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Intervalos deConfianza TLC

Medir ControlarMejorarAnalizarDefinirReconocer

Six Sigma

Entrenamiento Green Belt

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 Acerca de este módulo… 

Six Sigma, Una búsqueda del Proceso de Perfección

 Ataca la variación y Logra Objetivos

El Teorema del Límite Central no es una herramienta. Es unteorema usado para cuantificar un parámetro de unapoblación dentro de un grado especificado de certidumbreutilizando datos de muestra 

Los intervalos de confianza (CI) derivados del Teorema del

Límite Central, muestra una X% de confianza que elparámetro de la población de interés esté, como máximo, enun intervalo especificado a partir del estadístico de lamuestra; y podemos cuantificar nuestro grado de certidumbreacerca de la extrapolación del resultado dado de una prueba. 

\DataFile\CLT.xls

\DataFile\ConfInt2.mtw

\DataFile\ConfInt.mtw

\DataFile|ConfInt3.mtw

\DataFile\ConfInt.xls

\DataFile\PartADrift.mtw

\DataFile\StatTables.xls

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Que aprenderemos … 

1. Teorema del Límite Central y susaplicaciones

 – Por qué el Teorema del Límite Centralnos permite hacer inferencias sobredatos sin saber su distribución

2. Importancia de los intervalos de confianza3. Como calcular intervalos de confianza para:

• Medias

• Desviaciones estándar o Variación

• Proporciones• Capacidades del Proceso

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Teorema del Límite Central(TLC)

• El TLC es la llave para la estadística deductiva: Permite el uso dela Distribución Normal y Distribuciones Muestrales.

• Los niveles de confianza se extraen del Teorema de Límite Central

• El Teorema de Límite Central no es una herramienta. Es un

Teorema utilizado para cuantificar un parámetro de una poblacióndentro de un grado especificado de certidumbre utilizando datos demuestra.

Teorema del Límite Central: Para casi todas las poblaciones, la

distribución de las medias de muestras (de las mismas) puede sersuficientemente aproximada por una distribución normal, siempreque el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande.

Referencia: Basic Statistics, Fourth Edition, Air Academy Press, Chapter 5.3

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Teorema del Límite Central (CLT)

Ejemplo: • Haga una muestra de 5 piezas cada hora

durante 20 horas y mida una dimensión.• Calcule la media de la dimensión para las 5 piezas muestreadas cada hora.

• Realice una gráfica con las 100 mediciones(5 x 20) y observe la distribución de todasellas (éstas son “observacionesindividuales”) 

• Realice una gráfica con las 20 medias (que

se calcularon basadas en cada hora de producción) y observe la distribución de las20 medias (estas son “medias de muestra”) 

• El resultado debe parecerse al diagramasiguiente

Distribución de

Medias de Muestra  

Distribución de

ObservacionesIndividuales  

Observaciones Individuales representan la distribución de la población;

e.j. valores reales de todas las observacionesen todos los subgrupos

Medias de muestra representan la distribución de las

medias; e.j. valores medios paralos subgrupos

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Teorema del Límite Central (Continuación) 

Puntos significativos:La curva de medias de muestra es más estrecha (los valores extremos

“se acercan”) La curva de medias de muestra tiende a ser normal,independientemente de la forma de la distribución de observacionesindividualesPodemos normalmente aproximar “distribuciones de media” con una

distribución normal

Distr ibución de

medias de muestra   Di str ibución de

observaciones individuales  

Observaciones individuales 

Representan la distribución de lapoblación, e.j. valores reales de todas lasobservaciones en todos los subgrupos

Medias de muestra 

Representan la distribución de lasmedias, e.j. valores medios paralos subgrupos

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Desviación estándar de medias

s  n  x 

 x s   = 

También es llamado Error estándar de la Media 

Desviación estándar de la distribución de

medias de muestra, X 

Desviación estándar de Xs individuales

Tamaño de muestra utilizado para calcularn  x s   x 

s  

 X 

 x s  NOTA:

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Ejemplo del Teorema del Límite Central 

Dado: Nueve observaciones por hora, durante 100 horas.

