02. Flujos Planos Elementales 2D

1

AerodinAerodináámica Temica Teóóricarica

Unidad 3: Fluido Ideal Incompresible en Flujo Potencial Bidimensional

Flujos planos elementales

Prof. Dr. Carlos OlmedoJTP. Ing. Martín Sanpedro

Ayte. Marcos Ruggeri

2

Consideraciones generales

· Hipótesis � El flujo y sus propiedades son invariantes en planos

perpendiculares al movimiento � flujo bidimensionalProblema 2D

2 variables espaciales (x,y)

� Fluido irrotacional ideal incompresible

Existe función potencial

y

x

3

Ecuaciones de gobierno

• Ecuación de continuidad

• Condición de irrotacionalidad

00 ��

��

��

yv

xuV

t)(

�

00 ��

��

��xv

yuV

��

Condiciones Cauchy-Riemann de variable compleja para u=f(x,y) v=g(x,y)

��

��

�

��

��

��

��

xv

yu

yv

xu

4

• Función analítica en todo dominio• Mismas condiciones Cauchy-Riemann• u(x,y) y v(x,y) funciones armónicas

Velocidad compleja

)(),(),(~)(

;

viuyxivyxuVzfidydxdz iyxz

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

xv

xv

yu

yv

yv

xu

Función de variable compleja

5

Velocidad compleja

Derivadas direccionales

xu

xvi

yv

yui

yiivu

dzVd

xvi

xu

xivu

dzVd

o

o

zzctex

zzctey

��

��

��

��

��

�

��

��

��

�

��

��

)(~

)(~

Condición de homogeneidad: Existe límite independiente de la dirección zo

z

zz

6

Velocidad compleja

}~Im{}~Re{)(~ ViVivuzV ��

0

0

22

2

2

2

22

22

2

2

2

22

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

yxu

yxu

xu

yyu

xyv

xvyxv

yxv

yxv

xv

yyv

xyu

xuyxu

),(

),(

u(x,y) u(x,y) yy v(x,yv(x,y) ) funciones contifunciones conti--nuas y armnuas y armóónicas nicas

Satisfacen Satisfacen EcuaciEcuacióón de n de LaplaceLaplace

7

Plano físico y plano hodógrafo

yy

xx u

vv

u1

-v1

u1

v1

PLANO�FISICO PLANO�HODÓGRAFO

Líneas�de�corriente

1V�

2V�

2V�

1V�

8

Potencial de velocidades

Flujo irrotacionalExiste potencial de velocidades0

�� V

02

2

2

22 �

��

��

��yx��

�(x,y) función armónicaSatisface la ecuación deLaplace

Reemplazando potencial de velocidades en ecuación de continuidad:

00 2 �� V�

��V�

9

Potencial de velocidades satisface la ecuaciPotencial de velocidades satisface la ecuacióón de Laplace y es n de Laplace y es una funciuna funcióón armn armóónica del espacio. nica del espacio.

SoluciSolucióón de la ecuacin de la ecuacióón de Laplace, con condiciones de contorno n de Laplace, con condiciones de contorno establecidas, determina el campo de movimiento.establecidas, determina el campo de movimiento.

EcuaciEcuacióón de Laplace muy utilizada en varios campos por n de Laplace muy utilizada en varios campos por simplicidad y linealidad.simplicidad y linealidad.

Principio de SuperposiciPrincipio de Superposicióón: aplicable combinacin: aplicable combinacióón lineal de dos o n lineal de dos o mmáás soluciones de la ecuacis soluciones de la ecuacióón de Laplace.n de Laplace.

Potencial de flujos compuestos se logra con superposiciPotencial de flujos compuestos se logra con superposicióón de n de flujos elementales.flujos elementales.

Potencial de velocidades

Características

10

Potencial complejoPotencial complejo

),(),( yxiyx ��

Posible definir potencial complejo como suma de potencial de velPosible definir potencial complejo como suma de potencial de velocidades ocidades y funciy funcióón de corriente:n de corriente:

FunciFuncióón analn analíítica: Satisface condiciones Cauchytica: Satisface condiciones Cauchy--RiemannRiemannTodas derivadas parciales continuasTodas derivadas parciales continuas

��

��

�

��

��

��

��

xy

yx��

��

Parte real y parte imaginaria Parte real y parte imaginaria satisfacsatisfacen ecuacien ecuacióón de Laplace n de Laplace

0),(2 �� yx� 0),(2 �� yx�

� Funciones armónicas conjugadas

11

Potencial complejo y velocidad compleja Potencial complejo y velocidad compleja

Derivadas direccionales

Vivuxy

iyi

iyidz

d

Vivuy

ixx

ixdz

d

ctex

ctey

~

~

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

La derivada del potencial complejo en el plano es igual a la velocidad compleja .

