 para los otros datos, a = 0)

También llamado “estimador También llamado “estimador por polígonos de influencia”, por polígonos de influencia”, puesto que el sitio a estimar puesto que el sitio a estimar se encuentra en el polígono se encuentra en el polígono de influencia del dato que se de influencia del dato que se lleva toda la ponderaciónlleva toda la ponderación



Estimador del Estimador del inverso de la distanciainverso de la distancia: atribuye a cada data una ponderación proporcional al inverso de su distancia al sitio a estimar

Existen variantes, donde se eleva la distancia a una cierta potencia:Existen variantes, donde se eleva la distancia a una cierta potencia:

donde donde ddii es la distancia entre el dato nº es la distancia entre el dato nºii y la posición que se está y la posición que se está estimando, estimando, cc es una constante pequeña, y es una constante pequeña, y ww es un valor usualmente es un valor usualmente comprendido entre 1 y 3comprendido entre 1 y 3

n

i wi

wi

i

dc

dca

1

1

1

0



Inverso de la distancia Inverso del cuadrado de la distancia


Los estimadores anteriores son sencillos de aplicar, pero Los estimadores anteriores son sencillos de aplicar, pero la asignación de la ponderación sólo depende del criterio la asignación de la ponderación sólo depende del criterio de cercanía.de cercanía.

La idea del método de La idea del método de krigingkriging es incorporar los otros es incorporar los otros criterios (redundancias entre datos, continuidad espacial, criterios (redundancias entre datos, continuidad espacial, anisotropía) mediante el uso del anisotropía) mediante el uso del variograma. variograma.

De este modo, se logra obtener estimaciones más De este modo, se logra obtener estimaciones más precisas precisas → → mejor planificación, mejor selección estéril / mineral, + mejor planificación, mejor selección estéril / mineral, + $$$$$$




KrigingKriging es “una colección de técnicas generalizadas de es “una colección de técnicas generalizadas de regresión lineal para minimizar una varianza de estimación regresión lineal para minimizar una varianza de estimación definida de un modelo a priori de covarianza” (R. Olea, 1991).definida de un modelo a priori de covarianza” (R. Olea, 1991).

El Kriging es el El Kriging es el mejor estimador lineal insesgadomejor estimador lineal insesgado ( (Best Linear Best Linear Unbiased EstimatorUnbiased Estimator, BLUE) , BLUE)

““lineal” porque es una combinación lineal ponderada de los datoslineal” porque es una combinación lineal ponderada de los datos

““insesgado” porque el error de estimación tendrá una media insesgado” porque el error de estimación tendrá una media igual a 0igual a 0

““mejor” en el sentido del error de varianza mínima para un mejor” en el sentido del error de varianza mínima para un modelo dado de covarianza / variogramamodelo dado de covarianza / variograma



Existen varios tipos de kriging:Existen varios tipos de kriging:

Kriging simpleKriging simple: media m conocida: media m conocida Kriging ordinarioKriging ordinario: media m desconocida: media m desconocida Kriging con derivaKriging con deriva: media desconocida que depende de cada posición m(: media desconocida que depende de cada posición m(uu))

Kriging universalKriging universal - intrínseco: la deriva es un polinomio de las coordenadas - intrínseco: la deriva es un polinomio de las coordenadas Kriging trigonométricoKriging trigonométrico: la deriva es una función periódica: la deriva es una función periódica Kriging con deriva externaKriging con deriva externa: la deriva es proporcional a una variable secundaria: la deriva es proporcional a una variable secundaria

Kriging no linealKriging no lineal: aplica kriging a una transformada de la variable: aplica kriging a una transformada de la variable Kriging lognormalKriging lognormal: cuando el logaritmo de los datos tiene una distribución normal: cuando el logaritmo de los datos tiene una distribución normal Kriging de indicadoresKriging de indicadores: aplica kriging a datos binarios (indicadores) que codifican : aplica kriging a datos binarios (indicadores) que codifican

probabilidades de pertenecer a un tipo de roca o de sobrepasar una ley de corteprobabilidades de pertenecer a un tipo de roca o de sobrepasar una ley de corte Kriging disyuntivoKriging disyuntivo: aplica kriging a factores que descomponen la variable a estimar: aplica kriging a factores que descomponen la variable a estimar Kriging multi-GaussianoKriging multi-Gaussiano: aplica kriging a la transformada Gaussiana de los datos: aplica kriging a la transformada Gaussiana de los datos

Kriging multivariable = cokrigingKriging multivariable = cokriging Etc.Etc.