Los resultados: = 500 segundos por llamada (la media de las medias)

= 25 segundos (basado en una muestra de 9 observaciones) x

 x

 x s  

s   = 

Los parámetros de la población son:

Media = 500

Desviación estándar = 75

Desde: Calculamos:

75 ) 3 ( 25 9 25  = = = 

=  n  x s  s  

La mesa de Entradas

 x   x 

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Ilustrando el CLT

0  10  20  30  40  50  60  70  80 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

Exp1 

   F  r  e  c  u  e  n  c   i  a

Distribución

original

(exponencial)

0  10  20  30  40  50  60  70  80 

50 

100 

150 

Media 20 

   F  r  e  c  u

  e  n  c   i  a

Muestras dedistribuciónexponencial

n = 20

0  10  20  30  40  50  60  70  80 

50 

100 

Media 10 

   F  r  e  c  u  e  n  c   i  a n = 10

0  10  20  30  40  50  60  70  80  90 

10 

20 

30 

Media 50 

   F  r  e  c

  u  e  n  c   i  a n=50

\DataFile\CLT.xls

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Una implicancia práctica

10 

Tamaño de Muestra 10  20  30  40  50  60  70  80  90  100 

Efecto del Tamaño de la Muestra sobre

la Desviación Estándar de la Media

   D  e  s  v   i  a  c   i   ó  n  e  s   t   á  n   d  a  r   d  e   X  -   b  a  r

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Calculando el valor de Z

 x o o

La base de cálculo estadístico/inferencial

o

s   x  z  m  - 

= n 

 x  z   s  X  

m  - = 

n  z   x  s  X  m   *  = 

(i.e., Z tiene una distribución normal y se da como):

El valor Z para distribuciones de muestreo se puede calcular de la mismaforma que para individuales, pero se utiliza el error estándar del estadísticode la media s  x en lugar de s.

m s  

-=*   x

n

 Z    x

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Diseño:

Determine el intervalo de confianza para el CP de un proceso

basado en su diseño

Fabricación: Determine el intervalo de confianza para el sigma de unproceso de maquinado

Administrativo/Transaccional/Servicio:

Determine el intervalo de confianza para el tiempo medio deprocesamiento de una orden de compra o pedido de servicio 

Intervalos de Confianza -

Escenarios del Mundo Real

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¿Confianza en medio de laIncertidumbre?

Las posibilidades son aproximadamente 95 de 100 que el

intervalo de confianza calculado contenga el parámetro dela población, o… 

Con un 95% de certidumbre, el parámetro de poblaciónestá dentro del intervalo

Las estadísticas de la media y de la desviación estándar son:

 – estimaciones de la Mu (m) y Sigma (s) de la población

 – basadas en sólo una muestra

La variabilidad existe de una muestra a otra

 Al utilizar intervalos de confianza basados en la estadística, laincertidumbre se puede cuantificar

Normalmente, se calculan intervalos de confianza del 95%

N ov en t   a

 y

 ci  n c o

 p or  ci   en

 t   o ci   er  t   o

 

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Población vs. Muestra• La población corresponde al área total de

interés.

• La Muestra es un subconjunto de lapoblación.

• ¿Cuál es la relación entre la población y lamuestra?

Población

Muestra

¿Cuántarepresentatividadtiene la muestra?

Sí b l D fi i i d I l d

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Símbolos y Definiciones de Intervalos deConfianza

Medición Parám.de población 

Estad.de

muestra Usar  

Media Z  

     

      30 n 

t       

     < 30 n 

 X  

Varianza  s 2 

2  c  s 2 

DesviaciónEstándar   s  2  c  s 

Capacidad

de proceso 

C p  2  c  

Proporción  p Binomial oZ (aprox) 

Riesgo Alpha  a  Típicamente5% 

C p ^

^p 

s conocido 

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Intervalos de Confianza (CI)Los Intervalos de Confianza toman la forma general:

C.I.= Estadístico +/- K * (desvío estándar)Estadístico = Media, Varianza, CP, etc.

