02-04_MatrizE_ER-24Sep2014.pdf

M. en C. Carolina Yolanda Castañeda Roldán

24 Septiembre 2014

Algebra Lineal ACF-0903

2.4 Transformaciones elementales por renglón

Escalonamiento de una matriz Rango de una matriz.

[email protected]

Índice

2

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

2.2 Operaciones con matrices.

2.3 Clasificación de las matrices.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

2.6 Definición de determinante de una matriz.

2.7 Propiedades de los determinantes.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

2.4 Antecedentes

Se dice que 2 SEL son equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo 1:-2x = -2 2x - 2y = -2 x - y = -1 y = 2

Solución:

x =1 2x-2(2) = -21-y=-1y=2 2x=4-2 x =1 Sol. (1,2) Sol. (1,2)

Como: SEL y el SEL tienen las mismas soluciones

SEL1 SEL2

Son equivalentes

1 2

2.4.1 Transformaciones elementales por renglón

Las operaciones elementales de renglón nos permiten resolver un SEL y son:1) Intercambiar renglones2) Multiplicar un renglón por una constante (convertir números a 1)3) Sumar a un renglón el múltiplo de otro (convertir a

ceros)

Notación :1) significa sustituir el renglón "i" por el mismo renglón, multiplicándolo por una constante "c"2) significa sustituir el renglón "j" por la suma del mismo con el producto del renglón "i" por

la constante "c"3) significa sustituir el renglón "j" por el renglón "i" y viceversa

4) o A B significa que la matriz B es equivalente a la matriz A

R i cRi

ijj cR+RR

R j R i

A B


Ejemplos:1) Intercambio de renglones

4|73

5|12

5|12

4|7321 RR

5|123

4|3

71

5|12

4|73 11 R3

1R

2) Convertir a 1 el elemento a11 de la matriz


4) Sustituir el renglón "1" por el mismo renglón, multiplicando por una constante "2", dicho de otra manera substituir el renglón "1" por el duplo del mismo renglón, o sea el duplo del mismo renglón.

5|12

8|142

5|12

4|7111 2R R

3) Convertir en cero un elemento de la matriz (el elemento a21)

13|150

4|71

5|12

4|71212 R2R R

2.4.2 Escalonamiento de una matrizMatriz Escalonada(E) y Matriz Escalonada-Reducida(ER)

1) Todos los renglones que contengan solo ceros (si los hay) deberán ir en la parte inferior de la matriz

2) El primer número distinto de cero (elemento delantero) en cualquier renglón que no contenga sólo ceros debe ser uno

3) En dos renglones sucesivos que no contengan sólo ceros, el primer uno del renglón inferior deberá aparecer más a la derecha que el primer uno del superior

4) Cualquier columna que contenga el primer uno de un renglón cualquiera deberá tener ceros en las posiciones de arriba y abajo en caso de que la matriz tenga espacio.

Para que sea matriz escalonada (E) debe cumplirse del inciso (1) al (3), y si es matriz escalonada reducida (ER) debe cumplirse del inciso (1) al (4).

Una matriz está en la forma escalonada y reducida si:


E = Escalonada = forma de renglón escalón = forma de escalónER = Escalonada reducida = forma reducida de renglón escalón o forma de escalón reducida.

Algunas notas importantes son :

1) El renglón cero de una matriz sólo incluye ceros.

2) Un renglón no cero tiene cuando menos un elemento distinto de cero. Lo mismo se puede hablar de columna cero y no cero.

3) El elemento delantero es el primer elemento no cero de un renglón no cero, o elemento capital. Si sucede que el elemento delantero es 1, se le llama 1 delantero.

4) Una matriz ER siempre está es la forma R.


Ejemplo 1:

0000

4100

2161

A

00000

00000

43010

21021

A

0000

4300

2101

A

2000

4100

2161

A

E M

M

M

00000

00000

43050

21022

A

E

20

02A

10

01A ERM

Clasifique las siguientes matrices en escalonadas (E), escalonada reducida (ER) y matriz (M)

2.4.3 Matrices Equivalentes A BDos matrices son equivalentes (de renglón) si una puede obtenerse de la otra mediante una sucesión finita de operaciones elementales de renglón.

