Facultad de QuímicaGrado en Ingeniería Química

Álgebra LinealCurso 2011-2012

Números reales y complejos1. Realizar las siguientes operaciones:

a) (−3 + 2i)− (−2− 5i).

b) (3 + 4i)(−3 + 4i).

c)−3− 3i

4 + 3i.

d) (4− i)− (2i + 4).

e) (−1− i)(1 + i)2.

f )−1 + i

(2− i)(−3i).

2. Sean z1 = −2 + 3i, z2 =√

5 + i, z3 =√

5− i. Calcular:

a) z1(z2 − z3) b) (z1 + z2 + z3)(z3 − z2) c) (z2 − z3)z21

3. Sean z1 =√

3 + 2i, z2 = 2− 4i, z3 = 4 +√

3i. Calcular:

a) z2(z1 − z3) b) (z1 + z2)(z2 + z3) c) z22(z1 − z3)

4. Hallar el módulo y el argumento de los complejos:

a) 3 + 4i.

b) (3 + 4i)−1.

c) (−1 + i)2.

d) −12− 5i.

e) (5− 12i)−1.

f ) (√

2 +√

2i)2.

5. Escribir en forma trigonométrica los siguientes complejos:

a) 3 + 3i b) −1 +√

3i c) −1

6. Calcular:

a) i5787 b) (1 + i)4

7. Calcular:

a)1− eiπ/2

1 + eiπ/2b) eiπ

(1− eiπ/3

)

8. Determinar los números reales a y b que verifican:

a) (−1 + i)a + (1 + 2i)b = 1.

b) (i− 1)a + (i− 2)b = i.

1

Soluciones

1. a) (−3 + 2i)− (−2− 5i) = −1 + 7i.

b) (3 + 4i)(−3 + 4i) = −25.

c)−3− 3i

4 + 3i= −21

25− 3

25i.

d) (4− i)− (2i + 4) = −3i.

e) (−1− i)(1 + i)2 = 2− 2i.

f )−1 + i

(2− i)(−3i)= − 1

15− i

5.

2. a) z1(z2 − z3) = −6− 4i.

b) (z1 + z2 + z3)(z3 − z2) = 6 + (4− 4√

5)i.

c) (z2 − z3)z21 = 24− 10i.

3. a) z2(z1 − z3) = −2√

3 + (20− 6√

3)i.

b) (z1 + z2)(z2 + z3) = 4 + 8√

3− (17 + 2√

3)i.

c) z22(z1 − z3) = 80− 28

√3 + (40− 4

√3)i.

4. a) |3 + 4i| = 5, arg (3 + 4i) = {0, 927 + 2kπ; k ∈ Z}.b) |(3 + 4i)−1| = 1

5 , arg (3 + 4i)−1 = {−0, 927 + 2kπ; k ∈ Z}.c) |(−1 + i)2| = 2, arg (−1 + i)2 = {−π

2+ 2kπ; k ∈ Z}.

d) | − 12− 5i| = 13, arg (−12− 5i) = {−2, 747 + 2kπ; k ∈ Z}.e) |(5− 12i)−1| = 1

13, arg (5− 12i)−1 = {1, 176 + 2kπ; k ∈ Z}.

f ) |(√2 +√

2i)2| = 4, arg (√

2 +√

2i)2 = {π

2+ 2kπ; k ∈ Z}.

5. a) 3 + 3i = 3√

2(cos

π

4+ i sen

π

4

).

b) −1 +√

3i = 2(

cos2π

3+ i sen

2π

3

).

c) −1 = cos π + i senπ.

6. a) −i.

b) −4.

7. a) −i.

b) −12

+√

32

i.

8. a) a = −2/3, b = 1/3.

b) a = 2, b = −1.

2