12

Función de corriente satisface la ecuación de Laplace y es una función armónica del espacio.

Líneas a lo largo del cual la función de corriente es cons-tante son líneas de corriente

Líneas a lo largo del cual el potencial de velocidades es constante (curvas equipotenciales) son perpendiculares a las líneas de corriente.

FunciFuncióón de corrienten de corriente

Características

13

Caudal a travCaudal a travéés de ls de líínea plana nea plana

A��

AV�

A

B

B��

1�

2�

0��

��

��

��

��

��

��

��

��xyyxyyxx

V ��

�� VV��

0 Velocidad tangente a lVelocidad tangente a lííneaneade corrientede corriente

cteyx �),(�Líne

as�de�co

rriente

LLíínea de corrientenea de corriente

3�

0),(2 �� yx�

14

Caudal a travCaudal a travéés de una ls de una líínea nea

n̂ V�

A

B

zx �3

2�

cteyx �),(�LLííneaneass de corrientede corriente

dsnVdzkdsnVdSnVQCSS �� ˆ.ˆˆ.ˆ.��

LLíínea nea CC ((ABAB)) conjunta con conjunta con versorversor

k̂

xx �1

yx �2k̂

dst̂1�

determinan superficie determinan superficie SSnormal al plano de normal al plano de momo--vimientovimiento

El caudal (volumen) a travEl caudal (volumen) a travéés de s de SS

1515


yx �2

jdsdxi

dsdyn ˆˆˆ �

Concepto matemConcepto matemáático: versor normal a elemento de ltico: versor normal a elemento de lííneanea

jdyidxsd ˆˆ ��

xx �1

sd�

n̂

0ˆ �� dydsdxdx

dsdysdn �

dx

dy

� � � �22 dydxds ��

1616


� � � � �� CCC

dxvdyujdxidyjviudsnVQ ˆˆˆˆˆ�

jdsdxi

dsdyn ˆˆˆ �Sabiendo que: jviuV ˆˆ ��

�y

� � � � 21 �� ABQ

Caudal volumCaudal voluméétrico es trico es independiente del independiente del camino empleado.camino empleado.

1�

2�

LLííneas�d

e�corrie

nte

neas�de

�corrien

te3�

AB

��

��

��

��

�CCC

ddxx

dyy

dxy

dyx

��

17

– Continuidad (fluido incompresible)

– Función de corriente

– Vorticidad (flujo irrotacional)

– Potencial de velocidades

0u vx y

� ��

� �

v ux y

� � �

� �

u vy x� ��

� ! � � �

u vx y� ��

� ! ��

2 2

0x y x y� ��

��

2 2

0x y x y� ��

��

2 22

2 2x y� �

� � ��

2 0��

2 0��

EcuaciEcuacióón�de�Laplacen�de�Laplace

ResumenResumen

18

Flujos elementales simplesFlujos elementales simples

Flujo uniforme Fuente sumidero Vórtice (2D)

� �� "�

"�sincos

UrUyUrUx

Uz

��

��

r

zi

ln2

2

ln2

#�

"#�#

$�

$�

$��

rQ

r#2$

"#�

#�

#

2

ln2

ln2

Q

rQ

zQ

�

�

��

19

Flujo uniformeFlujo uniforme

•• ParaleloParalelo •• Con Con áángulo de ataquengulo de ataque

� �� "�

"�cossin

UrUxUrUy

��

� �cos sin

cos sin

U y x

U x y

� % %

� % %

�

� �

20

constante��constante��

Fuente/sumideroFuente/sumidero

•• Potencial de velocidadesPotencial de velocidades

•• FunciFuncióón de corrienten de corriente

•• Velocidad radialVelocidad radial

•• ObservaciObservacióón: En n: En rr=0, =0, vvrr��infinitoinfinito

fuente0sumidero0

Q Q

&'

(

(

2m� "#

�Q

� �22r rmm r v v

r#

#� � �

QQ

Q

ln2m r�#

�Q

21

VVóórticertice

•• FunciFuncióón de corriente y potencial de n de corriente y potencial de velocidades intercambiados respecto velocidades intercambiados respecto a fuente/sumidero:a fuente/sumidero:

•• Componentes de velocidad:Componentes de velocidad:

•• CirculaciCirculacióón asociada:n asociada:

–– CirculaciCirculacióón no nula debido a la n no nula debido a la singularidad en el origen.singularidad en el origen.