Kriging SimpleKriging Simple

HipótesisHipótesis

1) Se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada

2) 2) También se conoce el variograma (h), el cual presenta una meseta:

() = 2

existe una funcion de covarianza, dada por C(h) = 2 – (h)



Queremos construir el “mejor estimador lineal insesgado” Queremos construir el “mejor estimador lineal insesgado” para estimar el valor en un sitio para estimar el valor en un sitio uu::

Para determinar el coeficiente Para determinar el coeficiente aa y los ponderadores { y los ponderadores {ii, , i=1...n}, se examina las condiciones de insesgo y de i=1...n}, se examina las condiciones de insesgo y de varianza mínima.varianza mínima.

)()(1

*i

n

ii ZaZ uu



Condición de insesgoCondición de insesgo

El valor esperado del error de estimación es:

Para que este valor esperado sea nulo, se debe plantear

mma

ZEZEaZZE

n

ii

i

n

ii

1

1

* )}({)}({)}()({ uuuu

man

ii

}1{1



Condición de varianza mínimaCondición de varianza mínima

La varianza del error de estimación se expresa en función de la covarianza

a2-2ab+b2)}(var{ * uZ )}(),(cov{2 * uu ZZ )}(var{ uZ

)}(),(cov{1 1

jij

n

i

n

ji ZZ uu

)(1 1

jij

n

i

n

ji C uu

)}()(var{ * uu ZZ

=

=

=


Kriging SimpleKriging Simple Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del

error) pueden determinarse tomando derivadas parciales con error) pueden determinarse tomando derivadas parciales con respecto a los ponderadoresrespecto a los ponderadores

e igualándola a cero:e igualándola a cero:

Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores desconocidos es el sistema de desconocidos es el sistema de kriging simplekriging simple (KS) (KS)

n

jijij

i

niCC1

,...1,)(2)(2][

uuuu

n

jijij niCC

1

,...1,)()( uuuu


Kriging SimpleKriging Simple En notación matricial:En notación matricial:

)(

)(

)()(

)()( 11

1

111

uu

uu

uuuu

uuuu

nnnnn

n

C

C

CC

CC

mide las correlaciones (redundancias) entre

datos

mide las correlaciones entre

datos y valor a estimar


Kriging SimpleKriging Simple El estimador se escribe:El estimador se escribe:

La media aparece con un ponderador que es el complemento La media aparece con un ponderador que es el complemento de la ponderación acumulada de los datos. Mientras más lejos de la ponderación acumulada de los datos. Mientras más lejos el sitio el sitio uu de los datos, menores serán sus ponderadores y de los datos, menores serán sus ponderadores y mayor será la ponderación de la media. De cierto modo, mayor será la ponderación de la media. De cierto modo, la la media “compensa” la falta de información aportada por media “compensa” la falta de información aportada por los datoslos datos

mZZn

iii

n

ii

}1{)()(11

* uu



Varianza del errorVarianza del error

Asimismo, es posible determinar el valor de la varianza del Asimismo, es posible determinar el valor de la varianza del error (que se minimizó). Esta varianza lleva el nombre de error (que se minimizó). Esta varianza lleva el nombre de ““varianza de krigingvarianza de kriging”, aunque se refiere a la varianza del ”, aunque se refiere a la varianza del errorerror de kriging: de kriging:

Puede calcularse sin conocer los valores de los datos. Puede calcularse sin conocer los valores de los datos.

Se demuestra que esta varianza siempre es menor o igual a Se demuestra que esta varianza siempre es menor o igual a 22..