K = Constante basada en una distribución estadística

Los intervalos de confianza reflejan la variación entre muestras denuestras estimaciones unitarias.

Veamos los intervalos de confianza para:

Para la media, K es un valor t de las tablas de Student o Z de las tablas NormalesPara el desvío estándar, K es una función de la distribución Chi-cuadrado.Para Cp, K es también una función de la distribución Chi-cuadradoPara la proporción, p, K es una función de la distribución Binomial o Normal.

m

 ,sX , y C P 

n

σ t X μ

n

σ t X  //  

 

I l d C fi l

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Intervalo de Confianza para laMedia

a  = (1-.95) o 5%

n = cantidad de muestras tomadas

t (1-a  /2), n-1 = valor t de tablas para: (1-a  /2) = .975

y n-1 = 9 grados de libertad

Determinar el 95% CI para la media de 10 muestras de una prueba de vida.

( n 

 s  x n 

 s n 

t   x    << - - 1 , 2 / 

m  -a   (  n t  

- 1 , 2 / -a  

La fórmula general del intervalo de confianza para la media es::

Media (X) = 260.16 Sigma de la muestra (s) = 14.99

Datos primarios obtenidos de la muestra:

247.5, 250.8, 283.3, 276.9, 242.4, 271.5, 275.4, 247.5, 256.6, 249.7

Primero – ¿Cual es ladistribución tde Student?

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¿Qué es la distribución t de Student?La distribución t de Student es una familia de distribuciones de formaacampanada (Normal) que varían con el tamaño de la muestra - mientras

más pequeño el tamaño de la muestra, más ancha y plana la distribución.

Statistics for

Experimenters -- BHH

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

  -  4  -   3

 .   6  -   3

 .   2  -   2

 .   8  -   2

 .  4   -   2  -  1

 .   6  -  1

 .   2  -   0

 .   8  -   0

 .  4   0   0 .

  4   0 .

   8  1 .

   2  1 .

   6 2   2 .

  4   2 .

   8   3 .

   2   3 .

   6 4

DF2 DF10 DF30

K (según fórmula enpágina 16) es unvalor de t cuando sedesarrolla unintervalo de confianzapara la media

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Distribuciones t de Student, Aproximación Normal, Riesgo

Para dar una idea de los valores de t para el

95% (a = 0.05) de los intervalos deconfianza para muestras de diferentetamaño, mire la siguiente tabla:

Muestra valor t valor Z5 2.78 1.96

10 2.26 1.9620 2.09 1.9630 2.05 1.96100 1.98 1.961000 1.96 1.96

a = riesgo

Se puede usar Z

para estimar t

si N >= 30

y s es conocido

ta

/2=0.025  a

/2= 0.025

Statistics for

Experimenters -- BHH

df = grado de libertad

df = n-1

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Usando Tablas para hallar un valor tPara valores de t y Z para intervalos de confianza del 95% con df = 4, usamos :

Construya la tabla en la página anterior …. 

d.f. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005

1 6.313749 12.70615 25.45188 63.6559 127.3211

2 2.919987 4.302656 6.205373 9.924988 14.08916

3 2.353363 3.182449 4.176545 5.840848 7.4532

4 2.131846 2.776451 3.495406 4.60408 5.59754

5 2.015049 2.570578 3.163386 4.032117 4.773319

Table for a two tail t-test

a

a/2=0.025 a/2= 0.025

t

(1-a /2)=0.975

t=2.776

Z=1.96

df

1.9

.06

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Usar el valor t para n = 10 ...

