02 ecuaciones no homogeneas

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 2: ECUACIONES

DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Ecuaciones no homogéneas.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

2.6.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES.

Solución general de una ecuación lineal no homogénea.

Sea )(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

una ecuación diferencial lineal no

homogénea con coeficientes constantes na , 1na , ..., 1a , 0a . Si py es una solución

particular de esta ecuación no homogénea y hy la solución general de la correspondiente

ecuación homogénea, entonces hp yyy es la solución general de la ecuación no

homogénea.

Método de los coeficientes indeterminados (Familia).

)(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

.

i. Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea1 que resulta de hacer 0)( xF .

ii. Utilizar )(xF para determinar la forma de la solución particular py . Véase la tabla

siguiente:

Término en )(xF Términos correspondientes en py

1 C (Constante) A

2 k

k

k

k xaxaxaa

1

110 k

k

k

k xAxAxAA

1

110

3 xmeC

xmeA

4 xmk exC xmk

k

k

k exAxAxAA )( 1

110

5 xC cos ó xC sen xBxA sen cos

6 xxaxaxaa k

k

k

k cos)( 1

110

xxaxaxaa k

k

k

k sen )( 1

110

xxBxxA

xxBxxA

xBxA

k

k

k

k

sencos

...sencos

sencos

11

00

7 xeC xm cos ó xeC xm sen )sencos( xBxAe xm

1 Si se proporciona el conjunto fundamental de soluciones, es equivalente a que dispongamos de la solución

de la ecuación homogénea correspondiente.



8 xexaxaxaa xmk

k

k

k cos)( 1

110

xexaxaxaa xmk

k

k

k sen )( 1

110

xexBxexA

xxeBxxeA

xeBxeA

xmk

k

xmk

k

xmxm

xmxm

sencos

...sencos

sencos

11

00

iii. Si un término de py coincide con un término de hy , multiplicar el término en py por la

mínima potencia de x que evita la duplicación.

iv. Sustituir py y sus derivadas en la ecuación no homogénea y despejar los coeficientes.

v. Formar la solución general hp yyy .

En los ejercicios siguientes, establezca si se puede aplicar el método de coeficientes

indeterminados a la ecuación diferencial. Si no se puede, explique por qué.

1. xxyy sen 2. xxyy sen 3 2

1

3. xxxyy ln2 4. 1 xeyy

5. x

xyy

cos

sen 6. xyyy cosh

7. xeyxy 23 8. xxyy 2senh

9. xexyy 1 10.

xeyyy 2

11. xxeyy x 3senh3cos3 2

12. xyyy 2sen43

En los ejercicios siguientes, establezca la forma apropiada de una solución particular py ,

pero no determine los valores de los coeficientes.

13. xeyyy xsen 22 14. 52 2)3()5( xeyy x

15. xxyy 2cos34 16. xexxyyy 3212

17. )(23 2 xx eexyyy 18. xexyyy x 2sen 136 3

19. xxyyy 2cossen 45)4( 20. xxyy 3sen )1(9 2)4(

21. xxx eeexyDD 2223 )4()1( 22. xxyyy cos2 2)4(



Ejemplo 2.3.

Utilice el método apropiado para hallar la solución general de la ecuación diferencial

xxyy 3sen 49 .

Solución.

i. Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea 09 yy .

La ecuación característica es 092 m , cuyas raíces son: im 32,1 . La solución de la

ecuación homogénea es:

xCxCyh 3sen 3cos 21

ii. Utilizar xx 3sen 4 para determinar la forma de la solución particular py .

De acuerdo con los términos presentes (el producto de un polinomio de grado 1, x, con una

función trigonométrica, x3sen ), los términos correspondientes en py serán el producto de

un polinomio de grado 1 con la combinación de senos y cosenos del mismo argumento:

) 3sen 3cos()( 10 xBxAxAAyp

La cual puede ser escrita, para mayor facilidad como:

xxExxCxBxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos 2

iii. Términos de py ( xBxA 3sen ,3cos ) coinciden con términos de hy , multiplicar el

término en py por x:

xxExxCxBxAxyp 3sen 3cos) 3sen 3cos(

xxExxCxxBxxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos

Sin embargo, aún existen términos repetidos incluso dentro de la expresión de py misma

( xxA 3cos , xxC 3cos ) y ( xxB 3sen , xxE 3sen ), por lo cual es necesario multiplicar

nuevamente por x a los términos repetidos.