2

ln2

r

� "#

�#

$�

$�

"### 222$

�$

�$

�� LnrLnzi

constante��

constante��r

v#" 2$

�

$�$

�� )(2

.2

0"

##

rdr

sdvnCirculació ��

0�rv

22

VVóórticertice

Flujo irrotacionalFlujo irrotacional–– vvóórtice librertice libre

Flujo rotacionalFlujo rotacional–– vvóórtice forzadortice forzado

23

Doblete (Dipolo)Doblete (Dipolo)

•• Par fuentePar fuente--sumidero de igual intensidad (funcisumidero de igual intensidad (funcióón de corriente)n de corriente)

1

2

sintancos

sintancos

rr a

rr a

"""""

"

�

��

sin

cos

Kr

Kr

"�

"�

�

�

12 2

2 sintan2m ar

r a"�

# � ��

Q

cteKaQQa��

)�!�2

0

2 2

2 2 sintan arm r a#� "� � �� Q

� �1 22m� " "#

� Q

� � 1 21 2

1 2

tan tan2tan tan1 tan tanm

" "#� " "" "� � � �� Q

sumiderofuente

24

EscurrimientoEscurrimiento dentrodentro de de unauna hendidurahendidura angularangular

nzz �� )( �� n 1 flujoflujo uniformeuniforme

))sin()(cos()( "" ninrz n ��

,)cos(Re nr n "� ��

""" iVVninnrdzd

rn ��

� ))sin()(cos(1

��

��

��

��

��

��

��

"�

"�� i

rri

rdzzd 1)(

)sin(Im "� nr n��

PotencialPotencial complejocomplejo

VelocidadVelocidad complejacompleja

25

)cos(1 "nnrV nr

� )sin(1 "" nnrV n�3para �n

)3cos(3 2 "rVr � )3sin(3 2 "" rV �

0�"V3

,0 #"" ��

Paredes rígidas:

3,0 #"" ��

EscurrimientoEscurrimiento dentrodentro de de unauna hendidurahendidura angularangular

26

SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y fuenten flujo uniforme y fuente

• Función�de�corriente�y�potencial�de�velocidades

• Ubicación�del�punto�de�estanca�miento�donde�ambos�flujos�se�can�celan�mutuamente

• Función�de�corriente

• Línea�de�corriente� �sin

br

# ""

�

ntoestancamiede punto

fuente


fuenteuniforme ��

fuenteuniforme ��

"#

"�2QUrsen ��

rQUrcos ln2#

"� ��

2 2m mU b

b U# #� � �

Q Q

� �,2stagnationmr b� " # �� Q

ntoestancamie

27

•• Agregado de sumidero simAgregado de sumidero siméétricamente opuestotricamente opuesto–– Flujo uniforme + fuente + sumideroFlujo uniforme + fuente + sumidero

•• FunciFuncióón de corriente y potencial de velocidadesn de corriente y potencial de velocidades

� � 11 2 2 2

2 sinsin sin tan2 2m m arUr Ur

r a"� " " " "

# # � ��

Q Q

SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y par fuenten flujo uniforme y par fuente--sumiderosumidero

� �1 2cos ln ln2mUr r r� "#

� Q



fuente sumidero

QQ�

28

SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y par fuenten flujo uniforme y par fuente--sumiderosumideroÓÓvalo de Rankinevalo de Rankine

•• LaLa funcifuncióónn dede corrientecorriente sese puedepuede escribirescribir tambitambiéénn

��

��

��

��

� 12 22"

#"

#� QQUy

yyu

� ��

� �� 2222 22 yax

axQyax

axQUu�

��

��##

•• En el En el puntopunto dede estancamientoestancamiento ((xxee ,, 0)0)

� � � �axQ

axQUu

ee

��

12

12

0##

•• LaLa posiciposicióónn de los de los puntospuntos dede remansoremanso se se obtieneobtiene de la de la condicicondicióónn uu =0=0

12 22"

#"

#� QQUy ��

29


•• LaLa posiciposicióónn de los de los puntospuntos dede remansoremanso eses

•• LaLa llííneanea dede corrientecorriente queque determinadetermina la forma del la forma del cuerpocuerpo sese obtieneobtienedel valor de del valor de �*�* en el en el puntopunto dede estancamientoestancamiento derechoderecho