260.16 - 2.26 * 14.99/ 10 < m <260.16 +2.26*14.99/ 10

260.16 - 10.71< m < 260.16 + 10.71

249.45 < m <270.87

Tenemos el 95% de confianza que la media del proceso realestá entre 249.44 y 270.87

 Ahora hagamos este problema en Minitab… 

10n14.99s

260.16X

==

=

(  n 

 s  x n 

 s n 

t   x    < <  - 

- 1 , 2 / 

m  -a  

( n 

t  - 1 , 2 / -a  

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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 1

Determinar intervalos de confianza del 95% para estos datos:247.5, 250.8, 283.3, 276.9, 242.4, 271.5, 275.4, 247.5, 256.6 y 249.7.

Desarrollo:  Abrir archivo de datos

CONFINT2 Los datos han sido ingresados

en la columna C1(normalmente, ingresara suspropios datos)

Vaya a Stat > Basic Stat >Graphical Summary

El cuadro de dialogoaparecerá como se muestra

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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 1 (Continuación)

1. Resalte C1 X

2. Presione Select

3.  X   aparecerá en la

ventana Variables: 4. Seleccione OK 

1 3

2

4

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276264252240

Median

Mean

275270265260255250

 A nderson-Darling Normality Test

 V ariance 224.69

Skewness 0.42928

Kurtosis -1.71776

N 10

M inimum 242.40

 A -Squared

1st Q uartile 247.50

Median 253.70

3rd Q uartile 275.78

Maximum 283.30

95% C onfidence Interval for Mean

249.44

0.61

270.88

95% C onfidence Interval for Median

247.50 275.9195% C onfidence Interv al for StDev

10.31 27.37

P-V alue 0.082

Mean 260.16

StDev 14.99

95% Confidence Intervals

Summary for X 

Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 1 (Continuación)

El valor p es mayor que

0.05

Intervalo de Confianza del95% para la Media

Intervalos de Confianza para la Media

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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 2

Desarrollo:  Abrir archivo de datos CONFINT2 Los datos fueron ingresados en la

columna C1 Vaya a Stat > Basic Stat > 1-

Sample t … El cuadro de dialogo

1-Sample t (Test and Confidence

Interval)  aparecerá como semuestra

Determinar intervalos de confianza del 95% para estos datos:

247.5, 250.8, 283.3, 276.9, 242.4, 271.5, 275.4, 247.5, 256.6 y249.7.La prueba-t asume que los datos están normalmente distribuidos.Los resultados del Ejemplo 1 muestran que los datos estánnormalmente distribuidos. 

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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 2 (Continuación)

1. Resalte C1 X

2. Presione Select

3.  X   aparecerá en la

ventana Variables: 4. Seleccione Graphs

1 3

2 4

Intervalos de Confianza para la Media Usando

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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 2 (Continuación)

1. Indique Boxplot of data

2. Seleccione OK

3. Seleccione OK  nuevamente enel cuadro de dialogo:1-Sample t (Test and

Confidence Interval) 1

3

2

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 X 

280270260250240

 _ X

Boxplot of X (with 95% t-confidence interval for the mean)

Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 2 (Continuación)

Intervalo deconfianza del

95%

Box Plot (ver Minitab Help)

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Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 2

(Continuación)La Ventana de Sesión de Minitab muestra losresultados del análisis estadístico

σ  ˆ t  X  CI 

σ  ˆ σ  

1) (n 

)  X  (X  σ  ˆ   X  

0.025  X   X  

 X  

1 i 

2 i 

 X  

 =

  

One Sample T: X

Variable N Media St Dev SE Media 95% CIX 10 260.160 14.990 4.740 (249.437, 270.883)

I t l d C fi

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Intervalos de Confianza parala Media Usando Minitab:

Ejemplo 3

20 15 10 5 

15 

10 

Tiempo PC 

   F  r  e  c  u  e  n  c   i  a

Ejemplo Transacción/Servicio

Calcule el intervalo de confianza del 95%para la media.

\DataFile\CONFINT.mtw

Los datos representan 5 pedidos de

compra muestreados durante unasemana de un total de 126 pedidos decompra generados durante la semana.

El tiempo se expresa en días.