) 3sen 3cos( 3sen 3cos xxExxCxxxBxxAyp

xxExxCxxBxxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos 22




xxExxCxxBxxAyp 3sen 3cos 3sen 3cos 22

xxCxEABxxExCBAyp 3sen ]3)23([3cos]3)23([ 22

xxExCBEAxxCxEACByp 3sen ]9)129()26[(3cos]9)129()26[( 22

Al sustituir en la ecuación diferencial:

xxxxCxxExEAxCB 3sen 43sen 123cos12 3sen )26(3cos)26(

Al igualar los coeficientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

026 CB

026 EA

012 E

412 C

La solución del sistema anterior es:

0A

91B

31C

0E

La solución particular es xxxxyp 3cos3sen 2

31

91

La solución general es xxxxxCxCy 3cos3sen 3sen 3cos 2

31

91

21

Ejercicios propuestos.

En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial por el método de los

coeficientes indeterminados.

23. xxyyy sen cos54 24. xexyy 32

25. xeyy xsen 2 26. xxyyy cos2

27. 2xyy 28.

xexyyy 2)1(23

2 En el orden correlativo debió usarse la letra D, sin embargo, esta letra está reservada para el operador

diferencial



29. xexxyy 2cos412 30. xxyy 2sen 4 2

31. xx exexyyy 22344

Utilice identidades trigonométricas o hiperbólicas para encontrar las soluciones generales

de las ecuaciones en los ejercicios siguientes. Resuelva la ecuación diferencial por el

método de los coeficientes indeterminados.

32. xyyy 2cosh103 33. 22cos xexyy x

34. xyy 2sen4 35*. xxyy 2sen44

36. xxyy 3cos 37. xyy 4sen9

38. xxyyy 3sen sen

Anuladores diferenciales (Operadores).

Término en )(xF Operador anulador.

C (Constante) D

k

k

k

k xaxaxaa

1

110 1kD

xeC D

xk

k

k

k exaxaxaa )( 1

110

1)( kD

xC cos ó xC sen 22 D

xxaxaxaa k

k

k

k cos)( 1

110

xxaxaxaa k

k

k

k sen )( 1

110

122 )( kD

xeC x cos ó xeC x sen )(2 222 DD

xexaxaxaa xk

k

k

k cos)( 1

110

xexaxaxaa xk

k

k

k sen)( 1

110

1222 )](2[ kDD

En los ejercicios siguientes, encuentre un operador diferencial que anule a la función dada.

39. 2261 xx 40. )51(3 xx

41. xe271 42.

xexx 63



43. xxx 4sen 913 2 44. xxx 5cos10sen 8

45. xxx exexe 22

46. 2)2( xe

47. xe x 2cos3 48. xexe xx cossen 2

En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial por el método de los

anuladores.

49. 2423 xyyy 50. xyy sen 625

51. 2)1(7 xyy 52. 156 2 xeyyy x

53. xexyy 54. xxyy 612 2

55. 643644 2 xeyyyy x

56*. )1()23( 3 xx exeyDD

57*. xxxyy coscos 58**. 22 sen 4 xxexyy x

59. )2cos2sen (84 2 xxeyyy x 60. xxeyDD x sen 72)1()1( 2

61. xxeyyyy x 2sen 264 3

Método de variación de los parámetros.

)(01

)1(

1

)( xFyayayaya n

n

n

n

.

Métodos de solución.

Primer método.

i. Hallar la solución general hy de la ecuación homogénea: nnh yCyCyCy 2211

ii. Reemplazar las constantes de hy por variables, a fin de obtener py :

nnp yvyvyvy 2211 .

iii. Resolver el siguiente sistema, despejando las variables 1v , 2v , ..., nv :

)(

0

0

0

)1()1(

22

)1(

11

2211

2211

2211

xFyvyvyv

yvyvyv

yvyvyv

yvyvyv

n

nn

nn

nn

nn

nn



iv. Integrar para hallar 1v ,

2v , ..., nv .

v. Formar la solución general: hp yyy .

La solución del sistema de ecuaciones para ecuaciones diferenciales de segundo y tercer

orden es:

Segundo orden.