•• SiendoSiendo �*�*= 0 en la = 0 en la superficiesuperficie deldel cuerpocuerpo ,, existeexiste lala siguientesiguiente relacirelacióónn

UQaaxe #2

22 �� lU

Qaaxe +��+�#2

2

� � 0)0(2

)0(2

)0(0, ��##

� QQUa

022 12 �� "#

"#

� QQUyc � �QUyc#

""2

21 �

30


•• LaLa ordenadaordenada yycc se se determinadetermina dede

•• resultaresulta lala siguientesiguiente ecuaciecuacióónn parapara elel contornocontorno deldel óóvalovalo

•• concon (x,y)

(a,0)(-a,0)

r1r2 "1"2

axytg�

�2" axytg

�1" 21 )()( "" tgaxtgaxy ccc ��

� � ��

��

��

QUytgtg c#

""2

21

)/(2222

aqytgayyaxc

cc ��

��

��

aUQq#2

31

FlujoFlujo UniformeUniforme PasantePasante sobresobre DobleteDoblete

• La superposición de un doblete y un flujo uniforme da el siguientepotencial complejo

zKUz#2

��

zKUz

##

22 2 �

�� iyx

KiyxU�

��

##

22 2

� �� iyxiyx

iyxKiyxU�

��

##

22 2 � ��

� �22

2

22

yxiyxKiyxU

��

��#

#

� � � �� 22

2232223

2222

yxiyxKxyiiyyixyixxyxU

��

��#

#

32

� � � ��

��

�� 22

2232223

2222

yxiyxKxyiiyyixyixxyxU

##

� � � ��

��

� 22

3223

22

yxiyxKiyyixxyxU

##

� � � �, -� � �

��

� 22

3223

222

yxKyyyxUiKxxyxU

###

� � � �, -� � �

��

� 22

3223

222

yxKyyyxUiKxxyxU

###


33

� ��

� �, -� � ��

##

## i

yxKyyyxUi

yxKxxyxU

��

��

��

�� 22

32

22

23

22

22

� �� 22

23

22

yxKxxyxU

��

�#

#�

� �222 yxKyUy�

�#

¿cómo se�determina la�línea de�corriente para la�cual la�función de�corriente vale�0�?��De�la�condición

� �2220

yxKyUy�

�#


� �, -� �22

32

22

yxKyyyxU

��

�#

#�

34

� � KyyxUy �� 222#� �2220

yxKyUy�

�#

� � KyxU �� 2220 #

222

2 R

UKyx ��#

•existe una línea circular�de�corriente de�radio�R ,��para la�cual el�valor�de�la�función de�corriente es cero.•Cualquier función de�corriente de�valor�nulo es una pared�sólida imper�meable


35


� � ../

0

112

3

�

22222

22

42 yxyxyxKUu

# � � ../

0

112

3

�

22222 4 yxyxxyKv

#

222 vuV ��

� � � �

2

22222

2

22222

222

442 �4

�56

�

��

.

./

0

112

3

�

�4

�56

�

��

.

./

0

112

3

�

yxyxxy

yxyxyxUV

#7

#7

Ecuación de la línea de corriente con �=0 :

UaR

#7

2 ��222 yxR �� con

36

Nótese que una de�las lineas es cerrada y�circunda el�origen a�una distancia cons�tante igual a�

UKR#2

�

• El�ploteo de�formas de�isolíneas de�corriente (�� = cte ) .�

3737

SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y dobleten flujo uniforme y dobleteFlujo alrededor de un cilindroFlujo alrededor de un cilindro

•• Componentes�de�velocidad�en�Componentes�de�velocidad�en�coordenadas�polarescoordenadas�polares

2 2

2 21 cos 1 sinra av U v Ur r"" "

� � � �� ! � ��

� � � �

•• Flujo�uniforme�+�dobleteFlujo�uniforme�+�doblete

•• FunciFuncióón�de�corriente�y�potencial�n�de�corriente�y�potencial�de�velocidades�(en�polares)de�velocidades�(en�polares)

•• Para�Para�r=ar=a,�Funci,�Funcióón�de�corriente�y�n�de�corriente�y�potencial�de�velocidadespotencial�de�velocidades

sinsin

coscos

KUrr

KUrr

"� "

"� "

�

� �

2

2

2

2

1 sin

1 cos

aUrr

aUrr

� "

� "