I t l d C fi l M di

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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)

• Determinar intervalo de confianza del 95% para una muestra decinco ordenes de compra.

• Recuerde, la prueba-t asume que los datos están normalmentedistribuidos. Ésta es otra forma para determinar si los datosestán normalmente distribuidos.

Desarrollo:  Abrir Archivo de datos CONFINT Los datos fueron ingresados en la

columna C2 Vaya a Stat > Basic Stat >

Normality Test… El cuadro de dialogo Normality

Test… aparecerá como semuestra

Seleccione los ingresos como semuestra

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la Pontificia Universidad Católica del Perú.Sample POs

      P     e     r     c     e     n      t

20.017.515.012.510.07.55.0

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Mean

0.381

12.10

StDev 2.765

N 5

 AD 0.315P-Value

Probability Plot of Sample POsNormal

Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)

Un valor-p mayor a 0.05significa que aceptaremos los

datos como normales

I t l d C fi l

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Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 3

(Continuación) Ahora, determinar intervalo de confianza del 95% para la muestrade cinco ordenes de compra.

Desarrollo:

Usar archivo de datosCONFINT Los datos fueron ingresados

en la columna C2 Vaya a Stat > Basic Stat > 1-

Sample t … El cuadro de dialogo 1-

Sample t (Test and

Confidence Interval) aparecerá como se muestra

Intervalos de Confianza para la

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Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 3

1. Resalte Sample POs 2. Presione Select

3. Sample POs  aparecerá

en la ventana Variables 4. Seleccione Graphs

13

2 4

Intervalos de Confianza para la Media

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1. Indique Boxplot of data

2. Seleccione OK

3. Seleccione OK  nuevamente en el cuadrode dialogo 1-Sample t

(Test and Confidence

Interval) 

1

2

3

Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)

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Sample POs

171615141312111098

 _ X

Boxplot of Sample POs(with 95% t-confidence interval for the mean)

Intervalo deconfianza del

95%

Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)

Intervalos de Confianza para la

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La Ventana de Sesión muestra los resultados de las pruebasestadísticas.

One Sample T: Sample POs

Variable N Media St Dev SE Media 95% CISample POs 5 12.0963 2.7654 1.2367 (8.6627, 15.5300)

Intervalo deconfianza del

95%

Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 3

(Continuación)

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Muestras de gran tamaño

(>=30)

El intervalo de confianza del 95% ¿aumentará o

disminuirá?

Si el tamaño de la muestra es 126 (las ordenes de compra detoda una semana) y s es conocida, podemos usar la estadística Zy calcular el intervalo de confianza, sin embargo, dejaremos a

Minitab hacer el trabajo por nosotros !¿qué le sucede al intervalo de confianza mientras aumenta eltamaño de la muestra?

Intervalos de Confianza para la Media Usando

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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 3 (Continuación)

• Determinar intervalo de confianza del 95% para laproducción de la semana de 126 ordenes decompra.

• Recuerde, la prueba-t asume que los datos estánnormalmente distribuidos.Desarrollados:

 Abrir archivo de datosCONFINT

Los datos han sidoingresados en la columnaC1

Vaya a Stat > Basic Stat >

Normality Test… El cuadro de dialogo

Normality Test… aparecerácomo se muestra

Seleccione los ingresoscomo se muestra.

Intervalos de Confianza para la Media

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Weekly POs

      P     e     r     c     e     n      t

22.520.017.515.012.510.07.55.0

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.156

12.10

StDev 2.696

N 126

 AD 0.547

P-Value

Probability Plot of Weekly POsNormal

¿Comointerpretamos estevalor-p?

Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)

Intervalos de Confianza para la Media Usando

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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 4

 Ahora, Determinar intervalo de confianza del 95% para la

producción de la semana de 126 ordenes de compra.