),,(

)(

0

21

2

2

1

nyyyw

yxF

y

v

;

),,(

)(

0

21

1

1

2

nyyyw

xFy

y

v

Alternativamente son aplicables las siguientes ecuaciones:

xd

yyyy

xFyv

2121

21

)(;

xdyyyy

xFyv

2121

12

)(

Tercer orden.

),,(

)(

0

0

21

32

32

32

1

nyyyw

yyxF

yy

yy

v

; ),,(

)(

0

0

21

31

31

31

2

nyyyw

yxFy

yy

yy

v

; ),,(

)(

0

0

21

21

21

21

3

nyyyw

xFyy

yy

yy

v

Segundo método.

n

k n

kkp xd

yyyw

xFxwyxy

1 21 ),,(

)()()(

, ),,()1( 21 n

kn

k yyyww

En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial por el método de variación de

parámetros.

62. 1 xeyy 63. xeyyyy 46116

64. xx eeyyyy 333 65. xyy tan

66. 13tan xxyy 67**. xyy tan

68. x

x

e

eyyy

2

2

123

69. xxyy tansec

Resumiendo,



1. El método de coeficientes indeterminados es operativamente más sencillo, ya que

implica derivación en vez de integración, y debe preferirse cuando los coeficientes de la

ecuación diferencial son constantes y el término no homogéneo )(xF está en la forma

indicada.

2. Si los coeficientes de la ecuación diferencial son constantes pero )(xF no está en la

forma indicada, entonces la solución particular puede determinarse por el método de

variación de parámetros después de resolver la ecuación homogénea relacionada.

3. Si los coeficientes de la ecuación son variables, en general será difícil encontrar la

solución, y usualmente implicará series infinitas.

4. Si sólo está disponible una de las soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la

segunda solución homogénea puede obtenerse junto con una solución particular aplicando

el método de reducción de orden a la ecuación no homogénea dada.

2.7.- ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. ECUACIÓN

DE CAUCHY3-EULER

4.

Ecuación de Cauchy – Euler.

Una ecuación diferencial de la forma )(011

11

1 xFyaxd

ydxa

xd

ydxa

xd

ydxa

n

nn

nn

nn

n

en donde na , 1na , ..., 1a , 0a son constantes, se llama ecuación de Cauchy-Euler o

ecuación equidimensional. La característica obvia de este tipo de ecuación es que el grado

de los coeficientes polinomiales kx es igual al orden de derivación en los términos k

k

xd

yd,

para nk ...,,2,1 .

Para precisar el estudio, fijaremos nuestra atención sobre la resolución de la ecuación

homogénea de segundo orden 02

22 yc

xd

ydxb

xd

ydxa .

3 Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857). Prolífico matemático francés que, entre otras contribuciones, inició

la formulación rigurosa y las pruebas de los teoremas del cálculo infinitesimal. La distribución de

probabilidad de Cauchy, la secuencia de Cauchy y otros conceptos matemáticos llevan su nombre. 4 Leonhard Euler (1707 – 1783). Matemático y físico suizo. Hizo importantes descubrimientos en cálculo

infinitesimal y teoría de gráficas. Contribuyó a la mecánica, la dinámica de fluidos, la óptica y la astronomía.



La solución de ecuaciones de orden superior se encuentra de forma análoga. Además,

podemos resolver la ecuación no homogénea )(2

22 xFyc

xd

ydxb

xd

ydxa mediante

variación de parámetros, una vez que hayamos determinado la función complementaria

)(xyh . Al resolver )(2

22 xFyc

xd

ydxb

xd

ydxa mediante el método de variación de

parámetros, se debe escribir la ecuación en la forma )(ˆ22

2

xFyxa

c

xd

yd

xa

b

xd

yd , donde

2

)()(ˆ

xa

xFxF

Método de solución.

Probamos una solución de la forma mxy , donde m debe ser determinada. Las derivadas

de la función mxy son:

1 mxmy

222 )()1( mm xmmxmmy

3233 )23()2()1( mm xmmmxmmmy

mxy será solución de la ecuación diferencial cada vez que m sea solución de la ecuación

auxiliar 0)1( cmbmma o bien 0)(2 cmabma .

Para una ecuación de tercer orden 02

22

3

33 yk

xd

ydxc

xd

ydxb

xd

ydxa , la ecuación

auxiliar es 0)2()3( 23 kmbcamabma .