)()(1

22 uuu

i

n

iiKS C


Kriging Simple: ejemploKriging Simple: ejemplo Hay tres ecuaciones para Hay tres ecuaciones para

determinar los tres ponderadores:determinar los tres ponderadores:

En notación matricialEn notación matricial

Recordar que C(h) = C(0) - Recordar que C(h) = C(0) - (h)(h)

)3,0(C)3,3(C)2,3(C)1,3(C

)2,0(C)3,2(C)2,2(C)1,2(C

)1,0(C)3,1(C)2,1(C)1,1(C

321

321

321

)3,0(C

)2,0(C

)1,0(C

)3,3(C)2,3(C)1,3(C

)3,2(C)2,2(C)1,2(C

)3,1(C)2,1(C)1,1(C

3

2

1

1,2

2,3

0,3

0,20,1

1,3

2,3

0,3

1,3

2,3

0,3

1,2 1,3

2,3

0,30,1

1,2 1,3

2,3

0,3

0,20,1

1,2 1,3

2,3

0,30,1

1,2

2,3

0,1

1,2

0,2

2,3

0,1

1,2 1,3

0,2

2,3

0,1

1,2


Kriging Simple: ejemploKriging Simple: ejemplo Kriging simple con un efecto pepita cero y un Kriging simple con un efecto pepita cero y un

variograma esférico isótropo con tres alcances variograma esférico isótropo con tres alcances diferentesdiferentes

λ 1 λ 2 λ 3alcance = 10 0.781 0.012 0.065

5 0.648 -0.027 0.0011 0.000 0.000 0.000

Cambio del alcance

Distancia

alcance = 1 alcance = 5

alcance = 10


Kriging Simple: ejemploKriging Simple: ejemplo Kriging simple con un variograma esférico isótropo con Kriging simple con un variograma esférico isótropo con

alcance 10 y tres diferentes efectos pepitaalcance 10 y tres diferentes efectos pepita

1 2 3

pepita = 0% 0.781 0.012 0.06525% 0.468 0.203 0.06475% 0.172 0.130 0.053

100% 0.000 0.000 0.000

Distancia

100%75%

pepita = 25%

Cambio del efecto pepita


Kriging Simple: ejemploKriging Simple: ejemplo Kriging simple con un variograma esférico con un efecto Kriging simple con un variograma esférico con un efecto

pepita del 25%, un alcance principal de 10 y alcances pepita del 25%, un alcance principal de 10 y alcances menores diferentesmenores diferentes

1 2 3

anisotropía 1:1 0.468 0.203 0.0642:1 0.395 0.087 0.1415:1 0.152 -0.055 0.232

20:1 0.000 0.000 0.239

Cambio de anisotropía


Kriging OrdinarioKriging Ordinario

HipótesisHipótesis

1) No se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada. Esto permite generalizar el kriging a situaciones donde esta media no es constante en el espacio: la media puede variar de una región a otra, siempre que sea aproximadamente constante en cada vecindad de kriging.

2) Sólo 2) Sólo se conoce el variograma (h) o la función de covarianza C(h)



Condición de insesgoCondición de insesgo

El valor esperado del error de estimación es:

Siendo m desconocida, para que este valor esperado sea nulo se debe plantear

mma

ZEZEaZZE

n

ii

i

n

ii

1

1

* )}({)}({)}()({ uuuu

101

n

iia



Condición de varianza mínimaCondición de varianza mínima

La varianza del error de estimación se expresa en función de la covarianza

)}(var{ * uZ )}(),(cov{2 * uu ZZ )}(var{ uZ

)}(),(cov{1 1

jij

n

i

n

ji ZZ uu

)(1 1

jij

n

i

n

ji C uu

)}()(var{ * uu ZZ

=

=

=


Kriging OrdinarioKriging Ordinario Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza

del error del error sujeto a que la suma de los ponderadores sea sujeto a que la suma de los ponderadores sea igual a 1igual a 1) pueden determinarse introduciendo un ) pueden determinarse introduciendo un multiplicador de Lagrangemultiplicador de Lagrange

y anulando las derivadas parciales con respecto a los y anulando las derivadas parciales con respecto a los ponderadores y con respecto al multiplicador de ponderadores y con respecto al multiplicador de LagrangeLagrange

0

111 1

* 12)()(2)()}()(var{

n

ii

n

iii

n

i

n

jjiji CCCZZ 0uuuuuu


Kriging OrdinarioKriging Ordinario Las derivadas parciales son:Las derivadas parciales son:

Se desemboca en el sistema de Se desemboca en el sistema de kriging ordinariokriging ordinario (KO) (KO)