Desarrollo: Usar archivo de datos

CONFINT Los datos fueron

ingresados en la columnaC1

Vaya a Stat > Basic Stat >1-Sample t …

El cuadro de dialogo 1-Sample t (Test and

Confidence Interval) aparecerá como semuestra

Seleccione los ingresoscomo se muestran 

Seleccione

Intervalos de Confianza para la Media

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Seleccione

Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 4

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Intervalos de Confianza para la Media

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Una muestra T: Weekly POs

Variable N Media St Dev SE Media 95% CIWeekly POs 126 12.1006 2.6958 0.2402 (11.6253, 12.5759)

Una muestra T: Sample POs

Variable N Media St Dev SE Media 95% CISample POs 5 12.0963 2.7654 1.2367 (8.6627, 15.5300)

La manera más práctica de reducir el tamaño del intervalo deconfianza es aumentar el tamaño de la muestra

n = 126

n = 5

Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 4

Interpretar el Intervalo de

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Interpretar el Intervalo deconfianza

¿Que significa el intervalo de confianza del 95%?

• El 95% de las veces, la afirmación que se indica a continuaciónserá verdadera:

• “95%” es llamado el coeficiente de confianza o nivel de confianza •  Los puntos finales del intervalo son conocidos como los límites

de confianza• La afirmación que “m” tiene un 95% de posibilidades de estarentre el límite de confianza inferior y el límite de confianzasuperior es considerada incorrecta, o al menos engañosa, ya quepuede ser entendido para implicar una m variable.

• Hay solamente un valor para la media de la población.

n

σ t X μ

n

σ t X  //

 

 

Intervalo de confianza

Intervalo de confianza para

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@95 % confianza

a = .c

a

= c

.

= 6.6 

c

a

= c

.

= .  = = grados de libertad 

n = 16 s = 1.86

De tablas Chi-Cuadrado

Un Green Belt recolecta 16 puntos de datos con una X de 10 y una sde 1.86.¿cuál es el intervalo de confianza del 95% par s? 

30 20 10 0 c2 

c2

p

 A

c2p

a/2= 0.975

a/2= 0.025

 Veamos como se ve una distribución Chi-Cuadrado y como obtener estos valores...

Intervalo de confianza paraSigma

(   (

  (   2

1,2/

2

1,2/1   11 ---   --  nn

  n sn s a a   c s  c 

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¿Que es la distribución Chi-Cuadrado?

Una distribución con un solo parámetro,  (nu), el número de grados de

libertad Una familia de distribuciones, f(c2), uno para cada valor de .

c2 es una variable aleatoria continua mayor o igual a cero.

Para pequeños valores de , la distribución está sesgada a la derecha.

 A medida que  aumenta, la distribución rápidamente llega a ser simétrica. Para grandes valores de , la distribución c2 está cerca de la curva normal.

0  5  10  15 

0.0 

0.1 

0.2 

0.3 

   f   (     c   2   )

c2 

=1

=2

=5 =8=10

STATISTICAL ANALYSIS FOR

DECI ION MAKING-- MH/PY

Intervalo de confianza para desviación estándar usando Minitab:

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Intervalo de confianza para desviación estándar usando Minitab:

Ejemplo 5 (Continuación) • Un Green Belt recolecta 50 valores de datos de un proceso de

maquinado. ¿cuál es el intervalo de confianza del 95% para ladesviación estándar?

• La distribución Chi-Cuadrado asume que los datos estánnormalmente distribuidos.

Desarrollo:  Abrir archivo de datos:

CONFINT3 Los datos fueron ingresados

en la columna C1 Vaya a Stat > Basic Stat >

Graphical Summary

El cuiadro de dialogo DisplayDescriptive Statistics

aparecerá como se muestra Seleccione ingresos como se

muestra

Si queremos un intervalo deconfianza diferente, podemos

cambiarlo aquí

Intervalo de confianza para desviación estándar usando Minitab:

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1201101009080

Median

Mean

1041031021011009998

 A nderson-Darling Normality Test

 V ariance 83.95

Skewness 0.259930

Kurtosis 0.467383

N 50

M inimum 76.74

 A -Squared

1st Quartile 95.71

Median 100.16

3rd Q uartile 107.04

Maximum 123.16

95% C onfidence Interval for Mean

99.41

0.89

104.61

95% C onfidence Interv al for Median

98.72 103.23

95% C onfidence Interval for StDev

7.65 11.42

P-V alue 0.021

Mean 102.01

StDev 9.16

95% Confidence Intervals

Summary for GBData

pEjemplo 5 (Continuación)

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Intervalo de Confianza para una proporción

N = población enteraconocida

n = cantidad de ítems en lamuestra

X = cantidad de ítems deinterés (e.j., ítemsaceptables) en lamuestra

p = proporción verdaderade ítems de interés enla población

Z = valor de la tabla Z

basado en el nivel deconfianza deseado;típicamente 1.96 para95% 

$  p  X  

n =  c   z  

 p   p 

n = 

- 1 $ (  $ ) 

La aproximación normal puede ser usada si lo siguiente es verdad :1 

n/N < .10 np > 5 .1 < p < .9

c  p c  p  oˆ

 a ˆ

   - 

n El ancho del Intervalo de Confianza es proporcional a

Intervalo de confianza =

1 vea gráfica de Selección de distribución Discreta en datos suplementarios.

 

a  (1 - )

 p  p  Z   p  p 

 p  p  Z   p  ) ˆ 1 ( ˆ ˆ 

) ˆ 1 ( ˆ ˆ  -    

- - 2 

a  (1 - )2 

a  (1 - )

Intervalo de Confianza

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Intervalo de Confianzapara Ejemplo de

ProporciónSe probaron 500 lámparas durante500 horas, 8 fallaron

¿cuál es el intervalo de confianzadel 90% para el verdaderoporcentaje de defectuosos?

Intervalo de Confianza de Proporción:

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Intervalo de Confianza de Proporción:Manual

Puesto que los datos no pasaron la prueba usando la aproximación normal,reconocemos que nuestra respuesta es una aproximación pobre. Para la respuestacorrecta, debemos utilizar una distribución de F que esté fuera del alcance denuestro entrenamiento Green Belt. 

 p = . .   . (. )016 1645   016 984500

.0068 < p < .0252

Desde tablas,Determinar

Inverse Cum Prob

para a /2 = .050

500/N < .10 np = 8 > 5 .1 < p = .016 < .9N = cantidad total de lámparas 

 Aunque no es correcta la prueba, vamos a tratar laaproximación normal!

n

 p p z  p p

  )ˆ1(ˆˆ

21

-= -a 

\DataFile\ConfInt.xls Tab Proportion

Intervalo de Confianza de Proporción

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Intervalo de Confianza de Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6

Quinientas lámparas fueron probadas durante 500 horas. Ocho fallaron. ¿cuál es el intervalo de confianza del 90% para el porcentaje

de defectuosos de la población?.

Desarrollo:  Abrir Minitab Vaya a Stat > Basic

Stat > 1 Proportion… 

El cuadro de dialogo:1 Proportion (Test and

Confidence Interval)

aparecerá como semuestra 

Intervalo de Confianza de Proporción

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Intervalo de Confianza de Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6

3

21. Tipee 500  en Number of

Trials:

2. Tipee 8 in Number of

Events:

3. Seleccione Options… 

1

Intervalo de Confianza de Proporción

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1

2

3

1. En el cuadro de dialogo: 1

Proportion - Options, tipee90.0 en Confidence level:2. Seleccione OK3. En el cuadro de dialogo:

1 Proportion, Seleccione OK

Intervalo de Confianza de Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6

Intervalo de Confianza para Proporción

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La Ventana de Sesión de Minitab muestra los resultados de las

pruebas estadísticas

El cuadro de dialogo 1 Proportion

 No se confunda con el término “Cantidad de eventos” (“number

of events”) , porque usted define el evento -- en este caso

“defectuosas” La proporción de defectuosas en la muestra fue de 0.016.