Hay que considerar tres casos diferentes dependiendo de si las raíces de esta ecuación

cuadrática son reales y distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas.



Homogéneas.

Caso I. Raíces reales diferentes.

Si 21 mm son raíces diferentes de la ecuación característica, la solución general es

entonces 21

21

mmxCxCy .

En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada.

1. 0 yyx 2. 022 yyx

3. 0352 yyxyx 4. 0682 yyxyx

5. 044 2 yyxyx 6. 08223

22

3

33 y

xd

ydx

xd

ydx

xd

ydx

7. 0232 yyxyx 8. 0432 yyxyx

9. 072 yyxyx

Caso II. Raíces reales iguales.

Si 21 mm son raíces iguales de la ecuación característica, entonces la solución general es

111 )ln(ln 2121

mmmxxCCxxCxCy .


10. 0 yyx 11. 0452 yyxyx 12. 04 2 yyx 13. 084 2 yyxyx

14. 04423

22

3

33 y

xd

ydx

xd

ydx

xd

ydx 15. 03 yyxyx

Caso III. Raíces complejas.

Si im 1 y im 2 son raíces complejas de la ecuación característica, entonces

la solución general es )]ln(sen)ln(cos[ 21 xCxCxy .


16. 042 yyxyx 17. 02525 2 yyxyx

18. 022 yyxyx 19. 04172 yyxyx



20. 0332 yyxyx 21. 063 2 yyxyx

22. 02 2 yyxyx 23. 0134

32 y

xy

xy

xy

24. 0875 23 yyxyxyx 25. 063 yyx

En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada usando el cambio de

variables tebxa .

26. 04)1(2)1( 2 yyxyx 27. 0)2()2( 2 yyxyx

28. 09)43(10)43( 2 yyxyx

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial de Cauchy - Euler en cada caso.

29. 0)106()42()1( 222224 mmmmmm

30*. 0)106()42()( 2232222 mmmmmmm

31. 0)42()1( 224 mmmm

32. 0)44()54()2()3()4( 22522 mmmmmmmm

No homogéneas.

Solución general de una ecuación de Cauchy-Euler no homogénea.

Sea )(011

11

1 xFyaxd

ydxa

xd

ydxa

xd

ydxa

n

nn

nn

nn

n

una ecuación diferencial de

Cauchy-Euler no homogénea con coeficientes constantes na , 1na , ..., 1a , 0a . Si py es una

solución particular de esta ecuación no homogénea y hy la solución general de la

correspondiente ecuación homogénea, entonces hp yyy es la solución general de la

ecuación no homogénea.

Método de los coeficientes indeterminados.

)(01

)1(1

1

)( xFyayxayxayxa nn

n

nn

n

.

i. Obtener hy , solución general de la ecuación homogénea que resulta de hacer 0)( xF .



ii. Utilizar )(xF para determinar la forma de la solución particular py . Véase la tabla

siguiente:

Término en )(xF Términos correspondientes en py

C (Constante) A

k

k

k

k xaxaxaa )(ln)(lnln 1

110

k

k

k

k xAxAxAA )(ln)(lnln 1

110

mxC mxA

mk xxC )(ln mk

k

k

k xxAxAxAA ])(ln)(lnln[ 1

110

)ln(cos xC ó )ln( xsenC )ln(sen )ln(cos xBxA

)ln(cos])(ln)(lnln[ 1

110 xxaxaxaa k

k

k

k

)ln(sen ])(ln)(lnln[ 1

110 xxaxaxaa k

k

k

k

...)ln(sen )(ln)ln(cos)(ln

...)ln(sen ln)ln(cosln

)ln(sen )ln(cos

11

00

xxBxxA

xxBxxA

xBxA

k

k

k

k

)ln(cos xxC m ó )ln(sen xxC m )]ln(sen )ln(cos[ xBxAxm

iii. Si un término de py coincide con un término de hy , multiplicar el término en py por la

mínima potencia de xln que evita la duplicación.


v. Formar la solución general hp yyy .


33. 44 xyyx 34. xxyyxyx 22 52

35. xxyyxyx ln22 32 36. xexyyxyx 42 22

37. 2222 lnln)22( xxyDxDx 38. xyyx

39. xyyxyx 22 40. xxxyDxDx ln)43( 222

41. )ln(sen )2( 2233 xxyDxDx 42. 43 3xyyxyx



Cambio de variable.