12][

,...1,2)(2)(2][

1

1

n

ii

n

jijij

i

niCC uuuu

n

ii

n

jijij niCC

1

1

1

,...1,)()( uuuu


Kriging OrdinarioKriging Ordinario En notación matricial:En notación matricial:

1

)(

)(

011

1)()(

1)()( 11

1

111

uu

uu

uuuu

uuuu

nnnnn

n

C

C

CC

CC

mide las correlaciones (redundancias) entre

datos

mide las correlaciones entre

datos y valor a estimar


Kriging OrdinarioKriging Ordinario Se puede escribir también en términos de variogramaSe puede escribir también en términos de variograma

No es preciso que el variograma tenga una meseta para que No es preciso que el variograma tenga una meseta para que exista este sistema. Por ende, se puede utilizar aun cuando el exista este sistema. Por ende, se puede utilizar aun cuando el variograma crece infinitamente y no existe ni varianza ni variograma crece infinitamente y no existe ni varianza ni covarianzacovarianza

1

)(

)(

011

1)()(

1)()( 11

1

111

uu

uu

uuuu

uuuu

nnnnn

n



Varianza del errorVarianza del error

La varianza del error ( “varianza de kriging”) vale:La varianza del error ( “varianza de kriging”) vale:

Puede calcularse sin conocer los valores de los datos. Puede calcularse sin conocer los valores de los datos.

En ocasiones, esta varianza puede ser mayor que En ocasiones, esta varianza puede ser mayor que 22..

)(

)()(

1

1

22

uu

uuu

i

n

ii

i

n

iiKO C


Kriging de bloquesKriging de bloques El kriging (simple, ordinario…) puede ser extendido a la

estimación directa del valor promedio en un bloque:

El sistema de kriging sólo difiere del sistema de kriging puntual en el miembro de la derecha: hay que reemplazar la covarianza punto-punto C(ui – u) por la covarianza punto-bloque:

donde {xk, k = 1… N} son puntos que discretizan el bloque V.

V

d)(ZV

1)V(Z uu

N

kkiV ii C

NdC

VC

1

),(1

),(1

)V,( xuuuuu


Observación sobre el sistema Observación sobre el sistema de krigingde kriging

Los ponderadores y la varianza de kriging toman en Los ponderadores y la varianza de kriging toman en cuenta:cuenta: aspectos geométricos: distancias entre el sitio a estimar y

los datos; distancias (redundancias) entre los datos mismos aspectos variográficos: continuidad espacial, anisotropía,

mediante la covarianza o el variograma

No toman en cuentaNo toman en cuenta información local: valores de los datos (→ en particular,

son indiferentes a la presencia de un efecto proporcional)

A continuación, se presenta un estudio de la sensibilidad A continuación, se presenta un estudio de la sensibilidad de los resultados a cambios en la configuración de los resultados a cambios en la configuración geométrica de los datos y del modelo variográfico.geométrica de los datos y del modelo variográfico.


Efecto de DistanciaEfecto de Distancia Caso base y efecto del aumento en la distancia sobre Caso base y efecto del aumento en la distancia sobre

los ponderadores (los ponderadores ( ) )

Caso base Efecto de distancia

50

50

0,25

0,25

0,250,25

2K = 0,1888

50

50

0,265

0,129

0,3030,303

2K = 0,2162

)100(8,02,0)( Sphh


Efecto Pantalla y Efecto Pantalla y AnisotropíaAnisotropía

Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1) Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1) sobre los ponderadores (sobre los ponderadores ( ) ))100(8,02,0)( Sphh

Efecto pantalla

50

50

0,247

0,174

0,2330,233

2K = 0,1668

50

0,033

0,080

Efecto de la anisotropía

50

50

0,074

0,074

0,4260,426

2K = 0,2248


Efecto de Declusterización y Efecto de Declusterización y DistanciaDistancia

Efecto de declusterización y distancia sobre los Efecto de declusterización y distancia sobre los ponderadores ponderadores (( ) )

)100(8,02,0)( Sphh

Efecto de declusterización Efecto de decl. + distancia

50

50

0,215

0,215

0,1060,242

2K = 0,1668

50

50

0,3437

0,3437

0,0130,2674

2K = 0,2107

0,111

0,111

100 150

0,016

0,016


Cambio en efecto pepitaCambio en efecto pepita Efecto sobre los ponderadores de un cambio en el Efecto sobre los ponderadores de un cambio en el

efecto pepitaefecto pepita

(h) = 0,2 + 0,8 Sph(100) (h) = 0,7 + 0,3 Sph(100)