� ��

� ��

� ��

38

El módulo es independiente del tamaño del círculo

El coeficiente de presión en los puntos del círculo


La distribución de velocidad en el contorno del círculo

� � """ seniUeeUV ii �� 21~ 2

"senUV 2~ �

"

22

20 41

~1

21 sen

UV

Uppc p ��

�

39

Flujo alrededor de un cilindro: Comparación Experimental y Teórica

• Usando�el�Principio�de�Bernoulli�la�distribución�de�presiones�sobre�la�superficie�del�cilindro

– r=a

– Bernoulli

2 sinsv U" "�

� �

2 20

2 20

1 12 2

1 1 4sin2

s s

s

p U p v

p p U

"

"

� � �

� � viscoso)(no

Teórico

4040

FlujoFlujo UniformeUniforme sobresobre DobleteDoblete y y VVóórticertice concconcééntricontrico

•• y�la�y�la�velocidadvelocidad complejacomplejaresultaresulta

z Lniz

KUz## 22$

��r Lnsen

raUrIm

#"�

21 2

2 $��

�

��

��

zi

zaU

dzdzV

#21)(~

2

2 $��

�

��

��

��8�

"#

"�2

1 2

2 $��

�

��

�� cos

raUrRe

•• La�La�superposicisuperposicióónn de�de�flujoflujo uniformeuniforme ,�un�,�un�dobletedoblete y�un�y�un�vvóórticertice concconcééntricontrico dadael�el�siguientesiguiente potencialpotencial complejocomplejo

•• en�el�en�el�llíímitemite z z �� UVz

�)�

~

� � ""

#"

ii

eze

aieUV

i

�

$�

21~ 2•• en�el�en�el�ccíírculorculo z = z = eeii��aa

•• oo ��

�� $

�� a

senVieV~iez

i

#"

"

"

22 0

4141


•• Para�Para�esteeste flujoflujo ,�,�sobresobre el�el�ccíírculorculo hay�dos�hay�dos�puntospuntos de�de�estancamientoestancamiento((remansoremanso)�.�)�.�CorrespondenCorresponden a�a�laslas raraíícesces de�la�de�la�ecuaciecuacióónn

02

222 ��

��

�� $

� zU

iazzUV~

#

•• EstEstáánn determinadasdeterminadas porpor 02

22 ��

�� $

zU

iaz#

•• SolucionesSoluciones son��son��

22

44��

�� $

+$

�U

aU

iz##

•• Si�Si�� =�0�=�0� az +� ((SolucionesSoluciones del�del�cilindrocilindro sin�sin�circulacicirculacióónn )�)�

4242


•• Si�|Si�|��|�<��4|�<��4��UaUa se puede expresarse puede expresar 9#Uasen4�$

•• Las�Las�solucionessoluciones son��son�� 9iaez ++�

•• Si�|Si�|��|�>��4|�>��4��UaUa las imlas imáágenes de las dos ragenes de las dos raííces son dos puntos sobre el eje ces son dos puntos sobre el eje imaginario y la velocidad resulta indefinida imaginario y la velocidad resulta indefinida

•• Si�Si�� =�4=�4��UaUa ((raraíízz dobledoble)��)��U

iz#4$

�

43

El módulo sigue siendo independiente del tamaño del círculo

El coeficiente de presión en los puntos del círculo


La distribución de velocidad en el contorno del círculo

)(2~ 9"" senseniUeV i �

9" sensenUV � 2~

� �22

20 41

~1

21 9"

sensen

UV

Uppc p ��

�

44

Superposición de flujo uniforme, doblete y vórticeFlujo alrededor de un cilindro con circulación

• Flujo�uniforme�+�doblete�+�vórtice

• Ubicación�de�los�puntos�de�estancamiento�donde�v�=0

2

2

2

2

1 sin ln2

1 cos2

aUr rr

aUrr

� "#

� " "#

� � $� � �

� �� $

� � ��





2 sin2 4stagv U

a Ua" " "# #$ $

� � � �est

45

Superposición de flujo uniforme, doblete y vórticeFlujo alrededor de un cilindro con circulación

• Flujo�uniforme�+�doblete�+�vórtice

• Ubicación�de�los�puntos�de�estancamiento�donde�v�=0

2

2

2

2

1 sin ln2

1 cos2

aUr rr

aUrr

� "#

� " "#

� � $� � �

� �� $

� � ��

múltiple velocidadde punto


2 sin2 4stagv U

a Ua" " "# #$ $

� � � �est

02. Flujos Planos Elementales 2D

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