90 veces de 100, la proporción de defectuosas en la poblaciónestará en el intervalo desde 0.007986 a 0.028684.

Valor-pMuestra X N Muestra p 90% CI Exacto1 8 500 0.016000 (0.007986, 0.028684) 0.000

Intervalo de Confianza para Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6

Intervalo de Confianza para la Capacidad

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Intervalo de Confianza para la Capacidadde Proceso

Minitab calcula intervalos de confianza para la capacidad del proceso.

File PartADrift.mtw  USL = 16, LSL = 4, Subgroup = 5

Intervalo de Confianza para la Capacidad

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Intervalo de Confianza para la Capacidadde Proceso

Intervalo de Confianza para la Capacidad

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te a o de Co a a pa a a Capac dadde Proceso

16141210864

LSL Target USL

Process Data

Sample N 750

StDev(Within) 1.98534

StDev(Overall) 2.22023

LSL 4.00000

Target 10.00000

USL 16.00000

Sample Mean 10.08152

Potential (Within) Capability

Z.USL 2.98Cpk 0.99

Lower CL 0.93

Upper CL 1.05

CCpk 1.01

Z.Bench

Overall Capability

Z.Bench 2.46

Lower CL 2.15

Upper CL 2.83

Z.LSL 2.74

Z.USL

2.80

2.67

Ppk 0.89

Lower CL 0.84

Upper CL 0.94

Cpm 0.90

 

Lower CL 2.35

Upper CL 3.45

Z.LSL 3.06

Observed Performance

% < LSL 0.40

% > USL 0.53

% Total 0.93

Exp. Within Performance

% < LSL 0.11

% > USL 0.14

% Total 0.25

Exp. Overall Performance

% < LSL 0.31

% > USL 0.38

% Total 0.69

Within

Overall

Process Capability of PartA Drift(using 95.0% confidence)

Worksheet: PartADrift.MTW

Intervalo deConfianza para

Zbench

Fó l I t l d C fi

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/ 2 / 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ

 p p p p p Z p p Z 

n na a 

- -- Proporción:

Media:

Capacidad de Proceso: (

2

1,2/1

2

1,2/

-

-

  ---

n pC Cp

n pC 

  nn   a a   c  c 

Sigma: (   (   ( 2 2

1 / 2, 1/ 2 , 11 1

nn s n s n a a 

 c s c - -- - -

Fórmulas Intervalo de Confianza

a a 

m - - -

( / 2, 1) (1 / 2, 1)

* *n n

s s X t X t 

n n

Hemos aprendido

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Hemos aprendido … 1. Teorema del Límite Central y sus aplicaciones

 – Por qué el Teorema del Límite Central nospermite hacer inferencias sobre datos sinconocer su distribución.

2. Importancia de los intervalos de confianza

3. Como calcular intervalos de confianza para:

• Medias• Desviaciones estándar o Variación

• Proporciones

• Capacidades del Proceso

Bibliografía Intervalos de

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Bibliografía Intervalos deConfianza

Statistical Analysis for Decision Making , 6th Edition, written by MorrisHamburg and Peg Young, published by The Dryden Press.

Statistics for Experimenters, written by Box, Hunter and Hunter,published by the Wiley-Interscience.

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Intervalo de Confianza

Material Suplementario

Selección Distribución Discreta

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Selección Distribución Discreta

Hipergeometrico <0.10nN

no

comienzo

si Binomial(o)

np>5no si

Poisson .1 < p < .9no

Si Normal

m = nps = np(1-p)

m = l = nps2 = l 

m = nps = np(1-p)

P(r) = aciertoTodo posible

Cd

. CN-d

 n-rr

C N n

=

P (r) = mr e-m 

r!

n!r! (n-r)!

pr  (1-p)n-r  P (r) =

r = cantidad de aciertosn = cantidad de pruebasp = probabilidad de aciertos

N = tamaño de poblaciónd = cantidad de aciertos enla poblaciónm = medias = desviación estándar