La sustitución tex permite convertir la ecuación diferencial de Cauchy-Euler

0011

11

1

yaxd

ydxa

xd

ydxa

xd

ydxa

n

nn

nn

nn

n en una ecuación diferencial lineal

homogénea de coeficientes constantes.

Fórmulas de derivadas paramétricas:

tdxd

tdyd

xd

yd

/

/

tdxd

td

yd

td

d

xd

yd

/2

2

tdxd

td

yd

td

d

xd

yd

/

2

2

3

3

.

Las tres primeras derivadas requeridas son:

td

yde

xd

yd t

td

yd

td

yde

xd

yd t

2

22

2

2

td

yd

td

yd

td

yde

xd

yd t 232

2

3

33

3

3

Si la ecuación diferencial es de la forma

0)()()( 01

111

ya

xd

ydbxa

xd

ydxbxa

xd

ydbxa

n

nnn

n

nn

El cambio de variable correspondiente es tebxa . Las tres primeras derivadas

requeridas son:

td

ydea

xd

yd t

td

yd

td

ydea

xd

yd t

2

222

2

2

td

yd

td

yd

td

ydea

xd

yd t 232

2

3

333

3

3



Ejemplo 2.3.

Utilice el método apropiado para hallar la solución general de la ecuación

diferencial x

xxyyxyxyx

ln

ln225

4423

Solución.

x

xxyyxyxyx

ln

ln4225 423

423 4225 xyyxyxyx

Al aplicar el cambio de variable tex :

4

2

222

2

2

3

333 )(42)(2)(523)( ttttttt ey

td

ydee

td

yd

td

ydee

td

yd

td

yd

td

ydee

ttttttt eytd

ydee

td

yd

td

ydee

td

yd

td

yd

td

ydee 4

2

222

2

2

3

333 422523

teytd

yd

td

yd

td

yd

td

yd

td

yd

td

yd 4

2

2

2

2

3

3

422523

teytd

yd

td

yd

td

yd

td

yd

td

yd

td

yd 4

2

2

2

2

3

3

4225523

teytd

yd

td

yd

td

yd 4

2

2

3

3

422

Ecuación característica.

022 23 mmm

1m

1m

2m

Solución de la ecuación homogénea.

ttt

h eCeCeCy 2

321

Solución particular.



t

p eAy 4

t

p eAy 44

t

p eAy 416

t

p eAy 464

Al sustituir en la ecuación diferencial:

teytd

yd

td

yd

td

yd 4

2

2

3

3

422

ttttt eeAeAeAeA 44444 4)(2)4()16(264

ttttt eeAeAeAeA 44444 4243264

tt eeA 44 490

490 A

452A

Solución particular:

t

p ey 4

452

Solución particular.

tttt eeCeCeCy 4

4522

321

4

4522

3

1

21 )()()( tttt eeCeCeCy

tttt eeCeCeCy 4

4522

321

Solución de la ecuación diferencial original.

4

4522

3

1

21 xxCxCxCy

Ejercicios propuestos.

En los ejercicios siguientes, resuelva la ecuación diferencial dada usando el cambio de

variable tex ó tebxa .



43. 22 ln64 xyyxyx 44.

3

2 5209

xyyxyx

45. 2

2

22 810 xy

xd

ydx

td

ydx

46. 22 21332 xxyyxyx

47. 3

2

22

3

33 ln3663 xy

xd

ydx

td

ydx

td

ydx

48. xyyxyx 612)12(2)12( 2

49. 1)1(ln]1)1()1[( 222 xxyDxDx

50**. xyyxyx ln2

51*. )ln2(cos142 xyyxyx

52. xyyxyx 341332

En los ejercicios siguientes, se da el conjunto fundamental de soluciones correspondiente a

la ecuación de Cauchy – Euler homogénea en cada caso. Resuelva la ecuación diferencial

no homogénea indicada.

53. xxyyxyx ln42 ; xy 1 ; xxy ln2

54. x

yyxyx1

642 ; 2

1 xy ; 3

2 xy

55. )(lnsec2 xyyxyx ; )(lncos1 xy ; )ln(sen 2 xy

56. 2

3

)(4122 xyxyxyx ; xxy cos2

1

1

; xxy sen 2

1

2

57. 223 332 xyyxyxyx ; },ln,{c.f.s 3xxxx

58*. xxyyxyxyx sen 22 323 ; },,{c.f.s 21 xxx



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

2.6.- ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES.