BA BntadaMatrizAumeAu sRenglónOperacione

Ejemplo 1:

00

80

31

93

31

80

BA

Solución:Aplicando operaciones de renglón tenemos:

BA

00

80

31

By

93

31

80

A:donde

00

80

31

93

80

31

93

31

80

3132 R3RRRR

2.4.3 Matrices Equivalentes A B

Dos matrices son equivalentes A B (operaciones de renglón) si una puede obtenerse de la otra mediante una sucesión finita de operaciones elementales de renglón.

Teorema:

Se dice que una matriz se convierte o se reduce a la forma escalonada E o escalonada reducida ER, si es equivalente a una matriz E o ER.

Si A E o A ER

A se reduce a E o ER

2.4.4 Rango de una matrizSi A E o A ER r(A) = r(E) = número de entradas principales de E o

número de filas no nulas de E.

entradas principales = 2

0000

1310

4751

E

Elemento delantero

número de filas no nulas de E = 2

Por lo tanto, r(A) = r(E) = 2

Ejemplo 1:

Vector fila nulo

2.4.4 Rango de una matriz

00

10

31

4-0

10

31

4-0

20

31

10-2-

20

31

012

82

51

012

51

82

32322

31321221

RR4RR

2

1R

R2RRR2RRRR

Ejemplo 2:

¿Cuál es el rango de la matriz ?

012

51

82

A

Solución:

Elemento delantero

filas no nulas de E = 2

Por lo tanto, r(A) = r(E) = 2

Tarea

?10

0119)?

1000

0300

0001

18)?

0000

0000

0001

17)?

1000

0000

0001

16)

?

0000

0001

0010

15)?

53

00

21

14)?

0000

4510

2731

13)?01

1012)

?1000

075111)?

3100

205110)?

1000

83719)?

410

7318)

?4100

12317)?

1010

0000

0001

6)?0010

23215)?

00

004)

?

1000

0010

0001

4)?

0100

3210

3121

3)?

1000

0100

0001

2)?

100

010

001

1)

Clasifique las siguientes matrices en escalonadas (E), escalonada reducida (ER) y matriz (M)

Ejercicio 1:

Tarea

?3101

205110)?

166142

83719)?

410

7318)

?4161

12317)?

1010

0002

0001

6)?0012

2322-5)?

21

424)

?

1111

2222

0001

4)?

0121

3210

0100

3)?

1001

2122

0308

2)?

604

010

302

1)

Encuentre la matriz escalonadas (E) o escalonada reducida (ER)

Ejercicio 2:

Tarea

Ejercicio 3:Calcular el rango de cada una de las matrices A siguientes:

?10

0119)?

1000

0300

0001

18)?

0000

0000

0001

17)?

1000

0000

0001

16)

?

0000

0001

0010

15)?

53

00

21

14)?

0000

4510

2731

13)?01

1012)

?1000

075111)?

3100

205110)?

1000

83719)?

410

7318)

?4100

12317)?

1010

0000

0001

6)?0010

23215)?

00

004)

?

1000

0010

0001

4)?

0100

3210

3121

3)?

1000

0100

0001

2)?

100

010

001

1)

Tarea

Ejercicio 3 (continuación):

242

221)22

11021

10612

13401

03211

)21

848062

15010500

342562

020231

)20 AAA

242

242)25

15863

04642

00121

01221

)24

800002

101100

300000

001021

)23 AAA

Tarea

848062

15010500

342562

020231

)20 A

Ejercicio 3 (continuación):

Nota 2: La entrega es en forma impresa, deben realizar los trabajos en word.

Nota 3: La entrega de su portafolio de evidencias es en forma digital.

Nota 1: Para todos los ejercicios, checar los resultados usando Matlab, anexar el resultado de Matlab después de la solución manual.

Referencias

• (Swokowski) Algebra y Trigonometría, Swokowski & Cole. International Thomson, 9ª. Edición. 1998.

• Algebra Lineal con Aplicaciones, George Nakos, David Joyner.International ThomsonnEditores. 2005

E escalonada

02-04_MatrizE_ER-24Sep2014.pdf

Documents

Transcript of 02-04_MatrizE_ER-24Sep2014.pdf