Caso base Cambio en el efecto pepita

50

50

0,208

0,042

2K = 0,0827

50

50

2K = 0,1206

0,1044

0,1456

50


Propiedades del KrigingPropiedades del Kriging interpolación exacta: la estimación en un sitio con dato es igual al valor

del dato y la varianza de kriging en este sitio vale 0

aditividad: la estimación de la ley de un bloque es igual al promedio de las estimaciones de leyes puntuales en este bloque

suavizamiento: la dispersión de los valores estimados es menor que ladispersión de los valores verdaderos, sobre todo en las zonas donde hay pocos datos. En consecuencia, se tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes. El kriging es inapropiado inapropiado para evaluación de procesos donde los valores extremos son importantes para evaluación de procesos donde los valores extremos son importantes ((→ simulaciones)→ simulaciones)

insesgo y precisión: por construcción

sesgo condicional: el error promedio puede no tener esperanza nula cuando se considera sólo los sitios donde la ley estimada es alta (o baja). En general, el sesgo condicional es pequeño si se usa suficientes datos (>15)


Propiedades del KrigingPropiedades del KrigingIlustración del sesgo condicional

Al tener sesgo condicional, se incurre en una mala apreciación del negocio. La ley media del material mandado a planta (material cuya estimación supera una ley de corte) es inferior a la ley media estimada de este material, mientras que la ley media del material mandado a botadero es superior a la ley media estimada de este material.


Propiedades del KrigingPropiedades del Kriging

Ilustración del suavizamiento


Plan de KrigingPlan de Kriging¿Cuáles son los datos a utilizar en la estimación?

Vecindad única: se usa todos los datos

Vecindad móvil: se usa sólo los datos cercanos al sitio (bloque) a estimar En general, se toma una vecindad en forma de elipse (2D) o

elipsoide (3D), orientado según la anisotropía observada en el variograma

Se suele dividir la vecindad en sectores angulares (cuadrantes en 2D ú octantes en 3D) y buscar datos en cada sector

Los radios del elipse (elipsoide) no necesariamente corresponden a los alcances del variograma, sino que se definen de manera de poder encontrar suficientes datos para hacer la estimación


Plan de KrigingPlan de Kriging

Ejemplo de vecindad móvil


Validación del krigingValidación del kriging

Para validar los parámetros del kriging (modelo de variograma, vecindad elegida), se puede usar los siguientes métodos:

Validación cruzada: se estima sucesivamente cada dato considerando solamente los datos restantes

Jack-knife: se divide la muestra inicial en dos partes (por ejemplo, cuando hay dos campañas de sondajes), y se estima una parte a partir de la otra

Luego, se hace un estudio estadístico de los errores Luego, se hace un estudio estadístico de los errores cometidos para saber si el kriging fue “satisfactorio” cometidos para saber si el kriging fue “satisfactorio” (buena precisión, poco sesgo condicional…)(buena precisión, poco sesgo condicional…)


Validación del krigingValidación del krigingCriterios de validación:

medias de los errores y de los errores estandarizados: deben ser cercanas a cero estimador sin sesgo

varianza de los errores: debe ser la más baja posible estimador preciso

varianza de los errores estandarizados: debe ser cercana a 1 el variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre

nube de dispersión entre valores reales y estimados: la regresión debe acercarse a la diagonal insesgo condicional



Ejemplo: jack-knife entre dos campañas de sondaje de exploración, usando kriging ordinario. Se busca poner a prueba distintas vecindades de kriging.

Plan 1: estimar con los 2 datos más cercanos

Plan 2: estimar con los 24 datos más cercanos (3 por octante)

Plan 3: estimar con los 48 datos más cercanos (6 por octante)



Histogramas de los errores cometidos

Las medias de los errores son casi nulas insesgoLa mayor precisión se alcanza en los planes 2 y 3



Nubes de correlación entre leyes reales y estimadas

El sesgo condicional y la dispersión de la nube son mínimos en los planes 2 y 3

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