Coeficientes indeterminados.

1. Aplicable. xx sen es el producto de un polinomio por un trigonométrico seno.

2. No aplicable. 21

x no es una expresión polinómica.

3. No aplicable. xln no es una expresión polinómica, trigonométrica (seno ó coseno) ni

exponencial.

4. Aplicable. xx eee 1 es una expresión exponencial.

5. No aplicable. xx

xtan

cos

sen no es una expresión trigonométrica (seno ó coseno).

6. Aplicable. xx eex 21

21cosh es una combinación de expresiones exponenciales.

7. No aplicable. La ecuación diferencial no es de coeficientes constantes.

8. Aplicable. xxxx exexeexxx 21

21

21

21 )(senh es una combinación de productos de

un polinomio por un exponencial.

9. No aplicable. 1x no es un polinomio.

10. No aplicable. La ecuación diferencial no es de coeficientes constantes.

11. Aplicable. xxxx eexexxe 3

213

2122 3cos3senh3cos es la combinación de

exponenciales por trigonométrico (coseno) y suma de exponenciales.

12. Aplicable. )2(cossen21

212 xx es la combinación de una constante y una expresión

trigonométrica (coseno).

13. )sen cos( xBxAexy x

p

14. 543 xDxCxBexAy x

p

15. xxDxxCxxBxxAy p 2sen 2cos 2sen 2cos 22

16. x

p exDxCxBxAy 3322 )(

17. xxxx

p exDexCexBexAy 2222

18. )(2sen )2(cos)(2sen )2(cos 323233 xexDxexCxexBxexAy xxxx

p

19. xxDxxCxxBxxAy p 2sen 2cossen cos

20.

) 3(sen ) 3(sen )3(sen ) 3(cos) 3(cos)3(cos 3232 xxFxxExxDxxCxxBxxAyp

21. xxxx

p exDexCexBexAy 2243

22. xxFxxExDxxCxxBxAyp sen sen sen coscoscos 22

23. xxCxCey x cos)sen cos(41

21

2

24. xxx exeeCCy

342

21



25. xeeCCy xx sen 212

21

26. xxxxxxxeCxeCeCy xxx sen cossen cossen cos101

103

5017

253

321

27. 3

312

21 2 xxxeCCy x

29. xx exxxxxeCCy 2sen 2cos23 2

21 30. )2(sen )2(cos)2(cos)2(sen )2(cos 2

1613

968

321

21 xxxxxxxCxCy

31. xxxx exexexCeCy 25

20123

612

2

2

1

32. xxxx exeeCeCy 2

1412

2415

2

2

1

33. xexxxCxCy21

612

23

21 )2(cossen cos

34. xxxCxCy 2sen 2sen 2cos81

81

21

35*. )(4sen )2(cos2sen 2cos91

61

21

21 xxxxxCxCy

36. )(4sen )2(cos2sen 2cos91

61

21

21 xxxxxCxCy

37. xxxCxCy 4cos2cos3sen 3cos561

101

241

21

38.

)4(cos)(4sen )2(cos)(2sen ])(sen )(cos[24115

2412

263

131

2

3

22

3

121

xxxxxCxCeyx

Operadores diferenciales (Anuladores).

39. 3D 40. 5D

41. )2( DD 42. 22 )6( DD 43. )16( 23 DD 44. )25()1( 222 DDD

45. 3)1()1( DD 46. )2()1( DDD 47. )52( 2 DDD 48. )54()22( 22 DDDD

49. 2

2

2

1 267 xxeCeCy xx

50. xxCxCy sen )5(sen )5(cos41

21

51. 3

2112

496

343377

21 xxxeCCy x

52. xxx exxxeCeCy 412

51

2512

12537

2

5

1 53. xxxx exexeCeCy 2

41

41

21 54. 432

321 515 xxxeCxCCy x

55. xxxxx exexeCeCeCy 2

432

16152

32

2

1 2

56*. xxxxxx exexeeCexCeCy 22

1812

272

412

321

57*. xxxxxxxCxCy sen sen cossen cos 2

41

21

41

21

58. xxxexexeCeCCy xxxx cos513

121

8122

1612

3232

3

2

21

59. )2(sen)2(cos)(2sen )2(cos 2

412

412

2

2

1 xexxexxeCxeCy xxxx

60. xx exxxxxxxxxxCxCeCy 212

872

87

821

87

321 sen cossen cos2sen cos

61. )2(sen)2(cos)](2sen )2(cos[ 3

5813

1165

261

6761

32

32

1 xexxexxxCxCeeCy xxxx

Variación de parámetros.

62. 121

41

21 xxxx exeeCeCy

63. xxxx exeCeCeCy 23

3

2

21



64. xxxxx exexeCeCeCy 3

81

813

321

65. )tan(seclncossencos 21 xxxxCxCy

66. )tan(seclncos13sencos 21 xxxxxCxCy 2.7.- ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. ECUACIÓN

DE CAUCHY-EULER.

Homogéneas.

Raíces reales diferentes.

1. 2

21 xCCy 2. 2

2

1

1 xCxCy

3. 3

2

1

1

xCxCy 4. 6

2

1

1

xCxCy

5. 2

1

2

1

21

xCxCy 6. 4

3

2

2

1

1 xCxCxCy

7. 62

2

62

1

xCxCy 8.

51

2

51

1

xCxCy

9. 223

2

223

1

xCxCy

Raíces reales iguales.

10. xCCy ln21 11. xxCxCy ln2

2

2

1

12. xxCxCy ln21

21

21 13. xxCxCy ln21

21

21

14. xxCxCxCy ln2

3

2

21 15. xxCxxCxCy 2

321 lnln

Raíces complejas.

16. )ln2(sen)ln2(cos 21 xCxCy

17. )ln(sen)ln(cos51

251

1 xCxCy

18. )](lnsen)(lncos[ 21 xCxCxy

19. )]ln5(sen)ln5(cos[ 21

4 xCxCxy

20. )]ln2(sen)ln2(cos[ 21

1 xCxCxy

21. )]ln(sen)ln(cos[6

3

26

3

12

1

xCxCxy

22. )]ln(sen)ln(cos[4

7

24

7

14

1

xCxCxy

23. )(lnsen )(lncos 32

1

1 xCxCxCy

24. )ln2(sen )ln2(cos 32

2

1 xCxCxCy

25. )ln2(sen )ln2(cos 32

3

1 xCxCxCy

26. 4

2

1

1 )1()1( xCxCy 27. )]2([lnsen)]2([lncos 21 xCxCy

30.

)lnsen lncos(ln)lnsen lncos(

)]ln3(sen )ln3(cos[ln)]ln3(sen )ln3(cos[

lnlnlnln

1413

3

1211

3

10987

1

6

1

5

3

4

2

321

xCxCxxxCxCx

xCxCxxxCxCx

xxCxCxCxCxCCy

31. )]ln3(sen )ln3(cos[ln

)]ln3(sen )ln3(cos[lnlnln

98

1

76

11

5

3

4

2

321

xCxCxx

xCxCxxCxCxCxCCy



32.

xxCxxCxxCxxC

xCxCxCxCC

xCxCxxxCxCx

xCxCxCy

42

16

32

15

22

14

2

13

4

12

3

11

2

1098

76

2

54

2

2

3

3

2

4

1

lnlnlnln

lnlnlnln

)](lnsen )cos(ln[ln)](lnsen )cos(ln[

No homogéneas.

34. xxxCxCy612

1511

212

1

37.

412

212

21 )ln(ln xxxCxCy

38. 2

41

21 ln xxCCy

39. 2

21 )(lnln xxxxCxCy

40. xxxxxCxCy 32

612

2

2

1 lnln

41. )](lnsen)(ln[coslnln21

321 xxxxxCxCCy

42. 4

912

321 lnln xxCxxCxCy

44. 3

7110

2

2

1 xxCxCy

45. 2

3018

2

1

1 xxCxCy

48. 161

833

2

1

1 )12()12( xxCxCy

49. 2)1(ln)1()1(ln)1()1(2121

21 xxxxCxCy

52. xxCxCxy103

134

21

2 )]ln3(sen )ln3(cos[

53. xxxxCxCy 3

32

21 lnln

57. 23

321 ln xxCxxCxCy

58*. xxxxCxCxCy sen cos 12

3

1

21



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02 ecuaciones no homogeneas

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